Derivada+Usando+La+Regla+de+La+Cadena

Derivadas Usando la Regla de la Cadena

Lcdo. Eliezer Montoya Página 1

DERIVADA USANDO LA REGLA DE LA CADENA

La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una

composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para

diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función

compuesta se conoce como "Regla de la cadena".

Regla de la cadena:

( )

Si ( ), ( ), es una función diferenciable de y es una función diferenciable de ,

es decir, y existen, entonces la función compuesta definida como ( )

tiene derivada definida

y f u u g x y u u x

dy duy f g x f g

du dx

= =

= = �

( ) ( )Derivada externa Derivada interna

as

(́ ). (́ )

í

´

:

( ) . (́ )dy dy du

f u g x f g x g xdx du dx

= = =��

Recuerda entonces las reglas de derivación y extiéndelas a la regla de la cadena

( )

( )

1

1 1

.

. . ´ . .

n n n

n n n n

dy dSi y x x n x

dx dx

dy d duSi y u u n u u n u

dx dx dx

−

− −

= → = =

= → = = =

Hallar la derivada de cada una de las funciones usando la regla de la cadena

Ejemplo 1: ( )100

2( ) 5f x x x= +

Solución: Aplicando la regla de la cadena

( )

( ) ( )

( ) ( )

100

9

2

29

92

2

9

(́ )

1

5

500

100 5

5

2 5

x

x

x x

x x

f x D

D

x

x

x

x

x

=

=

= +

+

+

+

+

Ejemplo 2:( )

4

1( )

3 1f x

x=

−




( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

4

4

4 1 5

5

5

1(́ )

3 1

4 . 4 3

3 1

3 1 3 1

12

3

12 3 13 1

1

x x

x

f x D Dx

Dx

xx

x

x x

−

− − −

−

= =

−

= − = − =

−

−

− −

= =

−

− −−

Podemos ver en azul la función interna, por tanto al derivar una función compuesta,

calculamos la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.

Ejemplo 3: ( )3

2 5y x x= +


( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

23

2

32

22 2 4 3 2

5 4 3 4 3 2 5 4 3 2

2 55

5

3

3 2 5 3 5 2 5 10 25 6 15

6 60 150 15 150 375 6 75 300 375

dux

u x x dxy x x

dyy uu

du

dy dy duu x x x x x x x x

dx du dx

x x x x x x x x x x

= + = +

= + ⇒ ⇒ = =

= = + = + + = + + + =

= + + + + + = + + +

Ejemplo 4: 2 1y x= +


2

2

1/ 21/ 2

21

11 1

2 2

1 2.2

2

dux

u x dxy x

dyy u u udu u

dy dy dux

dx du dx u

−

= = +

= + ⇒ ⇒ = = = =

= = =2

x

2 2 21 1

xx

D uxD u

ux x= → =

+ +

Ejemplo 5: ( )33( ) sin sinh x x x= =


( ) ( ) ( )3 3 1 2'( ) sin 3 3sin .cossin sin

xxh x D x xDx x x

−= = =



Ejemplo 6: ( )3 3( ) sin sing x x x= =


( ) ( )3 3 3 2 3´( ) sin cos 3 cosx x

g x D xx xx Dx= = =

Con lo antes expuesto, podemos generalizar las siguientes reglas de derivación

2

2

sin cos . tan sec . sec sec .tan .

cos sin . csc csc .cot .cot csc .

x x x x x x

x x x xx x

D u u D u D u u D u D u u u D u

D u u D u D u u u D uD u u D u

= = =

= − = −= −

Ejemplo 7: ( ) ( )10 42( ) 6 1 3g t t t t= + −

Solución: Aplicando la regla de la cadena: -Recuerde la regla de la derivada de dos

funciones ( ) ( ) ( ). . .x x x

D u v D u v D v u= +

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

10 42

10 104 4 2

9 104 3 2

9 104 3 2

9 104 32

2 2

2

2

9 32

(́ ) 6 1 3

. 1 3 . 6

10 . 1 3 4 . 6

10 . 1 3 4 . 6

10 6 2 6 . 1 3 12 1 3 . 6

2 6

1 3

1 3

1 3 5

1 3

1 3

6

6 6

6

2 6

32 6

t

t t

t t

t t

t t

g t D t t t

D t D t t

D t D t t

t t t

t t t t t t t

t t

t t

t t

t

t

t

tt

t

t

−

− −

= + −

= − + +

= − + +

= − + +

= + + − − −

+

+

−

+

+ +

= −

−

+

+ + ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

9 32 2

9 32 2

1 3 6 6

2 6 1 3 36 116 30

4 6 1 3 18 58 15

t t t

t t t t t

t t t t t

− − +

= + − − − +

= − + − + −

Ejemplo 8: 2 5 6x x

y e+ +

=




( ) ( )

2

2

2

5 6

5 6

2 55 6

Como:

2 5 2 5

x x

uu

u u

x x

u x x

dux

u x x dxy e

dyy ee

du

D e e D u

dy dy due x x e

dx du dx

+ +

+ +

= + = + +

= → → = =

=

= = + = +

Problemas Propuestos

En los problemas 1 al 4, hallar las derivadas requeridas usando la regla de la

cadena:

1.- 2, 1, hallar dy

y u u x xdx

= = + + 2.- 3 1/ 2 22 , 2 , hallar dy

y u u u x xdx

= − = +

3.- 5 4, 1, hallar dy

y u u xdx

−= = + 4.- ( ) ( )

12 2, 7 7 , hallar

xy u u x x D y

−

= = − +

En los problemas 5 al 68, encontrar la derivada de cada función con la ayuda de la

regla de la cadena:

5.- ( )10

( ) 5 2f x x= − 6.- ( )8

( ) 2 3f x x= −

7.-( )

5

1( )

4 1f y

y=

+ 8.- ( )

44( ) 2 1f t t t

−

= − +

9.- ( ) ( )2 32( ) 3 7 5 3g x x x= + − 10.- ( ) ( )

2 42 4( ) 5 1 3 2g t t t= + +

11.- ( )2

51( ) 3 6 1f x x x

x

= + −

12.- ( ) ( ) ( )1 3

3 1 2 5f t t t− −

= − +

13.- ( ) ( )2 3

( ) 7 3 2 5g y y t− −

= + + 14.- ( )5

71( ) 6 2 2f u u u

u

−

= + −

15.-

42

( )1 2

x xf x

x

+=

− 16.-

52

2

1( )

1

tf t

t

+=

−

17.-

3

2

3 1( )

xf x

x

+ =

18.

3

2

16( )

7

xf x

x

−

=

−



19.- ( )11

( )f x xx

−

= = 20.-2

1( )

1f x

x=

+

21.- 2( ) 2 1g x x x= + − 22.- 1/ 4( )f x x x= =

23.- 4 2( ) 3f t t t= − + 24.-3

( )g y y y y= − +

25.- ( )4

( )f x x x= − 26.-33 1

( )s

Q ss

+=

27.- ( ) 5sin 7f x x= 28.- ( )( ) 8cos 3 5f x x= +

29.- 2( ) 4sin 6g x x= 30.- ( )2( ) 3sin 5g t t t= +

31.- ( ) sinh x x= 32.- 2 3( ) sinh s s s=

33.- 4( ) sin 3g t t= 34.- 2 2( ) cos 5 sin 5g x x x= −

35.- ( )( ) cos sinh x x= 36.- ( )5

( ) 1 2sin 3f t t= −

37.- ( ) cos5f x x= 38.-

2

4 cos3( )

xg x

x

−=

39.-

sin( )

1 cos5

xh x

x=

+ 40.-

sin cos( )

cos

x x xg x

x

−=

41.-

27 35( )

sin 2 cos 2h t

t t= + 42. 4( ) tan 5g r r=

43.- ( )5( ) cot 3g t t= 44.- ( )( ) sech r r r= −

45.- 2( ) csc 1f u u= + 46.-7

( ) cotg ss

=

47.- ( ) 1 sech x x= + 48.- ( ) tan2

tg t

t

=

+

49.- 2 2( ) sec 7 tan 7h t t t= − 50.- 2 2( ) csc 15 cot 15g x x x= −

51.- 4 4( ) sec 13 tan 13h s s s= − 52.- ( )3

( ) tan secg x x x= +



53.- 3 5( ) tan 2g x x x= 54.-2

cot 3( )

1

tf t

t=

+

55.-2

( )1 sec5

xh x

x=

+ 56.- ( ) ( )( ) tan 3 sec 3g t t t=

57.- 2 31( ) cot 2

3f x x x= − 58.- 2 53

( ) csc 32

g r r r=

59.-2

3

sec 3( )

tg t

t= 60.- ( )

3

tanf

θθ

θ

=

61.- ( )2( ) sin tan 5f x x= 62.- ( )7( ) sec csc 7g x x=

63.-3 / 2( ) x

g x e= 64.-2

( ) exp4

xh x

x

=

+

65.- ( )2( ) 6 10 tf t t t e−= + − 66.- ( )( ) exp sin 2f x x=

67.- ( ) ( )sin 5/( ) cos 2

th t t= 68.- ( ) sec( ) tan cot x

f x x x e= +

Referencias Bibliográficas

[ ]1 LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y

Geometría Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc

Graw Hill

[ ]2 LEITHOLD , L. (1998) El cálculo 7. México Edit Oxford University Press

[ ]3 MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second

Edition) U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.

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