DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO DINÁMICO …
45
DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO DINÁMICO DE UNA BICICLETA: APLICADO AL CICLISMO DE PISTA EN PYTHON. JULIÁN DAVID VERGARA RUIZ Proyecto de Grado Ingeniería Mecánica Diciembre de 2019
Transcript of DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO DINÁMICO …
DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN
MODELO DINÁMICO DE UNA BICICLETA:
APLICADO AL CICLISMO DE PISTA EN PYTHON.
JULIÁN DAVID VERGARA RUIZ
Proyecto de Grado
Ingeniería Mecánica
Diciembre de 2019
DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO DINÁMICO DE UNA
BICICLETA: APLICADO AL CICLISMO DE PISTA EN PYTHON.
Proyecto de Grado
Este documento fue presentado a la Universidad de los Andes para cumplir
los requerimientos para obtener el título de Ingeniero Mecánico
JULIÁN DAVID VERGARA RUIZ
AUTOR
ANDRÉS GONZÁLEZ MANCERA, PhD
PROFESOR ASOCIADO
ASESOR
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA
BOGOTÁ, COLOMBIA
DICIEMBRE DE 2019
AGRADECIMIENTOS:
Quisiera agradecer especialmente a mi familia, a mi mamá, mis abuelos maternos por
absolutamente todo lo que me han brindado en mi vida, su amor y su apoyo en todas las
decisiones que he tomado ha sido fundamental, sin estas personas seguramente no estaría
cumpliendo cada uno de mis sueños. A los amigos que el entorno de la universidad me ha
brindado, por sus enseñanzas y por los buenos momentos que tuve en esta etapa de mi vida.
También quiero agradecer a las personas con las que conviví estos cuatro años de Universidad por
hacerme sentir como en casa siempre.
A todos los profesores que han contribuido a mi formación no solamente profesional sino también
personal, desde mis profesores de preescolar hasta la universidad. Especialmente agradezco al
profesor Andrés González por cada uno de sus consejos durante el desarrollo del proyecto y
principalmente su guía en mi formación como profesional.
CONTENIDO
CAPITULO II: ANÁLISIS DINÁMICO SIMPLIFICADO DE UNA BICICLETA ........................................... 12
ESTADO ESTÁTICO: ....................................................................................................................... 14
BAJA VELOCIDAD ACELERADO: .................................................................................................... 14
SISTEMA ACELERADO: .................................................................................................................. 14
Potencia generada: ................................................................................................................... 14
Fuerza de tracción .................................................................................................................... 15
Transmisión de Potencia: ......................................................................................................... 16
ESTABILIDAD: ................................................................................................................................ 18
CAPITULO III: IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE BILLY FITTON & DIGBY SYMONS. .................. 20
MODELO MATEMÁTICO: .............................................................................................................. 20
SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO: .......................................................................................... 29
CONSTANTES DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO: .............................................................. 30
Geometría de la pista: .............................................................................................................. 30
Geometría del deportista y la bicicleta: ................................................................................... 30
Ángulo de giro 𝒌 ....................................................................................................................... 31
RESULTADOS: ................................................................................................................................ 32
CAPITULO IV: PYTHON DYNAMICS ................................................................................................... 37
MODULO PYDY: ............................................................................................................................ 37
Marco de Referencia: ............................................................................................................... 37
Cuerpo Rígido: .......................................................................................................................... 37
Inercia ....................................................................................................................................... 38
Velocidad lineal y angular ........................................................................................................ 39
Fuerzas actuantes ..................................................................................................................... 39
Creación Cuerpo Rígido: ........................................................................................................... 39
Método Kane ............................................................................................................................ 40
SOLUCIÓN NUMÉRICA: ................................................................................................................. 40
MODELO DESARROLLADO: ........................................................................................................... 41
CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ..................................................................... 44
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................... 45
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Dinámica simplificada de las fuerzas que actuan sobre el ciclista en un plano paralelo al
movimiento. ........................................................................................................................... 12
Figura 2 Registros de generación de potencia de un humano en diferentes condiciones [6]. ..... 15
Figura 3 Modelo de estabilidad en una curva para un ciclista [6]. ............................................. 18
Figura 4 Resultado del ángulo de estabilidad modelo simplificado. .......................................... 19
Figura 5 Fuerzas que actuan sobre el ciclista en un velodromo [1]. ........................................... 21
Figura 6 Estabilidad del ciclista en un velodromo, plano perpendicular al movimiento [1]. ....... 21
Figura 7 Coeficientes de arrastre aerodinamico [7]. ................................................................. 23
Figura 8 Comportamiento fuerzas sobre ruedas de la bicicleta [1]. ........................................... 24
Figura 9 Coeficientes de fricción para diferentes ruedas [8] ..................................................... 26
Figura 10 Cinematica del ciclista en un plano paralelo al movimiento [1]. ................................. 27
Figura 11 Geometria de un velodromo avalado por la Union Ciclistica Internacional [9]. ........... 30
Figura 12 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante. .................. 32
Figura 13 Comportamiento del ángulo de estabilidad en función del tiempo. ........................... 32
Figura 14 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable. ..................... 33
Figura 15 Comportamiento del ángulo de estabilidad en función del tiempo. ........................... 34
Figura 16 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable y variación del
coeficiente de arrastre aerodinámico. ..................................................................................... 34
Figura 17 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable y variación en el
coeficiente de fricción de las ruedas. ....................................................................................... 35
Figura 18 Comportamiento del ángulo de estabilidad del modelo de Fitton y Symons en función
de la velocidad. ...................................................................................................................... 35
Figura 19 Modelo de cuerpos rígidos del conjunto ciclista-bicicleta. ......................................... 41
Figura 20 Expresión de la energía cinetica de los cuerpos rigidos evaluada por PyDy. ............... 42
Figura 21 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante. .................. 42
Figura 22 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante haciendo uso
de la dinámica de cuerpos rígidos PyDy. .................................................................................. 43
11
CAPITULO I: RESUMEN
Durante los últimos años, el ciclismo en Colombia ha adquirido una importancia significativa
como consecuencia del alto rendimiento que han presentado los ciclistas colombianos a
nivel mundial. Actualmente, a nivel mundial, la exactitud de los datos recopilados durante
las competencias y los entrenamientos ha motivado el desarrollo de modelos físicos y
matemáticos cada vez más precisos aplicados al ciclismo. Es por esta razón, que se vuelve
importante iniciar un proceso tecnológico encaminado a la mejora del rendimiento
deportivo de los ciclistas colombianos.
Este proyecto busca contribuir en algún momento a partir de la investigación y del uso de
las herramientas computacionales al desarrollo del ciclismo en Colombia. Se desarrollo una
investigación en torno al modelo matemático de Billy Fitton y Digby Symons [1] donde se
plantea el comportamiento de un ciclista en un velódromo. Se realizó además la
implementación de dicho modelo con el lenguaje de programación de Python, haciendo
especial énfasis en la investigación del paquete de Multibody Dynamics with Python (PyDy)
[2].
En el proyecto se planteó un modelo simplificado de la dinámica de un ciclista a partir de la
dinámica vehicular y su respectiva relación con la bicicleta. A partir de dicho modelo se
inició el análisis del modelo de Fitton y Symons, planteando un análisis de cadena de cada
uno de los componentes físicos que se desarrollan en el modelo. Además, se realizaron
comparaciones con modelos aplicados al ciclismo como el presentado por Dale Peterson [3]
donde se realiza la validación de un modelo creado a partir de los parámetros de Meiijard
[4] para los cuerpos rígidos que conforman la bicicleta. Cada uno de estos modelos
contribuyo al desarrollo de este proyecto a partir de diferentes relaciones que se
encontraron dentro de los mismos y que finalmente se plasmaron en el modelo
simplificado.
Finalmente se realizó una sinopsis del paquete de PyDy con lo cual se busca incentivar a
nuevos proyectos involucrados con la dinámica de cuerpos rígidos a partir del análisis
computacional.
12
CAPITULO II: ANÁLISIS DINÁMICO SIMPLIFICADO DE UNA BICICLETA
Como se mencionó anteriormente con el objetivo de mejorar el rendimiento de un
profesional sobre la bicicleta es necesario dimensionar y analizar el efecto de cada una de
las fuerzas que actúan sobre el ciclista y como estas influyen en la actuación del mismo. Por
otro lado, también es importante tener en cuenta como se relacionan los modelos aplicados
a los vehículos automotores con las bicicletas, con lo cual se puede desarrollar un modelo
simplificado del accionar de un ciclista.
A partir de los fundamentos de dinámica vehicular de Thomas D. Gillespie [5] se plantea el
siguiente esquemático respecto a las fuerzas que actúan sobre la bicicleta:
Figura 1 Dinámica simplificada de las fuerzas que actuan sobre el ciclista en un plano paralelo al movimiento.
W es el peso de la bicicleta que actúa en el centro de gravedad y está dada por:
𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑔
( 1 )
Al presentarse la inclinación 𝜃 sobre la trayectoria del ciclista, se presentan dos
componentes del peso:
13
𝑊𝑦 = 𝑊 ∗ cos(𝜃)
( 2 )
𝑊𝑥 = 𝑊 ∗ sin(𝜃) ( 3 )
Las fuerzas normales que se ejercen en las ruedas de la bicicleta son 𝑊𝑓 y 𝑊𝑟, las cuales
para cargas estáticas se encuentran al realizar la suma de momentos con respecto al punto
A y al punto B. El término 𝑊
𝑔𝑎𝑥 es relacionado con la fuerza inercial equivalente.
El término 𝐷𝐴 representa la fuerza de fricción dada como una función de la velocidad del
ciclista y la velocidad del aire:
𝐷𝐴 =1
2∗ 𝐶𝑑𝐴 ∗ 𝜌 ∗ (𝑣𝐶𝐺 − 𝑣𝑎𝑖𝑟)
2
( 4 )
Es importante aclarar que los momentos generados en sentido anti horario son positivos.
∑𝑀𝐴 = 0
( 5 )
𝑊𝑟 ∗ 𝐿 +𝑊𝑦 ∗ 𝑐 +𝑊𝑥 ∗ ℎ + 𝐷𝐴 ∗ ℎ𝐴 +𝑊
𝑔𝑎𝑥 ∗ ℎ = 0
( 6 )
𝑊𝑟 =𝑊𝑐𝑜𝑠(𝜃) ∗ 𝑐 +𝑊𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∗ ℎ + 𝐷𝐴 ∗ ℎ𝐴 +
𝑊𝑔 𝑎𝑥 ∗ ℎ
𝐿
( 7 )
∑𝑀𝐵 = 0 ( 8 )
𝑊𝑓 ∗ 𝐿 −𝑊𝑦 ∗ 𝑏 +𝑊𝑥 ∗ ℎ + 𝐷𝐴 ∗ ℎ𝐴 +𝑊
𝑔𝑎𝑥 ∗ ℎ = 0
( 9 )
𝑊𝑓 =𝑊𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∗ ℎ −𝑊𝑐𝑜𝑠(𝜃) ∗ 𝑏 + 𝐷𝐴 ∗ ℎ𝐴 +
𝑊𝑔 𝑎𝑥 ∗ ℎ
𝐿
( 10 )
14
ESTADO ESTÁTICO:
Las fuerzas de reacción del conjunto de bicicleta y ciclista en estado estático al nivel del
piso son:
𝑊𝑓𝑠 = 𝑊 ∗𝑏
𝐿
( 11 )
𝑊𝑟𝑠 = 𝑊 ∗𝑐
𝐿
( 12 )
BAJA VELOCIDAD ACELERADO:
Al tener el sistema acelerando a una baja velocidad las cargas en las ruedas se comportan
de la siguiente manera:
𝑊𝑓 =−𝑊𝑔 𝑎𝑥 ∗ ℎ +𝑊 ∗ 𝑏
𝐿= 𝑊 ∗ (
𝑏
𝐿−𝑎𝑥𝑔∗ℎ
𝐿) = 𝑊𝑓𝑠 −𝑊
𝑎𝑥𝑔∗ℎ
𝐿
( 13 )
𝑊𝑟 =
𝑊𝑔 𝑎𝑥 ∗ ℎ +𝑊 ∗ 𝑐
𝐿= 𝑊 ∗ (
𝑎𝑥𝑔∗ℎ
𝐿+𝑐
𝐿) = 𝑊𝑟𝑠 +𝑊
𝑎𝑥𝑔∗ℎ
𝐿
( 14 )
Dado esto, cuando el ciclista realiza un aumento en la velocidad, la carga es transmitida de
la rueda delantera a la rueda trasera en proporción a la aceleración y a la razón entre la
altura del CG y la distancia entre las dos ruedas.
SISTEMA ACELERADO:
La aceleración de la bicicleta presentada en el modelo desarrollado en la Figura 1 está
directamente relacionado con la potencia que produce el deportista durante el ejercicio.
Potencia generada:
15
Al igual que un motor de combustión interna el cuerpo humano es capaz de producir una
potencia a partir del movimiento muscular haciendo uso de la energía adquirida debido al
consumo de alimentos y bebidas. En el caso del ciclismo, la transmisión de potencia se
realiza a través de los pedales, a través de un torque generado que se ejerce en la rueda
trasera.
Figura 2 Registros de generación de potencia de un humano en diferentes condiciones [6].
En la Figura 2 se presenta un resumen de las potencias generadas por el cuerpo humano
especialmente haciendo uso de la bicicleta en relación a la duración del ejercicio donde se
genera dicha potencia. Se destacan los valores generados por Miguel Induráin en el Tour de
Francia en 1995 dada la duración cercana a una hora generando una potencia promedio de
500 W y Eddy Merckx en 1975.
Fuerza de tracción
A partir de la potencia generada es requerido encontrar la fuerza de tracción que se produce
debido al torque que se presenta en el momento de pedalear, con lo cual:
16
𝑀 ∗ 𝑎𝑥 = 𝐹𝑥 ( 15 )
Donde:
𝑀: Masa del conjunto de bicicleta y ciclista.
𝑎𝑥: Aceleración en la dirección de movimiento
𝐹𝑥: Fuerza de tracción generada en la rueda.
Con lo cual a partir de la ecuación ( 15 ) la aceleración está dada por:
𝑎𝑥 =𝐹𝑥𝑀
( 16 )
Transmisión de Potencia:
En el caso de la trasmisión presentada en un vehículo propulsado con un motor de
combustión interna, se presenta:
𝑇𝑎 = 𝐹𝑥 ∗ 𝑟 + 𝐼𝑤 ∗ 𝛼𝑤 = (𝑇𝑑 − 𝐼𝑑 ∗ 𝛼𝑑) ∗ 𝑁𝑓
( 17 )
Donde:
𝑇𝑎: Torque en el eje de las ruedas.
𝑟: Radio de las ruedas.
𝐼𝑊: Inercia rotacional de las ruedas y del eje de las ruedas.
𝛼𝑤: Aceleración angular de las ruedas.
𝐼𝑑: Inercia rotacional del eje de transmisión.
𝛼𝑑: Aceleración angular del eje de transmisión.
𝑁𝑓: Razón de transmisión final.
𝑁𝑡: Razón de la transmisión del vehículo.
Las aceleraciones angulares están relacionadas por las razones de transmisión:
𝛼𝑑 = 𝑁𝑓 ∗ 𝛼𝑤
( 18 )
𝛼𝑒 = 𝑁𝑡 ∗ 𝛼𝑑 = 𝑁𝑡 ∗ 𝑁𝑓 ∗ 𝛼𝑤 ( 19 )
17
Con lo cual a partir de la ecuación ( 17 ) la fuerza de tracción es:
𝐹𝑥 =𝑇𝑒 ∗ 𝑁𝑡𝑓
𝑟− [(𝐼𝑒 + 𝐼𝑡) ∗ 𝑁𝑡𝑓
2+ 𝐼𝑑𝑁𝑓
2 + 𝐼𝑤] ∗𝑎𝑥𝑟2
( 20 )
Donde:
𝑁𝑡𝑓: Razón de transmisión combinada.
𝑇𝑒: Torque entregado por la fuente de potencia.
En este punto se involucra la eficiencia de transmisión producto de las pérdidas que se
presentan en los ejes de transmisión y en la caja de reducción. En este punto es importante
denotar como para el vehículo de combustión interna se presentan eficiencias de
transmisión del 80% al 90% mientras en la transmisión presentada en una bicicleta de alto
rendimiento se presentan eficiencias cercanas al 98%. Dada esta eficiencia de transmisión
la ecuación 20 queda convertida en:
𝐹𝑥 =𝑇𝑒 ∗ 𝑁𝑡𝑓 ∗ 𝜂𝑡𝑓
𝑟− [(𝐼𝑒 + 𝐼𝑡) ∗ 𝑁𝑡𝑓
2+ 𝐼𝑑𝑁𝑓
2 + 𝐼𝑤] ∗𝑎𝑥𝑟2
( 21 )
El primer término hace referencia al torque multiplicado por la razón de transmisión total.
Este representa la fuerza de tracción disponible en estado estático, con la cual se busca
superar las cargas aerodinámicas y de fricción a las que está expuesto el vehículo, así mismo
la fuerza con la cual acelera a través de una inclinación dada.
El segundo término de la ecuación ( 21 ) representa las pérdidas que se dan en la fuerza de tracción debido a la inercia de los componentes que rotan en el vehículo. Ahora bien, en el caso de la bicicleta la relación de transmisión se ve simplificada a la
relación de plato y piñón que se configure en la misma con lo cual la ecuación ( 21 ) para
una bicicleta es:
𝐹𝑥 =𝑇 ∗ 𝑁𝑡 ∗ 𝜂𝑡
𝑟− [𝐼𝑒 ∗ 𝑁𝑡
2 + 𝐼𝑤] ∗𝑎𝑥𝑟2
( 22 )
A partir de la fuerza de tracción es posible conocer el comportamiento de la aceleración de
la bicicleta, a partir de la sumatoria de fuerzas en la dirección del ciclista se tiene que:
𝑀 ∗ 𝑎𝑥 = 𝐹𝑥 − 𝑅𝑥 − 𝐷𝐴 − 𝑊 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
( 23 )
18
Al relacionar la fuerza de tracción en la ecuación ( 23 ):
(𝑀 +𝑀𝑟) ∗ 𝑎𝑥 =𝑇 ∗ 𝑁𝑡 ∗ 𝜂𝑡
𝑟− 𝑅𝑥 − 𝐷𝐴 −𝑊 ∗ sin(𝜃) ( 24 )
Donde:
𝑀𝑟: Masa equivalente de los componentes en rotación.
ESTABILIDAD:
Observando el modelo dinámico que se debe emplear en el momento de modelar el
comportamiento del conjunto bicicleta – ciclista es importante describir las fuerzas que
actúan en la estabilidad del ciclista que se observa principalmente en el momento de
realizar un giro como se observa en la Figura 3.
Figura 3 Modelo de estabilidad en una curva para un ciclista [6].
En esta figura se puede observar el punto donde se sitúa el centro de masa COM del ciclista
mientras realiza el giro. Además, se observa las fuerzas producidas por la curva, la fuerza
centrípeta dada por:
𝐹𝑐 =𝑚𝑉2
𝑅𝑇
( 25 )
Para generar el balance, el centro de masa debe ubicarse con un ángulo inferior al punto de
apoyo de la rueda, este ángulo está dado por:
𝐴𝑙 = tan−1 (
𝑉2
𝑔 ∗ 𝑅𝑇)
( 26 )
19
En la Figura 4 se observa el comportamiento del ángulo de estabilidad (𝐴𝐿) con relación a
la velocidad, donde se presenta un radio de curvatura (𝑅𝑇) constante.
Figura 4 Resultado del ángulo de estabilidad modelo simplificado.
20
CAPITULO III: IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE BILLY FITTON & DIGBY
SYMONS.
A partir de los nuevos instrumentos que permiten conocer la potencia generada por un
deportista en diferentes intervalos de tiempo es posible conocer el comportamiento que
este desarrollara dentro de la prueba a partir de la dinámica del conjunto de ciclista y
bicicleta. Cada uno de los modelos desarrollados en los últimos años ha permitido la
ampliación de los campos de investigación en torno al ciclismo, durante el desarrollo de
este proyecto se tuvo en cuenta un modelo especifico direccionado a las pruebas
desarrolladas en un velódromo, modelo desarrollado por Billy Fitton y Digby Symons.
MODELO MATEMÁTICO:
El modelo matemático de Billy Fitton y Digby Symons parte de un balance de energía para
un periodo de tiempo 𝛿𝑡 dado por:
𝜂 ∗ 𝑃𝑖𝑛 ∗ 𝛿𝑡 = Δ𝑇 + Δ𝑉 + 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠
( 27)
Donde:
𝜂: Eficiencia de la transmisión de la bicicleta.
𝑃𝑖𝑛: Potencia de entrada generada por el deportista.
Δ𝑇: Cambio en la energía cinética.
Δ𝑉: Cambio en la energía potencial.
𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠: Energía disipada debido a las fuerzas de arrastre.
21
Figura 5 Fuerzas que actuan sobre el ciclista en un velodromo [1].
Las fuerzas que actúan sobre el ciclista en un plano perpendicular a la superficie de contacto
en este modelo se pueden observar en la Figura 5. Además, las fuerzas que actúan en un
plano perpendicular al movimiento se pueden observar en la Figura 6.
Figura 6 Estabilidad del ciclista en un velodromo, plano perpendicular al movimiento [1].
Para la Figura 5 y la Figura 6 se presentan diferentes relaciones de variables que actúan en
el modelo matemático que plantea Fitton & Symons. En la Figura 6 se presenta el análisis
de estabilidad de este modelo, lo cual determina el ángulo de inclinación 𝜃𝐿 a partir de la
22
fuerza centrípeta que actúa en una dirección perpendicular al movimiento del deportista y
al eje de rotación con respecto al movimiento dentro del velódromo a un ángulo 𝜅 que para
la implementación se toma como constante en función de la posición en el velódromo. La
fuerza centrípeta está dada por:
𝐹𝑐 =𝑚 ∗ 𝑣𝐶𝐺
2
𝑅𝐶𝐺
( 28)
Donde 𝑅𝐶𝐺 representa el radio de centro de gravedad del ciclista con respecto al eje de
rotación y está dado por:
𝑅𝐶𝐺 = 𝑅𝑤 − ℎ𝐶𝐺 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜃 − 𝜅) ( 29)
En el cual 𝑅𝑤 representa el radio de curvatura del punto de apoyo de la rueda, el cual se
asume constante para cada instante de tiempo. Así mismo la altura del centro de gravedad
del ciclista ℎ𝐶𝐺 es considerada constante en todo el trayecto. Con lo cual se asume que la
posición del centro de gravedad varia en relación a la variación del ángulo de inclinación 𝜃𝐿
y el ángulo 𝜅
En el modelo se define el ángulo de balance 𝜑 como:
𝜑 = 𝜃 − 𝛽 ( 30)
Donde 𝛽 representa el ángulo de inclinación de la pista, el cual está definido a partir de la
geometría de la misma.
A partir del balance de fuerzas se tiene:
𝜃𝐿 = 𝑡𝑎𝑛−1 (
𝐹𝑥𝐹𝑦)
( 31)
Donde:
𝐹𝑥 = 𝐹𝑐 ∗ cos(𝜅) + 𝐹𝑑 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜁) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛽) ( 32)
𝐹𝑦 = 𝐹𝑤 − 𝐹𝑐 ∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜅) − 𝐹𝑑 ∗ sin(𝜁) ∗ sin(𝛽) ( 33)
23
Para las cuales se enmarcan las diferentes fuerzas que actúan sobre el ciclista en
movimiento, la fuerza de arrastre aerodinámico 𝐹𝑑, el peso del conjunto ciclista-bicicleta 𝐹𝑤
que está dada por:
𝐹𝑤 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜆) ( 34)
Para 𝐹𝑑 se tiene en cuenta el ángulo 𝜁 que representa la dirección en la cual actúa el viento
respecto a la dirección de movimiento del ciclista, la magnitud de la fuerza es:
𝐹𝑑 =1
2∗ 𝜌 ∗ 𝐶𝑑 ∗ 𝐴|𝑣𝑑/𝑎𝑖𝑟𝑒|
2
( 35)
Para la implementación de este modelo la velocidad del aire se considera constante para
el tiempo de la prueba:
𝑣𝑑/𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝑣𝐶𝐺 − 𝑣𝑎𝑖𝑟𝑒 ( 36)
Las constantes del coeficiente de arrastre aerodinámico 𝐶𝑑𝐴 fue tomado del análisis
realizado por Polanco, Fuentes, Porras, Castiblanco, Uribe, Suarez, Muñoz plasmado en el
artículo Methodology for the estimation of the aerodynamic drag parameters of cyclists, y
cuyos resultados se observan en la Figura 7.
Figura 7 Coeficientes de arrastre aerodinamico [7].
24
Ahora bien, a partir de este balance de fuerzas se obtiene una formula iterativa para 𝜃
dada por:
𝜃𝑛+1 = tan−1
(
𝑚 ∗ 𝑣𝐶𝐺2
𝑅𝑤 − ℎ𝐶𝐺 ∗ sin(𝜃𝑛 − 𝜅)∗ cos(𝜅) + 𝐹𝑑 ∗ sin(𝜁) ∗ cos(𝛽)
𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos(𝜆) −𝑚 ∗ 𝑣𝐶𝐺
2
𝑅𝑤 − ℎ𝐶𝐺 ∗ sin(𝜃𝑛 − 𝜅)∗ sin(𝜅) − 𝐹𝑑 ∗ sin(𝜁) ∗ sin(𝛽))
( 37 )
Sin embargo, como se mencionó anteriormente para el modelo se asume que la velocidad
del aire es paralela a la velocidad del ciclista, es decir 𝜁 = 0 con lo cual la formula del ángulo
de estabilidad se reduce a:
𝜃𝑛+1 = tan−1
(
𝑚 ∗ 𝑣𝐶𝐺2
𝑅𝑤 − ℎ𝐶𝐺 ∗ sin(𝜃𝑛 − 𝜅)∗ cos(𝜅)
𝑚 ∗ 𝑔 ∗ cos(𝜆) −𝑚 ∗ 𝑣𝐶𝐺
2
𝑅𝑤 − ℎ𝐶𝐺 ∗ sin(𝜃𝑛 − 𝜅)∗ sin(𝜅)
)
( 38)
Como se observa en la Figura 5 es importante realizar un análisis de la fuerza de fricción
que influyen en el movimiento del ciclista, con lo cual se hace un análisis simplificado de los
ángulos de deslizamiento y de dirección del ciclista. Para lo cual se emplea las fuerzas de
reacción en las ruedas que están dadas por:
𝑃 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 = √𝐹𝑁2 + 𝐹𝑠2
( 39)
Donde 𝐹𝑁 y 𝐹𝑠 son la fuerza normal y la fuerza lateral respectivamente y actúan sobre la
bicicleta como se observa en la Figura 8 en una vista superior a el plano de movimiento. En
la
Figura 8 Comportamiento fuerzas sobre ruedas de la bicicleta [1].
25
Con lo cual se pueden calcular la fuerza normal y la fuerza lateral:
𝐹𝑁 = 𝑃 ∗ cos(𝜑) = 𝐹𝑥 ∗ sin(𝛽) + 𝐹𝑦 ∗ cos(𝛽) ( 40)
𝐹𝑆 = 𝑃 ∗ sin(𝜑) = 𝐹𝑥 ∗ cos(𝛽) − 𝐹𝑦 ∗ sin(𝛽) ( 41)
Las componentes de cada fuerza actúan de manera diferente en la rueda frontal y en la
rueda trasera.
𝐹𝑁2 =𝐹𝑁 ∗ 𝑎 + (𝐹𝑑 ∗ cos(𝜁) + 𝐹𝜆) ∗ ℎ𝐶𝐺 ∗ cos(𝜑)
𝑎 + 𝑏
( 42)
𝐹𝑁1 = 𝐹𝑁 − 𝐹𝑁1 ( 43)
Donde 𝐹𝜆 representa la componente del peso en la dirección de movimiento:
𝐹𝜆 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin(𝜆)
( 44)
Mientras que la fuerza lateral está dada por:
𝐹𝑆2 =𝐹𝑆 ∗ 𝑎 + (𝐹𝑑 ∗ cos(𝜁) + 𝐹𝜆) ∗ ℎ𝐶𝐺 ∗ sin(𝜑)
𝑎 + 𝑏
( 45)
𝐹𝑆1 = 𝐹𝑆 − 𝐹𝑆1 ( 46)
A partir de lo cual se pueden calcular los ángulos de deslizamiento y de dirección del ciclista.
Además, con las componentes de las fuerzas normales se obtiene la fuerza de fricción
resultante en el movimiento dada por:
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅1 + 𝐹𝑅2 = 𝐹𝑁1 ∗ 𝐶𝑟𝑟1 + 𝐹𝑁2 ∗ 𝐶𝑟𝑟2 ( 47)
Donde Crr1 y Crr2 representan los coeficientes de fricción de la llanta frontal y la llanta
trasera respectivamente. Para esta implementación los coeficientes fueron tomados de
COMPARISON OF TYRE ROLLING RESISTANCE FOR DIFFERENT MOUNTAIN BIKE TYRE
DIAMETERS AND SURFACE CONDITIONS, donde Wynand J.vdM. STEYN & Janike WARNICH
[8] realizan un estudio en relación a los diferentes coeficientes de fricción de diferentes
ruedas cuyos resultados se observan en la Figura 9.
26
Figura 9 Coeficientes de fricción para diferentes ruedas [8]
Ahora retomando la ecuación ( 27) se analizan los cambios de energía potencial y cinética
del ciclista. Para el modelo la energía potencial 𝑉 es:
𝑉 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑧 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ (ℎ𝑤 + ℎ𝐶𝐺 ∗ cos(𝜃)) ( 48)
Donde las variaciones dependen exclusivamente del comportamiento del ángulo de
estabilidad y la altura del centro de gravedad.
Mientras la energía cinética está dada por:
𝑇 = 2 ∗ (1
2∗ 𝑚𝑤 ∗ 𝑣𝑐𝑤
2) + (1
2∗ 𝑚𝑐 ∗ 𝑣𝑐
2) + 2 ∗ (1
2∗ 𝐼𝑤 ∗ 𝜔𝑤
2)
+ (1
2∗ 𝑚𝑐 ∗ 𝜔𝑐
2)
( 49)
Donde 𝑚𝑤 e 𝐼𝑤 representan la masa de la rueda y el momento de inercia de la misma, 𝑣𝑐𝑤
y 𝜔𝑤 son la velocidad lineal de la rueda y la velocidad angular. Así mismo, Donde 𝑚𝑐 e 𝐼𝑐
representan la masa del conjunto bicicleta ciclista y el momento de inercia del mismo, 𝑣𝑐 y
𝜔𝑐 son la velocidad lineal del ciclista y la velocidad angular del mismo como se observa en
la Figura 10.
27
Figura 10 Cinematica del ciclista en un plano paralelo al movimiento [1].
Finalmente, la energía cinética puede definirse a partir de la velocidad del centro de
gravedad:
𝑇 = 𝐾 ∗ 𝑣𝐶𝐺2 ( 50)
Donde como se mencionó en el capítulo II se presenta una masa equivalente producto de
los elementos que rotan en la bicicleta, en este caso esta masa equivalente está dada por:
𝐾 = 𝑚𝑤 ∗ (𝑅𝑐𝑤𝑅𝐶𝐺
)2
+1
2∗ 𝑚𝑐 ∗ (
𝑅𝑐𝑅𝐶𝐺
)2
+ 𝐼𝑤1 ∗ (sin(Ψ)
𝑅𝐶𝐺−
𝑅𝑤𝑅𝐶𝐺 ∗ 𝑟
)
2
+1
2∗ 𝐼𝑐1 ∗ (
𝑠𝑖𝑛(Ψ)
𝑅𝐶𝐺)
2
+ (𝐼𝑤2 +1
2∗ 𝐼𝑐2) ∗ (
𝑐𝑜𝑠(Ψ)
𝑅𝐶𝐺)
2
( 51)
Ψ = 𝜃 − 𝜅 ( 52)
A partir de lo cual se plantea la solución numérica al sistema dada por los cambios de
energía a través del tiempo:
𝑑𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑑𝑡
= 𝐹𝑑 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜁) + 𝐹𝑅 ( 53)
28
𝑑𝑉
𝑑𝑡= 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ (𝑠𝑖𝑛(𝜆) − ℎ𝐶𝐺 ∗
𝑑𝜃
𝑑𝑡∗ 𝑠𝑖𝑛(𝜃))
( 54)
Con lo cual a partir de la ecuación ( 27) se tiene:
𝑃𝑇 =𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝜂 ∗ 𝑃𝑖𝑛 −
𝑑𝑉
𝑑𝑡−𝑑𝐸𝑑𝑖𝑠𝑠𝑑𝑡
( 55)
Si se asume K como constante en cada instante de tiempo:
𝑃𝑇 = 𝐾 ∗𝑑
𝑑𝑡∗ (𝑣𝐶𝐺
2) = 2 ∗ 𝐾 ∗ 𝑣𝐶𝐺 ∗ 𝑎𝐶𝐺
( 56)
Dado esto la aceleración del centro de gravedad es:
𝑎𝐶𝐺 =𝑃𝑇
2𝐾 ∗ 𝑣𝐶𝐺
( 57)
A partir de la ecuación ( 57) se puede omitir la discontinuidad en la función en el momento
inicial cuando 𝑣𝐶𝐺es igual cero.
𝑎𝐶𝐺 = 𝑄 ∗ (𝑅𝑐𝑤
𝐾 ∗ 𝑅𝐶𝐺 ∗ 𝑟 ∗ 𝐺)
( 58)
Donde 𝑄 hace referencia al torque inicial, 𝑟 el radio de la rueda y 𝐺 la razón de transmisión
de la bicicleta. Es importante denotar la relación que se tiene entre el modelo realizado a
partir del modelo vehicular en el capítulo II y la magnitud de la aceleración que se obtiene
en el modelo matemático de Billy Fitton y Digby Symons.
29
SOLUCIÓN NUMÉRICA DEL MODELO:
La solución del modelo se realizó a partir del método numérico de Euler para ecuaciones de
segundo orden. A partir de la ecuación diferencial relacionada a la aceleración del cuerpo
se tiene:
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2= 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑣)
( 59)
Donde se tiene a la aceleración 𝒅𝟐𝑥
𝑑𝑡2 como función del tiempo la posición y la velocidad. Es
importante hacer énfasis en como la relación de la ecuación ( 58) obliga a realizar
iteraciones de los valores del 𝑅𝐶𝐺 y 𝑅𝑐𝑤 descritos en el modelo. Principalmente se debe
valorar el cambio de las constantes geométricas en función de la posición en la que se
ubique el ciclista en cada instante de tiempo.
La solución numérica está dada por las ecuaciones, es importante aclarar que el método de
Euler no presenta una aproximación completa a las ecuaciones.
𝑥(𝑛 + 1) = 𝑥(𝑛) + ℎ ∗ 𝑣(𝑛) ( 60)
𝑣(𝑛 + 1) = 𝑣(𝑛) + ℎ ∗ 𝑓(𝑡(𝑛), 𝑥(𝑛), 𝑣(𝑛)) ( 61)
𝑡(𝑛 + 1) = 𝑡 + ℎ ( 62)
Donde:
ℎ =𝑡𝑓 − 𝑡𝑜
𝑛
( 63)
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2(𝑛) = 𝑓(𝑡(𝑛), 𝑥(𝑛), 𝑣(𝑛))
( 64)
Con lo cual en el momento de realizar la implementación se deben mantener relaciones
de tiempo ℎ menores a 2s para disminuir el margen de error en la implementación. Para la
implementación se restringe dicha relación a la cantidad de datos que genera el medidor
de potencia.
30
CONSTANTES DE LA IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO:
Geometría de la pista:
Para la implementación de este modelo se usaron los datos geométricos estándar de un
velódromo reglamentado por la unión ciclística internacional, como el representado en la
Figura 11, donde los ángulos en los peraltes se estiman en 42° y en las zonas de rectas del
velódromo 12°. Además, se tiene un recorrido total en cada vuelta del circuito de 250 m y
la inclinación del punto de apoyo de la rueda es 0° en todo el trayecto. Para los radios de
giro que se presentan en la pista se estimaron en 18 m debido a la falta de mediciones
exactas en relación a esta variable.
Figura 11 Geometria de un velodromo avalado por la Union Ciclistica Internacional [9].
Geometría del deportista y la bicicleta:
Es importante aclarar que al tener en cuenta el alcance del proyecto no se realizan
mediciones en campo en relación a la potencia del ciclista como se mencionó anteriormente
ni la medición de variables como momentos de inercia, altura del centro de gravedad y
dimensiones de la bicicleta.
31
Ángulo de giro 𝒌
Se realiza un capítulo aparte en la estimación del ángulo 𝜅 debido a la dificultad que se
presentó en el desarrollo del proyecto con respecto al cálculo de dicho ángulo.
En primer lugar, se demostró que a partir de la ecuación del radio de centro de gravedad
esta permitía deducir que dicho ángulo depende de la posición que tome el ciclista sobre la
bicicleta, con lo cual se mostró que en las rectas el momento angular reduce su magnitud a
0, dado esto el ángulo 𝜅 es igual a 0 en estos puntos. Por otro lado, para las curvas se realizó
una iteración con respecto a los resultados mostrados por Fitton y Symons en su artículo,
donde se muestra el comportamiento del ángulo de estabilidad 𝜃 en relacion a la velocidad
en un peralte, con lo cual se encontró que para un radio de curvatura instantáneo para ese
punto de la pista 𝑘 es igual 8°.
32
RESULTADOS:
Se realizaron diferentes implementaciones con pequeños cambios en las variables
geométricas del ciclista, así como cambios en la potencia de entra del mismo como se
muestra a continuación.
Figura 12 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante.
Figura 13 Comportamiento del ángulo de estabilidad en función del tiempo.
33
En la Figura 12 y la Figura 13 se observan los resultados obtenidos para una potencia
constante de 380 W con lo cual se analizan los cambios de velocidad producidos debido a
los peraltes de la pista. Estos cambios de velocidad se presentan de manera periódica en
función del tiempo, debido al proceso de integración realizado se genera un cambio brusco
debido a la solución de la ecuación diferencial que tiene en cuenta únicamente la primera
derivada de la ecuación. En la Figura 13 se muestra el comportamiento del ángulo de
estabilidad y como este va variando en función de la velocidad y la posición en la pista
debido a los cambios en 𝜅.
Figura 14 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable.
34
Figura 15 Comportamiento del ángulo de estabilidad en función del tiempo.
La Figura 14 y la Figura 15 muestran la implementación del modelo para una potencia
variable entre 360 W y 400 W, con lo cual se estima el rendimiento de un ciclista en
condiciones normales. Para la primera implementación se usó el coeficiente de arrastre
aerodinámico promedio del estudio mencionado con anterioridad, 𝐶𝑑𝐴igual a 0.4 y
coeficientes de fricción para la rueda delantera y la rueda trasera de 0.02 y 0.015
respectivamente, coeficientes tomados de [8].
Figura 16 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable y variación del coeficiente de arrastre aerodinámico.
35
Figura 17 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia variable y variación en el coeficiente de fricción de las ruedas.
Por otro lado, para la Figura 16 se realizó una variación en el 𝐶𝑑𝐴, se utilizó un coeficiente
de 0.6 con lo cual se observó una disminución en las velocidades del ciclista en cerca de 2
km/h. para la Figura 17 se realizaron cambios en el coeficiente de fricción de las ruedas, se
disminuyeron a 0.01 para ambas ruedas, mientras el coeficiente de arrastre aerodinámico
se mantuvo constante en relación a la segunda implementación. Se observaron cambios en
la velocidad positivos cercanos a 2.5 km/h, una mejora cercana al 5%.
Figura 18 Comportamiento del ángulo de estabilidad del modelo de Fitton y Symons en función de la velocidad.
36
Por último, se presentan los resultados de los ángulos 𝜃 en la Figura 18. Se puede observar
como en la Figura 13 y la Figura 15 el ángulo de estabilidad se presenta con valores cercanos
a los mostrados en la Figura 18, ángulos que oscilan entre los 50° y 60°. Además, se observa
un comportamiento similar al mostrado en el artículo de Fitton y Symons, mostrando en
parte la validez de la implementación.
37
CAPITULO IV: PYTHON DYNAMICS
MODULO PYDY:
Durante el desarrollo del proyecto se implementaron diferentes funciones del paquete de
Python PyDy [2] y Sympy [10]. Python Dynamics (PyDy) permite involucrar las variables
dinámicas de un cuerpo rígido, para obtener una ecuación de movimiento con la cual se
obtiene una solución haciendo uso de métodos de integración sofisticados. Se deben en
tener cuenta un gran número de funciones debido a las diferentes variables dinámicas que
actúan sobre un cuerpo y aún más la integración de varios cuerpos como el modelo que se
desarrolló durante el proyecto.
Marco de Referencia:
El marco de referencia se refiere a la posición del origen dentro de un espacio vectorial, con
lo cual se van a ubicar los diferentes puntos de los cuerpos, centros de gravedad, puntos
donde interactúan las fuerzas, entre otros. Dentro de PyDy se utiliza la función
ReferenceFrame para crear un marco de referencia. Este marco de referencia contiene a los
vectores 𝑥, 𝑦 y 𝑧 así como velocidades traslacionales y angulares con relación a otros marcos
de referencia. Se pueden crear diferentes marcos de referencia a partir de uno original,
conociendo los ángulos de rotación respecto al primero.
El marco de referencia nos permite crear diferentes vectores en relación a dicho marco
como se observa en la ecuación ( 65) donde 𝑎 es un vector con componentes en 𝑥, 𝑦 y 𝑧.
Este vector contiene todas las propiedades de un vector en la mecánica clásica, magnitud,
dirección y se pueden realizar operaciones entre diferentes vectores como productos
escalares y vectoriales.
𝑎 = 𝑚 ∗ 𝑁. 𝑥 + 𝑛 ∗ 𝑁. 𝑦 + 𝑝 ∗ 𝑁. 𝑧 ( 65)
Cuerpo Rígido:
El punto central del desarrollo de Python Dynamics se basa en la creación de cuerpos rígidos
a partir de sus características dinámicas. Estas características dinámicas están
principalmente estructuradas en el uso de un marco de referencia, que nos permita conocer
como son las interacciones de los cuerpos.
38
Inercia
Cada uno de los cuerpos rígidos que interactúan en el sistema dinámico están
caracterizados por tener una masa y un momento de inercia rotacional que hace referencia
a la capacidad que tiene dicho cuerpo a girar.
En este caso se presentó el uso de dyadics para representar la inercia del cuerpo. Un dyadic
es un polinomio lineal con componentes vectoriales unitarios denominados unit dyadics. El
resultado del producto entre dos vectores como se muestra en las ecuaciones ( 66 ) y ( 67 ).
𝒂�̂� ⊗𝒂�̂� = 𝒂�̂�𝒂�̂� ( 66 )
𝒂�̂� ⊗𝒂�̂� = 𝒂�̂�𝒂�̂� ( 67 )
Donde 𝒂�̂�𝒂�̂� y 𝒂�̂�𝒂�̂� son los productos de multiplicar el vector de la izquierda como un
vector columna y el vector de la derecha como un vector fila.
Siguiendo con el marco de referencia dentro de un espacio se puede denotar un vector
dadas sus tres componentes:
[𝒂𝒃𝒄] 𝒐𝒂 ∗ �̂� + 𝒃 ∗ 𝒋̂ + 𝒄 ∗ �̂�
( 68 )
Así mismo, se puede representar la inercia dyadic de manera matricial:
[
𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑
] ( 69 )
Lo cual representa en forma dyadic:
𝒂𝟏𝟏𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟏𝟐 ∗ 𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟏𝟑 ∗ 𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟐𝟏𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟐𝟐𝒂�̂�𝒂�̂�+ 𝒂𝟐𝟑𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟑𝟏𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟑𝟐𝒂�̂�𝒂�̂� + 𝒂𝟑𝟑𝒂�̂�𝒂�̂�
( 70 )
En el modelo de Fitton y Symons está inercia está representada por:
𝑰𝒘 = [
𝑰𝒘𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝒘𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝑰𝒘𝟑
]
( 71 )
39
𝑰𝒄 = [
𝑰𝒄𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝒄𝟐 𝟎𝟎 𝟎 𝑰𝒄𝟑
]
( 72 )
Donde 𝐼𝑤 representa la inercia de las llantas e 𝐼𝑐 la inercia del ciclista.
En PyDy y Sympy la inercia está dada por la función outer, que representa el producto punto
de dos vectores.
Velocidad lineal y angular
Para finalizar la caracterización del cuerpo rígido, luego de situar su posición es necesario
conocer las velocidades lineales y angulares del cuerpo para lo cual se asigna un vector de
velocidad con respecto a un marco de referencia. Para lo cual se asigna la función .set_vel
a un punto de interés. Esta función tiene como parámetro un marco de referencia respecto
al cual se define la velocidad y el vector de velocidad con una magnitud y una dirección en
función de dicho marco de referencia.
La velocidad angular se define respecto a un marco de referencia, es decir, el marco de
referencia es el punto que rota respecto a otro marco en el espacio. Se usa la función
.set_ang_vel que tiene como parámetros el marco de referencia y al vector de la velocidad
angular.
Fuerzas actuantes
Las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo son definidas en función del punto en donde
actúan. Por ejemplo, se asigna un punto para el centro de gravedad de dicho cuerpo donde
actúa su peso dado por el vector −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑁. 𝑧 con lo cual la fuerza en el lenguaje de
programación recibe como parámetros al vector y al punto donde actúa.
Creación Cuerpo Rígido:
Luego de realizar la caracterización del cuerpo en el lenguaje de Python se procede a realizar
la creación del mismo, para lo cual se hace uso de la función RigidBody, que tiene como
parámetros el punto de centro de gravedad del cuerpo, el marco de referencia respecto al
cual se crea el cuerpo, la masa del cuerpo y el momento inercial del mismo.
40
Método Kane
Ahora bien, conociendo las características físicas de un cuerpo se procede a conocer cómo
se comporta este a traves del tiempo, para lo cual se debe desarrollar una ecuación de
movimiento del mismo. Para esto se pueden utilizar funciones de Sympy como Kane´s
Method y Lagrange´s Method, para la implementación del modelo en el ciclismo de pista se
hizo uso del primer método.
Kane’s method consiste en la conformación de 5 ecuaciones básicas que describen el
sistema completamente. Estas ecuaciones son restricciones no holonómicas, restricciones
holonómicas, ecuación cinemática diferencial, ecuación dinámica y ecuaciones
diferenciales no holonómicas. Esta parte es fundamental al realizar la integración de los
cuerpos rígidos, ya que las restricciones holonómicas plasman las restricciones de
coordenadas de los cuerpos. Por ejemplo, en el modelo desarrollado a continuación y
mostrado en la Figura 19 donde el punto de apoyo de la rueda delantera debe estar ubicado
a la misma altura que el punto de apoyo de la rueda trasera [11].
En el lenguaje de programación se requiere construir la función a partir de un sistema de
cuerpos caracterizados como se mencionó anteriormente. En primer lugar, se realiza la
creación de un objeto denominado KanesMethod, el cual tiene como parámetros el marco
de referencia, y las cinco ecuaciones básicas del sistema, primero las restricciones de
posición denominadas q_ind, las restricciones de velocidad u_ind y las ecuaciones
dinámicas del sistema kd_eqs. Luego de construir dicho objeto se procede a incluir la lista
de fuerzas que actúan en el sistema, así como la lista de cuerpos rígidos de dicho sistema.
Finalmente, para obtener la ecuación de movimiento del sistema se tiene que:
𝑴𝒐𝒗 = 𝑴−𝟏 ∗ 𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 ( 73 )
Donde 𝑀−1 representa la matriz inversa de masa del sistema, y 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 representa el vector
de fuerzas que actúa en el sistema. La función que representa la masa del sistema está dada
por la función mass_matrix_full y el vector de fuerza es obtenido a partir de la función
forcing_full.
SOLUCIÓN NUMÉRICA:
La solución numérica que desarrolla PyDy parte de la ecuación de movimiento obtenida
anteriormente. En el lenguaje de programación la función está dada por System el cual
41
tiene como parámetro el objeto KanesMethod que se creó con anterioridad. Además, la
función Sys realiza el proceso de solución de las ecuaciones diferenciales del sistema a partir
de las condiciones iniciales de las variables dinámicas de posición y velocidad de los cuerpos
rígidos del sistema, así mismo la función parametriza las constantes que actúan en el
sistema. En este caso las constantes del sistema están dadas por los coeficientes de arrastre
aerodinámico, coeficientes de fricción, momentos inerciales de los cuerpos y la masa de los
mismos.
La función de la solución numérica System retorna los vectores de posición y velocidad del
sistema de cuerpos en función del tiempo. Cada uno de las anteriores funciones fueron
implementadas en el modelo desarrollado a continuación.
MODELO DESARROLLADO:
Figura 19 Modelo de cuerpos rígidos del conjunto ciclista-bicicleta.
Haciendo uso de las funciones mostradas con anterioridad se planteó el modelo de la Figura
19 a partir de tres cuerpos rígidos. Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos fueron
calculadas como se menciona en el capítulo III. En este caso se tiene una pista plana, sin
peraltes y con una potencia constante. Además, se usaron las constantes geométricas de la
implementación haciendo uso de la integración con Euler.
Se realizo una comparación entre el modelo desarrollado a partir de PyDy y el modelo de
implementación del capítulo anterior teniendo en cuenta las condiciones geométricas del
modelo de PyDy. Estos resultados se observan en la Figura 21 y la Figura 22, con lo cual se
observa como el método usado por el paquete de Python Dynamics aproxima de manera
más exacta el comportamiento de la velocidad del ciclista.
42
En este caso se tiene que la energía cinética del conjunto está dada como se observa en la
Figura 20, con lo cual los valores de energía rotacional son calculados de manera exacta a
partir de las funciones explicadas con anterioridad. Esto se enuncia debido a las ventajas
que representan para los modelos dinámicos el cambio de energía para diferentes instantes
de tiempo.
Figura 20 Expresión de la energía cinetica de los cuerpos rigidos evaluada por PyDy.
Figura 21 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante.
43
Figura 22 Velocidad del centro de masa del ciclista a partir de potencia constante haciendo uso de la dinámica de cuerpos rígidos PyDy.
Se observa como para los tres cuerpos rígidos del modelo al introducirse una fuerza
constante 𝐹𝑓 en función de la potencia constante de entrada generada por el ciclista, la
velocidad comienza a aumentar hasta estabilizarse en ya que las fuerzas que actúan sobre
el ciclista también alcanzan un valor estable.
44
CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Durante el desarrollo del proyecto el principal contenido se realizó de manera investigativa
ya que se debía conocer desde el inicio como se desarrollaban los modelos dinámicos a
traves de PyDy, por lo cual se presentaron diferentes problemas en relación a diferentes
funciones del paquete, con lo cual se debió replantear varias veces la forma en la que se
debían abordar los objetivos del proyecto. Sin embargo, se logró realizar la implementación
del modelo haciendo uso de paquetes matemáticos y simbólicos de Python, lo que permitió
demostrar los diferentes objetivos que se habían planteado en el proyecto. Además, se
tuvieron en cuenta diferentes modelos dinámicos del ciclista, así como diferentes fuentes
bibliográficas que relacionan diferentes aspectos físicos del ciclismo lo cual permitió realizar
un marco bibliográfico acorde al alcance del proyecto.
Dado lo anterior, debido al alcance del proyecto no se realizaron pruebas experimentales
que permitieran conocer la veracidad completa de los resultados obtenidos en la
implementación. Se tomaron en cuenta varias suposiciones físicas dentro del modelo, que
fueron comprobadas con los resultados obtenidos y mencionados en los capítulos
anteriores. Se mostró la influencia de diferentes variables físicas como se buscaba en los
objetivos del proyecto. Siguiendo con los objetivos del proyecto a largo plazo sería
importante realizar un estudio de la influencia de cada una de las variables del modelo,
estudio que permitiría realizar un enfoque detallado en las variables con mayor relevancia.
El uso de herramientas computacionales permitiría el desarrollo de dicho estudio de
manera más rápida, teniendo en cuenta costos, tiempo y elaboración de prácticas
experimentales.
Es de destacar las facilidades que presenta el desarrollo de las soluciones numéricas de
ecuaciones diferenciales en el caso de presentar variables que dependan directamente de
la posición del cuerpo. Esto toma mayor importancia al observar cómo se desarrollan los
procesos de soluciones en PyDy, donde se dificulta considerablemente intervenir en dicho
logaritmo. Sin embargo, los modelos de Python Dynamics incluyen dentro de sus soluciones
el comportamiento de un cuerpo, que presenta un estado dinámico y cinemático
totalmente definido a partir de las fuerzas que actúan sobre el mismo.
A partir de PyDy se debería pensar en el comportamiento del modelo de estabilidad
enunciado en el capítulo II, con lo cual poder observar a partir de la integración de los
cuerpos rígidos que actúan en dicho modelo. Por ejemplo, esto permitiría observar cómo
los radios de las ruedas se comportan en el momento de realizar una curva y como esto
afecta la estabilidad del ciclista buscando incrementar la estabilidad del mismo, y así
mejorar su rendimiento sobre la bicicleta. Además, haciendo uso del desarrollo mostrado
en PyDy para proyectos futuros sería importante mostrar los resultados a partir de
experimentación que permita la toma de datos reales en relación a variables que actúan en
el modelo dinámico de la bicicleta.
45
BIBLIOGRAFÍA
[1] B. Fitton y D. Simons, «A mathematical model for simulating cycling: applied to track
cycling,» Sports Engineering , vol. 21, pp. 409-418, 2018.
[2] PyDy Team, «PyDy: Multibody Dynamics with Python,» 2015. [En línea]. Available:
http://www.pydy.org/. [Último acceso: 10 Mayo 2019].
[3] D. L. Peterson, «Bicycle dynamics: modelling and experimental validation,» UMI, 2013.
[4] J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina y A. L. Schwab, «Linearized dynamics equations
for the balance and Steer of a Bicycle: a benchmark and review,» 2007.
[5] T. Gillespie, Fundamentals of Vehicle Dynamics, Warrandale: Society of Automotive
Engineers, Inc , 1992.
[6] D. G. Wilson, J. Papadopoulos y F. R. Whitt, Bicycling Science, Cambridge: MIT Press, 2004.
[7] A. Polanco, J. Fuentes, S. Porras, D. Castiblanco, J. Uribe, D. Suarez y L. Muñoz,
«METHODOLOGY FOR THE ESTIMATION OF THE AERODYNAMIC DRAG PARAMETERS,» de
International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in
Engineering Conference, Anaheim, 2019.
[8] W. J. STEYN y J. WARNICH, «ResearchGate,» Enero 2014. [En línea]. Available:
https://www.researchgate.net/publication/279323381. [Último acceso: 08 Diciembre 2019].
[9] SCHUERMANN ARCHITECTS, «Velodromes,» 2009. [En línea]. Available:
http://www.velodromes.com/GLASGOW.html. [Último acceso: 08 Diciembre 2019].
[10] SymPy Development Team, «Sympy,» 2018. [En línea]. Available:
https://www.sympy.org/es/. [Último acceso: 08 Diciembre 2019].
[11] F. F. A. Meghdari, «Dynamic Modeling of Multi- Elastic Body Systems Using Kane´s Method
and Congruency Transformations,» 20 Agosto 1999. [En línea]. Available: www.uni-
magdeburg.de › 1999_Heft2 › Meg. [Último acceso: 08 Diciembre 2019].
[12] O. C. D. S. Billy Fitton, «The impact of relative athlete characteristics on the drag reductions
caused by drafting when cycling in a velodrome,» Journal of Sports Engineering and
Technology, vol. 232, nº 1, pp. 39-49, 2018.
[13] E. R. Burke, High-Tech Cycling, Segunda ed., Colorado: Human Kinetics, 1996.
[14] J. Sánchez, La Fisíca de la Bicicleta, Madrid: Ediciones de la Torre, 1988.
[15] H. PAcejka, Tire and vehicle dynamics, Amsterdam: Elsevier, 2005.
