14. Derivada Implcita

Para hallar la derivada en forma implcita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivacin y teniendo presente que:

x'=1 .

.

Por lo que omit i remos x' y dejaremos y ' .

Ejemplos

Cuando las funciones son ms complejas vamos a ut i l izar una

regla para faci l i tar el clculo:

Ejemplos

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la der ivada

del numerador por el denominador menos la der ivada del denominador

por el numerador, d iv id idas por el cuadrado del denominador.

Derivada de una constante part ida por una funcin

Ejemplos

Derivada del Producto

La derivada del producto de dos funciones es igual a l pr imer

factor por la der ivada del segundo ms el segundo factor por la

der ivada del pr imero.

Derivada de una constante por una funcin

La derivada del producto de una constante por una funcin es

igual a l producto de la constante por la der ivada de la funcin.

Ejemplos

Derivada de le regla de la Cadena

La regla de la cadena es la frmula resultante de la derivada de

la composicin de funciones .

Ejemplos

Derivadas de Orden Superior

La derivada de la derivada de una funcin se conoce como segunda derivada de la funcin, es decir, si f(x) es una funcin y existe su primera derivada f(x), en el caso de que se pueda obtener, la derivada de la funcin obtenida de aplicar la derivada se le llama segunda derivada:

de manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo es necesario aclarar que las derivadas de una funcin dependen de las caractersticas de la funcin y es posible, y frecuentemente sucede, que algunas derivadas existen pero no para todos los ordenes pese a que se puedan calcular con las formulas. Es necesario considerar los teoremas expuestos en la seccin de los teoremas.

Las notaciones usuales utilizadas para derivadas de segundo orden son:

para derivadas de orden superior es de forma similar, as por ejemplo tendramos las siguientes derivadas:

Ejemplos:

Dada la funcin obtener la segunda derivada y cuarta derivada:

Derivando

Derivadas de una funcin exponencial

La derivada de la funcin exponencial ea igual a la misma

funcin por el logari tmo neper iano de la base y por la der ivada del

exponente.

Derivada de la funcin exponencial de base e

La derivada de la funcin exponencial de base e ea igual a la

misma funcin por la der ivada del exponente.

Ejemplos

Teoremas del valor extremo

El presente proyecto se refiere al teorema del valor extremo el cual dice que una funcin f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene mximo absoluto y un mnimo absoluto en el intervalo. El teorema no dice nada si el intervalo es abierto. En muchos problemas de la vida real y de economa se quiere conseguir el valor mximo o mnimo de una cantidad que depende de la variable independiente la cual tiene restringido sus valores a un intervalo cerrado. En el siguiente proyecto se abordara temas que se consideraron como ms relevantes para la comprensin del mismo como son: extremos absolutos, valor crtico, extremos relativos o locales. Para lograra la mayor comprensin por parte del lector se realizaran varios ejemplos de cmo resolver ejercicios del tema a tratar, incluyendo enunciados de ejercicios como prcticas para el lector. La informacin obtenida en el proyecto se obtuvo de distintos sitios web para as conseguir mayor variedad de informacin. Dichos sitios web se puedes encontrar en bibliografa. 5 Si una funcin f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] , entonces la funcin tiene necesariamente un valor mximo y un valor mnimo absolutos en ese intervalo. Para una mejor comprensin, en esta seccin veremos el concepto de extremos de una funcin . Observa la grfica de la funcin f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5]. f(x)= 1 + x2 Fuente: Martnez, (1997). Representacin de la funcin. Como observars la funcin f(x)=1+x2 en el dominio [-3,5] tiene dos valores que bien podramos llamar extremos. Los puntos indican claramente que para ese dominio el valor mnimo de la funcin es 1 y el valor mximo es 26. Existe un valor menor que 1 o uno mayor que 26 en el intervalo mostrado? Esta grfica sugiere la posibilidad de que una funcin tenga un valor mximo y un mnimo en un intervalo cerrado. 8

DEFINICION DE EXTREMOS ABSOLUTOS Sea f(x) una funcin definida en un intervalo I, los valores mximo y mnimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la funcin. Se distinguen dos clases:

I.

VENTAJAS DEL TEOREMA El teorema garantiza la existencia de extremos absolutos para una funcin continua en un intervalo cerrado, pero no dice cmo determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla prctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una funcin continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 1.

2. Se calcula f ( a ) y f ( b ) . 3. Mximo absoluto de f = mx {f ( a ), f (b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),..., f ( c n )} Mnimo absoluto de f = mn {f ( a ), f (b ), f ( c 1 ), f ( c 2 ),..., f ( c n )} 9

EJEMPLO 1 Determine, si existen los extremos absolutos (mx. y mn.) de la funcin: F(x) = x4-8x2 Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de mximo y mnimo absoluto est garantizada por el teorema 2. Para determinarlos, se aplica la regla prctica dada en la observacin del mismo teorema. Considere los puntos crticos por medio de la d erivada.

-16x=0 4x(x-2)(x+2)=0 4x(x2-4)=0 x=0; x=2; x=-2 son los nicos puntos criticos Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

f(-3)=(-3)4-8(-3)2+16=81-72+16=25 f(2)=24-8(2)2+16=16-32+16=0 f(0)=04-8(0)2+16=16 f(-2)=(-2)4-8(-2)2+16=16-32+16=0

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Si una funcin es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto c en (a,b).

Ejemplos:

1) Sea f(x) = x4 - 2x2. Demuestra que f satisface la hipotsis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los nmeros c en el intervalo abierto (-2,2) tal que

Solucin: Como f es una funcin polinmica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Adems,

f(-2) = (-2)4 - 2(-2)2 = 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2)4 - 2(2)2 = 16 - 8 = 8. Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8.

3 - 4x

= 4x(x2 - 1)

= 4x(x + 1)(x - 1)

Por lo tanto, c = 0, -1, 1. As que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, -observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.

2) Se podr aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [-2,2]?

Solucin: No, porque la funcin no es derivable en x = 0. No sostiene toda la hipotsis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusin.

3) Determina el intervalo para f(x) = x2 - 3x + 2 en donde se puede aplicar el teorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo tal

Solucin: Como f es continua y derivable por ser una funcin polinmica, entonces el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c. Para hallar el intervalo se iguala la funcin a cero y se factoriza. Esto es:

x2 - 3x + 2 = 0

(x - 2)(x - 1) = 0

x - 2 = 0, x - 1 = 0

x = 2 , x = 1

Por tanto, el intervalo es (1,2).

- 3

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 1.5

As que c = 1.5.

Teorema del valor medio: Si f es una funcin continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un nmero c en (a,b) tal que:

Ejemplo:

Si f(x) = x3 - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipotsis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un nmero c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusin del teorema.

Solucin: Como f es polinmica, es continua y derivable en todos los nmeros reales.

Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un nmero c en el intervalo abierto (1,4), tal que:

Entonces:

15.Concavidad y puntos de inflexin

La segunda derivada de una funcin tambin proporciona informacin

sobre el comportamiento de sta. Para iniciar este estudio daremos la

siguiente:

Definicin de concavidad

Se dice que la grfica de una funcin f es cncava hacia arriba en un

intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente

sobre A entonces se dice que la grfica de f es cncava hacia abajo.

Note que es la funcin derivada la que debe ser creciente o decreciente

en el intervalo A.

En la siguiente representacin grfica, una funcin f es cncava hacia

arriba en el intervalo y cncava hacia abajo en el intervalo

Teorema 5

Si f es una funcin tal que cuando , entonces la grfica

de fes cncava hacia arriba sobre .

Demostracin:

Si y como , entonces se tiene que es

creciente sobre por lo que de acuerdo con la definicin de

concavidad de una funcin, se obtiene que f es cncava hacia arriba

sobre .

Teorema 6

Si f es una funcin tal que cuando , entonces la grfica

de fes cncava hacia abajo sobre .

Demostracin:

De la hiptesis: , y como , se obtiene que es

decreciente sobre por lo que segn la definicin dada sobre

concavidad, la grfica de la funcin f es cncava hacia abajo sobre .

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la funcin f con

ecuacin

Si entonces , y,

Luego, si y, si .

Como , entonces es creciente en los intervalos

, pues en ellos es positiva. Adems es decreciente

en el intervalo pues en el es negativa.

Luego, f es cncava hacia arriba en el intervalo y cncava

hacia abajo en el intervalo .

La representacin grfica de la funcin es la siguiente:

Representacin grfica de la funcin

Observe que es creciente en y y decreciente en .

Representacin grfica de la funcin f:

Representacin grfica de la funcin f

Note que f es cncava hacia arriba en los intervalos y

cncava hacia abajo en el intervalo .

Damos ahora la definicin de punto de inflexin

Definicin

Se dice que es un punto de inflexin de la grfica de una

funcinf, si existe un intervalo tal que , y la grfica de f es

cncava hacia arriba sobre , y cncava hacia abajo sobre , o

viceversa.

Podemos representar lo anterior en forma grfica como sigue:

Ejemplos:

1.

El punto es un punto de inflexin de la curva con

ecuacin , pues es positiva si , y negativa

si , de donde f es cncava hacia arriba para , y cncava hacia

abajo para .

Grficamente se tiene:

2.

Determinemos los puntos de inflexin de la funcin f con ecuacin

Se tiene que por lo que

Resolvamos las desigualdades

Como si entonces la grfica de f es cncava

hacia arriba en esos intervalos.

La grfica de f es cncava hacia abajo en el intervalo pues en

l .

Luego los puntos y son puntos en los que cambia la

concavidad y por tanto son puntos de inflexin.

La grfica de la funcin f es la siguiente:

Puede decirse que un punto de inflexin separa una parte de la curva que

es cncava hacia arriba de otra seccin de la misma que es cncava hacia

abajo.

En un punto de inflexin, la tangente a la curva recibe el nombre

detangente de inflexin. Grficamente:

Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexin, y

otra parte bajo ella.

Teorema 7

Si es un punto de inflexin de la grfica de f y si existe,

entonces

Demostracin: Al final del captulo.

Ejemplo:

Considere la funcin f con ecuacin .

La segunda derivada de f es .

Note que si , y, si

Luego, f es cncava hacia arriba para , y cncava hacia abajo

para

Se tiene entonces que es un punto de inflexin.

Evaluando la segunda derivada de f en resulta que con

lo que se verifica lo expresado en el teorema anterior.

En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea

punto de inflexin.

Teorema 8

Si:

i.

f es una funcin continua sobre un intervalo I,

ii.

es un punto interior de I tal que , existe, y

iii.

Si existe un intervalo con , tal que:

cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexin de la grfica de f.

cuando y cuando , entonces

es un punto de inflexin de la grfica de f.

cuando y cuando , o bien,

cuando y cuando entonces no es

un punto de inflexin de la grfica de f.

Demostracin: Es similar a la dada para el Teorema 4,

sustituyendo fpor , y por .

Ejemplos:

Sea f una funcin con ecuacin con . Note

que f es una funcin continua en todo su dominio por ser una funcin

polinomial. La segunda derivada de f es , que es igual a

cero si y solo si .

As

Observemos la solucin de las desigualdades , y por

medio de la siguiente tabla:

Como para y para

entonces es un punto de inflexin segn el punto l del Teorema

8.

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como

para y para , entonces es un punto de

inflexin.

Consideraremos ahora la funcin g con ecuacin:

, con

Como se tiene que nunca se hace cero y que no

existe.

Adems es mayor que cero para , por lo que f siempre es

cncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto no es punto de

inflexin.

Funciones crecientes y decrecientes

Una funcin f es creciente es un intervalo si para cualquier par de nmeros x1,x2 del intervalo.

.

Una fucin f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de nmeros x1,x2 del

intervalo, .

Sea f una funcin continua con ecuacin y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la

representacin grfica de f en el

intervalo[a,b].

En la grfica anterior puede observarse que la funcin f es:

1.) Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2.) Decreciente en los intervalos(x3,x5),(x6,b)

Criterio de crecimiento y decrecimiento

Sea f una funcin continua en el intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .

1. Si es creciente en

2. Si es decreciente en

3. Si es constante en

Ejemplo 1

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con ecuacin f(x) = 1 / 2(x2 x + 1).

Para ello calculemos la primera derivada de f:f'(x) = x .

Como f'(x) > 0 x , o sea si x > 2, entonces f es creciente para x > 2.

Como f'(x) < 0 x , o sea si x < 2, entonces f es decreciente para x < 2.

En la grfica de la funcin puede observarse lo obtenido anteriormente.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Fab.gif

Ejemplo 2

Determinar los intervalos en que crece o decrece la funcin f con ecuacin f(x) = (x + 1) / (x ,

La derivada de f es f'(x (x 2.

Como (x 2 entonces f'(x) < 0para

siguiente, es la grfica de dicha funcin:

Ejemplo 3

Determine en cules intervalos crece o decrece la funcin con ecuacin f(x) = x2 + (1 / x2)

La derivada de f est dada por f'(x) = 2x x3) que puede escribirse como f'(x) = [2(x x +

1)(x2 + 1)] / x3

Como 2(x2 es positivo para toda x en los Reales entonces: f'(x) > 0 [(x x + 1)] / x3 > 0 y

f'(x) < 0 [(x x + 1)] / x3 < 0

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Ejemplo1.gifhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Ejemplo2.gif

Luego: f'(x) > 0 si x U(1, + ) por lo que la funcin f crece en el intervalo U(1, + ) .

Adems: f'(x) < 0 si x U(0,1) de donde la funcin f decrece en el intervalo

1)U(0,1) .

La representacin grfica de la funcin es la siguiente:

Extremos Relativos

Mximos

Si f y f ' son derivables en a, a es un mximo relativo o

local si se cumple:

1. f '(a) = 0

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Tabla.GIFhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Archivo:Grafi3.GIF

2. f ' '(a) < 0

Mnimos

Si f y f ' son derivables en a, a es un mnimo relativo o

local si se cumple:

1. f '(a) = 0

2. f ' '(a) > 0

Clculo de los mximos y mnimos relativos

f(x) = x3

1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus

races.

f '(x) = 3x2

x = 1.

2. Realizamos la 2 derivada, y calculamos el signo

que toman en ella los ceros de derivada primera y si:

f ' ' (x) > 0 Tenemos un mnimo.

f ' ' (x) < 0 Tenemos un mximo.

f ' ' (x) = 6x

Mximo