Derivadas

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Profesor : Pablo Valdés

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Derivada

De�nitionDiremos que f 0 (p) es la derivada de f (x) en el punto p si el siguientelimite existe:

f 0 (p) = limx�!p

f (x)� f (p)x � p .

Notación: Otras formas de anotar la derivada de f (x) en el punto p, son:dfdx(p) ;

dfdx

/x = p

OBS: f 0 (x) puede ser calculada de otra forma tomando h = x � p setienen:

f 0 (x) = limh!0

f (h+ p)� f (p)h

Example

Veri�car que la función f (x) = 3x + 5, es derivable en el punto p = 7.


Intermpretación geométrica de la derivada

Geométricamente hablando la derivada de una función, f (x) ,es lapendiente de la recta tangente en un punto, a.Esto es, segun lo que se muestra en la �gura:

L1 : tendría como pendiente f 0 (a) . Quedando: y � f (a) = f 0 (a) (x � a)L2 : tendría como pendiente f 0 (b) . Quedando: y � f (b) = f 0 (b) (x � b)


Derivad de funciones elementales

1.- Si f (x) = K , donde K es una constante, entonces f 0 (x) = 0.2.- Si f (x) = xn , entonces f 0 (x) = nxn�1.

3.- Si f (x) =px , entonces f 0 (x) =

12px.

4.- Si f (x) = ex , entonces f 0 (x) = ex .

5.- Si f (x) = ln (x) , entonces f 0 (x) =1x

6.- Si f (x) = sin (x) , entonces f 0 (x) = cos (x)7.- Si f (x) = cos (x) , entonces f 0 (x) = � sin (x)


Algebra de derivadas

Si f y g son dos funciones derivables en un punto a, entonces αf , f + g ,

f � g son derivables en a y si g (a) 6= 0, entonces fges derivable en a.

Además:1.� (αf )0 (a) = αf 0 (a)2.� (f + g)0 (a) = f 0 (a) + f 0 (a)3.� (f � g)0 (a) = f 0 (a) � g (a) + f (a) � g 0 (a)4.�

�fg

�(a) =

f 0 (a) � g (a)� f (a) � g 0 (a)g2 (a)

, g (a) 6= 0.


Examples

Determinar f 0 (x) si:1.� f (x) = 7x4 �! f 0 (x) = 28x3

2.� f (x) = �9ex �! f 0 (x) = �9ex

3.� f (x) = 8px �! f 0 (x) =

4px

4.� f (x) = x � ex �! f 0 (x) = ex + x � ex

5.� f (x) =ln (x)x

�! f 0 (x) =1� ln (x)

x2

Examples

Dada la curva de ecuación y = f (x) = x2 � 6x + 8. Hallar la rectatangente a la curva en el punto x = 1.Solución: entonces: f 0 (x) = 2x � 6 �! f 0 (1) = �4.luego teniendo en cuenta que f (1) = 3, la ecuación de la recta tangenteestá dada por:y � f (1) = �4 (x � 1) �! y = �4x + 7


Regla de la cadena

Sean f (x) y g (x) dos funciones, se de�nde la derivada de la funcióncompuesta:(g (f (x)))0 = g 0 (f (x)) � f 0 (x)

Example

Sean g (x) = ln (x) y f (x) = x3 +px , entonces:

g 0 (x) =1x; f 0 (x) = 3x2 +

12px.

como (g (f (x)))0 = g 0 (f (x)) � f 0 (x) , se tiene que:(g (f (x)))0 =

1x3 +

px��3x2 +

12px

�.


Example

Calcular f 0 (x) si:1.- f (x) = ex

2 �! f 0 (x) = ex2 � 2x = 2xex 2

2.- f (x) = ln�2x + x3

��! f 0 (x) =

12x + x3

��2+ 3x2

�=2+ 3x2

2x + x3

3.- f (x) =�x2 � 1

�3 �! f 0 (x) = 3�x2 � 1

�2 � 2x = 6x �x2 � 1�2


Derivadas de orden superior

Example

Determinar f 00 (x), donde:

1.- f (x) = xex �! f 0 (x) = ex + xex �! f 00 (x) = ex + ex + xex =2ex + xex

2.-f (x) = (2x � 1)3 �! f 0 (x) = 6 (2x � 1)2 �! f 00 (x) = 24 (2x � 1)


Derivada implicita

De�nitionuna ecuación de la forma F(x , y) = 0 de�ne implicitamente a y comofunción de x ssi existe un intervalo I tal que F (x , f (x)) = 0, 8x 2 I .¿Cual es la derivada de una función implicita?

Example

Supongamos que y2 � x � 1 = 0 de�ne implicitamente a una funcióny = f (x) . Determinar y 0.

Ejercicio: Determinar y 0 en:

xy4 + x2y + 3x3 � y + 2 = 0


Razon de cambio

De�nitionSea f (t) una función derivable con respecto al tiempo t.La tasa o razónde cambio con respecto al tiempo t = a está dada por la derivada de lafuncion f en el tiempo indicado, es decir, f 0 (a) .

Ejemplo: La temperatura T (medida en grados celsiu) de una solución enal tiempo t (en minutos) está dada por:

T (t) = 10+ 4t +3

t + 1, para 1 � t � 10.

Calcule la razon de cambio de T (t) con respecto al tiempo t en t = 2 yt = 9.


Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impicitamente,dydtde

una función y = f 0 (t) . Así, por ejemplo,ddt(yn) = nyn�1

dydt.

Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones decambio de dos o mas variables que cambian con el tiempo.

ExampleCuando un plato circular de metal, se calienta en un horno su radioaumenta a razón de 0, 01 cm/min. ¿Cual es la razón de cambio del areacuando el radio mide 50 cm.?Resp: π cm2/min


ExampleEl lado l de un rectangulo isminuye a razón de 2 cm/seg ., mientras que elancho w aumenta a razon de 2 cm/seg . Cuando l = 12 cm. y w = 5 cm,hallar la razon de cambio del area del rectangulo.Resp: 14 cm2/seg


Examplesuponga que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que semuestra en la �gura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, elradio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones quedependen del tiempo t.

Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del

volumen del cono; a saber: V =π

3r2h

Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de V =π

3r2h

respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuación de razonesrelacionadas:dVdt=

π

3

�2rhdrdt+ r2

dhdt

�


Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a lasrazones de cambio de la altura y del radio, en donde:dVdt

es la razón o rapidez a la cual varía el volumen con respecto al tiempo

drdtes la razón o rapidez a la cual varía el radio con respecto al tiempo

dhdtes la razón o rapidez a la cual varía la altura con respecto al tiempo

Así, por ejemplo,dVdt= 10 m/seg signi�ca que el volumen está

aumentando 10m3 cada segundo; mientras que,dVdt= �10 m/seg

signi�ca que el volumen está disminuyendo a 10 m3 cada segundo.


Ejercicio:Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de anchoarriba y 3, 5 metros de hondo. Si el agua �uye hacia el recipiente a razónde 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la alturadel agua cuandotal altura es de 2 metros.


Máximos y mínimos

De�nitionSí f es una función derivable en p y f 0 (p) = 0, entonces puede ocurrirque:a) f (p) sea un máximob) f (p) sea un mínimoVer el dibujo.


TheoremSea f una función derivable en un intervalo abierto que contiene a p talque f 0 (p) = 0, es decir, p es un punto critico.a) Si, f 00 (p) < 0, entonces f tiene un máximo en x = p.b) Si, f 00 (p) > 0, entonces f tiene un mínimo en x = p.


Example

Si el costo de producción de "q" artículos es C (q) = 2q2 + 30q + 25, y elprecio de venta de cada artículo es p = 50� q, determinar:a) La producción para que la Utilidad sea máxima.b) El valor de la Utilidad máxima.

Solución:

a) La utilidad está dada por: U (x) = (50� q) q � 2q2 + 30q + 25 =�3q2 + 80q + 25.Para determinar la máxima utilidad tenemos que encontrar el o los puntoscriticos de U, esto es encontrar los q tales que U 0 (q) = 0.

U 0 (q) = �6q + 80 = 0, luego q = 403= 13. 333

U 00 (q) = �6 �! U 00�403

�= �6, por lo tanto es un máximo.

La producción para que la utilidad sea máxima debe ser de 13, 3 artículos.


b) La utilidad máxima se tiene en

U�403

�= �3

�403

�2+ 80

�403

�+ 25 = 558. 33

)La utilidad máxima es de 558. 33 u.m.


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