Determinantes Geometría I. Curso 2015-2016crosales/1516/geometriai/determinantes.pdf · El...
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DeterminantesGeometrıa I. Curso 2015-2016
Objetivos
Definir el determinante de una matriz cuadradaEstudiar propiedades y metodos de calculoAplicaciones: inversas, rangos y regla de Cramer
Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
Motivacion
Queremos resolver el SEL{E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
Para despejar x calculamos a22 · E1 − a12 · E2
(a11 · a22 − a21 · a12) x = a22 · b1 − a12 · b2
Para despejar y calculamos a11 · E2 − a21 · E1
(a11 · a22 − a21 · a12) y = a11 · b2 − a21 · b1
Conclusion: a11 · a22 − a21 · a12 6= 0 =⇒ SCD con solucion
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
El valor a11 · a22 − a21 · a12 determina si tenemos un SCD
Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)
El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
Motivacion
Dado un SEL {E1 : a11 x + a12 y = b1E2 : a21 x + a22 y = b2
la matriz de coeficientes es
A =
(a11 a12a21 a22
)El valor a11 · a22 − a21 · a12 es lo que conocemos como det(A) o |A|
Las expresiones
x =a22 · b1 − a12 · b2
a11 · a22 − a21 · a12, y =
a11 · b2 − a21 · b1
a11 · a22 − a21 · a12
son un caso particular de la regla de Cramer
Determinantes en general
Hay varias formas de definir el determinante de una matriz cuadrada
La mas elegante utiliza formas multilineales alternadas
Aquı usaremos un enfoque aritmetico de naturaleza inductiva
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativo
El determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|
Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j
• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Definicion (usando un desarrollo de Laplace)
Sea n ∈N y K = cuerpo conmutativoEl determinante de A ∈ Mn(K) es un escalar que denotamos det(A) o |A|Lo definiremos por induccion usando el desarrollo por la primera fila
Sea A ∈ Mn(K). Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Sea Aij ∈ Mn−1(K) obtenida al suprimir de A la fila i y la columna j• Si n = 1 =⇒ det(A) = |A| = a11
• Si n ≥ 2 =⇒ det(A) = |A| = a11 · ∆11 + . . . + a1n · ∆1n, donde
∆ij = (−1)i+j · |Aij| (menor adjunto ij)
Obviamente |0n| = 0, ∀n ∈N
Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
Determinantes de orden 2
Caso n = 2
A =
(a11 a12a21 a22
)
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12
= a11 · |A11| − a12 · |A12|= a11 · a22 − a12 · a21
|A| = a11 · a22 − a12 · a21
Determinantes de orden 3
Caso n = 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|
= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)
+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)
= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31
+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31
Determinantes de orden 3
Caso n = 3
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13|
= a11 ·∣∣∣∣ a22 a23
a32 a33
∣∣∣∣− a12 ·∣∣∣∣ a21 a23
a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ·∣∣∣∣ a21 a22
a31 a32
∣∣∣∣= a11 · (a22 · a33 − a23 · a32)− a12 · (a21 · a33 − a23 · a31)
+ a13 · (a21 · a32 − a22 · a31)
= a11 · a22 · a33 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33 + a12 · a23 · a31
+ a13 · a21 · a32 − a13 · a22 · a31
Regla de Sarrus
|A| = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32
− a13 · a22 · a31 − a11 · a23 · a32 − a12 · a21 · a33
Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
Determinantes de orden 4
Caso n = 4
A =
a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a44
|A| = a11 · ∆11 + a12 · ∆12 + a13 · ∆13 + a14 · ∆14
= a11 · |A11| − a12 · |A12|+ a13 · |A13| − a14 · |A14|
= a11 ·
∣∣∣∣∣∣a22 a23 a24a32 a33 a34a42 a43 a44
∣∣∣∣∣∣− a12 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a23 a24a31 a33 a34a41 a43 a44
∣∣∣∣∣∣+ a13 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a24a31 a32 a34a41 a42 a44
∣∣∣∣∣∣− a14 ·
∣∣∣∣∣∣a21 a22 a23a31 a32 a33a41 a42 a43
∣∣∣∣∣∣= 24 sumandos con 4 factores cada uno
Conclusion: El calculo de |A| por la definicion es largo si n ≥ 4
Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
Determinantes de orden n
Pongamos
A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
Se puede probar que
|A| = ∑σ∈Pn
(−1)[σ] a1 σ(1) · a2 σ(2) · . . . · an σ(n)
Pn = permutaciones (biyecciones) de {1, . . . , n}[σ] = no inversiones de σ (ocurren si i < j y σ(i) > σ(j))
La formula anterior contiene n! sumandos con n factores cada uno
Cuestion: ¿Calculo mas simple de |A| si A ∈ Mn(K) y n ≥ 4?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Propiedades
Escribamos una matriz (v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn) por sus columnas
1. det(v1 | · · · | vj | · · · | vi | · · · | vn) =−det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn)
2. det(v1 | · · · | a · vi | · · · | vn) = a · det(v1 | · · · | vi | · · · | vn), ∀a ∈ K
3. det(v1 | · · · | vi | · · · | vj + a · vi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vj | · · · | vn), ∀a ∈ K
4. det(a ·A) = an · det(A), ∀a ∈ K, ∀A ∈ Mn(K)
5. det(v1 | · · · | vi + wi | · · · | vn)= det(v1 | · · · | vi | · · · | vn) + det(v1 | · · · |wi | · · · | vn)
6. det(A) = desarrollo por adjuntos de cualquier fila
7. det(At) = det(A)
8. Las propiedades de arriba valen para filas y columnas
9. det(A · B) = det(A) · det(B), ∀A, B ∈ Mn(K)
Ejercicio: ¿Es cierto que det(A + B) = det(A) + det(B)?
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0
Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣
Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Consecuencias
Si A ∈ Mn(K) es triangular =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
Si A ∈ Mn(K) es diagonal =⇒ |A| = a11 · . . . · ann
|In| = 1, ∀n ∈N
Si A contiene una fila o una columna de ceros =⇒ |A| = 0Si A contiene dos filas o columnas proporcionales =⇒ |A| = 0
Ejercicio: Calcular los determinantes∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 4 62 −1 3 43 0 6 74 3 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ ,
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 40 1 2 42 3 4 52 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣Soluciones: 63, −3 y (d− a) (d− b) (d− c) (c− a) (c− b) (b− a)
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
Matriz inversa y determinantes
A ∈ GL(n, K) si existe B ∈ Mn(K) tal que A · B = In y B ·A = In
B es unica, se denota A−1 y se llama inversa de A
Si A ∈ GL(n, K) =⇒ |A| 6= 0 y |A−1| = |A|−1
Sea A ∈ Mn(K). La matriz adjunta de A es la matriz en Mn(K) dada por
Adj(A) = (∆ij), ∆ij = (−1)i+j · |Aij|
Se comprueba queA ·Adj(A)t = |A| · In
Adj(A)t ·A = |A| · In
A ∈ GL(n, K)⇐⇒ |A| 6= 0. En tal caso
A−1 =1|A| ·Adj(A)t
Matriz inversa y determinantes
Ejercicio: Demostrar que 1 2 32 3 43 4 6
−1
=
−2 0 10 3 −21 −2 1
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
Ejemplo: Dada la matriz
A =
1 2 32 3 43 4 6
se tiene que
B =
(1 22 3
)y C =
(3 4 6
)son submatrices de A, mientras que
D =
(1 43 6
)y E =
(3 4 4
)no lo son
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
Rango y determinantes
Sea A ∈ Mm×n(K). Una submatriz de A es una matriz obtenida alsuprimir completamente de A algunas filas y columnas
rg(A) = mayor orden de B submatriz cuadrada de A con |B| 6= 0
rg(A) = r⇐⇒ ocurren dos cosas:existe B ∈ Mr(K) submatriz de A con |B| 6= 0|C| = 0, ∀C ∈ Ms(K) submatriz de A con s > r
Ahora podemos deducir que
Si A ∈ Mn(K), son equivalentes estas afirmaciones1. A es regular2. rg(A) = n3. |A| 6= 0
Rango y determinantes
Ejercicio: Calcular el rango de
A =
3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7
usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes
Otra consecuencia interesante es esta:
B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde
A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)
Rango y determinantes
Ejercicio: Calcular el rango de
A =
3 6 5 91 1 2 41 −2 3 7
usando tanto el metodo de Gauss como los determinantes
Otra consecuencia interesante es esta:
B = {v1, . . . , vn} es base de Kn ⇐⇒ |A| 6= 0, donde
A = ((v1)Bu | · · · | (vn)Bu)
Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · b
En la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
Regla de Cramer
Un SEL con ecuacion matricial A · x = b es de Cramer siA ∈ Mn(K) (no ecuaciones = no incognitas)A ∈ GL(n, K) (|A| 6= 0)
Todo SEL de Cramer es un SCD con solucion x = A−1 · bEn la practica se puede calcular la solucion ası:
Si A = (v1 | v2 | · · · | vn), entonces
x1 =1|A| · det(b | v2 | · · · | vn)
x2 =1|A| · det(v1 | b | · · · | vn)
xn =1|A| · det(v1 | v2 | · · · | b)
Ventaja frente a Gauss: puedo despejar las incognitas en cualquier orden
Regla de Cramer
Ejercicio: Estudiar, en funcion de a ∈ R, cuando el SEL dado pora x + y + z = 1x + a y + z = ax + y + a z = a2
es de Cramer. Para tales valores resolverlo por la regla de Cramer
Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣
Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣
Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
Otras aplicaciones
Area del paralelogramo determinado por~u = (a, b) y~v = (c, d)
area =
∣∣∣∣det(
a cb d
)∣∣∣∣Volumen paralelepıpedo asociado a~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a d gb e hc f i
∣∣∣∣∣∣Producto vectorial de~u = (a, b, c) y~v = (d, e, f )
~u×~v = det
~e1 ~e2 ~e3a b cd e f
Producto mixto de~u = (a, b, c),~v = (d, e, f ) y ~w = (g, h, i)
[~u,~v,~w] = det
a d gb e hc f i
Referencias
Todas las demostraciones se pueden encontrar en
Luis Merino y Evangelina SantosAlgebra lineal con metodos elementalesEdiciones Paraninfo, S.A; edicion 1 (17 de abril de 2006)