Anlisis Matemtico II6 Derivadas parciales y diferenciabilidad

Docentes : Lic.Bruno MeszProf. Luciana Volta

Ejercicio 1i > Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones

a > f Hx, yL = x4 + 2 x y + y3 x 1b > f Hx, y, zL = y x + zc > f Hx, y, zL = sen HxLd > f Hx, y, zL = x y z + 1

x2 + y2 + z2e > f Hx, y, zL = z Acos Hx yL + ln Ix2 + y2 + 1MEf > f Hx, yL = y x2+y2g > f Hx, y, zL = cos Hy x yL sen HxL + arctg HzLh > f Hx, yL =

x

ysen HtL t

i > f Hx, yL = x

x2+yt t

ii > En que puntos de su dominio sondiferenciables las funciones anteriores?Justifique su respuesta.

Ejercicio 2Calculara > F

y H0, 1, 2L para F Hx, yL = y x + z

b > Fy H2, 1L para F Hx, yL = x y +

xy

c > Fz H1, 1, 1L para F Hx, y, zL = x

2 + z2 + ln HyL

d > Fx

2 b , 0 y

Fy

2 b , 0 para F Hx, yL =

a x cos Hb x + yL

Ejercicio 3Sea f Hx, yL = x y

a > Calcular fx Hx, 0L y

fy H0, yL para Hx, yL H0, 0L

b > Calcular fx H0, 0L y

fy H0, 0L

c > Es f diferenciable en H0, 0L?

d > Son fx y

fy continuas en H0, 0L?

Ejercicio 4Sean las funciones

F1 Hx, yL =: x yx2+y2 Si Hx, yL H0, 0L0 Si Hx, yL = H0, 0L

F2 Hx, yL = x + y F3 Hx, yL = xy

F4 Hx, yL =:Jx2 + y2M sen 1x2+y2 Si Hx, yL H0, 0L0 Si Hx, yL = H0, 0L

Demostrar que en el origena > F1 es discontinua en H0, 0L aunque existen las derivadas parciales en ese puntob > F2 no admite derivadas parciales pero es continuac > F3 es continua en H0, 0L, existen sus derivadas parciales en H0, 0L , pero no son continuasd > F4 es diferenciable HoptativoL pero sus derivadas parciales son discontinuasEjercicio 5Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones en los puntos quese indican escribiendo la ecuacin del hiperplano tangente cuando este exista

a > f Hx, yL = x y + 1 sen x2

2 en H1, 5L y en H2, 2L

b > f Hx, yL = x14 y14 en H0, 0L y en H16, 1Lc > f Hx, yL = xy en Hx0, y0L con y0 0

d > f Hx, yL =: Jx2 + y2M sen 1x2+y2 Si Hx, yL H0, 0L1 Si Hx, yL = H0, 0L

en H0, 0L y en H1, 0L

e > f Hx, yL =:x2y2x2+y2 Si x

2 +y2 01 Si x2 +y2 = 0

en H0, 0L y en H1, 1L

Ejercicio 6Calcular el vector tangente para cada una de las siguientes trayectoriasi > f HtL = Ht, sen HtLLii > f HtL = Hsh H2 tL, ch H5 tLLEjercicio 7Si X = Hx, y, zL calcular f Hgradiente de fL parai > f HXL = X

ii > f HXL = 1 X Rta :

X X 3

iii > f HXL = x y + x z + y z

2 6-derivadas parciales y diferenciabilidad 1.nb

Ejercicio 8Encontrar la ecuacin del plano tangente a las siguientes superficies en los puntos indicadosi > f Hx, yL = sen HxL cos HyL X0 = H0, 0Lii > f Hx, yL = x y X0 = H1, 0Liii > x y + x z + y z = 3 X0 = H1, 1, 1Liv > x2 + y2 + z2 = 3 X0 = H1, 1, 1Lv > x2 + y2 z2 = 2 X0 = H1, 1, 1LEjercicio 9Calcular Df HXL HMatriz derivadaL para las siguientes funcionesi > f : 2 2 f Hx, yL = Hx, yLii > f : 2 3 f Hx, yL = Hx y + ch HyL, x, x + yLiii > f : 3 2 f Hx, y, zL = Ix + z + y, y x2Miv > f : n f HXL = X 2 con X = Hx1, ... .., xnLEjercicio 10Sean f, g y h funciones derivables en y G : 2 diferenciableCalcular las derivadas parciales de las siguientes funciones

i > F Hx, yL = G Hsen HxL cos HyL, sh HxL ch HyLLii > F Hx, yL = G Hf HxL g HyL, f HxL h HyLLiii > F Hx, yL = G Hx, G Hx, yLLiv > F Hx, yL = ln@cos HxLD x K 2 ,

2 O

Ejercicio 11Sean f Hu, v, wL = u2 + v3 + w u donde u HtL = t2 + 1 v HtL = sen HtL w HtL = t 1y g Hx, yL = x sen HyL donde x HtL = sen HtL y HtL = tCalcular :ddt f Hu, v, wL y

ddt g Hx, yL HPorque no son parciales?L

a > Usando la regla de la cadenab > sustituyendoEjercicio 12Sea z = f Hx, yL = 3 xy2 + x3 donde x Hu, vL = u + v , y Hu, vL = u vPorbar quedzdu Hu, vL y

dzdv Hu, vL

Ejercicio 13Sean f Hu, vL = u v sen Iu2 + v2M y g Hu, v, wL = ln Iu2 + v2 + w2 + 1M dondeu Hx, yL = x + y v Hx, yL = x y w Hx, yL = x y + 1Calcular las derivadas parciales de las funcionesF Hx, yL = f Hu, vL y G Hx, yL = g Hu, v, wLa > Usando la regla de la cadenab > sustituyendoEjercicio 14Calcular la derivada direccional de f en X0 en la direccin v para las siguientesfunciones HHacerlo por definicin y por la regla prctica si es posibleL

i > f Hx, yL = sen HxL cos HyL X0 = H0, 0L v = H1, 1Lii > f Hx, yL = x y X0 = H1, 0L v = H1, 2Liii > f Hx, y, zL = x y + x z + y z X0 = H1, 1, 1L v = H1, 1, 1Liv > f Hx, yL = x2 + y2 + z2 X0 = H1, 1, 1L v = H1, 1, 1Lv > Encontrar en todos los casos la direccin en la cual la derivada direccional es mxima

6-derivadas parciales y diferenciabilidad 1.nb 3

Ejercicio 15Demostrar que

F Hx, yL =x2 yx4+y2 si Hx, yL H0, 0L0 si Hx, yL = H0, 0L

admite derivadas direccionales en todos los sentidos pero es discontinua en H0, 0LEjercicio 16

Muestre que el vector 0, 22 ,22 es normal a la superficie

x2 + y2 + z2 = 1 en algn punto de la misma e interprete geometricamenteEjercicio 17Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. JUSTIFICARi > Si z = f Hx, yL es continua en Hx0, y0L entonces tiene derivadas parciales en Hx0, y0Lii > Si z = f Hx, yL tiene derivadas parciales en Hx0, y0L entonces es continua en Hx0, y0Liii > Si z =f Hx, yL tiene derivadas parciales continuas en Hx0, y0L entonces es continua en Hx0, y0L

iv > Si z = f Hx, yL tiene derivadas parciales continuasen Hx0, y0L entonces es diferenciable en Hx0, y0L

v > Si z = f Hx, yL es diferenciable en Hx0, y0L entonces tienederivadas parciales continuas en Hx0, y0L

vi > Si z = f Hx, yL es diferenciable en Hx0, y0L entonces tiene derivadas parciales en Hx0, y0Lvii > Si z = f Hx, yL no es continua en Hx0, y0L entonces no es diferenciable en Hx0, y0L

Problemas tericos1 > Defina formalmente derivada parcial para una z = f Hx, yL , f : 2 2 > Defina diferenciabilidad de una funcin z = f Hx, yL , f : 2 3 > Sea y HxL una funcin diferenciable definida implicitamente porF Hx, y HxLL = 0 siendo F diferenciable

Probar que si Fx 0 entonces

d ydx =

Fx Fy

4 > Demostrar que fv = fv5 > Demostrar que si z = f Hx, yL es diferenciable en Hx0, y0L entonces f Hx0, y0L esperpendicular a la curva de nivel f Hx, yL = f Hx0, y0L

4 6-derivadas parciales y diferenciabilidad 1.nb