FLUJO DE RAYLEIGH Y FLUJO ISOTRMICOGmez Antonio, Ramrez Carlos, Vera AngelEscuela de Ingeniera Mecnica, Departamento de Trmica y Energtica, Universidad de Carabobo.Edo. Carabobo, Venezuela.antoniogomezm7@gmail.comcarlosg.ramirezq@gmail.comangelvera_10@hotmail.com

Abstract - Al estudio de los flujos compresibles se le conoce como Dinmica de Gases, siendo esta una rama de la mecnica de fluidos, la cual describe esos flujos. Los flujos compresibles pueden estudiarse a partir de tres factores predominantes: la geometra del ducto por donde viaja el fluido, las prdidas por friccin, y la energa que cede o gana el fluido. En este trabajo se abordarn los flujos compresibles con transferencia de calor (flujo de Rayleigh) y los flujos isotrmicos cuyo factor predominante es la energa que cede o gana el fluido.I. RESUMENEl flujo de Rayleigh (as llamado por Lord Rayleigh) es un tipo de flujo compresible en conductos. Se caracteriza por ser diabtico (absorbe o cede calor) pero mantener una seccin de paso constante sin cambio en la masa que circula y sin efecto de la friccin. Aunque el caso general es el compresible, se pueden aplicar los resultados tambin para el caso simplificado de flujo incompresible. Su planteamiento analtico parte de las premisas del modelo de gas perfecto.Mientras el flujo adiabtico se supone que ocurre en tuberas cortas y bien aisladas. Esto es debido a que no se transfiere calor desde o hacia la tubera, excepto la pequea cantidad de calor que se produce por friccin que se aade al flujo. El flujo isotrmico o flujo a temperatura constante se considera que ocurre muy a menudo, en parte por conveniencia, o ms bien, porque se acerca ms a la realidad de lo que sucede en las tuberas. El caso extremo de flujo isotrmico sucede en las tuberas de gas natural. Dodge y Thompson demuestran que el flujo de gas en tuberas aisladas est muy cerca del flujo isotrmico para presiones muy altas. Entonces podemos resumir que para tuberas muy largas y con presiones de trabajo muy elevadas se puede aplicar el modelo de flujo isotrmico.

II. INTRODUCCIONEl flujo de Rayleigh es un tipo de flujo compresible en conductos. Se caracteriza por ser diabtico (absorbe o cede calor) pero mantener una seccin de paso constante sin cambio en la masa que circula y sin efecto de la friccin.Debido a esta transferencia de calor, la temperatura de estancamiento cambia con el intercambio de calor. Esto particularmente lo diferencia de otros casos como el flujo de Fanno o el flujo compresible con variacin de seccin, donde la temperatura de estancamiento es constante. Este intercambio afecta tambin a la presin de estancamiento con lo que se denomina como efecto Rayleigh: el aumento de la temperatura genera un cambio de la densidad que para conservar el flujo msico altera la velocidad. Por conservacin de la energa se produce una variacin de presin.As la adicin de calor al flujo tender a llevar el flujo sea este supersnico o subsnico a Mach unitario, bloquendolo. A la inversa, la cesin de calor al exterior tender a bajar el nmero de Mach si es subsnico y a aumentarlo si es supersnico. Se puede demostrar que para gas perfecto la mxima entropa ocurre para.El modelo de flujo isotrmico se aplica para flujos compresibles a altas presiones a travs de ductos muy largos. La principal aplicacin de este modelo de flujo es en los gasoductos en donde el tiempo de residencia del gas es lo suficientemente largo como para que la tubera y el mismo gas alcancen un equilibro trmico con los alrededores.La presin a la que circula el gas por el gasoducto es normalmente de 72 bar para los de la redes bsicas de transporte y de 16 bar en las redes de distribucin en las ciudades (Presiones bastante elevadas de flujo) y por lo general los gasoductos son ductos de generalmente muchos kilmetros de longitud.

III. DESARROLLO

A. Flujo en ducto con transferencia de calor de friccin despreciable (Flujo de Rayleigh) Considere el flujo unidimensional estacionario de un gas ideal con calores especficos constantes en un ducto de rea constante con transferencia de calor, pero con friccin despreciable. Estos flujos se conocen como flujos de Rayleigh en honor a Lord Rayleigh (1842-1919). Las ecuaciones de conservacin de masa, cantidad de movimiento y energa para el volumen de control que se muestra en la figura 1 pueden escribirse de la siguiente manera:

Figura N1: Volumen de control para el flujo en un ducto de rea constante con transferencia de calor y de friccin despreciable.Ecuacin de continuidad: Al observar que el rea de la seccin transversal del ducto es constante, la relacin o se reduce a: (1)Ecuacin de cantidad de movimiento en x: Al notar que los efectos de la friccin son despreciables y por lo tanto no hay fuerzas de corte, y al considerar que no hay fuerzas externas o de cuerpo, la ecuacin de cantidad de movimiento en la direccin del flujo (en la direccin x) se convierte en un balance entre las fuerzas de presin esttica y la transferencia de cantidad de movimiento. Note que los flujos estn a altas velocidades y son turbulentos, por esta razn el factor de correccin del flujo de cantidad de movimiento es casi 1 () razn por la cual no se considera. Entonces: Lo que es igual a: (2) Ecuacin de la energa: El volumen de control no incluye fuerzas de corte, trabajo de flecha o algunos otros tipos de trabajo, y el cambio de la energa potencial es despreciable. Si la razn de transferencia de calor es y el calor transferido por unidad de masa del fluido es , la ecuacin de balance de la energa de flujo estacionario es: (3)Para un gas ideal con calores especficos constantes, y as: (4)O (5)Por lo tanto, la entalpa de estancamiento y la temperatura de estancamiento cambian en el flujo de Rayleigh (ambas aumentan cuando se transfiere calor al fluido y es positivo, y ambas disminuyen cuando el calor se transfiere del fluido, por lo tanto, es negativo).Cambio de entropa: En ausencia de cualquier irreversibilidad tal como la friccin, la entropa de un sistema cambia solamente debido a la transferencia de calor: sta aumenta con el suministro de calor y disminuye con la prdida de calor. La entropa es una propiedad y por lo tanto una funcin de estado; el cambio de entropa de un gas ideal con calores especficos constantes al pasar del estado 1 al estado 2 est dado por: (6)La entropa del fluido puede aumentar o disminuir en el flujo de Rayleigh, esto depende de la direccin de la transferencia del calor.Ecuacin de estado Note que , las propiedades , y del gas ideal en los estados 1 y 2 estn relacionadas entre s por: (7)Considere un gas con propiedades conocidas , k y . Para un estado de entrada 1, las propiedades de entrada , , , y se conocen. Las cinco propiedades de salida , , , , y pueden determinarse a partir de las ecuaciones 1, 2, 4, 6 y 7 para cualquier valor especificado del calor transferido . Cuando la velocidad y la temperatura se conocen, el nmero de Mach puede determinarse a partir de .Obviamente hay un nmero infinito de posibles estados 2 corriente abajo correspondientes al estado dado corriente arriba 1. Una manera prctica de determinar estos estados corriente abajo es considerar varios valores de , y calcular todas las otras propiedades as como el calor transferido q para cada a partir de las ecuaciones 1 a la 7. Se grafican los resultados en un diagrama que da una curva que pasa por el estado especfico de entrada, como se muestra en la figura 2. La grfica del flujo de Rayleigh en un diagrama se llama lnea de Rayleigh. Pueden hacerse varias observaciones importantes a partir de esta grfica y de los resultados de los clculos:

Figura N2: Diagrama T-s para el flujo en un ducto de rea constante con transferencia de calor y de friccin despreciable (flujo de Rayleigh).1. Todos los estados que satisfacen las ecuaciones de conservacin de masa, cantidad de movimiento y energa as como las relaciones entre las propiedades pertenecen a la lnea de Rayleigh. Por lo tanto, para un estado inicial dado, el fluido no puede existir en algn estado corriente abajo que est fuera de la lnea de Rayleigh en un diagrama T-s. De hecho, la lnea de Rayleigh es el lugar de todos los estados corriente abajo posibles fsicamente que corresponden al estado inicial. 2. La entropa aumenta con el suministro de calor al fluido, y as el estado se desplaza a la derecha a lo largo la lnea de Rayleigh mientras que se transfiere calor al fluido. El nmero de Mach es Ma=1 en el punto a, el cual es el punto de mxima entropa. Los estados sobre la rama superior de la lnea de Rayleigh por arriba del punto a son subsnicos, y los estados sobre la rama inferior por abajo del punto a, supersnicos. Un proceso a la derecha sobre la lnea de Rayleigh corresponde a la adicin de calor, y a la izquierda, al rechazo, cualquiera que sea el valor inicial del nmero de Mach. 3. El calentamiento aumenta el nmero de Mach para flujos subsnicos, pero lo disminuye para flujos supersnicos. Durante el calentamiento, el nmero de Mach de flujo se aproxima a Ma=1 en ambos casos (desde 0 en flujo subsnico y desde en flujo supersnico). 4. Es evidente que a partir del balance de energa el calentamiento aumenta la temperatura de estancamiento para ambos flujos, subsnico y supersnico, y el enfriamiento la disminuye. (El valor mximo de ocurre a Ma=1.) Esto es tambin el caso para la temperatura esttica , excepto para el estrecho rango de nmero de Mach en flujo subsnico. Ambos, temperatura y nmero de Mach aumentan con el calentamiento en flujos subsnicos, pero alcanza un mximo a (la cual es 0.845 para el aire), entonces disminuye. Puede parecer sorprendente que la temperatura del fluido disminuya mientras que se le transfiere calor. Pero no es ms sorprendente que el incremento de la velocidad en la parte divergente de una tobera convergente-divergente. El efecto del enfriamiento en esta regin lo ocasiona el gran aumento en la velocidad del fluido, y la temperatura decae de acuerdo con la relacin . Observe tambin que el calor rechazado en la regin causa el incremento en la temperatura del fluido (Fig. 3).

Figura N3: En proceso de calentamiento, la temperatura del flujo siempre aumenta si el flujo de Rayleigh es supersnico, pero la temperatura puede realmente disminuir si el flujo es subsnico5. La ecuacin de cantidad de movimiento , donde (a partir de la ecuacin de continuidad) revela que la velocidad y la presin esttica tienen tendencias opuestas. Por lo tanto, la presin esttica disminuye con el aumento de calor en flujos subsnicos (porque la velocidad y el nmero de Mach aumentan), pero aumenta con el incremento de calor en flujos supersnicos (porque la velocidad y el nmero de Mach disminuyen).6. La ecuacin de continuidad indica que la densidad y la velocidad son inversamente proporcionales. Por lo tanto, la densidad disminuye con el calor transferido al fluido en un flujo subsnico (ya que la velocidad y el nmero de Mach aumentan), pero aumenta con el calor recibido en un flujo supersnico (porque la velocidad y el nmero de Mach disminuyen).7. En la mitad izquierda de la figura 2, la rama inferior de la lnea de Rayleigh est ms pronunciada que la rama superior (en trminos de s en funcin de ), lo cual indica que el cambio de entropa correspondiente a un cambio de temperatura especificado (y as, a la cantidad de calor dada) es mayor en un flujo supersnico.Relaciones entre las propiedades para el flujo de Rayleigh: Relacin de presiones: (8) Relacin de densidades: (9) Relacin de temperaturas: (10) Relacin de densidades en funcin nicamente del Mach: (11)Las propiedades de flujo en condiciones snicas son, usualmente, fciles de determinar y, por lo tanto, el estado crtico correspondiente a Ma=1 sirve para el flujo compresible como un conveniente punto de referencia. Al tomar el estado 2 como snico ( y usar * como superndice) y el estado 1 como cualquier estado (sin superndice), las relaciones de las propiedades en las ecuaciones 8, 10 y 11, se reducen a (Fig. 4):

Figura N4: Resumen de las relaciones del flujo de Rayleigh.Flujo de Rayleigh bloqueado:Es evidente desde los comentarios anteriores que el flujo subsnico de Rayleigh en un ducto puede acelerarse mediante calentamiento hasta la velocidad snica (Ma=1). Qu ocurre si el fluido contina calentndose? Continuar el fluido acelerndose a velocidades supersnicas? Un examen de la lnea de Rayleigh indica que el fluido en el estado crtico Ma=1, no puede acelerarse a velocidades supersnicas mediante calentamiento. Por lo tanto, el fluido est bloqueado o estrangulado. Esto es anlogo a la imposibilidad de acelerar un fluido a velocidades supersnicas en una tobera convergente simplemente al extender la seccin convergente. Si se contina calentando el fluido, simplemente se mover el estado crtico ms adelante corriente abajo y se reducir la razn de flujo, ya que la densidad del fluido en el estado crtico ahora ser ms pequea. Por lo tanto, para un estado de entrada dada, el estado crtico correspondiente fija la transferencia de calor mximo posible para un flujo estacionario. Esto es: (12)El calor adicional transferido ocasiona el fenmeno de bloqueo y por lo tanto un cambio en el estado de entrada (la velocidad de entrada disminuye), y el flujo ya no sigue sobre la misma lnea de Rayleigh. Cuando se enfra el flujo de Rayleigh subsnico, se reduce su velocidad y el nmero de Mach se aproxima a cero mientras que la temperatura se aproxima al cero absoluto. Observe que la temperatura de estancamiento T0 es mxima en el estado crtico Ma=1.En un flujo de Rayleigh supersnico, el calentamiento disminuye la velocidad del flujo. El calentamiento mayor del mximo posible simplemente aumenta la temperatura y mueve el estado crtico corriente abajo, lo cual resulta en una reduccin del flujo msico del fluido. Puede parecer que es posible enfriar un flujo supersnico de Rayleigh tanto cuanto uno guste, pero resulta que hay un lmite. (13)El cual produce para k=1.4. Por lo tanto, si la temperatura crtica de estancamiento es 1 000 K, el aire no puede ser enfriado a menos de 490 K en un flujo de Rayleigh. Fsicamente esto significa que la velocidad de flujo alcanza el infinito al mismo tiempo que la temperatura alcanza 490 K, lo cual es fsicamente imposible. Cuando un flujo no puede permanecer supersnico, el flujo experimenta una onda de choque normal y se convierte en un flujo subsnico.B. Flujo IsotrmicoEn el transporte de gases a grandes distancias se utilizan lneas de tubera en las cuales la friccin no puede ser despreciada porque de esta resultan cambios apreciables en la presin. En un ducto largo, generalmente hay suficiente oportunidad para transferir calor y asegurar que el gas fluyendo en el ducto esta siempre a la temperatura de los alrededores o muy cerca de ella. Mientras que los nmeros de Mach son generalmente bajos, las grandes variaciones en la presin hacen que la hiptesis de una densidad constante sea inadecuada.Conforme cae la presin debe agregarse calor si la temperatura debe permanecer constante. Se demostrara que en un flujo isotrmico el nmero de Mach debe tener un valor prximo a .Para flujo isotrmico, la ecuacin de estado para un gas perfecto es: (14)Combinndola con la condicin de continuidad: (15)Resulta: (16)La ecuacin de la cantidad de movimiento para el flujo estable es empleada de la misma manera que en el caso de un proceso simple de calentamiento (exceptuando la consideracin que debe hacerse del trmino correspondiente a la friccin): (17)Dividiendo entre p y eliminando la velocidad por el empleo del nmero de Mach, resulta: (18)Entonces: (19)La ecuacin (19) muestra que cuando la longitud del ducto se incrementa, la presin disminuye para valores de M < y aumenta para valores de M > . Por lo tanto, prescindiendo del nmero de Mach inicial en el flujo isotrmico en ductos, el nmero de Mach debe acercarse a .Para que el flujo permanezca como isotrmico con nmeros de Mach mayores que , la temperatura de estancamiento debe disminuir. Esto significa que los alrededores deben enfriar el gas en vez de calentarlo como sugiere la intuicin, pero tal condicin tambin satisface el razonamiento fsico cuando se considera que la presin se est incrementando regularmente y a menos de que se presente un enfriamiento la temperatura no puede permanecer constante.Para flujos isotrmicos, el cambio de entropa es ms fcilmente determinado a partir de la relacin de presiones estticas. Esto puede demostrarse a partir de la ecuacin: (20)La cual para T = constante resulta: (21)(Ntese aqu el contraste con respecto a la ecuacin para calcular el cambio de entropa en flujos adiabticos en trminos de la relacin de presiones de estancamiento).El cambio en la temperatura de estancamiento puede calcularse a partir de la ecuacin bsica que define al estado de estancamiento:(22)Diferenciando logartmicamente (dT = 0):(23)Definiendo el estado donde M = como el estado de referencia, otra vez denotndolo por medio de asteriscos, la temperatura de estancamiento puede escribirse como:(24)Los valores para (To/To*)isot estn tabulados en la tabla de las funciones de Rayleigh. Debe tenerse cuidado de no confundir (To/To*) a lo largo de una lnea de Rayleigh con (To/To*)isot que solamente es vlida para flujos isotrmicos.

Como fue tratado en las secciones anteriores, la cantidad de calentamiento o enfriamiento depende del cambio en la temperatura de estancamiento. Esto est dado por la expresin:(25)Es evidente a partir de la ecuacin (19) que cuando el nmero de Mach se aproxima a , las propiedades del fluido cambian rpidamente con la longitud. En flujo isotrmico, un cambio considerable en velocidad significa un cambio grande en el nmero de Mach y como consecuencia, la transferencia de calor por unidad de longitud del ducto debe ser lo bastante grande para mantener las condiciones isotrmicas. Esto significa que la transferencia de calor debe realizarse intencionalmente y no tan solo como resultado del paso del ducto a travs de una atmosfera isotrmica.

IV. APLICACIONES

Flujo de RayleighUna cmara de combustin consiste de un combustor tubular de 15 cm de dimetro. Aire comprimido entra en los tubos a 550K, 480kPa y 80m/s (Fig. 5). Combustible con un valor de poder calorfico de 42000kJ/kg se inyecta al aire y se quema a una razn de masas de aire y combustible de 40. Aproxime el proceso de combustin con la transferencia de calor al aire y determine la temperatura, presin, velocidad y nmero de Mach en la salida de la cmara de combustin.

Figura N5Solucin: Se quema combustible en una cmara de combustin tubular con aire comprimido. Se determinarn temperatura, presin, velocidad y nmero de Mach en la salida.Hiptesis 1 Las suposiciones relacionadas con el flujo de Rayleigh son vlidas (es decir, el flujo es estacionario, unidimensional, de un gas con propiedades constantes, en un ducto del rea de seccin transversal constante, con efectos de friccin insignificantes). 2 La combustin es completa y el proceso de combustin se sustituye por el proceso de adicin de calor, sin considerar el cambio en la composicin qumica del flujo. 3 El aumento en el flujo msico debido a la inyeccin del combustible es despreciable.Propiedades: Se toman las propiedades del aire como k=1.4, y R = 0.287 kJ/kg K.Anlisis: La densidad a la entrada y la razn del flujo de masa del aire son:

La razn de flujo de masa de combustible y la razn de transferencia de calor son:

La temperatura de estancamiento y el nmero de Mach a la entrada son:

La temperatura de estancamiento a la salida, a partir de la ecuacin de la energa , es:

El valor mximo de la temperatura de estancamiento ocurre a Ma=1, Para se lee . Por lo tanto,

La razn de las temperaturas de estancamiento a la salida y el nmero de Mach correspondiente son:

Las funciones del flujo de Rayleigh correspondientes a los nmeros de Mach en la salida y en la entrada son:

La temperatura, la presin y la velocidad a la salida son:

Lo mismo se aplica para obtener los valores de , entonces:

Discusin: Observe que, como se esperaba, la temperatura y la velocidad aumentan y la presin disminuye en este flujo de Rayleigh subsnico al calentarlo.Flujo isotrmicoAire a una presin manomtrica de 1.7 atm y 15C entra en una tubera horizontal de acero de 75 mm de dimetro y 70 m de longitud. La velocidad a la entrada de la tubera es 60 m/s. Suponiendo que el flujo es isotrmico Cul ser la presin en el extremo de descarga de la lnea?V. CONCLUSIONES

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

CRANE. Flujo de Fluidos en vlvulas accesorios y tuberas.SHAMES I. Mecnica de fluidos. Tercera edicin. Mc Graw-Hill.Flujo de fluidos compresibles, Mecnica de fluidos, Facultad de Qumica e Ingeniera Qumica, Universidad Nacional Mayor de San Marcos.YUNNUS. Cengel, Mecnica de Fluidos, Sexta Edicin. Edit. Mc Graw-Hill.MOTT. Robert L, Mecnica de Fluidos, Sexta Edicin. Edit. Larson Pearson.WHITE. Frank, Mecnica de Fluidos, Quinta Edicin. Edit. Mc Graw-Hill.