Anlisis Matemtico II7 Derivadas Parciales HContinuacinL y polinomio de Taylor

Docentes : Lic. Bruno MeszProf. Luciana Volta

Ejercicio 1Determinar las derivadas parciales de las funciones que quedandefinidas implicitamente en un entorno del punto dado mediante las relaciones

a > x2

4 y2 = 1 en P = H2, 0L

b > x5 + y5 + x y = 3 en P = H1, 1Lc > x3 + y3 = 6 xy 3 en P = H1, 2Ld > x3 + 2 y3 + z3 3 x y z 2 y 8 = 0 en P = H0, 0, 2Le > x3 2 y2 + z2 = 0 en P = H1, 1, 1LEjercicio 2Sea x2 + x y z + 8 = 0,donde z = f Hx, yL. Suponer que se verifican las hiptesis del TFI en P0 = Hx0, y0, z0L.

a > Hallar fx Hx0, y0L y

fy Hx0, y0L implcitamente.

b > Hallar fx Hx0, y0L y

fy Hx0, y0L explicitamente Hdespejando z de la ecuacin originalL.

Ejercicio 3Sea xyzyz = 0. Sea P0 = e, 2,

12 . Cuando sea posible,

calcular las derivadas parciales en P0 :a > z = f Hx, yL b > y = f Hx, zL c > x = f Hy, zL

Ejercicio 4Sea xy z3 x = ln Hz 2L. Sea P0 = H1, 1, f H1, 1LL.

a > Hallar fx Hx0, y0L y

fy Hx0, y0L verificando que se cumplen las hiptesis de TFI.

b > Hallar el plano tangente en P0.

Ejercicio 5Sea x2 + y2 + z2 = 25, y P0 = H0, 5, 0L.hallar la ecuacin del plano tangente en P0.Ejercicio 6Calcular las derivadas parciales de segundo orden para las funciones siguientesverificando la igualdad de las parciales mixtas para aquellas funciones de clase C2

a > f Hx, yL = x3 y + x y2

b > f Hx, y, zL = z y + y

x + x y sen HzL

c > f Hx, y, zL = x2 + y2 + ln HzL

Ejercicio 7Calcular las derivadas parciales de tercer orden para las funciones siguientesverificando la igualdad de las parciales mixtas para aquellas funciones de clase C3

a > f Hx, y, zL = x y zb > f Hx, y, zL = x3 y2 z + 2 Hx + y + zL

Ejercicio 8Sea f Hx, yL = sen Hx yL g Hu, vL = Hu + v, u vL h Hu, vL = HfgL Hu, vL

Calcular 2 h

u2y

3 hu v2

a > Usando la regla de la cadenab > sustituyendo

Ejercicio 9

Sea u = f HrL , r = x2 + y2 + z2 Probar que 2 u

x2+

2 uy2

+2 uz2

=2 ur2

+2r

ur

Ejercicio 10

Sea z = f Hx, yL , x = u , y = u Probar que 2 z

u2+

2 zv2

= x2 2 z

x2+ y2

2 zy2

+ x zx + y

zy

Ejercicio 11Demostrar que la sustitucin x = s y = t transforma la ecuacinx2 uxx" + y2 uyy" + x ux' + y uy' = 0en la ecuacin HarmnicaLUss" + Utt" = 0 donde U Hs, tL = u Is, tMEjercicio 12Sea c una constante y z = sen Hx + c tL + cos H2 x + 2 c tLDemostrar que cumple la ecuacin de propagacin de ondas c2 zxx" = ztt"

Ejercicio 13Determinar la frmula de Taylor de segundo ordeny el resto para las funciones dadas en el punto indicado

a > f Hx, yL = x+y en H0, 0Lb > f Hx, yL = Hx1L2 cos HyL en H1, 0Lc > f Hx, yL = ln Hx yL en H1, 1Ld > f Hx, yL = sen Hx yL en H1, L

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