DESARROLLO DE COMPETENCIAS LINGÜÍSTICAS Y MATEMÁTICAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ARITMÉTICOS DE ENUNCIADO VERBAL (PAEV)

Las imágenes que siguen, tomadas de cuadernos de mis alumnos/as de 5º de Educación Primaria, evidencian lo esencial de un método de resolución de PAEV que pone el énfasis en hacer explícita la estructura del problema a dos niveles: el del procesamiento lingüístico (expresión de las relaciones entre magnitudes enfocada a la solución) y el del procesamiento matemático (expresión algebraica solución del problema). Reflejan el inicio del método de resolución de PAEV que, de manera general, trabajo con ellos para tratar de paliar las principales dificultades que presenta la resolución de este tipo de problemas y que se ponen de manifiesto con mayor rotundidad en alumnos/as con un nivel medio-bajo de habilidades lingüísticas.

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(Aunque el alumno se ha autocolocado una “B” de “BIEN” en el problema número 8, se puede observar que no ha resuelto correctamente el problema - ha invertido el orden de los términos de la resta-. Resulta muy ilustrativo de uno de los errores más frecuentes en la estructura aditiva)

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La Resolución de Problemas, considerada como la innovación más importante de la Matemática en la década de los 80, ha sido estudiada mundialmente por especialistas de diferentes ramas del saber: filósofos (Descartes, Dewey,...); psicólogos (Newel, Simon, Hayes, Vergnaud,...); matemáticos profesionales (Hadamard, Pòlya, Schoenfeld,...); educadores matemáticos (Steffe, Nesther, Kilpatrick, Bell, Fishbein, Greer, ...) y muchos otros autores relacionados con la didáctica de las Matemáticas ()....Es bastante aceptado considerar que en la historia de la resolución de problemas hay dos grandes etapas delimitadas por la aparición de los trabajos de G.Pòlya en 1945. Según la opinión de Pòlya, “se puede ayudar a resolver problemas a los alumnos de forma efectiva mediante preguntas y sugerencias, de tal manera que, sin imponerle la solución al alumno, éste sea capaz de descubrirla por sí mismo a partir de las indicaciones dadas. Además, sostiene que las preguntas y sugerencias debe de emplearlas el profesor en toda resolución de problemas ante los alumnos, de manera que estos perciban cómo usarlas”. “La

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lista de preguntas y sugerencias que da Polya es amplia y con el fin de hacer más cómoda y efectiva su utilización las agrupa en cuatro fases de trabajo: Primero, comprender el problema; segundo, concebir un plan; tercero, ejecutar el plan, y cuarto, examinar la solución obtenida. Este simple modelo de lo que ocurre durante la resolución de problemas puede servir, y así se ha utilizado en numerosas ocasiones, como un esquema para deducir modelos e incluso materiales de instrucción.”... “Para resolver un problema se necesitan una serie de conocimientos que se aplican en estas etapas: conocimiento lingüístico, conocimiento esquemático, conocimiento estratégico y conocimiento algorítmico. Desentrañar la influencia de estos conocimientos específicos en la resolución de problemas ha sido el objetivo de multitud de investigaciones en los últimos años”(INVESTIGACIÓN EN EL AULA DE MATEMÁTICAS. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS /// S.A.E.M THALES) La resolución de PAEV es uno de los tópicos más tratados por la Didáctica de las Matemáticas. Cuenta ya con una tradición de más de 60 años. Existe una ingente cantidad de investigadores, de resultados de las investigaciones, de marcos teóricos construidos por los investigadores...Todo ello supone una vasta cantidad de literatura al respecto. En ella se abordan, entre muchas otras cuestiones, las siguientes de índole eminentemente práctica: las categorías y tipos de problemas aritméticos, metamodelos y modelos de situaciones problemáticas, la estructura de los problemas aritméticos de varias operaciones, los problemas aritméticos aditivos de dos etapas, la tipología de de problemas en la Etapa Primaria, etc... Los resultados de las investigaciones sobre RP, sobre todo con PAEV, son más conocidos, y han llegado a incidir sobre la práctica en las aulas en mayor medida, que los realizados en otros tópicos matemáticos. Son muchísimos los docentes que han elaborado sus propias baterías de problemas atendiendo a diferentes criterios y clasificaciones, a tipificaciones bastante asumidas; muchos los que hemos tratado de llevar a la práctica del aula, pasándola por el filtro de nuestro saber intuitivo y experiencial, las recomendaciones y resultados de la Didáctica de las Matemática sobre esta temática fundamental. Existe, además, cierto consenso sobre los pasos a seguir para la resolución de estos problemas, etc... En cambio, la integración de las TICs en los procesos de enseñanza-aprendizaje de PAEV es un asunto apenas estudiado.

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En las reflexiones que siguen, me voy a centrar exclusivamente en un modelo de PAEV, el más frecuente y convencional (un enunciado escrito conteniendo todos los datos necesarios y una pregunta cuya respuesta es la solución del problema), por considerarlo el más adecuado para las ideas que aquí quiero exponer. Los PAEV son “problemas por resolver” según la terminología utilizada por Pòlya. En ellos, el objetivo es descubrir la incógnita del problema. Los principales elementos son las incógnitas, los datos ( cantidades de magnitudes) y las condiciones ( que determinan la estructura semántica del problema). Son problemas en los que los estudiantes intentan obtener significado de las descripciones simbólicas/gráficas. Pretendo profundizar en los aspectos esenciales que evidencian las imágenes iniciales así como en otros no evidentes, a la par que ofrezco enlaces a aplicaciones multimedia especialmente adecuadas para trabajar cada uno de los aspectos. 1.-) Lo más característico de los PAEV (Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal) es que presentan una estructura que viene determinada por las relaciones semánticas (significados) entre las magnitudes que intervienen en el enunciado (sean éstas explícitas o implícitas). Además, dicha estructura puede expresarse algebraicamente en forma de igualdad, de manera que cada miembro se corresponda con la solución del problema.

2.-) Lo esencial, y más práctico, en la resolución de un problema será el uso eficaz de estrategias que permitan hacer explícita esa estructura, tanto a nivel del pensamiento y la expresión-comunicación lingüística como a nivel algebraico. En este proceso interactúan de manera integrada habilidades cognitivas tanto lingüísticas como matemáticas. Por ello, la resolución de PAEV es un contexto muy adecuado para el desarrollo conjunto de competencias lingüísticas y matemáticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar, Escuchar, Escribir, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simbólico, formal y técnico, Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplo, TIC))

3.-) Con mucha frecuencia constatamos en el aula las dificultades que manifiesta el alumnado de Primaria cuando se enfrenta a la resolución de

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estos problemas. Según mi experiencia las relacionaría en el siguiente orden (descendente en relación con su frecuencia):

● Insuficiente comprensión del enunciado del problema. Ya adelanto que considero que un/a alumno/a, por lo general, comprende un problema cuando sabe expresarlo sin utilizar número alguno, es decir, cuando sabe hacer explícitas las relaciones entre las magnitudes implicadas en el mismo. Y viceversa. Creo que ese esfuerzo de expresión es el factor que más favorece la comprensión (representación mental interna) del mismo.

● Excesiva prisa por realizar cálculos numéricos (tal vez porque tengan muy asumido que eso es lo esencial en la RP, o porque saben que, con toda seguridad, deberán realizar algunos cálculos) con los números que aparecen en el problema. Consecuencia directa de esta prisa es la tendencia a usar estrategias superficiales ( casi exclusivamente de identificación – datos, incógnita,…- para resolver problemas que, con frecuencia, les lleva a derivar los esfuerzos en lo secundario, en una parte, impidiéndoles captar o representar la totalidad primaria o fundamental.

● Dificultad en la organización de los elementos utilizados en la resolución (textos, cálculos- sobre todo cuando realizan “cuentas” verticales unas al lado de otras-, gráficos, etc).

● Insuficiente interiorización de las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sus significados (Muchas veces derivadas de la práctica de cálculos descontextualizados, y al margen de la RP, en las que sólo se manejan números y no cantidades determinadas de magnitudes).

En relación con 1.-), voy a realizar un razonamiento lo más general posible, para que no nos perdamos en las ramas. Imaginemos que hablamos siempre de PAEV resueltos por un experto. Este experto representa con X la solución del problema (una cantidad de una determinada magnitud). Este resolutor experto encuentra que en todo problema aritmético verbal siempre hay, al menos, una expresión algebraica (operaciones combinadas) que utilizando los datos explícitos en el mismo y respetando las relaciones semánticas entre las magnitudes implicadas, permite expresar cómo se va a resolver el problema, y que se puede igualar a X. Así, pues, la expresión algebraica no es sólo declaración del proceso de resolución sino que es ya una expresión de la solución.

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“El cine Pinocho tiene 25 filas con 22 asientos en cada fila. A la primera sesión acudieron 384 espectadores. ¿Cuántos asientos quedaron vacíos?”

X = (25 x 22) - 384

Esta expresión algebraica tiene una estructura primaria o esencial binómica, es decir, está formada por 2 monomios: (25 x 22) y 384 (recuérdese que en un monomio sólo puede estar presente la multiplicación/división y que, en un polinomio, los diferentes monomios se relacionan con los signos de sumar y restar). Evidentemente, cada monomio se corresponde, semánticamente, con una cantidad de una magnitud. La expresión algebraica anterior se corresponde con un razonamiento enfocado directamente hacia la resolución del problema, cálculo de X = número de asientos que quedaron vacíos, expresado en forma de igualdad o equivalencia, y que tiene como origen el interrogante que aparece en el problema: ¿Nº asientos vacíos? = Nº total asientos disponibles – Nº asientos ocupados. La estructura primaria o esencial, aditivo/sustractiva en este caso, relaciona tres magnitudes: X = Nº asientos vacíos; a = Nº total asientos disponibles; b = Nº asientos ocupados. Mientras que a es una magnitud implícita (no sabemos al instante la cantidad de la misma, pero se puede calcular), la magnitud b es explícita (coincide con algún dato del problema). X, obviamente, es una magnitud implícita (al menos en los problemas propiamente dichos) Así, pues, en el razonamiento [Nº asientos vacíos = Nº total asientos disponibles – Nº asientos ocupados] podríamos asegurar que el resolutor experto no se concentra en primer lugar en los números del problema sino en las relaciones semánticas entre las magnitudes presentes en el problema, independientemente de las cantidades. Busca, desde un principio, hacer explícita la estructura del problema. Para ello, reinterpreta de manera subjetiva las magnitudes presentes (Nº asientos ocupados = nº espectadores que acudieron a la primera sesión) y distingue entre magnitudes “primarias” (Nº asientos vacíos, Nº asientos disponibles, Nº asientos ocupados) y “secundarias” (Nº filas, Nº asientos en cada fila) en relación con el proceso de resolución en este problema concreto. Las magnitudes secundarias están al servicio del cálculo de la cantidad de una magnitud primaria (Nº filas x Nº asientos en cada fila = Nº total asientos disponibles). Podríamos decir, utilizando un símil

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informático, que una magnitud secundaria “es llamada” o requerida por otra primaria en el proceso de resolución del problema. Podríamos decir, también, que una magnitud es primaria cuando es requerida en primera instancia por el pensamiento para expresar la forma en que se va a resolver el problema. La primera magnitud que hay que considerar como primaria es aquella contenida en la pregunta del problema, bien si aparece aislada o bien si se expresa como relación entre otras.

En relación con 2.-) El resolutor experto, más que concentrarse con igual énfasis en cada uno de los elementos de información de que dispone para resolver un problema, se preocupa prioritariamente por determinar aquellos que necesitaría para resolverlo, aparezcan, o no, de forma explícita en el enunciado. Esto, en cierta manera, es un acto creativo y pone de manifiesto la importancia, en la RP, de saber distinguir entre magnitudes primarias y secundarias; análogamente a como en una lectura, o en la realización del resumen de un texto, es necesario saber distinguir entre ideas principales y secundarias… De cara a la enseñanza-aprendizaje de la RP con PAEV hay que tener en cuenta que ésta es la fase de mayor dificultad. Implica abordar estrategias de análisis y síntesis de la información contenida en el enunciado, así como de estrategias de representación, y expresión- comunicación del pensamiento. En el proceso de enseñanza, no hay que escatimar tiempo para trabajar colectivamente1 estas estrategias, dirigidas por el/la docente , que toman como base la lectura y relectura del texto y se practican en forma de expresiones del pensamiento, de razonamientos y argumentos. De esta manera, el alumnado dispondrá de la experiencia que le permitirá interiorizar - para cuando se enfrente solo a un problema- que resolver un problema requiere plantearse interrogantes; “jugar a ser detectives”, en el sentido de ver o anticipar qué se puede averiguar con los datos del problema; saber extraer y expresar en forma de igualdad un razonamiento básico más esencial o primordial que otros...

1 Vigostky, en sus conceptualizaciones en torno a la zona de desarrollo próximo, reivindica el papel de los intercambios de las subjetividades en las relaciones interpersonales como una forma de enriquecer los desarrollos intrapsíquicos.

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Las estrategias de análisis/síntesis de la información contenida en el enunciado suponen - o requieren- que el alumnado se involucre productivamente en el problema, que centre su pensamiento en la búsqueda de conexiones coherentes (lógicas) entre los elementos de información...Sólo así podrá hallar la idea esencial o idea directriz del problema. Se trata de una fase en la que interactúan habilidades que desarrollan competencias lingüísticas y matemáticas (leer, pensar y razonar, hablar, argumentar, escuchar, expresar,...). Saber expresar la idea esencial (estructura de relaciones entre magnitudes) no es nada fácil, sobre todo para niños/as con un bajo nivel de desarrollo de las habilidades lingüísticas. Implica un grado de autorregulación ( ordenar y estructurar el pensamiento, someterlo a crítica...) que muchos niños no han desarrollado suficientemente; y un cierto nivel de expresión oral - o escrita-. Ofrezco a continuación algunas imágenes, a modo de ejemplo, que ilustran las afirmaciones anteriores:(Las imágenes corresponden a diferentes respuestas dadas a un mismo problema “elemental”? por alumnos/as de 5º de Primaria) Problema: Gabriel invitó a cinco amigos al cine y a merendar por su cumpleaños. Cada entrada de cine costó 6 €, y la merienda 32 €. ¿Cuánto gastó Gabriel en total?

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La relación semántica entre magnitudes viene determinada por las propiedades de las operaciones básicas. Teniendo en cuenta que adición/sustracción conforman un mismo campo conceptual y multiplicación/división conforman otro campo conceptual, hay dos estructuras esenciales básicas: la aditiva y la multiplicativa: Estructura aditiva: Si X = a + b Þ a = X – b Þ b = X – a ( adición/sustracción)

Nº asientos vacíos = Nº total asientos disponibles – Nº asientos ocupadosNº total asientos disponibles = Nº asientos vacíos + Nº asientos ocupadosNº asientos ocupados = Nº total asientos disponibles – Nº asientos vacíos.

Estructura multiplicativa: Si X = a ● b Þ a = X : b Þ b = X : a (multiplicación/ división)

Nº total asientos disponibles = Nº filas x Nº asientos en cada fila = Nº asientos en cada fila x Nº filas.Nº filas = Nº total asientos disponibles : Nº asientos en cada fila.Nº asientos en cada fila = Nº total asientos disponibles : Nº filas.

En relación con la estructura aditiva, desde el inicio de la Primaria deben abordarse adición y sustracción de manera relacionada, como un mismo campo conceptual. Toda suma se puede expresar en forma de resta, y viceversa. Además deben tratarse de manera contextualizada, aludiendo siempre a cantidades de magnitudes e incidiendo en las cuestiones de significado que implican contemplar magnitudes explícitas e implícitas:

[¿5 sillas - 3 sillas? Þ 2 sillas] (Representa sólo dificultad cuantitativa, pero no lógica, ya que el resultado es una cantidad de una magnitud explícita)[¿5 manzanas rojas + 3 manzanas verdes? Þ 8 manzanas] (“manzanas” es una magnitud implícita” en la pregunta. Responder bien a esta pregunta supone un razonamiento no sólo cuantitativo (8) sino lógico (el conjunto de las manzanas rojas y el conjunto de las manzanas verdes son subconjuntos incluidos en el conjunto de todas las manzanas)

La estructura aditiva puede estar presente tanto en un problema de una sola operación como ser la estructura fundamental de un problema de varias

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operaciones combinadas. Por ello conviene tener muy presente la tipificación semántica de los PAEV de una sola operación con estructura aditiva. Hay una dificultad especial tanto en la expresión oral como en el cálculo de diferencias ( como refleja una de las imágenes al inicio de este documento) sobre cuya corrección hay que incidir de manera consciente. Con bastante frecuencia el alumno piensa primero en la cantidad que debe detraer (sustraendo) del minuendo y lo expresa, por tanto, en ese orden dando lugar al cálculo de una diferencia errónea. Es frecuente, también, ver que aunque calculen la diferencia de manera errónea (sustraendo – minuendo = - diferencia) dan luego el resultado en positivo para que sea coherente, o simplemente porque era lo que querían hacer pero no lo han expresado bien. Dicho de una manera más matemática, algunos alumnos calculan la diferencia como valor absoluto de la diferencia (|a - b| = |b - a|). La estructura multiplicativa conlleva algunas dificultades de comprensión derivadas de:

El lenguaje habitual utilizado para nombrar algunas cantidades de magnitudes: 5 m/s Þ”5 metros por segundo”, en vez de “5 metros cada segundo”; “Luis tiene 5 años y Olga tres veces más que él” es una expresión que puede dar lugar a interpretaciones erróneas si no se conoce la intención del creador del problema: podemos interpretar que la edad de Olga es 15 años (triple que la de Luis) o que la edad de Olga es 20 años (la edad de Luis más el triple de la edad de Luis). Ambas satisfacen el enunciado. De las relaciones propias de esta estructura. Esto último voy a tratar de exponerlo de la manera más simple, y sin utilizar terminologías nuevas, analizando los términos de un reparto a partes iguales (división):

[35 rosas : 8 jarrones = 4 rosas/jarrón; resto: 3 rosas.](Este reparto se basa en el conocimiento del número de partesÞ partición. A partir de dos magnitudes absoluta obtenemos una nueva magnitud relativa: rosas/jarrón ¹ rosas; rosas/jarrón ¹ jarrones; )[35 rosas : 4 rosas/jarrón = 8 jarrones; resto: 3 rosas.]

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(Este reparto se basa en el conocimiento de las característica de la parte o grupoÞ agrupamiento. A partir de una magnitud absoluta y otra relativa obtenemos una nueva magnitud absoluta)

En una división se pueden intercambiar divisor y cociente sin que los demás términos (dividendo y resto) varíen. Esto, obviamente, es consecuencia de la conmutatividad del producto. Pero mientras la conmutatividad del producto no representa ninguna dificultad para los alumnos cuando se manejan números, ya que no se manejan necesariamente significados, no ocurre lo mismo cuando hay que interpretar significados:

8 jarrones x 4 rosas/jarrón = 32 rosas4 rosas/jarrón x 8 jarrones = 32 rosas

Saber extraer y expresar en forma de igualdad el razonamiento básico esencial o primordial, que es la idea directriz con la que se resuelve el problema, está directamente relacionado con el significado operacional y debe trabajarse de manera progresiva, desde los problemas de nivel 1 ( una sola operación) hasta los problemas con operaciones combinadas. Personalmente no soy partidario de volver a reescribir bajo el enunciado, aunque sea de una manera organizada, datos, pregunta y operaciones. No me parece suficiente reinterpretación del texto y, sobre todo, no apunta directamente a la solución del problema. Es más, suele ser un tiempo de escritura en la que se relaja el pensamiento y se aleja de la esencia del problema. Lo que sí permito y sugiero es utilizar el subrayado de datos y pregunta. El problema es que hay alumnos/as que al subrayar prácticamente tachan lo escrito. De cualquier manera, en vez de reescribir sin reinterpretar, prefiero que los/as alumnos/as revisen el texto del problema cuantas veces sea necesario... Lo que yo propongo, tal y como se ilustra en las imágenes al inicio del documento, es la expresión prealgebraica, sin números pero con signos, de la magnitud incógnita como resultado de una o varias operaciones entre otras magnitudes (explícitas o implícitas en el enunciado). Para ello permito que se utilice un lenguaje “telegráfico”, abreviaturas, omisión de preposiciones y conjunciones, etc... siempre que se pueda reinterpretar por alguien que lo lea... Evidentemente, podríamos hablar de varios niveles para estas expresiones prealgebraicas según se utilicen para expresar la estructura primaria o estructuras secundarias. Yo exijo, al menos, la correspondiente

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a la estructura primaria del problema que expresa claramente cómo se va a resolver el problema. Aquí intervienen habilidades relacionadas con el desarrollo de competencias tales como escribir, comunicar, representar, utilizar un lenguaje simbólico,...

En relación con saber extraer y expresar en forma de igualdad el razonamiento básico esencial o primordial, que es la idea directriz con la que se resuelve el problema, podemos integrar en nuestra programación las siguientes aplicaciones TIC:Cartulinas multiproblema_ICartulinas multiproblema_II

La siguiente fase en la resolución del problema tiene que ver con la utilización de un lenguaje formal y técnico, concretamente el lenguaje algebraico. Es la fase algebraica. Supone una traducción de la anterior en la que a cada magnitud presente en la expresión prealgebraica previa se le asigna bien un valor que aparece como dato en el problema o bien la expresión algebraica que permite calcular su valor a partir de datos explícitos en el problema. Todo ello conservando los signos de las operaciones que relacionan las magnitudes...El contexto de resolución de PAEV es el ideal para dar verdadero sentido a las operaciones indicadas y comprender lo natural de la jerarquía entre operaciones, el uso de paréntesis, etc... (Ver En busca del

significado. Operaciones combinadas en Primaria. ¿Por qué? ¿Para qué?)

En relación con la traducción de magnitudes expresadas verbalmente a expresiones algebraicas, en el contexto de resolución de PAEV, podemos integrar en nuestra programación las siguientes aplicaciones TIC:Razono y asocio.Asocia.PAEV de nivel 2.Completa y calcula.

¡Y ahora llegan los cálculos! La aplicación de este método difiere la fase de realización de los cálculos que llevan a la solución numérica del problema.¿O puede considerarse la propia expresión algebraica como solución? En cierto modo sí. Piénsese que se corresponde con una determinada secuencia de pulsaciones que en el teclado de una calculadora llevarían a mostrar la solución numérica. Pero, es más, todos los programadores- también los que desarrollamos contenidos educativos digitales basados en programación- utilizamos, tanto para datos como para soluciones, multitud de expresiones algebraicas. Es el procesador matemático de los ordenadores el que asigna los

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valores numéricos de las expresiones algebraicas manejadas. Así, pues, la fase de cálculo - aunque nos parezca chocante- es la menos relevante en el proceso de resolución.No soy para nada partidario de expresar los cálculos en forma de “cuentas verticales” organizadas unas al lado de otras. Por el contrario, defiendo la utilización de cálculos horizontales preferentemente mentales.

En relación con 3.-)

● Considero que un/a alumno/a comprende un problema cuando sabe expresarlo y comunicarlo sin utilizar número alguno, es decir, cuando sabe hacer explícitas las relaciones entre las magnitudes implicadas en el mismo. Es por ello que en el proceso de resolución, después de la lectura analitico sintética del enunciado, debe escribir la expresión prealgebraica, sin números pero con signos, de la magnitud incógnita como resultado de una o varias operaciones entre otras magnitudes (explícitas o implícitas en el enunciado). Ello le obliga en cierta manera a esforzarse en la fase de comprensión.

Se trata de un modelo de representación simbólica del problema al que se ajustan algunas heurísticas tales como analizar el problema, resolver un problema más sencillo, buscar pautas, dar el problema por resuelto, representar y organizar la información, inferencia, deducción, ensayo-error... Otros métodos defienden, como prioritario, el uso de heurísticos diferentes tales como dibujos, gráficos,...para la representación del problema, para poner de manifiesto datos y relaciones entre los mismos. Yo también soy partidario de la utilización de representaciones gráficas cuando no bloquean a los/as alumnos/as y facilitan el modelaje y la captación global del problema. Pienso, no obstante, que son más específicos - menos generales- que la expresión verbal del pensamiento y que su utilización no elude esta fase prealgebraica y simbólica (aunque no se verbalice). Así, por ejemplo, en problemas con fracciones y problemas con porcentajes, se utiliza un gráfico interactivo para modelar cada uno de los problemas propuestos.

● La expresión lingüística y algebraica de la estructura del problema

permite diferir la fase de realización de los cálculos ( hallar el valor de una determinada expresión algebraica). Ello contribuye a evitar numerosos fallos consecuencia de una excesiva prisa por realizar los cálculos numéricos que el/la alumno/a intuye que serán necesarios

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realizar. Permite, así mismo, mejorar notoriamente la organización de los elementos utilizados en la resolución, que se asemeja más a un esquema o mapa conceptual. La mejora de la organización repercute directamente en el orden, la claridad y facilidad para la revisión del proceso de resolución. Y, sobre todo, permite desde el principio abordar el problema sin perder la visión de conjunto, del todo. El resultado final es un todo que muestra las relaciones entre las partes. Muchos fallos se derivan de concentrarse en una parte y perder la visión del todo.

● El método exige, y hace visible, la correspondencia, uno a uno, entre significado y la expresión algebraica del mismo. Esto favorece, a su vez, mejorar el significado operacional, la interiorización de las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sus significados.

Otras consideraciones:

En relación con el abordaje de los PAEV desde las tipologías de problemas asociados a las estructuras aditiva y multiplicativa, podemos integrar en nuestra programación las siguientes baterías de problemas (formato .pdf): cambio aditivo /// combinación aditiva /// comparación aditiva /// igualación aditiva /// comparación multiplicativa /// factor multiplicativo /// producto cartesiano /// operaciones combinadas /// fracciones /// decimales /// decimales y porcentajes

En relación con el abordaje de los PAEV utilizando diferentes metamodelos (A, B y C) o modelos de RP, podemos integrar en nuestra programación las siguientes aplicaciones TIC: Escenas 1_A Escenas 1_B Escenas 1_CEscenas 2_A Escenas 2_B Escenas 2_C Recomiendo de manera especial estos otros recurso impresos (formato .pdf): Problemas Aritméticos Escolares. Metamodelos. Problemas_competencias.

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