Desayuno coleccion-2015
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Colección de DesayunosEste es una colección de problemas que se propone al comienzo de una clase, cuya solución se
publica posteriormente.
Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
12 de marzo de 2014
Desayuno 1Un cuerpo describe una trayectoria dada por la expresión r (t)=(sin(wt );cos (wt )) , con w=2π .Otro cuerpo, por la expresión r 2(t)=(t 2−1 ; t ) .
Calcule:• La expresión de la aceleración instantánea y la velocidad instantánea• la distancia entre t=0 y t=100 s entre los cuerpos.
Solución
La expresión de la velocidad y aceleración de cada cuerpo son:r(t) v(t) a(t)
r (t)=(sin(wt );cos (wt )) wcos (wt ) i−w sin (wt ) j −w2sin (wt ) i−w2cos (wt ) j
r 2(t)=(t 2−1 ; t ) (2t ;1) 2 i
La distancia entre los cuerpos es el módulo de la diferencia de los vectoresD(t )=√(sin (wt )−(t2−1))
2+(cos (wt)−t)2 para 0<t<100 s tiene la forma.
0 2 4 6 8 10 120
20
40
60
80
100
120
Distancia entre los cuerpos
Distancia
t
D(t
)
12 de marzo de 2014
0 20 40 60 80 100 1200
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Distancia entre los cuerpos
Distancia
t
D(t
)
17 de marzo de 2014
Desayuno 2El tiempo que demora el metro de la linea 1 entre las estaciones Escuela Militar y Manquehue
es del orden de 8 min. La distancia que recorre es de 1.4 km.
Asumiendo que la aceleración de este tres se puede modelar de la forma
a (t)=(a0 t< t
c
0 tc<t<T +t c
−a0 T +t c< t<T f)
donde Tf es el tiempo en recorrer toda la distancia (8 min), tc es el tiempo de aceleración y desaceleración y a0 , es la aceleración.
Asumiendo que tc=0.1Tf, calcule la velocidad en el trayecto tc<t<T+tc, el valor de T y a0.
Realice un gráfico de posición y velocidad en función de tiempo.
Solución
A partir de la expresión de la aceleración, obtenemos la velocidad
v (t )=∫0
ta (t)dt=(
a0t t<tc
a0 tc , tc<t<T +t c
−a0( t−(t c+T ))+aotc T + tc<t<T f
)
La condición que debe cumplir la velocidad es que V(Tf)=0.La posición del metro es
x (t)=∫0
tv (t )dt=(
a0t 2
2, 0<t< tc
a0 tc (t−t c)+
a0tc2
2,t c< t<T +t c
−a0
( t−(T +t c))2
2+a0 t
c(t−(T + tc ))+a0 t
c(T +t c)+
a0tc2
2T +t c< t<T f
)Para la ecuación de la posición x(t), es x(Tf)=1400 m
Escribamos las condiciones que se deben satisfacer
17 de marzo de 2014
v (T f )=0→a0(T f−(t c+T ))+ao tc=0
x (T f )=1400→−a0
(T f−(T +t c))2
2+a0 t
c(T f−(T +t c))+a0 tc(T + tc )+
a0 tc2
2=1400
Las incógnitas son T,a0 y dos ecuaciones.
Con Tf=480 s, tc=48 s, nos da los siguientes resultados:T=384 s y a0=175/3456 m/s2 =0.0506 m/s2.La velocidad constante en el tramo es V=a0T=2.43 m/s= 8.75 km/h
El gráfico de posición
Velocidad
0 100 200 300 400 500 6000
200
400
600
800
1000
1200
Posición en función del tiempo
Tiempo(s)
X(t
)[m
]
0 100 200 300 400 500 6000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Velocidad v/s Tiempo
Tiempo(s)
V[m
/s]
18 de marzo de 2014
Desayuno 3
Un objeto es lanzado hacia arriba, desde el suelo, con velocidad inicial de 100 m/s.
Calcule la altura máxima que alcanza.
Si ahora, se lanza el objeto pero sometido a una aceleración del tipo g (v)=−g j−0.01v j . ¿Cual es
la nueva altura máxima?(g=9.8 m/s2)
Si, la aceleración viniera dado por la g ( y )=−gR
2
R2+ y2
j , calcule la nueva altura máxima.
R=6400 km, radio terrestre.
Desayuno 4 En los años 50 (1950) en plena guerra fría, los estadounidenses desarrollando una cañón que podía lanzar ojivas nucleares: el cañón nuclear
http://m.youtube.com/watch?v=XT5jo7aZzTw
Se sabe, que el alcance máximo es de 40 km, Calcule la velocidad de salida de este cañón suponiendo que corresponde a lanzamiento de proyectil con acelerción de g. Si en realidad, la velocidad de salida es de 700 m/s y la diferencia se debe a que en el movimiento de la trayectoria, además de la gravedad, actúa una aceleración , donde k es una constante positiva,m es la masa y v es la velocidad del proyectil en la trayectoria. Desarrolle las ecuaciones que relaciona la velocidad de salida, con el alcance a 45
10 de abril de 2014
Desayuno 5Se tiene el siguiente sistema
¿Las masas aceleran?Solución
Primero debemos identificar las fuerzas actuando en cada masa.
Masa (1).
(1)
(2)
m
m
Coeficiente estático 0,8Coeficiente cinético 0,4
m
T
W
N
frX
Y
10 de abril de 2014
Masa (2)
Para contestar la pregunta, debemos adoptar una hipótesis: “el sistema está en equilibrio”
Asumiendo esta hipótesis, la suma de todas las fuerzas sobre cada masa debe ser igual a cero.
Es así que la masa (1)W + T + N + fr=0
Descomponiendo en el sistema de referencia asociado a la masa 1, se obtienen el siguiente sistema deecuaciones
Ecu 1
El sistema de la masa (2)T +w= 0
Descomponiendo en el sistema asociado a la masa 2, se obtiene
Ecu 2Combinando el sistema de ecuaciones 1 con la ecuación Error: No se encuentra la fuente de referencia,obtenemos que
T−mg=0 ; T − fr=0⇒ fr=mg
Además, N=mg. Pero en equilibrio, se debe cumplir que
fr≤μs N
mg=μs mg=0,8 mg⇒1≤0,8
lo cual es una contradicción. Lo que implica que las masas se mueven.
x :T − fr=0y : N−mg=0
y :T −mg=0
m
T
W
X
Y
10 de abril de 2014
Desayuno 6
Un cuerpo de masa M está sobre superficie que gira a una frecuencia w, y a una distancia R del centro
de rotación.
Calcule el valor mínimo del coeficiente de roce estático para que el cuerpo esté a punto de moverse.
R
19 de abril de 2014
Desayuno 7
Consideremos la Tierra como una esfera perfecta, gira en torno su eje.
Encuentre una expresión vectorial de la aceleración de la gravedad en función del ángulo de Latitud.
Grafique la aceleración de gravedad en función del ángulo de Latitud.
Se sabe que la intensidad en el polo es de 9,8322 m/s2; en el ecuador 9,78 m/s2.[1]
Corrija la expresión anterior, asumiendo que la Tierra es un elipsoide; es decir, que la relación que se
cumple es x
2+ y
2
Recu2
+z
2
R pol2
=1 .[2],[3]
Bibliografía
1: , , 2014-, http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio
2: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth
3: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/International_Gravity_Formula
mar 22 de abril de 2014
Desayuno 8Se sabe que el potencial de una fuerza viene descrito por la expresión U (r )=A(e−2α r
−2e−αr) ,
donde r=√ x2+ y2 . Calcule la expresión de la fuerza F que genera este potencial y los (o el ) puntos de estabilidad.
Calcule el trabajo desde el punto (0,0) al punto (0,a), por un camino que cumple Γ : x= y ( y−a)
Solución:
La fuerza que produce este potencia es F=−∇U=−∂U∂ r
r=−(αe(−α r)−2αe(−2αr )
)A r
Como es una fuerza conservativa (se puede demostrar que ∇ x F=0 ), el trabajo no es mas que el cambio de energía potencial: W=U(0,a)-U(0,0)=U (r )=A(e−2αa
−2e−α a)−A(1−1)=A(e−2αa
−2e−αa)
mar 22 de abril de 2014
Desayuno 10
Una masa M desliza sobre una superficie sin roce a una velocidad V0. Sobre la masa hay un gancho, de modo que se una con un resorte que cuelga del techo.
La constante elástica del resorte K, de largo natural H.
Calcule:
• La velocidad justa para que la masa M se desprenda de la superficie.
• Calcule, cuanto se estira el resorte en ese instante
• Si la masa, no desliza, sino está unido a un riel, con la misma velocidad anterior, ¿cuanto se
estira el resorte?
M
V0
g
Resorte, constante K
H
lun 26 de mayo de 2014
Desayuno 11
Se tiene un recipiente de masa M, con las dimensiones que muestra en la figura, con un espeso de S..
Asumamos que el centro de masa de este recipiente esta en el punto (L/2;L) respecto del punto O.
Se agrega un liquido a un cantidad de I kg/s. La densidad del líquido es tal que la masa total contenidaen el recipiente, una vez que se llena es 2M. Calcule una expresión del Centro de masa del sistema recipiente líquido en función del tiempo.
Solución.
La densidad del líquido entrante debe ser igual a ρ=2 M
2L2 s. Además el caudal es I que corresponde a
una razón de materia por unidad de tiempo. Si el tiempo que demora en llenar el estanque es T, el
caudal es I=2 MT
. La cantidad de materia que entra en un tiempo dado en el estanque es M(t)=It.
El centro de masa viene dado por la expresión rcm=
(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+y (t)2
j)
M + It.
El problema es calcula y(t). Pero la densidad es masa por unidad de volumen. El volumen también
L
2L
O
C.M.
lun 26 de mayo de 2014
depende del tiempo V (t)=Ls y (t)=Itρ . Así, y (t)=
ItLsρ
. La ecuación de del centro de masa
queda
rcm=
(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+It2
2Lsρj)
M+ It=L/2 i+
ML j+(It)2 j2Lsρ
M+ It
Como vemos, solo cambia el eje y, la posición x es constante.
Veamos en forma numérica. L=1 m, M=10 krg y s=0.1 m con T=3500; I=20/T. =5.714x10-3 kg/s y la densidad es
La posición en el eje Ycm queda con la expresión
Y cm (t)=L[1+t 2
T 2
1+tT
]Con los valores dados, se ve
mié 11 de junio de 2014
Desayuno 12
El 20 de Julio de 1969 el módulo lunar se posó en la Luna, por primera vez [1].
Suponiendo que el módulo desciende en forma vertical , con una velocidad inicial de m/s, pero a una altura sobre la luna de 9000 m.
Suponiendo que la aceleración de gravedad es constante en la superficie de la Luna, cual debe ser la velocidad de escape de gas, para mantener flotando el módulo.
Utilice los datos y ecuaciones de la página http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete/cohete.html [2], [3]
Solución
La ecuación que gobierna el descenso vertical es
mdvdt
=u D−mg
donde uD es el empuje de los gases.
Pero, para mantener el equilibrio dvdt
=0 , así uD=mg→u=mgD
Figura 1: Modulo lunar, misión apollo 11
mié 11 de junio de 2014
Referencias
[1] “Módulo lunar”, Wikipedia, la enciclopedia libre. 15-may-2014.[2] “Descenso del módulo lunar”. [En línea]. Disponible en:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete/cohete.html. [Accedido: 02-jun-2014].[3] “Movimiento vertical de un cohete”. [En línea]. Disponible en:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/cohete3/cohete3.html. [Accedido: 02-jun-2014].
vie 20 de junio de 2014
Desayuno 13Se tiene el siguiente dispositivo.
El groso de la “paleta” es s, y tiene una masa igual m. La densidad esta uniformemente distribuida en todo el cuerpo. Calcule el valor de R, para que el centro de masa este en el punto O. Calcule el momento de inercia del centro de masa.
Solución
Debemos pensar, que son deos cuerpo por separados.
• La masa del aro es π ((R+s)2−R2)sρ , y el centro de masa según el punto es -(R+s).
• La masa de la barra es Ls2ρ y su centro de masa esta en L/2.
Luego, sumando los centro de masa multicada por cada masa respectivamente, no debe dar 0, en el
L
R
s
R+s
Posición del centro de masa
vie 20 de junio de 2014
origen de nbuestro sistema
−(R+s)π((R+s)2−R
2)sρ+
L2
Ls2ρ=0
De esta ecuación, obtenemos dos valores:
R=−(√(π)√(4 L2
+π s2)+3 π s)
(4 π) ó
ecu 1
El valor positivo es la solución
El momento de inercia, es la suma de los momentos aplicando el teorema de Steiner.
El momento de inercia del aro respecto del punto O: I o=I cm+m(R+s)2 , con
I cm=∫R
R+ s
∫0
2π
r2r dr d θdsρ=ρ s2π(4 sR3
+6 s2R2+4 s3R+s4
)
4
Luego el momento de inercia del aro es ρ s2π(4 sR3
+6 s2R2+4 s3R+s4
)
4+πρ s ((R+s)2−R2
)(R+s)2
Y la barra es mL2
3
Luego, el momento de inercia es:
mL2
3+ρ s2π
(4 sR3+6 s2R2
+4 s3 R+s4)
4+πρ s ((R+s)2−R2)(R+s)2
=
ρLs2 L2
3+ρ s2π
(4 sR3+6 s2R2
+4 s3 R+s4)
4+πρ s((R+s)2−R2)(R+s )2
Con el valor de R de 1, se tiene el valor del momento de inercia, en función de s, L y la densidad.
R=(√(π)√(4 L2
+π s2)−3π s)
(4 π)
6 de agosto de 2014 Mecánica
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 1
Una avión esta volando a una altura H=350 m. En un momento (t=0 s, para un observador en
tierra) suelta una caja, cuyo vector posición viene descrito por al ecuación
rb(t )=[167 t i−4.9t2j+H j ] m
Se quiere lanzar un misil para interceptar el bolso. El vector posición del misil viene descrito
por la ecuación
rm(t )=( 0 t<t0
(550 i+650 j)(t−t0) t⩾t
0)
Sobra la base de los datos entregados,
• Calcule el valor de t0 para que el cohete impacte en el bolso.
• Calcule el tiempo t, tiempo de impacto.
Miguel Bustamante
H
Página 1
6 de agosto de 2014 Mecánica
• Calcule el punto de impacto
• Calcule la velocidad de cada móvil en el momento del impacto.
• Realice un grafico X-Y de las trayectorias de los dos móviles: caja y cohete.
Miguel Bustamante
Página 2
17 de agosto de 2014
Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 2Un objeto es lanzado hacia arriba, desde el suelo, con velocidad inicial de 100 m/s.
Calcule la altura máxima que alcanza:
• asumiendo una aceleración contante g=−9,8 j [m /s2]
• Si ahora, se lanza el objeto pero sometido a una aceleración del tipo g (v)=−g j−0.01v j . ¿Cual es la nueva altura máxima?(g=9.8 m/s2)
• Si, la aceleración viniera dado por la g ( y )=−gR2
R2+ y2 j , calcule la nueva altura máxima.
R=6400 km=6400 000 m, radio terrestre.
Solución
La altura máxima, en un lanzamiento vertical viene descrito por la ecuación de posición
r (t)=0n i+(−12
g t2+v0t ) j , donde g=9,8 m/s2, v0=100 m/s.
Derivando al expresión anterior, se obtiene la velocidad del objeto v (t)=(−g t+v0) j .
Cuando llega a la altura máxima, es cuando la velocidad es iguala cero. Esto implica que el momento
en que ocurre eso es t=v0
g=10,2 s . Reemplazando en la ecuación de posición, en la ordenada y(t)
nos da la altura máxima y (v0
g)=
−12
g( v0
g )2
+v0
2
g=
v02
2 g=510,204m .
Segundo caso, cuando g (v)=−g j−0.01v j . Esta todo contenido en una dirección, por tanto podemos trabajar como una sola dimensión.
ecu 1
Integrando la ecuación 1, se obtiene la solución para
ecu 2
. Integrando nuevamente
g(v)=dvdt
=−g−kv→−dt=dv
g+kv
v (t )=g+k v0
ke−kt
−gk
17 de agosto de 2014
la velocidad, nos da la posición
ecu 3
. Calculemos cuando la velocidad
v(t)=0. De la ecuación 2, se obtiene que t=−1k
ln( gg+k v0
) . Evaluando este tiempo en la ecuación 3,
da la altura máxima Y max=v0
k−
gk2 ln(1+v0
kg)=477,952 m .
Veamos la aceleración cuando viene dada por al expresión g ( y )=−gR2
R2+ y2 j .
En una, dimensión g( y )=−gR2
R2+ y2=v
dvdy
Esto implica que que se obtiene la siguiente relación
v2( y )−v0
2
2=−g∫
0
yR2
R2+ y2 dy=−gR atang( y
R ) . Luego, cuando v(y)=0, esta en la altura máxima , lo
que implica que
v02
2=gRatang ( y oover R )→ ymax=R tang( v0
2
2 Rg )=510,2040
Entre el primer tipo de lanzamiento y el tercero prácticamente no hay diferencia. Para apreciar alguna diferencia, se debe lanzar el proyectil a una velocidad de 4000 m/s, lo cual es mucho.
Recuerde que el resultado 1 y 3 es sin viscosidad y como se puede apreciar, esta juega un rol importante.
y (t)=−1
k2 (g+k v0 )(e−kt
−1)−gk
t
18 de agosto de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 3
Los cañones de un barco, tiene una alcance máximo de 40 km. Un barco pirata, se esconde detrás de
una isla para cubrirse los proyectiles.
Según la figura presente, ¿cual es la mínima distancia D para que el Barco pirata este cubierto ?
D esta medio desde el barco, al eje vertical que pasa por la cima.
25 Km
500 m
D
Página 1
25 de agosto de 2014
Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 4
Una catapulta puede lanzar una roca. El movimiento angular de la catapulta viene descrito por la siguiente fórmula θ(t )=π−π4
t 3
t 03
. El
radio de la catapulta es de 5 m.
Si t es el tiempo medido desde el comienzo y t0, es el momento en que la roca se desprende de la catapulta, encuentre el valor de t0, en función de R y g.
R
R
25 de agosto de 2014
Solución
La velocidad cuando se desprende de la catapulta es v (t)=−R θ θ . Evaluemos en t=t0. La velocidad v (t 0)=−R(−34
πt 2
t 03 ) θ . El
ángulo en ese instante es θ(t0)=34
π . El vector θ en coordenadas cartesianas en t=t0. θ=−sin ( 34 π) i+cos ( 34 π) j=−√22
i−√22
j
La velocidad en ese instante v=3R4
πt 0
(√22
i+ √22
j)De ese instante, al momento de desprenderse, se comporta como un proyectil. Las ecuaciones son
x (t)=3 Rπ
4 t 0
√22
(t−t 0)−R √22
t>t 0
y (t)=−12
g(t−t 0)2+
3 Rπ
4 t 0
√22
( t−t 0)+R √22
t>t0
Luego, al punto que llega a (R;0).
Utilizando wxmaxima se obtiene los valores de t y t0.
t=(√(3√(2)+4 )(2(3 /2)−3)√((9√(2)+18)π2+(92(7 /2)+96)π+72(9 /2)+160)√(R/ g))
4
t 0=(√(3√(2)+4 )(32(3 /2)−9)π√((9√(2)+18)π2+(92(7 /2)+96)π+72(9 /2 )+160)√(R))
((12π+2(9/2)+16)√(g))
o
t=4.341928670933849(R /g)0.5 y t 0=
(2.14456044399824 R0.5)
g0.5
25 de agosto de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del dia. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del dia; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 5 Coordenadas Polares
En coordenadas polares, el siguiente movimiento viene descrito por la ecuaciónes:
r (t)=a sin(2θ(t)) con θ(t )=π sin (πt2
t0
2)
Calcule:
• La velocidad para t=t0.
• La velocidad en t=2t0, en coordenadas cartesianas.
• La aceleración en t=t0.
• La curva que describe en:
◦ Coordenadas polares
◦ Coordenadas cartesianas
Solución
Página 1
19 de abril de 2014
Desayuno 7
Consideremos la Tierra como una esfera perfecta, gira en torno su eje.
Encuentre una expresión vectorial de la aceleración de la gravedad en función del ángulo de Latitud.
Grafique la aceleración de gravedad en función del ángulo de Latitud.
Se sabe que la intensidad en el polo es de 9,8322 m/s2; en el ecuador 9,78 m/s2.[1]
Corrija la expresión anterior, asumiendo que la Tierra es un elipsoide; es decir, que la relación que se
cumple es x
2+ y
2
Recu2
+z
2
R pol2
=1 .[2],[3]
Bibliografía
1: , , 2014-, http://es.wikipedia.org/wiki/Intensidad_del_campo_gravitatorio
2: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_of_Earth
3: , , , http://en.wikipedia.org/wiki/International_Gravity_Formula
24 de septiembre de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 8
Se tiene el siguiente dispositivo de resortes:
Los resortes en paralelo, tienen constante elástica K1, y el resorte unido al soporte fijo, K2. Todos los
resortes tienen el mismo largo natural x0.
Se busca fijar los valores de K1, K2, D y x0 para que cumplan con las siguientes condiciones:
1. Cuando la barra unida a los resortes se ha desplazado una distancia 10 cm, la fuerza que
ejercen los resortes sea de 150 N.
2. Cuando la barra se ha desplazado una distancia de 25 cm, la fuerza neta de los resorte sea de
450 N.
Puede que las condiciones no impongan todos los valores. Usted debe fijar aquellos valores.
Grafique la fuerza de dispositivo en función del desplazamiento de la barra.
0
x0
D
K1
K1
K2
x0
Barra que unida a los resorte
Soporte fijo
Página 1
30 de septiembre de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 9
1. Se tiene el siguiente campo de fuerza, descrito por la expresión F(r)=r r . Pruebe
que es conservativo.
2. Se tiene la siguiente expresión d ella fuerza F(r)=r θ . Calcule el trabajo desde el
punto (0;0) hasta el punto (0;R) por los siguiente camino G1 y G2:
(0;R)
(0;0)
G1
G2
(R;0)
Página 1
14 de octubre de 2014
Objetivo: El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 10Una partícula se mueve libremente en un aro de circunferencia de radio R (no hay gravedad).
Se sabe que la partícula en =0, tiene una velocidad v=√2 gR . Encuentre la expresión de la velocidad en función del ángulo .Si K=10mg/R, calcule la expresión que debe satisfacer para conocer donde se produce la máxima rapidez.
Si agregamos la gravedad (aceleración de gravedad, g) calcule nuevamente la expresión de la velocidad en función del ángulo , como la expresión para los máximo y mínimos en la rapidez.
R
R/2
Resorte de constante K, y largo natural R
mar 22 de abril de 2014
Desayuno 10
Una masa M desliza sobre una superficie sin roce a una velocidad V0. Sobre la masa hay un gancho, de modo que se una con un resorte que cuelga del techo.
La constante elástica del resorte K, de largo natural H.
Calcule:
• La velocidad justa para que la masa M se desprenda de la superficie.
• Calcule, cuanto se estira el resorte en ese instante
• Si la masa, no desliza, sino está unido a un riel, con la misma velocidad anterior, ¿cuanto se
estira el resorte?
M
V0
g
Resorte, constante K
H
23 de octubre de 2014
b)
Se tiene un recipiente de masa M, con las dimensiones que muestra en la figura, con un espeso de S..Asumamos que el centro de masa de este recipiente esta en el punto (L/2;L) respecto del punto O.
Se agrega un liquido a un cantidad de I kg/s. La densidad del líquido es tal que la masa total contenidaen el recipiente, una vez que se llena es 2M. Calcule una expresión del Centro de masa del sistema recipiente líquido en función del tiempo.
Solución.
La densidad del líquido entrante debe ser igual a ρ=2 M
2L2 s. Además el caudal es I que corresponde a
una razón de materia por unidad de tiempo. Si el tiempo que demora en llenar el estanque es T, el
caudal es I=2 MT
. La cantidad de materia que entra en un tiempo dado en el estanque es M(t)=It.
El centro de masa viene dado por la expresión rcm=
(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+y (t)2
j)
M + It.
El problema es calcula y(t). Pero la densidad es masa por unidad de volumen. El volumen también
depende del tiempo V (t)=Ls y (t)=Itρ . Así, y (t)=
ItLsρ
. La ecuación de del centro de masa
queda
L
2L
O
C.M.
23 de octubre de 2014
rcm=
(L/2 i+L j)M+ It (L/2 i+It2
2Lsρj)
M+ It=L/2 i+
ML j+(It)2 j2Lsρ
M+ It
Como vemos, solo cambia el eje y, la posición x es constante.
Veamos en forma numérica. L=1 m, M=10 krg y s=0.1 m con T=3500; I=20/T. =5.714x10-3 kg/s y la densidad es
La posición en el eje Ycm queda con la expresión
Y cm (t)=L[1+t 2
T 2
1+tT
]Con los valores dados, se ve
27 de octubre de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 12
Un cilindro de radio R y masa M, esta sobre un plano inclinado, como se observa en la figura.
Existe roce entre el cilindro y el plano. Calcule el valor del ángulo a para el cilindro esté a punto de
deslizar.
Cuerda, paralela al plano
a
Coeficiente de roce estático µs
Coeficiente de roce cinético µk
g
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20 de noviembre de 2014
Objetivo:
El “Desayuno” es el alimento mas importante del día. Un buen desayuno, da la energía para resistir la
mayor parte del día; un buen ejercicio te prepara para lo mejor de ti.
Desayuno 13
Existe una barra de largo L y de masa m, libre en el espacio. Una partícula de masa m viene con
una velocidad v (ver figura 2) y choca con la barra, quedando pegada a esta b(figura 1).
Según los datos entregados, calcule:
• La velocidad de translación del conjunto barra-partícula
• La velocidad angular de rotación.
Ojo: El sistema barra-partícula gira en torno de su centro de masa.
Figura 2: Antes del ChoqueFigura 1: Posterior al choque
v
d
L
d
L
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