1

DETERMINANTES

Índice

1. Determinantes de orde dúas ..................................................................................... 1

2. Determinantes de orde tres ....................................................................................... 2

2.1. Menor complementario dun elemento ................................................................ 2

2.2. Adxunto dun elemento ....................................................................................... 2

2.3. Determinantes de orde tres ................................................................................ 3

3. Propiedades dos determinantes de orde tres ............................................................ 4

4. Determinantes de orde n ........................................................................................... 6

5. Rango dunha matriz .................................................................................................. 6

5.1. Cálculo do rango polo método de Gauss ........................................................... 8

5.2. Cálculo do rango por determinantes .................................................................. 9

6. Matriz inversa por determinantes ............................................................................ 11

6.1. Matriz adxunta ................................................................................................. 11

6.2. Propiedade da matriz trasposta da adxunta ..................................................... 11

6.3. Cálculo da matriz inversa ................................................................................. 12

1. Determinantes de orde dúas

A cada matriz cadrada de orde dúas A =

2221

1211

aa

aa asóciaselle un número real,

chamado determinante de orde dúas, da forma seguinte:

a11a22 – a12a21

O determinante dunha matriz cadrada de orde dúas é igual ao produto dos elementos da diagonal principal, menos o produto dos elementos da diagonal secundaria.

Ao determinante da matriz A simbolizarase por det(A) = A = 2221

1211

aa

aa.

Nota: Obsérvase que o número de sumandos dun determinante de orde dúas é dous, coincide co valor de 2! = 1·2.

Por exemplo, o determinante da matriz A =

41

32 é A =

41

32

= 2·4 – (–1)·3 =

= 8 + 3 = 11.

2

2. Determinantes de orde tres

Antes de definir os determinantes das matrices cadradas de calquera orde, vanse calcular os determinantes das matrices de orde tres, previo estudo dalgúns conceptos desenvolvidos a partir das mencionadas matrices e que se xeneralizan ás matrices de orde n, sen ningunha dificultade.

2.1. Menor complementario dun elemento

Dada unha matriz cadrada de orde tres A, chámase menor complementario do elemento aij, simbolizado por Mij, ao determinante da matriz cadrada de orde dúas, que resulta de suprimir en A a fila i e a columna j, ás que pertence o elemento aij.

Por exemplo, na matriz A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

os menores dos elementos a21 e a31, M21

e M31, serán:

M21 = 3332

1312

aa

aa, determinante que se conseguiu ao suprimir a segunda fila e a

primeira columna na matriz A.

M31 = 2322

1312

aa

aa, determinante que se conseguiu ao suprimir a terceira fila e a primeira

columna na matriz A.

2.2. Adxunto dun elemento

Chámase adxunto do elemento aij, e represéntase por Aij, ao menor complementario de aij precedido do signo + ou –, segundo que a suma dos subíndices i + j sexa par ou impar, respectivamente. Pódese expresar da seguinte forma:

Aij = (–1)i+j·Mij

Por exemplo, os adxuntos A21 e A31 dos elementos a21 e a31 serán:

A21 = (–1)2+1·M21 = (–1)2+1

3332

1312

aa

aa = –

3332

1312

aa

aa

A31 = (–1)3+1·M31 = (–1)3+1

2322

1312

aa

aa =

2322

1312

aa

aa

Exemplo:

Dada a matriz A =

531

241

132

, simbolizar os menores e os adxuntos de a13 e a23 e

calcular os seus valores.

M13 = 31

41

= 1·3 – (–1)·(–4) = 3 – 4 = –1, A13 = (–1)1+3

31

41

= (–1)4(–1) = –1

M23 = 31

32

= (–2)·3 – (–1)·3 = –6 + 3 = –3, A23 = (–1)2+3

31

32

= (–1)5(–3) = 3

3

2.3. Determinantes de orde tres

A cada matriz cadrada A de orde tres asociáselle un número, chamado determinante de orde tres, da seguinte forma:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11A11 + a12A12 + a13A13

O determinante dunha matriz cadrada de orde tres é igual á suma dos elementos dunha fila ou columna multiplicados polos adxuntos correspondentes.

Na fórmula anterior, o determinante expresouse como produto da primeira fila polos seus adxuntos; pódese comprobar que o valor do determinante é independente da fila ou columna que se elixa para o seu cálculo.

Se se opera sobre a definición anterior, aparece a expresión desenvolvida do determinante de orde tres:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11A11 + a12A12 + a13A13 =

= a11

3332

2322

aa

aa – a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa =

= a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) = = a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 Ordénanse as sumas e diferenzas:

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31

Nota: Os seis produtos anteriores coinciden co número 3! = 1·2·3 = 6 e obtéñense con sinxeleza mediante a chamada Regra de Sarrus:

Produtos con signo + Produtos con signo –

Os produtos con signo (+) fórmanos os elementos da diagonal principal e os outros dous os paralelos a ela polos dos vértices opostos.

Os produtos con signo (–) fórmanos os elementos da diagonal secundaria e os outros dous os paralelos a ela polos dos vértices opostos. Exemplo:

Calcular o determinante da matriz A =

621

504

312

mediante o desenvolvemento polos

elementos dunha liña e aplicando a Regra de Sarrus.

4

Desenvólvese pola segunda fila:

A =

621

504

312

= 4·(–1)2+1

62

31 + 0·(–1)2+2

61

32 + 5·(–1)2+3

21

12 =

= –4(6 – 6) + 0(12 – 3) – 5(4 – 1) = –4·0 + 0·9 – 5·3 = –15

Pola Regra de Sarrus: Produtos con signo máis: 2·0·6 + 1·5·1 + 4·2·3 Produtos con signo menos: –1·0·3 – 2·5·2 – 4·1·6

A = 0 + 5 + 24 – 0 – 20 – 24 = –15

Nota: Observa que os números polos que se multiplican os menores van cambiando o signo; –, +, –.

3. Propiedades dos determinantes de orde tres

Neste apartado desenvólvense algunhas propiedades para os determinantes de orde tres, que son válidas para os determinantes de calquera orde. Ditas propiedades serven para facilitar o cálculo de determinantes.

1. O valor do determinante dunha matriz cadrada é igual ao do seu trasposta:

det(A) = det(At)

Por exemplo, A =

420

530

111

= tA =

451

231

001

= 2.

Esta propiedade permite facer extensiva as propiedades das filas ás columnas.

2. Se nunha matriz cadrada se permutan entre si dúas filas, o seu determinante cambia de signo.

Por exemplo,

512

003

012

= –

512

012

003

= –15.

3. Se unha matriz cadrada ten dúas filas iguais, o determinante asociado é cero.

Pódese razoar, se se cambiasen entre si as dúas filas iguais, resultaría o mesmo determinante e, pola propiedade anterior, o valor do determinante sería un número que debe coincidir co seu oposto e este é o cero.

Por exemplo,

321

120

321

= 0.

4. Se unha matriz ten nulos os elementos dunha fila ou columna o seu determinante é cero.

5

Por exemplo,

640

350

740

= 0.

5. Se os elementos dunha fila ou columna multiplícanse por un número, o determinante queda multiplicado polo devandito número.

Por exemplo,

ihkg

fekd

cbka

= k

ihg

fed

cba

.

A igualdade compróbase ao desenvolver os dous membros da igualdade.

6. Se unha matriz ten dúas filas proporcionais, o determinante asociado é cero.

Por exemplo,

fed

cba

cba

333 = 3·

fed

cba

cba

= 3·0 = 0.

Aplicáronse as propiedades 5 e 3.

7. Se todos os elementos dunha fila dunha matriz poden descompoñerse en suma de dous sumandos, o seu determinante pode descompoñerse na suma de dous determinantes do modo seguinte:

ihg

fed

ccbbaa 212121

=

ihg

fed

cba 111

+

ihg

fed

cba 222

A igualdade compróbase ao desenvolver os dous membros da igualdade.

8. Se unha fila dunha matriz é suma doutras dúas multiplicadas por números distintos de cero, o determinante asociado é cero.

Por exemplo,

ihg

fed

ifhegd

=

ihg

fed

fed

+

ihg

fed

ihg

.

Aplicáronse as propiedades 7, 5 e 3.

9. Se a unha fila dunha matriz súmaselle outra fila multiplicada por calquera número distinto de cero, o determinante da matriz resultante non varía.

Por exemplo,

ihg

fed

cba

=

ihg

mcfmbemad

cba

.

Aplicar ao segundo membro as propiedades 8 e 6.

Esta propiedade aplicarase para anular todos os elementos dunha fila menos un, e deste xeito facilitar o cálculo do determinante mediante o desenvolvemento polos elementos desa fila.

10. O determinante do produto de dous matrices cadradas é igual ao produto dos determinantes dos matrices factores.

6

det(A·B) = det(A)·det(B)

Por exemplo,

340

113

102

·

421

120

013

=

823

3310

407

; é dicir, –10·17 = –170.

4. Determinantes de orde n

O cálculo de determinantes mediante desenvolvemento directo termina nos de orde tres, para os que se precisan 3! = 6 sumandos de tres factores cada un; de todos os xeitos, os seis sumandos fórmanse facilmente mediante a Regra de Sarrus. O cálculo de determinantes de orde catro necesita de 4! = 24 sumandos de catro factores cada un, o que fai complicado o seu cálculo por este procedemento.

A definición de determinante para os determinantes de orde tres xeneralizada di: un determinante de orde n é igual á suma dos produtos dos elementos dunha fila calquera polos seus adxuntos correspondentes, que serán determinantes de orde n – 1. En concreto, un determinante de orde catro calcúlase mediante a suma dos produtos dos catro números dunha fila polos catro adxuntos correspondentes de orde tres; o cálculo simplifícase se se aplican as propiedades dos determinantes para transformar o determinante dado noutro de igual valor no que unha das filas teña o maior número de ceros posible. Exemplo:

Calcular o determinante

0123

2530

4130

4321

.

0123

2530

4130

4321

=

12840

2530

4130

4321

= 1·

1284

253

413

=

1284

240

413

=

= –3128

24

– 4

24

41 = –3(–48 – 16) – 4(–2 – 16) = 264

5. Rango dunha matriz

Nun sistema de ecuacións lineais con solución, os termos independentes obtéñense mediante combinación lineal dos coeficientes das incógnitas; por exemplo, o sistema:

1373

952

yx

yx

pódese escribir en forma vectorial así:

3ªF – 3·1ªF Pola·1ªC 2ªF + 1ªF

Pola·1ªC

7

3

2x +

7

5y =

13

9

A súa solución x = 2 e y = 1 permite obter os termos independentes como combinación lineal dos coeficientes das incógnitas.

Se se forma a matriz dos coeficientes do sistema M =

73

52 e a súa ampliada cos

termos independentes A =

1373

952, dise que a columna dos termos

independentes é combinación lineal das columnas que forman os coeficientes.

Neste apartado profundarase na dependencia e independencia lineal dos vectores filas e columnas que forman as matrices; conceptos necesarios para determinar o rango das matrices, que á súa vez será a idea fundamental para o estudo dos sistemas lineais que é o obxectivo fundamental do Álxebra Lineal.

Vectores fila e vectores columna dunha matriz

Dada a matriz A =

0716

8642

4321

.

Estudo das súas filas:

A segunda fila da matriz obtense ao multiplicar a primeira por dous, f2 = 2f1; dise que f1 e f2 son linealmente dependentes; os números que as forman son proporcionais:

2

1 =

4

2 =

6

3 =

8

4

A primeira e terceira fila non son linealmente dependentes; dise que son linealmente independentes.

Estudo das súas columnas:

A terceira columna é suma da primeira e da segunda, c3 = c1 + c2; depende linealmente delas. A cuarta columna pódese obter por combinación lineal da primeira e da segunda c4 = αc1 + βc2; igualdade que dá lugar ao sistema:

0

8

4

= α

6

2

1

+ β

1

4

2

Desenvólvese e resólvese:

60

428

24

⟺

60

24 ⟹ α =

11

4 , β =

11

24

En xeral, unha fila (columna) L dunha matriz é combinación lineal ou linealmente dependente das súas paralelas L1, L2, ... , Ln, se existen α1, α2, ..., αn números reais, cos que se obtén a igualdade:

L = α1L1 + α2L2 + ...+ αnLn As filas (columnas) non dependentes dinse linealmente independentes.

8

No exemplo anterior o número de filas e columnas linealmente independentes da matriz coinciden; é dous. En xeral isto é sempre certo, polo que se pode enunciar o teorema seguinte. Teorema: En toda matriz o número de filas e de columnas linealmente independentes coincide.

Demostración: A demostración realízase sen perder xeneralidade para o caso dunha matriz de orde tres na que a terceira columna depende linealmente das dúas primeiras, que son linealmente independentes.

Sexa a matriz P =

333

222

111

cba

cba

cba

.

Supóñase que a terceira columna depende linealmente das dúas primeiras: C = αA + βB

P =

3333

2222

1111

baba

baba

baba

1ª fila: 1111 baba = 011a + 101b

2ª fila: 2222 baba = 012a + 102b

3ª fila: 3333 baba = 013a + 103b

As tres filas obtéñense como combinación lineal de 01 e 10 o que

indica que só dúas filas son linealmente independentes. Estase en condicións de definir o rango dunha matriz, como o número das súas filas ou das súas columnas linealmente independentes.

Se a matriz é A de orde n e o seu rango é h, escríbese rango(A) = h. A determinación do rango dunha matriz é complicado se se fai a partir da definición de dependencia; por este motivo estudaranse dous métodos que facilitan o seu cálculo e que combinados resultan sumamente eficaces.

5.1. Cálculo do rango polo método de Gauss

Consiste en aplicar á matriz unha serie de transformacións elementais, que deixan invariante o rango, ata conseguir unha matriz reducida ou graduada na cal o rango se determina de inmediato.

Transformacións que deixan invariante o rango:

Intercambiar as posicións das filas entre si.

Multiplicar unha fila por un número distinto de cero.

Sumar a unha fila outra multiplicada por un número distinto de cero.

Dada a matriz A =

4531

0221

4312

, véxase a forma de calcular a súa matriz reducida

aplicando as transformacións anteriores.

9

Primeiro: Convén que o elemento a11 sexa un para facilitar o resto dos cálculos; neste caso unha das formas de facelo consiste en intercambiar as columnas primeira e segunda entre si.

4513

0212

4321

Segundo. Anúlanse todos os elementos da primeira columna, salvo o primeiro, aplicando a terceira transformación.

4513

0212

4321

⟺

8450

8450

4321

Terceiro: Anúlanse os elementos da segunda columna situados debaixo do seu segundo elemento aplicando de novo a terceira transformación.

8450

8450

4321

⟺

0000

8450

4321

A terceira fila é cero, depende linealmente das outras dúas; a primeira e a segunda son linealmente independentes, polo que o rango de A é dous. O rango dunha matriz polo método de Gauss é o número de filas da súa matriz reducida ou graduada non nulas.

5.2. Cálculo do rango por determinantes

Para definir e determinar o rango por determinantes é necesario dar algúns conceptos novos.

Menores dunha matriz

Chámase menor de orde h da matriz A de orde m x n ao determinante dunha matriz cadrada de orde h formada polos elementos de h filas e h columnas da matriz A.

Os menores de orde h fórmanse ao suprimir de todas as formas posibles m – h filas e n – h columnas na matriz A.

Na matriz A =

4531

0221

4312

algúns menores de orde dúas son:

21

12

= 5,

21

32

= 7,

01

42

= 4,

31

12 = 5, ... ,

45

02 = 8

Os menores de orden 3 serán:

2ªF – 2·1ªF 3ªF – 3·1ªF

3ªF – 2ªF

10

531

221

312

= 0,

431

021

412

= 0,

453

022

431

= 0

Todos son nulos. Rango dunha matriz por determinantes é a orde do maior menor non nulo. O rango da matriz anterior é dous; lémbrase que a súa matriz reducida calculada polo método de Gauss anterior tiña unha fila nula, polo tanto o seu rango era dous; esta coincidencia xeneralízase no teorema seguinte que non se demostra. Teorema: Se o rango dunha matriz A é h e un dos seus menores non nulos é α; cada fila da matriz A que non figura nel é combinación das súas h filas.

Cálculo práctico do rango

Como se dixo ao principio deste apartado, o rango dunha matriz é fundamental para o estudo dos sistemas lineais; por iso, dedícanse os parágrafos seguintes ao seu cálculo combinando os dous métodos anteriores.

Exemplo:

Calcular o rango da matriz P =

811000

401062

41062

20531

.

Suprímense as liñas (filas ou columnas) combinación lineal doutras que se aprecien a primeira ollada. Na matriz P a terceira fila obtense ao multiplicar a primeira por menos dous; suprímese e estúdase o rango da matriz P1 que ten unha fila menos.

P1 =

811000

41062

20531

Elíxese un elemento da matriz P1 distinto de cero; neste caso o a11 = 1; este é un menor de orde un ao que se lle chamará principal; o rango de P é maior ou igual que un:

rango(P) ≥ 1 Fórmanse menores de orde dúas orlando o menor principal seleccionado (rodear o elemento de partida):

62

31

= 0,

02

51

= 10

Atópase un menor de orde dúas distinto de cero, que pasará a ser o menor principal, o rango de P é maior ou igual que dous:

rango(P) ≥ 2 Órlase este menor, coas outras filas e columnas para formar menores de orde tres:

0100

602

351

= 0,

1100

102

051

= 0,

8100

402

251

= 0

11

Como se formaron todos os menores de orde tres a partir do menor principal e todos son nulos, o rango da matriz é dous:

rango(P) = 2

6. Matriz inversa por determinantes

Os determinantes serán unha nova ferramenta para calcular a matriz inversa, como se verá a continuación.

6.1. Matriz adxunta

Dada unha matriz cadrada A chámase matriz adxunta de A e represéntase por adx(A), á matriz que resulta de substituír cada elemento aij da matriz A polo seu adxunto correspondente Aij. Exemplo:

Dada a matriz A =

023

321

422

calcular a súa matriz adxunta.

Calcúlase en primeiro lugar o determinante de A; aínda que para o cálculo da matriz adxunta non se precisa o seu valor, utilizarase nas propiedades da matriz adxunta.

A =

023

321

422

= 0 + 18 + 8 – 24 – 12 – 0 = –10

Calcúlanse todos os adxuntos; para iso colócase o signo que corresponde á potencia (–1)i+j seguida do menor complementario do elemento.

A11 = +02

32 = 6, A12 = –

03

31 = –9, A13 = +

23

21 = –4

A21 = –02

42 = 8, A22 = +

03

42 = –12, A23 = –

23

22 = –2

A31 = +32

42

= –2, A32 = –

31

42

= –2, A33 = +

21

22 = –2

Polo tanto, a matriz adxunta de A será:

adx(A) =

333231

232221

131211

AAA

AAA

AAA

=

222

2128

496

6.2. Propiedade da matriz trasposta da adxunta

O produto dunha matriz A pola trasposta da súa adxunta é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal coinciden co valor do determinante de A. É dicir, no caso dunha matriz de orde tres:

12

A·(adx(A))t = (adx(A))t·A =

A

A

A

00

00

00

A demostración desta propiedade faise a partir da definición das matrices adxunta e trasposta e as propiedades dos determinantes. Exemplo:

Comprobar que se cumpre a propiedade anterior para as matrices do exemplo anterior.

A·(adx(A))t =

023

321

422

·

t

222

2128

496

=

=

023

321

422

·

224

2129

286

=

1000

0100

0010

6.3. Cálculo da matriz inversa

Tendo en conta os resultados obtidos a partir da propiedade da matriz trasposta terase:

A·(adx(A))t =

A

A

A

00

00

00

= A ·

100

010

001

= A ·I

No caso de A ≠ 0, e unicamente nesta situación, pódense dividir os dous membros

por A e queda:

A·A

Aadx t))(( = I

Por último, tendo en conta a definición de matriz inversa I, identificando as dúas igualdades tense a matriz inversa por determinantes, terase:

A–1 = A

Aadx t))((

No desenvolvemento do cálculo da matriz inversa obtivéronse os seguintes resultados:

Unicamente teñen inversa aquelas matrices cuxo determinante é distinto de cero, é dicir, as matrices regulares.

A inversa dunha matriz regular A é igual á trasposta da súa adxunta, dividida polo determinante de A.

Como o proceso para chegar á matriz inversa foi longo, resúmese así:

Primeiro: calcúlase o determinante da matriz dada, se este é distinto de cero, a matriz é regular e ten inversa.

Segundo: calcúlase o súa matriz adxunta.

Terceiro: trasponse a matriz adxunta.

13

Cuarto: divídese a matriz trasposta da adxunta obtida polo determinante.

Exemplo:

Comprobar se a matriz A =

45

23 ten inversa e, en caso afirmativo, calculala.

A = 45

23 = 12 – 10 = 2. Como o determinante é distinto de cero, a matriz A ten

inversa.

adx(A) =

2221

1211

AA

AA =

32

54

(adx(A))t =

35

24

A–1 = A

Aadx t))(( =

2

1

35

24 =

2

3

2

512

Propiedades da matriz inversa

a) O produto de dúas matrices invertibles é invertible e a súa inversa é igual ao produto da inversa do segundo factor pola inversa do primeiro factor.

(A·B)–1 = B–1·A–1

En efecto, multiplícanse por (A·B) os dous membros: (A·B)·(A·B)–1 = A·B·B–1 A–1 = A·I·A–1 = A·A–1 = I

b) A inversa da trasposta é igual á trasposta da inversa. (At)–1 = (A–1)t

En efecto, multiplícase At por (A–1)t e opérase: At·(A–1)t = (A–1 A)t = It = I

De onde: (At)–1 = (A–1)t