DARÍO CARMONA GARCÍA JOSÉ LUIS CROTTE ZERÓN...estudiando ahora límites, derivadas y la...

Cálculo 2

DARÍO CARMONA GARCÍA

Secretario de Educación Pública del Estado de Puebla JOSÉ LUIS CROTTE ZERÓN Subsecretario de Educación Media Superior JOSÉ ENRIQUE MARTÍNEZ PELÁEZ

Director General Académico GISELA DUEÑAS FERNÁNDEZ, MARÍA EDITH BÁEZ REYES, BEATRIZ PIMENTEL LÓPEZ, SARAHÍ GAXIOLA JARQUÍN, OSVALDO CUAUTLE REYES, MARÍA DE LOS ÁNGELES ALEJANDRA BADILLO MÁRQUEZ, RENATO GARCÍA LEÓN Coordinación del proyecto: Colectivo 25

PROGRAMA DE ESTUDIOS Cálculo

Equipo de Diseño Curricular

Juan Carlos Aguas Vázquez, María Angélica Álvarez Ramos, Jesús Edmundo Cruz Porras, Vivaldo Cuesta Sánchez, Miguel Ángel Espidio Juárez, Margarita Hernández González, Sotero Martínez Juárez, Jorge Saúl Mazatle Gazca, José Martín Mejía Hernández, Daniel Ozuna Rosas, Francisco Javier Pérez Rojas, Gilberto Santiago del Ángel, Enrique Tejeda Marciano

Revisión Metodológica

María Angélica Álvarez Ramos, Gerardo Ángel Chilaca, Verónica Ángel Chilaca, Francisco Javier Cortés López, Margarita Concepción Flores Wong, Jorge Fernando Flores Serrano, Juan Manuel García Zárate, Genaro Juárez Balderas, Sotero Martínez Juárez, María Teresa Notario González, Irma Ivonne Ruiz Jiménez, Juan Jesús Vargas Figueroa, Emilia Vázquez Pacheco

Estilo Formato

Leonardo Mauricio Ávila Vázquez, Alejandro Enrique Ortiz Méndez, Cristina Herrera Osorio, Concepción Torres Rojas, Rafael Carrasco Pedraza

Osvaldo Cuautle Reyes Liliana Sánchez Tobón

Cálculo 3

PROGRAMA ACADÉMICO: CÁLCULO SEMESTRE: CUARTO CAMPO DISCIPLINAR: MATEMÁTICAS COMPONENTE DE FORMACIÓN: BÁSICA NÚMERO DE HORAS: 64 CRÉDITOS: 8

IMPORTANCIA DEL CURSO

El programa de la asignatura Cálculo busca desarrollar en el alumno un pensamiento lógico que pueda ser empleado para la resolución de problemas de su entorno, aplicando los conocimientos adquiridos en materias anteriores tales como Álgebra para comprender la nomenclatura de las funciones, Geometría y Trigonometría proporcionando la razón tangente y secante como elementos precursores para la determinación del concepto de la derivada, Geometría Analítica y Funciones para relacionar la definición de pendiente con la derivada de una función; junto con los que contempla esta asignatura como lo es la optimización con ello se pretende dotar al alumno de las herramientas matemáticas necesarias para desarrollar su pensamiento sistemático, razonamiento analítico y deductivo.

Este programa da continuidad a los temas abordados en la parte final del curso que le antecede, específicamente al tema de funciones estudiando ahora límites, derivadas y la aplicación de éstas. Los temas de este programa se relacionan también con la asignatura de Física II para la modelación y solución de problemas en esta área.

Interdisciplinariamente se vincula con Taller de Lectura y Redacción al utilizar signos de puntuación, acentuación en la interpretación y redacción de la información que investiga, con Estructura Socioeconómica al contemplar: economía, sector agropecuario, distribución de la riqueza, sistema monetario, tasa de desempleo, devaluación entre otras, en su mínimo y máximo comportamiento, en Biología I con respecto a ciencias químico-biológicas como son: microbiología y macrobiología, referente a Aplicaciones Informáticas apoyándose de las TIC’s en la búsqueda de información así como software graficador y en el enfoque de problemas de optimización en las distintas áreas de la industria o del sector productivo propio de la formación para el trabajo.

La asignatura de Cálculo contribuye a que el alumno sea cooperativo, tolerante y solidario; analítico, informado y responsable. Así mismo desarrolla la participación y colaboración en problemas de su entorno, aportando propuestas de soluciones, favoreciendo a su desarrollo

Cálculo 4

humano y fomentando relaciones interpersonales, de esta manera se fomenta que sea crítico, analítico, reflexivo, se exprese, comunique y colabore, contribuyendo así con el perfil del egresado.. El contenido del programa de Cálculo está estructurado en las siguientes unidades:

Unidad I: Límites y Continuidad

Abordará el concepto intuitivo de límite, propiedades, tipos de límites y cálculo de éstos. Así como las condiciones para la continuidad de una función en un punto.

Unidad II: La Derivada

En esta unidad se estudiará la interpretación geométrica de la derivada, su definición, las reglas de derivación y el cálculo de derivadas.

Unidad III: Aplicaciones de la derivada En esta unidad, utilizando el concepto de derivada se resolverán problemas de optimización.

Cálculo 5

Cálculo 6

COMPETENCIAS

El presente programa contribuye particularmente al desarrollo de las siguientes competencias: GENÉRICAS Escucha interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.

• Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o graficas. • Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • Ordene información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. . • Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y

confiabilidad. • Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. • Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. • Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuentan dentro de distintos equipos de

trabajo. DISCIPLINARES BÁSICAS

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Cálculo 7

RESULTADOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO

Los alumnos: En el nivel Atender:

• Identificarán los tipos de límites, de funciones y problemas de optimización, gráficas de funciones, tablas de valores generadas por funciones.

En el nivel Entender:

• Comprenderán la noción intuitiva de límite, el concepto de continuidad y derivada. • Relacionarán el concepto de derivada en la solución de problemas de máximo y mínimo.

En el nivel Juzgar:

• Comprobarán que los conceptos de límite, continuidad y derivada tienen aplicación al resolver modelos matemáticos. En el nivel Valorar:

• Concluirá la importancia del Cálculo como herramienta en la solución de problemas reales.

Cálculo 8

UNIDAD I. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Resultados de aprendizaje En el nivel Atender, el alumno:

• Identificará distintas graficas de funciones continuas y discontinuas. En el nivel Entender, el alumno:

• Conceptualizará límite, tipos de límites y sus propiedades. • Comprenderá la continuidad de una función en un punto.

En el nivel Juzgar, el alumno: • Demostrará las propiedades, tipos de límites y continuidad de una función. • Comprobará la continuidad de una función.

En el nivel Valorar, el alumno: • Deliberará sobre la importancia de los límites y la continuidad de una función en la solución de problemas cotidianos.

Horizonte de Búsqueda

Niveles de Operación de la Actividad Consciente Intencional Preguntas para

Actividades específicas de aprendizaje Que el alumno:

Para la inteligencia Para la reflexión Para la deliberación

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

¿Qué es el límite de una función?

¿Qué es un límite

lateral?

¿Cómo se calcula el límite de una función?

¿Cómo se verifica la

existencia del límite de una función?

¿Para qué sirve calcular el límite de

una función?

Lleve en equipo al aula de clases 4 manzanas, algún utensilio para cortarla y realice lo siguiente:

a) Reparta en partes iguales una manzana entre 10 compañeros y anote en su libreta la porción que le toca a cada uno.

b) Reparta otra manzana en partes iguales a 20 compañeros, observe y anote que sucede con porción que les toca.

c) Reparta la tercera manzana en partes iguales a 30 compañeros y anote que sucede con la porción que le toca a cada uno.

d) Reparta la cuarta manzana en partes iguales a 40 compañeros, observe y anote que sucede con la porción que le toca a cada uno de ellos.

Imagine que tiene otras dos manzanas y que las distribuye en partes iguales a 100 y a 200 personas, comente con su equipo las observaciones que realizó al repartir las manzanas y que sucede con las porciones cuando se incrementa el número de personas, anote en su libreta de apuntes a qué número o cantidad se acercan los trozos de manzana. Indague en distintas fuentes bibliográficas o en la web, información acerca de: la noción, aproximación gráfica lateral y definición de límite de una función, registre la información en una tabla. Presente en equipo al resto del grupo la tabla de la actividad anterior, analizando la aproximación de límites laterales por medio de tabulación, complemente su tabla

Cálculo 9

con las aportaciones argumentadas de sus compañeros. Resuelva los siguiente problemas utilizando la información de la actividad anterior:

a) Grafique x

xxf

4

16 2

en el intervalo [-5, 0] y

determine con la tabla de aproximaciones el

límite de la función cuando 4x

b) Grafique 1

12

x

xxf en el intervalo [-2, 2] y



c) Grafique x

xxxf

32 del intervalo [-2, 2] y



Grafique y determine si los limites existen para las siguientes funciones:

a) 3

158)(

2

y

yyyf para )(lim

3yf

y

b)

1 para

1 para 1

xx

xxxg para xg

x 1lim

c) 25lim 3

1

zzh

z

Comente en equipo la importancia de expresar la noción intuitiva de límites como aproximaciones y trace la

gráfica para determinar el límite de 2

)(lim

x

xf cuando

2,86

2,1

2,2

)(

2

2

xxx

x

xxx

xf

A partir de ello valore y concluya el hecho de utilizar

Cálculo 10

correctamente el método de aproximación para resolver problemas matemáticos de límites, anote su conclusión en la libreta de apuntes.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

¿Qué propiedades tienen los límites?

¿Cómo se verifican las propiedades de los

límites?

¿Para qué sirve conocer las

propiedades de los límites?

Considere en equipo la función )65()( 2 xxxf ,

grafíquela en el intervalo [0,4], comente el proceso para encontrar “analíticamente” el límite de esta función

cuando 3x , anote en su libreta de apuntes.

Busque en distintas fuentes bibliográficas o en la web las propiedades de los límites de funciones, regístrelas en un cuadro sinóptico. Compare en equipo la información del cuadro sinóptico al resto del grupo, para formar un cuadro único. Resuelva en equipo gráfica y analíticamente los siguientes problemas apoyándose del cuadro anterior:

a) )14( 3

1lim

xxx

b) )25)(13( 2

1lim

xxx

c)

67

62

2

6lim xx

xx

x

d) ]25[ 22

2lim

xxxx

e)

364

622

3lim x

x

x

Delibere de manera grupal la utilidad de las propiedades de los límites en la resolución de problemas de funciones, resuelva el siguiente problema: Considerando que el motor del automóvil de su papá solo puede trabajar para cierta velocidad, que está

regida por la función 1

1)(

2

x

xxf , encuentre el límite

de velocidad cuando 1x y trace la gráfica. Escriba

sus conclusiones en la libreta.

Cálculo 11

LÍMITES AL INFINITO Y LÍMITES EN EL

INFINITO

¿Qué es un límite al infinito y en el infinito?

¿Cómo se interpretan los límites al infinito y

en el infinito?

¿En qué circunstancias se pueden aplicar los

límites al infinito y en el infinito?

Considere que en equipo salen en la noche a observar el cielo, una noche sin luna, totalmente despejado, cuenten el total de estrellas, comente con sus compañeros si fue posible contarlas, argumentando sus opiniones y anotándolas en su libreta.

En equipo determine gráficamente 2

lim2 x

x

x

, utilice la

tabla de aproximaciones por la derecha y por la izquierda, comente con sus compañeros cómo determinó dicho valor, anotando en su libreta de apuntes su comentario. Busque en distintas fuentes bibliográficas o en la web los teoremas de límites al infinito, límites en el infinito, asíntotas verticales y horizontales; elabore con la información recabada una tabla descriptiva. Presente en equipo al grupo la tabla descriptiva de la actividad anterior, analice la interpretación y obtención de los límites en donde interviene el infinito, complemente su tabla con las aportaciones de los demás equipos. Resuelva en equipo gráfica y analíticamente los siguientes problemas, apoyándose en la tabla obtenida de la actividad anterior:

a) xx

xx

x 82

3462

2

lim

b) 1

)1(3

3

lim

x

x

x

c) 35

22

lim

x

xx

x

d)

xxx 8

12

2

1lim

Resuelva en equipo el siguiente problema: Considere el caso en que su Mamá se informa que la dieta de la familia debe incluir cierta cantidad de grasa

determinada por

62

1

2

3)(

x

x

x

xxf , encuentre

el límite de la cantidad de grasa expresada en gramos que debe contener la dieta cuando x . A partir de

Cálculo 12

ello comente al grupo sobre la posibilidad de utilizar los límites al infinito y en el infinito para resolver problemas de su entorno, elabore una síntesis al respecto.

CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD

¿Qué es una función continua y una discontinua?

¿Cómo se calcula el límite de una función

continua y una función discontinua?

¿Qué utilidad tiene la determinación del

límite de una función continua y una función

discontinua?

Tome una hoja de su libreta, con un lápiz trace una línea lo más larga que se pueda sobre ella sin despegar la puntilla del lápiz, observe la línea y comente si existe algún punto en donde es discontinua y comparta su opinión con sus compañeros, anote lo más relevante en su libreta de apuntes. Averigüe en distintas fuentes bibliográficas o en la web sobre continuidad y discontinuidad de funciones, registre la información en un cuadro sinóptico. Exponga en equipo al grupo el cuadro sinóptico de la actividad anterior, comente sobre el procedimiento para calcular los límites de funciones continuas y discontinuas, complemente su información con las aportaciones argumentadas del resto de los equipos. Determine en equipo apoyándose de la información de la actividad anterior cuales de las siguientes funciones son continuas en el punto indicado:

a) 5,132 2 xxxxf

b) 2/3,992

122

x

xx

xxf

c)

0,2/1

0,

x

xx

Senx

xf

d) )(lim2

CosxSen

x

e) ))(1(lim2

CosxCos

x

f)

x

xCos

x

22

1lim

Cálculo 13

Participe con respeto y tolerancia en una discusión acerca de la utilidad de conocer las propiedades de continuidad y discontinuidad en la solución de problemas matemáticos. Resuelva en equipo el siguiente problema: En el movimiento de los iones del Cloruro de Sodio

)(NaCl en una celda eléctrica donde la conductividad

equivalente ( CE ) se define por c

kEc , siendo k la

conductividad y c la concentración en moles por litro,

es necesario estudiar los valores de CE en soluciones

cuya concentración c es cercana a cero, es decir, para

soluciones sumamente diluidas. Determine el valor de la conductividad equivalente dado por:

0,lim0

cc

kE

C

Concluya acerca de las ventajas de la aplicación en diversos campos de la industria como: la química, eléctrica, electromecánica etc.

EVALUACIÓN

CONOCIMIENTOS El alumno demuestre la apropiación de lo siguiente:

PROCESOS Y PRODUCTOS El alumno evidencie los procesos y la obtención de los siguientes productos:

DESEMPEÑO ACTITUDINAL CONSCIENTE El alumno manifieste los siguientes valores y actitudes:

• Noción intuitiva de límite. • Propiedades de límites. • Límites al infinito y límites en el infinito • Continuidad y discontinuidad.

• Cálculo de límites • Gráficas de límites • Tabla descriptivas de límite • Tabla de aproximaciones • Libreta de apuntes • Cuadro sinóptico de continuidad y

discontinuidad. • Ejercicios resueltos sobre límites

• Respeto. • Tolerancia. • Colaboración. • Responsabilidad. • Puntualidad.

Cálculo 14

UNIDAD II. LA DERIVADA


• Observará distintas rectas secantes y tangentes a una función. • Identificará el signo de las diferentes pendientes de las rectas tangentes.

En el nivel Entender, el alumno: • Comprenderá el concepto geométrico de la derivada. • Conocerá la definición de la derivada, así como las reglas para su cálculo.

En el nivel Juzgar, el alumno: • Reflexionará el concepto de derivada, el método de los cuatro pasos y las reglas de derivación. • Comprobará que el método de los cuatro pasos y las reglas de derivación son compatibles en el cálculo de derivadas.

En el nivel Valorar, el alumno: • Valorará la trascendencia de la derivada en la solución de problemas cotidianos en distintas áreas del quehacer humano.





DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

¿Qué es la derivada de una función?

¿Cómo se obtiene la

derivada de una función?

¿Cómo se interpreta geométricamente la


¿Qué utilidad tiene calcular la derivada

de una función?

Considere en equipo la función 2)( xxf , grafíquela para el

intervalo [-3, 3], encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) para x=1, comente con otros equipos cómo determinar la ecuación que se pide con los datos que se proporcionan, argumentando sus opiniones y anote en su libreta de apuntes. Indague en distintas fuentes de información o en la web sobre la interpretación geométrica de derivada (recta, curva, secante, tangente, pendiente), el método de los cuatro pasos para calcularla y elabore un reporte de investigación. Relacione grupalmente los conceptos encontrados y determine si con ellos se interpreta o no geométricamente la derivada, comparándola con el método de los cuatro pasos. Resuelva en equipo los siguientes problemas apoyándose de la información recabada en la actividad anterior:

a) Encuentre por el método de los cuatro pasos la derivada de los siguientes funciones:

1. 2,)( xparaxxf

2. 1,5)( xparaxf

3. 2,5)( xparaxxf

4. 2/1,)( 2 xparaxxf

5. 2/1,23)( 2 xparaxxxf

6. 4,)( xparaxxf

Cálculo 15

b) Determine la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto indicado, trace su grafica.

1. 2/1,)( 3 xparaxxf

2. 1,3)( 2 xparaxxxf

3. 2,)12()( 2 xparaxxf

Debata de manera grupal la importancia de interpretar geométricamente la derivada así como la aplicación del método de los cuatro pasos. En equipo resuelva lo siguiente: Se lanza una pelota desde el nivel del suelo y su

movimiento está regido por ttts 25616)( 2 , en donde

s se mide en pies y t en segundos, determine: 1. La altura que alcanza la pelota en t=2, t=6, t=9,

t=10 2. ¿Cuál es la velocidad media del proyectil entre

t=2 y t=5? 3. ¿En qué instante de tiempo choca la pelota

contra el suelo? 4. ¿Cuál es la velocidad de impacto? 5. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota?

A partir de los resultados obtenidos concluya la utilidad de la derivada en la solución de problemas de su entorno, anote en una ficha de síntesis.

REGLAS Y CÁLCULO DE DERIVADAS

¿Qué nos indica el cálculo de la


¿Cuáles son las

reglas de derivación?

¿Cómo se aplican las reglas de derivación?

¿Qué utilidad práctica tiene el

cálculo de derivadas?

Trabaje en equipo determinando la derivada de las siguientes funciones:

4)( xxf

5)( xxf

100)( xxf

1)(

3

x

xxf

Comente el procedimiento que utilizó para la actividad anterior, anote en su libreta de apuntes el punto de vista del equipo y preséntelo al grupo. Consulte en equipo distintas fuentes bibliográficas o en la web sobre las reglas de derivación, registre su información a manera de formulario en una tabla. Presente en equipo al grupo el formulario de la actividad anterior analizando la utilidad de las reglas de derivación en

Cálculo 16

la solución de ejercicios y problemas matemáticos, complemente su formulario con las aportaciones argumentadas de los demás equipos. Efectúe los siguientes ejercicios y problemas, apoyándose en el formulario de la actividad anterior:

a) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:

1. 12

)(5

xf

2. 2

345 32)(

x

xxxxf

3. )24)(17()( 3 xxxxf

4.

2

2

2

2 11)(

xx

xxxf

5. 52

13)(

x

xxf

6. 2

3

2

9

x

xy

b) Encuentre la ecuación de la recta tangente y de la recta normal de la función dada, en el punto indicado:

1. 1)24)(1()( xparaxxxf

2. 21

)(2

xparax

xxf

Considere en equipo que un atleta sigue una trayectoria

definida por )1)(23()( 2 tttts , determine la velocidad y

la aceleración del atleta en dicho movimiento para t=5 minutos, considerando que s está dado en metros. A partir de ello dialogue de manera grupal sobre la importancia de conocer y aplicar las reglas de derivación, concluya sobre su utilidad como herramienta para resolver problemas tales como hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal de una función y en el campo de la física con problemas de movimiento, anote en su libreta de apuntes.

DERIVADA DE FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS, LOGARÍTMICAS Y

¿Cuáles son las reglas para derivar

las funciones trigonométricas,

¿Cómo se comprueban las derivadas de las

funciones

¿Qué utilidad tienen las derivadas de las

funciones trigonométricas,

Determine en equipo la derivada de las siguientes funciones utilizando la regla de los 4 pasos:

a) Senxxf )(

Cálculo 17

EXPONENCIALES logarítmicas y exponenciales?

trigonométricas, logarítmicas y

exponenciales?

logarítmicas y exponenciales?

b) Cosxxf )(

Intercambie opiniones con los otros equipos a cerca del grado de dificultad para encontrar la derivada de dichas funciones, registre los comentarios más relevantes en su libreta de apuntes. Busque en distintas fuentes de información sobre las derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, registre su información en una tabla a manera de formulario. Presente en equipo al resto del grupo el formulario de la actividad anterior, analizando las reglas que se utilizan para obtener las derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, complemente su información con las aportaciones de sus compañeros. Encuentre utilizando el formulario de actividad anterior las derivadas de los siguientes ejercicios:

a) xxf tan)(

b) xSecxf )(

c) xCscxy

d) xCtgxCscy

e) xCos

xSeny

1

f) xSec

xy

1tan

g) xa

xaxg

ln)(

h) )ln(ln xxy

i) )2(tanln xy

j) xseney 2

k) xe

y3

Cálculo 18

Comente de manera grupal la importancia de conocer las derivadas de las funciones trigonométricas, logarítmicas y exponenciales, valorando su aplicación en la solución de problemas matemáticos, como la siguiente: En ciertas condiciones, un rumor se esparce siguiendo la

ecuación tkae

tp

1

1)( en donde p (t) es la proporción de

la población que conoce el rumor en el momento t, a y k son constantes positivas. Encuentra la rapidez de esparcimiento del rumor.

EVALUACIÓN




• Definición de la derivada. • Reglas y cálculo de la derivada. • Derivada de funciones trigonométricas,

logarítmicas y exponenciales.

• Libreta de apuntes • Ejercicios resueltos de derivadas • Formulario de reglas de derivación. • Síntesis de definición de derivada. • Debate sobre la importancia de la derivada

en la solución de problemas.

• Respeto. • Tolerancia. • Colaboración. • Responsabilidad. • Puntualidad.

Cálculo 19

UNIDAD III. APLICACIONES DE LA DERIVADA


• Observará que la gráfica de una función presenta puntos superiores e inferiores. En el nivel Entender, el alumno:

• Conocerá los conceptos de puntos críticos y valores extremos. En el nivel Juzgar, el alumno:

• Ubicará los puntos críticos y valores extremos en la gráfica de una función. • Determinará el valor mínimo o el valor máximo de la función de una variable.

En el nivel Valorar, el alumno: • Utilizará los máximos y mínimos en la solución de problemas de optimización.





PUNTOS CRITICOS Y VALORES

EXTREMOS

¿Qué son los puntos críticos de una

función?

¿Qué determinan los máximos y mínimos

de una función?

¿Cómo se calculan los puntos críticos; el

valor máximo y mínimo de una

función?

¿Qué utilidad tiene calcular los valores

máximo y mínimo de una función?

Considere en equipo la función 232 23 xxxy

encuentre gráficamente el punto más alto, el punto más bajo, punto inicial y final de la gráfica, demuéstrelo analíticamente, comente en su equipo si es posible encontrar lo solicitado, argumente su postura. Busque en distintas fuentes bibliográficas o en la web sobre el criterio de la primera derivada y la obtención de los puntos críticos y valores extremos; criterio de la segunda derivada, puntos de inflexión y concavidad, elabore con ello un reporte. Analice en equipo la información del contenido del reporte para unificar criterios y localizar las ventajas de encontrar valores críticos mediante la derivada para calcular el máximo y el mínimo de una función. Resuelva en equipo empleando la información obtenida de la actividad anterior, lo que se pide:

a) Grafique, encuentre y señale los puntos críticos y valores extremos de:

1. ]3,3[232 23 paraxxxy

2. ]3,2[132 23 paraxxxy

3. ]2,2[)3)(2( paraxxy

4. ]2,3[)1)(( 2 paraxxxy

b) Grafique , encuentre y señale la concavidad y puntos de inflexión de:

1) 16 23 xxxy

2) 8)2( 3 xy

Cálculo 20

3) xxxy 1223

1 23

4) 133 23 xxxy

c) Una ventana “normanda” consiste en un rectángulo coronado por un semicírculo, encuentre las dimensiones de la ventana con área máxima si su perímetro es de 10 metros.

Resuelva en equipo el siguiente problema: Una empresa telefónica desea tender un cable del punto A al punto C, cruzando un río de 3 km de ancho como se muestra en el esquema, el costo del cable en tierra es de $10,000 y el subacuático de $12,500. Encuentre los valores extremos o el valor crítico que lleve a obtener el recorrido para el cual el costo del cable tendido sea el mínimo. En lluvia de ideas comente la importancia de conocer el criterio de la primera y segunda derivada para obtener valores extremos, puntos críticos, concavidad y puntos de inflexión, valorando el hecho de aplicarlas para resolver problemas matemáticos de funciones.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

¿Qué es un problema de

optimización?

¿Cómo se resuelven los problemas de

optimización?

¿Qué implica resolver problemas de optimización?

Considere que compró una lámina de plata fina y cara para construir un alhajero como obsequio para el día de las madres, desea saber cuáles serán las dimensiones de la caja para aprovechar eficientemente el material obteniendo el máximo volumen, en base al esquema siguiente, encuentra las dimensiones del alhajero.

Cálculo 21

Busque en distintas fuentes bibliográficas o en la web sobre optimización, tipos de optimización y el procedimiento que se realiza para la solución de problemas de optimización, registre la información en su libreta de apuntes. Comente al grupo sobre la información obtenida para constatar los criterios en la solución de problemas de optimización. Resuelva en equipo los siguientes problemas:

a) Un granjero cuenta con m 28 de cerca y desea

construir un corral de forma rectangular de tal manera que pueda meter el mayor número de gallinas posible. ¿Qué dimensiones deberá tener dicho corral?, ¿Cuál será el área? (Apóyese del siguiente esquema)

b) Envases Metálicos “El Barrilito, S. A.” recibe un

pedido de x número de piezas de 3250cm de

capacidad. ¿Cuáles serán las dimensiones de cada recipiente para emplear la menor cantidad de material en su fabricación?

c) Un proyectil se dispara hacia arriba con una

velocidad de sm / 120 . Su altura sobre el suelo en “ t ”

segundos después del disparo está dada por la

función de posición ttts 1209.4)( 2 . Encuentre el

tiempo en que el proyectil llega al suelo y la velocidad con que llega. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

d) Se va a construir una caja rectangular sin tapa con base cuadrada y un volumen de 32000 cm

3.

Encuentre las dimensiones que le permitan utilizar el mínimo de material para el volumen requerido.

Resuelve en equipo el siguiente problema: Una empresa determina que el costo )(xC por producir x

unidades de cierto artículo de consumo es aproximadamente

Cálculo 22

200

10100)(

2x

xxC ¿Cuántas unidades deben producirse

para que el costo sea mínimo? Debata de manera grupal sobre la importancia de saber obtener la primera y segunda derivada como criterios de aplicación para resolver problemas de optimización, realice una ficha de síntesis sobre la trascendencia que tienen en distintos campos de la industria.

EVALUACIÓN




• Puntos críticos y Valores extremos. • Problemas de optimización.

• Aplicaciones de derivadas. • Ejercicios resueltos. • Libreta de apuntes. • Gráficas de funciones • Lluvia de ideas • Construcción de cuerpos

• Respeto. • Tolerancia. • Colaboración. • Responsabilidad. • Puntualidad. • Disposición a la investigación • Participación.

Cálculo 23

METODOLOGÍA

Si consideramos al método como: El conjunto de operaciones recurrentes e interrelacionadas que producen resultados acumulativos y progresivos, se

plantea, desde una perspectiva humanista, una metodología que dirija la práctica docente en los cuatro niveles de consciencia del Método Trascendental a la

activación de los procesos de enseñanza y de aprendizaje.

Para lograr esa activación, el profesor debe conducir en todo momento el aprendizaje hacia la autoapropiación del proceso por medio de la actividad

consciente del alumno. El papel conductor del maestro consiste en la selección y ordenamiento correcto de los contenidos de enseñanza, en la aplicación de

métodos apropiados, en la adecuada organización e implementación de las actividades, y en la evaluación sistemática durante los procesos de enseñanza y

aprendizaje. Precisamente por eso, la metodología más que exponer y sistematizar métodos, se esfuerza en proporcionar al profesor los criterios que le

permiten justificar y construir el método que responda a las expectativas educativas que cada situación didáctica le plantea.

En los programas, la metodología debe adecuarse a los cuatro niveles de conciencia del Método Trascendental:

Atenta. Que promueva la recuperación de datos conocimientos previos.

Inteligente. Que promueva la generación y manejo de datos y conceptos.

Crítica. Que promueva la generación de juicios de hechos y la participación crítica y reflexiva.

Libre-responsable. Que promueva la generación de juicios de valor, toma de decisiones.

Criterios generales para convertir la práctica docente en:

Atenta

El docente:

• Identifica el contexto social en que está inmersa la comunidad educativa.

• Considera el horizonte actual de cada alumno: (conocimiento, contexto, habilidades, etc.)

• Observa la diversidad cultural de los alumnos.

• Detecta las necesidades educativas de la comunidad y de los actores que forman parte de ella.

• Revisa los planes y programas de estudios.

• Ubica el curso en relación con el plan de estudios, la organización de la institución (aspectos operativos), y las

características y expectativas del grupo.

• Reconoce las propias competencias.

Inteligente

El docente:

• Propone los resultados de aprendizaje del curso con base en el análisis del entorno (horizonte global).

• Planea cada sesión o secuencia didáctica (las actividades) para hacer eficiente el proceso educativo, fortaleciéndolas con

investigación o consultas a diversas fuentes de información que le permiten afianzar el manejo de contenidos y facilitan las

actividades del aula.

• Diseña técnicas grupales que propician el trabajo colaborativo.

• Motiva al alumno, a través de estrategias que logran despertar su interés.

• Selecciona previamente los materiales (lecturas, copias u otros) para el trabajo de cada sesión.

• Promueve la interdisciplinariedad.

• Guía los procesos en forma contingente.

• Entiende la función docente como guía, orientación, acompañamiento.

Cálculo 24

Crítica

El docente:

• Establece relaciones interpersonales adecuadas, que estimulan la apropiación de conceptos, significados y valores.

• Ejerce su papel de mediador, orientador, facilitador y guía.

• Fortalece las habilidades, destrezas y actitudes de los estudiantes logrando su autonomía.

• Analiza las situaciones que obstaculizan o impiden el logro de los objetivos.

• Evalúa en forma continua los conocimientos procesos, productos y el desempeño actitudinal consciente (alumno_

docente) con instrumentos apropiados que le permiten tomar decisiones oportunas.

Libre - Responsale

El docente:

• Autoevalúa periódicamente su práctica docente.

• Delibera sobre los resultados del proceso educativo asumiendo su responsabilidad.

• Se reconoce como sujeto de aprendizaje y propone innovaciones a los procesos de enseñanza y aprendizaje.

• Valora la importancia de los procesos de enseñanza y aprendizaje como medios para favorecer el crecimiento y

desarrollo del ser humano.

Cálculo 25

EVALUACIÓN

Como parte del proceso de aprendizaje, la evaluación se realiza antes de iniciar la implementación del programa de estudios. La Evaluación Diagnóstica tiene la finalidad de detectar las necesidades específicas de los estudiantes, de acuerdo al contexto y además, señala pautas para la adecuada planeación didáctica por parte del docente. El resultado de esta evaluación no se traduce en una calificación para el alumno, sino en fortalezas y oportunidades de aprendizaje, asimismo, se realiza al inicio de cada semestre de manera obligatoria. En las secuencias didácticas que se presentan como modelo para cada horizonte de búsqueda, hay sugerencias implícitas o explicitas para realizar la Coevaluación y la Autoevaluación que permiten desarrollar las competencias de los estudiantes y al mismo tiempo, arrojan datos sobre la calidad y cantidad de los resultados de aprendizaje que se van alcanzando, es decir, se aplican los fundamentos de la Evaluación Formadora. La heteroevaluación continua aporta información importante tanto para el docente como para el estudiante, permite la retroalimentación y por ello incide tanto en el proceso de enseñanza como en el de aprendizaje.

El Modelo de Evaluación para Bachillerato General Estatal (MOEVA) establece que la evaluación se realizará en tres ejes: a) Conocimientos, que se refiere a la dominación y apropiación de hechos, definiciones, conceptos, principios, ideas, datos, situaciones, teorías,

postulados. b) Procesos y Productos, evalúa la calidad de los procesos en la autoconstrucción del aprendizaje, evidenciando los mismos en productos concretos. c) Desempeño Actitudinal Consciente, evalúa las actividades racionales que realiza el estudiante de manera intencional en las que están presentes las

actitudes que permiten la asunción de valores y la personalización de las normas hacia una progresiva y auténtica humanización del hombre. Cada eje tiene precisados, como puede verse en cada columna del apartado de evaluación de cada unidad, los elementos que pueden evaluarse, para que de manera integral se dé lugar a la Evaluación Sumativa. Instrumentos sugeridos: Los siguientes instrumentos pueden utilizarse dependiendo del énfasis que pretenda darse a cada eje de evaluación. Para mayor referencia se recomienda acudir al Manual del MOEVA.

Conocimientos Uno o varios de los siguientes instrumentos: Escala valorativa ordinal, Escalas valorativa numérica, Prueba objetiva, Exposición oral, Resolución de problemas, Mapa mental, Mapa conceptual, Lista de palabras, Tabla lógica.

Procesos y productos

Uno o varios de los siguientes instrumentos: V Heurística, Método de casos, Proyecto parcial de unidad, Diario de asignatura, Portafolios de productos, Lista de cotejo de productos, Reportes escritos, Cuadernos de trabajo, Periódicos murales, Rejillas de conceptos, Cuadros de doble entrada, Cuadros sinópticos, Fichas de trabajo (síntesis y/o resumen), Estudios de campo, Dibujos y/o collages.

Desempeño Actitudinal Consciente Uno o varios de los siguientes instrumentos: Guía de observación, Entrevista dirigida semiestructurada, Encuestas, Registro acumulativo, Lista de control, Escala de Likert, Escala de Thurstone, Escala de producción, Rúbrica.

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APOYOS DIDÁCTICOS COMPLEMENTARIOS

• Modelos matemáticos. • Ejercicios y problemas. • Calculadora y computadora. • Pizarrón, gis o marcador. • Proyector de acetatos. • Video proyector. • Hojas blancas y de colores. • Libro de Texto.

LISTA DE REFERENCIA

Bibliografía Básica

• ZILL, D. G. (1987). Cálculo con Geometría Analítica. México D. F., México: Grupo Editorial Iberoamérica • BALABASQUER, G. (1994). El concepto de derivada y sus aplicaciones, Madrid, España: Torrejón de Ardoz • LARSON, R. y HOSTETLER, R. (1995). Cálculo. Bogotá., Colombia: Mc Graw Hill • LEHMAN, M. (1986). Lecciones de Cálculo I, México D. F., México: Fondo Educativo Interamericano. • LEITHOLD, L. (1999). El Cálculo. 7ª. Ed. Estado de México, México: Oxford. • LEITHOLD, L. (2004). Cálculo con Geometría Analítica, 7ª. Ed. Estado de México, México: Editorial Harla. • PURCELL, E. J. (2001). Cálculo. 2ª. Ed., México D. F., México: Pearson Educación. • STEWART, J. (1999). Cálculo Diferencial e Integral. México D. F., México: Internacional Thomson Editores. • STEWART, J. y RAMOS, J. (2006). Cálculo Conceptos y Contextos. 3ª. Ed. México D. F., México: Thomson • SWOKOWSKI, E. W. (1982). Cálculo con Geometría Analítica. 2ª. Ed. México D. F., México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Bibliografía Complementaria

• GONZÁLEZ, V. M. (1997). Cálculo 4000 Problemas con respuestas. México D. F., México: Editorial Progreso. • BATSCHELET, E. (1998). Matemáticas básicas para biocientificos. Madrid, España: Dossat. • EDWARDS C. H. Jr. y PENNEY D. Z. (1997). Cálculo Diferencial e Integral. 4ª. Ed. México D. F., México: Pearson Educación. • FUENLABRADA, I. (2001). Cálculo Diferencial. 2ª. Ed. México D. F., México: Mc Graw Hill. • GRANVILLE, W. A (2007). Cálculo diferencial e integral. México D.F., México: Noriega Limusa • JARAUTA, E. (2000). Análisis matemático de una variable: fundamentos y aplicaciones. Barcelona, España: Ediciones UPC • PURCELL, E. y VARVEG, D. (1992). Cálculo Diferencial e Integral. 6ª. Ed. México D.F., México: Prentice Hall Iberoamericana. • ROMO, G. A. (1980). La derivada y sus aplicaciones, 2. México D. F., México: Limusa. • SPIVAK, M. (1998). Calculus. Cálculo infinitesimal. México D. F., México: Editorial Reverté. • STEWART, J. (1998). Cálculo. México D. F., México: Internacional Thomson Editores. • TOMEO, V. (2005). Problemas resueltos de cálculo en una variable. Madrid, España: Thomson. • WANER, S. y COSTENOBLE S. R. (2002). Cálculo Aplicado. 2ª. Ed. México D. F., México: Math Learning.

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Recursos Web

• http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node24.html • http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node25.html • http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node26.html • http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node28.html • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/default.htm • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/Introderivadas.htm • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas2.htm • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas3.htm • http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/25-1-u-derivadas.html • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/deriva1.htm • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/deriva2.htm • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/deriva3.htm

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