DIAGRAMA DE FLUJO DE SEÑAL. FORMULA DE MASSON.ppt

Ejercicio Mason

Departamento de Control, División de Ingeniería EléctricaFacultad de Ingeniería UNAM

México D.F. a 28 de Agosto de 2006

Diagrama de flujo de señales

Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones dinámicas simultaneas. Es una red en la que nodos están conectado mediante ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia. La ventaja del diagrama de flujo de señales de Mason es la disponibilidad de una fórmula que proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción.

Definiciones:

Nodo. Es un punto que representa una variable o señal.Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos.Transmitancia. Es la ganancia de un rama.Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama saliente.Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas entrantes.Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como salientes.Camino. Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el camino es abierto. Si el camino termina en el mismo nodo desde el que comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es camino cerrado o lazo.


Definiciones:

Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en común.Camino directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez.

Nodos mixtos

Nodo de entrada(fuente)

Nodo de entrada(fuente)

1x 2x 3x

4x

3x

Nodo de salida(sumidero)

Camino directoCamino directo

Lazo

a b

c

d

Figura 3. Diagrama de flujo de señal.


Fórmula de ganancia de Mason

k

kkPP1

donde

P es la ganancia global.

kP es la ganancia del k-ésimo camino directo. es el determinante del diagrama = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales)+(suma de

los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de dos lazos que no se tocan)-(suma de los productos de ganancias de todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan)+...

ntsr

qmqmn LLLLLL

,1

k Es el cofactor del k-ésimo camino directo. Se obtiene a partir de Eliminando los lazos que tocan el camino kP


Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason .

)(1 sG+-

)(sR+

+)(2 sG )(3 sG+

-

)(2 sH

)(sC

)(1 sH

La ganancia del camino directo es

)()()( 2211 sGsGsGP

Solución:


Los lazos individuales son tres:

)()()( 1211 sHsGsGL

)()()( 2322 sHsGsGL

)()()( 3213 sGsGsGL

El determinante es

)()()()()()()()()(1 321232121 sGsGsGsHsGsGsHsGsG

)(1 321 LLL

por lo tanto

11

)()( P

PsRsC

)()()()()()()()()(1)()()(

)()(

321232121

321

sGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsG

sRsC

Desarrollo en fracciones parciales

Se utilizan fracciones parciales para descomponer alguna función )(sF

complicada en fracciones más simples con transformadas inversa más sencillas

Considere una función

)()()()()(

)(2

21

n

n

i psa

psa

psa

sAsB

sF

)())(()())((

)()(

)(21

21

n

m

pspspszszszsK

sAsB

sF

donde ,,,,,,,, 2121 nm pppzzz son cantidades reales o complejas. Si )(sFtiene solo polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples:

donde naaa ,,, 21 son constantes. Cada elemento ),2,1( nkak se

llama residuo del polo kps . El valor de cada ka se obtiene multiplicando

ambos lados de la ecuación (F2) por )( kps y evaluar para kps

(F1)

(F2)


kpskk sA

sBpsa

)()(

)(

Una vez obtenido cada elemento ka la transformada inversa de cadafracción, se obtiene de

tpk

k

k keaps

a

1L

y la función en el tiempo queda:

0,)()( 21

211 teaeaeasFLtf tp

ntptp n


Ejemplo 1: Hallar la transformada inversa de Laplace de

)2)(1(2

)(2

sss

ssF

Solución

21)2)(1(2

)( 3212

sa

sa

sa

ssss

sF

donde 321 ,, aaa se obtienen de la siguiente manera

1)2)(1(

1

0

2

1

s

ssss

sa

3)2)(1(

1)1(

1

2

2

s

ssss

sa


Ejemplo 2: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason .

Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo 2.

1x

b

a

b

1x

2x 3x

4x 5x

6x

7x

8x

1

c

d

e

f

g h

i

j

k

l

m n

o


1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

Caminos directos:

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c


Caminos directos:

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c


Lazos:

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c


Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c


Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan:

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c

1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c1x

b

a

1x

2x 3x

4x 5x

7x

8x

1

e

f

gh

i

j

k

lm n

od

3x

6x

c


Resumen de ecuaciones:

eP 1cfP 2diP 3djkP 4djmlP 5

4372424187654321 ()(1 LLLLLLLLLLLLLLLL )() 7427454 LLLLLLL

41 1 L

k

kkPP1

42 1 L

14 15

43 1 L

abcL 1oL 2aehgbL 3mnL 4

adihgbL 5adjkhgbL 6fghL 7adjmlhgbL 8

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