ANLISIS DE SEALES Y SISTEMAS: U.T.N. 2006

Trabajo Prctico N : Desarrollos ortogonales Pg.13

Desarrollos ortogonales

Como ya hemos estudiado la condicin para que dos funciones distintas g(x) y f(x), sean ortogonales entre si en un intervalo (a,b), con respecto a una funcin de peso w(x) es que se verifique que su producto interno sea nulo:

(1)

Adems, del concepto de producto interno surge la definicin de norma de una funcin como:

(2)

As, podemos afirmar que un conjunto con N (posiblemente infinito) funciones , es un conjunto ortogonal en el intervalo (a,b) respecto a la funcin de peso W(x) si para cualquiera, dos funciones distintas tomadas de T se verifica (1).

Es sabido tambin que, puesto que T es un conjunto ortogonal de funciones ( generador de un espacio funcional ), es posible representar una funcin cualquiera h(x) (que pertenezca a este espacio) como una combinacin lineal de las funciones de T, segn:

(3)Denominamos a sta, Serie generalizada de FourierDonde los coeficientes se calculan a travs de:

(4)

Como puede apreciarse, todos los conceptos citados anteriormente son de carcter general en lo que respecta al tipo de funciones que pueden utilizarse para formar T ( solo se requiere que satisfagan (1)).

Sin embargo cada tipo de funcin que se utiliza para conformar T determina un espacio funcional distinto, o dicho de otra manera en (3), las elegidas determinan las posibles que podrn obtenerse, as como el error que se obtendr en caso de una aproximacin. Esto se debe simplemente a que debe pertenecer al espacio generado por la base para poder ser escrita como una combinacin lineal de las que la conforman.

Si por ejemplo elegimos un conjunto infinito de exponenciales complejos relacionados armnicamente para formar: Obtenemos la llamada Serie de Fourier, mediante la cual podemos desarrollar seales peridicas de energa finita en un periodo. Si en cambio elegimos como conjunto generador a donde es un Polinomio de Legendre de grado n ( Serie de Legendre), podremos utilizarlo en el desarrollo de funciones seccionalmente continuas solo en el intervalo (-1,1).

De la misma manera podemos hallar desarrollos basados en funciones de Bessel, Polinomios de Tchebishev, Polinomios de Hermite, Polinomios de Laguerre, etc...

El objetivo de este practico es esencialmente que el alumno visualice la amplitud del concepto Desarrollo Ortogonal, mediante una pequea introduccin a algunas de las variantes citadas anteriormente. En particular:

Serie de Legendre

Serie de Chebyshev

Serie de Hermite

Serie de Fourier

De estas la que ms trataremos como s ver es la Serie de Fourier, de amplia aplicacin en ingeniera, debido a que posibilita el desarrollo de fenmenos peridicos.

POLINOMIOS DE LEGENDREEn diversos problemas fsicos (gravitacin, electroesttica, etc.) nos encontramos con fuerzas que dependen del inverso de la distancia entre dos cuerpos. Los polinomios de Legendre aparecen naturalmente en el problema geomtrico de determinar esta distancia inversa, lo cual los vincula con numerosas situaciones de inters fsico.

Funcin generatriz:

A

r0

d

(

O

r

B

Consideremos dos segmentos (r0 y r) que unen un punto O con dos puntos A y B. Por el teorema del coseno la distancia d esta dada por: d = Si definimos:

x = cos ( ,

si r > r0 y hacemos , se tiene

si por el contrario r0 > r y hacemos , se tiene

En ambos casos la segunda fraccin es la misma y resulta ser precisamente la funcin generatriz de los polinomios de Legendre. Pues de su desarrollo en s, por serie de Taylor con centro en cero se obtiene:

(5)donde es un polinomio de Legendre de grado n.

Observemos que si expandimos por serie de Taylor ahora en el argumento m = y centro cero, obtenemos:

Volviendo a las variables originales.

Lo cual nos permite encontrar expresiones explicitas para los polinomios de Legendre

Grafica de algunos polinomios de Legendre

Algunas propiedades importantes de los polinomios de Legendre

Puntos caractersticos: En (5), si hacemos x = 1:

Pero , pues s < 1 (Serie geomtrica )

Comparando los coeficientes de s en ambas sumatorias se concluye que:

(6)Anlogamente:

sea que:

(7)

Formula de Rodrguez: Del desarrollo por serie de Taylor de la funcin generatriz es posible llegar a una muy til expresin en el tratamiento de Polinomios ortogonales, a saber la Formula de Rodrguez. Para el caso de los polinomios de Legendre, la relacin es:

(8)

Ceros: posee n ceros simples en el intervalo (-1,1)

(9) Sea . Entonces posee ceros de multiplicidad n en x = 1 y x = -1.

Luego:

se anula una vez en (-1,1)

se anula dos veces en (-1,1)

se anula tres veces en (-1,1)

.

.

.

se anula n veces en (-1,1)

Y por la formula de Rodrguez se ve que si se anula, entonces tambin.

Paridad : es par si n es par

(10) es impar si n es impar

(11) Cota: y

(12) Relacin de recurrencia: (13)

(14)

Resultado de utilidad: Puede demostrarse fcilmente utilizando la relacin dada en (13) que,

(15) Relacin de Ortogonalidad:

Basndonos en las propiedades (9), (10), (11) y (12), podemos inferir que el intervalo de la variable independiente donde se cumple la ortogonalidad ser (-1,1). Si adems tomamos W(x) = 1,vemos que los polinomios de Legendre cumplen con (1) segn: para

(16)

Anlogamente la norma segn (2) es:

(17)

La cual resulta:

(18)Serie de Legendre:

Siendo los polinomios de Legendre ortogonales en (-1,1), puede formarse una base ortogonal y utilizar dicha base para representar una funcin arbitraria en (-1,1). As es posible rescribir (3) para formar la Serie de Legendre Fourier como:

(19)

Siempre que la suma converja uniformemente y sea igual a. En los puntos donde no es continua la (19) converge a , el valor promedio de la funcin en ese punto.

Donde segn (4) y (18) los valen:

(20)

POLINOMIOS DE CHEBYSHEVOtra familia de polinomios ortogonales, tambin de amplia aplicacin, es la conocida como los polinomios de Chebyshev. Existen dos clases de polinomios, la primera y la segunda , de las cuales la ms importante y la que veremos en nuestro caso es la primera clase.

Funcin generatriz:Las funciones generatrices de las dos clases de polinomios son:

; Primera clase

(21)

; Segunda clase

(22)Anlogamente a lo desarrollado con los polinomios de Legendre, es posible obtener de (21) expresiones explicitas de los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase, siendo los de primera clase:

Grafica de algunos polinomios de Chebyshev

Algunas propiedades importantes de los polinomios de Chebyshev

Puntos caractersticos: En (21), si hacemos x = 1:

Pero , pues t < 1 (Serie geomtrica )

De donde se concluye que:

(23)

Formula de Rodrguez: Para el caso de los polinomios de Chebyshev de primera clase, la relacin de Rodrguez es:

(24)

Paridad : es par si n es par

(25) es impar si n es impar

(26) Cota: y

(27)Relacin de Ortogonalidad:

Nuevamente, vemos que por (23) y (27), el intervalo donde se cumple la ortogonalidad es (-1,1). Si adems tomamos W(x) = , vemos que los polinomios de Chebyshev cumplen con (1) y (2) segn:

(28)

Serie de Chebyshev:

Puesto que los polinomios de Chebyshev son ortogonales en (-1,1), mediante la base es posible representar una funcin arbitraria seccionalemente continua en (-1,1) segn (3) como:

(29)

Siempre que la suma converja uniformemente y sea igual a.La que llamaremos Serie de Chebyshev-Fourier. En los puntos donde no es continua la (29) converge a

, el valor promedio de la funcin en ese punto.

Donde segn (4) y (28) los valen:

(30)

POLINOMIOS DE HERMITEDe una manera anloga a los casos anteriores, surge un tercer conjunto de polinomios que podr ser utilizado para el desarrollo ortogonal de funciones en el intervalo . Estos son los denominados polinomios de Hermite y encuentran amplio uso en distintas ramas de la ciencia como Fsica cuntica, Qumica, Criptografa, Probabilidad, etc.

Funcin generatriz:La funcin generatriz de esta clase de polinomios es:

(31)Desarrollando (31) encontramos.

Grafica de algunos polinomios de Hermite.

Algunas propiedades importantes de los polinomios de Hermite

Relacin de recurrencia: (32) Formula de Rodrguez: Para el caso de los polinomios de Hermite queda:

(33)

Paridad : es par si n es par

(34) es impar si n es impar

(35) Cota: ;

(38)Relacin de Ortogonalidad:

Para esta clase de polinomios la ortogonalidad se cumple en y respecto a la funcin de peso

W(x) = , luego (1) y (2) quedan : (37)

Serie de Hermite:

As el conjunto ortogonal puede ser utilizado para desarrollar una funcin seccionalmente continua en segn (3) como:

(38)

La que se llama Serie de Hermite-Fourier,En los puntos donde no es continua (40) converge a , el valor promedio de la funcin.Segn lo establecido en (4) los pueden calcularse mediante:

( 39)

Ejercicios

Ejercicio N 1:

Hallar el desarrollo por serie de Legendre - Fourier de la funcin ( Fig. ) en el intervalo

{-1,1}.

Rescribimos la expresin general de la serie de Legendre segn (19):

Donde los segn (20) valen:

Para n = 0 :

Para n impar: Puesto que es par y es impar (11), su producto es impar y por tanto la integral nula.

Para n par:

Pues s , puede verse en (16) teniendo en cuenta que .

Luego utilizando la relacin dada en (14), podemos escribir.

Utilizando el resultado dado en (15) se llega a:

As concluimos en que el desarrollo por serie de Legendre de es:

Donde los valen:

Los primeros 5 trminos son:

Ejercicio N 2:

Desarrollar la funcin del ejercicio anterior, utilizando la serie de Chebyshev Fourier.

Rescribimos la expresin general de la serie de Chebyshev segn (31):

Donde los segn (32) valen:

Para n = 0 :

Para n impar: Puesto que es par, es impar (26) y W(x) es par, el integrando resultante es una funcin impar, y por tanto la integral es nula.

Para n par:

Pues s , puede verse en (30) teniendo en cuenta que .

(queda resolver)Los primeros 5 trminos son:

Ejercicio N 3:

Desarrollar la funcin del ejercicio 1, utilizando la serie de Hermite Fourier.

Rescribimos la expresin general de la serie de Hermite-Fourier segn (38):

Donde como vimos los valen (39):

Para n = 0 :

Para n impar: Puesto que es par, es impar (35) y W(x) es par, l integrando resultante es una funcin impar, y por tanto la integral es nula.

Para n par:

Pues s , puede verse en (37) teniendo en cuenta que .

(queda resolver)

Los primeros 5 trminos son:

En la grafica siguiente puede verse y las distintas aproximaciones logradas mediante las series desarrolladas en los ejercicios anteriores. Ntese la bondad de la aproximacin con la evaluacin de tan solo 5 trminos de cada serie, as como la diferencia en los errores de cada una. ( Error = f(x)-Serie truncada )

Ntese adems que, como se estableci en su definicin, la serie de Hermite permite aproximar la funcin en el intervalo , por otro lado las series de Legendre y Chebyshev solo aproximan a la funcin en el intervalo

(-1,1).

Esto ejemplifica como cada base ortogonal elegida posee un intervalo de aplicacin y funcin de peso caractersticos que determinan el/los tipos de funciones que podrn desarrollarse, as como el mximo error que se cometer en caso de una aproximacin.

Funcin en Azul; Serie de Legendre en Rojo; Serie de Chebyshev en Verde; Serie de Hermite en Negro

Si ahora tomamos los primeros 20 trminos, algo que puede realizarse fcilmente con un programa computacional, vemos la considerable mejora en la aproximacin.

Las series de Legendre y Chebyshev estn superpuestas debido a la pequeez de su diferencia

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

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