Leccin 2.15. Desigualdades con Valor AbsolutoEn el captulo 1 definimos el valor absoluto de un nmero real , que representamos por , mediante

Tambin observamos en dicho captulo que representa la distancia del origen al punto , y de forma mas general que representa la distancia entre y .Las propiedades siguientes del valor absoluto nos indican que este se comporta muy bien con respecto a la multiplicacin y la divisin,pero no as con respecto a la adicin y la sustraccin.

Propiedades del valor absoluto. Si y son nmeros reales arbitrarios entonces

1.

2.

3. ,

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Abril 27, 2013 09:01:04

CAPITULO 2: FUNDAMENTOS DE ALGEBRAINICIO

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4. (Desigualdad triangular)

5. y

La interpretacin geomtrica de nos proporciona una justificacin de las siguientes dos propiedades

Sea . Entonces

6. es equivalente a

7. es equivalente a o Grficamente tenemos

Otra propiedad del valor absoluto, muy utilizada en la solucin de desigualdades, es la siguiente

8. es equivalente a

En las propiedades (6) a (8) el smbolo puede remplazarse por .

Ejemplo 2.49. Resolvamos la desigualdad .Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Por lo tanto, la solucin de la desigualdad es el intervalo .

Ejemplo 2.50. Resolvamos la desigualdad .La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a

Resolviendo

o sea

Por lo tanto, la solucin de la desigualdad dada es

Ejemplo 2.51. Resolvamos la desigualdad .

Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de +- -Signo de - - +Signo de - +-

Vemos que la solucin de la desigualdad es .

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