Presentacin de PowerPoint

DERIVADAS docente: Lic. Rosa Requelmeestudiante: Katherine a. b. huanca champiCDIGO:2015-110034

Ejercicio n 01El nmero de bacterias de un cultivo vara con el tiempo, expresado en minutos, segn la ecuacin N=500+50t-t2 para t [0,35]

Cul es la velocidad de crecimiento de la poblacin en el instante t=7 min?

Solucin Hallando la derivada de la funcin N(t), N(t) es la velocidad de crecimiento de la poblacin en cualquier instante t. Hallando N(7) podremos responder a la pregunta

N=500+50t-t2N=50-2tN(7)=50-2*7=50-14=36Velocidad de crecimiento en el instante t= 7 min = 36 bacterias por minuto.

Quiere decir que en el instante 7 min la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (7, 801) es tan (a)=36

Ejercicio n 02Gripe aviar. En una granja de 40.000 aves hay un pollo contagiado con la gripe aviar. Si suponemos que la rapidez de contagio es directamente proporcional tanto al numero de aves contagiadas como al numero de no contagiadas, siendo la constante de proporcionalidad: k = 4105 Determinar en cuanto tiempo un 75 % de los pollos de la granja quedaran infectados?

SOLUCION

Buscamos ahora el valor del tiempo t* para el cual

Para este t* se tendr:

de donde se deduce que:

LA DIFERENCIALDefinicin: La diferencial de una funcin en un punto es el incremento de la ordenada de la tangente en ese punto.

DEFINICINSea una funcin y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequesimo incremento (aumento) h y se encuentra un punto x + h. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, y desde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente.

Diferencial de una funcin en un punto:Se definediferencial de una funciny = f(x)en un puntox, y se simboliza pordydf(x), al productof'(x) h. Por tanto dy = df(x) = f'(x) hPropiedades de la diferencial:Primera propiedad: La diferencial de una funcin en un punto depende de dos variables: el puntoxelegido y el incrementohque se ha tomado.Segunda propiedad: Al serdy=f' (x)h= la diferencia de una funcin en un punto es el incremento(aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar enhun punto de abscisax.Tercera propiedad: Si se considera la funciny = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) h =1 h = h.As,dx = hy

Cuarta propiedad: cuandohes infinitamente pequeo, el

cocientedyes prcticamente igual a

cuandohes muy pequeo, con la seguridad de que el error cometido ser mnimo.

APLICACIONES DE LA DIFERENCIALUn depsito tiene forma de esfera de 3 m de radio. Estimar cunto aumentar el volumen del depsito si el radio aumenta 5 cm.

El volumen de la esfera viene dado por

Se trata de hallar V para r = 5 cm, para lo cual hallaremos V dV = V(r) . Dr

= 4.r2.dr

= 4.9.0,05

= 5,655 m3

Ejemplo 01:Se sabe que en determinadas placas cuadradas para circuitos impresos, con el aumento de temperatura en el funcionamiento del procesador se produce una dilatacin lineal de los lados de las placas del 0,4 %. El lado de cada placa mide 7 mm. Calcular aproximadamente el aumento en el rea de la placa.

El rea de la placa es A = l2. Por tanto hemos de hallarA para l = 0,028 mm (0,4 % de 7 mm) para lo que calcularemos dA:A dA = A(l) . dl = 2.l.dl = 2.7.0,028 = 0,392 mm2.Es decir, el rea aumenta aproximadamente un 0,8 %.Ejemplo 02: Costo marginalUn fabricante de autos tiene una produccin x y el costo total anual de la produccin se describe por medio de la funcin

El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00. Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto ms y determinar si es conveniente producirlo.

Solucin: Utilizando la definicin de costo marginal, se tiene que es:

y el costo por producir 1 auto ms es:

esto quiere decir, que si se produce 1 auto ms, el costo se incrementa en $1,540. La funcin costo promedio es:

el costo promedio al producir 100 autos es:

como el costo promedio de la produccin de 100 autos es mayor al costo generado por producir un auto ms, conviene producir la siguiente unidad.