El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar frmulas que luego tienen una aplicacin importante en la industria y en la ciencia en general, que es la que definitivamente inspira las innovaciones industriales.

En ingeniera en sistemas, la derivada tiene infinidad de aplicaciones, ya que Esta rama de la Ingeniera va de la mano con todos las dems ramas del conocimiento. La derivada puede tener aplicaciones sobre el diseo de algunos programas que involucren velocidades.

EJERCICIO 1. Se le pide a un Ingeniero de Sistemas crear un programa que permita calcula dos nmeros cuya suma sea 100 y de forma que su producto sea mximo.

x= Primer numeroy= Segundo numerox+ y = 100

Funcin que hay que maximizar

f(x,y) = xySujeto a x + y = 100 y = 100 x

f(x)= x (100 x)f(x)= 100 x - X2

Se calculan los mximos y mnimos relacionados:f(x)= 100- 2x100 2x = 0X = 50Si x = 50Entonces:y = 50

f(x)= -2 < 0(-) = Mximo Relatvo

El primer numero es: x = 50

El segundo numero es:y = 50

Un fabricante vende x artculos por semana a un precio unitario p que depende de x, segn la expresin: p(x)=200 - 0.01x p en $ El costo total de produccion de x articulos es: C(x)= 50x + 20000 $/sem

a) Calcula el nmero de artculos que el fabricante debe producir para obtener maxima ganacia y el correspondiente precio de venta por unidad.b) Supongamos que el estado fija un impuesto de $10 por cada unidad vedendida permaneciendo invariables las otras condicones.Que parte del impuesto debe absover el fabricante y cual debe transmitir al comprador para obtener maxima ganacia?Comprar la gancias antes y despues de establecido el Impuesto

SOLUCION.a) Precio unitario: p(x)= 200 0.01x $ Costo total: C(x)= 50x + 20000 $La ganacia G del fabricante sera:G = I C (Ganacia = Ingreso Costo)El ingreso obtenido por la venta de x articulos por semana se obtiene multiplicando el precio unitario p por el numero de articulos vendidos semanalmente x.I(x)= p.x = 200x 0.01x2 $/semFinalmente entonces: G(x)=(200x 0.01x2) 50x+20000G(x)= 0.01x2 + 50x + 20000 $/sem x > 0

Como puedes observar la funcion ganacia es una simple funcion cuadratica con concavidad negativa. Basta que verifiquemos que el vertice corresponde al maximo de la funcion en el intervalo [0, + ] para lo cual su abcisa debera ser: > 0.

Derivando: = -0.02x + 150

Anulando: x = 7500 unidades / semEn consecuencia para maximizar sus ganacias, el fabricante deber vender 7500 unidades / sem.El precio correspondiente sera:p(7500) = 200- 0,01.(7500) = 125p = 125 $ / unidad

Al establecerse un impuesto de 10 $/unidad tendremos una nueva funcion ganancia G1 tal que G1(x)= 0,01x2 + 150x - 20000 10xG1(x)= 0,01x2 + 140x 20000Repitiendo para esta funcion lo hecho en la parte a) del ejercicio:

= -0.02x + 140

Anulando: x = 7000 unidades / semEl nuevo precio sera:P(7000)= 200 0,01.(7000)= 130P= 130 $ / unidades

El precio de venta ha aumentado $ 5.00 lo que te esta indicando que para obtener maxima ganacia que el fabricante tranmite al comprador la mitad del impuesto, absorviendo el, la otra mitad.Las respectivas ganacias sern:

G(7500)= -0,01 (7500)2 + 150 (7500) - 20000 = 542500 $/sem

G1(7000)= -0,01 (7000)2 + 140 (7000) - 20000 = 540000 $/sem

EJERCICIO 3.El ministerio de transporte Con el fin de determinar la variacion de la velocidad del flujo de vehiculos que ingresan a Sincelejo los dias domingo entre las 17:00 horas y las 22:00 horas, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad del trafico a la entrada de la ciudad en ese lapso esta dada aproximadamente por la expresion:

V(t)= km/h

t=0 a las 17 horasEn que momento entre las 17:00 horas y las 22:00 horas, el transito es mas rapido y en que momento es mas lento?

SOLUCION. t en horas, V en km/h

Estudiaremos la funcion en el intervalo [0,5] de (17 horas a 22 horas) km/h km/hPuntos critico:

Anulando:

Races: t1 = 1 t2 = 4

De acuerdo con los calculos realizados y siendo una funcion de tipo polinomico, podemos afirmar que el maximo absoluto se produce en t = 1 y el minimo absoluto en t = 4

EJERCICIO 4.

El nmero total de bacterias (en miles) presentes en un cultivo despus de t horas viene dado por: N(t) = 2t(t 10)2 + 50

a) Calcula la funcin derivada. b) Durante las 10 primeras horas, en qu instante se alcanza la poblacin mxima y la mnima?

SOLUCION.N(t)= 2 (3t2 40t + 100)N(t) = 0 t = 10/3 t = 10

Maximo relativo: A(10/3, 9350/27)Minimo relativo: B(10, 50)Se comprueban los extremos del intervalo [0,10]F(0)= 50

El minimo se alcanza en los extremos, es decir, en t= 0 y t= 10 con 50000 bacterias.El maximo se alcanza en t= 10/3 con 9350/27 = 346296 bacterias.

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