Derivadas Direccionales
-
Upload
esteban-andres-lazo-reyes -
Category
Documents
-
view
263 -
download
1
description
Transcript of Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Derivadas DireccionalesConceptos Básicos
Profesor: Danilo Gómez Correa
Universidad Andrés Bello
Segundo Semestre 2014
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Contenidos
1 Derivadas Direccionales
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
DefiniciónSea una f : R3 → R , y sea ~u = cos(α)i + cos(β)j + cos(γ)k un vector unitario.Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que se denota D~u
es:
D~uf(x, y, z) = lımh→0
f(x+ h cosα, y + h cosβ, y + h cos γ)− f(x, y, z)
h
siempre que este límite exista.
TeoremaSi f es una función diferenciable de x e y, entonces la derivada direccional de fen la dirección del vector unitario ~u es:
D~uf(x, y, z) = fx(x, y, z) cosα+ fy(x, y, z) cosβ + fz(x, y, z) cos γ
Nota: Podemos denotar D~uf(x, y, z) =∂f
∂~u
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f(x, y) = 4−x2− 14y
2 (Superficie)
en (1, 2) en la dirección ~v =(cos
π
3
)i+
(sin
π
3
)j.
Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f(x, y) = x2 sin 2y (Superficie)en (1, π2 ) en la dirección ~v = 3i− 4j.
Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f(x, y, z) = 3x2 + xy − 2y2 −yz+ z2 (Superficie) en (1,−2,−1) en la dirección ~v = 2i−2j−k.
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Propiedades
Si f : R3 → R es diferenciable, y ~u = (a, b, c) se tiene:1 D~uf(x, y, z) = ∇f(x, y, z) · ~u.2 ∇f(x, y, z) = 0, entonces D~uf(x, y, z) = 0, ∀~u3 La dirección de máximo incremento de f está dada por∇f(x, y, z). El valor máximo de D~uf(x, y, z) es:
‖∇f(x, y, z)‖ Valor Máximo D~uf(x, y, z)
4 La dirección de mínimo incremento de f está dada por−∇f(x, y, z). El valor mínimo de D~uf(x, y, z) es:
−‖∇f(x, y, z)‖ Valor Mínimo D~uf(x, y, z)
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
EjemploLa temperatura en grados Celsius en la superficie de una placametálica esta dada por:
T (x, y) = 20− 4x2 + y2
donde x e y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partirde (2,−3) aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasao ritmo de crecimiento?
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Planos tangentes y rectas normales
DefiniciónSea f diferenciable en un punto P (x0, y0, z0) de la superficie S dada por f(x, y, z)tal que ∇f(x0, y0, z0) 6= 0.
1 Al plano que pasa por P y es nor-mal a ∇f(x0, y0, z0) se le llamaplano tangente a S en P .
2 A la recta que pasa por P y esnormal a ∇f(x0, y0, z0) se le llamarecta normal a S en P .
Figura: Plano tangente a la superficieS en P
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Planos tangentes
TeoremaSi f es diferenciable en P (x0, y0, z0), entonces una ecuación del plano tangentea la superficie dada por f(x, y, z) = 0 en P (x0, y0, z0) es:
fx(P )(x− x0) + fy(P )(y − y0) + fz(P )(z − z0) = 0
La ecuación vectorial esta dada por:
∇f(x0, y0, z0) · ~u = 0
donde ~u = (x− x0)i+ (y− y0)j + (z− z0)k pertenece al plano tangente de f en P .
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Rectas normales
TeoremaSi f es diferenciable en P (x0, y0, z0), entonces una ecuación del recta normal ala superficie dada por f(x, y, z) = 0 en P (x0, y0, z0) es:
x = x0 + fx(P )t
y = y0 + fy(P )t, con t ∈ Rz = z0 + fz(P )t
La ecuación vectorial esta dada por:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) · t(∇f(x0, y0, z0))
.
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
EjemploHallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide
z2 − 2x2 − 2y2 = 12
En el punto P (1,−1, 4).
EjemploHallar una ecuación del plano tangente al paraboloide
z = 1−1
10(x2 + 4y2)
En el punto P (1, 1, 12
).
EjemploHallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta normal a la superficiedada por xyz = 12 en el punto (2,−2,−3).
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales
Derivadas Direccionales
Observaciones1 El gradiente es normal a las superficies de nivel (¡Probar!)2 Se puede definir la ecuación de una recta tangente a una
curva.3 Se puede definir el ángulo de inclinación de un plano.
Profesor: Danilo Gómez Correa Derivadas Direccionales