DEFLEXION DE VIGA1 original
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UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO – BOLÍVAR
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA TIERRA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL
D E F L E X I Ó N D E V I G A S
PROF: Cristian castillo
REALIZADO POR:
Romero Wendy, C.I: 18.828.724
Jiménez Darwing, C.I: 19.095.699
Torres Adrián, C.I: 20.284.771
Cuidad Bolívar, 19 de Noviembre de 2008.
INTRODUCCIÓN
El estudio de la flexión de vigas, barras y placas constituye una parte importante y
esencial del estudio del campo de la ingeniería. Todas las estructuras se deforman
cuando se someten a cargas y estas cargas pueden ser estáticas, dinámicas térmicas,
aeroelásticas o hidroelásticas, etc. Las teorías lineales son aproximaciones de primer
orden utilizadas en el estudio del comportamiento de los elementos estructurales antes
mencionados cuando se deforman bajo la acción de las cargas aplicadas.
Las vigas al ser sometidas a cargas tienden a flexionarse por esta acción, y resulta
ser un factor importante a la hora de su estudio o diseño. Las deflexiones son
importantes de estudiar para estructuras metálicas, sistemas de tuberías, e inclusive
para la fabricaron de de cualquier estructura de simple diseño.
En el estudio de una viga, ella podrá flectar de acuerdo a ciertos factores tales
como: distancia entre apoyos, material de la viga, la carga aplicada, propiedades
geométricas de la viga, tipo de vinculación (apoyos).
DEFINICION DE VIGAS
La viga es un elemento lineal fundamental en la construcción que trabaja
principalmente a flexión, sea ésta de la índole que fuera. Será el tipo, calidad y fin de la
construcción lo que determinará medidas, materiales de la viga, y sobre todo, su
capacidad de sostener y contener pesos y tensiones. Una viga está pensada para
soportar no sólo presión y peso, sino también flexión y tensión, según cuál finalidad
predomine será el concepto de viga para ingeniería o arquitectura, que predomine.
A lo largo de la historia de la construcción se han utilizado vigas para innumerables
fines y de diferentes materiales. El material por antonomasia en la elaboración de vigas
ha sido la madera dado que puede soportar todo tipo de tracción, incluso hasta
esfuerzos muy intensos sin sufrir demasiadas alteraciones, y como no ocurre con otros
materiales, como cerámico o ladrillos próximos a quebrarse ante determinadas
presiones qué sí soporta la viga de madera. La madera es un material de tipo ortotrópico
que presenta, según de qué se obtenga, diferentes niveles de rigidez. Esta mayor o
menor rigidez es la que dará a la viga su fortaleza.
Con los avances tecnológicos y el desarrollo industrial, las vigas pasaron a
elaborarse de hierro y luego, de acero. El acero es un material isotrópico, y las vigas de
acero tienen, por ejemplo, respecto del hormigón una mayor resistencia, pero menor
peso, y puede resistir tanto tracciones como compresiones. El hormigón como material
de llenado y conformación de vigas, se comenzó a utilizar en el siglo XIX antes del uso del
acero y casi paralelamente a la implementación del hierro como material de elaboración
de las vigas.
DEFINICION DE DEFLEXIÓN
La deflexión es una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal. Esto
quiere decir; que en análisis estructural, la deflexión hace referencia al grado en el que
un elemento estructural se desplaza bajo la aplicación de una fuerza.
DEFLEXIÓN DE VIGAS
Considere una viga horizontal AB tal como se muestra en la fugura, se asume que la
viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría
se indica por la línea punteada.
Cuando está sometida a fuerzas, las cuales se asumen que están en un plano que
contiene el eje de simetría la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su
forma como se muestra en la segunda figura. Estas fuerzas pueden ser debidas al peso
de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de
simetría distorsionado resultante, punteado en la segunda figura, se llama la curva
elástica. La determinación de esta curva es de importancia en la teoría de elasticidad y
será parte del propósito de esta sección mostrar cómo se hace.
APOYO Y APLICACIÓN DE FUERZAS SOBRE LAS VIGAS
Hay muchas maneras de apoyar vigas. Por ejemplo, la figura muestra una viga en la
cual el extremo A está rígidamente fijo, .mientras que el extremo B está libre, para
moverse. Esto se llama una viga en voladizo.
Figura A
Figura A
En la segunda Figura la viga está apoyada en los extremos A y B. Esta se llama una
viga simplemente apoyada. En tales casos la viga está asegurada en los extremos A y B
de modo que aunque esté fija en estos extremos, la rotación se puede dar alrededor de
los extremos.
Figura B
Figura C
La última figura (figura C) muestra otra forma de apoyo de una viga.
A B
Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras
de aplicar fuerzas de carga externa. Por ejemplo, en la Figura(A) hay una carga
uniformemente distribuida sobre toda la viga. Puede haber una carga variable sobre
toda la viga o sólo en una parte de ella como en la Figura (b). Por otro lado puede haber
una carga concentrada como se indica en la Figura(c).
DEFLEXIÓN DE VIGAS: ANÁLISIS
La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva
elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curvatura que forma el eje longitudinal,
inicialmente recto. Concretamente la ecuación de la curva elástica es una ecuación que
rige los desplazamientos que sufre el eje de la viga al aplicársele una determinada carga
desde una posición indeformada.
El desplazamiento Y de la curva elástica desde el eje X se llama la deflexión de la
viga en la posición X. Así si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la
deflexión de la viga.
Este es el método generalmente usado para solucionar problemas de vigas
hiperestáticas; es decir indeterminadas (que tienen muchas incógnitas) Como por
ejemplo:
Tenemos una viga empotrada en ambos lados, estas son muy comunes en la
construcción de edificios. Así mismo una fuerza aplicada P.
P
P
Ma Mb
byaxay bx
P
Ma Mb
byaxay bx
P
Ma Mb
byaxay bx
P
Esto es la representación de su
diagrama
Representa un momento
Representa las fuerzas verticales
Representa las fuerzas horizontales
Como todo cuerpo en equilibrio se generan tres ecuaciones:
Pero como las fuerzas horizontales son muy pequeñas, es decir, con valores muy
cercanos a cero, no se toman en cuenta.
Es importante señalar las consideraciones de Robert hooke y sus famosos resortes,
donde nos enseña la siguiente gráfica que relaciona la deflexión o deformación de los
materiales con cargas o fuerzas aplicados sobre ellos.
F
Fuerza o carga aplicada
Limite de proporcionalidad
Limite elástico
Punto de cadencia
Punto de ruptura
Zona elástica Zona plástica
Recuperable Deformación permanente
Matemáticamente para resolver estos problemas aplicamos el denominado
MÉTODO DE DOBLE INTEGRACIÓN PARA RESOLVER SISTEMAS, CON LA ECUACIÓN
DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA.
Donde es el momento flexionante con respecto al eje X de la viga o suma
algebraica de los momentos.
E es el módulo de elasticidad de Young y depende del material usado en el diseño
de la viga, e I es el momento de inercia de la sección transversal de la viga en X con
respecto a una línea horizontal que pasa por el centro de gravedad de esta sección
transversal. El producto EI se llama la rigidez flexural, y se considerará como una
constante.
Y’’ o Es la segunda derivada de y o desplazamiento vertical respecto a x.
Es la ecuación de la pendiente de la curva elástica.
Pero como la viga se dobla sólo levemente o muy poco, lo cual es válido para
muchos propósitos prácticos, la pendiente y’ de la curva elástica es tan pequeña que su
cuadrado es despreciable, y por eso solo nos queda:
Lugo esta ecuación se le aplica la doble integración para obtener así la deflexión de
la viga, quedando de esta forma:
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA CURVA ELÁSTICA
A continuación imaginamos que necesitamos construir un corredor al final de una casa o una extensión de techo de un local, y debemos realizar la siguiente viga. Por su forma se conoce como viga simplemente soportada.
Donde L es la longitud total de la viga.P es el peso concentrado (centro de gravedad)
Entonces como M(x) es igual a la suma de algebraica de los momentos a un lado del punto p, tenemos el siguiente análisis: “lo que se busca encontrar es la ecuación diferencial de la curva elástica”.En la figura anterior se muestra la figura elástica de la viga (línea punteada), como la viga esta simplemente apoyada, cada uno de sus extremos lleva la mitad del peso de la viga,
o sea (donde w es el peso de la viga y l la longitud de la viga).
Escogemos primero el lado izquierdo de P en este actúan dos fuerzas: la fuerza hacia
arriba a una distancia x de P, produciendo un momento negativo. (Negativo pro que
va en sentido opuesto al giro tomado); la fuerza hacia abajo wx a una distancia
produciendo un momento positivo.Partiendo de
Por el lado izquierdo
Se busca los momentos de cada fuerza, es decir
Sustituyendo por
Aplicamos el método de doble integración
Siguiendo las condiciones:
Obtenemos de la siguiente forma:
Sustituyendo nos queda:
Sacamos el factor común
Por ultimo despejamos y
Nos queda una ecuación que representara la máxima deflexión de la viga.
Ahora lo aremos por el lado derecho
A partir de aquí se hace exactamente igual que la parte anterior, obtenido ésta ecuación se le aplica el método de doble integración y se resuelve despejando la y que nos dará la deflexión de la viga.
Ahora aplicaremos el método en otro ejemplo pero esta vez sobre una viga en voladizo.
Aplicamos entonces la doble integración
Podemos sacar w como constante
Resolviendo la integral nos queda:
De acuerdo a las condiciones
Sustituimos y nos queda: