Diapositivas de Cinemática

CURSO: FISICA IDINAMICA DE UNA PARTÍCULA

I. INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior se estudio el movimiento de

partículas sin tener en cuenta las causas que la producen.

En este capítulo se estudiará el movimiento teniendo en cuenta las causas que la producen, respondiendo a preguntas como ¿qué mecanismo produce el movimiento?; ¿Porqué un cuerpo lanzado sobre una superficie se detiene?, etc.

Por nuestra experiencia se sabe que el movimiento es el resultado de su interacción con otros cuerpos. Para esto se usa el concepto de fuerza

I. INTRODUCCIÓN La cinética básicamente estudia la relación entre las

fuerzas y los cambios que originan en el movimiento de las partículas. Es decir la cinética estudia el movimiento teniendo en cuenta las causas que la producen

II. OBJETIVOS

Estudiar la segunda ley de Newton del movimiento y la ley de Gravitación universal y definir la masa y el peso.

Analizar el movimiento acelerado de una partícula usando las ecuaciones de movimiento con diferentes sistemas de coordenadas.

Investigar el movimiento bajo una fuerza central y aplicarlos a la solución en el espacio mecánico

III. CONCEPTO DE FUERZA

La idea de fuerza está asociada a muchas actividades del quehacer cotidiano. Por ejemplo halar de la cuerda para subir un bloque, golpear la pelota con el bate. Estos ejemplos muestran que la fuerza está asociada a una actividad muscular.


Sin embargo, en la naturaleza existen fuerzas que no producen movimiento macroscópico . Un ejemplo es la fuerza de gravedad que actúa sobre un cuerpo ubicado sobre una mesa, o la fuerza de gravedad sobre un auto en reposo


¿Qué fuerza hace que un cuerpo celeste distante vague libremente por el espacio ?.

Newton dio respuesta a esta inquietud señalando que el cambio en la velocidad es provocado por una fuerza.

Por tanto diremos que la fuerza es la causa capaz de producir un cambio en la velocidad, es decir produce aceleración.

Por otro lado, diremos que si sobre una partícula actúan varias fuerzas el cuerpo se acelerara si la resultante es diferente de cero.

Debe señalarse además que si la fuerza actúa sobre un cuerpo produce deformaciones las mismas que pueden llegar a ser permanentes o no

IV. FUERZAS DE LA NATURALEZA

FUERZAS DE CONTACTO.Aparecen cuando los cuerpos en interacción están en

contacto mecánico directo . Son el resultado de las fuerzas entre las moléculas de

los cuerpos en interacción . Son ejemplos las fuerzas en resorte, cables, etc


FUERZAS DE CONTACTO. En todos los casos, estas fuerzas están distribuidas en

una región. Si el área de contacto es pequeña se dice que la fuerza es concentrada. En caso contario pueden ser linealmente distribuidas o superficialmente distribuidas


FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser:A. Gravitacionales Es la más débil de las cuatro interacciones Se considera despreciable si las partículas en

interacción son electrones, protones, neutrones, etc. Es de gran importancia cuando se analiza cuerpos de

gran masa tales como planetas satélites, estrellas Son de carácter atractivo La ley establece


FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser:A. ELECTROMAGNÉTICAS. Incluyen a las fuerzas eléctricas y magnéticas La fuerza eléctrica es originada por las cargas

eléctricas, siendo de atracción o de repulsión. La fuerza magnética es originada por cargas eléctricas

en movimiento. Son de origen dipolar y también son de atracción y repulsión


FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser:C. LA INTERACCIÓN NUCLEAR FUERTE. Tienen lugar entre partículas fundamentales llamadas

hadrones (protones, neutrones) Es la que mantiene a los protones en el núcleo Son de corto alcance decreciendo rápidamente con la

distancia


FUERZAS DE CUERPO. Pueden ser:D. LA INTERACCIÓN NUCLEAR DÉBIL. también son de corto alcance, Tienen lugar entre electrones y protones Es la responsable de la desintegraciones radioactivas

V. MARCOS DE REFERENCIA

1. MARCO DE REFERENCIA INERCIAL Lugar del espacio que se considera en reposo o con

MRU, en donde en forma real o imaginaria se ubica un observador quien estudiara el movimiento

V. MARCOS DE REFERENCIA

1. MARCO DE REFERENCIA NO INERCIAL Lugar del espacio que tiene un movimiento con

aceleración. Este marco se usa cuando desde tierra que el cuerpo

posee dos aceleraciones . Para estos marcos no se cumplen las leyes de Newton

VI. MOMENTUM LINEAL Es una cantidad vectorial definida como el producto de

la masa por la velocidad. Es una cantidad importante que combina dos

elementos que caracterizan el estado dinámico de una partícula su masa y velocidad.

p mv

VII. CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM LINEAL

Considere dos partículas aisladas sujetas a su interacción mutua como se ve en la figura.

Debido a la interacción sus velocidades cambian

Sus trayectorias son curvas.

El momento del sistema en el instante t es

El momento del sistema en el instante t’ es

1 2 1 1 2 2p p p m v m v

' ' ' '1 2 1 1 2 2p p p m v m v


Cuando el sistema es aislado se cumple

El momento de un sistema de dos partículas sujetas sólo a su interacción mutua permanece constante

Aún cuando este principio ha sido demostrado para dos partículas se cumple para cualquier sistema de partículas

Es decir

' '1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m v m v 1 2 3 ... n

i

p p p p p ctep p cte


Analizando la ecuación de conservación del momento se ve que el cambio de momento de una partícula en un intervalo de tiempo t es igual y opuesto al cambio de momento de la otra.

Es decir una interacción produce un intercambio de momento, o el momento ganado por una es igual al momento perdido por la otra

1 2p p

VIII. MASA INERCIAL8.1 INERCIA.

Resistencia que ofrece un cuerpo a cambiar su estado de reposo o movimiento.

Por ejemplo se requiere mayor esfuerzo para mover un bloque metálico que uno de madera aún cuando ambos tienen la mismas dimensiones. Es decir el cuerpo metálico tiene mayor inercia

8.2 MASA Es una propiedad intrínseca

de la materia que mide su inercia o su resistencia a la aceleración.

Para medirla basta comparar las aceleraciones que produce una fuerza a dos cuerpos diferentes.

Si dicha fuerza produce aceleraciones a cada cuerpo, la razón entre masas es

1 2

2 1

m am a

1 2

2 1

m am a

IX. SEGUNDA LEY DE NEWTON La primera ley de Newton

explica lo que le sucede a un cuerpo cuando su resultante de fuerzas que actúa sobre ella es nula.

La segunda ley de Newton responde a la pregunta ¿qué le sucede a un cuerpo cuando su resultante es diferente de cero

Para determinar dicha ley dividamos al intercambio de momento entre el intervalo de tiempo

Es decir las variaciones temporales respecto del tiempo de l momento de las partículas son iguales en magnitud pero direcciones opuestas

Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero se tiene

1 2

2 1

m am a

1 2p pt t

1 2

0 0

1 2

lim limt t

p pt t

dp dpdt dt

IX. SEGUNDA LEY DE NEWTON Designase al cambio

temporal del momento como fuerza sobre un cuerpo. Se tiene

Esta ecuación establece que “la razón de cambio del momento lineal de una partícula es igual a la fuerza que actúa sobre ella

Teniendo en cuenta que

La fuerza se expresa

Cuando la masa m permanece constante

Es decir la fuerza es igual al producto de la masa por la aceleración siempre y cuando la masa permanezca constante1 2

2 1

m am a

dpFdt

p mv

( )d mvFdt

dvF m madt

X. Fuerza debido a la gravedad La fuerza más común es la

debida a la atracción gravitacional entre la tierra y los cuerpos situados muy cerca de ella.

Esta fuerza se denomina peso W.

Esta fuerza siempre se encuentra dirigida hacia el centro de la tierra. Es decir

Debido a que W depende de g el peso varia según la ubicación geográfica

1 2

2 1

m am a

W mg

XI. TERCERA LEY DE NEWTON La tercera ley de Newton

estableceSi dos cuerpos interactúan mutuamente entre sí, la fuerza que ejerce uno de los cuerpos sobre el otro es igual y opuesta a la fuerza que ejerce el segundo sobre el primero

1 2

2 1

m am a

/ /A B B AF F

XII. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Si una partícula de masa

m interactúa con otras m1, m2,…… mn, aparece un sistema de fuerzas actuando sobre m.

Cuando m es constante

En componentes rectangulares se escribe

1 2

2 1

m am a

F ma

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ[ ]x y x x y zF i F j F k m a i a j a k

x x

y y

z z

F maF ma

F ma

XIII. FUERZAS DE FRICCIÓN

1.NATURALEZA DE LA FRICCIÓN.

La fricción es una fuerza tangente a las superficies de contacto entre cuerpos que tiende a resistir el deslizamiento relativo entre ellos.

Se debe a la interacción molecular de las superficies en contacto.

Algunas veces se llama adhesión o cohesión

• En la figura se observa la vista microscópica de dos superficies en contacto


2. CLASES DE FRICCIÓN. ROZAMIENTO SECO

También llamado de coulomb , aparece cuando las superficies en contacto son secas. Este rozamiento puede ser:(a) Estático. Aparece cuando las superficies en interacción están en reposo relativo.(b) Cinético. Aparece cuando las superficies en interacción están en movimiento relativo.


2.CLASES DE FRICCIÓN.ROZAMIENTO HUMEDO

Se presenta entre capas de fluidos que se mueven a distintas velocidades.Es de importancia cuando se considera el movimiento de fluidos en tubos.También es de importancia cuando se estudia el movimiento de mecanismos lubricados.


2.CLASES DE FRICCIÓN.ROZAMIENTO HUMEDO

También se observa rozamiento fluido cuando un cuerpo sólido de mueve en un fluido.


2.CLASES DE FRICCIÓN.ROZAMIENTO POR

RODADURAAparece cuando los cuerpos en interacción tienen un movimiento relativo de rodadura

• La rueda del tractor gira a la vez que se traslada.

XIV. ROZAMIENTO SECO

Cuando un cuerpo se mueve o tiende a moverse por la aplicación de fuerzas, aparece una fricción estática o cinética.

La fuerza de fricción estática entre cuerpos aumenta en magnitud en la misma forma que lo hace la fuerza externa.

La fuerza de fricción cinética varía con la velocidad.

XIV. ROZAMIENTO SECO• Cuando el bloque se encuentra en

la superficie horizontal actúan su peo W y la reacción normal.

• Al aplica P, en la superficie de contacto aparece una fuerza de fricción estática.

• Conforme P se incrementa la fricción estática también aumenta hasta alcanzar un valor máximo.

• Al seguir aumentando P llega un instante en que comienza a moverse el cuerpo disminuyendo la fricción

m sF N

k kF N

XIV. ROZAMIENTO SECO: Leyes de la fricción

En la tabla se muestran los coeficientes de fricción estática para algunas superficies en contacto

• La máxima fuerza de fricción estática es.

• La fuerza de fricción cinética es.

• La fuerza de fricción estática máxima y la fricción cinética son:

1. Proporcionales a la reacción normal2. Dependen de las condicione de las

superficies en contacto3. Ambas fuerzas son independientes del

área de contacto4. La fricción cinética es independiente de la

velocidad relativa para velocidades moderadas.

m sF N

0.75k k

k s

F N

XIV. ROZAMIENTO SECO: Coeficiente de fricción

Se define como la razón entre la fuerza de fricción y la reacción normal.

Se determinan experimentalmente

Dependen de los materiales de los cuales están hechos las superficies y del estado de las superficies

Se observa que

Los valores de cada uno de los coeficientes de fricción están en el rango

rozFN

s k

0 1s

0 1k

XIV. ROZAMIENTO SECO: Angúlo de fricción

• Cuando un cuerpo está en contacto con una superficie pueden ocurrir cuatro situaciones

No hay fricción Px = 0

No hay movimiento

Px < Fs

Inicio del movimiento

Px =Fmax

Movimiento relativoPx > Fk

8 - 36

ANGULOS DE FRICCIÓN• A veces es conveniente remplazar la fuerza normal N y

la fuerza de fricción por su resultante R

No hay fricción

• Movimiento inminented

No hay movimiento

tan

tan

m ss

s s

F NN N

Movimienton

kk

kkk N

NNF

tan

tan

8 - 37

ANGULOS DE FRICCIÓN• Si el bloque se encuentra en una superficie inclinada

No hay fricción

• Movimiento inminented

No hay movimiento

tan

tan

m ss

s s

F NN N

Movimienton

kk

kkk N

NNF

tan

tan

EJEMPLO 01La caja de 50 kg reposa sobre una superficie horizontal para el cual el coeficiente de fricción cinética es μk = 0.3. Si a la caja se le aplica una fuerza constante de 400 N. Determine la velocidad de la caja después de 3 s

EJEMPLO 02Un proyectil de 10 kg es lanzado verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad uncial de 50 m/s. Determine la máxima altura a la cual llegará si:(a) Se desprecia la resistencia del aire y,(b) la fuerza de rozamiento debido al aire es

2(0,01 )DF v N

EJEMPLO 03El bloque indicado en la figura tiene una masa de 50 kg y se encuentra sometido a la acción de una fuerza variable P = (25t) N. determine la velocidad del bloque 4 s después de la aplicación de P. La velocidad inicial es 1 m/s y el coeficiente de fricción cinética es 0,25

EJEMPLO 04Un collar liso C de 2 kg está unido a un resorte de constante k = 3 N/m y longitud sin deformar de 0,75 m. Si el collar se suelta desde el reposo en A, determine la rapidez del collar cuando este pasa por la posición C distante y = 1 m. desprecie el rozamiento entre el collar y la varilla vertical

EJEMPLO 05El cilindro A de 100 kg es liberado desde el reposo. Despreciando la fricción y el peso de las poleas y cables. Determine la velocidad del cilindro B de 20 kg después de 2 segundos

Ejemplo 06 Los dos bloques mostrados en la figura se encuentran en reposo al principio. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de fricción en éstas, y suponiendo que los componentes de fricción entre ambos bloque y la pendiente son s = 0,25 y k = 0,20. determine: (a) la aceleración de cada bloque, (b) la tensión en el cable

Ejemplo 07 El bloque B de 30 lb está sostenido mediante un bloque A de 55 lb y unido a una cuerda a la cual se aplica una fuerza horizontal de 50 lb, como se muestra en la figura. Sin tomar en cuenta la fricción, determine: (a) la aceleración del bloque A y (b) la aceleración del bloque B relativa a A.

Ejemplo 08• El bloque A pesa 80 lb y el bloque B 16 lb. Los

coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son s = 0,20 y k = 0,15. Si la fuerza horizontal P = 10 lb. Determine: (a) la aceleración del bloque B y (b) la tensión en el cale

Ejemplo 09El bloque B de 10 kg está sostenido por el bloque A de 40 kg el cual se jala hacia arriba sobre el plano inclinado mediante una fuerza constante de 500 N: si se ignora la fricción entre el bloque y la pendiente y el bloque B no resbala sobre el bloque A. Determine el valor mínimo permisible del coeficiente d fricción estática entre bloques.

Ejemplo 10Un bloque A de 25 kg descansa sobre una superficie inclinada y un contrapeso B de 15 kg se une al cable en la forma indicada. Si se ignora la fricción. Determine la aceleración de A y la tensión en el cable inmediatamente después de que el sistema empieza a moverse desde el reposo

Ejemplo 11• Si los coeficientes de fricción estático y cinético entre el

bloque A de 20 kg y el carro B de 100 kg son esencialmente los mismos y de valor 0,50. Determine la aceleración de cada cuerpo si: (a) P = 60 N y (b) P = 40 N

Ejemplo 12• Las correderas A y B están conectadas mediante una barra

rígida liviana de longitud L = 0,5 m y se mueven sin rozamiento por guías horizontales. Para la posición xA = 0,4 m la velocidad de A es vA = 0,9 m/s hacia la derecha. Determine: (a) la aceleración de cada corredera y (b) la fuerza en la barra en ese instante.

Ejemplo 13• El Bloque A de 4 kg mostrado en la figura se conecta al bloque B de

8 kg mediante una cuerda de 1,5 m que pasa por la polea lisa ubicada en C. la ranura horizontal es lisa. Cuando x = 0,8 m la velocidad del bloque B es 1,2 m/s hacia la derecha. Sabiendo que la fuerza P tiene una magnitud de 50 N y es horizontal todo el tiempo, determine: (a) la aceleración del bloque B y (b) la tensión en la cuerda.

Ejemplo 14• Un bloque A de 10 kg de masa descansa

sobre un segundo bloque B de 8 kg de masa. Una fuerza F igual a 100 N empuja el bloque A. El coeficiente de rozamiento entre A y B es de 0,50 y entre B y el terreno de 0,10. ¿Cuál será la velocidad bloque A relativa al bloque B después de 0,1 s si el sistema parte del reposo.

Ejemplo 15• El bloque A tiene una masa de 30 kg tiene una masa

de 30 kg y el bloque B tiene una masa de 15 kg. Los coeficientes de rozamiento entre todas las superficies de contacto son μS = 0,15 y μK = 0,10. Sabiendo que θ = 30º y que el módulo de la fuerza P aplicada al bloque A es 250 N. Halle: (a)La aceleración del cloque A y (b)La Tensión en la cuerda.

Ejemplo 16• Una barra B de 500 kg descansa sobre un

bloque A de 50 kg de masa. Una fuerza F de 10 kN se aplica de repente sobre el bloque A en la posición mostrada. Si el coeficiente de rozamiento cinético para todas las superficies en contacto es de 0,40. ¿Cuál será la velocidad de A cuando éste se haya movido 3 m hacia el extremo de la barra?

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes tangencial y normal• Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva es

más conveniente expresar las ecuaciones de movimiento en componentes normal y tangencial.

• La componente normal siempre está dirigida hacia el centro de curvatura. Mientras que la componente tangencial siempre es tangente a la curva y en la dirección del movimiento.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes tangencial y normal

Debido a que la partícula está restringida a moverse en la curva plana no existe movimiento en la dirección binormal.

Las ecuaciones de movimiento en este caso son:

2t t n n

t n

F ma F ma

dv vF m F mdt

ˆ ˆ ˆ ˆ( )t t n n t t n n

F maFe F e m a e a e

EJEMPLO 01

Una esfera de 2 kg gira en un círculo horizontal a una velocidad constante de 1,5 m/s. Si L = 600 mm, determine: (a) el ángulo θ que forma la cuerda con la vertical

EJEMPLO 02Se proyecta una carretera para que el tráfico circule a 100 km/h. a lo largo de uno de sus tramos, el radio de curvatura es de 270 m. La curva está peraltada según se indica en la figura, de manera que no sea necesario el rozamiento para mantener los automóviles sobre la calzada. Determine: (a) el ángulo de peralta θ que ha de tener la vía y (b) El mínimo coeficiente de rozamiento entre las llantas y el pavimento que impedirá el deslizamiento del auto a esta celeridad si la carretera no está peraltada

EJEMPLO 03Un vehículo de pequeñas dimensiones entra en el punto más alto A de la trayectoria con una velocidad v0 y gana velocidad conforme desciende por ella. Determine la expresión del ángulo β hasta la posición en que el vehículo abandona su trayectoria y se convierte en un proyectil

EJEMPLO 04• Se coloca un pequeño objeto dentro de la cazoleta

cónica, en la posición indicada. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el objeto y la superficie cónica es 0,30. ¿Para que intervalo de velocidades de rotación en torno al eje vertical no se deslizará el objeto?. Considere que los cambios de celeridad son tan pequeños que se puede despreciar la aceleración angular

EJEMPLO 05El disco D de 3 kg está unido al extremo de una cuerda, como se muestra en la figura. El otro extremo de la cuerda está unido a una articulación de rótula localizada en el centro de la plataforma. Si la plataforma está girando a una rapidez muy grande, y el disco se suelta sobre ella desde el reposo. Determine el tiempo que requiere el disco para alcanzar una rapidez lo suficientemente grande como para romper la cuerda. La tensión máxima en la cuerda es 100 N y el coeficiente de rozamiento cinético entre cuerpos es 0,1

EJEMPLO 06• En el instante en que θ = 60°, el centro de gravedad G

del niño está momentáneamente en reposo. Considerando que el niño tiene una masa de 30 kg. Determine: (a) la velocidad del centro de masa del niño cuando θ = 90° (b) ¿Cuál será la tensión en el cable que soporta a la silla y al niño?. Desprecie el tamaño y peso de la silla y el cable

Ejemplo

• Una esfera de masa 3 kg está soportada por una varilla ligera de masa despreciable y un hilo, como se indica. Determine la tensión del hilo: (a) cuando la esfera se halla en la posición mostrada, (b) inmediatamente después de cortar el hilo y (c) cuando la esfera pasa por su posición más baja

Ejemplo• Una esferita de masa 0,5

kg esta montada en el aro de la figura y puede deslizarse libremente (rozamiento nulo) sobre él cuando éste gire. Determine el ángulo θ y la fuerza que el aro ejerce sobre la bola cuando aquel gire en torno a un diámetro vertical con una velcoidad angular constante de 120 rpm

Ejemplo• Un bloque de 5 kg de masa

descansa sobre una superficie cónica lisa que gira en torno a un eje vertical con velocidad angular constante ω. El bloque está unido al eje giratorio mediante un cable, según s indica en la figura. Determine: (a) La tensión del cable cuando el sistema gira a 20 rpm, (b) la velocidad angular, en rpm, cuando sea nula la fuerza entre la superficie cónica y el bloque.

Ejemplo• Una plataforma gira a 2 rad/s.

Un cuerpo C que pesa 450 N descansa sobre la plataforma y está conectado mediante un cordón flexible y ligero con una masa de 225 N de peso, la cual está sujeta de forma que no puede salir afuera de la plataforma. ¿ Para que rango de valores de x permanecerán los bloques C y B estacionarios respecto a la plataforma?. El coeficiente de rozamiento estático para todas las superficies es de 0,40.

Ejemplo• El bloque B de masa m = 0,5

kg se ,mueve por una guía circular lisa contenida en un plano vertical, según se indica en la figura. Cuando el bloque se halla en la posición representada, su rapidez es 2 m/s hacia arriba y a la izquierda. Si la longitud natural del resorte (k = 25 N/m) es 300 mm, determine la aceleración del bloque y la fuerza que sobre el ejerce la superficie de la guía.

Ejemplo• Un automóvil que viaja a

95 km/h se aproxima a una curva de 40 m de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre las ruedas y la carretera es 0,70, halle en cuanto debe reducir la velocidad el conductor para tomar la curva sin peligro si el ángulo de peralte es θ = 10º.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes radial y transversal

• Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva es a veces necesario expresar las ecuaciones de movimiento en componentes radial y transversal (coordenadas polares ).

• La componente radial se dirige a lo largo de la posición, mientras que la componente transversal siempre es perpendicular a la componente radial.

DINAMICA DEL MOVIMIENTO CURVILINEO: Componentes radial y transversal

Las ecuaciones de movimiento en este caso son:

ˆ ˆ ˆ ˆ( )r r r r

F maF e F e m a e a e

2

2

r rF ma m r r

F ma m r r

ECUACIONES DE MOVIMIENTO:COORDENADAS CILÍNDRICAS

Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son descompuestas en coordenadas cilíndricas esto es a lo largo de los vectores unitarios

La ecuación de movimiento se expresa en la forma

Es decir en componentes

• Las aceleraciones son

ˆ ˆ ˆ, r ze e y e

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr r z z r r z z

F maF e F e F e m a e a e a e

r r

z z

F ma

F ma

F ma

2 ,

2 ,r

z

a r r

a r ra z

Ejemplo 01 El miembro OA rota alrededor de un eje horizontal que

pasa por O animado de una velocidad angular constante antihoraria = 3 rad/s. Cuando pasa por la posición θ = 0, se le coloca un pequeño bloque de masa m a una distancia radial r = 450 mm . Si se observa que el bloque resbala para θ = 50°. Determine el coeficiente de rozamiento estático s entre el bloque y OA.

EJEMPLO 02El tubo A gira en torno al eje vertical O a una velocidad angular constante y contiene un pequeño embolo cilíndrico B de masa m, cuya posición radial está limitada por la cuerda que atraviesa libremente el tubo y el eje y está arrollado al tambor de radio b Determine la tensión T en la cuerda y la componente horizontal de la fuerza Fθ de la fuerza ejercida por el tubo sobre el émbolo si la velocidad angular del tambor es o cuyo sentido es primero el correspondiente al caso (a) y luego al caso (b). Desprecie la fricción

SOLUCIÓN• En la figura se muestra el DCL del embolo B, la fuerza que actúan

son su peso W = mg; la tensión en el cable T la fuerza que ejerce la parte inferior del brazo sobre el embolo NC y la fuerza Fθ que ejerce el brazo sobre la parte izquierda del émbolo

• Aplicando las ecuaciones de movimiento se tiene según el sistema de referencia mostrado

2( )

( 2 )

r r

r

F ma

F

T m r r

F m

m

r r

a

SOLUCIÓN• Caso (a)

La velocidad lineal comunicada por el tambor de radio b al hilo es

Las fuerzas son

Caso (b)

0r = +b ,0

0

r y

2

0

y 2

T mrF mb

0con r = +b , 0 0, las fuerzas son

r y

2

0

y 2

T mrF mb

EJEMPLO 03• Un péndulo cónico consiste

en una esfera que pesa 50 N sostenida por un hilo de 1,8 de longitud que gira en torno a un eje vertical con una velocidad angular constante tal que mantenga el hilo formando un ángulo de 30°con la vertical como se indica. Determine:(a) la tensión en el hilo(b) la celeridad lineal de la esfera

Solución- 03• En la figura se ve el DCL y cinético de la esfera. Las

fuerzas que actúan son su peso W = mg y la tensión en el hilo T. Así mismo se muestran el sistema de coordenadas cilíndricas vía las vectores unitarios

Solución- 03• Las ecuaciones de movimiento

en coordenadas cilíndricas es

• Debido a que la esfera describe un circulo de radio constante se tiene

• Por otro lado la esfera gira a velocidad angular constante, entonces

• De igual forma al describir una circunferencia de radio constante la aceleración en la dirección z es nula. Es decir

2

2( ) (1)

0 ( 2 ) (2)

cos (0) (3

(

2

)

)

( )

r r

z z

F ma m r r

F ma

Tsen m r r

m r

m r r

F ma

r

T W m

1,8 3000

r Lsen senrr

0

conte

0za

Solución- 03• Remplazando valores en las

ecuaciones de movimiento se tiene

• Remplazando (4) en (5) se tiene

• La celeridad lineal es

cos 0cos30 5057,34 (4)

T WT NT N

2

2

2

2

5030 (0 0,9 )9,81

0,5 4,587

9,174

( )

(5)

Tsen

T

T

Tsen m r r

257,34 =9,174

2,5 7

N

rad s

(2,5 / )(0,9 )2, 25 /

v r rad s mv m s

EJEMPLO 04• El cilindro C de 2 kg indicado en la

figura tiene una clavija P a través de la ranura en el brazo OA. Si el brazo gira en el plano vertical a una razón constante = 0,5 rad/s determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante en que θ = 60°. Desprecie la fricción y considere que el cilindro ajusta en forma suelta en la ranura recta horizontal G.

SOLUCIÓN EJEMPLO 04• En la figura se muestra el DCL del cilindro. Las fuerzas

que actúan son la fuerza sobre la clavija FP que actúa perpendicularmente a la ranura del brazo, la fuerza normal Nc que es la fuerza ejercida por la pared de la ranura sobre el cilindro y el peso del cilindro W = mg = 19,62N

SOLUCIÓN EJEMPLO 04• Aplicando las ecuaciones

de movimiento según el sistema de referencia se tiene

• Cinemática: De la grafica se observa que

• Derivando

19.62sin sin 2

19.62cos co

;

s 2

;

C r

r

C

r

P

F ma

F

N a

F

ma

N a

0.4 0.4cscsin

r

2

2 2

0.5 / 0.4csc

0 0.4(csc cot )0.2csc cot

0.2( csc cot )( ) cot

0.2csc ( csc )

0.1csc (cot csc )

rad S r

r

r

SOLUCIÓN EJEMPLO 04• Como el brazo gira a velocidad

angular constante, se tiene

• Derivando la posición respecto del tiempo

• Derivando la velocidad respecto del tiempo

0.5 /

0

rad s

0.4csc

0.4(csc cot )0, 4(0,5 / ) csc cot

0,2csc cot

r

rr rad s

r

2

2 2

0.2( csc cot )( )cot

0.2csc ( csc )

0.1csc (cot csc )

r

r

SOLUCIÓN EJEMPLO 04• Teniendo en cuenta que θ = 60°, se tiene

• La aceleración radial y transversal serán

• Remplazando estos valores en la ecuación de movimiento se tiene

0,5 / ; 0rad s

20.462 ; 0.133 / ; 0.192 /r m r m s r m s

2 2 2

2

0.192 0,462(0,5) 0.0770 /

2 0,462(0) 2( 0,133)(0,5) 0.133 /ra r r m s

a r r m s

19.62 219,62 60 60 2(0,077)

16,99 0,866 0,119,

444

5

C r

C

C

C

sen N sen asen N se

N N

nN

19.62cos 60 cos 60 2

0,1769,81 19,44(0,5) 2( 0,133)

P

P

C

P

F N aFF N

MOMENTO ANGULAR_1• Cuando una partícula de

masa m se mueve con una velocidad tendrá momento lineal ( ) ver figura.

• El momento angular es un vector perpendicular a y

• se define como el producto vectorial

• Su magnitud será

OH r x p r x mv

OH mrvsen

p mv v

r p

OH

OH

MOMENTO ANGULAR_2• En general es perpendicular

al plano de y• Si la partícula se mueve en un

plano y O esta en el plano la dirección de permanece constante, es decir el momento angular es perpendicular al plano debido a que r y v están en el plano.

• Para el movimiento circular r y v son perpendiculares y v = r de mod que

• La dirección de L e la misma que de . Entonces

2L mr

OH

r mv

OH

2H mrv mr

MOMENTO ANGULAR_3• Si el movimiento es plano en

general la velocidad se descompone en componentes radial y transversal y el momento angular se escribe

• La magnitud será

• Esta expresión es idéntica al de movimiento circular

ˆ ˆ ( ) ( )

ˆr r r

r n

H r x p m re x v e v e

H mrv e

2 dH mrdt

COMPONETES RECTANGULARES DE L MOMENTO ANGULAR

• Las componentes rectangulares del momento angular son

• Es decir

• Si la partícula se mueve en el plano se tiene

0

ˆˆ ˆ

x y z

i j kH x y z

mv mv mv

( )

( )

( )

x z y

y x z

z y x

H m yv zv

H m zv xv

H m xv xv

0 ( )z y xH H m xv xv

DERIVADA RESPECTO DEL TIEMPO MOMENTO ANGULAR

• Derivando el momento angular respecto del tiempo se tiene

• La razón de cambio del momento angular es igual momento o torque de la fuerza F respecto a O

• Esta ecuación en cinética de Cuerpos Rígidos constituye la ecuación de movimiento de rotación

0

00

( )o

F

dH d rxp dr dpxp rxdt dt dt dt

dHvxp rxF

dtdH Mdt

MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL : Conservación de H

• Si la única fuerza que actúa sobre la partícula es acercándose o alejándose el origen se dice que la fuerza es central. Debido a que la línea de acción de F pasa por el centro se tiene

• Por tanto

• Es decir el momento angular se conserva

0 0M

0 0dHHdt

0H r x mv cte


• Por tanto una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza central experimenta un movimiento en un plano perpendicular a H,

• Debido a que el momento angular es constante entonces se tiene

0 0 0mrvsen mr v sen Esta ecuación es aplicable al movimiento bajo una fuerza central de cualquier partícula. Un ejemplo especial lo es el movimiento planetario en el que cada planeta es sometido a la acción de una central llamada fuerza gravitacional que se encuentra dirigida hacia el sol


• Otra forma de expresar la conservación del momento angular de una partícula

• O bien dividiendo por la masa m y representando por h el momento angular por unidad de masa

• Esta ecuación admite una interpretación geométrica.

• El radio vector OP barre un área infinitesimal

• La velocidad areolar es

• En un movimiento bajo un fuerza central, la velocidad areolar se mantiene constante

•

20

dH mr ctedt

2r h

212

dA r d

212

dA rdt

EJEMPLO Se lanza un satélite en dirección paralela a la

superficie terrestre con una velocidad de 18820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2340 m. Recuerde que el radio de la tierra es 3960 mi

Solución

Ejemplo 02• Un collarín de 300 g puede deslizarse sobre una varilla horizontal que gira

libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un resorte de constante k = 5 N/m, el resorte está sin deformar cuando el collarín se localiza a 750 mm del eje. Cuando el eje gira a =12 rad/s, la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia afuera a lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la varilla determine, para la posición B del collarín : la componente transversal de la velocidad del collarín, (b) las componentes radial y transversal de la aceleración, (c) la aceleración relativa del collarín respecto a la varilla

Ejemplo 02• Debido a que la fricción y la

masa de la barra son despreciables, la única fuerza que actúa es la fuerza elástica. Por tanto se conserva el momento angular

• Cálculo de la fuerza elástica

• Aplicando la segunda ley de Newton se tiene

• Aceleración de B relativa a la barra

2 20 0,15 (12)

0,60,45 /

rvr

v m s

( )(5 / )(0,6 0,75)

0,75

e

e

e

F k deforF N m m

F N

20,75 2,5 /0,30

r r r r

rr

F ma F maFa m sm

0 0

F ma F maFam m

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL• Newton en su ley de gravitación universal afirma que

dos partículas de masa M y m separadas por una distancia r se atraen entre sí con fuerzas F y –F dirigidas a lo largo de la línea que las une como se ve en la figura. Es decir la fuerza puede expresarse

• Donde G es igual a

2ˆr

mMF G er

11 2 26,67.10 /G Nm kg

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL• Su efecto se manifiesta cuando los cuerpos tienen gran masa

como es el caso del movimiento de un planeta alrededor del sol, movimiento de satélites alrededor de la tierra, etc, o de la caída de los cuerpos sobre la superficie terrestre.

• Como la fuerza que la tierra ejerce sobre un cuerpo de masa m en la superficie o cerca de ésta, es el peso W = mg se tiene

• Donde M es la masa de la tierra, R su radio.• Al no ser la tierra completamente esférica g varía con la

altitud y la latitud

2

2

mMW mg Gr

GMgR

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