DEFINICIÓN DE DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA1

Hasta el momento, de una función expresada

algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:

• Dominio

• Cortes de la gráfica con el eje X y el eje Y

•Continuidad

•Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

• Intervalos de crecimiento / decrecimiento

• Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos

mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas

tangentes:

LA IMPORTANCIA DE LAS TANGENTES

m=0

m=0

m<0

m>0m<0 En los puntos de

máximo o mínimo, la

recta tangente es

horizontal ( es decir,

la pendiente es 0)

En los tramos de

crecimiento la recta

tangente tiene pendiente

positiva, en los de

decrecimiento la tiene

negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la

recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a.

y=-3/2x-24

y=-4

y=3

y=1,2x+1,5

y=-1,3x+13

La derivada de la función f en a se denota con el

símbolo f ‘ (a), que se lee “f prima de a”

f ’( -4.5)= -3/2 porque la tangente

en el punto de abscisa 4.5 tiene

pendiente -3/2.

f ’(-2)= 0 f ’(4)=0

f ’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

Conocidos dos puntos de

la recta tangente puedo

calcular su ecuación.

(1,-1)

(3,2) y=mx+n

Pasa por (1,-1)

-1=m+n

Pasa por (3,2)

2=m·3+n

Resolviendo el sistema:

y= 3/2 x - 5/2

De esta manera f ’(3)=3/2

¿Cómo calcular la recta tangente en un punto?

Lo anterior es muy largo

pues lo único que me

interesa saber es la “m”.

Para calcularla hay una

manera muy fácil:

(1,-1) )=(x0,y0)

(3,2)=(x1,y1)

De esta manera f ’(3)=3/2

1 0

1 0

2 ( 1) 3

3 1 2

y ym

x x

- - -= = =

- -

¿Cómo calcular la recta tangente en un punto?

1 0

1 0

y ym

x x

-=

-

1 0

1 0

( ) ( )f x f xm

x x

-=

-

O LO QUE ES LO MISMO:

Nos proponemos ahora calcular la pendiente de la recta t

tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos

el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su

pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?

Resolvamos la cuestión en varias etapas.

A(a,f(a))

Recta t

Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de

tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o

izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h

sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica

P((a+h), f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las

coordenadas de los dos puntos A y P.

h

f(a+h)-f(a)

( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

a h a h

+ - + -= =

+ -

Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a.

De esta forma:

A

a a+h

P

h 0

A

a a+h

P

h 0

P está muy próximo a A

La secante AP “casi” se confunde con la tangente t

La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t

Ahora bien, el valor de h no puede

ser 0, aunque sí todo lo pequeño

que se quiera. Y aquí interviene el

concepto de límite.

A

a a+h

P

P está muy próximo a A

La secante AP “casi” se confunde con la tangente t

La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t

Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2

( )2

22

2 4 4(2 ) 1 0,25

4 4

(2) 1

h h hf h h h

f

ìï + + +ïï + = = = + +ïíïïï =ïî

* La pendiente de la recta tangente

a la función en el punto x=2 es 1,

por lo que la recta tangente a mi

función en x=2 es:

'(2) 1f =f(x)=x2/4

( ) '( )( )y f a f a x a= + -

1 1( 2)y x= + -

1y x= -

* Además como la

derivada es +, esto

indica que cerca de

x=2 la función es

creciente.

(x0,y0) y=y0+m(x-x0)