Densidad e Intensidad de Corriente (GIE)

19/1/2016 Densidad e intensidad de corriente (GIE)

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Densidad e intensidad de corriente(GIE)De Laplace

Contenido1 Modelos de conduccin2 Densidad de corriente3 Intensidad de corriente4 Ley de conservacin de la carga5 Aplicacin a un circuito

5.1 Conservacin de la corriente5.2 Ley de Kirchhoff para los nodos

1 Modelos de conduccinLas corrientes elctricas tienen todas en comn el movimiento de cargas por elvaco o el interior de un material, pero el mecanismo por el que esto ocurre esmuy diverso. Para describirlos se usan los modelos de conduccin, que tienen unaparte cualitativa y una descripcin matemtica (que no consideraremos).

Disoluciones salinasEl caso ms sencillo es el de una cantidad de agua en el que hay salesdisueltas. En este caso, flotando en la sopa hay iones de diferentes cargas ysignos. De entrada tenemos los iones OH y H+ en que se disocia el agua,pero adems tenemos Cl, Na+, Ca2+, K+, etc. dependiendo de las sales quehaya disueltas. Cada una de las variedades cargadas se denomina unaespecie de portadores de carga, caracterizada por una valencia Z. Porejemplo, todos los iones Cl constituyen una especie de valencia Z = 1,todos los iones Ca2+ forman una especie de valencia Z = + 2. En aguadestilada tenemos dos especies de portadores de carga (OH y H+). Si tienesal comn, habr 4 especies (Cl, Na+, OH y H+). En el agua de mar hay unaenorme variedad de especies.

Sincronizando Densidad e intensidad de corriente (



Conductores metlicosConstituyen el caso ms tpico de conductores y son los de mayoresaplicaciones industriales, donde se usan materiales conductores como cobre,oro, platino, etc. En un material metlico la conduccin se produce porquehay electrones libres. Existe una red de iones fijos (los ncleos y la mayorade los electrones de cada tomo) y una nube de electrones formada por unoo dos electrones por cada tomo (uno en el caso del cobre). Estos electronesno estn asociados a ningn tomo en concreto, sino que pertenecenconjuntamente a toda la red, produciendo lo que se llama un enlacemetlico. Estos electrones pueden moverse ms o menos libremente por elinterior del material, formando la corriente elctrica. En este caso tenemosuna sola especie de portadores de carga, los electrones.



SemiconductorUn semiconductor, como el carbono o el silicio, est formado por una redcristalina en la que los electrones estn ligados a cada tomo formandoenlaces covalentes. En una red sin defectos y a 0K no puede haber corrienteelctrica ya que no hay portadores de carga disponibles.

Sin embargo, existen dos motivos por los que aparecen portadores en estosmateriales:

Por la agitacin trmica, que hace que algunos electrones tenganenerga suficiente para abandonar el tomo al que pertenecen.Por la presencia de impurezas (dopado) de otros materiales, que



tienen un electrn de ms o de menos.

En ambos casos, tenemos un cierto nmero de electrones que puedenmoverse por la red, funcionando como portadores de carga. Pero adems, elefecto de que un electrn abandone su tomo es la aparicin de un hueco. Amedida que otros electrones van ocupando este hueco, el efecto es elmovimiento aparente del hueco en sentido contrario. Por ello, en unsemiconductor tenemos dos especies de portadores: los electrones, convalencia 1 y los huecos con valencia +1.

PlasmaUn plasma es un estado de la materia consistente en un gas ionizado. En unplasma tenemos una gran variedad de portadores, ya que hay gran nmerode estados de ionizacin posible. En un plasma las cargas se mueven por elaire sometidas a las interacciones con el resto de cargas y con los camposexternos.

2 Densidad de corrienteLa magnitud que mide el movimiento promedio de las cargas en un material es ladensidad de corriente. Para definirla se toma un elemento de volumen v (que es



microscpico, pero contiene millones de cargas en su interior), situado en elpunto , y se calcula el promedio del producto de las cargas por la velocidad

La densidad de corriente es una magnitud vectorial, anloga hasta cierto punto ala cantidad de movimiento: cuanta ms carga haya, mayor es la densidad decorriente; cuanto ms rpida se mueva, mayor en la densidad. Si no hay cargas(vaco) o no se mueven (electrosttica) la densidad de corriente se anula.

De la definicin de la densidad se tiene que se mueve en C(m/s)/m = A/mdonde un amperio (A) es igual a 1C/s.

Puesto que en la expresin aparece la velocidad, el sumatorio se puede restringira los portadores de carga, ya que las cargas estticas no contribuyen.

Por otro lado, podemos hacer la aproximacin de que todos los iones de laespecie k se mueven con la misma velocidad promedio. En ese caso, podemosagrupar trminos y escribir la densidad de corriente como

donde

La suma se hace sobre el nmero de especies (una en un conductor metlico,dos en un semiconductor, unas cuantas en una disolucin).Nk es la densidad numrica del portador k (p.ej. cuantos electrones libreshay por unidad de volumen).Zk, es la valencia de la especie k, que sera 1 para los electrones.e es la carga elemental, que vale aproximadamente .

es la velocidad promedio de los iones de la especie k. A esta velocidad sela conoce como velocidad de arrastre.

En el caso de un conductor metlico, los nicos portadores son los electrones y alexpresin anterior se reduce a

siendo N la densidad de electrones libres (no de todos los electrones, los queestn fijos en los tomos no cuentan) y es la velocidad de arrastre. Vemos queen este caso concreto, los electrones se mueven en un sentido y la densidad decorriente va en sentido contrario, por ser la carga negativa. Esto es fuente deinfinitas confusiones. Por ello, a la hora de describir el movimiento de las cargasen un conductor, es preferible suponer que las cargas que se mueven son las



positivas, aunque no corresponda a lo queocurre en realidad. Los clculos tambinson correctos de esta forma y es mssencillo.

El valor de la velocidad de arrastre puedeser extremadamente pequeo. Para un hilode cobre que soporta una densidad decorriente de 1A/mm no llega a 1mm/s.Uno pensara que los electrones se muevenmucho ms rpido y as es para cadaelectrn. La velocidad de arrastre es lavelocidad promedio, no la rapidezpromedio. Aunque el electrn puedemoverse con una rapidez prxima a la velocidad de la luz, la mayor parte se sumovimiento es aleatorio y hay muy poco avance neto.

La presencia de una densidad de corriente en un punto no es incompatible con laausencia de una densidad de carga en ese punto. De hecho, podemos tener loscuatro casos:

Densidad de carga nula = 0 y densidad de corriente nula Esto es lo que ocurre en un vaco total, en el que no hay nada, pero tambinen el interior de un conductor en equilibrio. En ese caso, que no hayadensidad de carga no significa que no haya cargas. Hay millones de ellas, loque ocurre es que hay tantas positivas como negativas. Al estar enequilibrio, en promedio estn inmviles y tambin se anula la densidad decorriente.

Densidad de carga no nula y densidad de corriente nula Es lo que ocurre cuando tenemos una densidad de carga esttica, como enmuchos problemas de electrosttica.

Densidad de carga nula = 0 y densidad de corriente no nula Es el caso habitual en un material conductor (metal, disolucin osemiconductor). En cada punto hay tantas cargas positivas como negativas,pero se estn moviendo. En un metal, por cada electrn en movimiento hayun ion en reposo. Solo los primeros contribuyen a la densidad de corriente,pero los dos lo hacen a la densidad de carga.

Densidad de carga no nula y densidad de corriente no nula Es el caso general, que se da sobre todo en los plasmas, en los que tenemosnubes de cargas en movimiento, sin que estn compensadas las positivas porlas negativas.

3 Intensidad de corrienteLa densidad de corriente es una medida adecuada de lo que ocurre en cada punto



de un material, de si las cargas se estn moviendo o no y hacia adonde lo hacen.

En la mayora de las aplicaciones, en particular en la teora de circuitos, interesams el efecto global del movimiento de las cargas.

Supongamos que tenemos un material conductor en forma de cilindro (un cable,por ejemplo) por el cual est circulando una corriente. Nos preguntamosentonces cuanta carga atraviesa una seccin del conductor en la unidad detiempo. Esta cantidad es la intensidad de corriente definida como el flujo de ladensidad de corriente travs de una seccin del conductor

de forma que la carga que pasa en un tiempo dt es igual a

La intensidad de corriente es una magnitud escalar con signo. El signo de laintensidad de corriente nos dice para donde va la corriente respecto de laorientacin de la superficie. Cuando se traza la superficie S, su vector normaltiene dos posibles sentidos. Si al hallar el flujo resulta una cantidad positivaquiere decir que las cargas positivas se mueven en el sentido elegido. Si laintensidad resulta negativa, quiere decir que se mueven en el sentido contrario alelegido (con las cargas negativas sera al revs).

La unidad de medida de la intensidad de corriente es el amperio (A), que es una



de las unidades fundamentales del Sistema Internacional. Un amperio es unamedida razonable para las corrientes existentes en la industria. Un aparatoelectrnico, como un ordenador tiene corrientes del orden de los mA. Una redelctrica domstica o una mquina puede tener corrientes de varios amperios.Una red de alta tensin puede llegar hasta los kA circulando por los cables.

En trminos del amperio, la unidad de carga, el culombio (C), se define como 1C= 1As

4 Ley de conservacin de la cargaUna de las propiedades fundamentales de la interaccin elctrica es que la cargaelctrica se conserva. Para cualquier volumen la cantidad de carga contenida ensu interior solo puede cambiar porque entre carga desde fuera porque salga alexterior, nunca porque se cree de la nada.

Matemticamente se expresa de lasiguiente forma:

donde:

S es una superficie cerrada quecontiene un volumen v.Q = Q(t) es la carga contenida en vdQ / dt es el aumento de la cargacontenida por unidad de tiempo. dQ / dt es la disminucin de la cargacontenida por unidad de tiempo.

representa la integral sobre toda la superficie cerrada S. es la densidad de corriente en todos los puntos de la superficie S es el vector diferencial de superficie

donde para una superficie cerrada, se toma siempre hacia el exterior.

Esta misma ley puede leerse de otras formas. Por ejemplo si la escribimos

diramos que lo que aumenta la carga contenida se debe al flujo de corriente



hacia el interior.

Caso de una corriente estacionariaEn el estado estacionario, la carga contenida en un volumen no cambia, porlo que la ley de conservacin de la carga se reduce a

5 Aplicacin a un circuito5.1 Conservacin de la corriente

La ley de conservacin dela carga tiene unaaplicacin inmediata a lateora de circuitos.Consideremos en primerlugar el caso de unconductor a lo largo delcual circula una corriente,siendo el exterior vaco(que suponemosperfectamente aislante).El conductor puede tenerseccin variable y estarhecho de diferentes materiales.

Suponemos que por este conductor circula una corriente estacionaria.

Si consideramos una superficie cerrada S que corta al conductor en dos seccionesS1 y S2. Por ser la corriente estacionaria

Si tomamos la intensidad de corriente a lo largo del conductor como el flujo de ladensidad de corriente hacia adelante, entonces

(el signo negativo de la primera integral se debe a la diferente orientacin delvector normal). Tenemos entonces que



lo cual expresa una propiedad bastante intuitiva: por un conductor por el quecircula una corriente estacionaria, la intensidad de corriente es la misma paracualquier seccin que tomemos, o dicho en trminos aun ms llanos, que todaslas cargas que entran por un sitio deben salir por el otro.

En trminos de teora de circuitos esto implica que:

Dado un conjunto de elementos puestos en serie, la intensidad de corrientees la misma en todos ellos.

En el caso de un conductor de seccin variable, se deduce que la densidad decorriente es mayor donde la seccin es menor y viceversa.

5.2 Ley de Kirchhoff para los nodos

Lo anterior vale para el caso de que lacorriente fluya a lo largo de una sola rama.qu ocurre si tenemos varias ramasconectadas en un nodo de un circuito? Enese caso, el razonamiento es una extensindel anterior. Considerando una superficiecerrada alrededor del nodo, que cortar alas diferentes ramas en las secciones en lassuperficies S1, S2, Sn. Al ser nula laintegral sobre la superficie cerradaobtenemos

o, en trminos de las intensidades de corriente

donde consideramos todas las corrientes como saliendo del nodo (lgicamente,algunas sern positivas y otras negativas). Esta es la conocida como ley deKirchhoff para los nodos (o primera ley de Kirchhoff).

Si distinguimos las corrientes que llegan al nodo y las que salen de l con su signocorrespondiente, queda



es decir, que la suma de las corrientes que llegan al nodo es igual a la suma delas que salen de l. De nuevo, esta es una propiedad intuitiva. Si a un nodo llegauna corriente I0 y del nodo salen dos ramas, la corriente se repartir entreambas, de forma que

En particular, este resultado nos dice que dada una asociacin de elementos enparalelo, la intensidad corriente total que circula por la asociacin es la suma delas que van por cada una de las ramas.

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