Derivada de una funcion-determinante

Para calcular la derivada de una funcion-determinante se aplica la regla de Leibnizsucesivamente ya que el determinante se puede desarrollar como suma de adjuntos. Lademostracion completa se realiza por induccion. Sea A(x) : R 7−→ Mn(R) una funcionmatricial cuya imagen en un punto x ∈ R es una matriz cuadrada de rango n. Seadet · : Mn(R) 7−→ R una funcion-determinante construida aplicando el determinantea la imagen de la funcion matricial A anterior. Sea la funcion-determinante

det A(x) =

∣∣∣∣∣∣∣a1

1(x) . . . an1(x)

... . . . ...a1

n(x) . . . ann(x)

∣∣∣∣∣∣∣ ,

la formula propuesta para su derivada es

[det A(x)]′ =n

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(x) . . . an

1(x)...

...a1′

i (x) . . . an′i (x)

......

a1n(x) . . . an

n(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

La demostracion por induccion empieza probando el caso para n = 2:

det A(x) =∣∣∣∣a1

1(x) a21(x)

a12(x) a2

2(x)

∣∣∣∣ =⇒ [det A(x)]′ =2

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(x) a2

1(x)...

...a1′

i (x) a2′i (x)

......

a12(x) a2

2(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣a1′1 (x) a2′

1 (x)a1

2(x) a22(x)

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ a11(x) a2

1(x)a1′

2 (x) a2′2 (x)

∣∣∣∣ ,

Supondremos que la formula propuesta es cierta para cierto k ∈N. Entonces, sin = k + 1, sea A∗ una funcion matricial cuadrada de rango n + 1,

[det A∗]′ = [an+1n+1(x) · det A(x)]′ =

1

= an+1′n+1 (x) ·det A(x)+ an+1

n+1(x) · [det A(x)]′ = an+1′n+1 (x) ·det A(x)+ an+1

n+1(x) ·n

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(x) . . . an

1(x)...

...a1′

i (x) . . . an′i (x)

......

a1n(x) . . . an

n(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

=

∣∣∣∣∣∣∣a1

1(x) . . . an+11 (x)

... . . . ...a1′

n+1(x) . . . an+1′n+1 (x)

∣∣∣∣∣∣∣+ an+1n+1(x) ·

n

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(x) . . . an

1(x)...

...a1′

i (x) . . . an′i (x)

......

a1n(x) . . . an

n(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

n+1

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(x) . . . an+1

1 (x)...

...a1′

i (x) . . . an+1′i (x)

......

a1n+1(x) . . . an+1

n+1(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣. �

La demostracion se ha realizado mediante la regla de Leibniz, el desarrollo en ad-juntos del determinante y otras propiedades del determinante.

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