DERIVADAS. Tasa de variación media. Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media...
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DERIVADAS
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Tasa de variación media.
Dada la función f en [a,b], se llama tasa de variación media de f en [a,b]
f b f a
b a
Ejemplo.- Un automóvil se mueve según
la función e(t) = 2.t 2; donde t es el tiempo
en segundos y e(t) el espacio que recorre
dicho móvil en línea recta en metros.
Calcular la velocidad media (tasa de
variación) durante los 10 primeros
segundos 10 0 200 0
2010 0 10 0
e e ms
Hay que observar que la tasa media de f en
[a,b], es la pendiente de la recta secante a
f(x) en los puntos (a,f(a)) y (b,f(b))
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Si existe TVI(a), lo denominamos DERIVADA DE f(x) EN EL PUNTO a, y se
denota por f ’(a)
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Derivadas laterales
Denominamos derivadas laterales (izquierda y derecha) de f en x = a,
a los límites:
0 0
lim limh h
f a h f a f a h f af a f a
h h
La función f es derivable en x = a si y solo si f ’(a-) = f ’(a+):
2
1
1
x si xf x
x si x
Ejemplo.- Existe la derivada de f en x = 1, siendo f la función
Teniendo en cuenta que
0
2 2
0
1 11 lim 1
1 11 lim 2
h
h
hf
h
hf
h
Se deduce que f no es derivable en x = 1
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Derivabilidad y continuidad
Si f es derivable en x = a, entonces f es continua en x = a.
Hay que observar que:
Si f es continua en x = a, no tiene por que ser derivable en x = a.
Si f no es continua en x = a, f no es derivable en x = a
Ejemplo.- Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función valor
absoluto. 0
0
x si xf x x
x si x
f es continua ya que
0 0
lim (0) lim 0h h
h f h
Sin embargo no es derivable en x = 0, ya que
0 0
0 lim 1 1 lim 0h h
h hf f
h h
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Funciones derivables
Si f es derivable en todo número real, decimos que f es derivable.
Hay que observar que:
Las funciones polinómicas son derivables, al igual que la función sen o cos,
o también las funciones exponenciales.
Sin embargo no lo son por ejemplo la función tan que tiene discontinuidades
de salto infinito, y en esos puntos ni es continua ni derivable
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La recta tangente y normal
Teniendo en cuenta que f ’(a) (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA TANGENTE rtg a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta
será
:tgr y f a f a x a
Y teniendo en cuenta que (-f ’(a))– 1 (si existe) es la PENDIENTE de la
RECTA NORMAL (recta perpendicular a la recta tangente a f) en el punto
(a,f(a)) ) rnor a la función f, en el punto (a,f(a)), dicha recta será
1:norr y f a x a
f a
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La recta tangente y normal
Ejemplo.- Calcular la recta tangente r y normal s a f(x) = x2 en x = 1
: 1 1 1 1 2 1
2 1
1 1: 1 1 1 1
1 2
2 3
r y f f x y x
x y
s y f x y xf
x y
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Función derivada
Dada una función f, llamamos función derivada de f a la que se
obtiene mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
Dada una función f, llamamos función derivada segunda de f a la que se
obtiene mediante el límite
0
limh
f x h f xf x
h
La derivada de la segunda derivada se denomina derivada tercera (f’’’(x)), y
así sucesivamente
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Función derivada
Ejemplo.- Si un objeto se según la ecuación de espacio e(t) = 2.t2 + 5.t + 1
metros (t en segundos), calcular su velocidad y su aceleración instantánea
0
2 2
0
0
' lim
2 5 1 2 5 1lim 4 5
4 5 4 5'' lim 4
h
h
h
e t h e tv t e t
h
t h t h t tt
ht h t
a t e th
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Cálculo de derivadas
Derivada de la función constante f(x) = k
0 0 0
0lim lim lim 0h h h
f x h f x k kf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = , será f ’(x) =0
Derivada de la función identidad f(x) = x
0 0 0
lim lim lim 1h h h
f x h f x x h x hf x
h h h
Ejemplo.- La derivada de la función potencia f(x) = x, será f ‘(x) = 1
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Cálculo de derivadas
Derivada de la función potencia f(x) = xn, con n un número natural
0 0
1 2 2
1
0
lim lim
1 2lim
n n
h h
n n n
n
h
f x h f x x h xf x
h hn n nx h x h h
nn x
h
En general, también se cumple para n un número racional
Ejemplo.- La derivada de la función f(x) = x-3, es f ’(x) = (-3) . x-4
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Cálculo de derivadas
Derivada de la raíz cuadrada f(x) = x
0 0
0 0
0
lim lim
lim lim
1 1lim
2
h h
h h
h
f x h f x x h xf x
h h
x h x x h x h
h x h x h x h x
x h x x
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Cálculo de derivadas
Derivada de la función de proporcionalidad inversa f(x) = 1/x
0 0
20 0 0
1 1
lim lim
1 1lim lim lim
h h
h h h
f x h f x x h xf xh h
x x h
x h x h
h h x h x x h x x
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Reglas de derivación
Si y = k.f(x)
0 0
0
( ) ( )lim lim
( ) ( )lim
h h
h
y x h y x k f x h k f xy
h hf x h f x
k k f xh
— —
—
Ejemplo.- Si y = 3.x2, será y ‘ (x) = 3.(2.x) = 6.x
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Reglas de derivación
Si y = f(x) g(x)
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
h h
h h
f x h g x h f x g xy x h y xy
h hf x h f x g x h g x
f x g xh h
——
— —
Ejemplo.- Si y = x2 + x, será y ‘ (x) = 2.x + 1
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Reglas de derivación
Si y = f(x) . g(x)
0 0
0
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )
( ) ( )lim ( )
h h
h
h h
h
f x h g x h f x g xy x h y xy
h hf x h g x h f x g x h f x g x h f x g x
hf x h f x g x h g x
g x h f xh h
f x h f xg x f
h
——
—
0
( ) ( )( ) lim
( ) ( )
h
g x h g xx
h
f x g x f x g x
Ejemplo.- Si y = (3x2).(x). Será
y ‘ (x) = (6x). (x) + (3x2).[1/(2x)] = (15x2) / (2x)
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Reglas de derivación
Si y = f(x) / g(x)
2
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
f xy f x y x g x f x y x g x y x g x
g x
f xf x g x
g xf x y x g xy x
g x g x
f x g x f x g x
g x
Ejemplo.- Si y = (x+1) / (x2). Será
y ‘ (x) = [1.(x2) – (x+1).(2x)] / x4 = - (x+2) / x3
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La regla de la cadena
Si y = ( f º g ) (x) = f(g(x)), se cumple:
y f g x g x
Ejemplo.- Si y = (x2+1), denominando f(g) = g y g(x) = x2+1, será:
2 2
12
2 1 1
xy f g x g x x
x x
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Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = ln x
0 0
0 0 0
0 0
ln lnlim lim
ln1 1 1 1
lim lim ln 1 lim ln 1
1 1 1 1lim ln 1 lim ln
h h
h h h
x
h
h h
y x h y x x h xy
h hx h
xxx xh h x hh h
exx x xh
— —
Ejemplo.- Si y = ln (5x+9). Será
5
5 9y
x
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Derivadas de las funciones logarítmicas
Si y = loga x, como loga x = ln x / ln a, teniendo en cuenta las reglas de
derivación será
1 1 1ln
ln lny x
a a x
Ejemplo.- Si y = log3 (5x+9). Será
1 5
ln 3 5 9y
x
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Derivadas de las funciones exponenciales
Si y = ex , tomando logaritmos neperianos será
ln ln 1x xyy e x y y e
y
Si y = ax , como y = ex.ln a será
ln ln ln ln ln lnx xyy a x a a y y a a a
y
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Derivadas de las funciones exponenciales
Ejemplo.- Si y = 72x. Será
27 2 ln 7xy
Si y = f(x)g(x) , como y = eg(x).ln f(x) será
lnln ln ln ln
ln
ln
ln
g x f x g x
g x
y f x e f x g x
f xyf x g x g x
y g x
f x g x g x f x g xy y
g x
f x g x g x f x g xy f x
g x
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Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = sen x, aplicando la definición de derivada será
0 0
0
0 0
sen senlim lim
sen cos sen cos senlim
cos 1 senlimsen lim cos
sen 0 cos 1 cos
h h
h
h h
y x h y x x h xy
h hx h h x x
hh h
x xh h
x x x
Si y = cos x, utilizando el teorema fundamental de trigonometría será
2 2sen cos 1 2 sen cos 2 0
2 sen cos sen cossen
2 cos
x x x x y y
x x x xy x
y x
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Derivadas de las funciones trigonométricas
Si y = tg x = sen x / cos x, utilizando las reglas de derivación será
2 2
2 2
22
2 22
2 2
sen cos sen cos sen cos
cos cos1
seccos
sen cos1
cos cos
x x x x x xy
x x
xx
x xtg x
x x
Ejemplo.- Si y = cos(ln x), será
sen ln1sen ln
xy x
x x
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Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Hay que tener en cuenta que como las funciones trigonométricas son
periódicas, las funciones inversas, existirán solamente en un intervalo en el
cual dicha función sea biyectiva
2 2
1 1 1cos 1
cos 1 sen 1y y y
y y x
Si y = Arc cos x, razonando de forma análoga al resultado anterior será
2
1
1y
x
Si y = Arco sen x, teniendo en cuenta que será sen y = x, será
Si y = Arc tg x, será
2
1
1y
x
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Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Ejemplo.- Si y = Arc sen x, será
2 2
1 1 1
2 21y
x x xx
——
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Matemática de GAUSS del Ministerio
de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)
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lasmatemáticas.es
Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/mate
maticas.htm)
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Manuel Sada
(figuras de GeoGebra)
(http://docentes.educacion.navarra.es/msa
daall/geogebra/)
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