Deber Matematicas
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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE CHIMBORAZOMAESTRIA EN SISTEMAS DE CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
NOMBRE: David Chicaisa
1) El estudio de un circuito eléctrico consistente en una resistencia, un condensador, un inductor y una fuerza electromotriz (véase la figura), llegamos a un problema con valores iniciales de la forma:
Donde L es la inductancia en henrios, R es la resistencia en ohms, C es la capacidad en faradios, E (t) es la fuerza electromotriz en voltios, q(t) es la carga en coulombs sobre el condensador en el instante t e I = dq/dt es la corriente en amperios. Determine la corriente en el instante t si la carga inicial sobre el condensador es nula, la corriente inicial es nula, L = 10H, R = 20, C = (6260)-1 F y E(t) = 100V .
Ld2qdt
+R dqdt
+1Cq=E( t )
d2qdt
+2dqdt
+626q=10
P(r ):r 2+2 r+626=0
r=−2±√22−4 (1)(626 )2
r=−1±25 iqg=C1e
−tCos(25 t )+C2e−t Sen(25 t )
q p=A
q p' =0pp''=0A626=10A=5313
q ( t )=qg+q p
q ( t )=C1e−tCos(25 t )+C2e
−t Sen(25 t )+5313
q (0)=C1+5313
=0∴C1=−5313
I ( t )=q ' ( t )=−C1e−tCos(25 t )+25C1e
−t Sen (25 t )−C2e−tSen (25 t )+25C2e
−tCos (25 t )I (0)=−C1+25C2=0
C2=C125
=11565
q ( t )=−5313
e−tCos(25 t )+11565
e−tSen (25 t )+5313
I ( t )=q ' ( t )=5313
e−tCos (25 t )+125313
e−t Sen (25 t )−11565
e−t Sen(25 t )+5313
e−tCos (25 t )
3) En un capacitor, la carga eléctrica sale a una tasa que es proporcional a la carga instantánea del capacitor. Inicialmente la carga es de 5 Coulomb, y en 20 minutos sale
un tercio de la carga inicial. >En cuanto tiempo quedara solo un Coulomb en el capacitor?
DATOS:
t= 0q= 5 CoulombV(0)=0
t = 20 minut0sq = 5/3 Coulomb
t=?q = 1 Coulomb
R.I + qc = V
R.dqdt
+ qc = V ECUACION LINEAL 1er ORDEN, 1er GRADO
V(0)= 0
R.dqdt
= qc
R.C ∫ dqdt = ∫ dt
R.C.ln(q) + K = - t
t = 0 q = 5 Coulomb
R.C.ln(5) = - K K = - R.C.ln(5)R.C.ln(q) - R.C.ln(5) = - t para todo t
t = 20 minutos q = 53 Coulomb
R.C.ln(53) - R.C.ln(5) = - 20
R.C [ ln(535)] = - 20
R.C [ ln(13)] = - 20
R.C = 20ln 1/3
t = ? minutos q = 1 Coulomb
R.C.ln(1) - R.C.ln(5) = - t
R.C (ln(1) - R.C.ln(5)) = - t
t = - R.C (ln(15))
t = 20ln 1/3* ln(1
5)
t = 29.29 minutos
5) Un circuito consta de un inductor de 2 H en serie con una resistencia de 40. En t = 0 (cuando la corriente vale cero) se aplica al circuito una fem dada por 100sen(10t). Encontrar el valor de la corriente para cualquier instante.Datos:Fem=100*Sen*(10t)R=40L=2HEncontrar la corriente en Cualquier instante.
Ldidt
+Ri=E ( t )Ecu .diferencial .
2didt
+40 i=100∗Sen (10 t )
didt
=40i+100∗Sen (10 t)
2
didt
+20 i=50∗Sen (10 t )
Factor Integrante:
FI=e∫p (x)dx=e∫20dt=e20 t
e20 t [di+20idt=50∗Sen (10 t )dt ]
2020
∗i e20 tdt=50∗Sen (10 t )∗e20 tdt
∫ [ i∗e20 t ]dt=∫50∗Sen (10 t )∗e20 t
i∗e20 t=50∫ e20 t∗Sen (10 t )dt
INTEGRAR POR PARTES:
∫ e20 t∗Sen (10 t )dt
LA FORMULA ES:
∫udv=u . v−∫ vdu
u=Sen(10t) du=10*Cos(10t)dt
dv=e20 tdt v=∫e20t dt= e20 t
20
e20 t
20∗Sen (10 t )−∫ e20 t
20∗10∗cos (10 t )dt
e20 t
20∗Sen (10 t )−10
20∫e20t∗cos (10 t )dt
Nuevamente integrar por partes:
∫ e20 t∗cos (10 t )dt
u=Cos(10t) du=10(-Sen(10t))=-10Sen(10t)dt
dv=e20 tdt v=∫e20t dt=¿ e20 t
20¿
e20 t
20∗cos (10 t )−∫ e20 t
20(−10Sen (10 t ) )dt
e20 t
20∗cos (10 t )+0.5∫ e20 t∗Sen (10 t )dt
e20 t
20∗Sen (10 t )−0.5 e
20 t
20cos (10 t )−∫ e20t∗Sen(10 t)dt
Remplazo:
∫ e20t
20Sen (10t )=¿ e
20t
20sen (10 t )−0.5 e
20 t
20cos (10t )−∫ e20 t Sen (10 t )dt ¿
2∫ e20t Sen (10 t )= e20 t
20Sen (10 t )−0.5
20e20t cos (10t )
∫ e20 tSen (10 t )dt= e20 t
40Sen (10 t )− 1
80e20t cos (10 t )+c
i∗e20 t=50[ e20 t40 Sen (10 t )− 180e20t cos (10 t )]
i∗e20 t=5040 [e20 tSen (10 t )− 1
40e20t cos (10t )]
i(t)=1.25*Sen(10t)-0.03125*Cos(10t)+C*e−20 t
Para i(0)=0
0= - 0.03125+C
C=0.03125
Remplazo:
i(t)=1.25*Sen(10t)- 0.03125*Cos(10t)+0.03125e−20 t
6) Se aplica una fuerza electromotriz de 30V a un circuito en serie LRcon 0.1henrysde inductancia y 50ohmsde resistencia. Determine la corriente i (t ); si i (0 )=0 : Determine la corriente conforme t→0.
E ( t )+ L didt
+R( i)=0
Ldidt
+R (i)=E(t)
0.1didt
+50 i=30
didt
+500 i=300
dydt
+P ( x )=Q ( x )
didt
+500 i=300
P ( x )=500Q ( x )=300
F.I. : e∫ P ( x )dx=e∫500dt=e500t
e500t [di+500 idt=300dt ]
e500t di+500 i e500 tdt=300e500tdt
[500500 ie500t dt ]'
=300 e500 tdt
[ i e500 tdt ]'=300e500 tdt
∫ [ i e500tdt ]'=∫300e500tdt
i e500 t=300500
e500 t+C
i (t )=35e500t
e500t+ Ce500t
i (t )=35+Ce−500 t
i (t )=0 La corriente del circuito es 0
i (t )=35+Ce−500 t
0=35+C
C=−35
t→0
i (t )=35−35e−500 t
t→∞
i (t )=35
8) Se aplica una fuerza electromotriz de 100 V a un circuito en serie RC en el que la resistencia es de 200 hms y la capacitancia de 104 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) = 0. Encuentre la corriente i (t).
Datos:V= 100 VR= 200 hmsC=104 faradsq(t)= ?q(0)=0i(t)=?
q ' (t )=0+0−12e
120800
t
q (0 )=0
q=10400+C
v (t )=R ( t ) . i ( t )
v (t )=R ( t ) . q ' (t )+ q ( t )C
v (t )=Rq ' (t )+ R (q )c
100=200q' ( t )+ 1104
q (t )
200dqdt
+ 1104
q=100
dq= 120800
qdt=12dt
FI=e∫
120800
dt
¿¿
FI=e
120800
¿t¿
e1
20800tdq+ 1
20800e
120800
tqd ( t )=1
2e
120800
tdt
[u . v ] '=u . v '+u ' . v
∫ [e 120800
t. q ]'=∫ 1
2e
120800
tdt
e1
20800tq=20800
2e
120800
t+C
q (t )=10400+ C
e1
20800t
R ( t ) . i (t )=R (t ) . q ' ( t )+ q ( t )C
i (t )=q' (t )+ q ( t )R (t ) .C
i (t )=−12e
120800
t
+
10400+ C
e1
20800t
R (t ) .C
9) Una resistencia de 4Ω y un inductor de 1H se conectan en serie, suministrando un voltaje de 100e−4 t cos (50 t ) . Encontrar i(t) si i(0)=0
DATOS
R=4Ω
L=1H
E ( t )=100e−4 t cos (50 t)
i (t ) si i (0 )=0
Ldidt
+Ri=E (t)
didt
+4 i=100e−4 t cos (50 t)
factor integrante e∫p ( x )dx
→e∫4 dt→e4 t
r+4=0→r1=−4
y= yg+ yp i ( t )=itr (t )+ips(t)
yg=C1e−4 t=itr (t )=C1 e
−4 t
yp=ips ( t )= 1
e∫ p ( x )dx∫e∫ p ( x )dx∗Qx
ips (t )=e−∫4 t∫ e4 t∗100 e−4 t cos (50 t )dt
ips (t )=100e−4 t
50∫cos (50 t )(50)dt
ips (t )=2e−4 t sen (50 t)
i (t )=C1 e−4 t+2e−4 t sen (50 t)
→i ( t ) sii (0 )=0
0=C1 e−4 (0)+2e−4 (0 ) sen (50∗0 ) ∴0=C1
i (t )=2e−4 t sen (50 t)
10) Se conecta una resistencia de 20 con un capacitor de 0.01F y una fem 40 e3 t+20 e6 t. Si Q(0) = 0. Hallar el voltaje máximo en el capacitor.
Datos.
R= 20 Ω.C= 0,01 FFem= 40 e−3 t+20e−6 t
q(0)= 0
Desarrollo.
R∗q ' t+1C
∗qt=Et
20q '(t )+100q(t )=40e−3 t+20e−6 t
20(q' (t )+5q( t ))=40e−3 t+20e−6 t
q '( t )+5 q(t )=40 e−3 t+20e−6 t
20
q '( t )+5 q(t )=40 e−3 t
20+ 20e
−6 t
20
q '( t )+5 q(t )=2e−3 t+e−6 t
Igualamos la ecuación a 0
q '( t )+5 q(t )=0
dqdt
+5q( t )=0
Despejamos dq
dqdt
=−5q (t )
dq=−5q (t ) dt
Integramos para obtener el valor de “q”
∫ 1q (t )
dq=∫5dt
ln q (t )=−5 t+K
q(t )=e−5 t+K
q(t )=e−5 t∗ek ek=Z
q(t )=Z∗e−5 t
Obtenemos la primera derivada de la expresión
q '=Z ' e−5 t−5Z e−5t
Reemplazamos en la ecuación inicial
Z ' e−5 t−5Z e−5 t+5Z e−5 t=2e−3 t+e−6 t
Z'=2e−3 t+e−6 t
e−5 t
Z'=2e−2 t+e−t
∫Z '=∫2e2t+∫ e−t
Z=e2t−e−t
Reemplazamos
q(t )=(e2 t−e−t )∗e−5 t
q(t )=e−3 t−e−6 t
Caída de voltaje en el capacitor
V c=1C
∗q(t)
V c=10.01
∗(e¿¿−3t−e−6 t)¿
V c=100e−3 t−100e−6 t