DERIVADAS RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONCEPTOS.
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DERIVADAS
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RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x)
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
CONCEPTOS
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¿Cómo se halla la tangente a una curva?
RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS
Descartes (Siglo XVII)
“El problema de hallar la tangente
a una curva es no sólo el problema
más útil y más general que conozco,
sino que pudiera desear conocer....”
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ISAAC NEWTON, 1642-1727
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Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716
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Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos
alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a
sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo
había enviado a John Collins.
Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente
que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.
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RECTA SECANTE A UNA CURVA
m = f(b)-f(a)
b-a
x
yf(x)
ba
f(b)
f(a)
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RECTA TANGENTE A UNA CURVA
x
y f(x)
a
f(a)
Recta tangente a la curva f(x) en el
punto x=a
m =???????
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RECTA TANGENTE A UNA CURVA
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RECTA TANGENTE A UNA CURVA
Donde h tiende a cero...
x
y f(x)
a
f(a)
f(a+h)
a+h
h
f(a)h)f(amtang
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h
f(a)h)f(alimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en el punto x=a
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
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h
f(x)h)f(xlimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
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PROBLEMA
1
1xf(x)
A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente
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PROBLEMA
1
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PROBLEMA
2
x
1xf(x)
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x
= -3
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DEFINICIÓN DE DERIVADA
h
f(5)h)f(5limm
0htang
f ’(5)=
h
f(x)h)f(xlimm
0htang
f ’(x)=
PUNTO
CONCRETO
Ej: 5
PUNTO
CUALQUIERA
)f(x)(dx
df(x)' f NOTACIÓN. D
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2xf(x)
Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:
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x2(x)' fxf(x) 2
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NOTA
Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c
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3 21-xf(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN EL PUNTO X=0
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PROPOSICIÓN
Ninguna función es derivable en los puntos “picudos”
Puede tener dos tangentes (derivadas)
+ tangente a la derecha
+ tangente a la izquierda
c
y=|x-c|+a
x
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x
x
e
e1
1
1
1f(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD
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PROPOSICIÓN
Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en
ese punto
NOTA: el recíproco NO es cierto!
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PROBLEMA
¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:
• a. ¿Derivable?
• b. ¿Continua pero no
derivable?
• c. ¿Ni continua ni
derivable?
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
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SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN
NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN
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REGLAS DE DERIVACIÓN
1'
0'4
1(x)'f :entoncesx,f(x)Si
0(x)'f :entoncesk,f(x)Si
x
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REGLAS DE DERIVACIÓN
21
21
43
45
1nn
2
1'
3'
5'
nx(x)'f :entonces,xf(x)Si
xx
xx
xx
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REGLAS DE DERIVACIÓN
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x
(4x)’ = 4x L4
(log6
x)’ = (1/x)/L6
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REGLAS DE DERIVACIÓN
x2cos
1' xtg
xcos(x)'gsenxg(x)
senx(x)'fcosxf(x)
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Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)
xLx
xx
1')(
123·4'4x
Kf´(x)(x)g'
Kf(x)g(x)
223
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Regla de la suma algebraica de funciones:
x
x1
cos'Lxsen(x)
(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)
:g(x)yf(x)Sean
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Regla del producto de funciones:
xxx exxee 22 2'x
(x)g'f(x)g(x)(x)f'g(x))'(f(x)
:g(x)yf(x)Sean
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Regla del cociente de funciones:
22
2
'
1
11
1
11
'1
g(x)
(x)g'f(x)g(x)(x)f'
g(x)
f(x)
:g(x)yf(x)Sean
x
Lxx
x
Lxxx
x
Lx
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Regla de la composición (Regla de la Cadena):
)22·()2(x2')2(x)2(x2
'3'')2(x
222
1'·
1')L(u')L(x
(x)'u · (u)'f(f(u(x))'
:u(x)yf(x)Sean
22222
2332
222
xxxx
uuux
xx
xx
xu
u
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Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710' xfdx
df
1651034)( 256 xxxxxf
5201524' 45 xxxf
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Ejemplo
)413)(58()( 22 xxxxf
)26)(58()413)(516(' 22 xxxxxf 2323 130208206564208 xxxxx
2064195416 23 xxx
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Ejercicios propuestos
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1(' 2 xxxf
22 283 xxx
383 2 xx
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Derivada de un producto de varios factores
)()()()( xhxgxkxf
dx
dhxgxkxh
dx
dgxkxhxg
dx
dk
dx
df)()()()()()(
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Ejemplo
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(' xxxxxxfdx
df
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
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Ejemplo
2354
)(xx
xf
223
)3)(54()23)(4('
x
xxf
223
)1512(812'
x
xxf
223
7
x
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Ejercicio propuesto
11168
)(2
xxx
xf
2
2
)1(
)1)(1168()1)(616('
x
xxxxf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
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Ejercicio propuesto
11
)( 3
3
xx
xf
23
2332
)1(
)3)(1()1(3'
x
xxxxf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
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Ejemplo
2)45()( xxf
)5)(45(2' xf
)45(10 x
4050 x
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Ejemplo
367)( 2 xxxf
6143672
1' 2
12
xxxf
2
12 367
37
xx
x
367
372
xx
x
2
12 367)( xxxf
367)( 2 xxxf
2
12 367)( xxxf
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Ejemplo
)3()( 2 xxsenxf
12)3cos(' 2 xxxf