Diámetro Óptimo Tuberías Fluidos no Newtonianos

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 19998

SELECCIÓN DEL DIÁMETRO ÓPTIMO DE TUBERÍAS PARAFLUIDOS NO NEWTONIANOS VISCOSOS

(TERCERA PARTE)MÉTODO GENERALIZADO. RÉGIMEN LAMINAR

Armando A. Díaz García, Teresa L. Hechavarría GolaUniversidad de Oriente

En este trabajo se presenta un método generalizado para el cálculo del diámetro óptimo de tuberías queconducen fluidos no newtonianos en régimen laminar para sistemas de flujo impulsados por la gravedady por bombeo. Se ejemplifica el método mediante la solución de dos problemas ilustrativos.Palabras claves: optimización, flujo no newtoniano.

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A generalized method for the determination for pipe optimal diameter when the fluid of the system is anon newtonian one is presented in this paper. The regime of work is laminar and the flow is provokedby the gravity or pumps. Two illustrative examples are showed.Key words: optimization, non newtonian flow.

escoger la solución para la cual se obtiene un flujoigual o mayor con la carga disponible.

Nos basaremos, para la explicación del método,en la solución de un problema ilustrativo.

Introducción

Todos los casos de selección de tuberías tratadosen los artículos anteriores han supuesto modelos deflujo sencillos para los cuales es posible deducir unaexpresión general, en función del flujo volumétricoy los parámetro del modelo reológico, con la cual esposible calcular el diámetro óptimo.

En este artículo trataremos el uso de métodos debusqueda directa para el calculo del diámetro ópti-mo de fluidos no newtonianos, cuyo modeloreológico no permite la aplicación del método clá-sico de optimización.

Selección del diámetro óptimo de tuberíapara flujo por gravedad

Supondremos un sistema de flujo como el mos-trado en la figura 1, en el cual se cumplen lassiguientes condiciones:1. El flujo es isotérmico y estacionario.2. El fluido es viscoso y el régimen de flujo es

laminar.3. Las pérdidas por energía cinética y contraccio-

nes y expansiones bruscas son despreciablesante la magnitud de las pérdidas por fricción.

4. La longitud de la tubería para instalar es conoci-da, y el diámetro del conducto es único.El método consiste en evaluar el sistema para

una serie de diámetros supuestamente válidos y

Ejemplo ilustrativo 1

Se desea conducir por gravedad una solución deCMC (de peso molecular medio) al 1,5 % y 1 100kg/m3 de densidad, desde un tanque cuyo nivel delíquido se encuentra a 8 m de altura hasta la descar-ga, a traves de una tubería de 500 m de longitudtotal.

El flujo volumétrico que se debe conducir es de30 L/min.

Se conoce que el modelo reológico viene dadopor el modelo de Ellis:

Fig. 1 Diagrama de flujo del sistema

TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XIX, No. 2, 1999 9

( )ττϕϕγ α 1

10

−⋅+= w

τγττ

τ

dD

v w

w

⋅⋅=

⋅

∫0

2

3

48

( )∫ +⋅+⋅=

⋅ w

dD

v a

w

τ

ττϕτϕτ 0

21

303

48

aww aD

v τϕ

τϕ ⋅+

+⋅=

⋅

38 1

0

80 421 0 065 1,185⋅F

HGIKJ = ⋅ + ⋅

vD w w, ,τ τ

τ τw w

vD

+ ⋅ −⋅F

HGIKJ =0 154 2 37

801,185, ,

85 04 1⋅F

HGIKJ = −v

Ds,

(1)

donde:α=1,185; ϕ0=0,421; ϕ1=0,272γ<>s-1 y τw <>dinas/cm2

Solución

Para resolver un problema de flujo nonewtoniano, debemos conocer la relación del es-

fuerzo cortante en la pared en función de

⋅

Dv8

con

vistas a poder determinar la viscosidad efectiva µa.Aplicando la ecuación de Rabinowitch-Mooney

según la cual:

(2)

Sustituyendo (1) en (2) y arreglando se obtiene:

(3)

Integrando y simplificando queda:

(4)

Sustituyendo en (3) los valores conocidos:

la cual es conveniente expresarla de la forma:

(5)

Suponiendo que un diámetro de D=100 mmgarantiza el flujo deseado:

Af=0,007 85 m2

Q=0,005 m3/s

vQA

m sf

= = 0 064,

Sustituyendo el valor de 8 ⋅F

HGIKJ

vD en la ecuación (5):

(6)

Aplicando el método numérico de Newton-Raphson para la solución de ecuaciones, según elcual:

(7)

(8)

Para los lectores poco familiarizados con estemétodo, recordamos que el mismo consiste en lautilización de la ecuación recursiva (7), en la cualsuponemos una solución y luego se obtiene un valorde solución mejorado de forma sucesiva hasta quese logre la solución con la aproximación deseada.

Suponemos τws=10 dinas/cm2 y sustituyendo en(8) se obtiene:

τwc= 9,71 dinas/cm2

Como no se aproximadamente igual a τwc toma-mos:

τws=9,71 dinas/cm2

y por una nueva iteración, sustituyendo el nuevovalor de τws en (8) se obtiene:

τws = τws= 9,67 dinas/cm2

Por tanto, la solución de la ecuación (5) para el

valor de 8 ⋅F

HGIKJ

vD = 5,04 s-1 es:

τw = 9,67 dinas/cm2

f w w wτ τ τb g = + ⋅ − =0 154 11 94 01,185, ,

f

f

w w w

w w

τ τ τ

τ τ

b g = + ⋅ − =

= + ⋅

0 154 11 94 0

1 0 182

1,185

1,185

, ,

,'

τ ττ

τ

τ ττ τ

τ

wc ws

w

w

wc wsw w

w

f

f= −

= −+ ⋅ −

+ ⋅

b gc h'

, ,,

0 154 11 941 0 182

1,185

1,185


La tubería supesta pudiera resultar mayor que lanecesaria, pues solo se precisa de 1,8 m de carga yse dispone de una carga estática de 8 metros. Se debeprobar, entonces, con un diámetro menor; tomemosuna tubería de 75 mm de diámetro interno. Si éstaresulta mayor que la necesaria seleccionaríamos

y la viscosidad efectiva será:

El número de Reynolds generalizado viene dadopor :

Por un balance de energía mecánica en el sistemase obtiene:

µτ

ew

vD

=⋅F

HGIKJ

= = ⋅8

9 675 04

1 92,,

, P = 0,192 Pa s

Re, ,

,,g

D v=

⋅ ⋅=

⋅ ⋅=

ρµ

0 10 0 064 11000 192

36 7

g H fL v

Dh g⋅ =⋅⋅

2

2

Tabla 1Valores resultantes de los calculos del diámetro óptimo para el ejemplo ilustrativo

D(mm)

Af ·103

(m2) (s-1)τwc

dinas/cm2µe

(Pa·s)Reg fg Hh

(m)100 7,85 5,04 0,97 0,192 36,7 1,74 1,79

75 4,42 11,73 21,85 0,186 48,80 1,31 5,60 50 1,96 40,00 67,95 0,170 80,88 0,79 25,7

8 ⋅FHG

IKJ

vD

De igual manera nos basaremos en la solución deun problema ilustrativo para la explicación delmétodo.

El caso que se trata es el más frecuente: el caudal,la longitud de la linea y demás circunstancias deltransporte se presentan como dato, debiéndose ele-gir el diámetro del conducto y dimensionar losmedios de impulsión del fluido. Siendo así lascosas, la elección de un diámetro determina lavelocidad media del fluido y se puede plantear laecuación de balance de energía mecánica para cal-cular el consumo de potencia necesaria para eltransporte. Debe notarse que las pérdidas de cargadependen sensiblemente del diámetro del conductoy para fluidos viscosos que fluyen, por lo general, enrégimen laminar son inversamente proporcionales ala cuarta potencia del diámetro como se muestra enla ecuación (9):

(9)

una menor hasta obtener la tubería con la cual seobtienen 8 m de carga o más. Los resultados obteni-dos para otros diámetros, siguiendo la meto-dologíade cálculo expuesta, se dan en la tabla 1.

Como se puede observar en la tabla 1, quemuestra los resultados obtenidos en los cálculos dela tuberías seleccionadas, la tubería que cumple losrequerimientos es la de 75 mm, ya que necesita deuna carga estática de 5,80 m para dar el flujorequerido (30 L/min) y la carga disponible es mayor(8 m), de acuerdo con esto la tubería de 75 mm da unflujo mayor. Observe que la tubería de 50 mmrequiere de 25,2 m de carga estática para dar el flujopedido, por lo que evidentemente resulta muy pe-queña. La tubería de 100 mm, sin embargo, resultamuy grande.

Selección del diámetro óptimo de tuberíaspara sistemas de flujo con bombeo

Para la aplicación del método que a continuaciónse expone se hacen las mismas suposisiones quepara el caso anterior.

H fL v

g D

f

H

h g

g

g

h

=⋅

⋅ ⋅

= =

=⋅

⋅ ⋅=

2

2

2

641 74

1 74500 0 0642 9 81 0 81

1 80

Re,

,,

, ,, m

HL Q

g Dfe=

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

1284

µπ ρ


tanque a otro, a través de una línea de tubería de 700m de longitud total. El punto de descarga se encuen-tra 10 m más elevado que el de origen.

Se desea estimar el tamaño óptimo de la líneabasado en el siguiente cuadro de datos:

El flujo volumétrico que se debe conducir es de90 L/min.

Modelo reológico de Ellis.

donde:

a=1,185; j0=0,421; j1=0,272

g<>s-1 y τ<>dinas/cm2

Horas de funcionamiento anual: 6 000 h.Vida útil de la instalación: 12 años.Valor medio de la energía eléctrica durante la vidaútil: 0,90 $/kw-hEficiencia de bombeo: 0,5

Tubería de acero cuyo precio y característicasson:

En el caso de los líquidos, las perdidas de cargasuelen ser el factor relevante a los efectos de laselección del diámetro; en este caso un estudiosomero proporciona dos o tres posibles diámetrosdentro de una serie normalizada de tubería, y elproblema se limita a resolver la estimación técnico-económica entre los costos fijos de la instalación ylos gastos de explotación (mantenimiento y gasto deenergía para el bombeo), debiéndose elegir el diá-metro cuyo costo resulte mínimo.

De cualquier manera, este valor óptimo técnico-económico ha de tomarse como orientativo, y puedeverse modificado por razones estratégicas o de otrotipo. Un aumento en el costo de la energía desplazala selección hacia tamaños superiores de linea. Eneste sentido debe preverse un valor de este costo quesea representativo durante la vida útil de la instala-ción.

Ejemplo ilustrativo 2

Se desea una solución de CMC (de peso molecularmedio) al 1,5 % y 1 100 kg/m3 de densidad, desde un

Solución:Al igual que para el ejemplo tomado para el flujo

por gravedad, es necesario transformar el modeloreológico con vistas a expresar el esfuerzo cortante

en función de 8 ⋅F

HGIKJ

vD .

Sustituyendo el modelo reológico en la ecua-ción de Rabinowitch-Mooney se obtiene la ecua-ción (5):

(10)

Cálculo del costo total para la tubería de 2pulgadas.

D=0,052 m; Af=0,002 165 m2; Q=0,001 50 m3/s

τ τw w

vD

+ ⋅ −⋅F

HGIKJ =0 154 2 37

801,185, ,

Sustituyendo el valor de (8v/D) en (10) se obtie-ne:

Aplicando el método numérico de Newton-Raphson para solucionar la ecuación, sustituyendoen la ecuación (7)

(11)

DN (in) 1 2 3 4 6D (mm) 26,64 52,50 77,93 102,30 154,10

Precio ($/m) 0,70 1,98 3,64 5,60 10,29

γ ϕ ϕ τ τ= + ⋅ −0 1

1ac h

vQA

m s

vD

s

f

= =

⋅FHG

IKJ = −

0 69

8106 1 1

,

,

τ τw w+ ⋅ − =0 154 2515 01,185, ,

τ ττ τ

τwc wsws w

ws

= −+ ⋅ −

+ ⋅0 154 2515

1 0 182

1,185

0

, ,, ,185


El costo de bombeo viene dado por:

(15)

Cálculo de los costos fijos:

(16)

(17)

Suponiendo el costo de mantenimiento igual al40 % del costo de la tubería instalada:

(18)

Sustituyendo en (16)

(19)

(20)

o sea, que si se selecciona una tubería de 2 pulgadas,se produce un costo anual de $ 1 900,70.

Procediendo de igual forma para los otros diá-metros seleccionados, se obtienen los valores mos-trados en la tabla 2.

DN (in) 2 3 4 6CB ($/año) 1 739,0 469,8 291,6 45,9CF ($/año) 161,7 297,3 457,3 840,2CT ($/año) 1 900,7 767,1 748,9 886,1

Tabla 2Valores resultantes de los cálculos del diámetro óptimo para el ejemplo ilustrativo 2

τ wc = −+ ⋅ −

+ ⋅=180

180 0 154 180 2515

1 0 182 1801 794

1,185

0

, ,

,,

,185dinas cm2

µτ

ew

vD

=⋅F

HGIKJ

= = = ⋅8

179 4106 1

1 69 0 169,,

, ,P Pa s

∆∆

Pg h F W

ρ+ ⋅ = − −∑

− = ⋅ +⋅⋅

W g h fL v

Dg1

2

2

Re, ,

,

Re

,

g

e

g

g

g

D v

f

f

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=

=

ρµ

0 059 0 69 11000 169

64

0 274

− = ⋅ +⋅ ⋅⋅

=W kg9 81 100 274 700 0 69

2 0 052976 1

2

,, ,

,, J

Suponemos para comenzar la iteración queτws=180 dinas/cm2

Sustituyendo en (11) se obtiene:

Como el valor calculado no es lo suficientemen-te cercano al supuesto, realizamos una nueva itera-ción, esta vez para τws=1,794 dinas/cm2 que, susti-tuido en (11), no da una variación significativa.

Por tanto:

Por un balance de energía mecánica entre los dospuntos extremos del sistema de flujo:

(12)

P1=P2=1 atm; h 2=0; h 1=10 m

(13)

Sustituyendo los valores conocidos en (13):

La potencia de bombeo puede calcularse por laecuación:

(14)

Pot =⋅ ⋅

=−976 1 10 1100

0 53 221

3,,

W = 3,22 Kw

CB = ⋅ ⋅ =0 09 6 000 3 22 1 739, , $ año

C c t PotB e= ⋅ ⋅

PotW Q

=− ⋅ ⋅b g ρ

η

C K LF f= ⋅

Kc c

Vft mant

U

=+

Kc L

Vft

U

=⋅ ⋅1 4,

Cc L

VFt

U

=⋅ ⋅1 4,

CF =⋅ ⋅

=1 4 1 98 700

12161 7

, ,, $ año

C C CT F B= +

CT = + =1739 161 7 1900 7, , $ año


Evidentemente, de acuerdo con los valores mos-trados en la tabla 2, la tubería de 4 pulgadas dediámetro nominal resulta la más económica segúnlos cálculos.

Análisis de los resultados

El método mostrado es general y puede seraplicado a cualquier tipo de fluifo, newtoniano o no-newtoniano, cualquiera que sea el modelo reológico.

Observe que una vez determinada la viscosidadefectiva, el método es identico al empleado con unfluido newtoniano de viscosidad constante. La dife-rencia estriba en que cada diámetro seleccionadogenera un gradiente de velocidad particular, origi-nado por la velocidad media adquirida por el fluidoal mantenerse constante el flujo volumétrico.

Otro asunto que reviste interés analizar es lasimilitud de los costos anuales en los límites deldiámetro óptimo (para 3 y 5 pulgadas), lo que haceposible tomar decisiones técnicas sin mayores pro-blemas desde el punto de vista económico.

Nomenclatura

Af área de flujo, m2Ct costo de la tubería instalada, $/añoCB costo de bombeo, $/añoCF costos fijos, $/añoCT costos totales, $/añoD diámetro interno de tuberias, mDN diametro nominal, in

F pérdidas por fricción, J/kgf coeficiente de fricción.fg viscosidad newtoniana, Pa.sg aceleración de la gravedad, m/s2Hf carga de fricción, mHh carga estática, mKf costos fijos y de mantenimiento anuales por

unidad de longitud de tuberíaL longitud de tubería, mn' pendiente logarítmica de la gráfica de t vs ?Pot potencia de bombeo, kWQ flujo volumétrico, m3/sReg número de Reynolds generalizadoVutil vida útil de la instalación, añosv velocidad media del fluido en el conducto, m/

sW trabajo de bombeo, J/kgt esfuerzo cortante, Paτw esfuerzo cortante en la pared, Paµe viscosidad efectiva, Pa.s

Bibliografia

Díaz García, A.; García Abreu, D., Manual aplicadode Hidráulica, Santiago de Cuba, Ediciones ISPJAM,1989.Colectivo de autores, Técnicas de conservación ener-gética industrial, t. I, La Habana, Edición Revolucio-naria, 1982.Skelland, A. H. P., Non Newtonian Flow and HeatTransfer, La Habana, Edición Revolucionaria, 1970.Danilina, N.I. y otros, Matemática de cálculo, Mos-cú, Editorial MIR, 1985.

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