UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS

CARRERA DE INGENIERÍA MATEMÁTICA

Introducción a la teoría de semigrupos de operadores acotados en

espacios de Banach.

Trabajo de Investigación presentado como requisito previo a la obtención

del Título de Ingeniero Matemático.

AUTOR: John Henry Fuentes Cajas.

TUTOR: Dr. Miguel Ángel Yangari Sosa, Ph.D.

Quito, agosto 2020

DERECHOS DE AUTOR

Yo, John Henry Fuentes Cajas en calidad de autor y titular de los derechos morales y pa-

trimoniales del trabajo de titulación Introducción a la teoría de semigrupos de operadores

acotados en espacios de Banach, modalidad proyecto de investigación, de conformidad con

el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCI-

MIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central

del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de

la obra, con nes estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor

sobre la obra, establecidos en la norma citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitaliza-

ción y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo

dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de

expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por

cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de

toda responsabilidad.

John Henry Fuentes Cajas

C.C. 1724709322

E-mail: jhfuentes@uce.edu.ec

ii

APROBACIÓN DEL TUTOR

Yo, Miguel Ángel Yangari Sosa en mi calidad de tutor del trabajo de titulación, modalidad

Proyecto de Investigación, elaborado por FUENTES CAJAS JOHN HENRY; cuyo título

es: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE SEMIGRUPOS DE OPERADORES

ACOTADOS EN ESPACIOS DE BANACH, previo a la obtención del Grado de Inge-

niero Matemático; considero que el mismo reúne los requisitos y méritos sucientes para ser

sometido a la evaluación por parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 01 días del mes de Abril de 2020.

Dr. Miguel Ángel Yangari Sosa, Ph.D.

DOCENTE-TUTOR

C.C. 1715020309

iii

APROBACIÓN DE LA PRESENTACIÓN

ORAL/TRIBUNAL

El tribunal constituido por: Dr. Hernán Benalcázar Gómez, Ph.D, Presidente del Tribunal

de Grado; e, Ing. Iván Naula Reina, M.Sc.; Vocal del Tribunal de Grado. Dr. Miguel Ángel

Yangari Sosa, Ph.D.- Tutor.

Luego de receptar la presentación oral del trabajo de titulación previo a la obtención del título

de Ingeniero Matemático presentado por el señor Fuentes Cajas John Henry. Con el título:

Introducción a la teoría de semigrupos de operadores acotados en espacios de Banach.

Emite el siguiente veredicto:

Fecha:

Para constancia de lo actuado rman:

Nombre y Apellido Calicación Firma

Presidente Dr. Hernán Benalcázar, Ph.D.

Vocal 1 Ing. Iván Naula, M.Sc.

iv

DEDICATORIA

Dedicado a mis padres:

Henry y Elsa.

A mis abuelitos:

Fausto, María, Eduardo y Zoila.

A mis tías:

Beatriz y Paulina.

v

AGRADECIMIENTO

Primero agradezco a Dios por concederme la sabiduría y las fuerzas necesarias en todo el

trayecto de mis estudios.

A mis padres por sus oraciones, enseñanzas y apoyo incondicional, a mis abuelitos los cuales

admiro mucho, por su convicción y la conanza que me han dado, a mis tíos y tías que han

estado a mi lado apoyándome a continuar con mis estudios y a toda mi familia por el amor

que me han brindado.

Mis sinceros agradecimientos a mi tutor. Ph.D. Miguel Yangari por tomarse el tiempo de

dirigir y corregir este trabajo, por sus enseñanzas las cuales han sido de gran aporte para mi

formación como matemático.

A mis amigos y a los docentes de la carrera de Ingeniería Matemática de la Universidad Cen-

tral del Ecuador los cuales me han transmitido sus conocimientos durante la carrera.

Un agradecimiento muy especial a Andrea Mora por animarme e impulsarme a seguir adelante,

por todo el apoyo incondicional y por hacerme sentir que soy capaz.

vi

CONTENIDO

DERECHOS DE AUTOR ii

APROBACIÓN DEL TUTOR iii

APROBACIÓN DE LA PRESENTACIÓN ORAL/TRIBUNAL iv

DEDICATORIA v

AGRADECIMIENTO vi

CONTENIDO viii

RESUMEN ix

ABSTRACT x

INTRODUCCIÓN 1

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA 3

OBJETIVOS 4

1. PRELIMINARES 5

1.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Variable Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Análisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. OPERADORES LINEALES ACOTADOS 27

2.1. Deniciones y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2. Convergencias en B(X,X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3. Funciones en B(X,X) en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4. Operadores acotados invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

vii

3. SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS 51

3.1. Semigrupo y generador innitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Integral de Riemann de un semigrupo uniformemente continuo . . . . . . . . 53

3.3. Acotación del generador innitesimal de un semigrupo uniformemente continuo 54

3.4. Correlación entre un semigrupo uniformemente continuo y su generador . . . 55

4. SEMIGRUPOS FUERTEMENTE CONTINUOS 60

4.1. Denición y propiedades preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Cerradura del generador innitesimal de un C0−semigrupo. . . . . . . . . . . 65

4.3. Teorema de Hille - Yosida y C0−semigrupos de contracciones . . . . . . . . . 68

4.3.1. Demostración del Teorema de Hille-Yosida: Necesidad . . . . . . . . . 69

4.3.2. Regularizada de Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3.3. Demostración del Teorema de Hille-Yosida: Suciencia . . . . . . . . . 74

4.4. Teorema de Lumer-Phillips y los operadores disipativos. . . . . . . . . . . . . 75

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 81

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

viii

TÍTULO: Introducción a la teoría de semigrupos de operadores acotados

en espacios de Banach.

Autor : John Henry Fuentes Cajas

Tutor : Dr. Miguel Ángel Yangari Sosa, Ph.D.

RESUMEN

El presente trabajo está orientado en estudiar una introducción a la teoría de semigrupos,

partiendo de conceptos elementales del Análisis Funcional relacionadas con los operadores

lineales acotados y los espacios de Banach, se estudia un tipo de semigrupo de operadores

acotados que satisfacen la condición de continuidad uniforme denominados Semigrupos Uni-

formemente Continuos, su generador innitesimal, la integral de Riemann denida para los

semigrupos mencionados y se proporcionan propiedades generales, luego se realiza el estudio

de los semigrupos de operadores acotados que satisfacen una condición más débil que la otor-

gada por la continuidad uniforme llamados Semigrupos Fuertemente Continuos, su generador,

su cerradura y se muestran algunas propiedades elementales llegando a dos teoremas relevan-

tes de los semigrupos, el Teorema de Hille-Yosida y el Teorema de Lumer-Phillips nalizando

con la demostración detallada de cada teorema.

PALABRAS CLAVE: OPERADORES ACOTADOS / ESPACIOS DE BANACH/ SE-

MIGRUPOS UNIFORMEMENTE Y FUERTEMENTE CONTINUOS / TEOREMA DE

HILLE-YOSIDA.

ix

TITLE: Introduction to the theory of semigroups of bounded operators in

Banach spaces.

Author : John Henry Fuentes Cajas

Tutor : Dr. Miguel Ángel Yangari Sosa, Ph.D.

ABSTRACT

The work presented is oriented to study an introduction to the theory of semigroups, starting

from elementary concepts of the Functional Analysis related to the bounded linear operators

and the Banach spaces, a type of semigroup of delimited operators that satisfy the condition

of uniform continuity is studied, the semigroups are called Uniformly Continuous, their in-

nitesimal generator, the Riemann integral dened for the mentioned semigroups, and general

properties are provided, then the semigroups of bounded operators that satisfy a condition

weaker than that given by uniform continuity called Semigroups Strongly Continuous and its

generator and lock are studied and some elementary properties are shown, arriving at two

relevant theorems of the semigroups, the Hille-Yosida Theorem and the Lumer-Phillips Theo-

rem ending with the detailed proof of each theorem.

KEYWORDS: BOUNDOPERATORS / BANACH SPACES / UNIFORMLYAND STRONGLY

CONTINUOUS SEMI-GROUPS / HILLE-YOSIDA THEOREM.

x

INTRODUCCIÓN

La teoría de semigrupos de operadores es una generalización de la teoría de grupos de ope-

radores. Su desarrollo inició a mediados del siglo XX, fue la teoría pionera en otorgar un

análisis funcional a las ecuaciones en derivadas parciales, su máximo desarrollo lo tuvo con la

publicación del libro de E. Hille y R.S. Phillips [15] juntamente con los trabajos publicados

por K. Yosida, I. Miyadera, y W. Feller., además de múltiples aplicaciones hacia los procesos

estocásticos, ecuaciones diferenciales funcionales, ecuaciones integro diferenciales y en ramas

de estudio como la biología, la física, entre otras [19]. En el presente trabajo X es un espacio

de Banach provisto con norma ‖, ‖X , T : X −→ X un operador lineal y B(X,X) es el espacio

vectorial de los operadores lineales acotados provisto de la norma supx∈X‖x‖=1 ‖T (x)‖, dicho

espacio es un espacio de Banach, luego, el objetivo es estudiar los semigrupos de operadores

acotados los cuales se denen de la siguiente manera:

Denición 1. Sea X un espacio de Banach, se denomina semigrupo a una familia T (t)t≥0 ⊆

B(X,X) la cual satisface las siguientes condiciones

1. T (0) = I.

2. ∀a, b ≥ 0, T (a+ b) = T (a)T (b).

Donde I es el operador identidad.

De manera más concreta se estudiarán a los semigrupos uniformemente continuos y fuerte-

mente continuos, los cuales se denen a continuación

Denición 2. Se dice que un semigrupo de operadores T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) es uniforme-

mente continuo si ‖T (t)− I‖ −−−→t→0+

0.

Denición 3. A un semigrupo de operadores T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) se dice que es fuertemente

continuo si, para todo x ∈ X se tiene que

lımt→0+

T (t)x = x.

1

También se los conoce como C0−semigrupo.

Para lograr el objetivo en cuestión se ha dividido el trabajo de la siguiente forma: en el Capitu-

lo 1 se enuncian conceptos básicos y propiedades generales de las sucesiones y series, luego se

dan conceptos generales del álgebra lineal, espacios métricos, espacios vectoriales normados y

además se muestran algunos resultados. Para el posterior estudio de las funciones en B(X,X)

en serie de potencias se requieren conceptos y resultados generales de variable compleja, así

también se muestran algunos de estos resultados. Por último se necesitará resultados generales

del análisis funcional los cuales son enunciados y algunos demostrados.

En el Capítulo 2 se introducen deniciones y conceptos generales respecto a los operadores

lineales y el espacio que los procede, así también algunos tipos de convergencia en B(X,X).

Luego se denen operadores en series de potencias los cuales pertenecen a B(X,X) y algunas

propiedades del mismo y se dan conceptos y resultados relevantes de los operadores acotados

invertibles.

En el Capítulo 3 se da a conocer la denición de semigrupo uniformemente continuo junto con

su generador innitesimal y la acotación del mismo, además se dene y se enuncian algunos

resultados respecto a la integral de Riemann denida para el semigrupo de operadores que

satisface la Denición 2 y algunas propiedades generales.

Finalmente en el Capítulo 4 se dene y se dan algunos resultados respecto a los semigrupos

de operadores fuertemente continuos, su generador innitesimal, propiedades respecto a la

cerradura del generador llegando al Teorema de Hille-Yosida dividiendo su demostración en

tres subsecciones: necesidad, regularidad y suciencia. Para nalizar este capítulo se denen

los operadores disipativos mostrando alguna de sus propiedades y enunciando la relación

entre dichos operadores con los C0−semigrupos y su generador en un teorema conocido como

el Teorema de Lumer-Phillips.

2

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA

Formulación del problema

El n del presente proyecto es estudiar los semigrupos de operadores acotados en espacios

de Banach, de manera más concreta se centrará el estudio en dos tipos de semigrupo: se-

migrupos uniformente continuos y fuertemente continuos, así también estudiar dos teoremas

principales: Teorema de Hille-Yosida y Lumer-Phillips dando así una introducción a la teoría

de semigrupos de operadores.

Justificación del problema

El progreso del estudio de los semigrupos de operadores ha tenido un gran avance debido a

que es una herramienta que ha sido utilizada tanto como para el estudio de problemas de valor

inicial como para la solución a problemas tanto físicos como matemáticos [18] y de manera

general en diversas áreas de la ciencia constituyendose en una disciplina del estudio de las

matemáticas [19]. Una de sus aplicaciones se halla en el estudio de ecuaciones en derivadas

parciales en espacios de Banach en su dimensión innita el cual es necesario para el estudio

del problema de Cauchy planteado para que un sistema port-hamiltonianos esté bien denido

[14]. Su uso también se halla en el estudio clásico de la teoría de aproximación la cual relaciona

una sucesión de semigrupo de contracciones con la sucesión de sus respectivos generadores

mediante una condición de límite a innito. También se halla una aplicación en el estudio de

la integral de camino de Feynmann y el teorema del promedio ergódico el cual hace uso de

los semigrupos y su respectivo generador para el estudio de unos subespacios de un espacio

reexivo los cuales satisfacen ciertas condiciones [17].

3

OBJETIVOS

Objetivo General

Desarrollar una introducción a la teoría de semigrupos de operadores acotados en espacios

de Banach.

Objetivos Específicos

1. Estudiar las propiedades de los operadores acotados en espacios de Banach.

2. Estudiar los semigrupos uniformemente continuos y fuertemente continuos.

3. Estudiar los Teoremas de Hille-Yosida y Lumer-Phillips.

4

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

1.1. Conceptos Generales

Como guía para el estudio de esta sección, se hace uso de los textos citados en [2], [3], [5], [6],

[7], [8], [20], [21], [22] y [23].

Denición 1.1. (V,K,+, ·) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K con la operación adición

+ y el producto por escalares · denidas de la siguiente manera.

+ : V × V −→ V · : K× V −→ V

(x, y) −→ x+ y. (a, x) −→ a · x.

y además se cumplen las siguientes propiedades. Para lo sucesivo, sean x, y, z ∈ V y a, b ∈ K,

1. Conmutativa: x+ y = y + x.

2. Asociativa: (x+ y) + z = x+ (y + z).

3. Existe un elemento 0 ∈ V tal que 0 + x = 0 + x = x.

4. Para cada x ∈ V existe un elemento (−x) ∈ V , tal que x+ (−x) = 0.

5. Distributiva: a · (x+ y) = a · x+ a · y.

6. (a+ b) · x = a · x+ b · x.

7. Asociativa: a · (b · x) = (a · b) · x.

8. Existe un elemento 1 ∈ V tal que 1 · x = x.

5

Denición 1.2. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y S ⊂ V , se dice que (S,K,+, ·) es

un subespacio vectorial de (V,K,+, ·), si satisface las propiedades de la Denición 1.1 con

respecto a las operaciones denidas en (V,K,+, ·).

Teorema 1.1. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial, Se dice que S ⊂ V es un subespacio

vectorial, si y solo si satisface que

1. Para x, y ∈ S, x+ y ∈ S.

2. Para a ∈ K y x ∈ S, a · x ∈ S.

Denición 1.3. Sean (V,K,+, ·) un espacio vectorial, v1, v2, · · · , vk ∈ V y v ∈ V . Se dice

que v es combinación lineal de v1, v2, · · · , vk, si existen escalares λ1, λ2, · · · , λk tales que

v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk.

Denición 1.4. Sean (V,K,+, ·) un espacio vectorial, λ1, λ2, · · · , λk escalares cualesquiera y

Y = v1, v2, · · · , vk subconjunto de V . Se dene el conjunto generador de Y como

genY = v ∈ V |v = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk .

Denición 1.5. Sea (V,K,+, ·) un espacio vectorial y S ⊂ V tal que S 6= ∅. Si existe v ∈ V

tal que

S + v = s+ v|s ∈ S ,

es un subespacio vectorial de V, entonces S es un colector lineal de V.

Denición 1.6. Sea X un conjunto no vacío. Una función d : X×X −→ R que satisface las

siguientes propiedades donde x, y, z ∈ X

D1) d(x, y) ≥ 0.

D2) x = y si y solo si d(x, y) = 0.

D3) d(x, y) = d(y, x).

D4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z),

se denomina métrica. Al par (X, d) se lo llama espacio métrico. Como notación se dirá sim-

plemente espacio métrico X.

Denición 1.7. Sea (X,R,+, ·) un espacio vectorial, se dice que X es un espacio vectorial

normado, si la norma denida en X satisface que, para todo x, y ∈ X y α ∈ R,

6

N1) ‖x‖ ≥ 0.

N2) ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.

N3) ‖αx‖ = |α‖x‖.

N4) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

Observación 1.1. Sea x, y ∈ X, donde X es un espacio vectorial normado, se considera la

métrica

d(x, y) = ‖x− y‖. (1.1)

Se verica que en efecto (1.1) es métrica.

Demostración. Sean x, y, z ∈ X,

D1) Se tiene de manera directa de N1.

D2) Se supone que d(x, y) = 0, así

d(x, y) = ‖x− y‖ = 0,

de N2 se sigue que x − y = 0 lo que implica que x = y. Ahora se supone que x = y

entonces x− y = 0 de N2 se tiene que ‖x− y‖ = 0 lo que implica que d(x, y) = 0.

D3) Usando N3,

d(x, y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = | − 1|‖y − x‖

= ‖y − x‖ = d(y, x).

D4) Usando N4,

d(x, z) = ‖x− z‖ = ‖x− y + y − z‖

≤ ‖x− y‖+ ‖y − z‖ = d(x, y) + d(y, z).

Denición 1.8. Sean X un espacio métrico, x ∈ X y r > 0 se denomina bola abierta al

conjunto constituido por y ∈ X|d(x, y) < r y se lo denota como B(x, r).

Denición 1.9. Sea A ⊂ X, X un espacio métrico. A es un conjunto abierto si, para todo

x ∈ A existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se dice que A es cerrado si su complemento es abierto.

7

Denición 1.10. Sean X un espacio métrico y A subconjunto de X distinto del vacío. Un

subconjunto abierto V de X que contiene a A se lo denomina entorno abierto de A.

Denición 1.11. Sea A subconjunto de X, X un espacio métrico. Se dice que un punto x ∈ A

es un punto interior de A si, existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Al conjunto de todos los puntos

interiores a A se lo denota como A.

Denición 1.12. Sean X un espacio métrico y A un subconjunto de X. Se dice que un punto

x ∈ X es adherente a A si, para todo r > 0, se satisface que

B(x, r) ∩A 6= ∅.

Al conjunto de todos los puntos adherentes a A se lo denomina clausura o adherencia de A y

se lo denota como A.

Denición 1.13. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X, se dice que A es denso en X si

A = X.

Denición 1.14. Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios métricos, se considera la función f : X 7−→

Y , f es continua en un punto a ∈ X si, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, para x ∈ X,

dX(x, a) < δ implica dY (f(x), f(a)) < ε.

Denición 1.15. Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios métricos, se dice que la función f : X 7−→ Y

es discontinua en un punto a ∈ X si, existe ε > 0 que satisface lo siguiente, para todo δ > 0,

se puede obtener xδ ∈ X tal que dX(xδ, a) < δ y dY (f(xδ), f(a)) ≥ ε.

Denición 1.16. Sean (X, dX), (Y, dY ) espacios métricos y la función f : X 7−→ Y, donde

X,Y son espacios métricos. Se dice que f es uniformemente continua si, para todo ε > 0,

existe δ > 0 tal que si, x, y ∈ X satisfacen que dX(x, y) < δ implica dY (f(x), f(y)) < ε.

Denición 1.17. Sea X,Y son espacios métricos y una función f : X 7−→ Y. Se dice que f

es Lipschitziana si y solo si existe una constante c > 0 tal que, para todo x, y ∈ X

d(f(x), f(y)) ≤ cd(x, y).

Como consecuencia de la Denición 1.17 se tiene que toda función Lipschitziana es continua.

En efecto, sea x, y ∈ X, ε > 0 y δ = εc , c 6= 0. Así d(x, y) < δ, luego, de la Denición 1.17 se

8

tiene que, para todo x, y ∈ X existe c > 0 tal que

d(f(x), f(y)) ≤ cd(x, y) < cδ = cε

c= ε.

Por tanto, d(f(x), f(y)) < ε, de donde se concluye que f es continua.

Denición 1.18. Una sucesión en un conjunto X es una aplicación

x : N 7−→ X

n 7−→ x(n),

a x(n) se lo nota como xn y se denomina como el término n-ésimo de la sucesión. Se denota

una sucesión como (xn)n∈N.

Denición 1.19. Sea X un espacio métrico provisto de una métrica d, se considera la su-

cesión (xn)n∈N ⊂ X. Se dice que (xn)n∈N converge a un punto x ∈ X si y solo si, para todo

ε > 0 existe un N ∈ N tal que para n ≥ N , d(xn, x) < ε y se lo denota como xn −→ x o

d(xn, x) −−−→n→∞

0.

Denición 1.20. Sea X un espacio métrico, se dice que la sucesión (xn)n∈N ⊂ X es de

Cauchy si, para todo ε > 0 existe un N ∈ N que depende de ε tal que, para todo m,n > N

d(xn, xm) < ε.

Si además toda sucesión de Cauchy es convergente en X, entonces X es un espacio métrico

completo.

Teorema 1.2. Sea X un espacio métrico y A ⊂ X, A = A si y solo si A es cerrado.

Demostración. Sea A ⊂ X, A = A si y solo si, para todo x ∈ X \ A, existe B(x, r), tal

que B(x, r) ∩ A = ∅ esto se tiene si y solo si, para todo x ∈ X \ A, existe B(x, r) tal que

B(x, r) ⊂ X \A esto es si y solo si x es un punto interior de X \A, lo que implica que X \A

es abierto de donde se concluye que A es cerrado.

Teorema 1.3. Sean X un espacio métrico, A ⊂ X tal que A 6= ∅ y A la clausura de A.

Entonces

a) x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x.

b) A es cerrado si y solo si la sucesión (xn)n∈N ⊂ A, xn −−−→n→∞

x implica que x ∈ A.

9

Demostración. Para probar el literal a. Sea x ∈ A, si x ∈ A es una sucesión de la forma

(x, x, x, · · · ), si x 6∈ A entonces x es un punto de acumulación de A. Por tanto para cada

n ∈ N la bola B(x, 1

n

)contiene a (xn)n∈N ⊂ A y como 1

n −−−→n→∞0 se tiene que xn −−−→

n→∞x.

Consecuentemente se supone que existe (xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x, así de la Denición

(1.19) se tiene que para todo ε > 0 existe N ∈ N tal que, para n > N , d(xn, x) < ε esto

implica que (xn)n∈N ⊂ B(x, ε) de donde se sigue que

B(x, ε) ∩A 6= ∅.

Por tanto x es un punto adherente, así x ∈ A. Se prueba ahora el literal b. Del Teorema 1.2

se obtiene que A es cerrado si y solo si A = A, así del literal a se tiene que dado x ∈ A existe

una sucesión en A tal que converge a x, como A = A entonces x ∈ A. De manera consecuente,

se supone que dado una sucesión (xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x con x ∈ A, del literal a se

sigue que x ∈ A lo que implica que A = A por lo tanto, A es un conjunto cerrado.

Teorema 1.4. Sea A ⊂ X, X un espacio métrico completo. A es completo si y solo si A es

cerrado en X.

Demostración. Por un lado, sea A un espacio completo, del Teorema 1.3 primer literal, se

tiene que, para todo x ∈ A existe una sucesión

(xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x,

lo que implica que (xn)n∈N es una sucesión de Cauchy, pues toda sucesión convergente es una

sucesión de Cauchy. De la completitud de A y de la unicidad de límite se tiene que x ∈ A.

Así del Teorema 1.3 segundo literal, se concluye que A es cerrado, pues x es arbitrario. Por

otro lado, se supone que A es cerrado, sea (xn)n∈N ⊂ A una sucesión de Cauchy, como toda

sucesión convergente es de una sucesión de Cauchy, entonces del literal b del Teorema 1.3 se

tiene que xn −−−→n→∞

x, donde x ∈ A, de donde se concluye que A es un espacio completo.

Teorema 1.5. Sean (X, dX) un espacio métrico, A ⊂ X un conjunto denso, (Y, dY ) un

espacio métrico completo y f : A ⊂ X 7−→ Y una función uniformemente continua. Entonces

existe una única función g : X 7−→ Y continua tal que g|A = f y además g es uniformemente

continua.

Demostración. Sea x ∈ A, del Teorema 1.3 se tiene que existe (xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x,

luego de la Denición 1.16, se sigue que, dado ε > 0, sea δ > 0, existe N ∈ N tal que para

m,n ≥ N se obtiene que dX(xm, xn) < δ implica que dY (f(xm), f(xn)) < ε, así (f(xn))n∈N ⊂

10

Y es una sucesión de Cauchy, como Y es un espacio métrico completo, entonces existe g(x) ∈ Y

tal que f(xn) −−−→n→∞

g(x), así se dene

g(x) = lımn→∞

f(xn), (1.2)

de donde se obtiene una función g : A 7−→ Y bien denida pues (xn)n∈N converge en A.

Además, para todo n ∈ N y para x ∈ A se puede tomar an = a, lo que implica que g extiende

a f, luego f(xn) −−−→n→∞

f(x), así f(x) = g(x). Ahora se va a probar la continuidad uniforme de

g. Sea ε > 0, jo, de la continuidad uniforme de f se obtiene un δ > 0 tal que, para x, y ∈ A

dX(x, y) < δ implica que dY (f(x), f(y)) <ε

2.

Ahora, para x, y ∈ A, dX(x, y) < δ3 , se va a probar que dY (f(x), f(y)) < ε. Sean (xn)n∈N, (yn)n∈N ⊂

A tal que xn −−−→n→∞

x y yn −−−→n→∞

y, así, existe N ∈ N tal que, para n ≥ N se obtiene que

dX(xn, x) <δ

3y dX(yn, y) <

δ

3.

Entonces,

dX(xn, yn) ≤ dX(an, x) + dX(x, y) + dX(y, yn) <δ

3+δ

3+δ

3< δ,

luego,

dY (f(xn), f(yn)) <ε

2.

Dado que f(xn) −−−→n→∞

f(x) y g(xn) −−−→n→∞

g(x), entonces

dY (f(xn), g(xn)) −−−→n→∞

dY (f(x), g(x)),

de donde se concluye que

dY (f(x), g(x)) <ε

2< ε.

Ahora se verica la unicidad. Sea Ψ : A 7−→ Y una función que también extiende a f. Se ja

x ∈ A, entonces por el Teorema 1.3, se sigue que existe (xn)n∈N ⊂ A tal que xn −−−→n→∞

x,

además como Ψ extiende a f, entonces

f(xn) = Ψ(xn) −−−→n→∞

Ψ(x),

pero por (1.2) se tiene que

11

f(xn) −−−→n→∞

g(x).

Luego, por la unicidad de límite se concluye que, para x ∈ A

Ψ(x) = g(x).

Observación 1.2. Usando la métrica denida en (1.1) se obtiene la siguiente armación.

Sean X un espacio vectorial normado, x ∈ X y r > 0 se dene la bola abierta como el

conjunto B(x, r) = y ∈ X|‖x − y‖ < r. bajo esta denición de bola abierta se obtienen de

manera inmediata las Deniciones 1.9, 1.10, 1.11 y 1.12 para un espacio vectorial normado.

Así mismo, considerando X,Y espacios vectoriales normados, la métrica (1.1) y la función

f : X −→ Y se tienen las diferentes continuidades y la discontinuidad denidas en (1.14),

(1.15), (1.16), (1.22) y (1.17). Además las Deniciones 1.19 y 1.20 se tienen al considerar la

sucesión en un espacio vectorial normado y la métrica (1.1). Así se puede denir el siguiente

espacio.

Denición 1.21. Sean X un espacio vectorial normado con norma ‖.‖. Se dice que X es un

espacio de Banach, si toda sucesión de Cauchy (xn)n∈N ⊂ X es convergente en X.

Denición 1.22. Sea X un espacio de Banach, L(X) el espacio de los operadores lineales

continuos en X provisto de la norma ‖, ‖. Se dice que f : I ⊂ R 7−→ L(X), es fuertemente

continua si, para t ∈ I y x ∈ X la aplicación t 7−→ f(t)x es continua para todo x ∈ X.

Denición 1.23. Sea X un espacio vectorial normado y (xn)n∈N una sucesión en X, para

cada n ∈ N se forman las sumas parciales

S1 = x1

S2 = x1 + x2

S3 = x1 + x2 + x3

...

Sn = x1 + x2 + · · ·+ xn.

Donde se tiene una nueva sucesión (Sn)n∈N. A dicha sucesión se la denota como una serie,

∞∑i=1

xi.

12

Si la suma existe, se dice que la serie converge, caso contrario la serie diverge.

Una propiedad de las sumas nitas es la propiedad telescópica la cual arma

n∑i=1

(ai − ai+1) = a1 − an+1. (1.3)

Se denomina serie telescópica al hecho de extender esta propiedad a las series innitas, se

consideran las series∑bn tales que cada término de la serie se lo puede expresar como

bn = an − an−1, (1.4)

donde su convergencia se caracteriza por el siguiente resultado.

Teorema 1.6. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones de números complejos tales que satis-

facen (1.4). Entonces la serie,

∞∑n=1

bn = a1 − a, a = lımn→∞

an. (1.5)

Demostración. Sea Sn la n-ésima suma parcial de la serie∑bi, de (1.3) se sigue que

Sn =

n∑i=1

bi =

n∑i=1

(ai − ai+1) = a1 − an+1.

De donde se tiene que las sucesiones (Sn)n∈N y (an)n∈N convergen o divergen, además, si

an −−−→n→∞

a, entonces Sn −−−→n→∞

a1 − a, por lo tanto se tiene (1.5).

Denición 1.24. Sea B un espacio de Banach, se dice que B es un álgebra de Banach si,

para todo t, s, u ∈ B y λ ∈ K se tienen las siguientes propiedades

A1) t(su) = (ts)u.

A2) (t+ s)(u) = tu+ su.

A3) t(s+ u) = ts+ tu.

A4) λ(ts) = (λt)s = t(λs).

A5) ‖ts‖ ≤ ‖t‖‖s‖.

A6) B contiene un elemento e tal que te = et = t.

A7) ‖e‖ = 1.

13

Denición 1.25. Sea X un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Se dene al producto interno

de x con y como

〈, 〉 : X ×X 7−→ K

(x, y) 7−→ 〈x, y〉,

de modo que, para todo x, y, z ∈ X y λ ∈ K 〈, 〉 satisfaga las siguientes condiciones

P1) 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉.

P2) 〈λx, y〉 = |λ|〈x, y〉.

P3) 〈x, y〉 = 〈y, x〉.

P4) Si x 6= 0 entonces 〈x, x〉 > 0.

P5) 〈x, x〉 = 0 si y solo si x = 0.

Existe una relación entre el producto interno y la norma de un vector en x ∈ X dada por

‖x‖ =√〈x, x〉.

Proposición 1.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Para todo x, y ∈ X donde X es un

espacio vectorial con producto interno, se tiene que

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.

Demostración. Sea x ∈ X, si x = 0 la desigualdad se tiene de manera inmediata. Si x 6= 0,

sea

µ =〈x, y〉‖x‖2

,

y z ∈ X tal que 〈x, z〉 = 0, donde z = y − µx, despejando y se tiene que y = z + µx, luego

〈y, y〉 = 〈z + µx, z + µx〉

= 〈z, z〉+ 〈z, µx〉+ 〈µx, z〉+ 〈µx, µx〉

‖y‖2 = ‖z‖2 + µ2‖x‖2.

14

Así,

µ2‖x‖2 ≤ ‖y‖2(〈x, y〉‖x‖2

)2

‖x‖2 ≤ ‖y‖2

(〈x, y〉)2 ≤ ‖x‖2‖y‖2√(〈x, y〉)2 ≤

√‖x‖2‖y‖2

|〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.

1.2. Variable Compleja

Sobre la teoría estudiada en adelante, se hace uso de los textos [9] y [10].

Denición 1.26. Se dene al conjunto C como el conjunto R2 tal que, para x, y, t, s ∈ R y

un escalar a se tienen las siguientes operaciones

(x, y) + (t, s) = (x+ t, y + s),

a(x, y) = (ax, ay),

y con la operación compleja denida como

(x, y)(t, s) = (xt− ys, xs− yt).

Como notación, si z ∈ C, z es de la forma x+ iy. Se dene al módulo de z como

|z| =√x2 + y2.

Observación 1.3. Se puede inducir la topología del conjunto C usando la siguiente métrica.

Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 ∈ C se dene la métrica del conjunto C como

d(z1, z2) = |z1 − z2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. (1.6)

Dado que√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 es una métrica en R2 entonces se verica que (1.6) es en

efecto una métrica, en consecuencia C es un espacio métrico. Así, para z ∈ C se tienen de

manera análoga las Deniciones 1.8, 1.9, 1.10, 1.11 y 1.12 para el espacio métrico C.

15

Denición 1.27. Sea (zn)n∈N ⊂ C una sucesión de números complejos, se dice que (zn)n∈N

converge a z ∈ C si, para todo ε > 0, existe un N ∈ N tal que n ≥ N , |zn − z| < ε.

Denición 1.28. Sea f : C 7−→ C y z0 ∈ D(f). Se dene el límite de f(z) cuando z → z0

como

lımz→z0

f(z) = t,

esto es si, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, para z ∈ D(z0, r), z 6= z0 y |z− z0| < δ implica

|f(z)− t| < ε, donde

D(z0, r) := z ∈ C; |z − z0| < r.

Denición 1.29. Sea f : A ⊂ C 7−→ C, A es un conjunto abierto. Se dice que f es continua

en z0 ∈ A si y solo si

lımz→z0

f(z) = f(z0).

Si f es continua en cada punto z0 ∈ A, entonces f es continua en A.

Denición 1.30. Sea f : A ⊂ C 7−→ C, A es un conjunto abierto. Si

lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0,

existe, entonces se dice que f es diferenciable en z0 ∈ A y se denota como f ′(z0).

Denición 1.31. Se dice que f denida en un subconjunto A de C en C, es analítica, si f

es diferenciable en cada z0 ∈ A.

Proposición 1.2. Si f : A ⊂ C 7−→ C es diferenciable z0 ∈ A, entonces f es continua en

z0 ∈ A.

Demostración. Sea z0 ∈ A

lımz→z0

[f(z)− f(z0)] = lımz→z0

[f(z)− f(z0)

z − z0(z − z0)

]= lım

z→z0

f(z)− f(z0)

z − z0lımz→z0

(z − z0)

= f ′(z0) · 0 = 0.

Por lo tanto f es continua en z0.

Teorema 1.7. Sea A ⊂ C un conjunto abierto y f una función denida como

f : A 7−→ C (1.7)

(x, y) 7−→ f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y). (1.8)

16

Entonces, para z0 ∈ A, f ′(z0) existe si y solo si f es diferenciable con respecto a sus variables

reales y además u, v satisfacen las siguientes condiciones

∂u

∂x=∂v

∂y, (1.9)

∂u

∂y= −∂v

∂x, (1.10)

conocidas como las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Así, si cada una de las derivadas parciales

existen, son continuas en A y satisfacen las condiciones (1.9), (1.10), entonces f es analítica

en A. Luego

f ′(z0) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂f

∂x,

=∂v

∂y− i∂u

∂y=

1

i

∂f

∂y.

Demostración. Se supone que u, v satisfacen (1.9) y (1.10). De la Denición 1.30 se tiene que,

para z0 ∈ A

f ′(z0) = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0.

Haciendo z = x+ iy0, z0 = x0 + iy0 y de (1.8) se sigue que

f(z)− f(z0)

z − z0=u(x, y0) + iv(x, y0)− u(x0, y0)− iv(x0, y0)

x+ iy0 − x0 − iy0

=u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0+ i

v(x, y0)− v(x0, y0)

x− x0.

Tomando el límite en x→ x0,

lımx→x0

f(z)− f(z0)

x− x0= lım

x→x0

u(x, y0)− u(x0, y0)

x− x0+ i lım

x→x0

v(x, y0)− v(x0, y0)

x− x0(1.11)

f ′(z0) =∂u

∂x+ i

∂v

∂x. (1.12)

Ahora se toma z = x0 + iy, z0 = x0 + iy0 y usando (1.8) se tiene que

f(z)− f(z0)

z − z0=u(x0, y) + iv(x0, y)− u(x0, y0)− iv(x0, y0)

x0 + iy − x0 − iy0

=u(x0, y)− u(x0, y0)

i(y − y0)+ i

v(x0, y)− v(x0, y0)

i(y − y0).

Tomando el límite en y → y0, usando (1.9) y (1.10) se obtiene que

∂v

∂y− i∂u

∂y=∂u

∂y+

1

i

∂v

∂y. (1.13)

17

Por tanto f ′(z0) existe. Ahora, se supone que f ′(z0) existe, entonces f es continua en A en

consecuencia f es analítica en A, además de las ecuaciones (1.12) y (1.13) se sigue que,

f ′(z0) = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0=∂u

∂x+ i

∂v

∂x=∂v

∂y− i∂u

∂y.

Luego,

∂u

∂x=∂v

∂y,

∂u

∂y= −∂v

∂x.

Denición 1.32. Sea fn : A ⊂ C 7−→ C una sucesión de funciones en A, (fn)n∈N converge

puntualmente si, para cada z ∈ A, la sucesión (fn(z))n∈N converge.

Denición 1.33. Sea una sucesión de funciones (fn)n∈N denidas en A ⊂ C 7−→ C, se dice

que converge uniformemente a f ∈ C si, para cada ε > 0, existe N ∈ N, tal que n ≥ N

implica, para todo z ∈ A, |fn(z)− f(z)| < ε.

Denición 1.34. Una serie de funciones complejas converge uniformemente, si sus sumas

parciales convergen de manera uniforme.

Teorema 1.8. Se dice que una sucesión de funciones (fn(z))n∈N denidas en A ⊂ C 7−→ C

converge uniformemente si, dado ε > 0 arbitrario, existe N ∈ N tal que n ≥ N implica que,

para todo z ∈ A y m ∈ N, |fn(z)− fn+m(z)| < ε. A este criterio de convergencia se lo llama

criterio de Cauchy.

Demostración. Sea z ∈ A, se sabe que C es un espacio completo, entonces, para cada z ∈ A,

(fn(z))n∈N es una sucesión de Cauchy, en consecuencia se puede denir

f(z) = lımn→∞

fn(z).

Dado ε > 0, se escoge un N ∈ N tal que, para n ≥ N y m ≥ 1

|fn(z)− fn+m(z)| < ε

2, (1.14)

luego, de la convergencia puntual, sea m lo sucientemente grande tal que, para cada z ∈ A

|fn+m(z)− f(z)| < ε

2. (1.15)

18

Entonces, usando (1.14) y (1.15),

|fn+m(z)− f(z)| = |fn(z)− fn+m(z) + fn+m(z)− f(z)|

≤ |fn(z)− fn+m(z)|+ |fn+m(z)− f(z)|

<ε

2+ε

2= ε.

De manera recíproca, si fn −−−→n→∞

f de manera uniforme, es decir, dado ε > 0, existe N ∈ N

tal que, n ≥ N implica que, para todo z ∈ A

|fn(z)− f(z)| < ε

2, (1.16)

dado que n+m ≥ N y de (1.16) se sigue que

|fn(z)− fn+m(z)| = |fn(z)− f(z) + f(z)− fn+m(z)|

≤ |fn(z)− f(z)|+ |f(z)− fn+m(z)|

<ε

2+ε

2= ε.

En consecuencia |fn(z)− fn+m(z)| < ε.

Teorema 1.9 (Cauchy-Goursat). Sea f : D 7−→ C una función analítica y D = D(z0; r) ⊂ C.

Entonces

1. Existe f : D 7−→ C la cuales analítica y además, para todo z ∈ D satisface F ′(z) = f(z),

donde F ′(z) es la primitiva de f(z).

2. Si Ω ⊂ D es una curva cerrada, entonces

∫Ωf = 0.

Demostración. Ver [9], página 139.

Teorema 1.10 (Morera). Sea f : A ⊂ C 7−→ C una función continua tal que

∫Ωf = 0,

donde Ω ⊂ A es una curva cerrada. Entonces f es analítica en A y además, para na función

analítica F ∈ A se tiene que F ′ = f.

Demostración. Ver [9], página 174.

19

Proposición 1.3. Dada la sucesión de funciones continuas (fn)n∈N denidas en A ⊂ C 7−→

C, si para f : A ⊂ C 7−→ C, fn −−−→n→∞

f de manera uniforme, entonces f es continua en A.

Demostración. Sea z0 ∈ A, de la convergencia uniforme, se puede tomar un N ∈ N tal que,

para todo z ∈ A,

|fN (z)− f(z)| < ε

3.

Dado que fN es continua, entonces existe δ > 0 tal que |z − z0| < δ, implica que

|fN (z)− fN (z0)| < ε

3,

luego,

|f(z)− f(z0)| = |f(z)− fN (z) + fN (z)− fN (z0) + fN (z0)− f(z0)|

≤ |f(z)− fN (z)|+ |fN (z)− fN (z0)|+ |fN (z0)− f(z0)|

<ε

3+ε

3+ε

3= ε.

De donde se concluye que f es continua en A.

Proposición 1.4. Sean Ω : [a, b] 7−→ A una curva en A y (fn)n∈N ⊂ A una sucesión de

funciones continuas tal que fn converge uniformemente a una función f ∈ A. Entonces

∫Ωfn −−−→

n→∞

∫Ωf.

Demostración. De la Proposición 1.3 se tiene que f es continua, lo que implica que es inte-

grable. Ahora, sea ε > 0, se puede elegir un N ∈ N tal que n ≤ N implica que, para todo

z ∈ Ω, |fn(z)− f(z)| < εµ(Ω) . Así∣∣∣∣∫

Ωfn −

∫Ωf

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫Ω

(fn − f)

∣∣∣∣≤∫

Ω|fn(z)− f(z)||dz|

<ε

µ(Ω)µ(Ω) = ε.

Observación 1.4. Los Teoremas 1.9, 1.10 y la Proposición 1.4 son esenciales para demostrar

el siguiente teorema conocido como el Teorema de Convergencia Analítica.

Teorema 1.11. Sea (fn)n∈N una sucesión de funciones analíticas denidas en A ⊂ C 7−→ C.

20

Si fn −−−→n→∞

f, f ∈ A de manera uniforme en cualquier disco cerrado de A. Entonces f es

analítica.

Demostración. Sean z0 ∈ A, un disco cerrado D(z0; r) ⊂ A denido como

D(z0; r) = z ∈ A; |z − z0| ≤ r,

y una región convexa,

D(z0; r) = z ∈ A; |z − z0| < r,

de donde se sigue que D(z0; r) es simplemente convexa. De la hipótesis se tiene que fn −−−→n→∞

f

de manera uniforme en D(z0; r) y también en D(z0; r). Se va a mostrar que f es analítica

en D(z0; r). Sea Ω ∈ D(z0; r) una curva cerrada, del Teorema 1.9 y dado que D(z0; r) es

simplemente convexo, entonces ∫Ωfn = 0.

luego, por la Proposición 1.4 se obtiene que

∫Ωfn −−−→

n→∞

∫Ωf,

y por tanto, ∫Ωf = 0.

Así por el Teorema 1.10 se concluye que f es analítica.

Denición 1.35. Sean a, z, z0 ∈ C, se dene la serie de potencias como sigue

∞∑i=0

ai(z − z0)i.

Lema 1.1 (Abel-Weierstrass). Sea r0 ≥ 0, se supone que, para todo n ∈ N, |an|rn0 ≤M donde

M es una constante. Entonces, para r < r0 se dice que

∞∑i=0

ai(z − z0)i,

converge de manera uniforme y absoluta en el disco cerrado

D(z0; r) = z ∈ C; |z − z0| ≤ r.

Demostración. Ver [9], página 227.

21

De este lema se desprende el siguiente teorema.

Teorema 1.12. Sea∞∑i=0

ai(z − z0)i, (1.17)

una serie de potencias. Existe un único r ≥ 0 denominado como el radio de convergencia tal

que, si |z− z0| < r, entonces la serie (1.17) converge, y si |z− z0| > r la serie (1.17) diverge.

Demostración. Sea

r = sup

r ≥ 0

∣∣∣∣∣∞∑i=0

|ai|ri converge

, (1.18)

r0 < r, de (1.18) se sigue que existe r1 tal que r0 < r1 ≤ r y

∞∑i=0

|ai|ri1,

converge, lo que implica que∞∑i=0

|ai|ri0, (1.19)

converge. Además, para todo i ∈ N, |ai|ri0 están acotados, así por el Lema 1.1 se tiene que

la serie (1.19) converge uniformemente y absolutamente en D(z0; r) con r < r0. Puesto que,

|z − z0| < r implica que z ∈ D(z0; r) y como r < r0, entonces se tiene la convergencia en z.

Ahora se supone que |z1 − z0| > r y

∞∑i=0

ai(z1 − z0)i, (1.20)

converge, se nota que, para todo i ∈ N, |ai(z1 − z0)i| están acotados. Así por el Lema 1.1 se

tiene que, si

r < r′ < |z1 − z0|,

entonces, si z1 ∈ D(z0; r), la serie converge de manera absoluta, lo que implica que la serie

∞∑i=0

airi,

converga, pero por denición se tiene que r < r lo cual es una contradicción. En consecuencia

(1.20) diverge. Así se ha demostrado que la serie (1.17) converge uniformemente y absoluta-

mente en cada disco cerrado D(z0; r) y dado que D(z0; r) ⊂ A, entonces la convergencia se

tiene en cualquier disco cerrado en A.

Denición 1.36. Sea z0, a ∈ A ⊂ C y la función

22

f : A ⊂ C 7−→ C

z 7−→ f(z) =

∞∑i=0

ai(z − z0)i.

Entonces f es una función analítica en el interior del círculo de convergencia.

1.3. Análisis Funcional

Se usa como textos guías [4], [11], [12] y [13] para el estudio de esta sección.

Denición 1.37. Sea X un espacio vectorial real o complejo, K = R o C. Entonces se dice

que la función denida como sigue

f : D(f) ⊂ X 7−→ K, (1.21)

tal que para todo x, y ∈ D(f) y α ∈ K verica la propiedad f(αx + αy) = αf(x) + αf(y) es

un funcional lineal.

Denición 1.38. Sea X un espacio vectorial, un funcional lineal f se dice acotado si y solo

si, existe una constante c > 0 tal que para todo x ∈ X tal que

|f(x) ≤ c‖x‖.

Denición 1.39. Sea X un espacio vectorial normado. Al conjunto denido

X∗ = f : X 7−→ K; f es un funcional lineal continuo ,

se denomina el espacio dual de X y se dene su norma como

‖f‖X∗ = supx∈X‖x‖≤1

|f(x)|.

Teorema 1.13 (Hahn-Banach). Sea X un espacio vectorial real, ρ : X 7−→ R una función

tal que

1. Para todo x ∈ X y λ > 0

ρ(λx) = λρ(x). (1.22)

2. Para todo x, y ∈ X,

23

ρ(x+ y) ≤ ρ(x) + ρ(y). (1.23)

Sean A un subespacio de X, g : A 7−→ R un funcional lineal tal que, para todo x ∈ A,

g(x) ≤ ρ(x).

Entonces existe un funcional lineal f : X −→ R tal que extiende g, es decir, para todo x ∈ A

g(x) = f(x) y tal que, para todo x ∈ X

f(x) ≤ ρ(x).

Demostración. Ver [12], página 1.

Corolario 1.1. Sea A un subespacio de un espacio normado X. Si g : A 7−→ R es un funcional

lineal continuo, entonces existe f ∈ X∗ tal que extiende a g y tal que

‖f‖X∗ = supx∈A‖x‖≤1

|g(x)| = ‖g‖A∗ . (1.24)

Demostración. Sea A ⊂ X y A∗ su dual, de la hipótesis de g se sigue que g ∈ A∗. Ahora,

para todo x ∈ X se dene

ρ(x) = ‖g‖A∗‖x‖. (1.25)

Se va a probar que (1.25) verica (1.22) y (1.23). Sea λ > 0 y x ∈ X,

ρ(λx) = ‖g‖A∗‖λx‖ = |λ|‖g‖A∗‖x‖ = λρ(x),

lo que verica (1.22). Sea x, y ∈ X,

ρ(x+ y) = ‖g‖A∗‖x+ y‖

≤ ‖g‖A∗(‖x‖+ ‖y‖)

= ‖g‖A∗‖x‖+ ‖g‖A∗‖y‖

= ρ(x) + ρ(y),

lo que verica (1.23). Luego, se tiene que para todo x ∈ A, g(x) ≤ ρ(x), del Teorema 1.13,

se sigue que existe f ∈ X∗ tal que, para todo x ∈ A, g(x) = f(x) y para todo x ∈ X,

f(x) ≤ ρ(x). Tomando supremos en la última igualdad, se tiene que

24

supx∈X‖x‖≤1

|g(x)| = supx∈X‖x‖≤1

|f(x)|,

‖g‖X∗ ≥ ‖f‖A∗ ,

como el supremo no decrece, entonces se tiene que ‖g‖X∗ ≤ ‖f‖A∗ . Así se tiene (1.24).

Corolario 1.2. Sea X un espacio vectorial normado, para todo x ∈ X existe f ∈ X∗ tal que

‖f‖ = ‖x‖ y 〈f, x〉 = ‖x‖2.

Demostración. Sea A = R, x ∈ X y g : A 7−→ R un funcional lineal tal que g(tx) = t‖x‖2, del

Corolario 1.2 se sigue que existe g ∈ X∗ tal que, para todo x ∈ X, ‖g‖A∗ = ‖x‖, y además,

de la denición de g se concluye que 〈g, x〉 = ‖x‖2.

Denición 1.40. Sean X un espacio de Banach, X∗ su dual y f ∈ X∗. Se dene, para

x ∈ X, el funcional lineal

Φf : X 7−→ R

x 7−→ Φf (x) = 〈f, x〉.

Dado que f ∈ X∗ entonces se obtiene una colección (Φf )f∈X∗. Se dene a la topología débil

como la topología menos na sobre X asociada a la colección (Φf )f∈X∗ . Denotada como

σ(X,X∗).

Denición 1.41. Sean X un espacio de Banach, X∗ su dual y f ∈ X∗, para x ∈ X se dene

el funcional lineal

Φx : X∗ 7−→ R

f 7−→ Φx(f) = 〈f, x〉.

Dado que x es arbitrario, entonces se obtiene la colección (Φx)x∈X . A σ(X∗, X) se lo llama

topología débil∗ y es la topología menos na del dual X∗ asociada a la colección (Φx)x∈X .

Teorema 1.14 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). Sea la bola unitaria cerrada

BX∗ = f ∈ X∗; ‖f‖ ≤ 1 ,

25

donde X es un espacio de Banach y X∗ su dual. Entonces BX∗ es compacta en σ(X∗, X).

Demostración. Ver [12], página 66.

Denición 1.42. Sean Ω ⊂ Rn abierto y f : Ω 7−→ R una función. Se dene el soporte de f

como

supp(f) = x ∈ Ω; f(x) 6= 0.

Se dice que f tiene soporte compacto si supp(f) está contenido en un compacto.

26

CAPÍTULO 2

OPERADORES LINEALES CONTINUOS

Este capítulo está enfocado en establecer algunos resultados relevantes a utilizarse en el de-

sarrollo del proyecto de los operadores lineales acotados y el espacio B(X,X) a los cuales

pertenecen dichos operadores..

2.1. Deniciones y propiedades generales

Los resultados enunciados en esta sección se pueden encontrar en [1], [11] y [13]. En adelante

se considera X, Y espacios de Banach sobre un cuerpo K = R o C y se dirá espacio de Banach

real o complejo. Denotamos a ‖ · ‖ como la norma en X y en Y de manera indistinta.

Denición 2.1. Sea A un subespacio vectorial de X. Una función T :A 7−→ Y se dice que es

un operador lineal de X en Y si verica lo siguiente:

i) ∀λ ∈ K, x, y ∈ A, se tiene T (λx+ y) = λT (x) + T (y).

ii) A = X.

Se denomina L (A, Y ) al conjunto compuesto por todos operadores de X en Y , cuyo dominio

es A.

Denición 2.2. Un operador T ∈ L (X,Y ) es acotado si, para x ∈ X se tiene que

sup‖x‖=1

‖T (x)‖ <∞. (2.1)

en tal caso se dene la norma del operador como sigue.

‖T‖ := sup‖x‖=1

x∈X

‖T (x)‖. (2.2)

27

Se denota como B(X,Y ) al conjunto compuesto por todos los operadores lineales acotados de

X en Y .

Se tienen las siguientes propiedades:

1. L (X,Y ) es un espacio vectorial y B(X,Y ) es subespacio vectorial de L (X,Y ).

Demostración. Se va a probar que L (X,Y ) es un espacio vectorial. En efecto, se sabe que

el espacio de las funciones de X en Y , denotado como F(X,Y ) es un espacio vectorial,

además L (X,Y ) ⊂ F(X,Y ), entonces basta demostrar que L (X,Y ) es un subespacio

vectorial de F(X,Y ). En efecto, sean λ ∈ K y T,U ∈ L (X,Y ) y A,B subespacios

vectoriales de X, así de la Denición 2.1 se tiene que los operadores T,U están denidos

como, T : A ⊂ X 7−→ Y tal que,

i) ∀λ ∈ K, x, y ∈ A, se tiene T (λx+ y) = λT (x) + T (y).

ii) A = X,

y U : B ⊂ X 7−→ Y tal que,

i) ∀α ∈ K, x, y ∈ B, se tiene U(αx+ y) = αU(x) + U(y).

ii) B = X.

Se prueba que T + U ∈ L (X,Y ). Se dene T + U : X 7−→ Y así, sean x, y ∈ X, δ ∈ K,

(T + U)(δx+ y) = (T + U)(δx) + (T + U)(y) = [δT (x) + T (y)] + [δU(x) + U(y)] .

Por tanto T +U ∈ L (X,Y ). Ahora se prueba que λT ∈ L (X,Y ). Se dene λT : X 7−→

Y , sean x, y ∈ X, δ ∈ K,

(λT )(δx+ y) = (λT )(δx) + (λT )(y) = δ(λT )(x) + (λT )(y).

Por tanto λT ∈ L (X,Y ). Por último se va a probar que B (X,Y ) es subespacio vectorial

de L (X,Y ). En efecto, sean λ ∈ K y T,U ∈ B(X,Y ). Como ya se mostró que L (X,Y )

es un espacio vectorial, entonces basta mostrar que ‖T +U‖ <∞ y ‖λT‖ <∞. Por un

lado se tiene que para todo x ∈ X

‖T + U‖ = sup‖x‖=1

‖(T + U)(x)‖

≤ sup‖x‖=1

‖T (x)‖+ sup‖x‖=1

‖U(x)‖ <∞.

28

Por tanto ‖T + U‖ <∞. Por otro lado se tiene que para todo x ∈ X

‖λT‖ = sup‖x‖=1

‖(λT )(x)‖ = sup‖x‖=1

‖λ(T )(x)‖

= sup‖x‖=1

|λ|‖T (x)‖ = |λ| sup‖x‖=1

‖T (x)‖ <∞.

Por tanto ‖λT‖ <∞.

2. ‖ · ‖ es una norma en B (X,Y ) .

Demostración. Sean T, S ∈ B(X,Y ) y α ∈ K.

N1) Como Y es un espacio de Banach provisto con norma ‖ · ‖, entonces para todo

x ∈ X se tiene que,

‖T (x)‖ ≥ 0 =⇒ sup‖x‖=1

‖T (x)‖ ≥ 0.

En consecuencia, ‖T‖ ≥ 0.

N2) Se va a probar que para todo T ∈ B (X,Y ), ‖T‖ = 0 implica que T = 0. En efecto,

para todo x ∈ X se tiene que

0 ≤ ‖T (x)‖ ≤ sup‖x‖=1

‖T (x)‖ = 0 =⇒ ‖T (x)‖ = 0,

de donde se sigue que para todo x ∈ X se verica que T (x) = 0 entonces T = 0.

Ahora se prueba que para todo T ∈ B (X,Y ) se tiene que, si T = 0 entonces

‖T‖ = 0. En efecto, como T = 0 esto implica que ∀x ∈ X, T (x) = 0, entonces

‖T‖ = sup‖x‖=1

‖T (x)‖ = sup‖x‖=1

0 = 0.

N3) De la ecuación (2.2) se tiene que para todo x ∈ X,

‖αT‖ = sup‖x‖=1

‖(αT )(x)| = sup|x‖=1

‖α(T (x))‖.

Como Y es un espacio de Banach, se verica la propiedad ‖α(T (x))‖ = |α|‖T (x)‖.

Así

‖αT‖ = sup‖x‖=1

|α|‖T (x)‖ = |α| sup‖x‖=1

‖T (x)‖

‖αT‖ = |α|‖T‖.

29

N4) De la ecuación (2.2) se tiene,

‖T + S‖ = sup‖x‖=1

‖(T + S)(x)‖ = sup‖x‖=1

‖T (x) + S(x)‖.

De las propiedades del supremo y como Y es un espacio de Banach, se tiene

‖T + S‖ ≤ sup‖x‖=1

‖T (x)‖+ sup‖x‖=1

‖S(x)‖,

‖T + S‖ ≤ ‖T‖+ ‖S‖.

3. Para todo x ∈ X,T ∈ B (X,Y ) se tiene que ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖‖x‖.

Demostración. De la Denición 2.1 se tiene que T (A) está acotado en Y , entonces existe

M > 0 tal que para todo y ∈ A se verica que ‖T (y)‖ ≤M , luego para todo x ∈ X \0

∥∥∥∥T ( x

‖x‖

)∥∥∥∥ ≤M,

‖T (x)‖‖x‖

≤M.

Dado que 0 ∈ X, entonces para todo x ∈ X se tiene que ‖T (x)‖ ≤ M‖x‖, tomando

M = ‖T‖, se concluye que para todo x ∈ X, ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖‖x‖.

4. Sea A un subespacio de X y T un operador lineal. Si A es denso en X y T ∈ B(A, Y ),

entonces existe T ∈ B (X,Y ) tal que T (x) = T (x), para todo x ∈ A y ‖T‖B(X,Y ) =

‖T‖B(A,Y ).

Demostración. Del hecho que A es denso en X, se tiene que para todo x ∈ X existe

(xn)n∈N ⊂ A tal que ‖xn − x‖ −−−→n→∞

0. Se dene,

T (x) = lımn→∞

T (xn) (2.3)

El límite existe pues A es acotado y Y es un espacio de Banach. Además T está bien

denido, en efecto, sea x ∈ A y (xn)n∈N , (yn)n∈N ⊂ A tal que

‖xn − x‖ −−−→n→∞

0, ‖yn − x‖ −−−→n→∞

0.

De donde se sigue que

30

‖T (xn)− T (yn) ‖ = ‖T (xn − yn) ‖ ≤ ‖T‖‖xn − yn‖

≤ ‖T‖ (‖xn − x‖+ ‖x− yn‖) −−−→n→∞

0.

Esto muestra que T es único denido en todo x ∈ A subconjunto de X. Ahora se prueba

que T es lineal, sea α ∈ K y x, y ∈ X entonces existen (xn)n∈N , (yn)n∈N ⊂ A tal que

‖xn − x‖ −−−→n→∞

0, ‖yn − y‖ −−−→n→∞

0.

De (2.3), se tiene que

T (αx+ y) = lımn→∞

T (αxn + yn) = lımn→∞

[αT (xn) + T (yn)]

= α lımn→∞

T (xn) + lımn→∞

T (yn) = αT (x) + T (y).

En consecuencia T ∈ B (X,Y ) luego, para todo x ∈ A, T (x) = T (x) y además

‖T‖ = supx∈A‖x‖=1

‖T (x)‖ ≤ supx∈X‖x‖=1

‖T (x)‖ = ‖T‖.

Por otro lado, si ‖x‖ = 1, existe (xn)n∈N ⊂ A, con ‖xn‖ = 1 y ‖xn − x‖ −−−→n→∞

0. Ya

que (2.3) está bien denido, entonces se tiene que,

∥∥T (x)∥∥ = ‖ lım

n→∞T (xn)‖ = lım

n→∞‖T (xn)‖

≤ lımn→∞

‖T‖‖xn‖ = ‖T‖ lımn→∞

‖xn‖ = ‖T‖.

Así se concluye que ‖T‖ ≤ ‖T‖. Por lo tanto, ‖T‖B(X,Y ) = ‖T‖B(A,Y ).

5. Sea T ∈ L (X,Y ), el operador T verica lo siguiente

sup‖x‖=1

‖T (x)‖ = sup‖x‖<1

‖T (x)‖ = sup‖x‖≤1

‖T (x)‖.

Demostración. Primero se va a probar que sup‖x‖=1 ‖T (x)‖ = sup‖x‖<1 ‖T (x)‖. Se tiene

que para todo x ∈ B(0, 1), x 6= 0,

‖T (x)‖ = ‖x‖∥∥∥∥T ( x

‖x‖

)∥∥∥∥ .Luego

31

‖T (x)‖ ≤∥∥∥∥T ( x

‖x‖

)∥∥∥∥ ≤ sup‖y‖=1

‖T (y)‖ = ‖T‖.

En consecuencia,

sup‖x‖<1

‖T (x)‖ ≤ sup‖x‖=1

‖T (x)‖. (2.4)

Por otro lado, sea (xn)n∈N ⊂ X, ‖xn‖ = 1 tal que, para todo n ≥ 1

∣∣∣∣∣ sup‖x‖=1

‖T (x)‖ − ‖T (xn)‖

∣∣∣∣∣ ≤ 1

n,

de donde se sigue que ‖T (xn)‖ ≥ sup‖x‖=1 ‖T (x)‖ − 1n . Luego,

sup‖x‖=1

‖T (x)‖ ≥∥∥∥∥T [(1− 1

n

)xn

]∥∥∥∥ =

(1− 1

n

)‖T (xn)‖

≥(

1− 1

n

)(sup‖x‖=1

‖T (x)‖ − 1

n

).

Como(1− 1

n

)xn ∈ B(0, 1), para todo n ∈ N se sigue que

sup‖x‖<1

‖T (x)‖ ≥ sup‖x‖=1

‖T (x)‖. (2.5)

De (2.4) y (2.5) se concluye que

sup‖x‖=1

‖T (x)‖ = sup‖x‖<1

‖T (x)‖ = sup‖x‖≤1

‖T (x)‖.

6. Sea T ∈ L (X,Y ), los siguientes ítems son equivalentes:

a) T es acotado;

b) T es continuo en todo X;

c) En algún x0 ∈ X, T es continuo.

Demostración. Se va a probar que a) implica b). Dado que T es acotado, entonces para

todo x, y ∈ X se tiene que

‖T (x)− T (y)‖ = ‖T (x− y)‖ ≤ ‖T‖‖x− y‖.

Por tanto T es Lipschitziana, en consecuencia T es continuo en todo X. Ahora se prueba

32

que b) implica c). Como T es continua en todo X entonces es también continua en algún

punto x0 ∈ X. Por último se prueba que c) implica a). Como T es continuo en algún

punto x0 ∈ X, entonces para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todo y ∈ B(x0, δ) y

tomando en particular ε = 1 se tiene que ‖T (x0) − T (y)‖ < 1. Ahora, sea x ∈ B(0, 1),

entonces x0 + δx ∈ B(x0, δ), luego

‖T (x0)− T (x0 + δx)‖ < 1,

‖T (x0)− T (x0)− T (δx)‖ < 1,

‖T (δx)‖ < 1,

δ‖T (x)‖ < 1.

Así, para todo x ∈ B(0, 1) se tiene ‖T (x)‖ < 1δ . En consecuencia

sup‖x‖<1

‖T (x)‖ < 1

δ<∞.

Por tanto T es acotado.

7. Principio de acotación uniforme

Denición 2.3. Sea A un subconjunto de un espacio métrico X. Se dice que A es:

a) Denso en ninguna parte en X si su clausura A no tiene puntos interiores.

b) De primera categoría en X si A se puede representar como la unión numerable de

subconjuntos raros en X.

c) De segunda categoría en X si A no es de primera categoría en X.

Teorema 2.1 (Categoría de Baire). Si X es un espacio métrico no vacío. Entonces,

todo subconjunto abierto no vacío de X es de segunda categoría en X. En particular, X

es de segunda categoría en sí mismo. Por lo tanto, si X 6= ∅ es completo y

X =⋃n∈N

An, (An cerrado). (2.6)

Entonces, existe algún An que tiene interior no vacío.

Demostración. Por contradicción, se supone que el espacio métrico completo X es de

primera categoría. Entonces,

X =⋃n∈N

An.

33

donde An es un conjunto denso en ninguna parte en X. Como se asume que A1 es de

primera categoría en X, por denición A1 no contiene un conjunto abierto distinto de

vacío, pero X al ser abierto si contiene un conjunto abierto distinto del vacío, entonces

A1 6= X. Por tanto, el complemento A1c

= X −A1 es no vacío y abierto. Así, se puede

hallar un punto x1 en A1cpara el cual existe r1 > 1 tal que la bola

B1 = B(x1, r1) ⊂ A1c.

Nuevamente, se asume que A2 es de primera categoría en X se tiene que A2cno contiene

un conjunto abierto distinto de vacío, por tanto, no contiene a la bola B(x1, r1/2). Esto

implica que A2c ∩B(x1, r1/2) es no vacío y abierto. De esta manera, se puede hallar un

punto x2 para el que existe r2 > 0 tal que

B2 = B(x2, r2) ⊂ A2c ∩B

(x1,

r1

2

).

Si se sigue este razonamiento, se obtiene una sucesión de bolas,

Bn = B(xn, rn) tal que Bn ∩An = ∅ y Bn+1 ⊂ B(xn,

rn2

)⊂ Bn.

Ya que rn < 1/2n, la sucesión (xn)n∈N es de Cauchy. En efecto, sea ε > 0, existe

n0 > 2/ε ∈ N tal que para todo n,m > n0 se tiene,

d(xn, xm) < d(xn, xn0) + d(xn0 , xm) <1

2n0+

1

2n0<

2

n0< ε.

Luego, dado que X es completo sucede que, existe x ∈ X tal que xn −→ x. Además,

para cada n,m ∈ N tal que m > n se tiene que, Bn ⊂ B(xm, rm/2). En consecuencia,

d(xm, x) ≤ d(xm, xn) + d(xn, x)

<rm2

+ d(xn, x) −−−→n→∞

rm2.

Por lo tanto, para todo m ∈ N, x ∈ Bm . Y ya que Bm ⊂ Amc, se ve que para todo

m ∈ N x 6∈ Am , de donde se sigue que, x 6∈⋃m∈NAm = X lo que contradice el hecho

de que x ∈ X.

Teorema 2.2 (Acotación uniforme). Sean T ∈ B(X,Y ) y (Tn)n∈N ∈ B(X,Y ) , tal que,

(‖Tn(x) ‖)n∈N es acotado para todo x ∈ X es decir,

34

‖ Tn(x) ‖≤Mx, Mx ∈ R, n ∈ N. (2.7)

Entonces, la sucesión de normas ‖ Tn ‖ es acotada, esto es, existe una constante M ∈ R

tal que,

‖ Tn ‖≤M, n ∈ N. (2.8)

Demostración. Para cada k ∈ N se dene el conjunto

Ak =

x ∈ X : sup

n∈N‖ Tn(x) ‖ ≤ k

=⋂n∈Nx ∈ X :‖ Tn(x) ‖≤ k .

Se nota que Ak es un conjunto cerrado de X. En efecto, sea (xm)m∈N una sucesión en

x ∈ X :‖ Tn(x) ‖≤ k que converge a un punto x0 ∈ X, por denición, para cada

m ∈ N, se tiene que ‖ Tn(xm) ‖≤ k, haciendo m −→ ∞ se tiene que ‖ Tn(x0) ‖≤ k,

pues Tn y ‖ · ‖ son continuas, por lo que x0 ∈ x ∈ X :‖ Tn(x) ‖≤ k, en consecuencia,

este conjunto es cerrado y dado que la intersección arbitraria de conjuntos cerrados es

cerrada, se concluye que Ak es cerrado en X. Ahora, por (2.7) cada x ∈ X pertenece a

Ak, así

X =⋃k∈N

Ak.

Ya que X es un espacio completo, el Lema de Categoría de Baire implica que, existe

algún Ai con interior no vacío, es decir, tiene un punto interior x0 para el cual existe un

r > 0 tal que la bola

B0 = B(x0, r) ⊂ Ai. (2.9)

Luego, la sucesión (Tn)n∈N está acotada uniformemente en B0. La linealidad de los

operadores Tn permite pasar del abierto B0 a la bola unitaria. Se nota que si x ∈ B0,

entonces, ‖ x − x0 ‖< r, por (2.9) se tiene que ‖ Tn(x) ‖≤ i para todo n ∈ N. Fijando

z ∈ X con ‖ z ‖< 1 y tomando x = x0 + rz, para todo n ∈ N se tiene,

‖ Tn(z) ‖=∥∥∥∥Tn(x− x0

r

)∥∥∥∥ ≤ 1

r(‖ Tn(x) ‖ + ‖ Tn(x0) ‖) ≤ 2i

r.

Ahora, haciendo M = 2ir se observa que este es independiente del índice n ∈ N y se

concluye que,

supn∈N‖Tn‖ ≤M <∞.

De esta manera se ha pasado de una acotación puntual a una acotación uniforme, lo

35

que concluye la demostración.

Corolario 2.1. Sea (Tn)n∈N ⊂ B(X,Y ) tal que para cada x ∈ X, [Tn(x)] −−−→n→∞

y, con

y ∈ Y. Entonces, si se dene

T (x) = lımn→∞

Tn(x). (2.10)

se obtiene un operador T ∈ B(X,Y ).

Demostración. La linealidad se tiene dado que el límite y los operadores Tn son lineales.

La sucesión (Tn)n∈N está puntualmente acotada, así por el Teorema de la Acotación

Uniforme existe M > 0,M ∈ R, tal que supn∈N ‖Tn‖ ≤M <∞, jando x ∈ X,

‖Tn(x)‖ ≤‖ Tn ‖‖ x ‖≤M ‖ x ‖ .

Implica que ‖ T (x) ‖≤M ‖ x ‖ y como x es jo pero arbitrario, se tiene que

‖T‖ = supx∈X‖x‖=1

‖T (x)‖ <∞.

Así T es acotado. Por lo tanto T ∈ B(X,Y ).

8. Grafo cerrado

Denición 2.4. Sean A : D(A) ⊆ X 7−→ Y un operador lineal y (xn)n∈N ⊂ D(A). Si

(xn)n∈N verica que, para x ∈ X, y ∈ Y ,

lımn→∞

xn = x y lımn→∞

Axn = y,

y además, se tiene que x ∈ D(A), A(x) = y ∈ D(A). Entonces A es cerrado. También

se dice que A es cerrado si su grafo denido por

G(A) = (x, y)|x ∈ D(A), y = A(x) ,

es cerrado en el espacio de Banach X × Y , donde su norma está denida por

‖(x, y)‖ = ‖x‖+ ‖y‖. (2.11)

Demostración. Se va a probar que (2.11) es norma. Para lo sucesivo, sean (x, y); (w, z) ∈

X × Y y λ ∈ K.

36

N1) Se sabe que ‖x‖X ≥ 0 y ‖y‖Y ≥ 0 pues X,Y son espacios de Banach, así ‖(x, y)‖ =

‖x‖+ ‖y‖ ≥ 0.

N2) Se supone que, para todo (x, y) ∈ X × Y , ‖(x, y)‖ = 0, como ‖x‖ = 0 si y solo si

x = 0 y ‖y‖ = 0 si y solo si y = 0, se sigue que (x, y) = (0, 0). Por otro lado, se

supone que (x, y) = (0, 0) lo que implica que x = 0 y y = 0, de donde se sigue que

‖x‖ = 0 y ‖y‖ = 0, por tanto, ‖(x, y)‖ = 0.

N3) De (2.11), se tiene que

‖λ(x, y)‖ = ‖(λx, λy)‖ = ‖λx‖+ ‖λy‖ = |λ|‖x‖+ |λ|‖y‖

= |λ|(‖x‖+ ‖y‖) = |λ|‖(x, y)‖.

N4) De las normas denidas en X, Y y de (2.11), se sigue que

‖(x, y) + (w, z)‖ = ‖(x+ w, y + z)‖ = ‖x+ w‖+ ‖y + z‖

≤ ‖x‖+ ‖w‖+ ‖y‖+ ‖z‖ = ‖(x, y)‖+ ‖(w, z)‖.

Por lo tanto (2.11) es norma. Ahora se va a probar que X × Y es completo con la

norma denida en (2.11). Sean (xn)n∈N ⊂ X, (yn)n∈N ⊂ Y y (zn) = (xn, yn) ⊂ X × Y

sucesiones de Cauchy. De la completitud de X y Y se tiene que, dado ε > 0, existe

N ∈ N tal que, para todo n,m > N ,

‖xn − xm‖ <ε

2, (2.12)

‖yn − ym‖ <ε

2. (2.13)

Además existen x ∈ X y y ∈ Y tales que

xn −−−→n→∞

x, (2.14)

yn −−−→n→∞

y. (2.15)

Luego, de las ecuaciones (2.12) y (2.13), se tiene que, dado ε > 0, existe N = N ∈ N

tal que, para todo n,m > N

‖zn − zm‖ = ‖(xn, yn)− (xm, ym)‖ = ‖(xn − xm), (yn − ym)‖

= ‖xn − xm‖+ ‖yn − ym‖ <ε

2+ε

2= ε.

De (2.14) y (2.15), se tiene que existe z = (x, y) ∈ X × Y tal que zn −−−→n→∞

z. Por tanto

37

de la última desigualdad con m → ∞, se concluye que para n > N ‖zn − z‖ ≤ ε. De

donde se concluye que X × Y es un espacio de Banach.

Observación 2.1. Por denición se sabe que G(A) es cerrado si y solo si z = (x, y) ∈

G(A) lo que implica que z ∈ G(A). Además se sabe que z ∈ G(A) si y solo si existe

zn = (xn, yn) ⊂ G(A) tal que zn −−−→n→∞

z. Por tanto,

xn −−−→n→∞

x A(xn) −−−→n→∞

y, (2.16)

y z ∈ G(A) si y solo si x ∈ D(A) y A(x) = y, de donde se puede concluir que el operador

A es cerrado si y solo si verica (2.16), donde (xn)n∈N ⊂ D(A). Entonces x ∈ D(A) y

A(x) = y.

Teorema 2.3 (Grafo cerrado). Sea el operador lineal cerrado A : D(A) ⊆ X 7−→ Y . Si

D(A) es cerrado en X, entonces el operador A es cerrado.

Demostración. Por hipótesis se tiene que A es cerrado, lo que implica que G(A) es

cerrado en X × Y , además se supone que D(A) ⊆ X es cerrado también en X, por

el Teorema 1.4, se tiene que G(A) y D(A) son completos. Se dene ahora la siguiente

función

F : G(A) 7−→ D(A)

(x,A(x)) 7−→ x.

F es lineal y acotado pues,

‖F (x,A(x))‖ = ‖x‖ ≤ ‖x‖+ ‖A(x)‖ = ‖x,A(x)‖,

además F es biyectiva, así su inversa se dene como

F−1 : D(A) 7−→ G(A)

x 7−→ (x,A(x)),

como G(A) y D(A) son espacios completos, entonces se puede aplicar el Teorema de la

Aplicación Abierta, de donde se sigue que F−1 es acotado, es decir, existe c > 0 tal que

para todo x ∈ D(A), ‖(x,A(x))‖ ≤ c‖x‖, luego, para todo x ∈ D(A)

38

‖A(x)‖ ≤ ‖A(x)‖+ ‖x‖ = ‖(x,A(x))‖ ≤ c‖x‖.

Por lo tanto el operador A es acotado.

Observación 2.2. Se notan los siguientes puntos:

a) Si D(A) es cerrado en X se tiene que A es cerrado si y solo si A es acotado.

b) Si A no es acotado no necesariamente implica que A no sea cerrado como se tiene

en el siguiente contraejemplo. Sea X = C [0, 1] y

A : D(A) 7−→ X

x 7−→ A(x) = x′,

donde D(A) es un subespacio de funciones de X el cual tiene derivada continua.

Entonces A no es acotado pero si es cerrado.

Demostración. Se va a probar que A no es acotado. Sea xn(y) = yn, donde n ∈ N.

Entonces ‖xn‖ = 1 y

A(xn(y)) = x′n(y) = nyn−1.

Así que ‖A(xn)‖ = n, lo que implica ‖A(xn)‖‖xn‖ = n, luego ‖A(xn)‖ = n‖xn‖, como

n ∈ N es arbitrario, se sigue que no existe un escalar jo tal que acote al operador

A, de donde se sigue que A no es acotado. Ahora se va a probar que A es cerrado.

Sea (xn)n∈N ⊂ D(A)tal que

xn −−−→n→∞

x y A(xn) = x′n −−−→n→∞y. (2.17)

Ya que la convergencia en la norma de C [0, 1] es una convergencia uniforme en el

intervalo [0, 1], de (2.17) se tiene que

∫ b

ay(ρ)dρ =

∫ b

alımn→∞

x′n(ρ)dρ = lımn→∞

∫ b

ax′n(ρ)dρ

= lımn→∞

[xn(b)− xn(a)] = x(b)− x(a).

Luego, x(b) =∫ ba x(ρ)dρ + x(0), de donde se sigue que x ∈ D(A), x′ = y, por lo

tanto A es cerrado.

39

Lema 2.1. Sea A : D(A) ⊆ X 7−→ Y un operador lineal acotado. Entonces

a) Si D(A) es cerrado en X, entonces A es cerrado.

b) SI A es cerrado y Y es completo, entonces D(A) es cerrado en X.

Demostración. Para demostrar el primer ítem, sea (xn)n∈N ⊂ D(A), como D(A) es

cerrado, entonces existe x ∈ D(A) tal que xn −−−→n→∞

x y tal que (A(xn))n∈N converge,

entonces x ∈ D(A) = D(A), como D(A) es cerrado, A(xn) −−−→n→∞

A(x) y A es continua,

entonces por la Observación 2.1 se tiene que A es cerrado. Para el demostrar el siguiente

ítem, sea x ∈ D(A), entonces existe (xn)n∈N ⊂ D(A) tal que, dado ε > 0 existe N ∈ N

tal que, para n > N , ‖xn − x‖ < ε2‖A‖ . Sea además (A(xn))n∈N ⊂ Y así

‖A(xn)−A(xm)‖ = ‖A(xn − xm)‖ ≤ ‖A‖‖xn − xm‖

= ‖A‖‖xn − x− xm + x‖ ≤ ‖A‖ (‖xn − x‖+ ‖xm − x‖)

< ‖A‖(

ε

2‖A‖+

ε

2‖A‖

)= ‖A‖ ε

‖A‖= ε.

De donde se sigue, dado ε > 0 y tomando N = N tal que para todo n,m > N ,

‖A(xn)− A(xm)‖ < ε, lo que implica que (A(xn))n∈N ⊂ Y es una sucesión de Cauchy,

de esto y de la completitud de Y se tiene que existe y ∈ Y tal que A(xn) −−−→n→∞

y.

Ya que A es un operador cerrado, por la Observación 2.1 se tiene que A(x) = y lo que

implica que x ∈ D(A). Por lo tanto D(A) es cerrado.

9. B(X,Y ) es un espacio de Banach.

Demostración. Sea (Tn)n∈N ⊂ B(X,Y ) una sucesión de Cauchy, es decir, para todo

ε > 0, existe N ∈ N tal que ∀m,n ≥ N, ‖Tn − Tm‖ < ε. Para todo x ∈ X y m,n > N ,

se obtiene

‖Tn(x)− Tm(x)| = ‖(Tn − Tm)(x)‖

≤ ‖Tn − Tm‖‖x‖ < ε‖x‖.(2.18)

Ahora, para cualquier x jo y ε dado, se puede elegir ε = εx así que εx‖x‖ < ε. Entonces

de (2.18) se tiene que ‖Tm(x)−Tn(x)‖ < ε. En consecuencia (Tn(x))n∈N es una sucesión

de Cauchy en Y , dado que Y es un espacio de Banach, es decir, es un espacio normado

completo, se tiene que existe y ∈ Y tal que Tn(x) −−−→n→∞

y, puesto que y depende del

x ∈ X jo. Así se dene el operador T como sigue.

40

T :X −→ Y

x −→ T (x) = lımn→∞

Tn(x).

T es lineal, en efecto, sea α ∈ K y x, y ∈ X

T (αx+ y) = lımn→∞

Tn(αx+ y) = lımn→∞

[Tn(αx) + Tn(y)]

= α lımn→∞

Tn(x) + lımn→∞

Tn(y) = αT (x) + T (y).

Ahora se prueba que T es acotado y Tn −−−→n→∞

T en B(X,Y ). De (2.18) se sigue que,

para todo m > N y Tm(x) −−−−→m→∞

T (x). Usando la continuidad de la norma, entonces

se obtiene de (2.18) que para todo n > N y todo x ∈ X

‖Tn(x)− T (x)‖ =∥∥∥Tn(x)− lım

m→∞Tm(x)

∥∥∥ = lımn→∞

‖Tn(x)− Tm(x)‖ < ε‖x‖.

Lo que muestra que (Tn − T ) , con n > N es acotado. Por tanto Tn es acotado y además

T = T − (Tn − T ) es acotado. En consecuencia T ∈ B(X,Y )., luego para todo n > N y

x ∈ X se tiene que

‖Tn − T‖ = sup‖x‖=1

‖Tn(x)− T (x)‖ < ε.

Por lo tanto Tn −−−→n→∞

T en B(X,Y ). Así se concluye que B(X,Y ) es un espacio de

Banach.

10. Si T ∈ B(Y, Z) y U ∈ B(X,Y ), entonces TU ∈ B(X,Z) y ‖TU‖ ≤ ‖T‖‖U‖.

Demostración. Sean x, y ∈ X y α ∈ K

(TU) (αx+ y) = T (U (αx+ y)) = T (αU(x) + U(y)) .

Como U(x), U(y) ∈ Y y T ∈ B(Y,Z), entonces

T [αU(x) +B(y)] = αT [U(x)] + T [U(y)] = α(TU)(x) + (TU)(y).

Así TU es lineal en B(X,Y ). Ahora

41

‖TU‖ = supx∈X‖x‖=1

‖(TU)(x)‖ = supx∈X‖x‖=1

‖T (U(x))‖.

Por hipótesis y de la Propiedad 3 se sigue que

supx∈X‖x‖=1

‖T (U(x))‖ ≤ supx∈X‖x‖=1

‖T‖‖U(x)‖ ≤ supx∈X‖x‖=1

‖T‖‖U‖‖x‖ <∞.(2.19)

En consecuencia TU ∈ B(X,Y ). Tomando ‖x‖ = 1 en (2.19) se sigue que

‖TU‖ ≤ supx∈X‖T‖‖U‖ = ‖T‖‖U‖.

11. B(X,X) es un álgebra de Banach con unidad.

Demostración. Sean T, S, U ∈ B(X,X) y λ ∈ K. Como los operadores dados son funcio-

nes, entonces se satisfacen (A1), (A2), (A3) y (A4). De la Propiedad 10 se tiene (A5).

Se dene el operador identidad I : X −→ X. Ahora para todo x, y ∈ X, α ∈ K, se tiene

lo siguiente

I(αx+ y) = αx+ y = αI(x) + I(y).

Además

supx∈X‖x‖=1

‖I(x)‖ = supx∈X‖x‖=1

‖x‖ = 1. (2.20)

Lo que implica que I ∈ B(X,X), luego para todo x ∈ X se tiene que

IT = I(T (x)) = T (x),

T I = T (I(x)) = T (x).

Así se verica (A6). De la ecuación (2.20) se tiene que ‖I‖ = 1 por tanto se verica

(A7) y de la Propiedad 9 se concluye que B(X,X) es un álgebra de Banach.

2.2. Convergencias en B(X,X)

Sobre la teoría de convergencias en B(X,X) se ha usado [1] y [11] como textos guía.

Denición 2.5. Sean X un espacio de Banach y (xn)n∈N ⊂ X, se dice que (xn)n∈N converge

fuertemente si existe x ∈ X tal que

42

lımn→∞

‖xn − x‖ = 0.

x es llamado el límite fuerte de (xn)n∈N y se dice que (xn) converge fuertemente a x.

Se presenta la denición de diferentes convergencias de sucesiones de operadores denidos en

B(X,X).

Denición 2.6. Sean X un espacio de Banach, T ∈ B(X,X) y una sucesión de operadores

(Tn)n∈N ⊂ B(X,X), se dice que (Tn)n∈N:

1. Converge uniformemente, si (Tn)n∈N converge en la norma, es decir, ‖Tn− T‖ −−−→n→∞

0

y se escribe Tn −−−→n→∞

T.

2. Converge fuertemente, si para todo x ∈ X, (Tn(x))n∈N converge fuertemente en X, es

decir, ‖Tn(x)− T (x)‖ −−−→n→∞

0, y se la denota como Tns−−−→

n→∞T.

Teorema 2.4. Sean X un espacio de Banach, (Tn)n∈N ⊂ B(X,X) y T ∈ B(X,X), si

Tn −−−→n→∞

T, entonces para todo x ∈ X, Tns−−−→

n→∞T.

Demostración. Para todo x ∈ X se tiene

‖Tn(x)− T (x)‖ = ‖ (Tn − T ) (x)‖ ≤ ‖Tn − T‖‖x‖.

De la denición de la convergencia uniforme se tiene que ‖Tn − T‖ −−−→n→∞

0, entonces para

todo x ∈ X

‖Tn(x)− T (x)‖ −−−→n→∞

0.

El recíproco en general no es cierto, para ello se tiene el siguiente contraejemplo. Sea

X = l1(N) =

f : N 7−→ C/∑n≥0

|f(n)| <∞

,

dotado de la norma ‖f‖ =∑

n≥0 |f(n)|.

Se considera el siguiente operador, para cada n ∈ N

Tn : l1(N) 7−→ l1(N)

f 7−→ Tn(f) = Tn(f(j)) =

f(j) si j = n,

0 si j 6= n.

43

Para todo n ∈ N, Tn ∈ B(X,X). En efecto, sean f, g ∈ X y α ∈ K

Si j = n

Tn(αf + g) = Tn [(αf + g)(j)] = (αf + g)(j)

= αf(j) + g(j) = αTn [f(j)] + Tn [g(j)]

= αTn(f) + Tn(g).

Si j 6= n

Tn(αf + g) = An [(αf + g)(j)] = (αf + g)(j)

= αf(j) + g(j) = αTn [f(j)] + Tn [g(j)] = 0.

En consecuencia Tn es lineal. Además, para todo n ∈ N se tiene que,

‖Tn‖ = supf∈X‖f‖=1

‖Tn(f)‖. = supf∈X‖f‖=1

∑k≥0

|Tnf(k)| <∞.

Por tanto Tn es acotado y esto implica que Tn ∈ B(X,X). Luego, para todo f ∈ X se tiene

que

‖Tn(f)− 0‖ = ‖Tn(f)‖ =∑k≥0

|Tn(f(k))| = |f(n)|.

Como f ∈ l1N, se sigue que lımn→∞ |f(n)| = 0, entonces, Tns−−−→

n→∞0. Por otro lado. Sea

δn(k) =

1 si k = n,

0 si k 6= n.

Se tiene que ‖δn‖ = 1 y

‖Tn‖ ≥ ‖Tnδn‖ =∑k≥0

|Tnδn(k)| = |δn(n)| = 1.

Así ‖Tn−0‖ ≥ 1 en consecuencia, Tn no converge uniformemente a 0. Por lo tanto Tn converge

fuertemente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Teorema 2.5. Sean X,Y espacios de Banach y (Tn)n∈N ∈ B(X,Y ), (Tn)n∈N converge fuer-

temente si y solo si

1. (‖Tn‖)n∈N está acotada.

44

2. (Tn(x))n∈N es una sucesión de Cauchy en Y , para todo x ∈ A ⊆ X.

Demostración. Por un lado, como Tn(x)s−−−→

n→∞T (x) y para todo x ∈ X, (Tn(x))n∈N está

acotado, entonces por el Teorema de la Acotación Uniforme se tiene que existe M > 0 tal que

para todo n ∈ N se tiene ‖Tn‖ ≤ M , en consecuencia (‖Tn‖)n∈N está acotado, así tenemos

(1). Para probar el ítem (2), se sigue de la hipótesis que dado ε > 0, ∃N ∈ N tal que, para

todo n > N

‖Tn(x)− T (x)‖ < ε

2. (2.21)

Por otro lado, sea ε > 0, para N ∈ N, tal que m,n > N

‖Tn(x)− Tm(x)‖ = ‖Tn(x)− T (x) + T (x)− Tm(x)‖

≤ ‖Tn(x)− T (x)‖+ ‖Tm(x)− T (x)‖ < ε

2+ε

2< ε.

En consecuencia (Tn(x))n∈N es una sucesión de Cauchy en Y , para todo x ∈ X en particular

para A ⊆ X. Inversamente, se supone que se satisfacen los ítems (1) y (2), es decir, existe

M > 0 tal que para todo n ∈ N ‖Tn‖ ≤ M . Sea x ∈ X, se va a probar que (Tn(x))n∈N

converge fuertemente en Y. Sea ε > 0, ya que el subespacio generador por A, gen(A) es denso

en X, existe un y ∈ gen(A) tal que

‖x− y‖ < ε

3c. (2.22)

además por (2) se tiene que (Tn(y)) es una sucesión de Cauchy en Y . Entonces existe N ∈ N

tal que para todo m,n > N

‖Tn(y)− Tm(y)‖ < ε

3. (2.23)

De las ecuaciones (2.22), (2.23) y usando la desigualdad triangular, se obtiene que, para todo

m,n > N

‖Tn(x)− Tm(x)‖ = ‖Tn(x)− Tn(y) + Tn(y)− Tm(y) + Tm(y)− Tm(x)‖

≤ ‖Tn(x)− Tn(y)‖+ ‖Tn(y)− Tm(y)‖+ ‖Tm(y)− Tm(x)‖

= ‖Tn(x− y)‖+ ‖Tn(y)− Tm(y)‖+ ‖Tm(x− y)‖

< ‖Tn‖‖x− y‖+ε

3+ ‖Tm‖‖Tm(x− y)‖

< cε

3c+ε

3+ c

ε

3c= ε.

Ya que Y es completo, (Tn(y)) converge en Y y dado que x ∈ X fue arbitrario, entonces se

ha probado la convergencia fuerte.

45

2.3. Funciones en B(X,X) en serie de potencias

La teoría a estudiar en esta sección se encuentra en [1]. En el desarrollo de este estudio X es

un espacio de Banach complejo. Sea f : C 7→ C una función analítica en un entorno del origen

y con un radio de convergencia r, para la representación holomorfa

f(z) =

∞∑n=0

anzn. (2.24)

Sea T ∈ B(X,X). Se dene la potencia k-ésima del operador T como sigue

T k = T T · · · T, (k veces).

Sea B la bola abierta en B(X,X) con centro en el origen y radio r, si r = ∞ se considera

B = B(X,X). Para T ∈ B se dene

fn(T ) =n∑k=0

akTk, n ∈ N. (2.25)

Se va a mostrar que el operador fn(T ) ∈ B(X,X).

Demostración. Sean x, y ∈ X y λ ∈ K. De la linealidad de la composición de funciones, se

tiene que

fn [T (λx+ y)] =n∑k=0

ak[T (λx+ y)]k

=

n∑k=0

ak[λT (x)]k +

n∑k=0

ak[T (y)]k

= fn [λT (x)] + fn [T (y)] .

Ahora, para n ∈ N,

‖fn(T )‖ = supx∈X‖x‖=1

‖fn [T (x)] ‖ = supx∈X‖x‖=1

∥∥∥∥∥n∑k=0

ak [T (x)]k

∥∥∥∥∥≤ sup

x∈X‖x‖=1

n∑k=0

‖ak‖∥∥∥(T (x))k

∥∥∥ ≤ supx∈X‖x‖=1

n∑k=0

‖ak‖ (‖T‖ ‖x‖)k

= supx∈X

n∑k=0

‖ak‖ ‖T‖k .

Como la serie es nita, entonces converge, en consecuencia ‖fn(T )‖ <∞. Por lo tanto fn(T ) ∈

46

B(X,X).

Luego dado que f es analítica, entonces la sucesión (fn(T ))n∈N ⊂ B(X,X) es una sucesión de

Cauchy y como B(X,X) es un espacio de Banach, entonces existe f(T ) ∈ B(X,X) tal que

fn(T ) −−−→n→∞

f(T ).

Así se puede denir, por ejemplo

Para T ∈ B(X,X) y z ∈ C, se dene

ezT = exp(zT ) :=∞∑n=0

1

n!znTn. (2.26)

Para ‖T‖ < 1

log(I + T ) :=

∞∑n=1

(−1)n+1

nTn.

Para ‖T‖ < |α|I

αI − T:=

∞∑n=0

1

αn+1Tn.

Además, se nota que, si para todo n ∈ N, an ≥ 0, entonces

‖f(T )‖ =

∥∥∥∥∥∞∑k=0

akTk

∥∥∥∥∥ ≤∞∑k=0

∥∥∥akT k∥∥∥=

∞∑k=0

ak

∥∥∥T k∥∥∥ ≤ ∞∑k=0

ak‖T‖k = f (‖T‖) .

Por lo tanto se tiene que ‖f(T )‖ ≤ f (‖T‖) .

Observación 2.3. Para T,U ∈ B(X,X) se verica que TU = UT si y solo si eT+U = eT eU .

Ejemplos

1. Se considera

X = R2, T =

a b

b a

.

donde a, b ∈ R. Entonces

exp(zT ) = eaz

cosh(bz) senh(bz)

senh(bz) cosh(bz)

, (2.27)

47

y

exp(izT ) = eaz

cos(bz) isen(bz)

isen(bz) cos(bz)

. (2.28)

2. Para todo T ∈ B(X,X), se tiene que ‖eT ‖ ≤ e‖T‖. En efecto,

‖exp(T )‖ =

∥∥∥∥∥∞∑n=0

Tn

n!

∥∥∥∥∥ ≤∞∑n=0

∥∥∥∥Tnn!

∥∥∥∥≤∞∑n=0

1

n!‖T‖n = exp (‖T‖) .

2.4. Operadores acotados invertibles

Durante el estudio de esta sección se va a usar los textos [1] y [11] como guía. Sean X,Y

conjuntos cualesquiera, se dice que la aplicación T : D(T ) 7→ Y donde D(T ) ⊂ X es el

dominio de la aplicación T , es inyectiva o uno a uno si para puntos distintos en el dominio,

tiene imágenes distintas, es decir, si para x1, x2 ∈ D(T ),

x1 6= x2 =⇒ T (x1) 6= T (x2),

de manera equivalente

T (x1) = T (x2) =⇒ x1 = x2. (2.29)

En tal caso existe la aplicación

T−1 : I(T ) 7−→ D(T )

y0 7−→ x0,(2.30)

donde I(T ) ⊂ Y es la imagen de la aplicación T , es decir, T (x0) = y0, esta aplicación se

denomina la inversa de T . De la ecuación (2.30) se tiene que

T−1(T (x)) = x, ∀x ∈ D(T ).

T (T−1(y)) = y, ∀y ∈ I(T ).

Ahora se dene los operadores acotados invertibles.

Denición 2.7. Sean X,Y espacios de Banach y T ∈ B(X,Y ), si existe U ∈ B(Y,X) tal que

para todo x ∈ X, U(T (x)) = x, y para todo y ∈ Y , T (U(y)) = y, entonces se dice que T es

invertible en cuyo caso U es el operador inverso de T y se denota por U = T−1.

48

Teorema 2.6. Sean X,Y espacios de Banach y T : D(T ) 7−→ Y un operador lineal cuyo

dominio es D(T ) ⊂ X e imagen I(T ) ⊂ Y , entonces la inversa T−1 : I(T ) 7−→ D(T ) existe

si y solo si T (x) = 0 implica que x = 0.

Demostración. Se supone que T (x) = 0, lo que implica que x = 0. Sea T (x1) = T (x2), ya que

T es lineal, entonces

T (x1 − x2) = T (x1)− T (x2) = 0.

Así por hipótesis se tiene que x1 − x2 = 0 implica x1 = x2. En consecuencia por la ecuación

(2.29) se sigue que T−1 existe. Inversamente, se supone que T−1 existe, entonces se satisface

(2.29) con x2 = 0, de donde se obtiene que T (x1) = T (0) implica x1 = 0.

Lema 2.2. Sean X,Y, Z espacios de Banach y T : X 7−→ Y,U : Y 7−→ Z dos operadores

lineales biyectivos, entonces la inversa (UT )−1 : Z 7−→ X del producto (composición) existe y

(UT )−1 = T−1U−1.

Demostración. Se dene el siguiente operador

UT : X 7−→ Z.

UT es biyectivo pues es la composición de dos operadores lineales biyectivos lo que implica

que UT es inyectivo, entonces por la ecuación (2.29) existe (UT )−1. Así se tiene que

UT (UT )−1 = IZ , (2.31)

donde el operador IZ es el operador identidad denido en Z. Aplicando U−1 y usando el hecho

que U−1U = IZ en (2.31) se obtiene que

U−1T (UT )−1 = U−1IZ ,

T (UT )−1 = U−1.

Ahora se aplica T−1 y usando el hecho que T−1T = IX , en la última ecuación se tiene que

T−1T (UT )−1 = T−1U−1,

(UT )−1 = T−1U−1.

Obteniendo así el resultado deseado.

49

La siguiente proposición es una aplicación de las funciones en B(X,X) en serie de potencias.

Proposición 2.1. Sea X un espacio de Banach y T un operador lineal. Si T ∈ B(X,X) y

‖T‖ < 1, entonces I − T es invertible.

Demostración. Sea la función f(z) = 11−z es analítica en z ∈ C/|z| < 1. Como ‖T‖ < 1 se

tiene que f(T ) ∈ B(X,X). Se observa que a partir de la serie de potencias

f(T ) =∞∑n=0

Tn.

Se tiene que (I − T )f(T ) = f(T )(I − T ) = I. De donde se puede concluir que I − T es

invertible.

Observación 2.4. Si el operador T es invertible y α ∈ C \ 0, entonces αT es invertible y

(αT )−1 = 1αT−1.

Demostración. Se denen los operadores T : X 7−→ Y y

U : Y 7−→ C \ 0

y 7−→ U(y) = α, α ∈ C \ 0.

T, U son inyectivos, entonces del Lema 2.2 se sigue que (UT )−1 existe y (UT )−1 = T−1U−1.

Así para todo α ∈ C \ 0,

(αT )−1 = T−1 (α)−1 =1

αT−1.

50

CAPÍTULO 3

SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS

El estudio al realizar en este capítulo, esta basado en los textos citados en [1] y [16].

3.1. Semigrupo y generador innitesimal

Denición 3.1. Dado la familia T (t)t≥0 ⊆ B(X,X), se dice que es un semigrupo unipara-

métrico de operadores acotados o simplemente semigrupo, si satisface lo siguiente:

i) T (0) = I.

ii) ∀u, t ≥ 0, T (u+ t) = T (u)T (t).

iii) Además, si un semigrupo satisface que ‖T (t)− I‖ −−−→t→0+

0.

Se dice que es un semigrupo uniformemente continuo.

Proposición 3.1. i), ii) y iii) implican que, para todo t ≥ 0, ‖T (t+ h)− T (t)‖ −−−−→h→0+

0.

Demostración. Sea t ≥ 0 y T (t)t≥0 ⊆ B(X,X),

‖T (t+ h)− T (t)‖ = ‖T (t)T (h)− T (t)‖

= ‖T (t) (T (h)− I) ‖ ≤ ‖T (t)‖‖T (h)− I‖.

Haciendo h→ 0+ y usando iii), se concluye que,

‖T (t+ h)− T (t)‖ −−−−→h→0+

0.

Ejemplo. Sea A ∈ B(X,X), entonces etA denido (2.26), es un semigrupo uniformemente

continuo.

51

Demostración. Sea

T (t) = etA =∞∑n=0

tnAn

n!. (3.1)

1. T (0) = e0t = I.

2. Se tiene en cuenta el siguiente resultado,

(x+ y)n

n!=∑i+j=n

xiyi

i!j!, (3.2)

luego sea u, t ≥ 0, así

T (u+ t) = e(u+t)A =∞∑n=0

[(u+ t)A]n

n!

=

∞∑n=0

(u+ t)nAn

n!,

usando la ecuación (3.2), se tiene que

T (u+ t) =∞∑n=0

unAn

n!

∞∑n=0

tnAn

n!

= euAetA = T (u)T (t).

3. Se nota que etA = I +∑∞

n=1(tA)n

n! , lo que implica

etA − I =∞∑n=1

(tA)n

n!.

Luego, tomando normas se tiene que,

∥∥etA − I∥∥ ≤ ∞∑n=1

tn

n!‖A‖n

=

∞∑n=0

tn ‖A‖n

n!t ‖A‖ = t ‖A‖ et‖A‖.

Haciendo t→ 0+ se concluye que

∥∥etA − I∥∥ −−−→t→0+

0, =⇒ ‖T (t)− I‖ −−−→t→0+

0.

Por lo tanto, T (t) = etA es un semigrupo uniformemente continuo.

52

Denición 3.2. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un semigrupo uniformemente continuo, se dene

el generador innitesimal de T (t) como AT : D(AT ) 7−→ X tal que:

D(AT ) =

x ∈ X

∣∣∣∣∃ lımt→0

T (t)x− xt

y

ATx = lımt→0

T (t)x− xt

=:d+T (t)x

dt

∣∣∣∣t=0

, para x ∈ D(AT ).

3.2. Integral de Riemann de un semigrupo uniformemente con-

tinuo

Se considera 0 ≤ a ≤ b < ∞ y se denota por Pba al conjunto compuesto por todas las

partes de [a, b], en subintervalos nitos. Si P ∈ Pba y P = (x0, · · · , xn), se denota |P | =

maxi∈Nxi − xi−1. Dado T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un semigrupo uniformemente continuo, se

dene

RP (T ) =n∑i=1

(xi − xi−1)T (xi−1).

Se denota como la integral de Riemann de T (t) como,

∫ b

aT (t)dt = lım

|P |→0RP (T ), (3.3)

donde el límite es tomado sobre todo P ∈ Pba. De la continuidad uniforme de T (t)t≥0 se

tiene que el límite siempre existe, además se verican las siguientes propiedades:

1.∫ ba T (t)dt ∈ B(X,X).

2. Para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si |h| < δ, entonces

∥∥∥∥1

h

∫ t+h

tT (s)ds− T (t)

∥∥∥∥ < ε.

Es decir, para todo t ≥ 0 se tiene que

1

h

∫ t+h

tT (s)ds −−−→

h→0T (t).

53

Demostración. Se va a probar el ítem (1). Sea T,U ∈ B(X,X) y λ ∈ K,

∫ b

a(λT + U)(t)dt = lım

|P |→0RP (λT + U)

= lım|P |→0

n∑i=1

(ti − ti−1) [λT + U ] (ti−1)

= lım|P |→0

n∑i=1

(ti − ti−1) [λT (ti−1) + U(ti−1)]

= lım|P |→0

[λ

n∑i=1

(ti − ti−1)T (ti−1) +n∑i=1

(ti − ti−1)U(ti−1)

]

= lım|P |→0

[λRP (T ) +RP (U)]

= λ lım|P |→0

RP (T ) + lım|P |→0

RP (U)

= λ

∫ b

aT (t)dt+

∫ b

aU(t)dt.

Ahora se prueba el ítem (2). Sea ε > 0, así

∥∥∥∥1

h

∫ t+h

tT (s)ds− T (t)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥1

h

∫ t+h

tT (s)ds+ I − I − T (t)

∥∥∥∥≤∣∣∣∣1h∣∣∣∣ ∥∥∥∥∫ t+h

tT (s)ds− I

∥∥∥∥+ ‖T (t)− I‖ ,

haciendo h→ 0+, se tiene que

∥∥∥∥1

h

∫ t+h

tT (s)ds− T (t)

∥∥∥∥ ≤ ∣∣∣∣1h∣∣∣∣ ∥∥∥∥∫ h

0T (s)ds− I

∥∥∥∥≤ 1

|δ|

∥∥∥∥∫ h

0T (s)ds− I

∥∥∥∥ ,lo que implica

1

|δ|

∥∥∥∥∫ h

0T (s)ds− I

∥∥∥∥ −−−→h→00.

En consecuencia ∥∥∥∥1

h

∫ t+h

tT (s)ds− T (t)

∥∥∥∥ < ε.

3.3. Acotación del generador innitesimal de un semigrupo uni-

formemente continuo

Proposición 3.2. Sea T (t)t≥0 un semigrupo uniformemente continuo, entonces D(AT ) =

54

X y AT ∈ B(X,X).

Demostración. Sea ρ > 0 jo, lo más pequeño posible de tal manera que

∥∥∥∥I − 1

ρ

∫ ρ

0T (s)ds

∥∥∥∥ < 1.

De lo hecho en la Sección 2.4 se tiene que 1ρ

∫ ρ0 T (s)ds es invertible, entonces

∫ ρ0 T (s)ds es

también invertible. Así, sea δ ∈ (0, ρ), se obtiene que

1

δ[T (δ)− I]

∫ ρ

0T (s)ds =

1

δ

(∫ ρ

0T (s+ δ)ds−

∫ ρ

0T (s)ds

)=

1

δ

(∫ δ+ρ

δT (s)ds−

∫ ρ

0T (s)ds

)=

1

δ

(∫ ρ

δT (s)ds−

∫ δ+ρ

ρT (s)ds−

∫ δ

0T (s)ds−

∫ ρ

δT (s)ds

)=

1

δ

(∫ δ+ρ

ρT (s)ds−

∫ δ

0T (s)ds

),

usando el ítem (2) se sigue que

1

δ[T (δ)− I]

∫ ρ

0T (s)ds =

1

δ

(∫ δ+ρ

ρT (s)ds−

∫ δ

0T (s)ds

)1

δ[T (δ)− I] =

1

δ

(∫ δ+ρ

ρT (s)ds−

∫ δ

0T (s)ds

)(∫ ρ

0T (s)ds

)−1

.

Obteniendo así1

δ[T (δ)− I] −−−→

δ→0[T (ρ)− I]

(∫ ρ

0T (s)ds

)−1

.

Del Teorema 2.4 se tiene que, para todo x ∈ X, el límite

lımδ→0+

1

δ[T (δ)x− x] ,

existe, así se concluye que D(AT ) = X y además, dado que B(X,X) es un álgebra se sigue

que

AT = [T (ρ)− I]

(∫ ρ

0T (s)ds

)−1

∈ B(X,X). (3.4)

3.4. Correlación entre un semigrupo uniformemente continuo

y su generador

55

Existe un único operador acotado el cual actúa como generador innitesimal para cada se-

migrupo uniformemente continuo. Ahora se va a probar que, para todo operador acotado

A ∈ B(X,X) el operador que actúa como generador innitesimal está denido por

T (t) = etA =

∞∑n=0

(tA)n

n!. (3.5)

Proposición 3.3. Sean T (t)t≥0 y S(t)t≥0 dos semigrupos uniformemente continuos. Se

supone que

lımt→0

T (t)− It

= lımt→0

S(t)− It

.

Entonces, para todo t ≥ 0 se tiene que, T (t) = S(t).

Demostración. Sea t > 0 jo. Se considera las siguientes funciones f(a) = ‖T (a)‖ y g(a) =

‖S(a)‖, para todo a ∈ [0, t]. De la continuidad de f y g se tiene que existen constantes c1 y

c2 positivas, tales que ‖T (a)‖ ≤ c1 y ‖S(a)‖ ≤ c2. Por otro lado, por hipótesis se tiene que

dado ε > 0, existe δ > 0 tal que, para todo a ∈ [0, t] se verica que

1

a‖T (a)− S(a)‖ < ε

tc1c2.

Sea n ∈ N tal que tn < δ. Ahora se considera la siguiente serie

n−1∑i=0

[T

((n− i)t

n

)S

(it

n

)− T

((n− i− 1)t

n

)S

((i+ 1)t

n

)].

Se nota que dicha serie es telescópica. Luego, usando la propiedad de la serie telescópica

y usando la tercera propiedad de la Denición de Semigrupo Uniformemente Continuo, se

obtiene lo siguiente

‖ T (t)− S(t)‖ =

∥∥∥∥T (n tn)− S

(nt

n

)∥∥∥∥=

∥∥∥∥∥n−1∑i=0

[T

((n− i)t

n

)S

(it

n

)− T

((n− i− 1)t

n

)S

((i+ 1)t

n

)]∥∥∥∥∥≤

n−1∑i=0

∥∥∥∥T ((n− i)tn

)S

(it

n

)− T

((n− i− 1)t

n

)S

((i+ 1)t

n

)∥∥∥∥=

n−1∑i=0

∥∥∥∥T (n tn)T

(− itn

)S

(it

n

)− T

(nt

n

)T

(− itn

)T

(− tn

)S

(it

n

)S

(t

n

)∥∥∥∥=

n−1∑i=0

∥∥∥∥[T (ntn)T

(− itn

)T (−t)

] [S

(it

n

)][T

(t

n

)− S

(t

n

)]∥∥∥∥

56

=n−1∑i=0

∥∥∥∥[T ((n− i− 1)t

n

)][S

(it

n

)][T

(t

n

)− S

(t

n

)]∥∥∥∥<

n−1∑i=0

c1c2ε

tc1c2

t

n=nε

n= ε.

Dado que ε > 0 es arbitrario, entonces se concluye que, para todo t ≥ 0, T (t) = S(t).

A continuación se muestran algunas propiedades relevantes de los semigrupos uniformemente

continuos.

Teorema 3.1. Sea la familia de operadores acotados T (t)t≥0 un semigrupo uniformemente

continuo. Entonces se satisface lo siguiente:

1. Existe un operador acotado A, el cual es único, de tal manera que T (t) = etA, donde A

es el generador innitesimal de T (t).

2. Existe una constante m > 0 tal que, para todo t ≥ 0, ‖T (t)‖ ≤ emt.

3. Sea la función T : [0,∞) 7−→ B(X,X), el cual asigna cada t ≥ 0 el operador T (t), que

es diferenciable en norma y además satisface

d

dtT (t) = AT (t) = T (t)A.

En particular, se tiene que, dado f0 ∈ X y t ≥ 0, la solución de dfdt (f) = Af(t) es

f(t) = T (t)f0 tal que f(0) = f0.

Demostración. Para (1), de la Proposición 3.3 se tiene que el generador innitesimal de T (t) es

un operador lineal acotado A, donde A es también el generador innitesimal de etA, entonces

T (t) = etA. Ahora se prueba (2). Del literal (1) se sigue que

‖T (t)‖ =

∥∥∥∥∥∞∑n=0

(tA)n

n!

∥∥∥∥∥ ≤∞∑n=0

tn

n!‖A‖n .

Si ‖A‖ = m, se tiene que

‖T (t)‖ ≤∞∑n=0

(tm)n

n!.

Por lo tanto se concluye que ‖T (t)‖ ≤ emt. Ahora para probar (3). De la Proposición 3.2 se

sigue que, para ρ > 0 jo,

A = [T (ρ)− I]

(∫ ρ

0T (s)ds

)−1

.

57

Lo que implica que T (t) es derivable a la derecha en 0, es decir, d+

dt T (t) = A. Por ii) de la

Denición 3.1 se sigue que, para todo h > 0

T (t+ h)− T (t)

h= T (t)

T (h)− Ih

−−−−→h→0+

T (t)A,

entonces, para todo t ≥ 0 d+

dt T (t) = T (t)A. De manera análoga se obtiene

d+

dtT (t) = AT (t).

Además se satisface que d+

dt T (t) = d−

dt T (t). Por lo tanto,

d

dtT (t) = AT (t) = T (t)A.

En particular, se considera el siguiente problema denominado Problema de Cauchy asociado

a un operador acotado. Sea I ⊂ R un intervalo abierto, se dene

D(I, X) =

f : I 7−→ X

∣∣∣∣∀x ∈ I,∃ lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h

, (3.6)

para f ∈ D(I, X), se escribe

d

dxf(x) := lım

h→0

f(x+ h)− f(x)

h. (3.7)

Para el caso en que el intervalo I es cerrado en alguno de sus extremos, la denición es la

misma si x es un punto ubicado en el interior del intervalo, sin embargo, si x es un punto que

se encuentra en el extremo, entonces se considera sólo límites por la derecha o la izquierda

según corresponda. Surge de manera natural la siguiente pregunta, para T ∈ B(X,X) será

f(x) = exT f0 solución de

(P ; f0)

ddxf(x) = Tf(x)

f ∈ D([0,∞] , X)

f(0) = f0

(3.8)

Para ello se debe probar que∥∥∥∥∥e(x+h)T f0 − exT f0

h− TexT f0

∥∥∥∥∥ −−−→h→00

En efecto, de la Observación 2.3, se tiene que

(xT )(hT ) = (hT )(xT ), y TexT = exTT.

58

Luego,∥∥∥∥∥e(x+h)T f0 − exT f0

h− TexT f0

∥∥ =

∥∥∥∥∥e(x+h)T f0 − exT f0 − hTexT f0

h

∥∥∥∥∥=

1

|h|

∥∥∥e(xT+hT )f0 − e(xT )f0 − hTexT f0

∥∥∥=

1

|h|

∥∥∥(exT f0

) (ehT − I − hT

)∥∥∥≤ 1

|h|∥∥exT∥∥∥∥∥ehT − I − hT∥∥∥ ‖f0‖

≤ 1

|h|∥∥exT∥∥ ‖f0‖

∥∥∥∥∥∞∑n=0

(1

n!hnTn

)− I − hT

∥∥∥∥∥=

1

|h|∥∥exT∥∥ ‖f0‖

∥∥∥∥(I + hT +h2T 2

2!+h3T 3

3!+ · · ·

)− I − hT

∥∥∥∥=

1

|h|∥∥exT∥∥ ‖f0‖

∥∥∥∥∥h2T 2

2+∞∑n=3

hnTn

n!

∥∥∥∥∥=

1

|h|∥∥exT∥∥ ‖f0‖ |h|2

∥∥∥∥∥T 2

2+

∞∑n=3

hnTn

n!

∥∥∥∥∥≤ |h|

∥∥exT∥∥ ‖f0‖∥∥∥T 2 + ehT

∥∥∥≤ |h|

∥∥exT∥∥ ‖f0‖(∥∥T 2

∥∥+∥∥∥ehT∥∥∥)

≤ |h|∥∥exT∥∥ ‖f0‖

(‖T‖2 + eh‖T‖

)−−−→h→0

0.

Esta última desigualdad se obtiene usando el ejemplo (2) de la Sección 2.3 y es válido para

todo x ∈ R, en consecuencia f(x) = exT f0 ∈ D(R, X) y f(x) es solución de (3.8).

59

CAPÍTULO 4

SEMIGRUPOS FUERTEMENTE CONTINUOS

En este capítulo se estudiarán los semigrupos de operadores acotados los cuales satisfacen una

condición más débil que la dada por la continuidad uniforme, llegando a un corolario que nos

otorga condiciones sobre el operador A para que el siguiente problema tenga solución en este

contexto. ddtf(t) = Af(t)

f(0) = f0

(4.1)

4.1. Denición y propiedades preliminares

Los textos citados en [1], [14] y [16] serán usados como guías para el desarrollo de esta sección

y de la Sección 4.2.

Denición 4.1. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un semigrupo de operadores, se dice que es un

semigrupo fuertemente continuo, si para todo x ∈ X, se tiene que

lımt→0+

T (t)x = x.

En cuyo caso se dice que T (t) es de clase C0 o C0−semigrupo.

Se nota que todo semigrupo uniformemente continuo es C0−semigrupo. La diferencia se la

encuentra en la convergencia, mientras que un semigrupo uniformemente continuo converge

de manera uniforme a la identidad cuando se tiende a cero, por otro lado un C0−semigrupo

converge fuertemente.

Proposición 4.1. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo. Entonces existen c ≥ 0 y

N ≥ 1 tales que para todo t ≥ 0,

‖T (t)‖ ≤ Nect.

60

Demostración. Se va a mostrar que existe δ > 0 y N ≥ 1 tal que, para todo t ≥ 0, ‖T (t)‖ ≤ N .

Para ello, se supone que dicha armación es falsa, entonces existe una sucesión (tn)n∈N ⊂

(0,∞), que verica

lımn→∞

tn = 0, (4.2)

y además, para todo n ∈ N,

‖T (tn)‖ ≥ n, (4.3)

luego, por el principio de acotación uniforme, se sigue que existe x ∈ X tal que

‖T (tn)x‖ −−−→n→∞

0,

de esto y del hecho que T (t)t≥0 es un C0−semigrupo se llega a una contradicción con (4.2)

y (4.3). Por tanto, se tiene que

‖T (t)‖ ≤ N.

Como ‖T (0)‖ = ‖I‖ = 1, entonces N ≥ 1. Por otro lado, sea t ≥ 0 por el Lema de Euclides

se sigue que existen m ∈ K y 0 ≤ ρ < δ tales que t = δm+ ρ. Así,

‖T (t)‖ = ‖T (δm+ ρ‖ = ‖T (mδ)T (ρ)‖

= ‖T (δ)mT (ρ)‖ ≤ ‖T (δ)‖m‖T (ρ)‖

≤ Nm+1 = NNm ≤ NNtδ ,

dado que m ≤ tδ y N ≥ 1 se tiene que c := 1

δ log(N) ≥ 0, lo que implica que ec = N1δ , así

Ntδ = ect, de donde se concluye para todo t ≥ 0,

‖T (t)‖ ≤ Nect.

Denición 4.2. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo que satisface las condiciones de

la Proposición 4.1. Entonces,

1. Si c = 0, entonces se dice que T (t)t≥0 es un semigrupo uniformemente acotado.

2. Si c = 0 y N = 1, se dice que T (t)t≥0 es un semigrupo contractivo.

3. Si para todo x ∈ X, ‖T (t)x‖ = ‖x‖, entonces el semigrupo T (t)t≥0 es isométrico.

61

Proposición 4.2. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo, entonces para cada x ∈ X,

la función

ϕx : [0,∞) 7−→ X

t 7−→ ϕx(t) = T (t)x,

es continua.

Demostración. Sean t ≥ 0 y h > 0,

‖ϕx(t+ h)− ϕx(t)‖ = ‖T (t+ h)x− T (t)x‖ = ‖ [T (t)T (h)]x− T (t)‖

= ‖ [T (t)] [T (h)x− x] ≤ ‖T (t)‖‖T (h)x− x‖.

De la Proposición 4.1 y del hecho de que T (t)t≥0 es un C0−semigrupo, se concluye que,

para N ≥ 1, c ≥ 0 y todo t ≥ 0,

‖ϕ(t+ h)− ϕx(t)‖ ≤ Nect‖T (h)x− x‖ −−−→h→0

0.

Ahora, para 0 < h ≤ t,

‖ϕx(t− h)− ϕx(t)‖ = ‖T (t− h)x− T (t)x‖ = ‖T (t− h) [x− T (h)x] ‖

≤ ‖T (t− h)‖‖T (h)x− x‖ −−−→h→0

0.

Por lo tanto, ϕx(t) = T (t)x es continua.

Observación 4.1. Se nota que la Proposición 4.2 permite que para todo x ∈ X se puede dar

sentido a la integral de Riemann,∫ ba T (s)xds.

Denición 4.3. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo , se dene el generador inni-

tesimal de T (t) como sigue

AT : D(AT ) ⊆ X 7−→ X,

D(AT ) =

x ∈ X

∣∣∣∣ lımt→0+

T (t)x− xt

existe

y

ATx = lımt→0+

T (t)x− xt

=d+

dtT (t)x

∣∣∣∣t=0

para x ∈ D(AT ).

En el siguiente lema se va a mostrar que, aunque sea posible el caso D(AT ) ( X, se va a tener

que D(AT ) = X, dado que la condición de convergencia fuerte es más débil que la condición

62

dada por la continuidad uniforme, se espera que AT posea también una propiedad la cual sea

un poco más débil que el hecho de ser acotado.

Lema 4.1. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo y AT su generador innitesimal.

Entonces

1. Para todo x ∈ X se tiene

lımh→0

1

h

∫ t+h

tT (s)ds = T (t)x. (4.4)

2. Para todo x ∈ X se tiene ∫ t

0T (s)ds ∈ D(AT ) y (4.5)

AT

(∫ t

0T (s)ds

)= T (t)x− x. (4.6)

3. Para todo x ∈ D(AT ) se tiene

T (t)x ∈ D(AT ) y (4.7)

d

dtT (t)x = ATT (t)x = T (t)ATx. (4.8)

4. Para todo x ∈ D(AT ) se obtiene

T (t)x− T (s)x =

∫ t

sT (ρ)ATxdρ =

∫ t

sATT (ρ)xdx. (4.9)

Demostración. Para mostrar (4.4), para cada x ∈ X jo, se considera la siguiente función.

ϕx : [0,∞) 7−→ X

t 7−→ ϕx(t) = T (t)x,

por la Proposición 4.2, se tiene que ϕx es continua, así

lımh→0

1

h

∫ t+h

tϕx(s)ds = lım

h→0

1

h

∫ t+h

tT (s)xds = T (t)x.

Lo que prueba la igualdad (4.4). Para probar (4.5) y (4.6), sean x ∈ X y h > 0, entonces

AT

(∫ t

0T (s)xds

)= lım

h→0

1

h

(T (h)

∫ t

0T (s)xds−

∫ t

0T (s)xds

)= lım

h→0

1

h

∫ t

0T (s)x [T (h)− I] ds

63

= lımh→0

1

h

∫ t

0[T (h+ s)x− T (s)x] ds

= lımh→0

[1

h

∫ t+h

tT (s)xds− 1

h

∫ t

0T (s)xds

]= lım

h→0

1

h

∫ t+h

tT (s)xds− lım

h→0

1

h

∫ h

0T (s)xds.

Resolviendo el límite, se tiene que

AT

(∫ t

0T (s)xds

)= T (t)x− Ix = T (t)x− x.

y además ∫ t

0T (s)xds ∈ D(AT ),

así se tiene (4.5) y (4.6). Ahora se prueba (4.7) y (4.8). Sean x ∈ D(AT ) y h > 0, así

lımh→0

T (h)− Ih

T (t)x = T (t) lımh→0

T (h)− Ih

x

= T (t) lımh→0

T (h)x− xh

= T (t)ATx,

lo que implica que T (t)x ∈ D(AT ) y además de la última igualdad se sigue que,

ATT (t)x =d+

dtT (t)x = T (t)x = T (t)ATx.

Bastaría ver lo que sucede en d−

dt

lımh→0

[T (t)x− T (t− h)x

h− T (t)ATx

]= lım

h→0

[T (t)x− T (t− h)x− hT (t)ATx

h

]= lım

h→0

1

h[T (t)x− T (t− h)x− hT (t− h)ATx+ hT (t− h)ATx− hT (t)ATx]

= lımh→0

[T [(t− h) + h]x− T (t− h)x

h− T (t− h)ATx+ T (t− h)ATx− T (t)ATx

]= lım

h→0

[T (t− h)T (h)x− T (t− h)x

h− T (t− h)ATx+ T (t− h)ATx− T (t)ATx

]= lım

h→0

[T (t− h)

(T (h)x− x

h

)− T (t− h)ATx

]+ lımh→0

(T (t− h)ATx− T (t)ATx)

= lımh→0

T (t− h)

[T (h)x− x

h−ATx

]+ lımh→0

[T (t− h)ATx− T (t)ATx]

= lımh→0

T (t− h)

[T (h)x− x

h−ATx

]+ lımh→0

ATx [T (t− h)− T (t)] .

El primer límite es cero, dado que para todo h ∈ [0, t], ‖T (t− h)‖ está acotado y x ∈ D(AT ),

además por la continuidad fuerte de T (t) se tiene que el segundo límite también es cero, lo

64

que prueba (4.7) y (4.8). Para probar (4.9), se tiene de (4.8) que para todo x ∈ D(AT ),

d

dtT (t)x = T (t)ATx,

lo que implica que

∫ t

s

d

dρT (ρ)xdρ =

∫ t

sT (ρ)ATxdρ,

T (ρ)x|ts =

∫ t

sT (ρ)ATxdρ =

∫ t

sATT (ρ)xdρ.

De donde se concluye que

T (t)x− T (s)x =

∫ t

sT (ρ)ATxdρ =

∫ t

sATT (ρ)xdρ.

Así se ha probado (4.9).

4.2. Cerradura del generador innitesimal de un C0−semigrupo.

Proposición 4.3. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo y AT su generador innitesi-

mal. Entonces D(AT ) = X.

Demostración. Se considera la siguiente sucesión (xn)n∈N ⊂ D(AT ), tal que, para x ∈ X,

xn −−−→n→∞

x. Ahora para cada n ∈ N se dene

xn = n

∫ 1n

0T (s)xds.

Por (4.5) se tiene que para todo n > 0, xn ∈ D(AT ) y además por (4.4) se sigue que

lımn→∞ xn = x, lo que implica que x ∈ D(AT ), de donde se concluye que D(AT ) = X.

Proposición 4.4. Sea AT el generador innitesimal de un C0−semigrupo y D(An) el dominio

del operador An, entonces se verica que

⋂n∈N

D(An) = X. (4.10)

Demostración. Sea x ∈ X y F el conjunto de todas las funciones de valores complejos a

soporte compacto innitamente diferenciable en ]0,∞[, Φ ∈ F tal que

y = x(Φ) =

∫ ∞0

Φ(s)T (s)xds.

65

Sea h > 0, así

T (h)− Ih

y =1

h[T (h)− I]

∫ ∞0

Φ(s)T (s)xds

=1

h

∫ ∞0

[Φ(s)T (s)T (h)x− Φ(s)T (s)x] ds

=1

h

∫ ∞0

Φ(s) [T (s)T (h)x− T (s)x] ds

=1

h

∫ ∞0

[Φ(s− h)− Φ(s)]T (s)xds.

Integrando el lado derecho de esta última expresión, se tiene que converge a −Φ(s)T (s)x

cuando h → 0 de manera uniforme en el intervalo ]0,∞[, lo que implica que y ∈ D(A) y

además,

Ay = lımh→0

T (h)− Ih

y =

∫ ∞0−Φ(s)T (s)xds.

Se nota que si Φ ∈ F entonces Φ(n) ∈ F , para n ∈ N. Por tanto, repitiendo el argumento

previo, se puede encontrar que y ∈ D(An) y además, para n ∈ N se obtiene

Any = (−1)n∫ ∞

0Φ(n)(s)T (s)xds,

lo que implica que

y ∈∞⋂n=1

D(An).

Ahora, sea Y = spanx(Φ)|x ∈ X,Φ ∈ F. Así se ha probado que

Y ⊂∞⋂n=1

D(An).

Bastaría probar que Y es denso en X, se supone que Y no es denso en X, del Teorema de

Hahn Banach, se tiene que existe z∗ ∈ X∗, z∗ 6= 0, tal que, para todo y ∈ Y , z∗(y) = 0. Así,

para todo x ∈ X y Φ ∈ F

∫ ∞0

Φ(s)z∗ [T (s)x] ds = z∗[∫ ∞

0Φ(s)T (s)xds

]= 0. (4.11)

Entonces, para todo x ∈ X, la función s 7−→ z∗ [T (s)x], es continua y además idénticamente

nula en [0,∞), en particular para s = 0 se tiene que z∗(x) = 0, esto es válido para todo x ∈ X

y entonces z∗ = 0 lo que contradice con el z∗ ∈ X∗ elegido. Así se concluye que Y es denso

en X.

66

Proposición 4.5. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo. Si AT es el generador in-

nitesimal de dicho semigrupo, entonces AT es un operador cerrado.

Demostración. Sea (xn)n∈N ⊂ D(AT ), x ∈ X y y ∈ Y , tales que

lımn→∞

xn = x, y lımn→∞

AT (xn) = y, (4.12)

del segundo ítem del Lema 4.1, se tiene que

T (t)xn − xn =

∫ t

0T (s)ATxnds.

Luego

lımn→∞

[T (t)xn − xn] = lımn→∞

∫ t

0T (s)ATxnds

T (t) lımn→∞

xn − lımn→∞

xn =

∫ t

0T (s) lım

n→∞ATxnds.

Usando (4.12) se tiene que

T (t)x− x =

∫ t

0T (s)yds. (4.13)

Ahora dividiendo para t > 0, tomando límites en (4.13) y usando el primer ítem del Lema

4.1, se obtiene que

lımt→0+

T (t)x− xt

= lımt→0+

1

t

∫ t

0T (s)yds = T (0)y = y.

Así se concluye que x ∈ D(AT ) y además se tiene que AT (x) = y. Por lo tanto, el operador

AT es cerrado.

Observación 4.2. El generador innitesimal caracteriza al semigrupo al igual que en el caso

de los C0−semigrupos, uniformemente continuos.

Proposición 4.6. Sean A,B los generadores innitesimales de los C0−semigrupos T (t)t≥0

y U(t)t≥0 respectivamente. Entonces A = B si y solo si, para todo t ≥ 0, T (t) = S(t).

Demostración. Se supone que A = B. Sean x ∈ X y t ≥ 0. Se dene la función

Ψt : [0, t] 7−→ X

s 7−→ Ψt(s) = T (t− s)U(s)x,

luego, de (4.9) y usando la regla de la cadena, se sigue que

67

d

dsΨt(s) =

d

dsT (t− s)U(s)x

=

(d

dsT (t− s)

)U(s)x+ T (t− s) d

dsU(s)x

= −AT (t− s)U(s) + T (t− s)BU(s)

= −T (t− s)AU(s) + T (t− s)AU(s) = 0.

Lo que implica que Ψt es una constante en el intervalo [0, t]. En particular se tiene que

Ψt(0) = Ψt(t), entonces, para todo t ≥ 0 y x ∈ X,

T (t− 0)U(0)x = T (t− t)U(t)x,

T (t)Ix = IU(t)x,

T (t)x = U(t)x.

Ahora se supone que, para todo t ≥ 0, T (t) = U(t) de la Denición 4.3 se obtiene que

A = lımt→0

T (t)− It

= lımt→0

U(t)− It

= B.

Así se concluye que A = B.

4.3. Teorema de Hille - Yosida y C0−semigrupos de contraccio-

nes

En esta sección se pretende caracterizar a los generadores innitesimales de C0− semigrupo de

contracciones. Se mostrarán resultados relevantes respecto al comportamiento del resolvente

de un operador A para que dicho operador genere al C0−semigrupo de contracciones. Para

ello, se hace uso de los textos citados en [1], [15], [16] y [17]. Para el estudio de la Sección 4.4

se hará uso de los mismos textos especicados anteriormente.

Denición 4.4. Sea T (t)t≥0 ⊆ B(X,X) un C0−semigrupo, si existe una constante M > 0

tal que, para todo t ≥ 0,

‖T (t)‖ ≤M.

Entonces se dice que T (t) es uniformemente acotado. Si ademásM = 1 se denomina C0−semigrupo

de contracciones. En tal caso se tiene que, para todo t ≥ 0 y todo x ∈ X,

68

‖T (t)x− T (t)y‖ ≤ ‖x− y‖.

Observación 4.3. De la Proposición 4.1 se sabe que existen constantes c ≥ 0 y N ≥ 1, tales

que, para todo t ≥ 0,

‖T (t)‖ ≤ Nect.

Se nota que si c = 0 y N = 1, entonces el C0−semigrupo es uniformemente acotado de

contracciones.

Denición 4.5. Sea el operador lineal A : X 7−→ X. Se dene el conjunto resolvente de A,

notado por ρ(A) como sigue

ρ(A) := λ ∈ C |λI −A es invertible y (λI −A)−1 es un operador acotado en X .

Además, si λ ∈ ρ(A), se denomina a la familia de operadores lineales acotados

R(λ : A) := (λI −A)−1 ,

como el resolvente del operador A.

Teorema 4.1 (Hille-Yosida). Sean A : D(A) 7−→ X un operador lineal no necesariamen-

te acotado y T (t)t≥0 un C0−semigrupo de contracciones. Se dice que A es el generador

innitesimal del respectivo C0−semigrupo si y solo si

1. A es cerrado y D(A) = X.

2. El conjunto resolvente de A, ρ(A) es tal que R+ ⊂ ρ(A) y para todo λ > 0, se tiene que

‖R(λ : A)‖ ≤ 1

λ.

La demostración se dividirá en tres subsecciones: necesidad, regularidad y suciencia.

4.3.1. Demostración del Teorema de Hille-Yosida: Necesidad

De las Proposiciones 4.3 y 4.5 se tiene que, dado que A es el generador innitesimal del

C0−semigrupo, T (t)t≥0, entonces A es cerrado y además D(A) = X. Ahora sea λ > 0,

como candidato a la inversa de (λI −A) se postula el operador denido como sigue

R(λ)x :=

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt. (4.14)

69

De la Proposición 4.2, se tiene que t 7−→ T (t)x es continua y como ‖T (t)x‖ ≤ ‖x‖, de la

Observación 4.3 se sigue también es uniformemente acotado, así la integral impropia (4.15)

existe en el sentido de Riemann, lo que permite denir el operador lineal acotado R(λ) :

X 7−→ X, el cual satisface que

‖R(λ)X‖ =

∥∥∥∥∫ ∞0

e−λtT (t)xdt

∥∥∥∥ ≤ ∫ ∞0

e−λt ‖T (t)x‖ dt

≤∫ ∞

0eλt‖x‖dt = ‖x‖ lım

b→∞

∫ b

0e−λtdt

= ‖x‖[

lımb→∞

(− 1

λe−λ(b) +

1

λeλ(0)

)]=

1

λ‖x‖.

Luego, bastaría vericar que R(λ) es en efecto la inversa de (λI − A) para terminar de

demostrar la necesidad del Teorema de Hille-Yosida, para ello. Sea h > 0,

T (h)− Ih

R(λ)x =1

h[T (h)− I]

∫ ∞0

e−λtT (t)dt

=1

h

∫ ∞0

e−λt [T (h)− I]T (t)dt

=1

h

∫ ∞0

e−λt [T (h)T (t)x− T (t)x] dt

=1

h

∫ ∞0

e−λt [T (t+ h)x− T (t)x] dt

=1

h

[eλh∫ ∞h

e−λtT (t)xdt−∫ ∞

0e−λtT (t)xdt

]=eλh − 1

h

∫ ∞h

e−λtT (t)xdt− eλh

h

∫ h

0e−λtT (t)xdt.

Tomando límite en h→ 0 y usando (4.4), se tiene que

lımh→0

T (h)− Ih

R(λ)x = lımh→0

[eλh − 1

h

∫ ∞h

e−λtT (t)xdt− eλh

h

∫ h

0e−λtT (t)xdt

],

AR(λ)x = λR(λ)x− x.

En consecuencia, para todo x ∈ X, λ > 0 se sigue que R(λ)x ∈ D(A) y

(λI −A)R(λ) = I. (4.15)

Ahora por (4.7), (4.8) y x ∈ D(A), se obtiene que

R(λ)Ax =

∫ ∞0

e−λtT (t)Axdt =

∫ ∞0

e−λtAT (t)xdt. (4.16)

70

Como x fue arbitrario, de (4.16) y la cerradura de A se tiene que para todo x ∈ D(A),

R(λ)Ax = A

∫ ∞0

e−λtT (t)xdt = AR(λ)x, (4.17)

lo que implica que R(λ) y A conmutan entre sí sobre D(A), de (4.15) y (4.17) se concluye

que, para todo x ∈ D(A),

R(λ)(λI −A)x = x,

R(λ) = (λI −A)−1,

y además verica que, para todo λ > 0,

‖R(λ : A)‖ ≤ 1

λ.

4.3.2. Regularizada de Yosida

Para demostrar la suciencia de las condiciones (1) y (2) del Teorema 4.1 se necesitan de los

siguientes lemas.

Lema 4.2. Sea A un operador que verica los ítems (1) y (2) del Teorema 4.1. Si R(λ : A) =

(λI −A)−1. Entonces, para todo x ∈ X,

lımλ→∞

λR(λ : A)x = x.

Demostración. Sea x ∈ D(A) y λ > 0, se conoce que

R(λ : A)(λI −A)−1x = x,

de donde se obtiene que

R(λ : A)(λIx−Ax) = x,

λR(λ : A)Ix−R(λ : A)Ax = x,

λR(λ : A)x− x = R(λ : A)Ax,

tomando normas y usando el ítem (2) del Teorema 4.1,

‖R(λ : A)x− x‖ = ‖R(λ : A)Ax‖ ≤ ‖R(λ : A)‖‖Ax‖

≤ 1

λ‖Ax‖ −−−→

λ→∞0.

71

Así se ha probado que el resultado es válido para x ∈ D(A). Ahora, sea (xn)n∈N ⊂ D(A) tal

que xn −−−→n→∞

x, así

‖λR(λ : A)x− x‖ = ‖λR(λ : A)x− λR(λ : A)xn + λR(λ : A)xn − xn + xn − x‖

≤ ‖λR(λ : A)x− λR(λ : A)xn‖+ ‖λR(λ : A)xn − xn‖+ ‖xn − x‖

= ‖λR(λ : A)(x− xn)‖+ ‖λR(λ : A)xn − xn‖+ ‖xn − x‖

≤ 2‖x− xn‖+ ‖λR(λ : A)xn − xn‖,

tomando límite superior, se sigue que

lım supλ→∞

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ lım supλ→∞

[2‖x− xn‖+ ‖λR(λ : A)xn− xn‖]

≤ 2‖x− xn‖+ lım supλ→∞

1

λ‖Axn‖ .

Así,

lım supλ→∞

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ 2‖x− xn‖,

haciendo n→∞ y dado que D(A) es denso por el ítem (1) se concluye que

lım supλ→∞

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ 0,

y por tanto

lımλ→∞

λR(λ : A)x = x.

Denición 4.6. Para cada λ > 0, se dene la Regularizada de Yosida de A como

Aλ = λAR(λ : A) = λA(λI −A)−1 = λ2R(λ : A)− λI.

Observación 4.4. Se nota que λ está destinado a diverger hacia innito.

Lema 4.3. Sea A un operador lineal que satisface las condiciones de los literales del Teorema

4.1, entonces, para todo x ∈ D(A),

lımλ→∞

Aλx = Ax.

Demostración. Sea x ∈ D(A), del Lema 4.2 y de la Denición 4.6, se obtiene que,

72

lımλ→∞

Aλx = lımλ→∞

λAR(λ : A)x

= lımλ→∞

AλR(λ : A)x = Ax.

Lema 4.4. Sea A un operador tal que satisface los literales (1) y (2) del Teorema 4.1, en-

tonces Aλ, λ > 0 es el generador innitesimal de un semigrupo uniformemente continuo de

contracciones T (t)t≥0, es decir , etAλt≥0. Además, para todo x ∈ X, λ, µ > 0 y t ≥ 0, se

obtiene que ∥∥etAλx− etAµ∥∥ ≤ t‖Aλx−Aµx‖.Demostración. Sea λ > 0, como

‖Aλ‖ = ‖λ2R(λ : A)− λI‖ ≤ ‖λ2R(λ : A)‖+ ‖ − λI‖

= λ2‖R(λ : A)‖+ λ‖I‖ ≤ λ2 1

λ+ λ = 2λ.

Lo que implica que el operador Aλ es acotado, del primer literal del Teorema 3.1 se sigue que

Aλ es el generador innitesimal del semigrupo uniformemente continuo Tλ(t) = etAλ . Además,

para todo x ∈ X, λ, µ > 0,

∥∥etAλ∥∥ =∥∥∥et(λ2R(λ:A)−λI)

∥∥∥ =∥∥∥eλ2tR(λ:A)e−λtI

∥∥∥= e−λt

∥∥∥eλ2tR(λ:A)∥∥∥ ≤ e−λteλ2t‖R(λ:A)‖

≤ e−λteλ2t1λ = 1.

De la Denición 4.4 se tiene que etAλt≥0 es un semigrupo uniformemente acotado de con-

tracciones. Luego

‖etAλx− etAµx‖ =

∥∥∥∥∫ 1

0

d

ds

(etsAλet(1−s)Aµx

)ds

∥∥∥∥=

∥∥∥∥∫ 1

0tetsAλet(1−s)Aµ(Aλx−Aµx)ds

∥∥∥∥≤∫ 1

0‖t(Aλx−Aµx)‖

∥∥∥etsAλet(1−s)Aµ∥∥∥ ds≤∫ 1

0‖t(Aλx−Aµx)‖

∥∥etsAλ∥∥∥∥∥et(1−s)Aµ∥∥∥ ds≤∫ 1

0‖t(Aλx−Aµx)‖ ds = t ‖Aλx−Aµx‖ .

73

De donde se concluye que

∥∥etAλx− etAµ∥∥ ≤ t ‖Aλx−Aµx‖ .

4.3.3. Demostración del Teorema de Hille-Yosida: Suciencia

De los Lemas 4.3 y 4.4, se tiene que

∥∥etAλx− etAµ∥∥ ≤ t‖Aλx−Aµx‖ −−−−−→λ,µ→∞

0. (4.18)

ComoX es un espacio de Banach esto implica que, para todo x ∈ D(A), el límite lımλ→∞ etAλ ,

existe. Así, para todo x ∈ D(A) y t ≥ 0, se dene el operador

T (t) := lımλ→∞

etAλx. (4.19)

La linealidad del operador está dada por las linealidades de etAλ y del límite, de la misma

manera, por ser un semigrupo uniformemente continuo, si sigue que

‖T (t)x‖ =

∥∥∥∥ lımλ→∞

etAλx

∥∥∥∥ = lımλ→∞

∥∥etAλx∥∥≤ lım

λ→∞

∥∥etAλ∥∥ ‖x‖ ≤ ‖x‖.De donde se puede deducir que T (t) es uniformemente continuo en D(A), es decir, dado ε > 0

y si x, y ∈ D(A), ‖x− y‖ < ε2 , entonces

‖T (t)x− T (t)y‖ ≤ ‖x− y‖ < ε.

Por el Teorema de Extensión de Funciones Uniformemente Continuas en espacios métricos

completos, se puede extender T (t) a todo el espacio X. De la continuidad y la linealidad del

operador T (t), dicha extensión es lineal y acotada en X y además satisface que ‖T (t)‖ ≤ 1.

Ahora, para t ∈ [a, b] ⊂ [0,∞) y µ→∞, se obtiene que

‖etAλx− T (t)x‖ ≤ t‖Aλx−Ax‖ ≤ b‖Aλx−Ax‖,

lo que implica que T (t)x es uniformemente continuo en intervalos acotados. De la denición

de T (t), se tiene que T (0) = I y dado que etAλt≥0 es un semigrupo uniformemente continuo

74

se sigue que, para todo t, s ≥ 0,

T (t)T (s)x = lımλ→∞

etAλesAλx

= lımλ→∞

e(t+s)Aλx = T (t+ s)x.

Además la función t 7−→ T (t)x es continua en [0, T ] pues es el límite uniforme de las funciones

continuas t 7−→ etAλ . Así se concluye que T (t) es un C0−semigrupo de contracciones. Ahora

se va a mostrar que A es el generador innitesimal de T (t). Sea x ∈ D(A), de (4.19) y de

(4.4) se obtiene que

T (t)x− x = lımλ→∞

(etAλx− x)

= lımλ→∞

∫ t

0esAλAλxds =

∫ t

0T (s)Ax.

Luego, sea B el generador innitesimal de T (t) y además, para todo x ∈ D(A), A(x) = B(x),

entonces A ⊂ B y D(A) ⊂ D(B). Por denición de ρ(A), 1 ∈ ρ(A) de donde, por la condición

necesaria se obtiene que 1 ∈ ρ(B). En particular (I−B)D(B) = X, pero como D(A) ⊂ D(B),

se sigue que

X = (I −B)D(B) ⊃ (I −B)D(A) = X.

Así se concluye que

D(B) = (I −B)−1X = D(A),

y por tanto en todo X, lo que implica que A = B.

4.4. Teorema de Lumer-Phillips y los operadores disipativos.

En esta sección se verá una manera alternativa de caracterizar a los generadores innitesimales

de los C0−semigrupos de contracciones.

Denición 4.7. Sea X un espacio de Banach, X∗ su dual topológico y x ∈ X. Se denota por

F (x) = x∗ ∈ X∗|〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2∗

Observación 4.5. Del Teorema de Hanh-Banach, se tiene que, para todo x ∈ X, existe

f ∈ X∗ tal que

〈x, f〉 = ‖x‖ y ‖f‖∗ = 1,

75

luego, x∗ = ‖x‖ y satisface

〈x, x∗〉 = ‖x‖〈x, f〉 = ‖x‖2 y,

‖x‖ = ‖x∗‖.

De donde se concluye que, para todo x ∈ X, F (x) 6= ∅.

Denición 4.8. Sea A : D(A) ⊆ X 7−→ X, se dice que A es un operador disipativo si, para

todo x ∈ D(A) existe x∗ ∈ F (x) tal que

Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.

Proposición 4.7. Sea un operador A : D(A) ⊆ X 7−→ X, se dice que A es disipativo si y

solo si, para todo x ∈ D(A) y λ > 0, se obtiene que

‖(λI −A)x‖ ≥ λ‖x‖. (4.20)

Demostración. Se supone que A es un operador disipativo. Sea x ∈ D(A), si x = 0 se cumple

la desigualdad. Si x 6= 0 y λ > 0, sea x∗ ∈ F (x) tal que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0, así

‖(λI −A)x‖‖x∗‖ = ‖λx−Ax‖‖x∗‖ ≥ |Re〈λx−Ax, x∗〉|

≥ Re〈λx−Ax, x∗〉 = Re〈λx, x∗〉 −Re〈Ax, x∗〉

= λRe〈x, x∗〉 −Re〈Ax, x∗〉 = λ‖x‖2 −Re〈Ax, x∗〉 ≥ λ‖x‖2.

De donde se sigue que

‖(λI −A)x‖ ≥ λ‖x‖.

De manera recíproca, sea x ∈ D(A), se supone que, para todo λ > 0, x 6= 0,

‖λx−Ax‖ ≥ λ‖x‖, (4.21)

sean y∗n ∈ F (nx−Ax) y z∗n = y∗n‖y∗n‖∗

, así, para todo n ≥ 1, ‖z∗n‖∗ = 1 y de (4.21)

n‖x‖ ≤ ‖(n−A)x‖ = ‖nx−Ax‖ = 〈nx−Ax, z∗n〉

= Re〈nx−Ax, z∗n〉 = nRe〈x, z∗n〉 −Re〈Ax, z∗n〉

≤ n|〈x, z∗n〉| −Re〈Ax, z∗n〉 ≤ n‖x‖‖z∗n‖ −Re〈Ax, z∗n〉

= n‖x‖ −Re〈Ax, z∗n〉,

76

de donde se obtiene que

n‖x‖ ≤ n‖x‖ −Re〈Ax, z∗n〉,

lo que implica que

Re〈Ax, z∗n〉, (4.22)

además, de (4.21) y usando la desigualdad triangular, se sigue que

‖nx−Ax‖ ≤ nRe〈x, z∗n〉,

n‖x‖ − ‖Ax‖ ≤ nRe〈x, z∗n〉.

Así,

Re〈x, z∗n〉 ≥ ‖x‖ −1

n‖Ax‖. (4.23)

Por construcción se tiene que la sucesión z∗nn∈N está contenida en la bola unitaria de x∗, lo

que implica que sea compacta para la topología débil∗. Entonces z∗nn∈N posee una subsu-

cesión tal que zn −−−→n→∞

z∗, con z∗ contenido en la bola unitaria de x∗. Tomando el límite en

(4.22) y (4.23), se obtiene que

Re〈Ax, z∗〉 ≤ 0 y Re〈x, z∗〉 ≥ ‖x‖.

Por otro lado, se tiene que

Re〈x, z∗〉 ≤ |〈x, z∗〉| ≤ ‖x‖‖z∗‖ ≤ ‖x‖.

Luego,

〈x, z∗〉 = ‖x‖ y ‖z∗‖∗ = 1.

Ahora se dene x∗ = ‖x‖z∗. Entonces, por un lado se tiene que

|〈x, x∗〉| ≤ ‖x‖‖x∗‖ = ‖x‖‖‖x‖z∗‖

= ‖x‖‖x‖ = ‖x‖2.

Por otro lado,

|〈x, x∗〉| ≥ Re〈x, x∗〉 = Re〈x, ‖x‖z∗〉

= ‖x‖Re〈x, z∗〉 ≥ ‖x‖‖x‖ = ‖x‖2.

77

De donde se concluye que

〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2∗ y Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.

Por lo tanto A es un operador disipativo.

Proposición 4.8. Sea A : D(A) ⊆ X 7−→ Y un operador disipativo. Si para algún λ0 > 0,

Im(λ0I −A) = X, entonces

1. A es cerrado, y

2. Para todo λ > 0, Im(λI −A) = X.

Demostración. Para mostrar (1), se tiene, dado que Im(λ0I − A) = X y por la Proposición

4.5, se sigue que, para todo λ0 > 0 y x ∈ D(A),

‖(λ0I −A)x‖ ≥ λ0‖x‖x.

Así λ0 ∈ ρ(A), luego (λ0I −A)−1 es acotado y cerrado y además A también es cerrado. Para

mostrar (2), se dene el siguiente conjunto

Ω = λ > 0|Im(λI −A) = X,

luego, de la hipótesis se tiene que λ0 ∈ Ω, entonces Ω 6= ∅. Sea λ ∈ Ω, por hipótesis y por la

Proposición 4.5, se sigue que, para todo x ∈ D(A) y λ > 0,

(λI −A) = X y ‖(λI −A)‖ ≥ λ‖x‖,

lo que implica que λ ∈ ρ(A), además ρ(A) es abierto, así existe δ > 0 tal que

(λ− δ, λ+ δ) ⊂ Ω.

Por tanto, Ω es abierto en (0,∞). Ahora se va a probar que Ω es cerrado. Sea (λn)n∈N ⊂ Ω

tal que λn −−−→n→∞

λ > 0, para cada y ∈ X y n ∈ N existe (xn)n∈N ⊂ D(A) tal que

λnxn = Axn = y,

luego, para todo n ∈ N y algún c > 0,

‖xn‖ ≤1

λn‖λnxn −Axn‖ =

‖y‖λn≤ c.

78

Además

‖xn − xm‖ ≤1

λm‖λm(xn − xm)−A(xn − xm)‖

=1

λm‖ − (λmxn −Axm) + (λnxn −Axn) + (λm − λn)xn‖

=1

λm‖ − y + y + (λn − λm)xn‖

= |λn − λm|‖xn‖λm

≤ c2|λn − λm|.

Así como (λn)n∈N es de Cauchy, entonces para ε > 0 existe N ∈ N tal que, para todo

m,n > N ,

|λn − λm| ≤ε

c2,

luego, de las dos últimas ecuaciones se tiene que, tomando N = N y para todo n,m > N ,

‖xn − xm‖ ≤ c2 ε

c2= ε.

Por tanto (xn)n∈N es de Cauchy, de la completitud de X, se tiene que existe x ∈ X, tal que

xn −−−→n→∞

x. De donde se tiene que

Axn −−−→n→∞

λx− y.

De la cerradura de A se sigue que x ∈ D(A) y (λI−A)x = y, así se concluye que λ ∈ Ω y por

lo tanto Ω es cerrado. Finalmente como (0,∞) es convexo, esto implica que Ω = (0,∞).

Teorema 4.2 (Lumer-Phillips). Sean A : D(A) ⊆ x 7−→ X un operador disipativo y X un

espacio de Banach.

1. Si A es un operador disipativo y, para todo λ0 > 0, Im(λ0I −A) = X, entonces A es el

generador innitesimal de un C0−semigrupo de contracciones en X.

2. Si A es el generador innitesimal de un C0−semigrupo de contracciones en X, entonces,

para todo λ > 0, Im(λ0I − A) = X y A es disipativo. Además, para todo x ∈ D(A) y

todo x∗ ∈ F (x), se tiene que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.

Demostración. Se muestra (1). De la Proposición 4.8 se tiene que A s cerrado, (0,∞) ⊂ ρ(A)

y

‖(λI −A)−1x‖ ≤ 1

λ‖(λI −A)(λI −A)−1x‖ =

‖x‖λ.

79

De donde se sigue que, para todo λ > 0

‖R(λ : A)‖ ≤ 1

λ.

Por hipótesis D(A) es denso, así se tienen las condiciones (1) y (2) del Teorema 4.1, luego A

es el generador innitesimal de un C0−semigrupo de contracciones. Ahora se muestra (2), se

supone que A es el generador innitesimal de un C0−semigrupo de contracciones, T (t)t≥0

en X. Entonces del Teorema 4.1 se sigue que (0,∞) ⊆ ρ(A) y por la Proposición 4.8 se tiene

que, para todo λ > 0,

Im(λI −A) = X y ‖(λI −A)x‖ ≤ 1

λ,

lo que implica que, para todo x ∈ D(A) y todo λ > 0 se obtiene

‖(λI −A)x‖ ≥ λ‖x‖,

por la Proposición 4.7 se sigue que A es un operador disipativo. Ahora, para todo x ∈ D(A)

y x∗ ∈ F (x),

|〈T (t)x, x∗〉| ≤ ‖T (t)x‖‖x∗‖∗ ≤ ‖x‖2.

Usando la denición de F (x) y la última desigualdad, se tiene que

Re〈T (t)x, x∗〉 = Re〈T (t)x, x∗〉 −Re〈x, x∗〉

= Re〈T (t)x, x∗〉 − ‖x‖2 ≤ 0.

Tomando el límite en t→ 0 y dividiendo para t, se concluye que

Re〈Ax, x∗〉 = Re

⟨lımt→0

(T (t)x− x

t

), x∗⟩≤ 0.

80

CAPÍTULO 5

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. Conclusiones

Se denió y se demostró algunas propiedades de los operadores lineales acotados en

espacios de Banach los cuales fueron una herramienta elemental en el desarrollo posterior

del trabajo.

Se estudió los semigrupos de operadores uniformemente continuos, la integral de Rie-

mann que los dene, su generador y algunas propiedades generales.

Se dió la denición de semigrupo fuertemente continuo se demostró algunas propiedades

elementales, se denió su generador y se mostraron algunas propiedades de la cerradura

del generador innitesimal.

Se denió el C0−semigrupo de contracciones el cual junto con su generador y su conjunto

resolvente fueron usados en el estudio de la necesidad, regularidad y suciencia del

Teorema de Hille-Yosida otorgando una demostración detallada del teorema en cuestión.

Se denió y se demostró algunas propiedades esenciales de los operadores disipativos y

se realizó la demostración a detalle del Teorema de Lumer-Phillips.

81

5.2. Recomendaciones

En este trabajo se estudió a los semigrupos denidos en espacios de Banach de dimensión

innita, se recomienda estudiar usando el dual de un espacio de Banach, los espacios

reexivos y los espacios de Hilbert.

El estudio realizado en este trabajo tuvo un enfoque teórico, se puede usar como aplica-

tivo para el estudio de ecuaciones homogéneas, no homogéneas, ecuaciones no lineales,

sistemas port-hamiltonianos, teoría espectral, entre otras aplicaciones.

Este trabajo se desarrolló entorno a la familia de operadores acotados T (t)t≥0, que

satisfacen (3.1) o (4.1), se recomienda realizar el estudio para −∞ < t < ∞, y con las

siguientes condiciones

1. T (0) = I.

2. T (t+ s) = T (t)T (s) para −∞ < t, s <∞.

3. Para todo x ∈ X, lımt→0 T (t)x = x.

Conocido como C0−grupo.

Durante el estudio de los C0−semigrupos se estudiaron los C0−semigrupos de contrac-

ciones y los operadores disipativos, sin embargo existen otros tipos de C0−semigrupos,

de manera más especíca se recomienda el estudio de los C0−semigrupos de operadores

compactos, diferenciales y analíticos.

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