Seminários de Ensino de Matemática (SEMA–FEUSP)

Coordenação: Nílson José Machado - 2012/1

Marisa Ortegoza da Cunhamarisa.ortegoza@gmail.com

Devlin e os problemas do milênio

8 de agosto de 1900Congresso Internacional de Matemáticos

Collège de France, Paris

David Hilbert

(1862-1943)

A lista de Hilbert

1. Provar a hipótese do continuum, de Cantor

2. Demonstrar a consistência dos axiomas da aritmética

3. Prova de que um cubo e um tetraedro possuem volumes iguais, sob certas condições

4. Construção de todos os espaços métricos em que as linhas são geodésicas

5. Provar que todo grupo contínuo é um grupo diferencial

6. Transformar toda a Física em axiomas

7. A potência de base irracional não nula, diferente de 1, e expoente irracional algébrico é transcedente?

8. A hipótese de Riemann e a conjectura de Goldbach

A lista de Hilbert

9. Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de número algébrico

10. Encontrar um algoritmo que determine se uma equação diofantina tem solução

11. Classificar as formas quadráticas a coeficiente nos anéis algébricos inteiros

12. Estender o teorema de Kronecker-Weber para os corpos não abelianos

13. Demonstrar a impossibilidade de resolver equações de grau 7 por meio de funções de 2 variáveis

14. Provar o caráter finito de certos sistemas completos de funções

15. Desenvolver bases sólidas para o cálculo enumerativo de Schubert

16. Desenvolver uma topologia de curvas e superfícies algébricas

A lista de Hilbert

17. Demonstrar que uma função racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de funções racionais

18. Construir um espaço euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas?

19. Provar que o cálculo de variações é sempre necessariamente analítico

20. Todos os problemas variacionais com certas condições de contorno têm solução?

21. Prova da existência de equações diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrômico

22. Uniformizar as curvas analíticas por meio de funções automorfas

23. Desenvolver um método geral de resolução no cálculo de variações

24 de maio de 2000Clay Mathematics Institute

http://www.claymath_org/prize_problems/index.htm

Os 7 problemas do Milênio

1. A hipótese de Riemann (1859)

2. Teoria de Yang-Mills e a Hipótese da Lacuna da Massa (1950)

3. O problema P versus NP (1971)

4. As equações de Navier-Stokes (~1830/45)

5. A conjectura de Poincaré (1904)

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer (1965)

7. A conjectura de Hodges (1950)

1. A hipótese de Riemann (1859)

Georg Bernhard Riemann (1826-1866)

1. A hipótese de Riemann

Gauss: Gráfico da função (n)

1. A hipótese de Riemann

Gauss e a dristribuição dos números primos:

Conjectura (Teorema dos Números Primos):

2. Teoria de Yang-Mills e a Hipótese da lacuna da massa (1950)

Chen Ning Yang (1922) e Robert L. Mills (1927-1999)

2. Teoria de Yang-Mills e a Hipótese da lacuna da massa

Teoria da Relatividade

Newton Teoria unificadora

Mecânica quântica

4 forças da natureza:

gravidade / eletromagnética

nuclear forte / nuclear fraca

partícula campo

3. O problema P versus NP (1971)

- Complexidade computacional

- Algoritmo eficiente

Exemplo: Resolução de um sistema linear nxn

- Por eliminação de Gauss:

- Por Cramer:

3. O problema P versus NP

Instância n=20

Computador realizando 100 milhões

de operações por segundo:

- Por eliminação de Gauss: 0,00008 segundos

- Por Cramer: 32 000 anos

3. O problema P versus NP

3. O problema P versus NP

- Classe de problema P- Classe de problemas NP

4 294 967 297 6 700 417 x 641

-Classe NP-completo:o problema do caixeiro-viajante

4. As equações de Navier-Stokes(~1830/45)

Claude Louis Marie Henri Navier (1785-1836)

George Gabriel Stokes (1819-1903)

4. As equações de Navier-Stokes

Notação vetorial:

4. As equações de Navier-Stokes

Em coordenadas cartesianas:v: velocidade

P: pressão

g: aceleração da

gravidade

: a densidade

: a viscosidade

5. A conjectura de Poincaré (1904)

Jules Henri Poincaré Grigori Perelman

(1854-1912) (1966)

5. A conjectura de Poincaré

-O que é uma variedade?

-Variedade aberta / variedade fechada

-Variedade simplesmente conexa

- Variedades equivalentes

5. A conjectura de Poincaré

5. A conjectura de Poincaré

-Problema da classificação:

- Quantas e quais variedades existem?

- Podemos listar todas as variedades, de qualquerdimensão?

A Conjectura de Poincaré é um “pedaço” desse problemade classificação.

5. A conjectura de Poincaré

Classificação de variedades 1-dimensionais:

5. A conjectura de Poincaré

Classificação de variedades de dimensão 2:

“Há exatamente 2 listas de superfícies fechadas; qualquersuperfície fechada está numa dessas listas (a menos dehomeomorfismos) e quaisquer duas superfícies na mesmalista NÃO são equivalentes.”

5. A conjectura de Poincaré

Classificação de variedades de dimensão 2:

1) Superfícies orientáveis

2) Superfícies não-orientáveis

Garrafa de Klein

5. A conjectura de Poincaré:

Toda variedade fechada simplesmenteconexa de dimensão d é equivalente àesfera de dimensão d.

(“Se uma variedade parece ser a esfera, elaé a esfera”)

5. A conjectura de Poincaré:

d = 1: ok

d = 2: ok

d = 4: resolvido, em 1984

(Medalha Fields de 1986 para Michael Freedman)

d >= 5: resolvido, 1960

(Medalha Fields de 1966 para Steven Smale)

d = 3: RESOLVIDO, em 2006

(Medalha Fields de 2006 para Grigori Perelman,

que se recusou a receber...

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer(1965)

Bryan John Birch (1931) e Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer (1927)

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Curvas elípticas:

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Fato: SE existe solução racional da equaçãooriginal ENTÃO existe solução inteira dacongruência correspondente.

Conjectura: SE existirem várias soluções inteiraspara as congruências ENTÃO haverá infinitospontos racionais na curva.

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Estratégia:Np = quantidade de soluções da congruência mod p

Infinitos pontos racionais

Np grande, para muitos p

razões p/Np < 1 para infinitos p

produto das razões igual a zero ...

6. A conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Conjectura:

“Se o produto infinito das razões p/Np = 0

então a curva elíptica tem infinitos pontos

racionais”

7. A conjectura de Hodge (1950)

William Vallance Douglas Hodge (1903-1975)

7. A conjectura de Hodge (1950)

O mais hermético dos enunciados:

“Toda forma harmônica diferencial (de um certotipo) sobre uma variedade algébrica projetivanão-singular é uma combinação de classes de co-homologia de ciclos algébricos.”

7. A conjectura de Hodge (1950)

Descartes: objeto geométrico equação algébrica

Equação algébrica variedade algébrica

(geometria sem figura!!)

7. A conjectura de Hodge (1950)

Variedade algébrica projetiva não-singular ~

Superfície suave muldimensional que resulta de umaequação algébrica

Formas diferenciais harmônicas ~

Soluções de uma certa equação diferencial parcial muitoimportante: equação de Laplace

7. A conjectura de Hodge (1950)

Combinação racional de classes de co-homologias deciclos algébricos ~

H-objetos: objetos abstratos que surgem ao se aplicartécnicas de cálculo em determinada superfície.

(Traduzindo !!!):

Qualquer H-objeto pode ser construído a partir deobjetos geométricos de uma maneira puramentealgébrica.

7. A conjectura de Hodge (1950)

Importância:

Uma prova para a conjectura estabeleceria uma ligaçãofundamental entre 3 disciplinas:

Geometria algébrica, análise e topologia.

Matemática: de padrões a conexões!!

“Desfazendo o laço”