Demostración 2
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xy : P ( x,y ) ≡x : [ P ( x,y 1 ) ∨P ( x,y 2 ) ∨…∨P ( x,y n ) ] ≡ [ P ( x 1 ,y 1 ) ∨P ( x 1 ,y 2 ) ∨…∨P ( x 1 ,y n ) ] ∧ [ P ( x 2 ,y 1 ) ∨P ( x 2 ,y 2 ) ∨…∨P ( x 2 ,y n )] ∧…∧ [ P ( x m ,y 1 ) ∨P ( x yx : P ( x,y ) ≡y : [ P ( x 1 ,y ) ∧P ( x 2 ,y ) ∧…∧P ( x m ,y ) ] ≡ [ P ( x 1 ,y 1 ) ∧P ( x 2 ,y 1 ) ∧…∧P ( m,y 1 )] ∨ [ P ( x 1 ,y 2 ) ∧P ( x 2 ,y 2 ) ∧…∧P ( x m ,y 2 ) ] ∨…∨ [ P ( x 1 ,y n ) ∧P ( x 2 Para simplificar escribiremos: P ( x,y ) ≡P xy y P ( x a ,y b ) ≡P ab yP ( x,y a ) ≡P xa análogamente P ( x a ,y ) ≡P ay Donde x,y son elementos cuales quiera y x a ,y b son elementos arbitrarios. Así nos ahorraremos mucha tinta y espacio. Recordemos que esto no es más que un convenio que estamos utilizando para facilitar la comprensión de la demostración. Entonces reescribimos todo: xy : P ( x,y ) ≡xy : P xy ≡x : ( P x 1 ∨P x2 ∨…∨P xn ) ≡ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧ ( P 21 ∨P 22 ∨…∨P 2n ) ∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn ) yx : P ( x,y ) ≡yx : P xy ≡y : ( P 1 y ∧P 2y ∧…∧P my ) ≡ ( P 11 ∧P 21 ∧…∧P m 1 ) ∨ ( P 12 ∧P 22 ∧…∧P m 2 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 2 n ∧…∧P mn ) Vamos a partir de xy : P ( x,y ) y vamos a llegar a yx : P ( x,y ) . xy : P ( x,y ) ≡ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1n ) ∧ ( P 21 ∨P 22 ∨…∨P 2n ) ∧…∧ ( P m 1 ∨P m2 ∨…∨P mn ) ≡ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧ [ P 21 ∨ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2n ) ] ∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn ) xy : P ( x,y ) ≡ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧P 21] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1n ) ∧ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2 n ) ] ∧…∧ ( P m 1 ∨P m2 ∨…∨P mn ) xy : P ( x,y ) ≡ ¿xy : P ( x,y ) ≡ ¿ xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 )] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2n ) ]}∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn ) ¿ xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 )] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2n ) ]}∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn ) La parte resaltadaen xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 )] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ∧ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2n ) ]}∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn ) ¿ xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 )] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ]} ∧ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 ) ∨ ( P 22 ∨P 23 ∨…∨P 2 n ) ]} ∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨ xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 )] ∨ [ ( P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ) ]} ∧ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨P 22 ∨…∨ ( P 1n ∧P 21 ) ∨ ( P 23 ∨…∨P 2 n ) ]} ∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨ xy : P ( x,y ) ≡ ( P ¿¿ 11 ∧P 21 ) ∨ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 ) ∨P 11 ∨P 12 ∨…∨P 1 n ]} ∧ {[( P 12 ∧P 21 ) ∨P 22 ∨…∨ ( P 1 n ∧P 21 ) ∨P 23 ∨…∨P 2 n ]} ∧…∧ ( P m 1 ∨P m 2 ∨…∨P mn )
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Para simplificar escribiremos: y anlogamente Donde son elementos cuales quiera y son elementos arbitrarios.As nos ahorraremos mucha tinta y espacio. Recordemos que esto no es ms que un convenio que estamos utilizando para facilitar la comprensin de la demostracin. Entonces reescribimos todo:
Vamos a partir de y vamos a llegar a .
