David Fiallos
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TRABAJO DE DINAMICA
DAVID FIALLOS
May 26, 2013
EJERCICIO 1
David Fiallos.1.- Un proyectil es disparado verticalmentehacia abajo a traves de un �uido
con una velocidad de 60m/s debido a la resistencia del �uido el proyectilexperimenta una desaceleracion igual a a = (−0.4v3)m/s2, donde V esta
en m/s determine la velocidad y la posicion del proyectil 4(s) despues de serdisparado
� VELOCIDAD.-
a =dv
dt; sabemosquelaV o = 60m/s
a =dv
dt= 0, 4v3
v�
60
dv
−0, 4v3=
t�
0
dt
1
−0, 4
v�
60
dv
v3=
t�
0
dt
1
−0, 4
v�
60
v−3 = [t]t0
(1
−0, 4
)[v−2
−2
]v60
= t
(1
0.8
)[1
v2
]v60
= t
(1
0.8
)[1
v2− 1
(60)2
]= t
1
[1
v2− 1
(60)2
]= 0, 8t
1
v2=
1
(60)2+ 0, 8t
v =
[1
602+ 0.8t
]−1/2
; cuandot = 4s
v = 0, 559m/s
� POSICION.-
V =dx
dt=
[1
602+ 0, 8t
]−1/2
⇒� x
0
dx =
� t
0
[1
602+ 0, 8t
]−1/2
dt
S =2
0, 8
[(
1
602+ 0, 8t)1/2
]40
⇒ S =2
0, 8
[1
602+ 0.8(4)
]1/2− 1
60
S = 4, 43m
EJERCICIO 2
1 El automovil viaja hacia el este con unarapidez constantede 36km/h. Cuando el au-tomovil A cruza la interseccion que se mues-tra,el automovil B parte del reposo desdeuna distancia 35 m al nortede la intersec-cion y se mueve hacia el sur con una acel-eracion constante de 1.2 m/s2. Determine laposicion, velcidad y aceleracion de B rela-tiva a A 5s despues de que A cruza la inter-secion.
� Movimiento Automovil A:
va =(36kmh
) (1000m1km
) (1h
3600s
)= 10m/s
aA = 0
vA = +10m/s
xA = (xA)o + vA = 10t
2
para t =5s se tiene:aA = 0
vA = 10i m/s
xA = 50i m
� Movimiento Automovil B:
aB = 1.2 m/s2
vA = (vB)o + at = 0− 1.2t
yB = (yB)o + (vB)ot+ 12aBt
2 = 35− 12 (1.2)t2
para t =5s se tiene:
aB = −1.2j m/s2
vB = −6j m/s
yB = 20j m
� Movimiento de B relativo A:
� rB/A = rB − rA = 53.9mx21.8o
� vB/A = vB − vA = 11.66m/sx31.0o
� aB/A = aB − aA = −1.2j m/s2
EJERCICIO 3
-Una particula p se mueve a lo largo de la �gura en un determinado instantede tiempo la V = 30i + 40j + 50k y su a = 8i − 10j − 20k. determinar en eseinstante:
la velocidad y su aceleracion e indicar si el mov. es acelerado o desacelerado.
~V = V. ~UT (1)
V =√
302 + 402 + 502 (2)
V = 70.71[ms
](3)
~Ut =~V
V=
30i+ 40j + 50k
70.71= 0.42i+ 0.57j + 0.707k (4)
aT = 3.39− 5.76− 14.14 = −16.508[ms2
](5)
aN =√a2 − a2T = 17.47
[ms2
](6)
aT = −16.508 y V = 70.71 (7)
3
mov.desacelerado (8)
EJERCICIO 4
- Una helice esta descrita por la funcion posicion r(t) = (acos(wt), asin(wt), b(wt))encontrar la velocidad y aceleracion.
x = acos(wt)y = asin(wt)z = b(wt)r(t) = (acos(wt), asin(wt), b(wt))
dr
dt= (acos(wt), asin(wt), b(wt))
[v] = (−awsin(wt), awcos(wt), bw))
[v] =√
(−asin(wt))2 + ((acos(wt))2
[v] = (abw)
dv
dt= (−awsin(wt), awcos(wt), bw))
[a] = (−aw2cos(wt),−aw2sin(wt), 0)
[a] =√
(−aw2cos(wt))2 + (−aw2sin(wt))2
[a] = aw2
EJERCICIO 5
Un disco que gira libremente en el sentido de las agujas del reloj con velocidadangular ω1se ve sometido subitamente
a un momento quqe le ocasiona una aceleracion constante en sentido opuestode 300 rpm cada segundo. El momento
se aplica durante 10 seg y cambia la velocidad del disco a 2000 rpm en sentidoopuesto al de las agujas del reloj.
Determinar:ω1 y calcular el numero total N de revoluciones (en ambos sentidos de
giro)que ha realizado el disco durante el intervalo de los 10 seg.α = 300rpm/segα = 5rev/seg2
ω2 = 2000rpmω2 = 33.33rev/seganalizando en una segunda fase del movimiento tenemos:θ2 = ωf2−ωo2
2α
4
θ2 = (33.33)2−(0)2
10 = 111.11rev
el tiempo transcurrido será:ωf = αt2 + ωot2 = ωf
α = 6.66seganalizando la primera fase:t1 = 10− t2t1 = 3.34segωf = αt2 + ωoωo=αtωo = 16.7rev/seg
θ1 = ωf2−ωo22α
θ1 = 27.88revN = θ1 + θ2N = 138.9revEJERCICIO 6
El carro viaja por una trayectoria curva de tal manera que su rapidez au-menta en, V = 0, 5 ∗ etDetermine las magnitudes de su velocidad aceleraciondespues que ha recorrido 18m partiendo del reposo�
dv =�
0, 5 ∗ etdtV = 0, 5 ∗ etdede de 0 a tV = 0, 5 [et − 1]�ds = 0, 5
�(et − 1)
s = 0, 5�
(et − t− 1)18 = 0, 5
�(et − t− 1)
t = 3, 7064segundosV = 0, 5
�(e3,7064 − 1)
V = 19, 9m/s)at = ˙V =0, 5(et)evaluado en t=3,7064at = 20, 35m/s2
an = v2
ϕ = 19,852
30
an = 13, 14m/s2a =√at2 + an2
a = 244, 2m/s2.EJERCICIO 7
La polea de un mecanismo electrónico gira a 160 rpm. Si una vez pulsado elinterruptor tarda 6 segundos en detenerse. Calcular la aceleración angular de lapolea, la aceleración tangencial de la periferia de la polea, el número de vueltasefectuadas hasta detenerse, la aceleración centrípeta y total a los 3 segundos.Se conoce que el diámetro de la polea es de 40 cm.
Siendo:f = 160
60 = 2, 67[rps]Entonces:ω = 2πfω = 2π (2, 67) = 16, 78[ rads ]
5
Durante los 6 segundos, la aceleración angular sera:α = ω
t
α = 16,786 = 2, 8
[rads2
]Para la aceleración tangencial, dado que D = 40 cm:R = D
2
R = 0,42 = 0, 2 [m]
De manera que:aT = αRaT = (2, 8) (0, 2) = 0, 56
[ms2
]Número de vueltas efectuadas durante los 6 segundos que dura el movimiento
:f = n
tn = ftn = (2, 67) (6) = 16, 02 [vueltas]Para la aceleracion centripeta a los 3 segundos de movimiento:ω1 = αt1ω1 = (2, 8) (3) = 8, 4
[rads
]Entonces:aC = ω2
1R
aC = (8, 4)2
(0, 2) = 14, 11[ms2
]Obtenidas la aC y aT , podemos obtener −→a a los 3 segundos de movimiento:−→a =
√(aC)2 + (aT )2
−→a =√
(14, 11)2 + (0, 56)2 = 14, 12[ms2
]EJERCICIO 8
REALIZAR LOS SIGUIENTES EJERCICIOS1.-Un proyectil es disparado verticalmente hacia abajo a travez con un �ujo
con velocidad inicial de 60 m/s debido a la resistencia de �uidos el proyectilexperimenta una desaceleracion a=-0,4v^3 m/s^2
donde v esta em m/s determine la velocidad y la posicion del proyectil 4 segdespues de cer disparado.
UN AUTOMOVIL DE PRUEBAS PARTE DE REPOSO Y VIAJA A LOLARGODE UNA PISTA RECTAACELERANDOCONRAZON CONSTANTE
DURANTE 10 SEG Y LUEGO DESACELERANDO A RAZON CON-STANTE TRACE LAS FRAFICAS V-T Y S-T DETERMINE EL TIEMPOT' REQUERIDO
PARA DETENER EL AUTOMOVIL.calculo de la velocidada=dv
dt dv=a*dt a=10m/s2
0<t<=10........................................................... .10seg<t<=t'�dv =
�10*dt.................................................. dv=a*dt a=-2
v-v(0)=10t..........................................................�dv =
�−2 ∗ dt
v=10t t=10seg.....................................................v=-2t+120 v=0v=100 m/s2........................................................t'= 120
2 =60'segcalculo de la posicion
6
v=drdt =dr=v*dt
0<t<=10seg.................................................................0<t<=60'seg�dr =
�10t ∗ dt..................................................
�dr =
�(−2t+ 120) ∗ dt
r-r(0)=10*t2-10t(0)............................................r-500=-t+120t-1100r=-5t2 ................................................................r=-t2+120t-600t=10seg................................................................t=60'segr=5^*(10)2.........................................................r=-602+120(60)-60r=500 metros........................................................r=3000 metrosEJERCICIO 9
Un ventilador gira con una velocidad correspondiente a una frecuencia de900 rpm. Al desconectarlo, su movimientopasa hacer uniforme retrazado,
hasta que se detiene por completo despues de dar 75 vueltasDETERMINAR:¾Cuanto tiempo trascure desde el momento en que se detiene el ventilador
hasta que se detiene por completo?FrecuenciaF = 900rpm
60seg = 155−1
Wo = (2π) (F ∗ rad)Wo = (2π)
(155−1rad
)= 30πrad
Numero de vueltas = N°:N ° = θ
2πradDespejando θ:θ = N ° ∗ 2πradθ = 75 ∗ 2πradθ = 150πradWf=Es 0 ya que es un movimiento retrazado y se detenga
θ =(Wf+Wo
2
)t
Reemplazando valores calculados y conocidos:Calculamos el tiempo:150πrad =
(0+30πrad
2
)t
150πrad = (15πrad) tt = 150πrad
15πradt = 10segEJERCICIO 10
Un movil se deplaza siguiendo una trayectoria recta al partir del reposo du-rante 10segundos. Se mueve con una aceleracion de 2.64m/s^(2) luego se mueve3minutos con velocidad constante y posteriormente frena 4.18m/s^(2) hasta de-tenerce. Determinar: a)La distancia total recorrida. b)El desplasamiento total,la direccion del movil y las componentes del desplazamiento.
t=10segv=ctea1=2.64ms2t=180sega2=4.18ms2
7
t1x1=180.25ma=3,6ms2vo = 0t=10segt2x2=xt ; ; t=180s ; v=cte ; a=4.9ms2 ; vf=36msx2=3.6ms2 180sx2=6480mt3 ; v=cte ; a=-4.97ms2 ; t= vo
a ; t=7.24svf=vo + at ; t= vo
a ; 364,47 ; t=7.47s
x3=vot 12 (−4.97ms2 )(7.24)2 ; x3=130.38m
xT=x1+x2+x3 ; xT=(180,25+6480+130.38)m ; xT=6790.63mEJERCICIO 11
La rotación del brazo OA de 0.9m alrededor de O se de�ne mediante la relacionθ = 0.15t2, donde θse expresa en radianes y t en segundos. El collarín B deslizaa lo largo del brazo de modo tal que su distancia desde O es r = 0.9 - 0.12t2,donde r se expresa en metros y t en segundos. Después de que el brazo OA hagirado 30° , determine.
a) la velocidad total del collarín. b) la aceleración total del collarín.c) la aceleración relativa del collarín con respecto al brazo.
SOLUCIÓN Tiempo al cual θ = 30°θ = 30°=0.524 radθ = 0.15t2
0.524=0.15t2
t=1.869s
Ecuaciones de movimiento donde t=1.869s
r = 0.9−0.12t2 = 0.481m θ = 0.15t2 = 0.524rad r = −0.24t = −0.449m/sθ = 0.30t
r = −0.24 = −0.240m/s θ = 0.30 = 0.300rad/s2
a) Velocidad de B. vr = r = −0.449m/s
vθ = r ˙θ = 0.481(0.561) = 0.270m/sv = 0.524m/s β = 31.0°b) Aceleracion en B.ar = r − rθ2= −0.240− 0.481(0.561)2 = −0.391M/S2
aθ = rθ + 2rθ= 0.481(0.300) + 2(−0.449)(0.561) = −0.359m/s2
8
a = 0.531m/s2 γ = 42.6°c) Aceleracion de B con respecto al brazo OA.aB/OA = r = −0.240m/s2hacia O.EJERCICIO 12
El moviemiento tridimensional de una particula se de�ne mediante el vectorposición r = (Atcost) i+
(A√t2 + 1
)j + (Btsent) k donde r y t expresa en pies
y segundos, respectivamente. Demuestre que la curva descrita por la particulase encuentra sobre la hiperboloide (Y/A)
2 − (X/A)2 − (Z/B)
2= 1 . Para A=3
y B=1.
� Calcular las magnitudes de velocidad y aceleracion en t=0.
demostración:
r = (Atcost) i+(A√t2 + 1
)j + (Btsent) k
Parametrizacion de la ecuacionx = (Atcost)cost = (x/At)ecuación 1y =
(A√t2 + 1
)t2 = (y/A)
2+ 1 ecuación 2
z = (Btsent)sent = (z/Bt)ecuación 3identidad
(cos2t
)+(sen2t
)= 1
igualamos ecuacion 1 y 3(x/At)
2+ (z/Bt)
2= 1
Despejamos t(x/A)
2+ (z/B)
2= t2ecuacion 4
igualamos ecuacion 2 y 4(Y/A)
2 − (X/A)2 − (z/B)
2= 1 DEMOSTRADO
velocidad: A=3 Y B=1.
v = dr/dt
r = (3tcost) i+(3√t2 + 1
)j + (tsent) k
v = 3 (cost− tsent) i+ 3(t/√t2 + 1
)j + (sent+ tcost) k
t=0
v = 3 (cos0− 0sen0) i+ 3(0/√
02 + 1)j + (sen0 + 0cos0) k
v=3 pies/seg
aceleracion:
a = dv/dt
v = 3 (cost− tsent) i+ 3(t/√t2 + 1
)j + (sent+ tcost) k
9
a = 3 (−sent− sent− tcost) i+ 3
(1/
√(t2 + 1)
3
)j + (2cost− tsent) k
t=0
a = 3 (−sen0− sen0− 0cos0) i+ 3
(1/
√(02 + 1)
3
)j + (2cos0− 0sen0) k
a=3.6 pies/seg*seg
EJERCICIO 13
Un motociclista esta en A, incrementa su rapidez a alo largo de la trayectoriavertical circular a razon v = (0.3t)piess ,
donde t esta en segundos. Si el motociclista parte del reposo en A, determinelas magnitudes de su velocidad y su aceleracion
cuando llega a B. d0A = d0B = 300at = dv
dt� t0
0.3t dt=� v0dv
v = 0.15t2
necesitamos el tiempo!!d = φrad(300)d = 314.16vt = ds
dt� t0vt dt=
� 314.146
0ds
0.05t3 = 314.16t3 = 314.16
0.05t = 18.45sv = 0.15(18.45)2
v = 51.06piessat = 0.3(18.45) = 5.54piess2
an = v2
d = (51.06)2
300 = 8.69piess2a =√at2 + an2
a =√
106.21a = 10.31piess2EJERCICIO 14
El automovil A viaja hacia el este con una velocidad constante de 36km/h.Cuando el automovil A cursa la interseccion que se muestra, El automovil Bparte del reposo desde una distancia de 35m al norte de
la interseccion y se mueve hacia el sur con una aceleracion constante de1.2m/s2. Determine la posisicion, velociadad, aceleracion de B relativa a 5Adespues de que A crusa la interseccion.
Abstract
36kmh
* 1000mkm
* 1h3600s
=10m/saA=0vA=10m/sxA= xA0+vAt= 10t
10
t=5saA=0xA=(10m/s)(5s)= 50maB=-12m/s2
vB=VB0+at=-12tyB=(yB0)+(vB0)t+
12aBt
2=35- 12(1,2)t2
t=5saB=-12m/s2
vB=-12m/s2(5s)=-6m/syB=35.
12(1,2m/s2)(5s)2=20m
rB+rA=rAB
rAB=53,9m α=21,8°
≮=21,8°β=568.20°vB=vA+vA
B
vAB
=11.66m/s
β=31.0°aB=aB+aA
B
aAB=12m/s2
EJERCICIO 15
Dos ruedas, en un cierto instante, giran a razón de 120 r.p.m. y 240 r.p.m.,siendo sus radios de 20 cm y 40 cm respectivamente. A cada una se le aplica unfreno y se detiene la menor en 16 s y la mayor en 8 s, ambas con movimientouniformemente acelerado.
� ¾En qué instante tienen ambas ruedas la misma velocidad angular?� ¾En qué instante, un punto de la periferia, tiene la misma velocidad lineal?.
� Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en dichos in-stantes.
� ¾Cuál es el ángulo girado por cada una de las ruedas?DATOS:T1 = 120rpm⇒ 4π radsegT2 = 240rpm⇒ 8π radsegt1 = 16segt2 = 8segr1 = 20cm⇒ 0.2mr2 = 40cm⇒ 0.4mCalculo en el momento se paran:ω1 = T1 + α1 ∗ t10 = 4π radseg + α1 ∗ 16seg
α1 =-π4radseg2
.....ω2 = T2 + α2 ∗ t20 = 8π radseg + α2 ∗ 8seg
α2 =-π radseg2
11
negativos por se frenanPara que tengan la misma velocidad angular:ω1 = ω2
4π radseg +(−π4
radseg2
)∗ t = 8π radseg +
(−π rad
seg2
)∗ t
t = 163 seg
Para que tengan la misma velocidad lineal:v1 = v2......v1 = ω1 ∗ r1v2 = ω2 ∗ r2......ω1 ∗ r1 = ω2 ∗ r20.2m ∗ 4π radseg +
(−π4
radseg2
)∗ t = 0.4m ∗ 8π radseg +
(−π rad
seg2
)∗ t
t = 487 seg
Aceleraciones tangenciales:at1 = r1 ∗ α1
at1 = 0.2 ∗(−π4
radseg2
)at1 = −0.157 m
seg2
.......at2 = r2 ∗ α2
at2 = 0.4 ∗(−π rad
seg2
)at2 = −1.257 m
seg2
Aceleraciones normales:an1 = r1 ∗ (ω1)
2
an1 = 0.2 ∗(
4π radseg +(−π4
radseg2
)∗ 16
3 seg)2
an1 = 10.31 mseg2
.........an2 = r2 ∗ (ω2)
2
an2 = 0.4 ∗(
8π radseg +(−π rad
seg2
)∗ 16
3 seg)2
an2 = 5.15 mseg2
Ángulos de giro:θ1(t) = σ + ω1 ∗ t+ 1
2 ∗ α1 ∗ (t)2
θ1(t) = 0 + 4π radseg +(−π4
radseg2
)∗ 16
3 seg ∗ t+ 12 ∗ −
π4radseg2 ∗ (t)2
θ1(t) = 4πt+ 12(−π4)t2.........θ2(t) = σ + ω2 ∗ t+ 1
2 ∗ α2 ∗ (t)2
θ2(t) = 0 + 8π radseg +(−π rad
seg2
)∗ 16
3 seg ∗ t+ 12 ∗ −π
radseg2 ∗ (t)2
θ2(t) = 8πt+ 12 (−π) t2EJERCICIO 16
Una particula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de radio 300mmsi su velocidad angular es ò=3t^2 [rad/s]donde t esta en segundos.
12
Determine las magnitudes de la velocidad de la particula y la aceleracioncuando ò=45º.
La particula parte del reposo cuando ò=0º
DATOS:r=300mmò=3t2(rad/s)ò=45º.ò=0º
DESARROLLO:dò=3t^2 dt�dò=
�3t2 dt
ò=3 t3
3ò=t3radcuandoò=45º=p
4rad
reemplazamos:p
4=t3
t= 3√
p
4[t = 0.9226s]r´ = r´´ =0ò´=3t2
ò´=3*(0.9226)2
[ò´ = 2.544rad/s]ò´´=6tò´´=6*(0.9226)[ò´´ = 5.536rad/s]Velocidad:VR= r,
VR=0Vò=r*ò´
Vò=0.3*(2.554)Vò=0.7661 m/sla magnitud de la velocidad es:V=√
(VR)2 + (Vò)2
V=√
(0)2 + (0.7661)2
V=0.766 m/sAceleracion:aT=r´´-r(ò)2
aT=0-0.3*(2.554)2
aT=-1.957 m/s2
aò=r*ò´´ + 2r´ò´
aò=(0.3)*(5.536) + 0aò=1.661 m/sla magnitud de la aceleracion es:a=√
(aT )2 + (aò)2
13
a=√
(−1.957)2 + (1.661)2
a=2.57 m/s2
EJERCICIO 17
en un movimento circular de radio r= 6.5 m la velocidad angularviene dada por ω = 2 + 3t .
a) ¾se trata de un movimiento circular uniformemente acelerado?¾porque?b)calcular la aceleracion tangencial y la acaleracion normal del punto movil
en el instante t=3sc) determina la longitud del arco recorrido en los dos primeros segundos del
movimiento.
a)sì,porque la velocidad angular crece linealmente con el tiempoα = dω
dt = 3rads.
b)la velocidad de una particula commcu cuy aposicion viene de�nidapor r = Rcosωt+Rsenωt su velocidad V = dr
dt = −ωRsenωt+ ωRcosωt
su modulo sera : [V ] = 2√ω2R2sen2ωt+ ω2R2cos2ωt
=√ω2R2
=ωR
la acelaracion tangencial es: at = αR = 3 ∗ 6.5 = 19.5ms
la aceleracion normal es : an = V 2
R
an = ω2R2
Ran = ω2Rsustituyendo para t=3san = (2 + 3 ∗ 3)2 ∗ 6.5an == 786.5ms
c)El arco recorrido es igual al producto del angulo barrido por lalongitud del radio: I = fR f = f0+ω0t
12αt
2
f = 0 + 2 ∗ 2 + 123 ∗ 22
f = 10radsustituyendo : I = 10 ∗ 6.5I = 65mEJERCICIO 18
las cajas de la �gura se desplazanalo largo de la transportadora industrial.Si la caja comienza a moverse del reposo en A e incrementa su rapidez de modoque
at =(0.2t)m/s2 donde t esta en segundos.� ¾ Determine la magnitud de su aceleracion cuando llege al punto B?
14
SOLUCIONSistema de coordenadas:la posición de la caja en cualquier instante se de�ne con respecto al punto
�jo A mediante la coordenada de la trayectoria o posición S.Se tiene que determinar la aceleración en B con el origen de los n, t en este
punto.Aceleración:Para determinar los componentes de la aceleración at = v.y an = v2
p , primeroes necesario formular v y v. de modo que puedan evaluarce en el punto B.
comovA = 0 cuando t = 0. entoncesat = v. = 0.2t� v0dv =
� t0
0.2tdtv = 0.1t2
El tiempo requerido para que la caja llege al punto B se determina teniendoen cuenta que la posición de B es Sb = 3 + 2Π(2)/4 = 6.142m y como
SA = 0 cuando t = 0.(aB)t = v. = 0.2(5.690) = 1.138ms2vB = 0.1(5.69)2 = 3.238msEn B, pB = 2m de modo que
(aB)n =v2BpB
=(3.238m
s )2
2m = 5.242ms2
la magnitud de aB =√
(1.138ms2 )2 + (5.242ms2 )2 = 5.36ms2EJERCICIO 19
Una partícula gira con M.C.U.V. partiendo del reposo y alcanza unarapidez de
40 cm/s en 8s. Si el radio de la trayectoria circular es 10cm. halle aceleración de la
partícula (en cm/s²) en el instante en que su velocidad es 10cm/s.
DATOS
V o = 0
V f = 40cm
st = 8s
V t = 10cm
s
R = 10cm
solución
V f = V o+ at ∗ t
40cm = at ∗ 8s
at = 5cm
s2
15
ac =V t2
R
ac =102
10
ac = 10cm
s2
a =√a2t + a2c
a =√
52 + 102
a = 11,18cm
s2
EJERCICIO 20
El movimiento de una particula es de�nido por las relaciones r = 2/2−cos(θ)y θ = πt, donde t y j se espresan en segundos y radianes respectivamente.
Determine:a) la aceleracion y la velocidad de la particula cuando t = 0 sb) el valor de j para la cual la velocidad es maxima..r = (2/2− cos(πt))r´=(-2π ∗ sen(πt))/(2− cos(πt))2
r´´=(2π)^2 * 2cos(πt)−1−sen2(πt)(2−cos(πt))3
a) t=0;r=2m; θ = 0r´=0; θ´=π radsr´´=-2π2m
s2 ; θ´´=0.v = r´er+rθ´eθ= (2)(π)eθv = (2πms )eθ.a = (r´´-rθ2)er+ (rθ´´-2r´θ´)eθa = −(4π2m
s2 )b)θ = 0;t=0.5 sr=1 mr´=-π2
ms
θ = π2 rad/s
θ´=πrad/s
16
θ´´=0v = −(π2
ms )er + (πms )eθ
a = −(π2
2mss )er − (π2m
s2 )eθEJERCICIO 21
UNA JUGADORA DE BALONCESTO LANZXA UN TIRO CUANDO SEENCUENTRA A 5M DEL TABLERO . SI LA PELOTA TIENE VELOCIDADINCIAL A UN ANGULO DE 30 GRADOS CON LA HORIZONTAL , DETER-MINE EL VALOR Vo CUANDO d ES IGUAL A) 228 mm B) 430 mm , CONg= 9.81 y Yo = 2 y Y= 3.048
X= (V o) cosα) t o t= XV o∗cosα
Y=Yo+Vo*senα− 12 ∗ gt
2
t2= 2(Y o+X∗tanα−Y )g
A) sea d=228 mm 1m1000mm
d=0.288 msea x=5-0.288=4.772 mt2=
2(2+4.772∗tan300−3048)9.81
t=0.590 sVo= 4.772
0.590∗cos300Vo=9.34 m
sB) sea d=430 mm 1m
1000mmd=0.430 msea x=5-0.430=4.57 mt2=
2(2+4.57∗tan300−3048)9.81
t=0.569 sVo= 4.772
0.569∗cos300Vo=9.27 m
sEJERCICIO 22
Un bote esta viajando por una curva circular que tiene un radio de 100 pies.Si su rapidez en t = 0 es de 15piess y esta aunmentado a v = (0.8t)piess2 .DETERMINEA) La magnitud de su aceleracion en el instante t = 5s yB) Halla el tiempo para el cual el bote alcanza una aceleración de 31.29piess2DESARROLLOa)
v = dt = dvdt
� t0
0.8tdt =� v15dv
0.8t2
2 = v − 15
v = 0.4t2 + 15 Evaluamos cuando t = 5s y v = 25piess
dn = v2
r= 252
100 = 625100 = 6.25piess2
17
a =√at2 + an2 =
√16 + 39.06
a =√
55.06 = 7.42piess2
b)
a2 = at2 + an2
31.292 = (0.8t)2 +[v2
r
]231.292 = (0.8t)2 +
[0.16t4+12t2+225
100
]2Ingresamos la Ecuacion a la Calculadora
y el resultado es
t = 10s
EJERCICIO 23
LA VELOCIDAD DE UNA PARTICULA ES V=Vo(1-Sen (pt/T)) SABI-ENDO QUE LA PARTICULA PATE DEL ORIGEN CON UNA VELOCIDADINICIAL Vo.
a) POSICION POR SU ACELERACION EN t=3Tb)VELOCIDAD PROMEDIO T = 0 A t = T.a)dxdt = v = Vo (1- senptT )x=Xo=0t=0.� x0dx =
� t0vdt
x=[V ot+ V oTpcosptT ]
t0
x=Vot+V oTp
cosptT -V oTp
.SEA:t = 3TX=3VoT+V oT
pcos(3p)-V oT
p
x=(3- 2p)VoT
x=2.36VoT //.a = dv
dt = −pV oT cosptT
a=−pV oT cos3p
a=pV oT
.b)t = T
18
X1 = VoT+V oTp
cosp-V oTp
X1= VoT(1- 2p)
.v=Ax
At = X1−X2T
v=(1- 2p)Vo
v=0.363Vo//EJERCICIO 24
SE CONTRUYE AL LADODE LAS CARRETERAS DEMONTAÑA PARAPERMITIR QUE LOS VEHIVULOS CON FRENOS DEFECTUOSOS PARADETENERCE , UN CAMION ENTRA A UNA RAMPA DE 250m A UNA VE-LOCIDAD Vo ALTA Y VIAJA A 180m EN 6s EN DESACELERACION CON-STANTE ANTES DE SU VELOCIDAD SE REDUCE A VO/2 SUPONIENDOLA MISMA DESACELERACION CONSTANTE, DETERMINAR :
A) EL TIEMPO ADICIONAL PARA QUE EL CAMION SE DETENGAB) LA DISTANCIA ADICIONAL RECORRIDA POR EL CAMIONU [= V o+ aT ]a = V−V o
TX = Xo+ V oT + 1
2aT2
ENTONCESX=Xo+VoT+ 1
2aT2
X=Xo+ 12 (V o+ V )T
X= 12 (V o+ V )T
V= 12V o y X6 = 180m
aT T=6s180= 1
2
(V o+ 1
2V o)
(6)=4.5Vo y V o= 1804.5 = 40ms
V= 12V o = 20ms
ENTONCESa= 20−40
6 = −103 = −3.33
V=40-3.33X=40+40T- 12 (3.33)T 2
40-3.33Ts=0 Ts=12sX=0+(40) (12)− 1
2 (3.33) (12)2
= 240mtiempo adicional para detenerce 12s-6s=6stiempo adicional para parar 240m-180m=60mEJERCICIO 25
Un automovil de carreras C viaja alrededor de la pista circular horizontalque tiene un radio de 300 [m].Si el automovle aumenta su rapidez a la razónconstante de
a = 7[m/s2
], partiendo del reposo determine el tiempo necesario para que
alcance una aceleracion de 8[m/s2
]¾Cuál es su rapidez en este instante?
TiempoLa velocidad como función del tiempo:v = v0 + (at)c ∗ tv = 0 + 7tEntonces tenemos que:
19
an = v2
r = (7t)2
300 = 0.163t2[m/s2
]El módulo de la aceleracion es:a =
√a2t + a2n
8 =
√(7)2 + (0.163t2)
2
El tiempo necesario para que la aceleración alcance 8[m/s2
]será:
0.163t2 =
√(8)
2 − (7)2
t = 4.87sLa RapidezLa rapidez en el tiempo t = 4.87s es:v = 7t = 7 ∗ 4.87 = 34.1 [m/s]EJERCICIO 26
Un motociclista esta en A, incrementa su rapidez a alo largo de la trayectoriavertical circular a razon v = (0.3t)piess ,
donde t esta en segundos. Si el motociclista parte del reposo en A, determinelas magnitudes de su velocidad y su aceleracion
cuando llega a B. d0A = d0B = 300at = dv
dt� t0
0.3t dt=� v0dv
v = 0.15t2
necesitamos el tiempo!!d = φrad(300)d = 314.16vt = ds
dt� t0vt dt=
� 314.146
0ds
0.05t3 = 314.16t3 = 314.16
0.05t = 18.45sv = 0.15(18.45)2
v = 51.06piessat = 0.3(18.45) = 5.54piess2
an = v2
d = (51.06)2
300 = 8.69piess2a =√at2 + an2
a =√
106.21a = 10.31piess2
20