DEFLECCION
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DEFLEXIONES Se entiende por deflexión aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas. Para determinar la deflexión se aplican las leyes que relacionan las fuerzas y desplazamientos utilizando dos tipos de métodos de cálculo: los geométricos y los de energía. Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y leyes constitutivas del material (elásticolineal). Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía y se combinan con las leyes constitutivas del material. Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, las deformaciones por esfuerzos axiales en columnas de marcos y las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos no dejan de ser importantes. En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen. Trazado tentativo de la curva elástica Se denomina por curva elástica, la curva que representa la deformada del elemento en su líneacentroidal. En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos. Antes de trazar un diagrama de momentos se debe definir una convención de momentos positivos o negativos según la concavidad que estos produzcan en el elemento. En elementos horizontales se puede asumir la siguiente convención, que coincide con dibujar los momentos para el lado que producen tracción. Para los elementos verticales se puede adoptar cualquier convención. Se sugiere que siempre se dibujen los diagramas de momento por el lado de tracción y de esta manera se sabe como es la concavidad. Clases de curvaturas en apoyos y en juntas: Articulación: Tiene 1 grado de libertad libre, correspondiente a la rotación. Rodillo: Tiene dos formas de moverse, rotación y desplazamiento paralelo a la superficie. Las rotaciones tienen la misma convención que los momentos en las ecuaciones estáticas, positivo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
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17/4/2015 DEFLEXIONES
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DEFLEXIONESSeentiendepordeflexinaquelladeformacinquesufreunelementoporelefectodelasflexionesinternas.Paradeterminarladeflexinseaplicanlasleyesquerelacionanlasfuerzasydesplazamientosutilizandodostiposdemtodosdeclculo:losgeomtricosylosdeenerga.
Mtodosgeomtricos:aplicacindirectadeecuacionesdeequilibrio,ecuacionesdecompatibilidadyleyesconstitutivasdelmaterial(elsticolineal).
Mtodosdeenerga:enestosmtodoslasecuacionesdeequilibrioodecompatibilidadsereemplazanporunprincipiodeenergaysecombinanconlasleyesconstitutivasdelmaterial.
Aunqueenvigasymarcoslasdeformacionessepresentanprincipalmenteporflexin,lasdeformacionesporesfuerzosaxialesencolumnasdemarcosylasdeformacionesporcortante,sobretodoenelementosaltosoprofundosnodejandeserimportantes.Encerchasyarmaduraslasdeflexionessepresentanporlacombinacindelasdeformacionesporcargaaxialencadaunodeloselementosquelacomponen.TrazadotentativodelacurvaelsticaSedenominaporcurvaelstica,lacurvaquerepresentaladeformadadelelementoensulneacentroidal.Envigasymarcossepuedehaceruntrazadotentativodelacurvaelsticaconsiderandolascurvaturasqueseproducenporflexinylasrestriccionesdelosapoyos.Antesdetrazarundiagramademomentossedebedefinirunaconvencindemomentospositivosonegativossegnlaconcavidadqueestosproduzcanenelelemento.Enelementoshorizontalessepuedeasumirlasiguienteconvencin,quecoincidecondibujarlosmomentosparaelladoqueproducentraccin.
Paraloselementosverticalessepuedeadoptarcualquierconvencin.Sesugierequesiempresedibujenlosdiagramasdemomentoporelladodetraccinydeestamanerasesabecomoeslaconcavidad.
Clasesdecurvaturasenapoyosyenjuntas:Articulacin:Tiene1gradodelibertadlibre,correspondientealarotacin.Rodillo:Tienedosformasdemoverse,rotacinydesplazamientoparaleloalasuperficie.Lasrotacionestienenlamismaconvencinquelosmomentosenlasecuacionesestticas,positivoenelsentidocontrarioalasmanecillasdelreloj.
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ApoyoconrodillossinGIRO :unsologradodelibertaddedesplazamientovertical.
Empotramiento:EldesplazamientoyelGIRO sonnulos
Conexinrgidaentreelementos:Porelequilibrioenlaunin,siunodeloselementosterminaconmomentonegativoeneseextremoelotrotambintendrmomentonegativoeneseextremo.Asociandolosmomentosconlasdeflexionestendramosquesilastraccionesenunodeloselementossonenlacaraexterior,enelotrotambinlosernporlotantolasconcavidadesdeambosdebensersimilares,oambasparaafueraoambasparaadentro.
Marcos:Enestasestructurassecumplequelaconcavidadenloselementosqueseconectanenunnudodebeserlamisma:
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VigasDebidoalacontinuidaddelavigaenlosapoyos,larotacinporambosladosdebeserlamisma:
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Articulacininterna:Enestecasolaspendientesalasalidadelaarticulacinpuedenserdiferentesyaquenohayrigidezenlauninyunelementopuederotarconrespectoalotro.
TEORADELAFLEXINENVIGASSefundamentaenlosconceptosdeequilibrio,compatibilidadyleyesconstitutivas.
Equilibrio: Compatibilidad:1=2Enpuntosdecontacto
1=nunionesrgidasEnempotramientos
Leyesconstitutivas: DondeK:rigidezlineal K:rigidezaflexinLateorahaceciertassuposicionesacercadecmosedeformaunavigaensuinterior.
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Suposicionesvalidasparavigasdepocaaltura:NofuncionaenmurosSuposiciones:
1. Unaseccinplanapermaneceplanadespusdeladeflexin.(EulerBernoulli)
2. Laseccinplanadeformadapermaneceperpendicularalasfibrasdedeformacinnula(ejeneutro)
ConestasdossuposicionesyaplicandolostrestiposdeecuacionesdefinidospodemosencontrarlosdesplazamientosdelejeneutroenfuncindelosmomentosinternosM.
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Ecuacionesdeequilibriointerno
Pero:
CompatibilidadinternaTringulopequeo
pero:
Tringulogrande:
Longituddearco:Tringulopequocontringulogrande:
Relacindecurvaturacondeformacindelasfibrasinternas.Leydeelesticidad
Reemplazandoencompatibilidadinterna:
Reemplazandoenequilibrio:
Relacindecurvaturaconfuerzasinternas:
RelacintangentedelacurvadedeformacinconfuerzasinternasfaltarelacionarYconlasfuerzasinternas
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Deformacinencadapunto.
Relacindecurvatura**Sedejaallectorconsultarlaprocedenciadeestarelacin.Considerandoquelasdeformacionessonpequeas,eltrminoelevadoalcuadradoeneldenominadorseaproximaacerodandocomoresultadounarelacinentreelinversodelradiodecurvaturaylasegundaderivadadelacurvaelstica.
y
Integrardosveceslaecuacindemomentodeladeflexin
Ecuacinquerelacionadeflexinconfuerzasinternas
Pendientedelacurvadecorte,igualalacarga
Pendientedelacurvademomento,igualalcortante
EcuacindeferencialdelaflexinSiEIesconstanteentonces:
Cuatrocondicionesdefrontera
RELACIONESDECURVATURAENTREELMOMENTOYLATEMPERATURA
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cambiodelongitudporvariacindetemperatura,introduciendoestaecuacinenlaanteriortenemos:
Siendotladiferenciadetemperaturasentrelasfibrassuperioreseinferiores.Siambosladossufrenuncambiodetemperaturadiferente,entonceselcambiotqueproducecurvaturaesladiferenciaentreelcambioenlapartesuperiorylainferior.
Momentoqueproduceuncambiodetemperaturadiferencialentrelascaras:
momentointernopordiferencialdetemperaturasentrelascaras
CLCULODEDEFLEXIONES:Mtododeladobleintegracin:Estemtodoconsisteenencontrarlaecuacindelacurvaelsticaintegrandodosveceslaecuacindeflexin.
Encadaintegracinserequiereintroducirunaconstante.Estasconstantesseresuelvenporlascondicionesdefrontera.
Ejemplo:Encontrarlaecuacindelacurvaelsticadelasiguienteviga:
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CondicionesdeFontera:
Elmtodoexigeencontrarlasecuacindemomentosinternos.Enelcasodeencontrardiscontinuidadesenlaecuacindemomentos,yasea,porlapresenciadecargaspuntualesoreaccionesentoncessepuedetrabajarconorigenencadapuntodequiebredeldiagramademomentos.Ejemplo2EncontrarladeflexinenDdelasiguienteviga:
Pordobleintegracin:
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Diagramademomentos:
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SabemosquelacurvaelsticaseobtienealintegrardosveceselmomentodivididoporEI.
TodoslosvaloressonporEI
Condicionesdefrontera:
Sedejaparaterminarallector.
