Derivadas

Asíntotas de una funcióna) Si una recta L y un punto A que se desplaza a lo

largo de la curva C: y = f(x), la distancia entre la recta L y el punto A de la curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito; en este caso, la recta L se denomina asíntota de la curva C.

b) La recta x = a, es una asíntota vertical de la curva C: y = f(x), si se cumple una de las siguientes relaciones:

i) límx a

f(x) = ±∞

ii) límx a+

f(x) = ±∞ iii) lím

x a-f(x) = ±∞

-∞

+∞

c) La recta y = k, es una asíntota horizontal de la curva C: y = f(x), si se cumple una de las siguientes relaciones:

i) límx +∞

f(x) = k

ii) límx -∞

f(x) = kiii) lím

x ∞f(x) = k

Asíntota horizontal

d) La recta y = mx + b, es una asíntota oblicua de la curva C: y = f(x)

Formas de encontrar los valores de “m” y “b”.f(x)lím

x ±∞ ( )xm =

[f(x) – mx]límx ±∞

b =

y = mx + bAsíntota oblicua

01. Halla las asíntotas de la función:x2 + x - 1

x - 3y = f(x) =

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-60.0

-40.0

-20.0

0.0

20.0

40.0

60.0

Gráfica de la función: f(x) = (x2 + x - 1)/(x - 3)

Curva Asíntota oblicua

Así

ntot

a ve

rtic

al

Asíntota oblicua

Asíntota vertical:x = 3

Asíntota oblicua:y = x + 4

Asíntota horizontal:

No existe

02. Halla las asíntotas de la función:x2 + 2x - 8

x2 - 4y = f(x) =

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10

Gráfico de la función: f(x) = (x2 + 2x – 8)/(x2 – 4)

Así

ntot

a ve

rtic

al


Asíntota vertical:x = -

2

Asíntota oblicua:No tiene

Asíntota horizontal:y = 1

2x2

x + 3y = f(x) =

03. Halla las asíntotas de la función:

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-80-75-70-65-60-55-50-45-40-35-30-25-20-15-10

-505

101520253035404550

Gráfico de f(x) = 2x2/(x + 3)

Curva Asíntota oblicua

Asíntota vertical:x = -

3

Asíntota oblicua:y = 2x - 6

Asíntota horizontal:No tiene

Así

ntot

a ve

rtic

al

Asíntota oblicua

04. Halla las asíntota de la función:

6x2 + 8x - 33x2 + 2y = f(x) =

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Gráfica de la función de y = (6x2 + 8x - 3)/(3x2 + 2)


Asíntota vertical:No tiene

Asíntota oblicua:No tiene

Asíntota horizontal:y = 2

Una función real f es continua en un número x = a si:

Continuidad de una función

límx a

f(x) = f(a)

Si f es continua en a, entonces debe cumplir:i) f (a) esta definida (esto es, a pertenece al dominio de f )ii) lím

x a f(x) Existe

iii) límx a f(x) = f(a)

Si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica. Así que no existe ninguna brecha en la curva

Discontinuidad evitable o removible.Tipos de discontinuidad

lím

x a f(x)i)

Una función real de variable real f: R R, tiene una discontinuidad evitable y removible en un punto x = a, si:

a)

Existeii) El número aDf, o bien aDf se tiene

que: límx a f(x) ≠ f(a), en este caso redefinimos f:

F(x) =f(x), si x ≠ a

x a f(x), si x = a

lím

Discontinuidad no evitable.i) Discontinuidad de primera especie una

función real es discontinua cuando tiene límites laterales son infinitos y diferentes.

b)

ii) Discontinuidad de segunda especie de una función real es discontinuidad en el punto x = a, si no existe , o si, uno de los límites laterales es infinito (±∞)

x alím f(x)

Ejemplos:¿Dónde es discontinua la función?

x2 – x - 2x - 2 f(x) =

1)

Determina los valores de x para los cuales la función f es discontinua y evitar si es posible redefiniendo la función.

x2 – 9x - 3 f(x) =

2)


x3 – 2x2 – 11x + 12x2 – 5x + 4

f(x) =

3)


3x3 + 2x2 – 6x + 1x2 – x

f(x) =

4)

La recta tangente

La recta tangente L toca al círculo en el punto P.

La palabra tangente surge del verbo latín tangere, que significa “tocar”.

Recta tangente L a una gráfica en el punto P.

Halla las asíntotas de la función y representa gráficamente:

Taller N° 9

02)

x2 - 32x - 4y = f(x) =

01)x2

2 - xy = f(x) =Halla las asíntotas de la función:

Pendiente de una recta

-2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Gráfico de y = 2x + 1

f(a) = f(1) = 3

(1; 3)

f(a+h) = f(1+2) =

7

f(a+h

) - f(

a) =

4(a+h) - (a) = h = 2

Varia

ción

de y(3; 7)

Variación de x

Pendiente = m = Variación de

x

Variación de y

Pendiente = m =

f(a+h) – f(a)(a+h) – (a)

Pendiente = m =

7 – 3 2 =

2

m =

y – y1

x – x1

Ecuación punto pendiente

Pendiente de rectas secantes

Pendiente de rectas secantes se aproximan la pendiente mtan de L.

Si las coordenadas de P son (a, f(a)) y las coordenadas de Q son (a + h, f(a+h)), entonces como se muestra en la figura, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es:

Cociente diferencial.

Rectas secantes giran en la recta tangente L cuando h 0

Recta tangente con pendienteCuando el valor de h se hace

cada vez más pequeño (h 0), entonces los puntos Q(a + h, f(a+h)) se mueven e la curva cada vez más cerca de P(a, f(a)); por lo tanto, la recta secante tiende a la recta tangente L; o sea, msec mtan; cuando h 0.

La recta tangente a la gráfica de f en (a; f(a)) es la recta que pasa por el punto (a; f(a)) con pendiente mtan.

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = x2 + 2 en x = 1.Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada.

01).

Aplicaciones

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 2/x en x = 2.Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada.

02).

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x - 1 en x = 5.

03).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

2.25

2.5

2.75

3

Gráfico de y = x - 1

Series1 Series3

Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola de f(x) = x2 – 8x + 9 en el punto (3; -6)

04).

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Gráfico de y = x2 - 8x + 9

Series1 Series3

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

f (x + h) – f (x)h f’(x) =

limh 0

Si y = f(x) y f(x + h), son funciones derivables:

d( y)dx =

i) Si y = f (x) = c = 0d( y)dx

Algunas reglas de derivación

ii) Si y = f (x) = x = 1d( y)dx

iii) Si y = f (x) = xn = nxn-1d( y)

dx

iv) Si y = f (x) + g(x) = f ’(x) + g’(x)d( y)

dx

v)Si y = f (x). g(x) = f (x).g’(x) + f ’(x).g(x)

d( y)dx

vi)

Si y =g(x). f ’(x) - f (x).g’(x)d( y)

dxf (x)g(x)

=[g(x)]2

Si f (x) y g(x), son funciones derivables en x y g(x) ≠ 0, entonces f /g es diferenciable en x.

Derivación del cociente de dos funciones

Derivación del producto de dos funciones

vii)

ddx

[(f o g)(x)] = f ’[g(x)].g’(x)

=

Si la función f (x) es diferenciable en u = g(x) y la función g es diferenciable en x, entonces la composición y = (f o g)(x) = f [g(x)] es diferenciable en x.

Derivación de una función compuesta (Regla de la cadena)

En forma equivalented(y)dx

d(y)du

d(u)dx

.

Derivada de funciones trigonométricas

Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:

i) Si y = sen[f(x)]

ii)

iii)

= cos[f(x)].f’(x)]d( y)dx

Si y = cos[f(x)] = -sen[f(x)].f’(x)]dxd( y)

Si y = tan[f(x)] = sec2[f(x)].f’(x)]dxd( y)

Derivada de funciones trigonométricas

Si u = f (x) es una función derivable en x, entonces:

iv) Si y = cot[f(x)]

v)

vi)

= -csc2[f(x)].f’(x)]d( y)dx

Si y = sec[f(x)] = sec[f(x)].tan[f(x)]. f’(x)]dx

d( y)

Si y = csc[f(x)] = -csc[f(x)].cot[f(x)]. f’(x)]dx

d( y)

Derivada de funciones trigonométricas inversas

Si f (x) es una función real derivable en x, entonces:

i) Si y = arc sen [f(x)]

ii)

=d( y)dx

f’(x)

1 – [f(x)]2

Si y = arc cos [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 – [f(x)]2

iii) Si y = arc tan [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 + [f(x)]2



iv) Si y = arc cot [f(x)]

v)

=d( y)dx

Si y = arc sec [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

| f(x)|.[f(x)]2 – 1

vi) Si y = arc csc [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 + [f(x)]2

f’(x)

| f(x)|.[f(x)]2 – 1

Derivada de funciones exponenciales y logarítmicas

i) Si y = e f(x) = e f(x) . f ’(x)d( y)dx

ii) Si y = ln[ f(x)]f ’(x)d( y)

dx f (x)=

iii) Si y = axd( y)dx

ax.ln(a)=

iv) Si y = a f(x)d( y)dx

a f(x). f ’(x).ln(a)=

AplicaciónHalla la derivada de: f (x) =01)

1x + 1

Halla la derivada de: f (x) =02)x2 - 1x2 + 1

Halla la derivada de: f (x) =03) 4x + 6x2 + 3x + 4

Halla la derivada de:

f (x) =04)

(3x2 + 4x + 8)x - 1

Halla la derivada de: f (x) =05) e x2 + x


y = ln(a + x + x2 + 2ax)06)


y = ln(x + x2 – 1)07)

x–x2 – 1


y = sen (5x2) - sen (x2) 08)

120

14


y =

09)sen (x) - cos (x) sen (x) + cos (x)


y = ln

10)

1 - sen (x)1 + sen (x)


y = tan3 (2 )

11)

5x4

Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Halla la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s.

12)



i) Si y = arc sen [f(x)]

ii)

=d( y)dx

f’(x)

1 – [f(x)]2

Si y = arc cos [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 – [f(x)]2

iii) Si y = arc tan [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 + [f(x)]2



iv) Si y = arc cot [f(x)]

v)

=d( y)dx

Si y = arc sec [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

| f(x)|.[f(x)]2 – 1

vi) Si y = arc csc [f(x)] =d( y)dx

f’(x)

1 + [f(x)]2

f’(x)

| f(x)|.[f(x)]2 – 1

Hallar sí: y = arc tan [4x2 – 1]01) d( y)dx

Hallar sí:02) d( y)dx

y = arc sen [ex] + arc sen [1 – e2x ]


y = arc sen [ln(x)]


y = arc tan x.sen 1 – x.cos [ ]


y = ln 1 + sen x[ ]

1 - sen x2.arc tan [sen x ]+


y = arc tan sen x + cos x[ ]

sen x - cos x


y = arc cos b + a.cos x[ ]

a – b.cos x

Halla la derivada implícita de:

5x3 + 2y5 = ln(x.y)

08)


3xy2 - 5x + x.y = 409)


x3 - y3 = 3x.y10)

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de x2 + 4y2 = 4; en el punto (2; -1/2)

11)

Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 3(x2 + y2)2 = 100xy; en el punto (3; 1)

12)

Dada x2 + y2 = 25. Evaluar la primera y la segunda derivadas en el punto (-3; 4)

13)

Halla la segunda derivada de la expresión 4y3 = 6x2 + 1

14)

Taller01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1.

Halla sí:02) 1 – cos x1 + cos x

y = arc cotd( y)dx [ ]

Trabajo grupal01) Encuentre la segunda derivada de: x2 + 2xy – y2 = 1.

Halla la derivada de:02)2x - 38x + 1

Halla la derivada de: 2x2 - 2x + 102)xy =

Trabajo grupal01)

Un móvil tiene un movimiento rectilíneo representado por la ecuación: x = 4t2 + 4t + 1 (x en metros y t en segundos). Halla la posición x del móvil (en m) cuando su rapidez es 8 m/s.

03)

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = 4/(x – 1) en x = 2.Halla la ecuación de la recta tangente con la pendiente encontrada.

Teorema de RolleEl teorema de Rolle supone la existencia de una línea tangente horizontal que se ubica en el punto c de un máximo o un mínimo formado por la unión de intervalos crecientes y decrecientes. La importancia de este teorema radica en que afirma la existencia de al menos una línea horizontal entre cada dos intersecciones con el eje x, siempre y cuando la función sea continua en dichas intersecciones.Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en a, b tal que f(a) = f(b), entonces existe un punto c en a, b en el que f ’(c) = 0, por lo que la recta que toca el punto c será horizontal.

Teorema de valor medioSi una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en a, b entonces existe al menos un punto c en a, b tal que la línea tangente a la curva en el punto c es paralela a la secante que une a los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). Es decir:

f´(c) =f (b) - f (a)

b - a Tal f´(c), representa los ceros de la derivada de f´(c) = f´(x).

= m

Ejemplo 1Si f(x) es continua en [a, b] y derivable en a, b tal que f(a) = f(b), entonces existe un punto c en a, b en el que f ’(c) = 0. Halla el valor de c entre [-3; 0] y [0; 3] , si f(x) = 9x – x3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-16-14-12-10-8-6-4-202468

10121416

Gráfico de f(x) = 9x – x3

Dada la función f (x) = x2, halla la ecuación de la línea secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) y compare con la recta tangente al punto (c, f(c)); sabiendo que a = 1 y b = 2.

Ejemplo 2

y = 3x - 2

y = 3x – 2,25

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Gráfico de y = x2

Curva recta secante Recta tangente

Aplicaciones de la derivada

Trazado de gráficas

01) y = f(x) = 3x2 – x3

a)

Construir la gráfica para:

-2 -1 0 1 2 3 4

-16

-12

-8

-4

0

4

8

12

16

20

Gráfico de y = 3x2 - x3

x f(x) f ’(x) Concavidad

-∞; 0 Decreciente En -∞; 1m > 0 Positivo en (0; 0)

0; 2 Creciente En 1; +∞m < 0 Negativo en (2; 4)

2; +∞ Decreciente

x y-2 20

-1.75 14.5469-1.5 10.125

-1.25 6.64063-1 4

-0.75 2.10938-0.5 0.875

-0.25 0.203130 0

0.25 0.171880.5 0.6250.75 1.26563

1 21.25 2.734381.5 3.3751.75 3.82813

2 42.25 3.796882.5 3.1252.75 1.89063

3 0

3.25 -2.640633.5 -6.125

3.75 -10.54694 -16

02) y = f(x) = (1/8)(x4 – 8x2)

x f(x) f '(x) Concavidad

-∞; -2 En -∞; -1,1547m > 0

Positivo

-2; 0En -1,1547;

1,1547m < 0

Negativo

0; 2En 1,1547;

+∞m > 0

Positivo

2; +∞

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Gráfico de y = (1/8)(x4 - 8x2)

Encuentre donde la función f (x) = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5 es creciente y donde es decreciente.

03)

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-30-25-20-15-10

-505

10152025303540

Gráfico de y = 3x4 - 4x3 - 12x2 + 5x f(x) Concavidad

-∞; -1

-1; 0

0; 2

2; +∞

04) y = f(x) = x3 – 3x + 2

05) y = f(x) = 2x3 – 6x2 – 3x + 7

06) Construir la gráfica para f(x) = 2|x| - x2; luego indica sus características.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Gráfico de y = 2|x| - x2x y-3 -3

-2.6 -1.56-2.2 -0.44-2 0

-1.8 0.36-1.6 0.64-1.4 0.84-1.2 0.96-1 1

-0.8 0.96-0.6 0.84-0.4 0.64-0.2 0.36

0 00.2 0.360.4 0.640.6 0.840.8 0.961 1

1.2 0.961.4 0.841.6 0.641.8 0.362 0

2.2 -0.442.6 -1.563 -3

x f (x) f ’(x) Concavidad

-∞; -1

-1; 0

0; 11; +∞

Regla de L’Hôpitalb)

límx 0

cos mx – cos nxx2

01)

límx 0

ex – 1sen x

02)

límn 0

ex – cos x03)ex – cos x

límx 0

04) ln xx - 1( )

límx 0

05) ex – e-x – 2xx - sen x(

)

límy 0

06)ln ( 1 + y)(

)e y + sen y – 1

Trabajo grupal01). Construir la gráfica para f(x) = x3 + 2x2 + x + 1; luego

indica sus características.

02). Aplicando la Regla de L’Hôpital, halla el límite de:

límx 0 x – sen x( )tan x – sen x

x f (x) f ’(x) Concavidad

-∞; -1

-1; -1/3

-1/3; +∞

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