Diagramas de Desplazamiento.docx (Estructura)
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Introduccin
En el presente trabajo se considera el estudio de vigas a flexin pura y
no uniforme, es decir bajo la aplicacin de cargas externas que generan
en su interior fuerzas cortantes y momentos flectores. Se estudia la
relacin que existe entre las fuerzas externas y las internas. Como varan
estas ltimas a lo lago de la viga, mediante la elaboracin de diagramas
de fuerzas cortantes y momentos flectores, a los fines de poder disear su
dimensionado de manera econmica con la condicin ms crtica de
fuerza interna. Se estudia tambin por varios mtodos, lo relacionado a
las deformaciones producidas por el efecto de las fuerzas externas.
El anlisis estructural consiste en la determinacin de los efectos
originados por las acciones sobre la totalidad o parte de la estructura.
Tambin se dice que una estructura es estable cuando sea capaz de
soportar cualquier sistema concebible de cargas, resistiendo estas cargas
en forma elstica e inmediatamente a su aplicacin, considerando infinitala resistencia de todos los miembros y la capacidad de todos los soportes.
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Estabilidad y Determinacin
La estabilidad y grado de indeterminacin de las estructuras debe
juzgarse tanto por el nmero y disposicin de los apoyos como por el
nmero y disposicin de sus elementos y las uniones de la estructura,
puede ser determinado por simple inspeccin o por medio de formulas.
Una estructura se dice que es estable cuando sea capaz de soportar
cualquier sistema concebible de cargas, resistiendo estas cargas en
forma elstica e inmediatamente a su aplicacin, considerando infinita la
resistencia de todos los miembros y la capacidad de todos los soportes
(Ferguson, P. 1965).
La estabilidad de una estructura se determina si el nmero de
reacciones es igual al nmero de ecuaciones de equilibrio independientes
que se puedan plantear, siempre y cuando las reacciones no sean
concurrentes o paralelas.
Las ecuaciones de equilibrio independiente corresponden a las
ecuaciones de equilibrio general ms la ecuacin de condicin adicional
en las uniones de las partes de la estructura.
Si:
Nmero de reacciones = Nmero de ecuaciones estticas +
ecuacin de condicin. Hay estabilidad.
Si:
Nmero de reacciones < Nmero de ecuaciones estticas. Es
inestable.
Si :
Nmero de reacciones > Nmero de ecuaciones estticas. Es
estticamente indeterminada o hiperesttico.
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Diagramas de desplazamiento
En el diseo de elementos estructurales, se debe buscar el mayor
efecto producto de las fuerzas internas, por ello determinar la fuerza
cortante y el momento flector mximo es imprescindible.
Obtener estos valores se facilita mucho mediante un anlisis grfico de
la variacin de V y M a lo largo de la viga. Estos grficos se denominan
Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) y Diagrama de Momento Flector
(DMF).
Relacin entre carga, fuerza cortante y momento flector
En el caso de carga distribuida las relaciones y todo lo que significan,
dicen cmo deben ser los diagramas de fuerza cortante y el momento
flector.
Diagrama de cortante: es una funcin de un grado mayor que la
carga distribuida. Diagrama de momentos: es una funcin de un grado mayor que
la cortante. La pendiente del diagrama de cortante es una seccin
es igual y negativa a la ordenada de la carga sobre esta misma
seccin. Donde la cortante es cero, el momento tiene un valor
extremo (mximo, mnimo).
Si la carga es un momento en una seccin, en el diagrama de
momento habr un salto de la magnitud del momento. Si el salto ser
para arriba o para abajo se determina analizando equilibrio en la seccin
inmediatamente antes e inmediatamente despus del momento. Este
anlisis les dir si el momento gira en la direccin del horario salto es
parea arriba.
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Para el elemento tipo barra, el momento flector se define como una
funcin a lo largo del eje neutro del elemento, donde x representa la
posicin a lo largo de dicho eje.
El momento flector as definido, dadas las condiciones de equilibrio,
coincide con la resultante de la fuerzas de todas las fuerzas situadas a
uno de los dos lados de la seccin en equilibrio en la que pretendemos
calcular el momento flector. Debido a que un elemento puede estar sujeto
a varias fuerzas, cargas distribuidas y momentos, el diagrama de
momento flector vara a lo largo del mismo en una pieza de plano medio,
si se conoce el desplazamiento vertical del eje baricntrico sobre dicho
plano, el momento flector puede calcularse a partir de la ecuacin de la
curva elstica.
()
(
)
Vnculos internos y externos:
Vnculos en trminos estructurales puede decirse que es todo elemento
fsico que produce restriccin de uno o ms G.D.L. de una estructura, as
como tambin son mecanismo de unin entre los diferentes miembros
que la constituyen.
Un vnculo no siempre es una pieza en especial, puede ser la simpleunin o continuidad de los elementos estructurales. Lo importante en ellos
es que definen los tipos de acciones y reacciones que habrn de surgir
entre los elementos que se unen.
Vnculos internos:
Los cuales estn representados por las conexiones entre los elementos
que conforman la estructura y suelen llamarse nodos o juntas.
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Vnculos externos:
Estos representan la interaccin de la estructura con el suelo o con
otras estructuras existentes y suelen ser llamados apoyos. Los vnculos
pueden clasificarse tambin por el grado de restriccin que imponga a
una estructura, as por ejemplo un vinculo que restrinja un grado de
libertad (G.D.L.) se denomina vinculo de primer orden, el que restringe 2
G.D.L. ser un vinculo de segundo orden y el que restringe 3 G.D.L. ser
un vinculo de tercer orden.
El vinculo externo que fija un punto del sistema recibe el nombre de
rotula fija, al eliminarla posibilidad de desplazamiento de dicho punto
segn dos direcciones cualquiera del plano, le quita al sistema dos grados
de libertad.
El vnculo externo que obliga a un punto del sistema a moverse segn
una lnea del plano, generalmente recta, se llama rotula deslizante. Este
vnculo le quita al sistema un grado de libertad.
Por ltimo, el vnculo externo que fija un punto del sistema y que
adems impide que el sistema gire en torno a este punto, recibe el
nombre de empotramiento, e implica que le quita tres grados de libertad al
sistema.
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Lminas y anlisis de cadenas
Las placas y las lminas son elementos estructurales que
geomtricamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y
que trabajan predominantemente a flexin. Estructuralmente la diferencia
entre placas y lminas est en la curvatura. Las placas son elementos
cuya superficie media es plana, mientras que las laminas son superficies
curvadas en el espacio tridimensional (como las cpulas, las conchas o
las paredes de depsito).
Anlisis de cadena:
Cuando la estructura est conformada por varias chapas unidas
mediantes vnculos internos de segundo orden (o nodos articulados), a
esta forma resistente se denomina cadena cinemtica (C.C.) de orden
n1 en donde n es el numero de chapas que conforman la cadena
cinemtica, las cuales pueden ser abierta (C.C.A.) si la primera y la ultima
chapa de la cadena cinemtica no se encuentran conectadas.
Cadena cinemtica:
Es un ensamble de eslabones y juntas interconectados de modo que
proporcionen un movimiento de salida controlando en respuestas a un
movimiento de entrada proporcionando; los miembros de una cadena
cinemtica se denominan eslabones. Esta se divide en dos:
1. Cadena abierta: cadena cinemtica que no tiene ningn anillo.
2. Cadena cerradao anillo:
Cadena cinemtica tal que cada uno de sus miembros esta enlazado
nada ms con dos miembros de la misma cadena. El anlisis de cadenas
cinemticas es aplicado para estudiar la cinemtica y la dinmica de un
mecanismo segn las caractersticas de los elementos que lo constituyen.
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Por lo tanto el anlisis de un mecanismo permitir determinar la
trayectoria de un punto de una barra o una relacin de velocidades entre
dos miembros.
Centro de rotacin
Se define como la interseccin de las perpendiculares a las trayectorias
que recorren los puntos del cuerpo en movimiento. Durante el movimiento
rectilneo de un cuerpo, el centro instantneo de rotacin se halla en el
infinito en direccin perpendicular al movimiento. Debido a que todo
movimiento debe considerarse con relacin a un sistema de referencia,
tambin la rotacin y su centro instantneo son relativos a dichos
sistemas.
Por ejemplo; la rueda de un vehculo posee, respecto a este, un centro
instantneo de rotacin que coincide con su eje, mientras que, con
relacin al suelo, el centro instantneo de rotacin se halla sobre la huelladel neumtico.
Un cuerpo rgido unido al sistema de referencia por medio de un eje.,
posee un centro instantneo de rotacin, con relacin a este sistema, que
coincide con dicho eje. Si esta unido por medio de una varilla. Si esta
unido al sistema por medio de dos varillas su centro instantneo de
rotacin deber pertenecer a las dos rectas representadas por las varillas
y, por tanto, se hallara en el punto de interseccin de las mismas.
Finalmente puede hallarse el centro de rotacin de cualquier sistema
articulado, por complicado que el mismo sea.
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Fuerza axial
Es la fuerza necesaria para equilibrar todas las componentes de las
fuerzas en la direccin del eje de la parte seccionada del cuerpo. Se
designa con N y se considera positiva si es de tensin o negativa si es de
compresin. Puede tambin decirse que la fuerza axial modifica o tiende a
modificar el estado de reposo o movimiento de un cuerpo y provoca
efecto en su interior. Se mide en kg o en TN. Se representan mediantes
vectores.
Fuerza cortante
En una seccin es la fuerza necesaria para equilibrar todas las
componentes de las fuerzas perpendiculares al eje de la parte seccionada
del cuerpo. Se designa con V y se considera positiva cuando lado
izquierdo tiende subir y ser negativa cuando lado derecho tiende subir y
lado izquierdo tiende bajar.
Deben existir fuerzas internas en el plano de la seccin y su resultante
debe ser igual a P, estas fuerzas internas elementales se llaman fuerzas
cortantes y la magnitud P, de su resultante es el cortante en la seccin.
Dividiendo la fuerza cortante P por el rea A de la seccin obtenemos en
el esfuerzo cortante promedio en la seccin. Los esfuerzos cortantes se
presentan normalmente en pernos, pasadores y remaches utilizados para
conectar varios miembros estructurales y componentes de maquinas.
Momento flector
Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una
distribucin de tensiones sobre una seccin transversal de un prima
mecnico flexionado o una placa que es perpendicular al eje de
longitudinal a lo largo que se produce la flexin; en una seccin es el
omento necesario para equilibrar la parte seccionada del cuerpo.
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En una viga horizontal se considera positivo cuando la flexin
comprime las fibras superiores y negativo ser cuando comprime fibras
inferiores y tensas las superiores. Puede decirse tambin que el momento
flector. Es una solicitacin tpica en viga., columnas, losas y tambin en
fundaciones, ya que todos estos elementos suelen deformarse
predominantemente por flexin. El momento flector puede aparecer
cuando estos elementos son sometidos a la accin de un momento, o de
fuerzas, tanto puntuales como distribuidas.
Ejemplo: una columna empotrada y con una carga P en la parte
superior. Calculo de las reacciones calculo de fuerzas internas en una
seccin, escogiendo parte superior del cuerpo y estableciendo las
ecuaciones de equilibrio.
Vigas
Las vigas son elementos cuya disposicin en las estructuras es
principalmente horizontal, aunque tambin pueden ser inclinadas, pero
que en todo caso tienen la importante funcin de servir de apoyo de otros
miembros estructurales que le transmiten las cargas verticales generadas
por la gravedad, las cuales actan lateralmente a lo largo de su eje.
Gracias a estos elementos se pueden construir todo tipo de
maquinarias y estructuras, tales como chasis de vehculos, soporte de
maquinarias, vigas de puentes y edificaciones, etc.
Esta condicin hace que las vigas estn sometidas a esfuerzos
diferentes a la tensin simple, representados por los esfuerzos de flexin.
En este caso las fuerzas externas pueden variar de una seccin a otra
a lo largo de la viga, adems la disposicin de ellas, las condiciones de
soporte y la geometra, genera en el interior de la misma la aparicin de
cuatro fuerzas llamadas resistentes.
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Tipos de vigas
De acuerdo al nmero y tipo de los apoyos que soportan la viga,
existen dos grandes grupos de vigas:
Vigas Isostticas o estticamente determinadas:
En estas vigas el numero de reacciones externas coincide con el
numero de ecuaciones de equilibro disponibles. No sobra ni faltan
reacciones para que el slido permanezca en equilibrio estable, tiene
grado de indeterminacin (G.I) cero.
Viga simplemente apoyada de un tramo:
Reacciones = 3; Ecuaciones = -3 (Fx, Fy, MA); G.I. = 0
Viga en cantilver, voladizo o mnsula:
Reacciones = 3; Ecuaciones = -3; (Fx, Fy, MA); G.I. = 0
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Viga simplemente apoyada con volados:
Reacciones = 3; ecuaciones = -3; (Fx, Fy, MA); G.I. = 0
Viga contina de dos tramos, con volados y articulacin:
Reacciones = 4; ecuaciones = -4; (Fx, Fy, MA, MC izq o MC
der); G.I. = 0
Vigas hiperestticas o estticamente indeterminadas:
Presentan un nmero mayor de reacciones externas que de
ecuaciones de equilibrio disponibles, lo cual significa que estas vigas
presentan al menos una condicin de sujecin adicional a las mnimas
requeridas para que se mantenga en equilibrio estable, es decir, tienen
reacciones sobrantes, cuya eliminacin las convertira tericamente en
isostticas.
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Viga empotrada y apoyada en un rodillo:
Reacciones = 4; Ecuaciones = -3; (Fx, Fy, MA); G.I. = 1
Viga empotrada- empotrada:
Reacciones = 6; Ecuaciones = -3; (Fx, Fy , MA);G.I. = 3
Viga de dos tramos empotrada y apoyada:
Reacciones = 5; Ecuaciones = -3; (Fx, Fy , MA); G.I. = 2
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Columnas
Son elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de
compresin o a compresin y flexin, incluyendo o no torsin o esfuerzos
contantes y con una relacin de longitud a la menor dimensin de la
seccin de tres o ms.
Tipos de columnas
Distinguimos los siguientes tipos de columnas.
Columnas reforzadas longitudinalmente con barras redondas y
transversalmente con estribos o espirales.
Columnas compuestas rodeadas o no por concreto, reforzadas
longitudinalmente con perfiles de acero estructural o concreto
llenando dichos perfiles en ocasiones con barras redondas
longitudinales y algn tipo de refuerzo transversal.
Comportamiento estructural
Segn el uso actual de la columna como elemento de un prtico, no
necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde
la compresin es el principal factor que determina el comportamiento del
elemento.
Es por ello que el pre dimensionado de columnas consiste en
determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresin
que se aplica sobre el elemento as como una flexin que aparece en el
diseo debido a diversos factores. Es importante tener claro que una
columna siempre debe ser continua para que sea estable y resistente.
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Cabe destacar que la resistencia de la columna disminuye debido a
efectos de geometra, lo cuales influyen en el tipo de falla.
El efecto geomtrico de la columna se denomina esbeltez y es un
factor importante, ya que la forma de fallar depende de la esbeltez, para la
columna poco esbelta la falla es por aplastamiento y este tipo se
denomina columna corta.
Los elementos ms esbeltos se denominan columna larga y la falla es
por pandeo.
La columna intermedia es donde la falla es por una combinacin de
aplastamiento y pandeo. Adems, los momentos flectores que forman
parte del diseo de columna disminuyen la resistencia del elemento tipo
columna.
Los factores que influyen en la magnitud de la carga crtica son la
longitud de la columna, las condiciones de los extremos y la seccin
transversal de la columna.
Prticos
Son estructuras cuyo comportamiento est gobernado por la flexin,
estn conformados por la unin rgida de vigas y columnas.
Es una de las formas ms populares en la construccin de estructuras
de concreto reforzado y acero estructural para edificaciones de vivienda
multifamiliar u oficinas; en nuestro medio haba sido tradicional la
construccin en concreto reforzado, pero despus de 1991, con la
apertura econmica se hacen cada vez ms populares las estructuras
aporticadas construidas con perfiles estructurales importados, desde
nuestros pases vecinos: Colombia, Brasil, Ecuador y de otros, tan lejanos
como el Japn o Polonia.
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Para el diseo de los sistemas de prtico es necesario la determinacin
de las fuerzas internas: momento, cortante y fuerza axial; esta
determinacin de las fuerzas internas es lo que se ha llamado
tradicionalmente el anlisis de una estructura.
Para el anlisis de un prtico es necesario hacer algunas
simplificaciones a la estructura real. Un prtico tiene no solo dimensiones
longitudinales, sino transversales, como el ancho y la altura de la seccin
transversal y estos valores influyen en el anlisis de la estructura; sin
embargo la determinacin definitiva de las dimensiones de los elementos
es el objetivo final del denominado diseo estructural.
Este crculo vicioso lo rompe el diseador suponiendo inicialmente
unas dimensiones, de acuerdo al tipo de estructura y a su conocimiento
basado en la experiencia que ha tenido con esas estructuras. Una vez
supuestas unas dimensiones, el anlisis se hace con modelos
matemticos pertinentes, previas algunas simplificaciones.
La simplificacin ms comn, es analizar una estructura de
dimensiones tericas en que los elementos no tienen secciones fsicas,
sino parmetros asociados a ellas como el rea, el momento de inercia.
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El conocimiento de las metodologas para dibujar los diagramas en los
prticos es importante para entender cmo se afecta el diseo no solo por
la magnitud y posicin de las cargas, sino por las variaciones en las
dimensiones de las secciones transversales y se vaya obteniendo criterios
cualitativos y sentido de las magnitudes que permitan usar de modo
seguro la informacin obtenida.
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Conclusin
La respuesta de una estructura frente a acciones exteriores que
perturban su estado inicial, quedar expresada a partir del conocimiento
de las fuerzas que la solicitan en todo punto de su dominio y los
desplazamientos asociados a ellas.
La correspondencia fuerza-desplazamiento es plena, al punto tal
que conocido uno de ellos es posible determinar el otro, y viceversa, esta
ntima relacin ha dado origen a los grandes mtodos del anlisis
estructural, el mtodo de las fuerzas y el mtodo de los desplazamientos.
En el mtodo de las fuerzas las incgnitas son fuerzas. Para su
resolucin se recurre al planteo de la compatibilidad de los
desplazamientos.
En el mtodo de los desplazamientos las incgnitas son
desplazamientos, y se los halla a partir del planteo de la situacin
equilibrada de fuerzas que provoca un estado congruente y compatible de
desplazamientos.
Al abordar la resolucin de un problema por el primero de ellos, el nmero
de vnculos en exceso que tiene la estructura, respecto de los necesarios
para permanecer en equilibrio, es conocido como grado de
indeterminacin esttica.
De resolverlo por el segundo de los mtodos, la indeterminacin es
cinemtica, est vinculada a los desplazamientos independientes de los
nudos de la estructura (traslaciones y rotaciones) y se la conoce como
grados de libertad.
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Bibliografa
Resistencia de materiales 4ta edicion; Andrew Pitel, Ferdinand L
Singer; 1994 1982 Mexico.
Estructuras anlisis y diseo tomo I; Jack McCormac, Rudolf E.
Elling 1994 Mexico.