DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA...

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) PARA

EL ANÁLISIS DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

MARÍA CAROLINA FORERO MEJÍA

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA GRUPO DE COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA ELECTROMAGNÉTICA

BOGOTÁ 2016

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) PARA

EL ANÁLISIS DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

MARÍA CAROLINA FORERO MEJÍA

Proyecto de grado para optar por el título de Ingeniero Eléctrico

DIRECTOR: Prof. HERBERT ENRIQUE ROJAS CUBIDES I.E., MSc., PhD(c)

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA

PROYECTO CURRICULAR DE INGENIERÍA ELÉCTRICA GRUPO DE COMPATIBILIDAD E INTERFERENCIA ELECTROMAGNÉTICA

BOGOTÁ 2016

Notas de aprobación

El presente trabajo de grado ha sido evaluado y

socializado con calificación de cinco punto cero (5.0)

_________Prof. Adolfo Jaramillo Matta PhD_______ Jurado

________Prof. Carmenza Moreno Roa MSc_ _ ____ Jurado

Bogotá D.C., Septiembre 20 de 2016

Dedicatoria

A Dios quien lo hace posible A mi papá artífice de quien soy y a quien amo

A mi mamá la mujer que me dio la vida A mi hermano de quien no termino de aprender

A todos aquellos que han sido parte de mi crecimiento personal y profesional

María Carolina

“La imaginación es la mejor herramienta con que cuenta el ser humano.

Por eso siempre debemos creer en la posibilidad de lo imposible”

Kaito

Agradecimientos A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas por haberme brindado espacios de aprendizaje y esparcimiento propicios para mi desarrollo personal y profesional. Al profesor Herbert Enrique Rojas quién fue mi maestro y guía fundamental en el desarrollo de este proyecto. Por sus aportes intelectuales y personales que sin duda alguna han enriquecido mi formación académica. A mi familia por la dedicación, esfuerzo y paciencia que han tenido siempre, sobre todo durante el proceso de convertirme en ingeniera eléctrica. A todos mis amigos de infancia y de la Universidad que me han apoyado incondicionalmente y han hecho que lo momentos difíciles no lo sean tanto.

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I

Resumen Debido a los avances tecnológicos en la industria, la informática y la incursión de nuevos dispositivos electrónicos (conversores análogo-digital, amplificadores de potencia, variadores de velocidad, etc.), han aumentado el interés por conocer y comprender el comportamiento de las diferentes perturbaciones electromagnéticas presentes en los sistemas eléctricos. A lo largo del presente trabajo de grado se desarrolla e implementa una herramienta computacional –programada en MATLAB ®– basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT). Para esto, se incluye una revisión bibliográfica sobre procesamiento de señales, la definición y propiedades de la LPFT, al igual que los algoritmos computacionales y los códigos de software necesarios para su estimación. La herramienta computacional ha sido desarrollada con énfasis en la detección de la frecuencia instantánea (IF), la identificación de características en el plano tiempo-frecuencia y el análisis de las componentes de energía de señales producidas por perturbaciones electromagnéticas. Además, cuenta con una interfaz gráfica que le da al usuario una mayor comodidad en el manejo del software. La validación del cálculo de la LPFT y el uso de la herramienta se realiza con ejemplos teórico-prácticos encontrados en literatura especializada sobre procesamiento de señales. Finalmente, se revisan las características en tiempo y frecuencia de las señales producidas por descargas parciales y flickers con transitorio oscilatorio. Las señales definidas como casos de estudio son simuladas y analizadas con ayuda de la herramienta computacional para analizar su comportamiento en frecuencia además de sus componentes de energía.

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III

Abstract Due to the technological developments in the industry, informatics and the incursion of new electronic devices (analog-digital converters, power amplifiers, variators of speed, among others), have increased the interest in knowing and understanding the behavior of the different electromagnetic disturbances present in electrical systems Throughout the present work is develops and implements a computational tool -programmed in MATLAB ®-based on the transformation local polynomial of Fourier (LPFT). For this, it includes a bibliographic review on signal processing, the definition and properties of the LPFT, as well as computational algorithms and software codes required for its estimate. The computational tool has been developed for the detection of the frequency instant (IF), the identification of characteristics in the time-frequency plane and the analysis of the components of energy of signals produced by electromagnetic disturbances. Also, it has a graphical interface that gives the user a greater comfort in the handling of the software. The validation of the calculation of the LPFT and the use of the tool is done with theoretical-practical examples found in specialized literature about processing of signals. Finally, the features are reviewed in time and frequency signals produced by partial discharges and oscillatory transient flickers. The signals defined as cases of study are simulated and analyzed with the help of the computational tool to analyze its behavior in frequency as well as its components of energy.

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V

Aclaraciones Teniendo en cuenta que esta es una versión digital del documento evaluado y aprobado, no fue posible adjuntar los archivos ejecutables de la herramienta computacional desarrollada como producto principal del trabajo de grado. Sin embargo, en caso de requerir los archivos de la herramienta o tener inquietudes acerca del contenido de este libro, el lector puede comunicarse con la autora del trabajo de grado ([email protected]) o con su director ([email protected])

María Carolina Forero Mejía

mailto:[email protected]

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VII

Lista de abreviaturas D DFT: Transformación Discreta de Fourier DP: Descargas Parciales F FT: Transformación clásica de Fourier FFT: Transformación Rápida de Fourier FRFT: Transformación Fraccional de Fourier FTO: Flicker con Transitorio Oscilatorio I IF: Frecuencia Instantánea L LPA: Aproximación Local Polinomial LPFT: Transformación Local Polinomial de Fourier LPFT-SP: Procesamiento de Señales Usando LPFT LPPn: Periodograma Local Polinomial Normalizado P PPS: Señal de Fase Polinomial PTFT: Transformación Polinomial Tiempo Frecuencia S ST: Transformación S STFT: Transformación de Corto Tiempo de Fourier STHT: Transformación de Corto Tiempo de Hartley R Distribución Radon-Wigner T TFA: Análisis Tiempo-Frecuencia TF-d: Dominio Tiempo-Frecuencia W WD: Distribución Wigner WT: Transformación Wavelet

http://ieeexplore.ieee.org/iel1/2209/5785/00221299.pdf?arnumber=221299

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IX

Índice general 1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA................................................................................................... 1

1.2 JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................................... 2

1.3 OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 3

1.4 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO DE TRABAJO DE GRADO ............................................................. 3

2 ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES ............................................................................... 5

2.1 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO ........................................................................................... 5

2.2 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA ............................................................................... 5

2.3 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA ....................................................................................................... 7

2.3.1 TFRs basadas en la descomposición de señales ................................................ 9

2.3.2 TFRs basadas en las clases de Cohen .................................................................. 10

2.3.3 TFRs rotadas .................................................................................................................. 10

3 TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) ...................................... 13

3.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA LPFT .................................................................................. 13

3.2 VARIABLES EN EL CÁLCULO DE LA LPFT .................................................................................... 14

3.2.1 La señal ............................................................................................................................ 15

3.2.2 La función de ventanado........................................................................................... 15

3.2.3 El núcleo o kernel de la LPFT.................................................................................. 20

3.3 DESARROLLO DE ALGORITMOS PARA CALCULAR LA LPFT ...................................................... 20

3.3.1 Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos .......................................... 22

3.3.2 Cálculo de la LPFT con estimadores individuales .......................................... 24

3.4 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO ..................................................................................................... 27

4 VALIDACIÓN DE ALGORITMOS PARA EL CÁLCULO DE LA LPFT .................................... 28

4.1 SELECCIÓN DE LOS CASOS DE SIMULACIÓN ................................................................................. 28

4.2 PROCEDIMIENTO DE VALIDACIÓN ................................................................................................ 30

4.3 CASO 1: FUNCIÓN CHIRP ............................................................................................................... 30

4.3.1 Resultados presentados en la literatura ............................................................ 30

4.3.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos ............. 31

4.3.3 Simulaciones algoritmo 1 ......................................................................................... 32


X

4.3.5 Comparación de resultados entre códigos ........................................................ 37

4.4 CASO 2: FUNCIÓN FRECUENCIA MODULADA (FM) PARABÓLICA ........................................... 39

4.4.1 Resultados presentados en la literatura ............................................................. 39

4.4.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos .............. 39



4.4.5 Comparación de resultados entre códigos ........................................................ 43

4.5 INFLUENCIA DE LA VENTANA ......................................................................................................... 45

4.6 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO ........................................................................................................ 50

5 HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN LA LPFT .................................................. 52

5.1 DESCRIPCIÓN GENERAL .................................................................................................................. 52

5.2 MENÚ SUPERIOR DEL SOFTWARE ................................................................................................. 55

5.3 MÓDULO 1: SELECCIONAR LA SEÑAL ........................................................................................... 55

5.3.1 Matemática ..................................................................................................................... 56

5.3.2 Calidad de potencia (PQ) .......................................................................................... 56

5.3.3 Otras .................................................................................................................................. 57

5.4 MÓDULO 2: DEFINIR TAMAÑO DE LA SEÑAL .............................................................................. 57

5.5 MÓDULO 3: INGRESAR LA VENTANA ............................................................................................ 58

5.6 MÓDULO 4: INGRESAR ORDEN DE LA LPFT ............................................................................... 59

5.7 MÓDULO 5: CALCULAR LPFT ....................................................................................................... 60

5.8 MÓDULO 6: GRAFICAR ................................................................................................................... 60


6 PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS QUE PUEDEN SER ANALIZADAS USANDO LA LPFT ........................................................................................................................................... 63

6.1 CARACTERÍSTICAS EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

63

6.2 METODOLOGÍA DE SELECCIÓN DE LOS DOS CASOS DE ESTUDIO ............................................... 70

6.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE DESCARGAS PARCIALES .................................................... 71

6.3.1 Modelo de DP para pulsos individuales .............................................................. 72

6.3.2 Modelo de DP de secuencia de pulsos ................................................................. 73

6.3.3 Parámetros de simulación para las señales de DP ......................................... 73

6.4 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE FLICKERS CON TRANSITORIO OSCILATORIO .................. 75

6.4.1 Modelo de flickers con transitorio oscilatorio (FTO) .................................... 75

6.4.2 Parámetros de simulación para las señales de flickers con transitorio 76


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XI

7 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA DE PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS . 79

7.1 ANÁLISIS DE DESCARGAS PARCIALES ........................................................................................... 79

7.1.1 Análisis en el domino del tiempo .......................................................................... 80

7.1.2 Análisis en el domino de la frecuencia ................................................................ 81

7.1.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia ................................................... 82

7.2 ANÁLISIS DE FLICKERS CON TRANSITORIO OSCILATORIO ......................................................... 86

7.2.1 Análisis en el domino del tiempo .......................................................................... 87

7.2.2 Análisis en el domino de la frecuencia ................................................................ 88

7.2.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia ................................................... 88

7.3 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO ....................................................................................................... 93

8 CONCLUSIONES .................................................................................................................................... 94

9 TRABAJOS FUTUROS .......................................................................................................................... 96

10 PRODUCTOS ...................................................................................................................................... 98

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XIII

Índice de tablas TABLA 2-1. PROPIEDADES DE LAS TÉCNICAS DE DESCOMPOSICIÓN .......................................................... 10 TABLA 2-2. PROPIEDADES DE LAS TÉCNICAS ROTADAS .............................................................................. 12 TABLA 2-3. MATRIZ DE IMPLEMENTACIÓN DE LAS TFRS EN DIVERSAS APLICACIONES ........................ 12 TABLA 3-1. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y FRECUENCIA DE LAS FUNCIONES

VENTANA.............................................................................................................................................................. 16 TABLA 3-2. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA DE LAS FUNCIONES VENTANA ..... 18 TABLA 3-3. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO DE LAS FUNCIONES VENTANA................. 19 TABLA 4-1. CASOS DE SIMULACIÓN PARA LA VALIDACIÓN ......................................................................... 29 TABLA 4-2. COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP CON ALGORITMO 1 Y

........................................................................................................................................... 32 TABLA 4-3. COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP CON ALGORITMO 1 Y

........................................................................................................................................ 33 TABLA 4-4. SRMSE DE LOS ESTIMADORES , , CALCULADOS CON ALGORITMO 1 ................. 34 TABLA 4-5. COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP CON ALGORITMO 2 Y

........................................................................................................................................... 35 TABLA 4-6. COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP CON ALGORITMO 2 Y

........................................................................................................................................ 36 TABLA 4-7. SRMSE DE LOS ESTIMADORES , , CALCULADOS CON ALGORITMO 2 ................. 37 TABLA 4-8. SOLUCIONES ÓPTIMAS DEL ALGORITMO 1 Y DEL ALGORITMO 2 EN FUNCIÓN DE ......... 38 TABLA 4-9. IF EN FUNCIÓN DEL TIEMPO DE LA SEÑAL FM PARABÓLICA CON ALGORITMO 1 .............. 40 TABLA 4-10. SRMSE DE LOS ESTIMADORES , , CALCULADOS CON ALGORITMO 1 ............... 41 TABLA 4-11. IF EN FUNCIÓN DEL TIEMPO DE LA SEÑAL FM PARABÓLICA CON ALGORITMO 2 ............ 42 TABLA 4-12. SRMSE DE LOS ESTIMADORES , , CALCULADOS CON ALGORITMO 2 ............... 43 TABLA 4-13. SOLUCIONES ÓPTIMAS DEL ALGORITMO 1 Y DEL ALGORITMO 2 ........................................ 44 TABLA 4-14. COMPORTAMIENTO DEL LPP CON CÓDIGO 2, Y ............ 45 TABLA 4-15. COMPORTAMIENTO DEL LPP CON CÓDIGO 2, Y ............ 48 TABLA 4-16. SRMSE DE LOS ESTIMADORES ............................................................................. 50 TABLA 6-1. CATEGORÍAS Y CARACTERÍSTICAS TÍPICAS DE LOS FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS

PRESENTES EN UN SISTEMA DE POTENCIA. .................................................................................................... 63 TABLA 6-2. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA DE INTERRUPCIÓN, SAG, SWELL Y FLICKER ....................................................................................................................................... 65 TABLA 6-3. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA DE TRANSITORIOS

............................................................................................................................................................................... 66 TABLA 6-4. CARACTERÍSTICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y DE LA FRECUENCIA DE .......................... 67 TABLA 6-5. CAUSAS, EFECTOS, TÉCNICAS DE PROCESAMIENTO UTILIZADAS EN EL ANÁLISIS DE

INTERRUPCIÓN, SAG, SWELL Y FLICKER .......................................................................................................... 68 TABLA 6-6. CAUSAS, EFECTOS, TÉCNICAS DE PROCESAMIENTO UTILIZADAS EN EL ANÁLISIS DE

TRANSITORIOS, NOTCH, SPIKE Y ARMÓNICOS ................................................................................................ 69 TABLA 6-7. PONDERACIÓN DE LAS PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS ........................................ 71 TABLA 6-8. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN PARA PULSOS INDIVIDUALES ................................................ 73

XIV

TABLA 6-9. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN DE LAS 30 SEÑALES DE DP INDIVIDUALES CREADAS ....... 74 TABLA 6-10. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN DE LAS 10 SEÑALES DE DP DE SECUENCIA DE PULSOS

CREADAS ............................................................................................................................................................... 75 TABLA 6-11. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN DE LAS 20 SEÑALES DE FLICKERS CON TRANSITORIO

OSCILATORIO ....................................................................................................................................................... 77 TABLA 7-1. VARIABLES DE SIMULACIÓN DE DP04, DP10 Y DP37 .......................................................... 79 TABLA 7-2. CARACTERÍSTICAS TEMPORALES DE DP04 Y DP10 .............................................................. 80 TABLA 7-3. CARACTERÍSTICAS TEMPORALES DE LOS PULSOS QUE COMPONEN DP37 .......................... 81 TABLA 7-4. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN PARA EL ANÁLISIS EN EL DOMINIO T-F .............................. 82 TABLA 7-5. VARIABLES DE SIMULACIÓN DE FTO01, FTO06 Y FTO11 .................................................. 87 TABLA 7-6. CARACTERÍSTICAS TEMPORALES DE FTO01, FTO06 Y FTO11 ......................................... 87 TABLA 7-7. PARÁMETROS DE SIMULACIÓN PARA EL ANÁLISIS EN EL DOMINIO T-F DE LAS SEÑALES

FTO ....................................................................................................................................................................... 89

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XV

Índice de figuras FIGURA 2-1. PROCEDIMIENTOS PARA LA EXTRACCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS A

TRAVÉS DE LA CONCENTRACIÓN DE ENERGÍA EN EL DOMINIO TF ................................................................ 8 FIGURA 3-1. FUNCIÓN GAUSSIANA, (A). DOMINIO DEL TIEMPO, (B). DOMINIO DE LA FRECUENCIA... 16 FIGURA 3-2. INFLUENCIA DEL VENTANEADO SOBRE LA RESOLUCIÓN Y DISTORSIÓN ESPECTRAL ....... 17 FIGURA 3-3. ALGORITMO CÁLCULO DE LA LPFT CON ESTIMADORES SIMULTÁNEOS ............................ 23 FIGURA 3-4. ALGORITMO CÁLCULO DE LA LPFT CON ESTIMADORES INDIVIDUALES ............................ 26 FIGURA 4-1. COMPORTAMIENTO DEL LPP DE LA SEÑAL CHIRP, (A). LPP VS Ω1 VS Ω2, (B). LPP VS Ω1

VS T ....................................................................................................................................................................... 31 FIGURA 4-2. TIEMPOS COMPUTACIONALES, (A) ALGORITMO 1 CON

(B) ALGORITMO 1 CON , (C) ALGORITMO 2 CON , 3 ...................................................... 38 FIGURA 4-3. LPP DE LA SEÑAL FM PARABÓLICA ......................................................................................... 39 FIGURA 4-4. TIEMPOS COMPUTACIONALES, (A) ALGORITMO 1 CON

(B) ALGORITMO 1 CON , (C) ALGORITMO 2 CON , 3 ...................................................... 43 FIGURA 5-1. INTERFAZ GRÁFICA DE LA HERRAMIENTA LPFT-SP ............................................................ 54 FIGURA 5-2. VISUALIZACIÓN DEL MENÚ SUPERIOR DE LA HERRAMIENTA ............................................... 55 FIGURA 5-3. VISUALIZACIÓN DEL MÓDULO 1 ............................................................................................... 56 FIGURA 5-4. VISUALIZACIÓN DE LA SEÑALES DE TIPO MATEMÁTICO ....................................................... 56 FIGURA 5-5. VISUALIZACIÓN DE LA SEÑALES DE TIPO CALIDAD DE POTENCIA ....................................... 57 FIGURA 5-6. VISUALIZACIÓN DE LAS OPCIONES PARA OTRAS SEÑALES ................................................... 57 FIGURA 5-7. VISUALIZACIÓN DEL MÓDULO 2 ............................................................................................... 58 FIGURA 5-8. VISUALIZACIÓN DEL MÓDULO 3................................................................................................ 59 FIGURA 5-9. VISUALIZACIÓN DEL MÓDULO 4 Y LA VENTANA INGRESO DE ESTIMADORES ..................... 59 FIGURA 5-10. VISUALIZACIÓN MÓDULO 5 ..................................................................................................... 60 FIGURA 5-11. VISUALIZACIÓN MÓDULO 6 GRAFICA EN 2D ........................................................................ 61 FIGURA 5-12. VISUALIZACIÓN MÓDULO 6 GRAFICA EN 3D CON LA OPCIÓN 3D CÓDIGO 1 ................... 62 FIGURA 6-1. SEÑAL DP CON UN PULSO INDIVIDUAL EN EL DOMINIO TIEMPO ......................................... 72 FIGURA 6-2. SEÑAL FLICKER CON TRANSITORIO OSCILATORIO EN EL DOMINIO TIEMPO ...................... 76 FIGURA 7-1. FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL A).DP04, B).DP10 Y C).DP37 ......................................... 80 FIGURA 7-2. ESPECTROGRAMA DE A).DP04, B).DP10, C).DP37 ............................................................ 81 FIGURA 7-3. STFT DE LA SEÑAL DP04 CON ............................................................................... 83 FIGURA 7-4. STFT DE LA SEÑAL DP10 CON ............................................................................... 83 FIGURA 7-5. STFT DE LA SEÑAL DP37 CON ............................................................................... 84 FIGURA 7-6. LPP DE LA SEÑAL DP04 CON A). B). ......................................... 85 FIGURA 7-7. LPP DE LA SEÑAL DP10 CON A). B). ......................................... 85 FIGURA 7-8. LPP DE LA SEÑAL DP37 CON A). B). ......................................... 86 FIGURA 7-9. FORMA DE ONDA DE LA SEÑAL A). FT001, B). FTO06 Y C). FTO11 ............................... 87 FIGURA 7-10. ESPECTROGRAMA DE A). FT001, B). FTO06 Y C). FTO11 ............................................. 88 FIGURA 7-11 STFT CON DE LA SEÑAL A). FT001, B). FTO06 Y C). FTO11 ....................... 90 FIGURA 7-12. LPP DE LA SEÑAL FTO01 CON A). B). ................................... 91 FIGURA 7-13. LPP DE LA SEÑAL FTO06 CON A). B). ................................... 92 FIGURA 7-14. LPP DE LA SEÑAL FTO11 CON A). B). ................................... 93

Índice de anexos ANEXO A: CASO 3 Y CASO 4 DE LA VALIDACIÓN DE LA HERRAMIENTA LPFT-SP ............................... 106 ANEXO B: FUNCIONES OPERATIVAS ............................................................................................................. 118 ANEXO C: DIAGRAMAS LÓGICOS DE LOS MÓDULOS DE LA HERRAMIENTA LPFT-SP .......................... 122 ANEXO D: FUNCIONES MATEMÁTICAS PREDEFINIDAS ............................................................................. 128 ANEXO E: FUNCIONES DE CALIDAD DE POTENCIA PREDEFINIDAS ......................................................... 130 ANEXO F: FUNCIONES VENTANA PREDEFINIDAS ....................................................................................... 136 ANEXO G: CÁLCULO DE ERRORES ................................................................................................................. 140 ANEXO H: INGRESO DE LOS ESTIMADORES ................................................................................................. 142

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1

1 INTRODUCCIÓN

Durante los últimos años con el desarrollo de nuevas tecnologías, el avance en los sistemas de control y de comunicaciones, la preocupación por el medio ambiente, la disponibilidad de los recursos y la búsqueda de la eficiencia, la eficacia y la rentabilidad de los procesos productivos, surge una nueva forma de ver el sistema eléctrico de potencia. Por lo tanto, el esquema tradicional del sistema eléctrico ha venido afrontando cambios paulatinos como la integración de fuentes alternativas de energía, la aparición de la generación distribuida, la inclusión de tecnología basada en electrónica de potencia, una mayor interacción por parte de los usuarios con el sistema, etc. Estos a su vez son causantes de una gran variedad de efectos adversos para la red que perjudican tanto a clientes como a proveedores del sector eléctrico. Por esta razón, desde la década de los 90 hasta la actualidad se ha incrementado el interés por el término calidad de potencia y en general por el estudio de los distintos tipos de perturbaciones electromagnéticas que pueden afectar la calidad del suministro de energía eléctrica, dentro de las cuales se tienen: huecos de tensión (sags o dips), sobretensiones (swells), flickers, distorsión armónica, ruido, descargas electromagnéticas, transitorios, rayos, entre otros. [1]. Lo que ha impulsado el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas y computacionales que permitan identificar, caracterizar y clasificar dichas perturbaciones, y con ello, generar estrategias efectivas para mitigar los daños que estos fenómenos producen.

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En la carrera por explorar y evaluar el comportamiento de diversas perturbaciones electromagnéticas se han utilizado una variedad de herramientas, entre ellas se encuentran los métodos orientados al procesamiento de señales. Estos métodos buscan la representación, transformación e identificación de las características de una señal no solo en el tiempo, sino también en la frecuencia o en espacios híbridos tiempo-frecuencia. En el grupo de las técnicas clásicas de procesamiento se tienen la transformación de Fourier (FT), la transformación discreta de Fourier (DFT) y la transformación rápida de Fourier (FFT), usadas ampliamente para el estudio de señales estacionaras [2], [3]. Por otro lado, la transformación de Fourier de corto tiempo (STFT) [4]–[6], la transformación Wavelet (WT) [7]–[9] y la transformación S (ST) [10]–[13] han sido ampliamente usadas para señales no estacionarias que son originadas debido a perturbaciones electromagnéticas [3], [14]. Todas estas técnicas se han venido utilizando teniendo en cuenta las ventajas y desventajas que poseen, de tal modo que una herramienta puede presentar muy buenos resultados para una aplicación específica mientras que para otra sea poco conveniente [15], [16]. Es por ello, que entre más alternativas o herramientas para el procesamiento

2

de las señales producidas por perturbaciones electromagnéticas se tengan a disposición, existe mayor probabilidad de confirmar e identificar características importantes de un tipo de evento en particular. Por esta razón, la implementación de nuevas técnicas de procesamiento de señales basadas en herramientas matemáticas y en representaciones tiempo-frecuencia (TFRs), como la transformación local polinomial de Fourier (LPFT), cuyas aplicaciones han sido poco exploradas en el campo de la ingeniería eléctrica, cobran gran importancia en el estudio de perturbaciones provocadas por fenómenos electromagnéticos [17], [18], lo que lleva al siguiente interrogante: ¿Se puede desarrollar e implementar una herramienta computacional basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) para el análisis de señales producidas por perturbaciones electromagnéticas?

1.2 JUSTIFICACIÓN Para analizar en el tiempo las variaciones de una señal respecto a los parámetros ideales que las caracterizan (amplitud, frecuencia, forma de onda, desbalance o asimetría y continuidad) es necesario su constante monitoreo, pues cualquier cambio en sus características permite la detección oportuna de fenómenos que afectan al sistema eléctrico. Sin embargo, de nada serviría contar con innumerables registros si estos eventos no son analizados con ayuda de técnicas de procesamiento de señales con miras a su identificación, caracterización y clasificación, para luego tomar los correctivos respectivos del problema que se esté enfrentando [16]. Así mismo, es importante contar con un módulo de simulación que permita reproducir ciertos fenómenos electromagnéticos y analizarlos a través de una herramienta computacional facilita el estudio y comprensión de los mismos.

Muchas de las perturbaciones electromagnéticas producen señales que no son periódicas, por lo cual su análisis es un poco más complejo respecto a señales estacionarias. Esto conlleva a que las técnicas de procesamiento que se deben utilizar realicen un análisis tiempo-frecuencia de la señal como lo hace la transformación de Fourier de corto tiempo o de ventana deslizante (STFT), la transformación de Wavelet (WT) o la transformación fraccional de Fourier (FRFT), entre otras. Tanto la STFT, la WT y la FRFT han sido implementadas en MATLAB y utilizadas para el análisis de perturbaciones electromagnéticas como se evidencia en la literatura [9], [10]. Sin embargo, con la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) no se han presentado aún experiencias en este campo. Debido a lo anterior, resulta un foco de investigación importante el profundizar en el conocimiento de la LPFT, y el desarrollo e implementación de una técnica de procesamiento de señales basada en esta transformación para el análisis de perturbaciones electromagnéticas. Este trabajo está encaminado hacia la consolidación y el fortalecimiento de las líneas en calidad de potencia y procesamiento de señales del grupo de investigación en compatibilidad e interferencia electromagnética GCEM y en general del programa de ingeniería eléctrica de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

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3

1.3 OBJETIVOS Para el desarrollo del presente trabajo de grado se ha planteado como objetivo general: Desarrollar e implementar una herramienta computacional basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) para el análisis de dos tipos de perturbaciones electromagnéticas. Para lograr dicho objetivo, se plantearon los siguientes objetivos específicos:

1. Examinar y comprender la estructura matemática de la transformación local polinomial de Fourier resaltando sus propiedades y aplicaciones.

2. Desarrollar un algoritmo (a nivel de software) para el cálculo de la

transformación local polinomial de Fourier que facilite la implementación de la herramienta computacional.

3. Validar el funcionamiento de los algoritmos y la herramienta computacional

desarrollada, mediante la comparación de los resultados obtenidos por esta herramienta con los proporcionados por ejemplos presentados en la literatura.

4. Revisar teóricamente las características en tiempo y frecuencia de las señales

producidas por perturbaciones electromagnéticas típicas para seleccionar al menos dos tipos de estas como casos de estudio.

5. Aplicar la herramienta computacional propuesta en la identificación de las

características de frecuencia y componentes de energía de las perturbaciones electromagnéticas seleccionadas como casos de estudio.

1.4 ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO DE TRABAJO DE GRADO Este trabajo de grado se desarrolla en siete capítulos y 8 anexos físicos y 3 anexos digitales. Se incluye una revisión bibliográfica, los algoritmos computacionales para la implementación de la LPFT, un ejecutable de la herramienta, el manual de funcionamiento de la misma y los resultados de la aplicación de la herramienta en el análisis de perturbaciones electromagnéticas. En el Capítulo 2 se presenta una revisión bibliográfica sobre el procesamiento de señales, incluyendo una descripción de representaciones tiempo frecuencia (TFRs). En el Capítulo 3 se estudia la definición y propiedades de la LPFT, se analizan las variables que conforman su descripción matemática y se presentan los algoritmos computacionales para su cálculo. En el Capítulo 4 se validan los algoritmos propuestos utilizando señales matemáticas tomadas de la literatura y se comparan los resultados considerando la concentración de la energía presente en el periodograma local polinomial (LPP), el error y los tiempos computacionales. En el Capítulo 5 se describe el desarrollo de la herramienta computacional basada en la LPFT y los diferentes módulos

4

que hacen parte de su interfaz. En Capítulo 6 se presenta una revisión de las características en tiempo y frecuencia de las perturbaciones electromagnéticas más conocidas, la metodología de selección de dos casos de estudio y además, se presentan los resultados de la implementación de la herramienta computacional en las señales de interés. Esto con el fin de identificar y analizar las características de frecuencia y componentes de energía de los mismos. Finalmente, en el Capítulo 7 se presentan las conclusiones y recomendaciones finales haciendo énfasis en los trabajos futuros que se pueden desarrollar a partir de este trabajo de grado.

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2 ANÁLISIS Y PROCESAMIENTO DE SEÑALES El procesamiento de señales hace referencia a la extracción de datos y características que no son fácilmente perceptibles en el registro de una señal [16], por consiguiente su principal objetivo es proporcionar información sobre un problema (evento) en específico permitiendo su análisis, evaluación y finalmente la toma de decisiones [17]. Procesar una señal enmarca un conjunto de etapas las cuales van desde la adquisición de la señal bajo estudio hasta la estimación de indicadores estadísticos o características particulares de la señal, pasando por el alistamiento y organización de los datos, y por la selección de la herramienta matemática o la técnica computacional elegida para la extracción de la información [2], [3], [16]. Estas técnicas usadas en el procesamiento de señales pueden clasificarse como algoritmos basados en el dominio del tiempo, de la frecuencia o del tiempo-frecuencia. En este capítulo se presenta una breve introducción al procesamiento de señales, sus objetivos y aplicaciones. Además, se revisan los diversos tipos de análisis que se pueden realizar cuando se procesa una señal. Finalmente, se hace una clasificación de las técnicas de procesamiento más usadas en el análisis de señales estacionarias y no-estacionarias. Dentro de esta clasificación se hace énfasis en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT), se definen sus características, ventajas y desventajas.

2.1 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Este tipo de análisis se realiza a través de la representación amplitud versus tiempo de la señal bajo estudio, lo cual permite observar su magnitud, forma de onda, tiempos de desplazamiento, etc. Uno de los elementos que permite llevar a cabo este tipo de análisis es el osciloscopio, que es un instrumento que representa de manera gráfica una señal en función del tiempo [19]. Cuando se utilizan herramientas de procesamiento de señales basadas en el dominio del tiempo para el análisis y extracción de características de una señal, se podrá disponer de algunos parámetros como lo son los niveles de amplitud, la señal de energía en un intervalo de tiempo y de promedios estadísticos, los cuales son de gran utilidad cuando el enfoque de la aplicación es la inspección visual y la medición de distancias, retrasos o desfasamientos, permitiendo así la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal [17].

2.2 ANÁLISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA La representación en el dominio de la frecuencia corresponde a la representación tanto matemática como gráfica de las componentes en frecuencia que puede tener una señal y que no son fácilmente perceptibles. Sin embargo este tipo de análisis no permite

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conocer la distribución en amplitud para cada frecuencia de la señal en un instante de tiempo determinado. Un ejemplo que facilita la interpretación del análisis frecuencial es la descomposición de la luz solar en los colores del arco iris a través de un prisma, en donde este último hace las veces de “herramienta de procesamiento” para el análisis de las componentes del haz de luz en los diferentes colores o “componentes frecuenciales”. De esta manera si se desea recuperar la señal original después de haber realizado el análisis frecuencial se deben sumar las diferentes componentes resultantes en este proceso [2], [19]. Al emplear algoritmos basados en el dominio de la frecuencia para el procesamiento de señales, el análisis y la extracción de características de una señal se puede llevar a cabo mediante la utilización de una serie de parámetros como lo son las bandas de frecuencia, los coeficientes de Fourier, la señal de energía en una banda de frecuencia, etc. Dichos elementos son de gran provecho cuando el enfoque de la aplicación a la cual se dirige el procesamiento de señales es la inteligencia artificial y la lógica difusa, lo cual permite la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal con miras a tomar decisiones al respecto [17]. Entre las transformaciones más utilizadas en el análisis del dominio de la frecuencia se encuentra la transformación clásica de Fourier FT, la cual es definida como una descomposición de las señales bajo análisis en términos de componentes sinusoidales o de exponenciales complejas que tienen diferente frecuencia [3]. Al aplicar la FT se pueden conocer las componentes de frecuencia de la señal como se mencionó anteriormente, sin embargo esta técnica requiere la utilización de todos los datos del registro de una señal para su análisis y no se puede determinar el valor de una componente frecuencial en un instante de tiempo específico. Cuando se evalúa el comportamiento de la FT es posible establecer como este tipo de análisis presenta una buena resolución en la frecuencia a cambio de perder toda información en el tiempo. Por esta razón, la FT es exitosa en el análisis de señales estacionarias pero no es conveniente utilizarla para determinar el momento en que una componente de frecuencia aparece en la señal o cuando el contenido espectral de la señal cambia en cada instante de tiempo, como ocurre en las señales no estacionarias [20]. Por otra parte, la transformación discreta de Fourier (DFT) es un caso particular de la FT para secuencias de longitud finita en que evalúa el espectro solamente en unas frecuencias concretas y por consiguiente, se obtiene un espectro discreto [21]. Debido a la complejidad matemática que se debe realizar al implementar la DFT, se desarrolló un algoritmo computacional, denominado transformación rápida de Fourier (FFT). Con este algoritmo es posible obtener el mismo resultado de la DFT de manera más eficiente al reducir el número de operaciones [22], lo cual significa que la FFT permite reducir el tiempo de cálculo de la DFT. De esta manera, el uso de la FFT disminuye la probabilidad de error en dicho proceso, así como también permite su implementación sin la necesidad de altos requerimientos de hardware [23].

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La transformación de Fourier es muy útil en el análisis de armónicos, y es una herramienta esencial para el diseño de filtros. Sin embargo, hay algunas desventajas, tales como pérdidas de información temporal [3] y el no permitir la descripción de la variación del contenido espectral de una señal con respecto al tiempo. De esta manera, la FT sólo provee resultados satisfactorios en el análisis y procesamiento de señales estacionarias [17]. Debido a que las señales no-estacionarias son señales no periódicas o señales cuyas componentes espectrales varían en el tiempo [16], [24], es necesario el uso de herramientas diferentes a la FT, la DFT o la FFT que realicen un análisis espectral detallado sin perder resolución en el tiempo, es decir que realicen el procesamiento de las señales mediante representaciones tiempo-frecuencia.

2.3 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA El enfoque tradicional asume la estacionariedad de las señales, lo cual en la práctica no es provechoso. Por lo tanto, las descripciones independientes de tiempo y frecuencia son insuficientes para proveer información sobre señales que no son estacionarias. Por el contrario el análisis tiempo-frecuencia (TFA) es más adecuado para este tipo de señales [17]. Cuando se emplean herramientas de procesamiento de señales basadas en el dominio tiempo-frecuencia, el análisis y extracción de características de una señal se podrá realizar mediante el manejo de una serie de parámetros como lo son los niveles de amplitud en bandas tiempo-frecuencia, la concentración de energía, los anchos de banda del ventaneado, los niveles de descomposición, etc. Dichos parámetros son de gran utilidad cuando el enfoque de la aplicación a la cual se dirige la técnica de procesamiento de señales es la lógica difusa y las diferencias estadísticas, lo que permite la clasificación y el reconocimiento de las singularidades de la señal con el fin de tomar decisiones al respecto [17]. El objetivo principal del TFA es determinar la concentración de energía de una señal bajo estudio a lo largo del eje de la frecuencia en un instante de tiempo dado con ayuda de las representaciones tiempo-frecuencia (TFRs) [14]. Para esto, las TFRs pueden ser clasificadas de varias formas según el enfoque del análisis. En la primer categoría de las TFRs una señal es representada por funciones tiempo-frecuencia derivadas de la modulación y ampliación de una función base que tiene una localización de tiempo y frecuencia definida [17], tal y como se muestra en la Ecuación (2-1).

∫

⟨ ⟩ (2-1)

Donde representa las funciones base y * representa el complejo conjugado. La

transformación de corto tiempo de Fourier (STFT) y la transformación de Wavelets son ejemplos típicos de esta clasificación [17].

8

Las distribuciones tiempo-frecuencia (TFD), representan la segunda categoría de las TFR, estas se caracterizan por tener presente una función kernel (núcleo) que generalmente es no lineal y presenta términos cruzados [18]. Las propiedades de dichas representaciones están ligadas a las restricciones sobre el kernel [14]. Algunos de los métodos comúnmente utilizados para obtener las TFD son la distribución Wigner (WD), la distribución Gabor-Wigner (GWD), la distribución Choi-Williams y el espectrograma [14]. Como se mencionó anteriormente, una de las características más importantes en el procesamiento de señales con un TFA es la concentración de energía. Esto se debe a que al analizar su comportamiento en un determinado instante de tiempo, o banda de frecuencia, se puede percibir información acerca de un fenómeno particular con fines de diagnóstico [17]. De esta manera, la concentración de energía en el dominio tiempo-frecuencia (TF-d) como característica particular de una señal puede ser vista desde dos puntos de vista: el primero, se basa en la extracción de características de la señal a partir del aumento de la concentración de energía en el TF-d, lo cual desde el punto de vista del reconocimiento de singularidades significa aumentar la resolución de las TFRs. Algunas de estas alternativas están basadas en la descomposición de una señal a partir del uso de TFRs basadas en las clases de Cohen y las TFRs rotadas. El segundo enfoque aborda el desarrollo de esquemas de clasificación y reconocimiento de la señal a partir de la inspección visual, las propiedades estadísticas y la medida de distancias que provee la concentración de la energía. Esta clasificación se muestra en la Figura 2-1.

Figura 2-1. Procedimientos para la extracción y clasificación de características a través de la concentración de energía en el dominio TF

Fuente: Adaptado de [17]

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2.3.1 TFRs basadas en la descomposición de señales Son utilizadas para representar la concentración de energía siempre y cuando la TFR seleccionada no presente términos cruzados, es decir, cuando la técnica de procesamiento se comporta de manera lineal. Algunos de los métodos para la descomposición de señales son la transformación de corto tiempo de Fourier (STFT), la transformación wavelet (WT), la transformación S (ST) y la transformación armónica de corto tiempo (STHRT). A continuación, se describen con más detalle dos de las TFRs más usadas por la comunidad científica. Transformación de corto tiempo de Fourier (STFT)

Es uno de los métodos más comunes en el análisis tiempo-frecuencia, en el cual la señal bajo estudio es dividida en una secuencia de segmentos que se multiplican por una función ventana para luego calcular la transformada de Fourier [14]. Al utilizar la STFT se logra conocer en qué intervalo de tiempo se produce la aparición de una singularidad de la señal bajo estudio, siempre y cuando se elija de manera correcta el ancho de la función ventana. Para todos los casos, si la ventana seleccionada es muy estrecha se conseguirá una buena resolución en tiempo pero una pésima resolución en frecuencia y viceversa. Por lo tanto, un defecto de la STFT es el no poder dar una alta resolución tanto en tiempo como en frecuencia de manera simultánea [20].

Transformación Wavelet (WT)

La WT, es una herramienta matemática desarrollada a mediados de los años 80, que ha tenido gran impacto en los últimos años. Esta transformación es muy utilizada para el análisis de señales no estacionarias. Al igual que la STFT, la WT evalúa la señal bajo estudio por segmentos. La diferencia entre estás es que la WT permite modificar el ancho de la función ventana para cada uno de los trozos de la señal mientras que la STFT no lo hace. Por esta razón, la WT presenta mejores resultados, pues sortea mucho mejor la relación entre la resolución en tiempo y la resolución en frecuencia según las características propias de la señal bajo estudio. Por ejemplo, el análisis de las frecuencias de mayor rango de una señal se realiza usando ventanas angostas y el análisis de las frecuencias de menor rango se hace utilizando ventanas anchas [25]. La WT ha sido empleada en el análisis local de señales no estacionarias, el análisis de transitorios y sistemas de potencia [26], [27], la detección de impulsos electromagnéticos y descargas parciales [8], [28]–[31], el estudio de eventos que afectan la calidad de la energía [32]–[36], entre otros.

Teniendo en cuenta que no solo existe la STFT y la WT como técnicas de descomposición, en la Tabla 2-1 se muestran algunas propiedades de otras transformaciones que hacen parte de esta categoría.

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Tabla 2-1. Propiedades de las técnicas de descomposición

Método Ventajas Desventajas

STFT Implementación simple Un ancho constante de la ventana limita la resolución TF

WT Resolución variable

No mantiene la fase absoluta de los componentes de señal Una escala para la conversión de frecuencia es dependiente de la wavelet madre

ST Resolución variable La fase absoluta de cada componente se mantiene

Función de ventana única

STHT Fácil implementación Las mismas desventajas que STFT Fuente: Adaptado de [17]

En la Tabla 2-1 se puede observar que existe una cantidad de métodos que pueden ser seleccionados para la representación de concentración de energía en el dominio TF, cada uno con sus ventajas y desventajas. Esto demuestra que la selección de la TFR dependerá del tipo de aplicación o evento que se desee analizar. Sin embargo, este resumen permite inferir el hecho de que no hay una técnica perfecta sin importar que tanto se ajusten los parámetros de estudio.

2.3.2 TFRs basadas en las clases de Cohen El atractivo de las FTRs basadas en las clases de Cohen radica en que estós métodos pueden minimizar los términos cruzados ajustando sus parámetros y pueden producir representaciones de muy alta resolución [18]. Debido a esto, las investigaciones en esta área van dirigidas a reducir o eliminar los efectos de los términos cruzados a través de una función kernel que está diseñada como un filtro pasa bajo para este propósito, así como también para obtener las propiedades deseadas de la TFR. 2.3.3 TFRs rotadas Las TFR son utilizadas para la extracción de características tales como la concentración de energía y las características tiempo-frecuencia de las señales bajo estudio [37]. Algunas de estas son la Distribución Radon-Wigner (RWD), la transformación fraccional de Fourier (FRFT) y la transformación local polinomial de Fourier (LPFT). A continuación se describe con más detalle la FRFT y la LPFT: Transformación fraccional de Fourier (FRFT)

La transformación fraccional de Fourier es una transformación lineal que puede ser interpretada como la rotación de una señal en un ángulo en el plano tiempo frecuencia. La transformación clásica de Fourier (FT) es un caso especial de la FRFT con una rotación de un ángulo de ⁄ , es por ello que la FRFT es vista como una generalización de la FT [38]. Matemáticamente la FRFT puede ser definida como se muestra en la Ecuación (2-2) [38]:

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{

√

⁄ ∫ ⁄

(2-2)

La FRFT posee aplicaciones en filtrado óptimo en el dominio fraccional, en óptica, en análisis tiempo-frecuencia y en radar y sonar [39]–[41].

Transformación local polinomial de Fourier (LPFT)

La transformación local polinomial de Fourier (LPFT) fue presentada por Vladimir Katkovnik en 1995 [42]. Esta TFR es una forma generalizada de la transformación de Fourier de corto tiempo (STFT) cuando el orden del polinomio es . Aunque no ha sido ampliamente difundida entre la comunidad científica especializada, la LPFT ha sido usada en aplicaciones con señales no estacionarias y con el fin de conocer los cambios en el contenido frecuencial (respecto al tiempo) de la señal bajo estudio. La LPFT permite estimar la variación de la frecuencia instantánea (IF) respecto al tiempo y puede ser definida matemáticamente como se muestra en la Ecuación (2-3) [43], [44]:

∫

⁄ ⁄ (2-3)

Donde . Debido a que la LPFT es una herramienta que usa una función polinomial para describir las características de la frecuencia instantánea (IF) de señales variantes en el tiempo, también conocidas como señales de fase polinomial (PPSs), esta puede proporcionar una mejor concentración y resolución que la STFT. Además, debido a su linealidad, la LPFT está libre de términos cruzados lo cual facilita su operación a diferencia de otras transformadas como la distribución Wigner (WD) [45].

Al ser la LPFT una generalización de la STFT y esta a su vez ser una mejora de la FT que es un caso especial de la FRFT, es posible afirmar que la FRFT está relacionada de algún modo con la LPFT. De esta manera, la LPFT puede ser implementada en aras de mejorar los resultados obtenidos por la FT, la STFT y/o la FRFT en las áreas de aplicación donde estas han probado su efectividad. La Tabla 2-2 muestra algunas de las ventajas y desventajas de las TFRs basadas en la rotación del plano tiempo frecuencia.

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Tabla 2-2. Propiedades de las técnicas rotadas

Método Ventajas Desventajas

FRFT

Permite la representación de una señal sobre la base ortonormal formada por chirps

puede tomar valores enormes y el re-muestreo puede ser necesario

LPFT Provee una generalización de la FRFT para cualquier orden del polinomio IF

El incremento de dimensionalidad representa un aumento de la complejidad del calculo


Con el propósito de brindar al lector una idea de que tanto se han utilizado a la fecha las diferentes TFRs descritas en la Sección 2.3, la Tabla 2-3 presenta una comparación entre las diversas aplicaciones de estas técnicas de procesamiento de señales.

Tabla 2-3. Matriz de implementación de las TFRs en diversas aplicaciones

Aplicaciones TFR

Descomposición Señales

TFR Cohen

TFR Rotadas

Análisis de señales biomédicas MI MI NI Análisis de señales mecánicas MI I NI Análisis de sistemas de potencia I PI NI Análisis de señales de voz y música PI PI PI Procedimiento de señales de radar y sonar I I PI

MI: Muy Implementada I: Implementada PI: Poco Implementada NI: No Implementada


A partir de información presentada en la Tabla 2-3, se puede evidenciar que las TFRs rotadas (de la cual hace parte la LPFT), no se han implementado –visiblemente– hasta el momento en áreas como la ingeniería eléctrica, especialmente en el estudio de perturbaciones electromagnéticas. Esta es la principal razón por la cual el desarrollo de este trabajo de grado, y en particular, de investigaciones que apliquen la LPFT, cobra gran importancia.

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3 TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE

FOURIER (LPFT) Dentro del desarrollo de este trabajo de grado es fundamental examinar y comprender las características de la LPFT ya que a partir de sus bases teóricas será posible crear algoritmos y códigos (a nivel de software), y así, facilitar la implementación de una herramienta computacional confiable. En el presente capítulo se estudia la definición y propiedades de la LPFT, se analizan las variables que se integran en su definición matemática y se proponen dos algoritmos computacionales para su cálculo. La fundamentación matemática que se utiliza para el desarrollo de este proyecto es la propuesta por Vladimir Katkovnik en las referencias [46]–[48].

3.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LA LPFT La LPFT es una forma generalizada de la STFT la cual puede proporcionar una concentración de energía y una resolución mucho mayor en el plano tiempo-frecuencia [18] debido a que incluye un polinomio de su exponente compleja. La LPFT es una representación tiempo-frecuencia lineal que se define matemáticamente como se muestra en la Ecuación (3-1) [49]:

∫

(3-1)

Dónde, es la señal bajo estudio , es el tiempo de muestreo de la

señal, es una función ventana y es el núcleo de la transformación (kernel) en el cual:

(3-2)

Donde, es el grado de la LPFT. Dentro de los elementos que hacen parte del polinomio en el exponente complejo de la LPFT se encuentra la frecuencia instantánea (IF) , su primera derivada y derivadas de órdenes superiores que dependerán del grado ( ) de la transformación. Todos ellos hacen parte de un conjunto de estimadores y están definidos como se muestra en la Ecuación (3-3) [49], [50]:

( ) (3-3)

Estos estimadores permiten determinar de manera aproximada las variaciones tiempo-frecuencia de la señal de interés [49], [50]. Razón por lo cual, la LPFT es utilizada para hallar la frecuencia instantánea (IF) de una señal y de sus derivadas, las cuales pueden ser interpretadas con las variaciones de la FI en función del tiempo [7]. De esta manera,

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para una señal que posea variaciones rápidas de FI es interesante determinar no solamente la primera derivada de la FI, sino sus derivadas de orden superior. Los estimadores agrupados en el vector presentan un intervalo sobre el cual pueden variar, ver Ecuación (3-4) [49].

{

} (3-4)

A partir de la definición mostrada en la Ecuación (3-1) se puede concluir que es una función periódica , con periodos iguales a ⁄ , donde . A partir de esto, el rango de valores que puede asumir cada estimador que hace parte del vector es [43]:

(

) (3-5)

Se considera que existe una relación entre la LPFT y el periodograma local polinomial (LPP) a través de las variaciones de la IF y sus derivadas dado que este último se define como la distribución de energía en el plano tiempo-frecuencia ( ). El LPP es definido de la siguiente forma:

| | (3-6)

Tanto la LPFT como el LPP pueden calcular aplicando el concepto de la aproximación local polinomial (LPA), la cual es una técnica no paramétrica que proporciona los estimadores de una función polinomial dentro de una ventana de análisis y está fundamentada en un ajuste polinómico medio cuadrático a partir de series truncadas de Taylor [51], [52]. En el caso de la LPFT, la LPA es utilizada para aproximar de manera local el vector de estimadores sobre un intervalo de ventaneado . Es decir, para cada instante de tiempo en el intervalo que dura la señal se calcula un vector que contiene un conjunto de coeficientes . De esta manera, no se puede considerar como un polinomio de coeficientes constantes en función del tiempo. Esta es la principal diferencia que existe entre el uso de estimadores no-paramétricos y la aplicación de estimadores paramétricos los cuales definen coeficientes independientes que son asumidos como constantes en la fase polinomial (ver Ecuación (3-2)) sin importar la variación del tiempo [52].

3.2 VARIABLES EN EL CÁLCULO DE LA LPFT

Para el cálculo de la LPFT y por consiguiente del LPP hay que tener en cuenta tres aspectos importantes: la señal, la función ventana seleccionada y el núcleo de la transformación que está compuesto por un polinomio de orden (ver Ecuación (3-1)).

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3.2.1 La señal

Aunque la señal es un patrón de datos con características particulares según el fenómeno que se mide, monitorea o analiza y su selección depende de quien realiza el análisis, es importante aclarar que para desarrollar tareas de procesamiento digital de señales (como el que se desarrolla en este trabajo) se requiere un adecuado muestreo de la señal. De esta manera, al ser la LPFT una generalización de la STFT, y esta es a su vez una modificación de la FT clásica, es necesario el tiempo de muestreo seleccionado durante el proceso de captura o digitalización de la señal cumpla con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon, el cual establece que la tasa de muestreo de una señal debe ser superior al doble de su ancho de banda [53], [54].

3.2.2 La función de ventanado En procesamiento digital de señales la función matemática que se usa para fraccionar una señal en varios trozos es conocida como ventana y al proceso de segmentar la señal en intervalos de análisis se denomina ventaneado [55]. Entre las funciones ventana más conocidas se encuentran la rectangular, gaussiana, haming y hann [55]–[57]. Para ser usada en el cálculo de la LPFT una función ventana debe poseer las siguientes propiedades matemáticas:

1. . Esta propiedad establece que el punto máximo de la ventana debe estar centrado en , el cual se considera como el punto de simetría. Cuando esto se cumple y a su vez aparece sobre el eje de simetría el punto máximo de la ventana se habla de ventanas simétricas, de lo contrario se consideran ventanas no simétricas [47], [52].

2. ; | | ; ∫

. Esta propiedad establece que el área bajo

la curva de una función ventana debe ser igual a . Cuando esta condición se cumple se habla de ventanas normalizadas de lo contrario son no normalizadas [46], [47].

De igual forma, las ventanas presentan otras características tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, las cuales son mostradas en la Tabla 3-1.

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Tabla 3-1. Características en el dominio del tiempo y frecuencia de las funciones ventana

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Ancho de la ventana Anchura del lóbulo principal

Longitud de la ventana Lóbulo secundario

Duración de la ventana

Magnitud del rizado

Selectividad

Fuente: Autor

La Figura 3-1 muestra de manera gráfica un ejemplo para una ventana gaussiana donde se relacionan algunas de las características presentadas en la Tabla 3-1.

(a) (b)

Figura 3-1. Función Gaussiana, (a). Dominio del tiempo, (b). Dominio de la frecuencia Fuente: Autor

A continuación, se presentan las definiciones de las características de una función ventana en el dominio de la frecuencia: Anchura del lóbulo principal: Este parámetro determina la capacidad de la

ventana para separar componentes de similar amplitud. Por lo cual establece la resolución del espectro. Además, es dependiente de la longitud de la ventana, de manera que entre más larga sea en el tiempo más estrecho será el lóbulo [57]–[59].

Lóbulo secundario: Este parámetro establece la manera en la cual la ventana distorsiona el espectro y pueden ocultar detalles o introducir componentes espectrales indeseables [57]–[59].

Magnitud del rizado: Este parámetro determina la habilidad de la ventana para representar la magnitud de las componentes frecuenciales [58], [59].

Selectividad: Este parámetro determina la capacidad de la ventana para separar componentes de diferente amplitud. El factor de forma permite conocer la selectividad de una ventana [58], [59].

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17

Durante el cálculo de la LPFT, el tipo de función y el ancho ( ) de ventana son parámetros seleccionados por quién realiza el análisis. Sin embargo, de la elección de la ventana depende la capacidad de resolución y dispersión espectral que la técnica de procesamiento pueda entregar [55]. Un diagrama de la influencia de la ventana en el cálculo de la LPFT y el LPP se muestra en la Figura 3-2. De acuerdo a este diagrama, es posible afirmar que para aumentar la resolución y disminuir la distorsión espectral se debe utilizar una ventana que en el dominio de la frecuencia tenga un lóbulo principal angosto y un lóbulo secundario muy pequeño [58]. Sin embargo, es difícil encontrar una ventana que cumpla esta condición ya que generalmente una función ventana puede mejorar la resolución sacrificando la dispersión espectral, o viceversa. Por esta razón, siempre hay que definir la prioridad según la aplicación y el tipo de estudio que se quiera realizar [58], [59].

Figura 3-2. Influencia del ventaneado sobre la resolución y distorsión espectral Fuente: Autor

La Tabla 3-2 muestra las características de varias funciones ventana en el dominio de la frecuencia. Dentro de las características más importantes se tienen el ancho del lóbulo principal, el nivel del lóbulo secundario, la magnitud del rizado y el factor de forma.

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18

Tabla 3-2. Características en el dominio de la frecuencia de las funciones ventana

Ventana Ancho lóbulo

principal Nivel lóbulo secundario

Magnitud del rizado

Factor de forma

Rectangular -13dB 3.92dB 750 Gaussiana -43dB 1.58dB 45.9 Hamming -41dB 1.40dB 9.2

Hann -31dB 1.40dB 9 Fuente: Adoptado de [58], [59]

Cabe aclarar que no existe una ventana más adecuada que otra, su apropiada elección dependerá de evaluar sus características en tiempo y frecuencia en relación al tipo de señal bajo estudio y de la experticia de quién hace el análisis. Por ejemplo, la ventana gaussiana presenta mayor selectividad que la ventana rectangular, es decir, permite diferenciar con mayor facilidad componentes de diferente amplitud que componentes de amplitud similar. Esta selectividad depende del factor de forma (ver Tabla 3-2), en cuyo caso presenta mayor selectividad a medida que disminuye su valor. Para complementar esta sección, la Tabla 3-3 muestra las definiciones matemáticas de las funciones ventana rectangular, gaussiana, hamming y hann. Estas funciones serán usadas para la construcción de la herramienta computacional basada en la LPFT.

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Tabla 3-3. Características en el dominio del tiempo de las funciones ventana

Nombre Expresión Matemática Variables

Función Rectangular

{

Ancho de la ventana

Muestras de la ventana

Función Rectangular Normalizada

{

Ancho de la ventana


Función Gauss

{ ⁄

Ancho de la ventana


Función Gauss Normalizada

{

√ ⁄

Ancho de la ventana


Función Hann

[ (

)]

Ancho de la ventana


Función Hamming

(

)

Ancho de la ventana


Fuente: Autor

Al analizar la información presentada en la Tabla 3-2 y la Tabla 3-3, es posible determinar que la ventana rectangular y gaussiana presentan un lóbulo principal más estrecho en comparación con otras ventanas de igual número de muestras, lo cual mejora la resolución espectral. Sin embargo, la gran magnitud del lóbulo secundario hace que detalles de baja intensidad en el espectro puedan ocultarse, o puede ocasionar que durante el análisis se incluyan componentes indeseables.

-100 -50 0 50 1000

0.5

1

1.5

Muestras

Am

plitu

d

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.05

Muestras

Am

plitu

d

-50 0 500

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

-50 0 500

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

_____________________________________________________________________________________________________

20

Al igual que no existe tipo de ventana adecuada, ocurre lo mismo con la selección del número de muestras de la función ventana. Si se utilizan ventanas anchas (mayor cantidad de muestras) la localización en el tiempo de los eventos es mucho mejor pero empeora la resolución en la frecuencia, caso contario cuando las ventanas son angostas. En consecuencia, en el caso de una señal con grandes variaciones en el tiempo sería propicio utilizar una ventana angosta como lo es la función gaussiana. De lo contrario, estaría bien utilizar una ventana rectangular o una ventana con un gran número de muestras (ventana ancha). No obstante, debido a que muchas veces la selección de la ventana es subjetiva, se recomienda que antes de iniciar cualquier estudio se realicen algunas pruebas preliminares con el fin seleccionar la función más adecuada.

3.2.3 El núcleo o kernel de la LPFT

Teniendo en cuenta el teorema de aproximación de Weierstrass [17], [50] la fase de una señal variable en el tiempo puede ser definida a través de una función polinomial. A este tipo de señales se les conoce como señales de fase polinomial (PPSs) y su modelo es el siguiente:

( ) (3-7)

Donde, es la fase polinomial de la señal y representa la amplitud de la misma. Para que una señal cumpla esta condición es importante que la función sea diferenciable respecto al tiempo con el fin de estimar la frecuencia instantánea (IF) y sus derivadas [43]. De esta manera, la IF de la señal puede ser definida como [49]:

⁄ (3-8)

Esta definición de la IF está relacionada con la estructura matemática de la LPFT, específicamente con su núcleo o kernel, ya que el polinomio de su exponencial compleja está constituido por los estimadores ( ). De esta

manera, la LPFT puede definirse como una técnica que utiliza una función polinomial para describir las características de IF de señales variantes en el tiempo, proporcionando así mejor concentración y resolución que la STFT [44], [52], [60]. Teniendo claro el modelo de señal usado, se debe tener en cuenta que los estimadores son el parámetro insignia de la LPFT. Sin embargo, la cantidad de operaciones que se deben realizar para determinar los estimadores (en cada instante de tiempo) aumenta en función de la función ventana utilizada, del número de muestras que posee la señal de interés y del orden polinomial . Por esta razón, se debe prestar especial atención en los métodos de cálculo que permitan obtener los estimadores de la manera más confiable y eficiente.

3.3 DESARROLLO DE ALGORITMOS PARA CALCULAR LA LPFT La LPFT, además de ser definida como se mostró en la Ecuación (3-1) puede ser expresada matemáticamente de la siguiente forma [43]:

_____________________________________________________________________________________________________

21

∑

(3-9)

Dónde, es la señal bajo estudio, es una función ventana y es el núcleo de la transformación. Aunque en las referencias originales se usan otros simbolos y abreviaturas, para esta ecuación se conservan las mismas expresiones presentadas desde la Ecuación (3-2) hasta la Ecuación (3-4). Existen en la literatura dos maneras de calcular los estimadores y por tanto realizar el cálculo de la LPFT y del LPP. El primero de ellos fue implementado por Li Xiumei en [45]. En este método se aplica una función ventana para dividir la señal y modelar cada porción como una señal PPS estimando sus parámetros de fase a través de la transformación polinomial tiempo frecuencia (PTFT), para luego si calcular la LPFT [18], [45], [61]–[63]. El segundo es el método propuesto por Katkovnik en [42], [43], [46]–[48] y se basa en la aplicación de la LPA para determinar el valor de los estimadores en cada instante de tiempo. En este método la LPA busca los puntos de mayor concentración de energía en el LPP (ver Ecuación (3-6)) mediante el siguiente problema de optimización [47], [64]:

(3-10)

La adecuada localización de cada estimador de la LPA se asegura mediante la función ventana , la cual sólo considera las observaciones en la vecindad del punto central sobre el cual se está calculando la aproximación local. Para el desarrollo de este trabajo se ha tomado como punto de referencia el método propuesto por Katkovnik que se basa en el concepto de la LPA. Sin embargo, se realizan algunas aclaraciones sobre las definiciones presentadas en la literatura y se describe el proceso completo para la implementación computacional de LPFT a partir de dos algoritmos que permiten dar solución al problema de optimización presentado en la Ecuación (3-10). Estos algoritmos hacen parte de los aportes más importantes de este trabajo pues en ninguna de las publicaciones hechas por el autor mencionado se presentan de manera completa. Teniendo en cuenta los parámetros necesarios para el cálculo de la LPFT, los datos de entrada para los dos algoritmos propuestos en este trabajo son:

a. La señal bajo estudio que debe estar compuesta por un vector de tiempo ( ) y un vector de amplitud ( )

b. El tipo de función (rectangular, gaussiana, haming, hann, etc.), el ancho ( ) y la amplitud ( ) de la ventana

c. El orden del polinomio con el cual se definirá el argumento definido en la Ecuación (3-2).

d. El valor inicial y final de cada uno de los estimadores con su respectiva resolución . Por ejemplo, el estimador de frecuencia instantánea estará definido como .

_____________________________________________________________________________________________________

22

Al conjunto de estimadores de los cuales se requieren datos iniciales dependiendo el valor de se les define como . Teniendo en cuenta el numeral d listado en los parámetros de entrada, al seleccionar un orden polinomial sólo se podrá calcular el estimador , si se define se obtendrán los estimadores y y así sucesivamente. De esta manera, se deberán calcular estimadores dependiendo del orden de la LPFT. Esto ocurre para ambos algoritmos. 3.3.1 Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos Este algoritmo se caracteriza por que evalúa de forma simultanea los valores de , creando todas las posibles combinaciones de los estimadores que puedan existir dentro de los límites definidos. Para este proceso, se requiere construir matrices de dimensiones dependiendo del orden definido para la LPFT. De esta manera, se tendrán un vector para , matrices de dos dimensiones para y así sucesivamente. Para este método luego de contar con las variables iniciales se procede a:

a. Calcular el período de muestreo de la señal , el número de muestras de la

señal

b. Calcular el vector o las matrices de dimensiones para tener las combinaciones de , ,…, dependiendo del orden de la LPFT

c. Calcular la LPFT,

(

)

d. Calcular el LPP, | | e. Calcular el valor máximo de , f. Guardar el valor máximo de

g. Calcular el LPP normalizado

h. Hallar posición en la matriz en la se encuentra el valor máximo del i. Buscar en el vector o en las matrices el valor de j. Almacenar los valores encontrados de , en una matriz llamada

Todo este proceso se realiza para cada instante de tiempo de la señal bajo análisis. Al final como parámetros de salida del algoritmo se obtendrá el , y los estimadores . Sin embargo, debido a la cantidad de datos que se generan para establecer todas las combinaciones posibles de y el tamaño considerable de memoria que se requiere para almacenar esta información durante el proceso de cómputo, en este trabajo sólo se ha implementado este algoritmo para calcular la LPFT y el LPP con órdenes . Teniendo en cuenta estos ajustes y dependiendo del orden polinomial definido, este algoritmo permite mostrar de manera gráfica las siguientes relaciones: Gráficas en 2D: relación entre cada estimador y el tiempo (por ejemplo: vs ) Gráficas en 3D: comportamiento del LPP o el LPP normalizado en función de dos

estimadores (por ejemplo: LPP vs vs o LPPnorm vs vs ). Además, se

_____________________________________________________________________________________________________

23

puede graficar el LPP o el LPP normalizado en función de un estimador y el tiempo (por ejemplo: LPP vs vs o LPPnorm vs vs )

Finalmente, la Figura 3-3 muestra el algoritmo de cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos [65].

Figura 3-3. Algoritmo cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

24

3.3.2 Cálculo de la LPFT con estimadores individuales Este algoritmo fue construido teniendo en cuenta las consideraciones realizadas por Katkovnik en [52]. Estas recomendaciones permiten la formulación de un algoritmo basado en una optimización unidimensional para cada iteración que se realice en busca de los estimadores . Aunque en [52] se afirma que este método de calculo ha presentado resultados exitosos para calcular la LPFT y el LPP con , en este trabajo de grado se ha implementado un algoritmo que permite calcular la LPFT, el LPP y los estimadores hasta el orden . En contraste con el primer algoritmo, este método calcula cada uno de los estimadores de manera individual, es decir, se evalúa inicialmente con , se calcula el LPP y se busca el valor de en el cual el LPP presenta el valor máximo

. Este proceso se realiza para cada instante

de tiempo. Posteriormente, con los valores encontrados de y con

se calcula el LPP y se busca el valor de en el cual el

LPP presenta el máximo

[52][42], esto nuevamente

para cada instante de tiempo. Este proceso se repite nuevamente hasta el valor seleccionado de , que para este trabajo es 6 como máximo. Para este algoritmo, después de tener las variables iniciales se procede a:

a. Calcular el período de muestreo de la señal , el número de muestras de la

señal

b. Ingresar como un vector y dependiendo el valor de

c. Calcular la LPFT, d. Calcular el LPP | | e. Calcular el valor máximo de , ( )

f. Calcular el LPP normalizado

g. Hallar la fila y columna en la se encuentra el valor máximo del h. Buscar en el vector , la posición fila-columna i. Almacenar los valores encontrados de

, en una matriz llamada j. Con los valores de

ingresar como un vector y

k. Calcular La LPFT, ( ) (

)

(

)

l. Calcular LPP ( ) | (

)|

m. Calcular el valor máximo de ( ), ( (

))

n. Guarda el valor máximo de ,

o. Calcular el LPP normalizado

p. Hallar posición en la matriz en la se encuentra el valor máximo del q. Buscar en el vector o en las matrices el valor de

_____________________________________________________________________________________________________

25

r. Almacenar los valores encontrados de , en una matriz llamada Todo este proceso se realiza para cada instante de tiempo de la señal bajo análisis y se repite individualmente para cada estimador según el valor de Al terminar el algoritmo como parámetros de salida se obtendrá el , y los estimadores . Teniendo en cuenta la dificultad (por hardware) de graficar vectores en 3D en MATLAB y el orden polinomial definido, este algoritmo permite visualizar: Gráficas en 2D: relación entre cada estimador y tiempo (por ejemplo: vs ) Gráficas en 3D: comportamiento del LPP o el LPP normalizado en función de un

estimador y el tiempo (por ejemplo: LPP vs vs o LPPnorm vs vs ) En la Figura 3-4 se muestra el algoritmo cálculo de la LPFT con estimadores individuales.

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26

Figura 3-4. Algoritmo cálculo de la LPFT con estimadores individuales Fuente: Autor

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27

3.4 CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO Con este capítulo se da cumplimiento al objetivo específico 1 “Examinar y

comprender la estructura matemática de la transformación local polinomial de Fourier resaltando sus propiedades y aplicaciones” y cumplimiento parcial al objetivo específico 2 “Desarrollar un algoritmo (a nivel de software) para el cálculo de la transformación local polinomial de Fourier que facilite la implementación de la herramienta computacional”.

La LPFT, a diferencia de otras técnicas para el procesamiento de señales (FT, STFT,

Wavelet, entre otras) permite estimar las variaciones de frecuencia instantánea y sus derivadas para una señal en cada instante de tiempo. Esto se consigue gracias a que su núcleo de transformación (kernel) posee un polinomio cuyo orden mejora la precisión con la que se localizan las componentes de frecuencia de la señal en el tiempo.

Se propusieron dos algoritmos para el cálculo de la LPFT basados en la aplicación de

la aproximación local polinomial (LPA). El algoritmo 1, evalúa de forma simultánea los valores de los estimadores , creando todas las combinaciones posibles dentro de los límites definidos, mientras que el algoritmo 2 evalúa los estimadores de manera individual.

La correcta aplicación de los algoritmos propuestos para el cálculo de la LPFT

dependen de una adecuada selección de la función ventana, el orden polinomial y el rango de los estimadores . Además, para el uso adecuado de los códigos desarrollados se recomienda tener un conocimiento preliminar de la naturaleza de la señal bajo estudio (mecánica, acústica, eléctrica, óptica, etc.) con el fin de seleccionar de manera adecuada los rangos de los estimadores y así reducir los tiempo de computo.

_____________________________________________________________________________________________________

28

4 VALIDACIÓN DE ALGORITMOS PARA EL

CÁLCULO DE LA LPFT Para verificar la operación de los algoritmos propuestos para el cálculo de la LPFT y obtener las variables de salida establecidas ( , y los estimadores ) es necesario realizar un proceso de validación con cada uno de ellos. Este capítulo presenta, a partir de la selección de cuatro casos de estudio documentados en la literatura, el proceso de revisión al que fueron sometidos los dos algoritmos (programados en MATLAB®) para el cálculo de la LPFT. Además, se analizan los resultados obtenidos con ambos algoritmos a partir de una comparación gráfica y se calcula el error en el cálculo de los estimadores. Finalmente, se evalúa la influencia de la función ventana en el cálculo del periodograma local polinomial (LPP).

4.1 SELECCIÓN DE LOS CASOS DE SIMULACIÓN Con el fin de seleccionar los casos de simulación para la validación de los dos algoritmos propuestos, se realizó una revisión bibliográfica para definir los casos de estudio teniendo en cuenta los siguientes criterios: (a) que la señal bajo estudio tuviera una expresión matemática, (b) que se mostrara gráficamente el comportamiento del LPP en función del tiempo o de los estimadores luego de aplicar la LPFT y, (c) que las publicaciones en las que se presentan las señales de interés tuviesen alto impacto dentro de la comunidad científica en procesamiento de señales. Este último aspecto, se midió a partir del número de citaciones de cada referencia y fue tenido en cuenta con el ánimo de garantizar que los resultados presentados allí brindaran confianza para ser usados como punto de comparación. La Tabla 4-1 muestra de manera resumida las expresiones matemáticas, las representaciones gráficas y la referencia bibliográfica de cada uno de los casos de validación seleccionados. Debido a la gran extensión de resultados obtenidos con los cuatro casos de validación, en este capítulo se muestran los casos 1 y 2, mientras los casos 3 y 4 se presentan en el Anexo A. En el proceso de validación de ambos códigos se realizaron 178 simulaciones.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

29

Tabla 4-1. Casos de simulación para la validación

Nombre Expresión matemática Autor Nombre publicación

Caso 1: Función Chirp

( ) Vladimir

Katkovnik

“A new form of the Fourier transform for time-varying frequency estimation” [52]

Caso 2: Función Multicomponente Formada por Chirps

( ) ( ) Li Xiumei

“Local polynomial Fourier transform: A review on recent

developments and applications” [18]

Caso 3: Función Fase Sinusoidal

Vladimir

Katkovnik

“Discrete-time local polynomial approximation of the instantaneous frequency”

[43]

Caso 4: Función Frecuencia Modulada (FM) Parabólica

( ) Li Xiumei

“Local polynomial Fourier transform: A review on recent

developments and applications” [18]

Fuente: Autor

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 20 40 60 80 100-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

30

4.2 PROCEDIMIENTO DE VALIDACIÓN Para verificar el buen funcionamiento de los códigos desarrollados para el cálculo de la LPFT, se estableció un proceso de validación compuesto de las siguientes etapas: a. Realizar la extracción de los resultados presentados en la referencia bibliográfica de

la cual se seleccionó el caso de estudio b. Definir los parámetros de entrada para el algoritmo 1 (basado en el cálculo de

estimadores simultáneos) y el algoritmo 2 (basado en el cálculo de estimadores individuales)

c. Presentar los resultados obtenidos de la simulación de cada código d. Comparar visualmente los resultados presentados en la literatura con los resultados

obtenidos con los códigos propios. Esta comparación estará limitada por el orden de la LPFT y por la manera en que son presentados los resultados en cada referencia

e. Comparar la información teórica de la señal analizada con los resultados obtenidos de los códigos propios. Para esto, se calcula (en cada algoritmo) el valor de la raíz cuadrada del error medio cuadrático SRMSE [43], el cual es definido como:

√

∑

(4-1)

El SRMSE se utilizó como indicador de comparación debido a que permite obtener un estimado global del error para todos los valores calculados, en vez de obtener errores individuales. Cabe aclarar que dependiendo del orden polinomial ( ) seleccionado se obtendrán hasta estimadores. Por lo tanto, en los casos en que no se puedan graficar ciertos parámetros, aparecerá la sigla N/A (no aplica) en la respectiva tabla de resultados. Este proceso de validación se llevará a cabo para los cuatros casos de estudio presentados en la Tabla 4-1. Adicionalmente, en el proceso de validación también se compararán los tiempos de cómputo obtenidos con ambos códigos, así como se presentará la mejor solución “local” comparando para cada caso el SRMSE calculado.

4.3 CASO 1: FUNCIÓN CHIRP

4.3.1 Resultados presentados en la literatura

La función chirp usada para la validación de los algoritmos de la LPFT y mostrar el comportamiento del LPP en función del tiempo y los estimadores fue tomada de [52]. Esta función presenta la siguiente estructura matemática:

( ) (4-2)

La variables de simulación usadas para analizar esta señal fueron: período de muestreo , ancho de la ventana [muestras] (0.5 [s]) y un orden polinomial

_____________________________________________________________________________________________________

31

. Los resultados presentados en la Figura 4-1 y extractados de [52] muestran el comportamiento del LPP con relación a la variación de la IF y el tiempo (ver Figura 4-1 (a)) y el comportamiento del LPP con relación a la variación de la IF y la primera derivada de la IF (ver Figura 4-1 (b)).

(a) (b)

Figura 4-1. Comportamiento del LPP de la señal chirp, (a). LPP vs ω1 vs ω2, (b). LPP vs ω1 vs t Fuente: [52]

Teniendo en cuenta que la fase polinomial de la señal chirp es , y conociendo la definición presentada en la Ecuación (3-8), la IF de la señal es . Esta función tiene un comportamiento lineal con respecto al tiempo tal y como se observa en la Figura 4-1 (a). Por otra parte, al calcular la primera derivada de la IF esta tiene un valor , valor que se mantiene constante sin importar las variaciones de la IF y del tiempo, tal y como se muestra en la Figura 4-1 (b). En este caso, las simulaciones presentadas en [52] solo fueron realizadas para calcular los estimadores y debido a que si se continua con el proceso de derivación de para hallar sus valores serían cero. 4.3.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos

A partir de las características que presenta la señal chirp se definieron las siguientes variables de entrada para validar los dos algoritmos de la LPFT:

Características de la señal: tiempo inicial tiempo final

tiempo de muestreo Ventana: Función rectangular simétrica normalizada con ancho variable

[muestras] Grado del polinomio de la LPFT: Rango de análisis para los estimadores: , ,

Combinando todos los parámetros mencionados se realizaron 36 simulaciones en total.

_____________________________________________________________________________________________________

32

4.3.3 Simulaciones algoritmo 1 Para el caso del cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos (algoritmo 1), la Tabla 4-2 muestra en 3D el comportamiento del LPP en función de y del tiempo y el LPP en función de y . En ambos casos se usó un ancho de ventana de 8 muestras (0.8 [s]) y se varió el orden polinomial .

Tabla 4-2. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 1 y

m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores individuales

1

N/A

2

3

Fuente: Autor

Revisando las figuras de la columna izquierda de la Tabla 4-2 se puede observar como el LPP se concentra a medida que el orden polinomial aumenta, mejorando así la resolución en el cálculo del estimador . Además, revisando las figuras de la columna derecha de la Tabla 4-2 es posible ver como el comportamiento del LPP en función de la IF y su primera derivada presenta problemas de resolución que impiden determinar con claridad el valor de los estimadores . Con el propósito de determinar la influencia que tiene el ancho (duración) de la ventana sobre el LPP y el cálculo de los estimadores , y , se realizaron otro grupo de simulaciones usando nuevamente el algoritmo 1, pero esta vez usando una

_____________________________________________________________________________________________________

33

ventana de mayor duración. La Tabla 4-3 presenta para este caso los resultados del LPP variando el orden polinomial desde hasta y trabajando con una ventana de 50 muestras.

Tabla 4-3. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 1 y m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores simultaneos

1

N/A

2

3

Fuente: Autor

Al comparar las imágenes de la columna izquierda de la Tabla 4-3 se puede evidenciar que el uso de ventanas anchas para el cálculo de la LPFT con un orden polinomial (STFT) provoca en el LPP un comportamiento sin una tendencia definida y con múltiples máximos por cada tiempo analizado. Este comportamiento aleatorio genera problemas de resolución para determinar el estimador . De igual manera, es posible concluir para este caso en particular que el uso de ventanas anchas es válido para el cálculo del LPP siempre y cuando se usen aproximaciones polinomiales de orden superior ( ). Este comportamiento se evidencia en los resultados del LPP mostrados en la segunda y tercera fila de la Tabla 4-3, donde se observan mejoras en la resolución de los estimadores y y luego de aplicar la LPFT de orden 2 y de orden 3, respectivamente. Es importante mencionar que al establecer una comparación visual entre los resultados presentados en la Tabla 4-3 para

_____________________________________________________________________________________________________

34

orden polinomial 2 y los resultados mostrados en la Figura 4-1 (tomados de [52]) se obtienen comportamientos similares del LPP. Con el fin de comprobar la veracidad de los resultados obtenidos con el algoritmo 1 se usó el SRMSE como indicador de la diferencia entre los resultados obtenidos de la simulación con los valores teóricos que pueden ser obtenidos matemáticamente al reemplazar, para cada tiempo analizado, las expresiones de y presentadas en la sección 4.3.1. La Tabla 4-4 muestra los SRMSE calculados para los estimadores y respecto a la variación del ancho de la ventana y del orden de la LPFT . Sin embargo, se debe tener en cuenta que en algunos casos no es posible realizar el cálculo de los errores debido a que el orden polinomial restringe la cantidad de estimadores que se pueden obtener en el proceso.

Tabla 4-4. SRMSE de los estimadores , , calculados con algoritmo 1

h\m SRMSE - SRMSE - SRMSE -

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 0.0143 0.0143 0.0155 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 3.1218

8 0.0143 0.0143 0.0169 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0.6964

20 14.934 0.0143 0.0169 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0.1225

50 6.4871 0.0143 0.0169 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0.0261

80 25.647 0.0143 0.0143 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0

100 6.3416 0.0143 0.0143 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0

Fuente: Autor

De la Tabla 4-4 se puede evidenciar que para el estimador se obtienen los mejores resultados (buena resolución) al usar ventanas pequeñas y un orden polinomial o al usar cualquier ancho de ventana con un orden superior ( ). Para el caso de la señal chirp seleccionada, se observa que para un orden polinomial el error mínimo de los estimadores y se mantiene constante sin importar el ancho de la ventana. Este comportamiento permite deducir que el orden polinomial es el orden óptimo de la LPFT para determinar los valores de los estimadores de IF y su primera derivada. Además, estos resultados confirman la consistencia del algoritmo 1 y aseguran que su implementación computacional ha sido realizada correctamente. En cuanto al estimador el error se hace cero cuando se utilizan ventanas anchas y un . En las simulaciones de validación se incluyó dicho orden para corroborar que ambos algoritmos son capaces de calcular el valor de cualquier estimador así este sea igual a cero para cualquier tiempo. Finalmente, analizando los resultados mostrados en la Tabla 4-4 y luego de usar el algoritmo 1, se muestra que la mejor solución “local” se encuentra con un ancho de ventana de muestras.

4.3.4 Simulaciones algoritmo 2 En el caso del cálculo de la LPFT con estimadores individuales (algoritmo 2), la Tabla 4-5 presenta por un lado el comportamiento del LPP en función de y el tiempo ,

_____________________________________________________________________________________________________

35

y por el otro, el comportamiento del LPP en función de y el tiempo . En este caso se usó un ancho de ventana de 8 muestras (0.8 [s]) y se varió Cabe recordar que el algoritmo 2 sólo muestra el comportamiento del LPP en función de cada estimador por separado y del tiempo. Caso contrario al del algoritmo 1 que además de presentar los resultados como lo hace el algoritmo 2 también puede presentar gráficos del LPP en función de la IF, de su primera derivada o de derivadas. Esto último representa una ventaja al usar el algoritmo 1.

Tabla 4-5. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 2 y m Algoritmo 2: Cálculo de la LPFT con estimadores individuales

1

N/A

2

3

Fuente: Autor

Al revisar las dos columnas de la Tabla 4-5 se observa que tanto el LPP en función de y el tiempo como el LPP en función de y el tiempo se mantienen constantes con respecto al orden de la LPFT. Sin embargo, para cualquier orden polinomial el LPP de la columna izquierda se muestra más concentrado que el LPP de la columna derecha, esto significa que la resolución de es mucho mejor que la de su primera derivada . Si se compara visualmente la gráfica del LPP en función de y el tiempo de la Tabla 4-5 para orden 2 o 3 contra los resultados presentados

_____________________________________________________________________________________________________

36

en la Figura 4-1 (a) (tomados de [52]), se consiguen resultados similares lo que valida el funcionamiento del algoritmo 2. Así como se hizo con el algoritmo 1, para evaluar la influencia del ancho (duración) de la ventana y el orden de la LPFT sobre el LPP se llevó a cabo un grupo de simulaciones usando nuevamente el algoritmo 2 y un ancho de ventana mayor. La Tabla 4-6 muestra el comportamiento LPP para una ventana de 50 muestras, variando .

Tabla 4-6. Comportamiento del LPP de la señal chirp con algoritmo 2 y m Algoritmo 2: Cálculo de la LPFT con estimadores individuales

1

N/A

2

3

Fuente: Autor

En la Tabla 4-5 y en la Tabla 4-6, se observa que el LPP en función de y el tiempo , así como el LPP en función de y el tiempo no varían con respecto al orden polinomial de la LPFT. Sin embargo, al utilizar el algoritmo 2 para el cálculo de la LPFT con un ancho de ventana de 50 muestras el LPP tiene un comportamiento variable en el que existen múltiples máximos. Esto significa que para el análisis de la señal chirp con el algoritmo 2 es mejor utilizar ventanas pequeñas ya que estas ventanas concentran los puntos máximos y mejoran la resolución de los estimadores y .

_____________________________________________________________________________________________________

37

Con el fin de corroborar la veracidad de los resultados obtenidos con el algoritmo 2 se utilizó nuevamente el SRMSE. La Tabla 4-7 presenta los SRMSE para en función de la variación del ancho de la ventana y del orden de la LPFT . Se debe tener en cuenta que en algunos casos no es posible realizar el cálculo de los errores debido a que el orden polinomial restringe la cantidad de estimadores que se pueden obtener en el proceso.



1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 0.014 0.014 0.014 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 2.28 8 0.014 0.014 0.014 N/A 0.02 0.02 N/A N/A 0.28

20 14.93 14.93 14.93 N/A 15.12 15.12 N/A N/A 3.37 50 6.48 6.48 6.48 N/A 3.97 3.97 N/A N/A 0.10 80 25.64 25.64 25.64 N/A 10.64 10.64 N/A N/A 1.40

100 6.34 6.34 6.34 N/A 1.77 1.77 N/A N/A 0.94

Fuente: Autor

De la Tabla 4-7 se puede concluir que tanto para el estimador como para y existe sólo un valor de error por cada ancho de ventana sin importar la variación de . Esto se produce debido a que el algoritmo 2 halla el máximo de cada estimador de manera individual y toma este valor para hacer el cálculo del estimador siguiente. Igualmente, analizando la Tabla 4-7 se puede afirmar que la mejor solución arrojada por el algoritmo 2 se encuentra con un ancho de ventana de muestras. 4.3.5 Comparación de resultados entre códigos Una de las características importantes que hay que resaltar es el tiempo de cómputo que emplea cada algoritmo para calcular la LPFT. En la Figura 4-2 se muestra el comportamiento del tiempo de cómputo para el algoritmo 1 y el algoritmo 2. Para realizar las simulaciones de validación se usó un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM. En la Figura 4-2 se puede apreciar que a medida que el ancho de la ventana y el orden de la LPFT aumentan, los tiempos de cómputo se incrementan. Si se observa la Figura 4-2 (a) y (b) se puede notar que para conseguir tiempos de cómputo menores a 10 [s] es necesario usar un orden polinomial bajo ( ) con una duración de ventana inferior a las 50 muestras. Sin embargo, como se muestra en la Figura 4-2 (c), al utilizar el algoritmo 2 se logran tiempos de computo menores a 0.5 [s] sin importar el valor de y seleccionado. Estos resultados muestran que el algoritmo 2 calcula la LPFT mucho más rápido que el algoritmo 1. Siguiendo con la metodología de validación, en la Tabla 4-8 se muestran las mejores soluciones locales dentro de las opciones de simulación dadas en la subsección 4.3.2 para cada algoritmo en función del orden . El primer criterio de selección fue el SRMSE, en el caso en que dos o más soluciones presentarán el mismo error, el segundo criterio de decisión evaluado fue el tiempo de cómputo empleado para el cálculo de la LPFT.

_____________________________________________________________________________________________________

38

(a) (b)

(c)

Figura 4-2. Tiempos computacionales, (a) Algoritmo 1 con (b) Algoritmo 1 con , (c) Algoritmo 2 con , 3

Fuente: Autor

Tabla 4-8. Soluciones óptimas del algoritmo 1 y del algoritmo 2 en función de Orden LPFT

Algoritmo 1

Algoritmo 2

: Ancho de la ventana : Tiempo de Cómputo

Fuente: Autor

Al comparar la mejor solución del algoritmo 1 frente a la del algoritmo 2 (mostradas en la Tabla 4-8) se puede observar que al utilizar órdenes la solución local se consigue al utilizar el mismo ancho de ventana en ambos códigos, mientras con

_____________________________________________________________________________________________________

39

la solución del algoritmo 1 y del algoritmo 2 se obtienen con diferentes, 80 y 8 muestras respectivamente. Finalmente, si se compara la Tabla 4-4 de los SRMSE para el algoritmo 1 y la Tabla 4-7 de los SRMSE para el algoritmo 2 se puede observar que al seleccionar un orden los errores son los mismos para ambos algoritmos. Adicionalmente, la Figura 4-2 muestra que para este caso en específico ( ) los tiempos computacionales son muy similares con los dos algoritmos.

4.4 CASO 2: FUNCIÓN FRECUENCIA MODULADA (FM) PARABÓLICA

4.4.1 Resultados presentados en la literatura La función frecuencia modulada (FM) parabólica usada para la validación de los algoritmos de la LPFT fue tomada de [18]. Esta función presenta la siguiente estructura matemática:

( ) (4-3)

Las variables de simulación fueron: tiempo inicial y tiempo final .

En la Figura 4-3 se muestra el resultado de la representación de la señal FM parabólica en el dominio de la LPFT.

Figura 4-3. LPP de la señal FM parabólica Fuente: [18]

4.4.2 Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos

A partir de las características que presenta la señal FM parabólica se definieron las siguientes variables de entrada para validar los dos algoritmos desarrollados de la LPFT:



[muestras]

_____________________________________________________________________________________________________

40

Grado del polinomio de la LPFT: Rango de análisis para los estimadores: ,

, Disponiendo de todos los parámetros mencionados se realizaron en total 36 simulaciones. 4.4.3 Simulaciones algoritmo 1 Para el caso del cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos, la Tabla 4-9 muestra el comportamiento de la frecuencia instantánea en función del tiempo para un ancho de ventana de 50 y 500 muestras variando el orden polinomial .

Tabla 4-9. IF en función del tiempo de la señal FM parabólica con algoritmo 1

m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos

1

2

3

Fuente: Autor

Al revisar la columna izquierda de la Tabla 4-9 se observa que se mantiene constante con respecto al orden de la LPFT cuando se usa una ventana de . Sin embargo, la columna derecha si presenta cambios al variar el orden polinomial Al comprar las dos columnas se observa que el LPP de la columna de la derecha (con

_____________________________________________________________________________________________________

41

) es más concentrado, lo cual significa que la resolución de es mucho mejor cuando se emplea un mayor ancho de ventana. Además, si se contrasta la gráfica de vs. usando y con el resultado presentado en [18] (mostrado en la Figura 4-3), se observa que los resultados son similares. Esta cercanía en los resultados valida el funcionamiento del algoritmo 1. Con el fin de comprobar la veracidad de los resultados obtenidos del cálculo de la LPFT usando estimadores simultáneos (algoritmo 1) se evaluó el SRMSE. La Tabla 4-10 muestra los SRMSE calculados para los estimadores y respecto a la variación del ancho de la ventana y del orden de la LPFT . En algunos casos no es posible realizar el cálculo de los errores debido a que el orden polinomial restringe la cantidad de estimadores que se pueden obtener.



1 2 3 1 2 3 1 2 3

20 0.045 0.046 0.045 N/A 0.0046 0.0036 N/A N/A 0.0073

50 0.045 0.046 0.045 N/A 0.0046 0.0045 N/A N/A 0.0073

100 0.045 0.046 0.045 N/A 0.0046 0.0055 N/A N/A 0.0035

250 0.047 0.046 0.046 N/A 0.0075 0.0058 N/A N/A 0.0014

400 0.075 0.046 0.046 N/A 0.0057 0.0056 N/A N/A 0

500 0.115 0.046 0.046 N/A 0.0048 0.0048 N/A N/A 0

Fuente: Autor

De la Tabla 4-10 se puede evidenciar que para el estimador los resultados son similares al variar para las ventanas . Para el caso de la señal FM parabólica, se observa que para un orden polinomial el mínimo SRMSE se consigue utilizando . Este comportamiento permite establecer que estas tres duraciones de ventana proporcionan los mejores resultados tanto para el estimador como para . En cuanto al estimador el error se hace cero cuando se utilizan ventanas anchas. Sin embargo, bajo estas condiciones los errores para y son los más altos. Esto significa que mejorar la resolución del estimador empeora la resolución de y en mayor o menor proporción. Además, dicha variación en la resolución de los estimadores depende del ancho de la ventana seleccionado. Este comportamiento va de la mano con el principio de incertidumbre el cual plantea que no es posible tener una buena resolución en los dominios del tiempo, de la FI y de sus derivadas, todos a la vez. Finalmente, analizando los resultados mostrados en la Tabla 4-10 y luego de usar el algoritmo 1, la mejor solución “local” se encuentra con un ancho de ventana de muestras. El criterio para definir este ancho de ventana, es que usando arrojó los menores errores para los estimadores y

_____________________________________________________________________________________________________

42

4.4.4 Simulaciones algoritmo 2 En el caso del cálculo de la LPFT con estimadores individuales (algoritmo 2), la Tabla 4-11 presenta la frecuencia instantánea en función del tiempo para un ancho de ventana de 50 y 500 muestras variando el orden polinomial .

Tabla 4-11. IF en función del tiempo de la señal FM parabólica con algoritmo 2


1

2

3

Fuente: Autor

Al revisar las dos columnas de la Tabla 4-11 se observa que tanto la frecuencia instantánea en función del tiempo con como para se mantienen constantes respecto a la variación del orden de la LPFT. Sin embargo, para cualquier orden polinomial el LPP usando una ventana de muestras (columna derecha) es más concentrado que el LPP usando (columna izquierda). Si se comparan visualmente las gráficas presentadas en la columna izquierda de la Tabla 4-11 con los resultados presentados en la Figura 4-3 (tomados de [18]) se consiguen resultados similares, lo cual valida el funcionamiento del algoritmo 2. La Tabla 4-12 presenta los SRMSE para en función de la variación del ancho de la ventana y del orden de la LPFT . De estos resultados, se puede concluir que

_____________________________________________________________________________________________________

43

tanto para el estimador como para y existe sólo un valor de error por cada ancho de ventana sin importar la variación del orden polinomial. En este caso, cuando se usa se obtiene la “mejor” solución.



1 2 3 1 2 3 1 2 3

20 0.045 0.045 0.045 N/A 0.0036 0.0036 N/A N/A 0.0164

50 0.045 0.045 0.045 N/A 0.0045 0.0045 N/A N/A 0.0058

100 0.045 0.045 0.045 N/A 0.0056 0.0056 N/A N/A 0.0034

250 0.047 0.047 0.047 N/A 0.0076 0.0076 N/A N/A 0.0016

400 0.075 0.075 0.075 N/A 0.0097 0.0097 N/A N/A 0.0017

500 0.115 0.115 0.115 N/A 0.0105 0.0105 N/A N/A 0

Fuente: Autor

4.4.5 Comparación de resultados entre códigos En la Figura 4-4 se muestra el comportamiento del tiempo de cómputo para el algoritmo 1 y el algoritmo 2. Para llevar a cabo las simulaciones de validación de la señal FM parabólica se empleó un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM.

(a) (b)

(c)

Figura 4-4. Tiempos computacionales, (a) Algoritmo 1 con (b) Algoritmo 1 con , (c) Algoritmo 2 con , 3

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

44

Al comparar la Figura 4-4 (a) con la Figura 4-4 (c) se observa que sin importar el algoritmo utilizado cuando los tiempos de cómputo son menores a 0.1 [s]. En la Figura 4-4 (b) se evidencia que utilizando el algoritmo 1, con un y un =500 [muestras] el tiempo de computo es 1435 [s] mientras que al utilizar el algoritmo 2 con el mismo valor de y el tiempo de cómputo es de 0.76 [s]. Es decir, para este caso en particular, el algoritmo 1 demora 1888 veces más que el algoritmo 2 en hacer el cálculo de la LPFT. Este mismo fenómeno ocurre con . Continuando con la metodología de validación, en la Tabla 4-13 se muestran las mejores soluciones locales dentro de las opciones de simulación dadas en la subsección 4.4.2 para cada algoritmo en función del orden . El primer criterio de selección fue el SRMSE, en el caso en que dos o más soluciones presentarán el mismo error el segundo criterio de decisión evaluado fue el tiempo de cómputo.

Tabla 4-13. Soluciones óptimas del algoritmo 1 y del algoritmo 2 Orden LPFT

Algoritmo 1

Algoritmo 2

: Ancho de la ventana : Tiempo de Cómputo

Fuente: Autor

En la Tabla 4-13 se puede observar que las soluciones locales de ambos algoritmos con se consiguen con los mismos parámetros, mientras que con los mejores resultados se consiguen usando una ventana de muestras para el algoritmo 1 y una ventana muestras para algoritmo 2. Por último, si se comparan los SRMSE presentados en la Tabla 4-10 para el algoritmo 1 con los presentados en la Tabla 4-12 para el algoritmo 2, se puede observar que al seleccionar cualquier valor de con un orden los errores son los mismos para ambos algoritmos. Por ejemplo, con y el SRMSE de tanto para el algoritmo 1 como para el algoritmo 2 es de 0.0472. Adicionalmente, los SRMSE de los estimadores de ambos algoritmos son muy similares aunque con y se consiguen errores menores con el algoritmo 1.

_____________________________________________________________________________________________________

45

4.5 INFLUENCIA DE LA VENTANA Teniendo en cuenta las definiciones matemáticas mostradas en la Tabla 3-3 para diferentes funciones ventana (rectangular, gaussiana, haming y hann), se realizó un grupo de simulaciones para revisar la influencia del tipo y del ancho de la ventana sobre el cálculo de la LPFT y su respectivo LPP. Para ello, se utilizó la señal FM parabólica del caso 2 y definida en la Ecuación (4-3). Los siguientes fueron los parámetros de simulación empleados:


tiempo de muestreo Ancho de ventana: Tipo de ventana: rectangular normalizada, rectangular derecha normalizada,

rectangular izquierda normalizada, gaussiana normalizada, gaussiana derecha normalizada, gaussiana izquierda normalizada, haming y hann

Grado del polinomio de la LPFT: Rango de análisis para los estimadores: ,

, Código de análisis: código 2 cálculo de la LPFT con estimadores individuales

En la Tabla 4-14 se presenta el comportamiento del LPP y el error de los estimadores y al variar el tipo de ventana y utilizando un ancho de .

Tabla 4-14. Comportamiento del LPP con código 2, y Función Rectangular Normalizada

Función Rectangular Derecha Normalizada

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

46

Función Rectangular Izquierda Normalizada


Función Gauss Derecha Normalizada

Función Gauss Izquierda Normalizada

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

-50 0 500

0.01

0.02

0.03

0.04

Muestras

Am

plit

ud

-50 0 500

0.01

0.02

0.03

0.04

Muestras

Am

plit

ud

-50 0 500

0.01

0.02

0.03

0.04

Muestras

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

47

Función Hamming

Función Hann

Fuente: Autor

De los resultados mostrados en la Tabla 4-14 en el que se usa una ventana de 100 muestras se observa que aunque el LPP presenta algunas zonas con componentes de frecuencia adicional (sombras fuera del LPP principal), la mayor concentración de energía en el LPP se obtiene al utilizar una ventana rectangular normalizada. Sin embargo, aunque la ventana gaussiana normalizada, Haming y Hann muestran un LPP menos concentrado, desde el punto de vista de los resultados presentan SRMSE iguales o menores en el cálculo de los estimadores y .

Por otra parte, en la Tabla 4-15 se presenta el comportamiento del LPP variando el tipo de ventana y utilizando un .

-50 0 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Muestras

Am

plit

ud

-50 0 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Muestras

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

48

Tabla 4-15. Comportamiento del LPP con código 2, y





-200 -100 0 100 2000

1

2

3

4

x 10-3

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

1

2

3

4

x 10-3

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

1

2

3

4

x 10-3

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

49



Función Hamming

Función Hann

Fuente: Autor De la Tabla 4-15 se puede observar que la ventana rectangular normalizada presenta el LPP de mayor concentración aunque con algunas sombras (componentes de frecuencia azules claras) alrededor de los puntos máximos de la IF (zona roja). No obstante, las

-200 -100 0 100 2000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

0.005

0.01

0.015

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Muestras

Am

plit

ud

-200 -100 0 100 2000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Muestras

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

50

ventanas Haming y Hann también presentan un LPP concentrado y con errores SRMSE menores a los de la ventana rectangular. Si se comparan los resultados de la Tabla 4-14 y Tabla 4-15 se observa que al aumentar el tamaño de la ventana el LPP se concentra. En cuanto al error obtenido con y , en la Tabla 4-16 se muestran los valores del SRMSE para los estimadores variando los diferentes tipos de ventanas.

Tabla 4-16. SRMSE de los estimadores

Tipo de Ventana

SRMSE SRMSE SRMSE SRMSE Rectangular 0.09 0.003 0.0031 0.0029

Rectangular Derecha 0.0308 0.0109 0.0759 0.00110 Rectangular Izquierda 0.0307 0.0109 0.0756 0.00108

Gauss 0.0029 0.0029 0.0029 0.0029 Gauss Derecha 0.0147 0.0107 0.0365 0.0095

Gauss Izquierda 0.0147 0.0107 0.0364 0.0094 Hamming 0.0029 0.0029 0.003 0.0029

Hann 0.0029 0.0029 0.0029 0.0029 Los errores más pequeños se han resaltado para facilitar su identificación Fuente: Autor

Al revisar la Tabla 4-16 se puede apreciar que el error SRMSE es menor al utilizar ventanas simétricas normalizadas como la ventana rectangular normalizada, Gauss normalizada, Haming y Hann. El valor SRMSE que proporcionan estas ventanas es inferior o igual a . Estos resultados muestran que es posible escoger diferentes tipos de ventana para el análisis de una señal particular con la seguridad de que se obtendrán resultados precisos. Es importante tener en cuenta que la escogencia del tipo de ventana dependerá de las características o naturaleza de la señal y de la decisión que tome el usuario de la LPFT.

4.6 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO Con este capítulo se da cumplimiento al tercer objetivo específico del trabajo de

grado “Validar el funcionamiento de los algoritmos y la herramienta computacional desarrollada, mediante la comparación de los resultados obtenidos por esta herramienta con los proporcionados por ejemplos presentados en la literatura”.

Las pruebas de validación realizadas demuestran que el uso de cualquiera de los algoritmos desarrollados pueden ser empleados para el cálculo del periodograma local polinomial (LPP) y por tanto, para la estimación de la LPFT.

Durante el cálculo de la LPFT es posible obtener diferentes soluciones óptimas dependiendo del orden , el ancho y el tipo de ventana seleccionados. Sin embargo, los resultados obtenidos en los ejemplos de validación muestran que la mayor concentración de energía y los menores errores SRMSE se obtienen al utilizar ventanas anchas y simétricas normalizadas.

_____________________________________________________________________________________________________

51

A partir de las pruebas de validación se destaca que el algoritmo 2 (estimadores individuales) requiere menores tiempos de cómputo para cálculo de la LPFT. Sin embargo, el algoritmo 1 muestra mayor precisión cuando los resultados se presentan gráficamente debido a que realiza la búsqueda de los estimadores de manera simultánea.

En la aplicación de la LPFT, la selección inadecuada en los rangos de los estimadores

puede provocar la pérdida de información de algunas singularidades (en el plano tiempo-frecuencia) en el espectro del LPP. En este caso, cuando se dimensionen de manera errónea los estimadores y en especial su resolución, no se obtendrán mejoras en los resultados obtenidos con la LPFT aun cuando se usen ordenes polinomiales .

_____________________________________________________________________________________________________

52

5 HERRAMIENTA COMPUTACIONAL BASADA EN

LA LPFT Una vez validados los algoritmos para el cálculo de la LPFT, como parte del cumplimiento de los objetivos planteados se desarrolló la herramienta computacional “PROCESAMIENTO DE SEÑALES USANDO LA LPFT (LPFT-SP)” para lo cual se utilizó el lenguaje de programación de MATLAB®. En el presente capítulo, se realiza una descripción general de la herramienta computacional, su interfaz gráfica, los módulos, las funciones y bloques lógicos que la componen. Esta herramienta se encuentra registrada en la Dirección Nacional de Derechos de Autor de la República de Colombia con el código 13-46-305 [66].

5.1 DESCRIPCIÓN GENERAL La herramienta computacional LPFT-SP permite realizar cálculos, gráficos y análisis tiempo-frecuencia de diferentes tipos de señal que provengan de tres orígenes diferentes: (a) señales generadas a partir de funciones matemáticas; (b) señales simuladas de perturbaciones que afectan la calidad de potencia (PQ) en sistemas eléctricos; y (c) señales de cualquier naturaleza de las que se tengan sus vectores de amplitud y tiempo (agrupados o individuales). Este último grupo de señales deben haber sido obtenidas por algún método de adquisición experimental (osciloscopio, analizador de señales, etc.) y haber sido organizado en un archivo .mat. Esta herramienta cuenta con funciones y aplicaciones creadas enteramente por autoría propia. El software LPFT-SP está compuesto por cuarenta y cuatro (44) funciones operativas. Estas funciones facilitan la creación de las ventanas de operación de la herramienta, la construcción de funciones matemáticas, la obtención de señales que afectan la calidad de potencia (PQ) en sistemas eléctricos y provee diferentes funciones ventana (predefinidas) para el cálculo de la LPFT. Estas funciones integradas en el software permiten en su conjunto que el usuario pueda:

Ingresar la señal bajo estudio Definir el tamaño de la señal bajo estudio Realizar el acondicionamiento de la señal bajo estudio Ingresar los estimadores de la frecuencia instantánea y de sus derivadas Calcular la LPFT usando dos (2) algoritmos diferentes: algoritmo 1 usado para el

cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos y algoritmo 2 usado para cálculo de la LPFT con estimadores individuales (ver Capítulo 3)

Graficar los resultados obtenidos de la LPFT

El uso de MATLAB® como plataforma de programación permite la agrupación de sentencias y funciones que pueden ser llamadas fácilmente según los requerimientos

_____________________________________________________________________________________________________

53

del usuario. Además, por la manera en que es calculada la LPFT el uso del lenguaje de programación de MATLAB® facilita: el manejo de números complejos, el realizar operaciones matemáticas en arreglos (arrays), vectores y matrices, la implementación de algoritmos y la creación de interfaces de usuario. En el Anexo B se describen cada una de las funciones operativas de la herramienta y muestra el nombre del archivo que ejecuta su operación. El software LPFT-SP cuenta con una interfaz gráfica compuesta por un menú superior y seis (6) módulos que se ilustran en la Figura 5-1. a. Módulo 1: Seleccionar la señal b. Módulo 2: Definir el tamaño de la señal c. Módulo 3: Ingresar la ventana d. Módulo 4: Ingresar orden de LPFT e. Módulo 5: Calcular LPFT f. Módulo 6: Graficar

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54

Figura 5-1. Interfaz gráfica de la herramienta LPFT-SP Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

55

5.2 MENÚ SUPERIOR DEL SOFTWARE En el menú superior se crearon las siguientes opciones Archivo, Ayuda, Caracterización en tiempo, About, como se muestra en la Figura 5-2.

Las opciones del menú principal fueron creadas para facilitar el acceso a las siguientes funciones:

Arc

hiv

o

Cargar cualquier archivo .mat que contenga vectores individuales o agrupados de los parámetros tiempo y amplitud de una señal.

Cargar el espacio de trabajo o workspace (archivo .mat) de un trabajo que se haya realizado y guardado previamente al usar LPFT-SP.

Ayu

da

Acceder a documentos guía y/o ayudas básicas (archivos pdf) para navegar en la interfaz y dar un uso adecuado al software.

Ca

ract

eriz

aci

ón

en

tie

mp

o Caracterizar en el dominio del tiempo señales de descargas parciales

creadas utilizando la herramienta computacional LPFT-SP. Caracterizar en el dominio del tiempo señales de flickers con

transitorios oscilatorios creadas utilizando la herramienta computacional LPFT-SP.

Ab

ou

t

Acceder a un documento (pdf) con la información de las funciones y archivos necesarios para el funcionamiento de la herramienta (ver Anexo B)

Acceder a los datos del programa, su versión y a la información de contacto de los autores.

Para un mayor detalle de las funciones antes descritas se puede revisar el Anexo Digital 1.

5.3 MÓDULO 1: SELECCIONAR LA SEÑAL Este módulo se creó para seleccionar el tipo de señal a analizar. Las opciones implementadas fueron señales de tipo: Matemática, Calidad de Potencia (PQ) y Otras.

Figura 5-2. Visualización del menú superior de la herramienta Fuente: Autor

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56

La manera en que se organiza esta sección del módulo 1 se muestra en Figura 5-3.

Figura 5-3. Visualización del Módulo 1 Fuente: Autor

5.3.1 Matemática Esta opción permite trabajar con señales preestablecidas en el software y construidas a partir de expresiones matemáticas. Estas señales fueron tomadas de literatura especializada donde se presentan algunas de aplicaciones de la LPFT [18], [43], [52]. Al seleccionar esta opción se habilitan seis (6) tipos de señales: Función Chirp, Función Fase Sinusoidal, Función Multicomponente Formada por Chirps, Frecuencia Modulada (FM) Parabólica, Función Chirp con Contenido Armónico, Función Multicomponente Formada por Frecuencia Modulada (FM) Sinusoidal y Lineal.

Figura 5-4. Visualización de la señales de tipo matemático Fuente: Autor

5.3.2 Calidad de potencia (PQ) En esta opción se encuentran señales que representan mediante expresiones matemáticas las perturbaciones electromagnéticas más comunes que se pueden presentar en los sistemas eléctricos. Estas señales han sido preestablecidas en el software y han sido desarrolladas como funciones individuales a partir de funciones matemáticas presentadas en literatura relacionada con en el procesamiento de señales en el análisis de PQ. Cómo se muestra en la Figura 5-5, una vez se selecciona esta opción se habilitan 15 tipos de perturbaciones electromagnéticas: Interrupción, Sag, Swell, Flicker, Transitorios Oscilatorios, Descargas parciales de pulso individual, Descargas parciales Notch, Spike, Armónicos, Sag con Armónicos, Swell con Armónicos, Flicker con Armónicos, Interrupción con Armónicos.

_____________________________________________________________________________________________________

57

Figura 5-5. Visualización de la señales de tipo calidad de potencia Fuente: Autor

5.3.3 Otras Permite cargar cualquier tipo de señal que sea obtenida por algún método de adquisición experimental (osciloscopio, analizador de señales, etc.) o con ayuda de otras herramientas de simulación. Esta sección, se configuró con el fin de dar mayor proyección y versatilidad al software. Como se observa en la Figura 5-6 hay dos maneras de ingresar la señal usando esta

opción, a través de vectores agrupados o de vectores individuales. En cualquiera de los

casos el o los archivos que se deben cargar al software deben tener extensión .mat (ver

Anexo Digital 1). En el Anexo C se muestra el diagrama lógico que permite la operación

y funcionamiento del Módulo 1.

Figura 5-6. Visualización de las opciones para otras señales Fuente: Autor

5.4 MÓDULO 2: DEFINIR TAMAÑO DE LA SEÑAL Este módulo presenta en su encabezado el número de muestras que tiene la señal ingresada en el Módulo 1: seleccionar la señal. De esta manera, el usuario posee información que le permite definir si quiere realizar el cálculo de la LPFT con todas las muestras de la señal o establecer una cantidad diferente de muestras para su análisis.

_____________________________________________________________________________________________________

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Si se trabaja con todas las muestras de la señal previamente cargada simplemente se debe usar el botón Cargar Datos de lo contrario se selecciona el check box Utilizar menos muestras para introducir el número de muestras que se desean analizar y con ello modificar la extensión de la señal. Adicionalmente, este módulo muestra el tiempo inicial y el tiempo final de la señal bajo estudio definitiva y sobre la cual se aplicará la LPFT, tal y como se observa en la Figura 5-7. En el Anexo C se muestra el algoritmo que describe el funcionamiento del Módulo 2: definir tamaño de la señal.

Figura 5-7. Visualización del Módulo 2 Fuente: Autor

5.5 MÓDULO 3: INGRESAR LA VENTANA Para el cálculo de la LPFT es necesario definir el tipo y ancho (duración) de la función que hará las tareas de ventaneado sobre la señal bajo estudio. Estas ventanas son funciones matemáticas que se usan en el análisis y procesamiento de señales para segmentar la longitud de la señal de interés y reducir los problemas de discontinuidad que se pueden presentar al inicio y final de los bloques de señal analizados. De esta manera, antes de calcular la LPFT el software requiere de la selección de un tipo de función, y el ancho (duración) de la ventana. Por lo tanto, el Módulo 3 está diseñado para ingresar el número de muestras de la ventana y seleccionar la función ventana a utilizar (rectangular, gaussiana, haming, hann) como se puede observar en la Figura 5-8. Además, es posible utilizar ventanas normalizadas activando el check box que tiene el módulo. En el Anexo C se presenta el diagrama lógico en el que se basa el funcionamiento del Módulo 3.

_____________________________________________________________________________________________________

59

Figura 5-8. Visualización del módulo 3 Fuente: Autor

5.6 MÓDULO 4: INGRESAR ORDEN DE LA LPFT Este módulo se creó para seleccionar el orden de la LPFT e ingresar los estimadores usando una ventana auxiliar que se despliega con ayuda del botón Ingresar Datos como se observa en la Figura 5-9. En el Anexo Digital 1 se puede consultar en detalle cómo debe realizarse el ingreso de los estimadores y el Anexo C muestra el algoritmo que describe el funcionamiento del Módulo 4.

Figura 5-9. Visualización del módulo 4 y la ventana Ingreso de Estimadores Fuente: Autor

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60

5.7 MÓDULO 5: CALCULAR LPFT Este módulo es el núcleo del software pues en esta sección se realiza el cálculo de la LPFT y del periodograma local polinomial (LPP). En esta parte del software se presentan dos alternativas para realizar el cálculo de la LPFT. La primera es utilizando el Código 1 el cual realiza el cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos y la segunda es usando el Código 2 que calcula la LPFT a través de estimadores individuales. La metodología de cálculo que realiza tanto el Código 1 como el Código 2 fue explicada en el Capítulo 3. Para que el usuario decida cuál de los códigos es más conveniente para su aplicación o cuál de ellos se ajusta mejor a sus necesidades puede hacer uso de la opción Ayuda. Este módulo se muestra en la Figura 5-10. El Anexo C presenta el diagrama lógico que describe el funcionamiento del Módulo 5, en donde se presentan las dos alternativas de cálculo (código 1 y 2) de la LPFT.

5.8 MÓDULO 6: GRAFICAR El módulo final del software proporciona al usuario la alternativa de graficar los resultados del cálculo de la LPFT en dos o tres dimensiones usando las opciones 2D o 3D, respectivamente. Estas opciones permiten que el usuario decida la manera de observar y presentar los resultados obtenidos del cálculo de la LPFT para luego iniciar su análisis respectivo. Al elegir la alternativa de graficar en dos dimensiones (2D), se habilitará un menú desplegable donde el usuario puede seleccionar la manera de graficar cualquiera de los estimadores calculados de la LPFT (dependiendo el orden polinomial establecido) en función del tiempo (ver Figura 5-11).

Figura 5-10. Visualización módulo 5 Fuente: Autor

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61

Por otra parte, si se escoge la opción 3D el usuario dispondrá de varias opciones dependiendo del código usado para el cálculo de la LPFT. Al escoger el código 1 (estimadores simultáneos) se activará la sección 3D Código 1 en la cual es posible elegir la variable que se coloca en el eje X, Y y Z del plano 3D, tal y como se observa en la Figura 5-12. Ahora, si el cálculo de la LPFT se realizó haciendo uso del código 2 (estimadores individuales) se activará la sección 3D Código 2 y el usuario podrá decidir si quiere visualizar en los resultados el LPP normalizado local (LPP), el LPP sin normalizar (LPPsin) o el LPP normalizado general (LPPgen).

Figura 5-11. Visualización módulo 6 grafica en 2D Fuente: Autor

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62

Figura 5-12. Visualización módulo 6 grafica en 3D con la opción 3D Código 1 Fuente: Autor

Adicionalmente, la opción 3D permite al usuario mediante la activación del check box Por muestra hacer un análisis de los resultados obtenidos del cálculo del LPP para una muestra en específico (dentro de todas las muestras de la señal bajo estudio) y mediante la opción Ver plano X/Y se pueden observar las gráficas 3D en el plano (x, y) es decir en el plano 2D. Finalmente, En el Anexo C se ilustra el algoritmo que describe el funcionamiento y opciones del Módulo 6.

5.9 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO Con este capítulo y los resultados presentados en el capítulo 3 se da total

cumplimiento al segundo objetivo específico “Desarrollar un algoritmo (a nivel de software) para el cálculo de la transformación local polinomial de Fourier que facilite la implementación de la herramienta computacional”.

La herramienta computacional desarrollada, además de facilitar el cálculo de la

LPFT, presenta una interfaz gráfica que le permite al usuario ingresar y definir la señal bajo estudio, ajustar los parámetros de la transformación (función ventana y orden polinomial), seleccionar el algoritmo de cálculo (estimadores simultáneos e individuales) y graficar los resultados del LPP en 2D y 3D.

A través de la herramienta LPFT-SP es posible identificar parámetros tiempo-

frecuencia de señales modeladas que reflejan el comportamiento de perturbaciones electromagnéticas tales como: descargas parciales, transitorios oscilatorios, flickers, sags, swells, armónicos, notchs, spikes, interrupciones, entre otras. Además, LPFT-SP puede ser usada para caracterizar (en el dominio tiempo-frecuencia) cualquier señal de dos dimensiones adquirida de manera experimental.

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63

6 PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS QUE

PUEDEN SER ANALIZADAS USANDO LA LPFT Con el fin de seleccionar las perturbaciones electromagnéticas pueden ser analizadas usando la LPFT, se realizó una revisión bibliográfica de las características en tiempo y en frecuencia de las perturbaciones típicas que pueden presentarse en un sistema eléctrico. Esta revisión incluye las causas, los efectos y las técnicas de procesamiento de señales que han sido empleadas para el análisis de cada perturbación. Finalmente, se describe el proceso de selección de dos casos de estudio, incluyendo la metodología de simulación, los resultados en el tiempo, los análisis de las características de frecuencia y las componentes de energía.

6.1 CARACTERÍSTICAS EN TIEMPO Y FRECUENCIA DE PERTURBACIONES

ELECTROMAGNÉTICAS La norma internacional IEEE Std 1159 define una perturbación electromagnética como cualquier fenómeno electromagnético que pueda degradar el funcionamiento de un dispositivo, una pieza de equipo, o un sistema. Además, clasifica los fenómenos electromagnéticos en siete categorías que se muestran en la Tabla 6-1 [1].

Tabla 6-1. Categorías y características típicas de los fenómenos electromagnéticos presentes en un sistema de potencia.

Categorías Contenido típico espectral

Duración típica

Magnitud de tensión típica

1. Transitorios 1.1. Impulsos

1.1.1. Nanosegundos 5ns de elevación <50ns 1.1.2. Microsegundos 1µs de elevación 50ns-1ms 1.1.3. Milisegundos 0.1ms de elevación >1ms

1.2. Oscilatorios 1.2.1. Baja Frecuencia <5kHz 0.3-50ms 0-4 pu 1.2.2. Frecuencia

Media 5-500kHz 20 µs 0-8 pu

1.2.3. Alta Frecuencia 0.5-5MHz 5 µs 0-4 pu 2. Variaciones rms de corta

duración

2.1. Instantáneos 2.1.1. Sag 0.5-30 ciclos 0.1-0.9 pu 2.1.2. Swell 0.5-30 ciclos 1.1-1.8 pu

2.2. Momentáneos 2.2.1. Interrupción 0.5 ciclos-3s <0.1 pu

_____________________________________________________________________________________________________

64

2.2.2. Sag 30 ciclos-3s 0.1-0.9 pu

Categorías Contenido típico espectral

Duración típica

Magnitud de tensión típica

2.2.3. Swell 30 ciclos-3s 1.1-1.4 pu 2.3. Temporales

2.3.1. Interrupción >3s-1min <0.1 pu 2.3.2. Sag >3s-1min 0.1-0.9 pu 2.3.3. Swell >3s-1min 1.1-1.2 pu

3. Variaciones rms de larga duración

3.1. Interrupción >1min 0.0 pu 3.2. Subtensiones >1min 0.8-0.9 pu 3.3. Sobretensiones >1min 1.1-1.2 pu

4. Desbalance 4.1. Tensión Estado estable 0.5-2% 4.2. Corriente Estado estable 1.0-30%

5. Distorsión de onda 5.1. Componente DC Estado estable 0-0.1% 5.2. Armónicos 0-9kHz Estado estable 0-20% 5.3. Interarmónicos 0-9kHz Estado estable 0-2% 5.4. Muescas de tensión Estado estable 5.5. Ruido Banda amplia Estado estable 0-1%

6. Fluctuaciones de tensión <25Hz Intermitente 0.1-7% 0.2-2Pst

7. Variaciones de frecuencia <10s ±0.10 Hz Fuente: IEEE Std 1159-1995 [1]

Teniendo en cuenta las condiciones descritas en la tabla anterior, y haciendo uso del módulo 1 de la herramienta computacional LPFT-SP, se revisaron las características en el dominio del tiempo y de la frecuencia de las siguientes perturbaciones electromagnéticas: interrupción, sag, swell, flicker, transitorios, notch, spike y armónicos. Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 6-2, Tabla 6-3 y Tabla 6-4 y fueron comparados con los presentados en [10], [12]. Esta tarea es útil para validar una vez más la herramienta desarrollada. Adicionalmente, en la Tabla 6-5 y Tabla 6-6 se muestra la revisión bibliográfica de las causas, los efectos y las técnicas de procesamiento de señales que se han sido empleadas para el análisis de cada perturbación.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

65

Tabla 6-2. Características en el dominio del tiempo y de la frecuencia de interrupción, sag, swell y flicker

PERTURBACIÓN COMPORTAMIENTO TÍPICO EN TIEMPO COMPORTAMIENTO TÍPICO EN FRECUENCIA

Interrupción

Momentáneos: 0.5 ciclos-3 s, <0.1 p.u

Temporales: >3 s-1 min, <0.1 p.u

Frecuencia Fundamental: 60 Hz

Perdida de energía entre: 0.05-0.15 s

Sag

Instantáneos: 0.5-30 ciclos, 0.1-0.9 p.u Momentáneos: 30 ciclos-3 s, 0.1-0.9 p.u

Temporales: >3 s-1 min, 0.1-0.9 p.u


Disminución de energía entre: 0.05-0.15 s

Swell

Instantáneos: 0.5-30 ciclos, 1.1-1.8 p.u Momentáneos: 30 ciclos-3 s, 1.1-1.4 p.u

Temporales: >3 s-1 min, 1.1-1.2 p.u


Incremento de energía entre: 0.05-0.15 s

Flicker

Estado Intermitente 0.1-7%, 0.2-2Pst

Frecuencia típica: <25 Hz

Fuente: Autor

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

66

Tabla 6-3. Características en el dominio del tiempo y de la frecuencia de transitorios


Transitorios

Transitorios Oscilatorios

Baja Frecuencia: <5kHz, 0.3-50ms, 0-4 p.u Frecuencia Media: 5-500kHz, 20μs, 0-8 p.u

Alta Frecuencia: 0.5-5MHz, 5μs, 0-4 p.u

Frecuencia Fundamental: 60Hz

Frecuencia del transitorio: 550 Hz Transitorio de baja frecuencia

Transitorios Impulsos Descarga Parcial Pulsos Individuales

Descarga Parcial Secuencia de Pulsos

Nanosegundos: duración <50ns

Microsegundos: duración 50ns-1ms Milisegundos: duración >1ms

Frecuencia del transitorio: 300 kHz

Frecuencia del primer pulso: 150 kHz

Frecuencia del segundo pulso: 200 kHz Frecuencia del tercer pulso: 300 kHz

Fuente: Autor

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

4 5 6 7 8 9 10

x 10-5

-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-4

-0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

67

Tabla 6-4. Características en el dominio del tiempo y de la frecuencia de


Notch

Estado Estable

Frecuencia Fundamental: 60Hz

Spike

Estado Estable


Armónicos

Estado Estable 0–9 kHz


Frecuencia tercer armónico: 180 Hz Frecuencia quinto armónico: 300 Hz

Frecuencia séptimo armónico: 420 Hz Fuente: Autor

0 0.05 0.1 0.15-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

68

Tabla 6-5. Causas, efectos, técnicas de procesamiento utilizadas en el análisis de interrupción, sag, swell y flicker

PERTURBACIÓN CAUSAS EFECTOS TÉCNICAS DE PROCESAMIENTO UTILIZADAS

Interrupción Fallas en el sistema eléctrico (en una línea de transmisión, en una subestación, en un transformador)

Perdida de servicio de energía eléctrica [67]

Procesos industriales detenidos [67]

S-Transform [10]–[13], [68] Short-Time Fourier Transform (STFT) [11] Discrete Wavelet Transform (DWT) [9] Discrete Orthogonal S-Transform (DOST) [11] Fast Fourier Transform (FFT) [9][13]

Sag

Cortocircuitos en líneas Falla en una subestación Energización de grandes cargas Arranque de grandes motores

Daños en equipos Parar procesos industriales

y comerciales Pérdidas de datos

S-Transform [10]–[13], [68] Wavelet Transform (WT) [7], [67], [69] Discrete Wavelet Transform (DWT) [9] Discrete Orthogonal S-transform (DOST) [11] Short-Time Fourier Transform (STFT) [11] Fast Fourier Transform (FFT) [9], [13]

Swell

Falla monofáisca a tierra Sobrecompensación del sistema

eléctrico

Afectar los equipos Reducir la vida útil de los

equipos y su aislamiento

S-Transform [10]–[13], [68] Discrete Wavelet Transform (DWT) [9] Fast Fourier Transform (FFT) [9], [13] Discrete Orthogonal S-transform (DOST)[11] Short-Time Fourier Transform (STFT) [11] Wavelet Transform (WT) [7]

Flicker

Cargas no lineales Entrada repentina de cargas con

bajo factor de potencia tales como grandes motores [67]

Visible intermitencia de las luminarias

Irritación, molestia por el usuario

Los computadores pueden apagarse

Discrete Wavelet Transform (DWT) [9] S-Transform [10]–[13], Wavelet [4], [7] Short-Time Fourier Transform (STFT) [11] Fast Fourier Transform (FFT) [9], [13]

Fuente: Autor

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

69

Tabla 6-6. Causas, efectos, técnicas de procesamiento utilizadas en el análisis de transitorios, notch, spike y armónicos

PERTURBACIÓN CAUSAS EFECTOS TÉCNICAS DE PROCESAMIENTO

UTILIZADAS

Transitorios

Operaciones de suicheo de cargas Descargas Atmosféricas Conmutación de bancos de capacitores

Daños en equipos sensibles [67] Pérdidas de datos Falsos disparos [67]

S-Transform [10], [12], [13], [68] Discrete Wavelet Transform

(DWT) [9] Fast Fourier Transform (FFT)[9] Wavelet Transform (WT) [7]

Notch Conmutación de los puentes

conversores, dedido a la acción de los elementos que lo componen

Efectos negativos en equipos sensibles S-Transform [13], [68]

Spike Conmutación de elemetos de

electrónica de potencia Efectos negativos en equipos

sensibles S-Transform [68]

Armónicos

Convertidores electrónicos y de potencia estáticos

Equipos de computación Fotocopiadoras Sistema cargadores de baterias Sistemas de potencia ininterrumpida

(UPS). Rectificadores Convertidos de frecuencia para motores

síncronos y de inducción. Lámparas Fluorecentes

Sobrecalentamiento y daño de conductores eléctricos, particularmente del neutro en sistemas trifásicos [67]

Sobrecalentamiento y falla prematura de transformadores [67]

Disparo indeseado de interruptores y relés [67]

Aumento de las pérdidas del sistema

Errores en equipos de medida Interferencia telefónica

S-transform [10]–[12], [68] Discrete Wavelet Transform

(DWT) [9] Fast Fourier Transform (FFT)[9] Discrete Orthogonal S-transform

(DOST) [11] Short-Time Fourier Transform

(STFT) [11] Wavelet Transform (WT) [7]

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

70

6.2 METODOLOGÍA DE SELECCIÓN DE LOS DOS CASOS DE ESTUDIO A partir de la información presentada desde la Tabla 6-2 hasta la Tabla 6-6 se identificaron los siguientes criterios para la evaluación y selección de los casos de estudio que serán analizados usando la LPFT:

a. Estudios realizados con técnicas de procesamiento: Este parámetro fue seleccionado con el fin de identificar la cantidad de estudios que sean han realizado para el análisis de cada una de las perturbaciones electromagnéticas usando diferentes técnicas de procesamiento. Es importante resaltar que para la selección de las perturbaciones a analizar se le dará mayor importancia a aquellas que presenten menor cantidad de estudios realizados [70]. Para este caso la calificación estará dada bajo las siguientes condiciones : 4_ No Analizada, 3_ Poco Analizada, 2_ Analizada, 1_ Muy analizada

b. Ocurrencia: Este parámetro fue identificado debido a que es importante conocer la frecuencia (repetición) con que cada perturbación se presenta en las redes eléctricas. En este estudio se le dará mayor importancia a las perturbaciones con mayor ocurrencia [70], [71].

c. Efectos negativos: Este parámetro fue seleccionado debido a que cada perturbación genera diferentes efectos, en su mayoría desfavorables para instalaciones eléctricas, equipos y usuarios finales. Por lo tanto, para la selección de los casos de estudio se tendrán en cuenta aquellas perturbaciones que generen mayores efectos negativos sobre las instalaciones eléctricas.

d. Componentes frecuenciales: Este parámetro fue identificado debido a que las

perturbaciones con mayores componentes frecuenciales son más complejas de analizar y por tanto, es necesario utilizar técnicas de procesamiento tiempo-frecuencia como la LPFT [50], [70]

Para evaluar las perturbaciones electromagnéticas mostradas en la Tabla 6-5 y Tabla 6-6 se usó una metodología de gradación y ponderación en la cual se asignó un peso específico (valoración numérica) de 1 a 4 a cada criterio descrito anteriormente. Los resultados obtenidos de la calificación de las perturbaciones descritas al inicio de este capítulo se muestran en la Tabla 6-7. Es importante mencionar que esta evaluación se realizó teniendo en cuenta la revisión bibliográfica llevada a cabo durante el desarrollo de este trabajo de grado y algunos criterios definidos por los autores (estudiante y director). Por esta razón, puede ser modificada por quien realice una calificación similar.

_____________________________________________________________________________________________________

71

Tabla 6-7. Ponderación de las perturbaciones electromagnéticas

Perturbación Interrupción Sag Swell Flicker Transitorios Notch Spike Armónicos

Estudios realizados con

técnicas de procesamiento

2 2 2 3 3 3 3 1

Ocurrencia 2 4 3 3 3 2 2 3

Efectos Negativos para

las instalaciones

eléctricas

3 4 3 3 3 2 2 3

Componentes frecuenciales

1 1 1 3 4 1 1 4

Total 8 11 9 12 13 8 8 11

Valoración numérica de los criterios definidos: Estudios realizados con técnicas de procesamiento: 4_ No Analizadas, 3_ Poco Analizada, 2_

Analizada, 1_ Muy analizada Ocurrencia: 4_ Muy frecuente, 3_ Frecuente, 2_ Poco frecuente, 1_ No ocurre Efectos Negativos para las instalaciones eléctricas y equipos: 4_ Muy desfavorable, 3_

Desfavorable, 2_ Poco desfavorable, 1_ Favorable Componentes frecuenciales más relevantes: 4_Fundamental, alta y baja frecuencia,

3_Fundamental y alta frecuencia, 2_ Fundamental y baja frecuencia, 1_ Fundamental

Fuente: Autor

Según el resultado presentado en la Tabla 6-7 las perturbaciones electromagnéticas que obtuvieron una mayor ponderación fueron transitorios y flickers. Teniendo en cuenta que los transitorios descritos en este trabajo se dividen en transitorios oscilatorios y descargas parciales (ver Tabla 6-3), se decidió que el primer tipo de perturbación estudiado serán las descargas parciales y la segunda serán los flickers acompañados de un transitorio oscilatorio. Las señales que se pueden utilizar para el análisis tanto de descargas parciales como de flickers con transitorio oscilatorio pueden ser adquiridas a través de pruebas de laboratorio o simuladas utilizando modelos matemáticos. En el caso particular de este trabajo, todas las señales serán modeladas matemáticamente y simuladas a través de la de la herramienta computacional desarrollada. Esto es debido a que el enfoque principal del trabajo es mostrar las ventajas que tiene el aplicar la LPFT para el análisis de señales de naturaleza eléctrica y no la adquisición experimental de las mismas.

6.3 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE DESCARGAS PARCIALES Un transitorio se puede definir como una variación (en tensión o corriente) en el sistema eléctrico de gran amplitud y corta duración y pueden ser clasificados en transitorios de tipo impulso y oscilatorios [1], [16]. Usualmente, los transitorios se

_____________________________________________________________________________________________________

72

generan por operaciones de apertura y cierre en interruptores, por descargas atmosféricas (rayos) y descargas parciales en el aislamiento de equipos eléctricos, entre otros [9]. Una descarga parcial (DP) es definida como una descarga eléctrica localizada en un medio aislante que puede ser líquido, sólido o gaseoso [73], [74]. Cuando la intensidad de campo eléctrico supera la rigidez dieléctrica del material aislante se produce la descarga eléctrica. Este proceso reduce la vida útil del material aislante [74]. Para el

análisis de las descargas parciales a través de la herramienta computacional LPFT-SP

se generaron señales utilizando dos modelos matemáticos: el primero, produce pulsos

individuales y el segundo una secuencia de pulsos.

6.3.1 Modelo de DP para pulsos individuales El modelo matemático utilizado para el análisis de descargas parciales (DP) de pulso individual está definido por la Ecuación (6-1), fue tomada de [75] y adaptada para el software LPFT-SP.

{

(6-1)

Donde:

Amplitud del pulso [p.u] Tiempo en el que ocurre el pulso [s] Frecuencia de oscilación [Hz] Factor de amortiguamiento[s] Las características en el dominio del tiempo definidas en este trabajo para el análisis de una DP de pulso individual se muestran en la Figura 6-1 y son descritas a continuación:

Figura 6-1. Señal DP con un pulso individual en el dominio tiempo Fuente: Autor

Pico máximo: valor máximo del pulso de DP Picos secundarios: cantidad de picos positivos o negativos con amplitud menor

al pico máximo pero mayor al 2% del pico máximo Duración: período de tiempo en el que ocurre el pulso de la DP

_____________________________________________________________________________________________________

73

Primer cruce por cero: primer punto donde la señal cambia de amplitud positiva a negativa (o viceversa) y el valor de la señal es cero

6.3.2 Modelo de DP de secuencia de pulsos Aplicaciones experimentales muestran mediciones en las que una DP presenta una secuencia de pulsos de diferentes características. En este trabajo, la secuencia de pulsos (SP) es definida como una DP compuesta por dos y tres pulsos individuales organizados de manera consecutiva. El modelo es descrito en la Ecuación (6-2) y adaptado para el software LPFT-SP. Las características de forma de onda de la DP de secuencia de pulsos son similares al modelo de pulsos individuales mostrado en la Figura 6-1.

{

( )

( )

( )

(6-2)

Donde:

Amplitud del pulso individual i Tiempo en el que ocurre la DP [s] Frecuencia de oscilación de cada pulso individual i [Hz] Factor de amortiguamiento [s]

6.3.3 Parámetros de simulación para las señales de DP

Teniendo en cuenta la representación matemática de la Ecuación (6-1) en la Tabla 6-8 se muestran los parámetros de simulación definidos para generar señales de DP de pulsos individuales que serán analizadas posteriormente con la LPFT.

Tabla 6-8. Parámetros de simulación para pulsos individuales Características DP individuales en el

dominio del tiempo

Fuente: Autor

Las características de las DP individuales mostradas en la Tabla 6-8 se combinaron variando con amplitudes y un factor de

_____________________________________________________________________________________________________

74

amortiguamiento creando 27 señales diferentes. Además, se crearon tres señales con y variando Esto representó un grupo total de 30 señales. La Tabla 6-9 muestra los parámetros utilizados para simular cada una de las 30 señales de DP con pulsos individuales. En todos los casos, el periodo de muestreo es el mismo . Algunos de los valores que aparecen en la Tabla 6-9 fueron tomados de [75], [76] como una guía para la creación de señales de DP simuladas. Adicionalmente, el Anexo Digital 2 muestra en detalle los parámetros de cada señal generada y su respectiva forma de onda.

Tabla 6-9. Parámetros de simulación de las 30 señales de DP individuales creadas

Fuente: Autor

Señal ID

DP01 0.8 50 7 300

DP02 1.2 50 7 300

DP03 1.0 50 7 300

DP04 0.8 50 3 300

DP05 0.8 50 5 300

DP06 0.8 50 7 200

DP07 0.8 50 7 260

DP08 0.8 50 3 200

DP09 0.8 50 5 200

DP10 1.2 150 7 300

DP11 1.0 50 5 300

DP12 1.2 50 3 300

DP13 1.2 50 7 200

DP14 1.2 50 5 200

DP15 1.2 50 3 200

Señal ID

DP16 1.2 50 7 260

DP17 1.2 50 5 260

DP18 1.2 50 3 260

DP19 1.0 50 3 300

DP20 1.0 50 7 200

DP21 1.0 50 5 200

DP22 1.0 50 3 200

DP23 1.0 50 7 260

DP24 1.0 50 5 260

DP25 1.0 50 3 260

DP26 0.8 50 3 260

DP27 0.8 50 7 260

DP28 0.8 50 3 150

DP29 0.8 50 5 150

DP30 0.8 50 7 150

En el caso de las señales de las DP compuestas por una secuencia de pulsos, se generaron cinco señales compuestas por dos pulsos individuales (DP31 a DP35) y cinco señales de tres pulsos individuales (DP36 a DP40). Todas estas con un periodo de muestreo de . Los parámetros seleccionados para estas diez señales se muestran en la Tabla 6-10. Para las cinco señales de dos pulsos individuales mostradas en la Tabla 6-10, el tiempo de ocurrencia del primer pulso para DP31, DP32 y DP33 es de en los otros casos fue de y el tiempo de ocurrencia del segundo pulsos en todos los casos DP31-DP35 es de . Adicionalmente, para todos los casos de las señales de tres pulsos individuales (DP36-DP40) el tiempo de ocurrencia del primer pulso del segundo pulso y del tercer pulso .

_____________________________________________________________________________________________________

75

Tabla 6-10. Parámetros de simulación de las 10 señales de DP de secuencia de pulsos creadas

Señal ID

Pulso 1 Pulso 2 Pulso 3

DP31 0.8 3 150 0.8 3 300 N.A N.A N.A

DP32 0.8 7 150 0.8 3 150 N.A N.A N.A

DP33 0.8 7 300 1.0 7 150 N.A N.A N.A

DP34 1.0 3 300 1.2 7 300 N.A N.A N.A

DP35 1.2 5 150 0.8 5 300 N.A N.A N.A

DP36 1.0 5 200 0.8 3 200 1.2 7 275

DP37 0.8 3 150 1.0 3 300 1.2 3 260

DP38 0.8 7 300 0.8 3 300 0.8 5 300

DP39 0.8 3 200 1.2 7 200 1.0 5 200

DP40 0.8 3 150 1.0 3 200 1.2 3 300

Fuente: Autor

6.4 METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN DE FLICKERS CON TRANSITORIO

OSCILATORIO Las fluctuaciones o variaciones en la tensión son conocidas como flicker pueden ser detectadas visualmente en las lámparas incandescentes como una variación en la intensidad luminosa de estas [4], [72]. En el estándar IEEE 1159 se definen como variaciones aleatorias de la tensión cuya magnitud no supera el rango de 0.95 a 1.05 p.u con una frecuencia del orden de 15-30Hz [1]. Las señales de flicker se pueden generar por cargas o grupos de cargas cuya utilización varía en función de la demanda de potencia, como es el caso de los equipos de soldadura de arco eléctrico o los hornos de arco eléctrico [1], [72]. Dentro de los efectos negativos que tiene este fenómeno se encuentra el cansancio e irritación en la visión del ser humano [77]. En este trabajo se analizarán señales de flickers pero con transitorios oscilatorios. Estos últimos se producen por variaciones rápidas en los niveles de tensión o corriente las cuales decaen exponencialmente y pueden durar más de un ciclo de la señal [1], [72].

6.4.1 Modelo de flickers con transitorio oscilatorio (FTO) El modelo matemático utilizado para el análisis de flickers con transitorio oscilatorio

está definido por la Ecuación (6-3). Este modelo se plantea integrando las

expresiones matemáticas que describen al flicker y al transitorio oscilatorio en [68], [78].

( ) ( ) (

)

(

) { } (6-3)

_____________________________________________________________________________________________________

76

{

{

Donde:

Amplitud del flicker

Frecuencia del flicker Amplitud del transitorio Tiempo inicial del transitorio [s] Tiempo final del transitorio [s] Frecuencia del transitorio [Hz] Factor de amortiguamiento Período de la señal [s] Frecuencia de la señal [Hz]

En la Figura 6-2 se muestran las características en el dominio del tiempo definidas en este trabajo para el análisis de flickers con transitorio oscilatorio las cuales son descritas a continuación:

Figura 6-2. Señal flicker con transitorio oscilatorio en el dominio tiempo Fuente: Autor

Pico máximo: valor máximo del flicker con transitorio oscilatorio Picos máximos flicker: cantidad de picos positivos en la señal que presentan

una amplitud mayor a 1 [p.u] con respecto a la señal del flicker (sin transitorio) Duración: período de tiempo en el que transcurre el flicker con transitorio

oscilatorio Picos secundarios flicker: cantidad de picos positivos que presentan una

amplitud menor a 1 [p.u] con respecto a la señal del flicker (sin transitorio)

6.4.2 Parámetros de simulación para las señales de flickers con transitorio

Teniendo en cuenta la representación matemática de la Ecuación (6-3) los parámetros definidos para generar señales de flickers con transitorio oscilatorio son los siguientes:

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2

0

2

4

Tiempo[s]

Am

plit

ud

Pico MáximoPicos Máximos

Flicker Picos Secundarios Flicker

Duración

_____________________________________________________________________________________________________

77

Debido a que existen múltiples combinaciones que pueden generar señales de flickers con transitorio oscilatorio, haciendo uso de los parámetros antes descritos, se decidió crear una función en Matlab® que generara combinaciones aleatorias de estos parámetros. De esta actividad se tomaron 20 casos aleatorios que serán analizados posteriormente con la LPFT. En la Tabla 6-11 se muestran los parámetros usados para simular las señales de flickers con transitorio oscilatorio. Adicionalmente, en el Anexo Digital 3 se muestran en detalle los parámetros de cada señal generada y su respectiva forma de onda.

Tabla 6-11. Parámetros de simulación de las 20 señales de flickers con transitorio oscilatorio

Señal ID Flicker Transitorio Oscilatorio

FTO01 0.1 17 0.6 100 180 8 600

FTO02 0.1 11 0.7 150 180 20 300

FTO03 0.1 20 0.5 50 120 40 900

FTO04 0.1 5 0.1 100 120 40 900

FTO05 0.12 8 0.8 50 60 8 600

FTO06 0.12 11 0.4 100 120 20 300

FTO07 0.12 14 0.5 150 180 40 300

FTO08 0.14 5 0.6 50 120 8 900

FTO09 0,14 11 0,2 50 60 40 600

FTO10 0.14 17 0.2 150 120 20 600

FTO11 0.16 20 0.3 150 120 20 900

FTO12 0.16 11 0.5 100 180 40 300

FTO13 0.16 14 0.8 100 120 8 600

FTO14 0.18 20 0.8 150 180 8 900

FTO15 0.18 5 0.2 100 60 20 600

FTO16 0.18 14 0.3 50 180 40 300

FTO17 0.2 17 0.7 50 120 20 300

FTO18 0.2 8 0.4 150 180 8 900

FTO19 0.2 8 0.1 100 120 40 600

FTO20 0.2 5 0.6 50 120 20 300

Fuente: Autor

6.5 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO Con este capítulo se da cumplimiento total al cuarto objetivo específico planteado

“Revisar teóricamente las características en tiempo y frecuencia de las señales

_____________________________________________________________________________________________________

78

producidas por perturbaciones electromagnéticas típicas para seleccionar al menos dos tipos de estas como casos de estudio”.

Luego de realizar la revisión de las características en tiempo y en frecuencia de las perturbaciones electromagnéticas típicas, se evidenció que las señales producidas por descargas parciales y por flickers con transitorios oscilatorios presentan variaciones rápidas de frecuencia y pueden provocar efectos desfavorables en instalaciones eléctricas y equipos. Estas perturbaciones, aunque presentan un nivel de ocurrencia elevado, han sido poco analizadas usando técnicas de procesamiento, razón por la cual han sido seleccionadas como casos de estudio para la aplicación de la LPFT.

Para la aplicación de la herramienta computacional LPFT-SP se generaron 40

señales de descargas parciales y 20 de señales de flickers con transitorios oscilatorios a partir de la combinación de valores en los parámetros fijados para los modelos matemáticos. Para ambos casos (descargas parciales y flickers), se realizaron rutinas en Matlab® que permitieron la combinación aleatoria de los parámetros de la señal bajo estudio con el fin de obtener un conjunto de muestras que reflejan el comportamiento de las perturbaciones seleccionadas.

_____________________________________________________________________________________________________

79

7 ANÁLISIS TIEMPO-FRECUENCIA DE

PERTURBACIONES ELECTROMAGNÉTICAS

En el presente capítulo se muestra la aplicación de la herramienta computacional desarrollada para el cálculo de la LPFT en la identificación de las características de frecuencia y las componentes de energía de varias perturbaciones electromagnéticas. Para este fin, se analizaron las 40 señales de descargas parciales y a las 20 señales de flickers con transitorio oscilatorio definidas en el capítulo anterior. Adicionalmente, para todas las señales estudiadas se realizó un análisis en el dominio del tiempo, el dominio de la frecuencia (usando la FT) y el dominio tiempo-frecuencia (usando la STFT y LPFT) empleando la herramienta computacional LPFT-SP desarrollada en este trabajo.

Parte de las subsecciones y de los resultados mostrados en este capítulo han sido

extractados de los artículos [76], [79] presentados en revistas, eventos y congresos por los autores de este trabajo de grado.

7.1 ANÁLISIS DE DESCARGAS PARCIALES Para mostrar la aplicación de la LPFT en el análisis de señales generadas por descargas parciales se seleccionaron, a manera de ejemplo, dos señales de DP individuales (DP04, DP10) y una señal de DP de tres pulsos individuales (DP37). Los resultados completos obtenidos para las 40 señales de descargas parciales se presentan en el Anexo Digital 2. La Tabla 7-1 muestra las variables utilizadas para la creación de las señales de descarga parcial DP04, DP10 y DP37. Las tres señales fueron simuladas con un período de muestreo , el tiempo inicial de DP04 y DP37 es y para PD10 es . El tiempo final de DP04 es 99.8 para DP10 es 199.8 y para DP37 es 319.8 La Figura 7-1 muestra las formas de onda de las señales DP04, DP10 y DP37.

Tabla 7-1. Variables de simulación de DP04, DP10 y DP37

Variable / Signal ID PD04 PD10 PD37

; ; ; ; ; ;

; ; Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

80

(a)

(b)

(c)

Figura 7-1. Forma de onda de la señal a).DP04, b).DP10 y c).DP37 Fuente: Autor

7.1.1 Análisis en el domino del tiempo Para obtener las características de las señales de DP en el dominio del tiempo se implementó una rutina en MATLAB©. Esta aplicación estima el pico máximo (PM), los picos secundarios (PS), la duración (T) y el primer cruce por cero (CZ) de las DP. La Tabla 7-2 muestra las características temporales de las señales DP04 y DP10.

Tabla 7-2. Características temporales de DP04 y DP10

Characteristics / Signal ID PD04 PD10 Pico máximo [p.u.] 0.8 1.2

Tiempo PM [μs] 50 150 Tiempo del CZ [μs] 50.8 150.8 Picos secundarios 7 12

Duración de la señal [μs] 13 21.2 Fuente: Autor

Las características de cada uno de los pulsos que componen la señal DP37 se muestran en la Tabla 7-3. Para esta señal, se mantiene constante, mientras varia para cada pulso individual (ver Tabla 7-1). Al revisar la Tabla 7-3 y Tabla 7-1 se pude observar que a medida que la frecuencia del pulso aumenta la duración y los picos secundarios también lo hacen mientras el tiempo de cruce por cero disminuye

_____________________________________________________________________________________________________

81

Tabla 7-3. Características temporales de los pulsos que componen DP37

Characteristics Pulso PD37-1 Pulso PD37-2 Pulso PD37-3 Frecuencia [kHz] 150 300 260

Pico máximo [p.u.] 0.8 1 1.2 Tiempo PM [μs] 50 150 275

Tiempo del CZ [μs] 51.6 150.8 276 Picos secundarios PS 2 5 4

Duración [μs] 8,8 9,6 9 Fuente: Autor

7.1.2 Análisis en el domino de la frecuencia La Figura 7-2 muestra el espectro de frecuencia para DP04, DP10 y DP37. Este contenido espectral fue obtenido usando la función de la transformación rápida de Fourier (FFT) que está en MATLAB©. Analizando los componentes espectrales de las dos señales de DP de pulso individual se puede identificar que el rango de frecuencia en el que el espectrograma está por encima del 50% de su valor pico se presenta entre 215 kHz y 410 kHz para DP04 y entre 259 kHz y 347 kHz para DP10. No obstante, para ambas señales el espectrograma presenta un pico en 300 kHz.

(a)

(b)

(c)

Figura 7-2. Espectrograma de a).DP04, b).DP10, c).DP37 Fuente: Autor

La Figura 7-2 (c) muestra el espectrograma de la señal DP37 en donde se puede observar que los valores de frecuencia para cada uno de los tres pulsos individuales se encuentra entre 130 kHz y 600 kHz. Sin embargo, no es posible identificar puntualmente cual es la frecuencia de cada pulso. Esta es una de las limitaciones que presenta la FT en el análisis de DP con secuencia de pulsos.

_____________________________________________________________________________________________________

82

7.1.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia En la Tabla 7-4 se muestran los parámetros utilizados para calcular tanto la STFT como la LPFT de todos los casos de las señales de DP. Las variables que modifican su valor son el número de muestras de la ventana y el orden de la LPFT Hay que tener claro que la STFT se calculó a través de la definición de la LPFT cuando su orden polinomial

Tabla 7-4. Parámetros de simulación para el análisis en el dominio T-F

Variables Valor Tipo de ventana Gaussiana [muestras] Tipo de algoritmo Algoritmo 1 * Parámetros que varían en la simulación

Fuente: Autor

En la Tabla 7-4 se puede observar que el ancho de ventana varía tres veces y el orden polinomial de la LPFT varía dos veces, lo que significa que para el análisis T-F de cada señal de DP se corrieron seis simulaciones. Por lo tanto, para las 40 señales de DP bajo estudio se realizaron un total de 240 simulaciones con un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM. Debido a la gran cantidad de simulaciones que se realizaron, en esta sección se mostrará el análisis en el dominio T-F para las señales DP04, DP10 y DP37 utilizando un [muestras] y un orden polinomial Como una prueba adicional al desarrollo de este trabajo se decidió simular la LPFT con un , y un solo para las señales DP04, DP10 y DP37. La Figura 7-3 y Figura 7-4 muestran el periodograma normalizado en dos dimensiones para las señales DP04 y DP10 respectivamente utilizando la STFT. La concentración de energía de DP04 se presenta entre 240 kHz y 400 kHz en un intervalo de tiempo entre 48 y 65 Por otra parte, para DP10 las componentes frecuenciales están distribuidas entre 230 kHz y 400 kHz con un intervalo de 149.8 a160 En ambos casos el valor pico del periodograma se presenta en 300 kHz.

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83

Figura 7-3. STFT de la señal DP04 con Fuente: Autor


La Figura 7-5 muestra el espectro de la señal DP37 utilizando la STFT. Para el primer pulso de DP37 el rango de frecuencia se encuentra entre 100 kHz and 200 kHz con una duración de 23 (entre 40 y 63 ). En el caso del segundo pulso de DP37 el rango de frecuencias está en 230-410 kHz en un intervalo de tiempo de 149.8 -163 y el periodograma del tercer pulso de DP37 está localizado entre 274 y 288 con un rango de frecuencia de 180 kHz-400 kHz y el pico máximo ocurre a los 260 kHz. Finalmente, la máxima concentración de energía de la señal DP37 se presenta en el tercer pulso de DP37debido a que de la secuencia de pulsos este es el que presenta la mayor amplitud. De este análisis tiempo-frecuencia puede concluirse que la STFT permite conocer el comportamiento que presenta la frecuencia a medida que el tiempo trascurre. No obstante, no es posible observar las componentes de baja energía que presenta la señal debido a las oscilaciones relacionadas con el factor de amortiguamiento que tiene el modelo matemático de las DP. Por esta razón, es necesario utilizar una técnica como la LPFT que brinda una mayor resolución y concentración de energía en espectrograma de la señal [18].

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84


Para el análisis de las señales de DP con la LPFT se decidió utilizar como orden polinomial y para DP04, DP10 y DP37. Este orden polinomial fue seleccionado para reducir la complejidad y gastos computacionales de la herramienta debido a que al incrementar el valor de el número de operaciones también aumenta [44]. La Figura 7-6 muestra el LPP normalizado (LPPn) de la señal DP04 en 2D. Para esta DP de pulso individual el LPPn revela la concentración de energía con componentes de baja frecuencia y hasta los 500 kHz. Usando ambos ordenes polinomiales, el valor pico del LPP normalizado es observado en 300 kHz y está localizado entre 51 y 56 Adicionalmente, el LPP muestra algunas líneas desde baja frecuencia hasta 250 kHz entre 51 y 60 . Estas líneas representan las componentes de energía de los siete picos secundarios (positivos y negativos) que componen la señal DP04. Es importante destacar que la concentración de energía de las componentes de baja y media frecuencia se reduce cuando la amplitud de la señal disminuye. Sin embrago, cuando se puede observar que la concentración de energía de los picos secundarios aumenta en comparación al LPP obtenido con En este caso, cuando el orden polinomial es mayor la energía de la señal presenta mejor resolución entre 50 y 60

(a)

_____________________________________________________________________________________________________

85

(b)

Figura 7-6. LPP de la señal DP04 con a). b). Fuente: Autor

El LPPn para la señal DP10 se muestra en la Figura 7-7. En esta figura puede observarse que el máximo valor del LPP se presenta en 300 kHz a 151 . La concentración de energía de DP10 incrementa desde regiones de baja frecuencia a valores máximos para luego decrecer. Como en la señal DP04 el LPP de la señal DP10 muestra varias líneas desde frecuencias bajas hasta los 300 kHz entre los 151 y 160 Estas líneas están más cercas entre si debido a que el pulso de DP10 varía mucho más rápido que la señal DP04. Usando el orden polinomial el LPP presenta una mayor concentración de energía. Adicionalmente, el espectro de frecuencia de la señal DP10 obtenido con un tercer orden polinomial de la LPFT presenta componentes de baja y media frecuencia con mayor energía que las observadas en el LPP cuando

(a)

(b)


_____________________________________________________________________________________________________

86

La Figura 7-8 muestra el LPPn de la señal DP37. Para los tres pulsos DP37-1, DP37-2 y DP37-3 el LPPn revela una concentración de energía desde bajas frecuencias hasta los 150 kHz, 300 kHz y 260 kHz respectivamente. En el caso de DP3-1, el rango de frecuencia de mayor concentración de energía está entre 120 kHz y 180 kHz con una duración de 20 (entre 40 y 60 ). Para DP3-2 la mayor concentración de energía presenta un rango de frecuencia de 250-350 kHz en un intervalo de 149.8 -158 Finalmente, para el tercer pulso, la mayor concentración de energía del LPP está localizado entre 264 y 280 con un rango de frecuencia de 200 kHz-300 kHz y un valor pico en 260 kHz. De igual manera que en los espectros obtenidos para las señales DP04 y DP10, en la Figura 7-8 se muestran algunas líneas relacionadas con componentes de baja y media frecuencia. Estos componentes de frecuencia van desde los 200 Hz hasta frecuencias donde el LPP es máximo (para los tres pulsos). Estas líneas representan los componentes de frecuencia de los picos secundarios y fluctuaciones las cuales componen cada pulso. Cuando los picos secundarios aumentan, estos componentes también lo hacen. La concentración de energía de estos componentes adicionales dependen del valor pico. Finalmente, la máxima concentración de energía de la señal DP37 se presenta en DP37-3 por ser el pulso de mayor amplitud en la secuencia de pulsos.

(a)

(b)


7.2 ANÁLISIS DE FLICKERS CON TRANSITORIO OSCILATORIO Para el análisis de señales generadas por flickers con transitorios oscilatorios (FTO) se seleccionaron tres señales representativas FT001, FTO06 y FTO11. Los resultados

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87

completos y en detalle de las 20 señales de FTO se encuentran en el Anexo Digital 3. En la Tabla 7-5 se muestran las variables utilizadas para la creación de las señales de flicker con transitorio oscilatorio FT001, FTO06 y FTO11.

Tabla 7-5. Variables de simulación de FTO01, FTO06 y FTO11

Señal ID Flicker Transitorio Oscilatorio

FTO01 0.1 17 0.6 100 180 8 600

FTO06 0.12 11 0.4 100 120 20 300

FTO11 0.16 20 0.3 150 120 20 900

Fuente: Autor

La forma de onda de FT001, FTO06 y FTO11 se pueden observar en la Figura 7-9. El tiempo inicial , el tiempo final y el periodo de muestreo de las señales

presentadas es el mismo y corresponde a: y .

(a)

(b)

(c)

Figura 7-9. Forma de onda de la señal a). FT001, b). FTO06 y c). FTO11 Fuente: Autor

7.2.1 Análisis en el domino del tiempo Con el fin de obtener las características de las señales de FTO en el dominio del tiempo se realizó una rutina en MATLAB©. Esta rutina estima el pico máximo, el tiempo pico máximo, la duración y los picos máximos del flicker. La Tabla 7-6 muestra las características temporales de las señales FTO01, FTO06 y FTO11.

Tabla 7-6. Características temporales de FTO01, FTO06 y FTO11

Characteristics / Signal ID FTO01 FTO06 FTO11

Pico máximo [p.u.] 1.22 1.23 2.04 Tiempo PM [s] 0.1045 0.1025 0.1215

Duración de la señal [s] 0.2 0.2 0.2 Picos máximos del flicker 4 2 4

Fuente: Autor

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2

-1

0

1

2

Tiempo[s]

Am

plit

ud

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2

-1

0

1

2

Tiempo[s]A

mplit

ud

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25-2

0

2

4

Tiempo[s]

Am

plit

ud

_____________________________________________________________________________________________________

88

Como se puede observar en la Tabla 7-6 la duración de las tres señales es la misma y el pico máximo que se presenta en FTO01 y FTO06 es similar. Sin embargo, la cantidad de picos máximos del flicker en FTO01 es la misma que en FTO11, pero es la mitad de la cantidad de picos máximos de la señal FTO6. Este fenómeno se debe a la frecuencia ajustada para cada flicker .

7.2.2 Análisis en el domino de la frecuencia El espectro de frecuencia de FTO01, FTO06 y FTO11 se muestra en la Figura 7-10 y al igual que con las pruebas a descargas parciales fue obtenido utilizando la función FFT incluida en MATLAB®. Analizando los componentes espectrales de las tres señales se puede identificar un pico máximo en la frecuencia fundamental (60 Hz) y un componente de frecuencia media que varía según las características de la señal. Para FTO01 el rango de frecuencia media está entre 550 Hz y 660 Hz. En el caso de FTO06, la frecuencia media se encuentra entre 258 Hz y 336 Hz y finalmente, para FTO11 el rango se presenta entre 890 Hz y 910 Hz.

(a)

(b)

(c)

Figura 7-10. Espectrograma de a). FT001, b). FTO06 y c). FTO11 Fuente: Autor

A pesar de que los espectros de frecuencia mostrados en la Figura 7-10, no es posible identificar a que fenómeno atribuir estas componentes debido a que los valores de frecuencia no están asociados a un valor de tiempo. Por lo tanto, la FT queda limitada para analizar el comportamiento de flickers con transitorios oscilatorios.

7.2.3 Análisis en el domino del tiempo-frecuencia Los parámetros utilizados para calcular tanto la STFT como la LPFT en las señales de FTO se muestran en la Tabla 7-7. Las variables que modifican su valor son el número de muestras de la ventana y el orden de la LPFT Cabe aclarar que la STFT se calculó a través de la definición de la LPFT con orden polinomial

-500 0 500 1000 15000

0.5

1

Frecuencia[Hz]

Am

plit

ud [p.u

]

-500 0 500 1000 15000

0.5

1

Frecuencia[Hz]

Am

plit

ud [p.u

]

-500 0 500 1000 15000

0.5

1

Frecuencia[Hz]

Am

plit

ud [p.u

]

_____________________________________________________________________________________________________

89

Tabla 7-7. Parámetros de simulación para el análisis en el dominio T-F de las señales FTO

Variables Valor Tipo de ventana Gaussiana [muestras] Tipo de algoritmo Algoritmo 1 * Parámetros que varían en la simulación

Fuente: Autor

Al variar tres veces el ancho de la ventana y dos veces el orden polinomial de la LPFT, se ejecutaron seis simulaciones por cada señal para el análisis T-F. Por lo tanto, para las 20 señales de FTO se realizaron un total de 120 simulaciones con un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM. Debido a la gran cantidad de simulaciones que se realizaron, en esta sección se mostrará el análisis en el dominio T-F para las señales tomadas como ejemplo, utilizando un [muestras] y un orden polinomial Como un valor agregado al análisis de señales FTO se decidió simular la LPFT con orden , y un . La Figura 7-11 muestra el periodograma normalizado en dos dimensiones para las señales FTO01, FTO06 y FTO11 utilizando la STFT. La concentración de energía del transitorio oscilatorio de FTO01 se presenta entre 587 Hz y 612 Hz en un intervalo de tiempo entre 0.1 y 0.11 El 70% del valor máximo de la energía para la misma señal ocurre en cuatro puntos del espectro: 0.08 , 0.013 , 0.193 y en 0.2495 , a una frecuencia de 74 Hz. En el caso de la señal FTO06 los tiempos en los que la concentración de energía es mayor al 70% aparecen en 0.18 y en 0.21 . Por otra parte, para FTO11 las componentes frecuenciales del transitorio oscilatorio están distribuidas entre 893.8 Hz y 910.3 Hz con un intervalo de 0.125 a 0.13

(a)

(b)

_____________________________________________________________________________________________________

90

(c)

Figura 7-11 STFT con de la señal a). FT001, b). FTO06 y c). FTO11 Fuente: Autor

Del análisis tiempo-frecuencia utilizando la STFT se puede concluir que esta técnica permite identificar las variaciones de la frecuencia respecto al tiempo y determinar la energía del transitorio oscilatorio y del flicker de manera independiente. En la Figura 7-12 se puede observar el LPP normalizado (LPPn) de la señal FTO01 en 2D. Para esta señal, el LPPn revela que usando ambos ordenes polinomiales y el valor pico del transitorio oscilatorio se encuentra en 600Hz entre 0.103 y 0.107 . Sin embargo, con se evidencia que la duración del rango de frecuencias que se encuentra entre 560Hz y 587Hz es mayor, aproximadamente 20 . En cuanto a las características del flicker FTO01, se observa que luego de utilizar ordenes aparecen varias líneas diagonales de muy baja frecuencia (casi DC) hasta la frecuencia fundamental de 60Hz que no se observaron haciendo uso de la STFT (ver Figura 7-11 (a)). Estas franjas coinciden con los tiempos de mayor amplitud (valores positivos o negativos) de la señal. Adicionalmente, con los picos máximos del flicker presentan mayor concentración de energía. Esto significa que las características de la señal FTO01 pueden ser apreciadas con mayor detalle al usar un orden .

(a)

_____________________________________________________________________________________________________

91

(b)

Figura 7-12. LPP de la señal FTO01 con a). b). Fuente: Autor

El LPPn de la señal FTO06 se puede observar en la Figura 7-13. En esta figura, al igual que en la Figura 7-12 se aprecian franjas de baja frecuencia que se observan al usar ordenes polinomiales y . La intensidad del color de estas franjas depende de la amplitud de los picos (positivos o negativos) de la señal, de manera que entre mayor sea la amplitud de las componentes, mayor es la intensidad de color. Al comparar la Figura 7-13 (a) y Figura 7-13 (b) se puede apreciar que con la concentración de energía en los dos picos máximos del flicker es mayor debido a que la duración de estos picos en el LPPn con es menor en 13 . En la Figura 7-13 también se pueden observar unas líneas tenues (azul claro) que parten desde los 60Hz y van hasta los 300 Hz, las cuales corresponden a la presencia del transitorio. Sin embargo, se observa que con el rango de frecuencias para el transitorio es más amplio (desde 210 Hz y hasta 380 Hz).

(a)

_____________________________________________________________________________________________________

92

(b)


De igual forma que en los espectros obtenidos para las señales FTO01 y FTO06, la Figura 7-14 muestra algunas líneas relacionadas con componentes de muy baja frecuencia presentes en el flicker FTO11. Es importante resaltar en la Figura 7-14 como las concentraciones de energía del flicker y del transitorio son comparables. Esto facilita la identificación de las componentes frecuenciales de la señal FTO11. En este aspecto, se evidencia que con órdenes polinomiales y el valor máximo del transitorio es localizado en 900 Hz. No obstante, con se puede detallar un rango de frecuencias más amplio que describen de mejor manera el comportamiento del transitorio. Para este orden polinomial, se muestra que las componentes frecuenciales del transitorio van desde 400 Hz y alcanzan 1 kHz, con una duración de 30 .

(a)

(b)

_____________________________________________________________________________________________________

93


7.3 CONCLUSIONES DE CAPÍTULO Con este capítulo se da cumplimiento al quinto y último objetivo específico

planteado “Aplicar la herramienta computacional propuesta en la identificación de las características de frecuencia y componentes de energía de las perturbaciones electromagnéticas seleccionadas como casos de estudio.”.

Las principales componentes de frecuencia de las señales de descargas parciales (DP) estudiadas pueden ser obtenidas correctamente por la STFT y LPFT en el plano tiempo-frecuencia. Sin embargo, para los casos estudiados, sólo la LPFT permite observar componentes de baja y media frecuencia entre 200 Hz y 150 kHz. Estas componentes están relacionadas con los picos secundarios y el factor de amortiguamiento de las señales de DP generadas (pulsos individuales o secuencia de pulsos).

Se evidenció que tanto la STFT como la LPFT con y permiten apreciar

las características en tiempo y en frecuencia de los flickers con transitorio oscilatorio. Sin embargo, para los casos de estudio, se pudieron visualizar componentes de frecuencia entre los 60Hz y los 500Hz que sólo pudieron ser observados con claridad luego de aplicar la LPFT de orden .

_____________________________________________________________________________________________________

94

8 CONCLUSIONES A partir de los resultados obtenidos y las actividades desarrolladas a lo largo de este trabajo de grado, se pueden resaltar las siguientes conclusiones: Se da cumplimiento al objetivo general propuesto “Desarrollar e implementar una

herramienta computacional basada en la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) para el análisis de dos tipos de perturbaciones electromagnéticas”. Vale la pena aclarar que la herramienta computacional desarrollada es capaz de calcular la LPFT de cualquier señal que se quiera ingresar como parámetro de entrada, la cual puede ser obtenida a partir de pruebas experimentales o haciendo uso de los modelos matemáticos incluidos.

Se propusieron dos algoritmos que calculan la transformación local polinomial de

Fourier, y se desarrollaron sus respectivos códigos en lenguaje de programación Matlab®. El algoritmo 1, que utiliza estimadores simultáneos para el cálculo de la LPFT, es más robusto que el algoritmo 2 debido a que para su ejecución requiere construir matrices de dimensiones dependiendo del orden definido para la LPFT. Sin embargo, los tiempos de cómputo del algoritmo 1 pueden ser hasta 10 veces mayores a los que toma el algoritmo 2, el cual calcula la LPFT definiendo los estimadores de manera individual.

Las pruebas de validación realizadas demuestran que para una misma señal se

pueden obtener diferentes soluciones óptimas de la LPFT dependiendo el orden , el ancho y tipo de ventana seleccionados. Sin embargo, en aplicaciones de ingeniería las ventanas que proveen una mayor resolución y menores errores SRMSE son las ventanas normalizadas simétricas.

La herramienta computacional desarrollada, además de realizar el cálculo de la

LPFT, cuenta con una interfaz gráfica que le facilita al usuario ingresar y definir la señal bajo estudio, ajustar los parámetros de la transformación (función ventana y orden polinomial), seleccionar el algoritmo (estimadores simultáneos e individuales) de cálculo y graficar los resultados del LPP en 2D y 3D.

Calcular la LPFT para órdenes superiores a sólo se justifica cuando la señal

bajo estudio presenta variaciones rápidas de la frecuencia instantánea en el tiempo. De lo contrario, el cálculo de transformadas de orden superior sobre señales estacionarias o cuasi-estacionarias acarrearía un gasto innecesario de tiempo y recursos computacionales ya que en este tipo de señales las variaciones del espectro no cambian significativamente respecto al orden polinomial.

Como aporte importante en el campo de la ingeniería eléctrica, se presentó un

análisis de descargas parciales (DP) y de flicker con transitorio oscilatorio (FTO) usando como técnica de procesamiento la LPFT. Los resultados obtenidos, varios de ellos novedosos y publicados en revistas y eventos científicos, muestran a la LPFT cómo una técnica de procesamiento de señales muy eficiente para el estudio en el

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95

dominio tiempo-frecuencia de perturbaciones electromagnéticas que presentan variaciones rápidas de frecuencia en el tiempo. Además, los estudios presentados se llevaron a acabo teniendo en cuenta diferentes parámetros temporales y frecuenciales que caracterizan tanto a las DP como a los FTO. Entre estos parámetros se resaltan: amplitud, duración, picos secundarios, frecuencia instantánea (IF), segunda y tercera derivada de la IF y la concentración de energía.

Los principales componentes frecuenciales de las descargas parciales y de los

flickers con transitorio oscilatorio pueden ser obtenidos correctamente tanto con la STFT como con la LPFT de orden m=2 y m=3. Sin embargo, para estas perturbaciones en particular, el LPP proporcionado por la LPFT permitió observar componentes de baja y media frecuencia los cuales no fueron detectadas al utilizar técnicas convencionales de procesamiento como la FT o la STFT.

96

9 TRABAJOS FUTUROS Es importante recalcar que este estudio proporciona una nueva perspectiva sobre la posibilidad de aplicar la transformación local polinomial de Fourier (LPFT) en el análisis de señales de naturaleza eléctrica. Por lo tanto, los trabajos futuros que se podrían desarrollar son: Utilizar la herramienta computacional desarrollada en el análisis de otros tipos de

perturbaciones electromagnéticas como sags, swells, armónicos, transitorios tipo impulso, entre otros.

Desarrollar y validar códigos que permitan el análisis de las características en tiempo y frecuencia de otras perturbaciones electromagnéticas diferentes a descargas parciales y flickers con transitorios.

Ampliar el algoritmo 1 (estimadores simultáneos) para calcular la LPFT con órdenes superiores a tres. Además, se deben concentrar esfuerzos en la reducción de sus tiempos de cómputo.

Evaluar los requerimientos de hardware y mejorar de los códigos desarrollados en pro de reducir la carga computacional que tiene la herramienta LPFT-SP cuando se grafica el periodograma local polinomial (LPP) calculado con los estimadores simultáneos.

Utilizar métodos paramétricos como la transformación polinomial tiempo

frecuencia, para el desarrollo de nuevos algoritmos que permitan el cálculo de la LPFT.

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10 PRODUCTOS M. C. Forero and H. E. Rojas, Certificado De Registro De Soporte Logico – Software-

LPFT-SP Procesamiento De Señales Usando la Transformación Local Polinomial de Fourier, registro 13-46-305, Bogotá, 09 de abril de 2015.

M. C. Forero and H. E. Rojas, “Implementation of Local Polynomial Fourier Transform Algorithm with Simultaneous Estimators (LPFT-ASE),” in IV congreso internacional de instrumentación control y telecomunicaciones (CIICT 2015), 2015, pp. 1–5.

M. C. Forero and H. E. Rojas, “Study of Partial Discharge Based on Time-Frequency

Analysis Using Local Polynomial Fourier Transform,” in VIII Simposio Internacional sobre la Calidad de la Energía Eléctrica (SICEL 2015), 2015, pp. 1–6.

M. C. Forero, H. E. Rojas, and C. A. Cortés, “Application of the local polynomial fourier

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Anexo A: Caso 3 y Caso 4 de la Validación de la Herramienta LPFT-SP

CASO 3: FUNCIÓN FASE SINUSOIDAL

Resultados presentados en la literatura

La función fase sinusoidal utilizada para la validación de los algoritmos de la LPFT fue tomada de [43] con el fin de mostrar el comportamiento de la frecuencia instantánea (IF) y de su primera derivada en función del tiempo. Adicionalmente, en [43] se presenta el cálculo del SRMSE para la IF y su primera derivada en función del grado de la LPFT y del ancho de la ventana en segundos. Esta función presenta la siguiente estructura matemática:

(A- 1)

Las variables de simulación usadas para analizar esta señal fueron: período de muestreo ancho de la ventana [s] y . Los resultados presentados en la Figura A- 1 y Figura A- 2 extraídas de [43] muestran el comportamiento de la IF en función del tiempo y el comportamiento de la primera derivada de IF en función del tiempo.

Figura A- 1. IF en función del tiempo de la señal sinusoidal con . Línea solida IF teórica, “o” IF con , “+” IF con

Fuente: [43]

_____________________________________________________________________________________________________

Figura A- 2. Primera derivada de IF en función del tiempo de la señal sinusoidal. Línea solida derivada de IF teórica, “o” derivada de IF con y “+” derivada de IF con

y Fuente: [43]

El comportamiento del SRMSE de la IF en función del grado de la LPFT y de la duración de la ventana extraídos de [43] se muestra en la Tabla A- 1.

Tabla A- 1. SRMSE de la IF extraídos de [43]

[s] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 0.305 0.119 0.130 0.195 0.281 0.375 0.466 0.546 0.610 0.656 2 0.305 0.119 0.130 0.195 0.281 0.466 0.466 0.546 0.610 0.656 3 0.890 0.263 0.135 0.088 0.063 0.099 0.099 0.153 0.223 0.305 4 0.889 0.263 0.134 0.088 0.067 0.099 0.099 0.153 0.223 0.305

Fuente: [43]

El comportamiento del SRMSE de la primera derivada de IF en función del grado de la LPFT y de la duración de la ventana extraídos de [43]se muestra en la Tabla A- 2.

Tabla A- 2. SRMSE de la primera derivada de IF extraídos de [43]

[s] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2 26.63 4.017 1.792 1.503 2.010 2.678 3.387 4.072 4.692 5.222 3 26.58 4.018 1.792 1.503 2.011 2.678 3.388 4.072 4.692 5.222 4 97.47 15.46 4.913 2.620 1.348 0.906 0.799 1.023 1.440 2.053

Fuente: [43]

Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos

Teniendo en cuenta las características que presenta la señal fase sinusoidal se definieron las siguientes variables de entrada para validar los dos algoritmos desarrollados de la LPFT:


tiempo de muestreo Ventana: Función rectangular simétrica normalizada con duración variable

_____________________________________________________________________________________________________

Grado del polinomio de la LPFT: código 1: , 3 y código 2: , 3, 4 Rango de análisis para los estimadores: , ,

, Utilizando la combinación de todos los parámetros mencionados se realizaron 30 simulaciones para el algoritmo 1 y 40 simulaciones para el algoritmo 2.

Simulaciones algoritmo 1 Para el caso del cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos (algoritmo 1), la Figura A- 3 presenta el comportamiento de la IF en función del tiempo para una duración con y .

Figura A- 3. en función de con algoritmo 1. Línea negra IF teórica, línea roja con , línea azul con

Fuente: Autor

En la Figura A- 3 se puede observar que para una misma duración de ventana se obtienen resultados más cercanos a los teóricos utilizando un mayor orden de la LPFT . Si se compara visualmente la gráfica de en función del tiempo de la Figura A- 3 con la Figura A- 1 (tomados de [43]), se alcanzan resultados similares lo que valida el funcionamiento del algoritmo 1. Con el fin de verificar los resultados obtenidos de con el algoritmo 1 se utilizó el SRMSE como indicador para medir el grado de variación entre los valores teóricos de la IF con los arrojados por la simulación. La Tabla A- 3 presenta los SRMSE para en función de la variación de la duración de la ventana y del orden de la LPFT .

Tabla A- 3. SRMSE de la IF obtenidos con algoritmo 1 [s] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 0.031 0.063 0.126 0.202 0.287 0.38 0.480 0.554 0.636 0.636

2 0.030 0.063 0.126 0.202 0.287 0.38 0.480 0.554 0.636 0.636

3 0.030 0.029 0.028 0.031 0.047 0.06 0.120 0.165 0.234 0.319

Fuente: Autor

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

0.20.40.6

0.81

1.2

1.41.61.8

22

Tiempo [s]

Fre

cu

en

cia

In

sta

ntá

ne

a (

IF)

[Hz]

_____________________________________________________________________________________________________

De la Tabla A- 3 se puede observar que al utilizar un o un el SRMSE aumenta a medida que la duración de la ventana incrementa no obstante, al utilizar un orden mayor el error SRMSE es más pequeño y se consigue utilizando una duración de ventana de . Al comparar la Tabla A- 3 con la Tabla A- 1 (tomada de [43]) se puede verificar que los errores conseguidos con el algoritmo 1 son menores a los presentados en [43]. En la Tabla A- 1 se muestra el SRMSE hasta un orden y en la Tabla A- 3 hasta esto se debe a que el cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos (algoritmo 1) solo se puede realizar hasta un orden por la complejidad de crear matrices de más de 3 dimensiones (ver Capítulo 3). Por otro lado, la Tabla A- 4 muestra el comportamiento de la primera derivada de IF en función del tiempo para una duración de con y para con debido a que con el algoritmo 1 no se puede calcular .

Figura A- 4. en función de con algoritmo 1. Línea negra teórica, línea roja con , línea azul con

Fuente: Autor

Al revisar la Figura A- 4 se puede ver que la estimación de utilizado una duración de con presenta mejores resultados que con y , debido a que la respuesta es más cercana a la teórica. Con el fin de corroborar los resultados obtenidos de con el algoritmo 1 se utilizó el SRMSE como indicador para medir el grado de variación entre los valores teóricos de la primera derivada de la IF con los arrojados por la simulación. La Tabla A- 4 presenta los SRMSE para en función de la variación de la duración de la ventana y del orden de la LPFT .

Tabla A- 4. SRMSE de la primera derivada de IF obtenidos con algoritmo 1 [s] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2 0.171 0.392 0.8225 1.3879 2.053 2.759 3.4778 4.1605 4.7753 5.2482

3 0.171 0.392 0.8233 1.3879 2.053 2.759 3.4778 4.1614 4.7753 5.2482

Fuente: Autor

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-8-6-4-202468

10

Tiempo [s]

Pri

me

ra D

eri

va

da

de

IF

[1

/s2]

_____________________________________________________________________________________________________

De la Tabla A- 4 se puede deducir que el error SRMSE para el estimador varía sólo en función de la duración de ventana y se mantiene constante al variar . De igual manera se observa que a medida que aumenta la duración de la ventana el SRMSE incrementa. En este caso la mejor solución de se encuentra al utilizar una duración de

Simulaciones algoritmo 2 En el caso del cálculo de la LPFT con estimadores individuales (algoritmo 2), la Figura A- 5 presenta el comportamiento de la IF en función del tiempo para una duración con y .

Figura A- 5. en función de con algoritmo 2. Línea negra IF teórica, línea roja con , línea azul con

Fuente: Autor

En la Figura A- 5 se puede observar que manteniendo constante la duración de ventana en el comportamiento de la IF es el mismo sin importar la variación de . Si se compara visualmente la gráfica de en función del tiempo de la Figura A- 5 con la Figura A- 1 (tomados de [43]), se consiguen formas graficas similares lo que valida el funcionamiento del algoritmo 2. Con el fin de corroborar la veracidad de los resultados obtenidos de con el algoritmo 2 se utilizó el SRMSE como indicador para medir el grado de variación entre los valores teóricos de la IF con los arrojados por la simulación. La Tabla A- 5 presenta los SRMSE para en función de la variación de la duración de la ventana y del orden de la LPFT .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110

0.20.40.6

0.81

1.2

1.41.61.8

22

Tiempo [s]

Fre

cu

en

cia

In

sta

ntá

ne

a (

IF)

[Hz]

_____________________________________________________________________________________________________

Tabla A- 5. SRMSE de la IF obtenidos con algoritmo 2 [s] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 0.031 0.063 0.126 0.202 0.287 0.384 0.480 0.554 0.637 0.637

2 0.031 0.063 0.126 0.202 0.287 0.384 0.480 0.554 0.637 0.637

3 0.031 0.063 0.126 0.202 0.287 0.384 0.480 0.554 0.637 0.637

4 0.031 0.063 0.126 0.202 0.287 0.384 0.480 0.554 0.637 0.637

Fuente: [43]

De la Tabla A- 5 se puede concluir que para el estimador existe un sólo valor de error por cada duración de ventana sin importar la variación de . Esto se debe a que el algoritmo 2 siempre halla el máximo de cada estimador de manera individual e inicia con luego toma este valor para hacer el cálculo del estimador siguiente. Adicionalmente, la mejor solución de se halla al usar una duración de Por otra parte, la Figura A- 6 muestra el comportamiento de la primera derivada de IF en función del tiempo para una duración de con y para con .

Figura A- 6. en función de con algoritmo 2. Línea negra teórica, línea roja con , línea azul con

Fuente: Autor

En la Figura A- 6 se observa que al utilizar una duración de con la primera derivada de IF presenta mejores resultados que con y , debido a que la respuesta es más cercana a la teórica. Para verificar los resultados obtenidos de con el algoritmo 2 se utilizó el SRMSE como indicador para medir el grado de variación entre los valores teóricos de la primera derivada de la IF con los arrojados por la simulación. La Tabla A- 6 presenta los SRMSE para en función de la variación de la duración de la ventana y del orden de la LPFT .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tiempo [s]

Pri

me

ra D

eri

va

da

de

IF

[1

/s2]

_____________________________________________________________________________________________________

Tabla A- 6. SRMSE de la primera derivada de IF obtenidos con algoritmo 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2 0.171 0.392 0.823 1.388 2.053 2.759 3.477 4.161 4.775 5.248

3 0.171 0.392 0.823 1.388 2.053 2.759 3.477 4.161 4.775 5.248

4 0.171 0.392 0.823 1.388 2.053 2.759 3.477 4.161 4.775 5.248

Fuente: [43]

De la Tabla A- 6 se puede deducir que al igual que el estimador , para sólo presenta un sólo valor de error por cada duración de ventana sin importar el valor de . De igual manera se observa que a medida que aumenta la duración de la ventana el error de también incrementa. En este caso la mejor solución de se encuentra al utilizar una duración de

Comparación de resultados entre códigos El tiempo de cómputo que utilizan ambos algoritmos en el cálculo de la LPFT es un parámetro importante que el usuario debe tener presente. Por lo cual, en la Figura A- 7Figura A- 7. se presentan los tiempos computacionales para el algoritmo 1 y el algoritmo 2. Usando un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM el algoritmo 1 dura 14 minutos y 4 segundos más que el algoritmo 2 para . Esto muestra que para simular la LPFT utilizando el algoritmo 1 es necesario un equipo de cómputo con altos requerimientos de hardware.

(a) (b)

(c)

Figura A- 7. Tiempos computacionales, (a) Algoritmo 1 con (b) Algoritmo 1 con , (c) Algoritmo 2 con

Fuente: Autor

En la Figura A- 7 (a), (b) y (c) se puede apreciar los tiempos computacionales incrementas a medida que la duración de la ventana y el orden de la LPFT aumentan.

_____________________________________________________________________________________________________

Al comparan la Figura A- 7 (a) y la Figura A- 7 (b) con la Figura A- 7 (c) se observa que los tiempos computacionales del algoritmo 1 son mayores que los que emplea el algoritmo 2 aun cuando en este último se utilizó un . Esta es una de las desventajas que tiene utilizar el algoritmo 1. Teniendo en cuenta la metodología de validación, en la Tabla A- 7 se muestran las mejores soluciones locales dentro de las opciones de simulación dadas en la subsección: Parámetros de simulación para la validación de los algoritmos cada algoritmo en función del orden .

Tabla A- 7. Soluciones óptimas del algoritmo 1 y del algoritmo 2

Orden LPFT

Algoritmo 1

N/A

N/A

N/A

Algoritmo 2

: Duración de la ventana : Tiempo de Cómputo

Fuente: Autor

Al confrontar las soluciones del algoritmo 1 con las del algoritmo 2 presentadas en la Tabla A- 7 se puede observar que tanto para como para la mejor solución local se presenta al utilizar una duración de ventana de . No obstante para un orden la duración es de para el algoritmo 1 y para el algoritmo 2 de Esto demuestra que la respuesta local puede ser encontrada con duraciones de ventana diferentes según el orden de la LPFT y el código seleccionado.

CASO 4: FUNCIÓN MULTICOMPONENTE FORMADA POR CHIRPS

Resultados presentados en la literatura La función multicomponente formada por chirps usada para la validación de los algoritmos de la LPFT fue tomada de [18] con el fin de mostrar el comportamiento de la frecuencia instantánea (IF) en función del tiempo. Esta función presenta la siguiente estructura matemática:

_____________________________________________________________________________________________________

( ) ( ) (A- 2)

Las variables de simulación presentadas en [18] son el tiempo inicial y tiempo final . En la Figura A- 8 se muestra el resultado alcanzado por [18] de la

representación de la señal multicomponente en el dominio de la LPFT.

Figura A- 8. LPP de la señal multicomponente formada por chirps Fuente: [18]

Teniendo en cuenta las características que presenta la señal multicomponente formada por chirps se especificaron las siguientes variables de entrada para validar los dos algoritmos desarrollados de la LPFT:



[muestras] Grado del polinomio de la LPFT: Rango de análisis para los estimadores: ,

, Combinando todos los parámetros mencionados anteriormente se realizaron 18 simulaciones por cada algoritmo.

Simulaciones algoritmo 1 Para el caso del cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos (algoritmo 1), Tabla A- 8 muestra con gráficas en 3D el comportamiento de la frecuencia instantánea en función del tiempo para un ancho de ventana de 100 y 500 muestras variando el orden polinomial .

_____________________________________________________________________________________________________

Tabla A- 8. IF en función del tiempo de la señal multicomponente formada por chirps con algoritmo 1

m Algoritmo 1: Cálculo de la LPFT con estimadores simultáneos

1

2

3

Fuente: Autor

Inspeccionando visualmente la Tabla A- 8 se observa que el comportamiento de la IF en función del tiempo varía sutilmente a medida de que el orden de la LPFT incrementa. No obstante, utilizando una ventana de se obtiene mayor definición y concentración del LPP que con Adicionalmente, si se compara gráficamente la Figura A- 8 (tomada de [18]) con las figuras de la columna derecha mostradas en la Tabla A- 8 se puede identificar que los resultados son similares lo que valida el funcionamiento del algoritmo 1. Por otra parte, para este caso en particular de validación no es posible determinar el error de cálculo de los estimadores debido a que esta señal es multicomponente, es decir presenta dos fases polinomiales , la primera y la segunda .

_____________________________________________________________________________________________________

Simulaciones algoritmo 2 Para cálculo de la LPFT con estimadores individuales (algoritmo 2), la Tabla A- 9 muestra la IF en función del tiempo para un ancho de ventana de 100 y 500 muestras variando el orden polinomial .

Tabla A- 9. IF en función del tiempo de la señal multicomponente formada por chirps con algoritmo 2


1

2

3

Fuente: Autor

En la Tabla A- 9 se observa que la IF en función del tiempo no varía con respecto al grado de la LPFT. Sin embargo, al usar un ancho de venta de 500 muestras se observa un LPP con mejor resolución y definición que al utilizar 100. Esto significa que para el análisis de la señal multicomponente formada por chirp con el algoritmo 2 es mejor utilizar ventanas grandes ya que estas concentran los puntos máximos y mejoran la resolución de los estimadores. Igualmente, si se cotejan visualmente la gráfica presentada en la Figura A- 8 (tomada de [18]) con los resultados presentados en la Tabla A- 9, se consiguen resultados similares lo que valida el funcionamiento del algoritmo 2.

_____________________________________________________________________________________________________

Comparación de resultados entre códigos El tiempo computacional que utiliza cada algoritmo para calcular la LPFT es otra de las características relevantes por lo tanto, en la Figura A- 9 se muestra el comportamiento del tiempo computacional para el algoritmo 1 y el algoritmo 2. Se utilizó un ordenador con procesador de cuatro núcleos con velocidad de 2.2 GHz y 8 GB de memoria RAM.

(a) (b)

(c)

Figura A- 9. Tiempos computacionales, (a) Algoritmo 1 con (b) Algoritmo 1 con , (c) Algoritmo 2 con , 3

Fuente: Autor

En la Figura A- 9 (a), (b) y (c) se puede observar que los tiempos computacionales incrementan a medida que aumenta el ancho de la ventana y el orden de la LPFT. Si se compara la Figura A- 9 (a) y la Figura A- 9 (b) con la Figura A- 9 (c) se nota el algoritmo 2 emplea para el cálculo de la LPFT menores tiempos computacionales que el algoritmo 1. Esta es una de las ventajas que tiene usar el algoritmo 2.

_____________________________________________________________________________________________________

Anexo B: Funciones Operativas

La Tabla B- 1, Tabla B- 2 y Tabla B- 3describe las funciones operativas de la herramienta computacional LPFT-SP y muestra el nombre del archivo que ejecuta su operación.

Tabla B- 1. Funciones operativas para creación de ventanas de la interfaz y generación de señales matemáticas

SECCIÓN NOMBRE ARCHIVO DESCRIPCIÓN

Generación de

formularios

interfaz

(4 archivos .m)

Formato_1.m

Permite la ejecución del código de los siguientes módulos de la interfaz: 1. Seleccionar señal, 2. Definir tamaño de la señal, 3. Ingresar la ventana, 4. Ingresar el orden de la LPFT, 5. Calcular LPFT método 1, método 2 y 6. Graficar

Formato_2.m

Permite el ingreso de las variables de las señales matemáticas y de calidad predefinidas. Cuenta con una ayuda visual a través de una figura que muestra la expresión matemática de la señal

Formato_3.m Permite el ingreso de los Ws necesarios para el cálculo de la LPFT

Formato_4.m Permite visualizar en una tabla el error promedio, acumulado y SRMSE para las señales matemáticas no multicomponentes

Generación de

Señales

Matemáticas

(6 archivos .m)

func_chirp.m Genera señales de tipo chirp

func_exp_phase_sin.m Genera señales con fase sinusoidal

func_mult_lineal_cruz.m Genera señales multicomponentes formada por chirps

func_parabola.m Genera señales de frecuencia modulada (FM) parabólica

func_armo.m Genera señales chirp con contenido armónico

func_sinu_lineal.m

Genera señales multicomponentes formadas por una señal de frecuencia modulada (FM) sinusoidal y una señal de frecuencia modulada (FM) lineal

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

Tabla B- 2. Funciones operativas para generación de señales pq y de funciones ventana


Generación de

Señales PQ

(11 archivos .m)

func_sag_interr.m Genera sags o interrupciones

func_swell.m Genera swells

func_flicker.m Genera flickers

func_oscilla_transient.m Genera oscilaciones transitorias

func_notch.m Genera notch

func_spike.m Genera spike

func_harmonics.m Genera armónicos

func_sag_harmonic.m Genera sags con armónicos

func_swell_hermonic.m Genera swells con armónicos

func_flicker_harmonic.m Genera flickers con armónicos

func_interr_harmonic.m Genera interrupciones con armónicos

Generación de

Funciones

Ventana

(14 archivos .m)

func_gauss_sinnorm.m Genera una función ventana de tipo gauss sin normalizar

func_gauss_norm.m Genera una función ventana de tipo gauss normalizada

func_gauss_dere_sin.m Genera una función ventana de tipo gauss derecha sin normalizar

func_gauss_dere.m Genera una función ventana de tipo gauss derecha normalizada

func_gauss_izqu.m Genera una función ventana de tipo gauss izquierda normalizada

func_gauss_izqu_sin.m Genera una función ventana de tipo gauss izquierda sin normalizar

func_rectangu.m Genera una función ventana de tipo rectangular sin normalizar

func_rectangu_norm.m Genera una función ventana de tipo rectangular normalizada

func_recta_dere_sin.m Genera una función ventana de tipo rectangular derecha sin normalizar

func_recta_dere.m Genera una función ventana de tipo rectangular derecha normalizada

func_recta_izqu_sin.m Genera una función ventana de tipo rectangular izquierda sin normalizar

func_recta_izqu.m Genera una función ventana de tipo rectangular izquierda normalizada

func_hamming_sinnorm.m Genera una función ventana de tipo haming sin normalizar

func_hann_sinnorm.m Genera una función ventana de tipo han sin normalizar

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

Tabla B- 3. Funciones operativas para acondicionamiento de la señal, ingresar de estimadores, calcular la LPFT y graficar


Acondicionamiento de

la Señal

(1 archivo .m) func_acdi.m

Permite acondicionar la señal cargada, según el tamaño de la ventana seleccionada

Ingreso de estimadores

( )

(2 archivos .m)

func_restric_ws.m Revisa si el rango de los supera los límites teóricos y pregunta al usuario si quiere continuar

func_restric_DeltaW.m Verifica que inicial debe ser menor que final y Delta a su vez debe ser múltiplo de estos

Cálculo LPFT

(3 archivos .m)

func_LPFT_1.m Calcula la LPFT y su respectivo LPP a través del método 1: Algoritmo de la LPFT con estimadores simultáneos

func_LPFT_2.m Calcula la LPFT y su respectivo LPP a través del método 2: Algoritmo de la LPFT con estimadores individuales

func_calcerror.m Calcula el error promedio, acumulado y SRMSE para las señales matemáticas no multicomponentes

Graficar

(3 archivos .m)

func_3D_code1.m Grafica el LPP, el LPP normalizado local y general, los y el tiempo obtenidos a través del método 1

func_3D_code2.m Grafica el LPP, el LPP normalizado local y general, los y el tiempo obtenidos a través del método 2

func_2D.m Grafica los valores de calculados vs el tiempo obtenidos a través de método 1 y 2

Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

Anexo C: Diagramas lógicos de los Módulos de la Herramienta LPFT-SP

Algoritmo Módulo 1

Figura C- 1. Algoritmo módulo 1 Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

Algoritmo Módulo 2

Figura C- 2 Algoritmo módulo 1 Fuente: Autor

_____________________________________________________________________________________________________

Algoritmo Módulo 3


_____________________________________________________________________________________________________

Algoritmo Módulo 4


_____________________________________________________________________________________________________

Algoritmo Módulo 5 y Módulo 6



________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Anexo D: Funciones Matemáticas Predefinidas

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS SOFTWARE PARA EL PROCESAMIENTO DE SEÑALES USANDO

LA TRANSFORMACIÓN LOCAL POLINOMIAL DE FOURIER (LPFT) -- LPFT-SP

Autor: María Carolina Forero Mejía Revisión: Febrero 2016

AYUDA MÓDULO SELECCIONAR SEÑAL – FUNCIONES MATEMÁTICAS PREDEFINIDAS [18], [43], [52]

NOMBRE EXPRESIÓN MATEMÁTICA VARIABLES

Función Chirp

( )

Primer coeficiente Segundo coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]

Período de la señal [s]

Función Fase Sinusoidal

Primer coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]


0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 20 40 60 80 100-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Multicomponente Formada por Chips

( ) ( )

Primer coeficiente Segundo coeficiente Tercer coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]


Función Frecuencia Modulada (FM) Parabólica

( )

Primer coeficiente Segundo coeficiente Tercer coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]


Función Chirp con Contenido Armónico

( )

( ) ( )

Primer coeficiente Segundo coeficiente Tercer coeficiente Cuarto coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]


Función Multicomponente Formada por Frecuencia Modulada (FM) Sinusoidal y Lineal

( )

Primer coeficiente Segundo coeficiente Tercer coeficiente Cuarto coeficiente Quinto coeficiente Tiempo inicial [s] Tiempo final [s]


0 50 100 150 200 250-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 50 100 150 200 250-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 10 20 30 40 50-5

0

5

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Anexo E: Funciones de Calidad de Potencia Predefinidas




AYUDA MÓDULO SELECCIONAR SEÑAL – FUNCIONES DE CALIDAD DE POTENCIA (PQ) PREDEFINIDAS [68]


Función Interrupción

( ( ) )

Amplitud de la interrupción Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


Función Sag

( ( ) )

Amplitud del sag Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Swell

( ( ) )

Amplitud del swell Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


Función Flicker

{

( )

Amplitud del evento

Tiempo inicial de la señal [s] Tiempo final de la señal [s]

Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s]

Período de muestreo señal [s] Frecuencia de la señal [Hz] Frecuencia del evento [Hz]

Función Transitorios Oscilatorios

( ) {

}

Amplitud del evento Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s]

Período de la señal [s] Frecuencia del evento [Hz]

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.1 0.2 0.3 0.4

-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Transitorios Impulsos: Descarga

Parcial Pulsos Individuales

{

Amplitud del evento

Tiempo inicial del evento [s]

Factor de amortiguamiento


Frecuencia del evento [Hz]

Función Transitorios Impulsos: Descarga

Parcial Secuencia de Pulsos

{

( )

( )

( )

Amplitud del pulso i;

Tiempo inicial del pulso i [s];

Factor de amortiguamiento del

pulso i;

Frecuencia del pulso i [Hz]


Función Notch

∑

{ ( ) ( )}

Duración del evento [s]


Tiempo final del evento [s]

Frecuencia de la señal [Hz]


4 5 6 7 8 9 10

x 10-5

-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-4

-0.5

0

0.5

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Spike

∑

{ ( ) ( )}

Duración del evento [s] Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


Función Armónico

∑

Amplitud del armónico 0 Amplitud del armónico i

(3,5,7,9,11) Frecuencia de la señal [Hz]

Función Sag con Armónicos

( ( ) ) (

( )

( ))

∑

Amplitud del evento Amplitud del armónico 0 Amplitud del armónico i

(3,5,7,9,11) Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


0 0.05 0.1 0.15-1

0

1

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Swell con Armónicos

( ( ) ) (

( )

( ))

∑

Amplitud del evento Amplitud del armónico 0 Amplitud del armónico i

(3,5,7,9,11) Tiempo inicial del evento [s] Tiempo final del evento [s] Frecuencia de la señal [Hz]


Función Flicker con Armónicos

( )(

( )

( ))

∑

Amplitud del evento

Frecuencia de la señal [Hz] Amplitud del armónico 0 Amplitud del armónico i

(3,5,7,9,11) Frecuencia de la señal [Hz] Frecuencia del evento [Hz]

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Interrupción con Armónicos

( )( ( )

( ))

∑

Amplitud del evento

Amplitud del armónico 0

Amplitud del armónico i

(3,5,7,9,11)


Tiempo final del evento [s]

Frecuencia de la señal [Hz]


0 0.05 0.1 0.15 0.2-2

0

2

Tiempo [s]

Am

plit

ud

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Anexo F: Funciones Ventana Predefinidas




AYUDA FUNCIONES VENTANA PREDEFINIDAS

Definiciones Básicas De Una Función Ventana:

a. Ancho de la ventana = [muestras] b. Número de muestras de la ventana = [muestras] c. Duración de la ventana (u) = [s], Período de muestreo de la señal [s]

Propiedades Matemáticas De Una Función Ventana:

1.

2. as | | ; ∫


Función Rectangular

{

Ancho de la ventana

Muestras de la ventana -100 -50 0 50 1000

0.5

1

1.5

Muestras

Am

plitu

d

-h/2 0 h/20

0.5

1

muestras

Am

plit

ud

h

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



{

Ancho de la ventana


Función Rectangular Derecha

{

Ancho de la ventana



{

Ancho de la ventana


Función Rectangular Izquierda

{

Ancho de la ventana



{

Ancho de la ventana


-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

Muestras

Am

plit

ud

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

1.5

Muestras

Am

plitu

d

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

1.5

Muestras

Am

plitu

d

-100 -50 0 50 1000

0.005

0.01

Muestras

Am

plitu

d

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Función Gauss

{ ⁄

Ancho de la ventana Muestras de la ventana


{

√ ⁄

Ancho de la ventana


Función Gauss Derecha

{ ⁄



{

√ ⁄

Ancho de la ventana


Función Gauss Izquierda

{ ⁄


-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.05

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.05

Muestras

Am

plitu

d

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



{

√ ⁄

Ancho de la ventana


Función Hann

[ (

)]

Número de muestras Número de la muestra

Función Hamming

(

)

Número de muestras Número de la muestra

-60 -40 -20 0 20 40 600

0.05

Muestras

Am

plitu

d

-50 0 500

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

-50 0 500

0.5

1

Muestras

Am

plitu

d

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Anexo G: Cálculo de Errores



Autores: María Carolina Forero Mejía Revisión: Febrero 2016

AYUDA CÁLCULO DE ERRORES

ERRORES VARIABLES

1. Error Promedio:

∑( )

2. Error Acumulado:

∑( )

3. Error medio cuadrático:

√

∑( )

Número de muestras Duración de la ventana valor real valor calculado

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Anexo H: Ingreso de los Estimadores



Autores: Ing. María Carolina Forero Mejía, Ing. Herbert Enrique Rojas Cubides MSc. PhD Revisión: Febrero 2016

AYUDA INGRESO DE LOS ESTIMADORES

RESTRICCIONES VARIABLES

Cada uno de los estimadores tiene un valor inicial (Wi), un valor final (Wf) y un tamaño de paso (Delta_W). De tal manera que en la herramienta se crean vectores que debe cumplir las siguientes restricciones:

1. Correlación entre , y :

Donde

2. Periodicidad:

Valor inicial Valor final

Tamaño de paso Grado de la LPFT (1,2,…,6)

Período de muestreo

DESARROLLO E IMPLEMENTACIÓN DE UNA...

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