DEFINICIÓN
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DEFINICIÓN. Un sólido rígido posee movimiento esférico respecto de un sistema de referencia, S 1 , cuando se mueve de forma que uno de sus puntos permanece fijo en S 1. La rótula esférica es una forma habitual de materializar un movi- miento esférico. - PowerPoint PPT Presentation
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DEFINICIÓN
Un sólido rígido posee movimiento esférico respecto de un sistemade referencia, S1, cuando se mueve de forma que uno de sus puntospermanece fijo en S1.
• La rótula esférica es una forma habitual de materializar un movi- miento esférico.
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• Otra forma de conseguir un movimiento esférico es utilizar suspensiones como las que se emplean en algunos monta- jes de giróscopos.
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Velocidades y aceleraciones Al existir un punto fijo permanentemente, el
segundo invariante es nulo y el e.i.r. pasa por el punto fijo en todo instante.
El torsor cinemático en el punto fijo se reduce a la rotación instantánea ω.
La velocidad y aceleración de un punto genérico son:
siendo O el punto fijo. Los axoides fijo y móvil son conos con vértice
común en el punto fijo (conos de Poinsot).
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Movimiento esférico de triedros
• Punto fijo, O, origen de S1
(sistema de ref. cartesiano y ortogonal)• S, sistema de ref. cartesiano y ortogonal
solidario del sólido rígido (σ). • O, origen de S.
Suelen adoptarse las siguientes hipótesis:
De esta forma, el movimiento de σ respecto de S1 es el mismo que el del triedro móvil (S) respecto del triedro fijo (S1). x1
y1
z1
x
y
z
O
σ
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Posición relativa entre dos triedros con vértice común
Para establecer la posición de S (triedro móvil)respecto de S1 (triedro fijo) pueden utilizarse losángulos de Euler:
• ángulo de rotación propia ψ (que se lee “psi”)
• ángulo de precesión (que se lee “fi”)
• ángulo de nutación θ (que se lee “zeta” o “zeta griega”)
En las figuras siguientes se ilustran estos ángulos y cómopermiten pasar desde la posición de S coincidente con S1
a una posición arbitraria de S.
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x1
y1
z1
x
y
z
O
Posición inicial: S coincide con S1
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x1
y1
z1
x
y
z
Primer giro:alrededor de Oz
O
Ángulo de precesión:
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Segundo giro:alrededor de Ox
x1
y1
z1
x
yθ
z
θ
O
Ángulo de nutación:
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x1
y1
z1
x
y
θ
z
θψ
ψ
O
Tercer giro:alrededor de Oz
Ángulo de rotación propia: ψ
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x1
y1
z1
x
y
θ
z
θψ
ψ
O
Ángulos de Euler
Sobre cada una de las rectas queque han sido posiciones transito-rias de algún eje coordenado, se definen unos sentidos mediante los vectores unitarios indicados.
n
u
u1
El más significativo de los tres
es el vector n que orienta lalínea de nodos (L.N.).
L.N.
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x1
y1
z1
x
y
θ
z
θψ
ψ
O
Triedro de Euler
Además de los triedros fijo y móvilconsiderados, también se utiliza eltriedro de Euler que no es rígidoni ortogonal.
n
u
u1
La línea de nodos, intersección delos primeros planos coordenados(móvil y fijo) queda orientada posi-tivamente por
L. N.
u1
Se representa en verde en la figura.
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x1
y1
z1
x
y
θ
z
θψ
ψ
O
n
u
L.N.
u1
Definiciones
Es importante recordar
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MATRICES de PASO
Cada uno de los giros que constituyen una etapa para al-canzar la posición genérica del sistema móvil respecto deldel sistema fijo, viene definido por una matriz ortogonal, 3x3, que notamos para cada etapa mediante el ángulo res- pectivo:
Las matrices son las siguientes:
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uk1θ
u1θ
k
n
i1n
j1
u1k1
n
u
iψ
k
ψj
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MATRIZ GENERAL
La matriz total que relaciona ambos sistemas es:
Como la matriz total y las matrices parciales son ortogonales,las matrices inversas coinciden con las transpuestas por lo que:
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ROTACIÓN INSTANTÁNEA Y SUS COMPONENTES
La rotación ω del sólido (triedro móvil) respecto delsistema fijo (triedro fijo) es un vector que, en general,varía en el tiempo en ambos triedros y también en labase de Euler.
Esto determina que, en general, las componentes de ω varíen en el tiempo en cada una de las tres bases.
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ROTACIONES de EULER
Las componentes de ω en la base de Euler se conocen como rotaciones de Euler y se denominan:
nutación,
precesión,
rotación propia,
x1
y1
z1
x
y
θ
z
θ ψ
ψ
O
n
u
L.N.
u1Estas rotaciones se emplean ennumerosas aplicaciones técnicas:giróscopos, robots y manipulado- res, sólidos libres (aviones, saté- lites, cohetes,..), etc.
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RELACIÓN entre las COMPONENTES de ω en DISTINTAS BASES
La relación entre las componentes en las bases ortonormales se obtienea partir de las matrices ya definidas, en la forma:
La relación entre las anteriores y las rotaciones de Euler determinan
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Cuando el ángulo de nutación es 0º o 180ºla línea de nodos queda indeterminada ytambién los otros ángulos y rotacionesde Euler. La posición del sistema mó-vil S no resulta completamente defi-nida respecto al sistema fijo S1 pormedio de los ángulos de Euler.Esta singularidad es evitableal considerar el movimientono en un instante sino durante un intervalo temporal. La inde-terminación se resuelve, en general, atendiendo a la continui-dad de las rotaciones de Euler en el transcurso del movimiento.
SINGULARIDADES
x1
y1
z1
x
y
z
O
ω
?
?
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Los ángulos de Euler en la mano
AnimaciónEULER
Cálculos EULER
(applet preparado por el prof. J.M. Díaz de la Cruz)
(hoja de cálculo elaborada por el prof. A.M. Sánchez Pérez)
