Diapositivas Vectores Segunda Parte
-
Upload
fabian-ramos -
Category
Documents
-
view
17 -
download
0
description
Transcript of Diapositivas Vectores Segunda Parte
MAGNITUDES MAGNITUDES FÍSICAS.FÍSICAS.
•• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares y sicas escalares y vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.
••EjemplosEjemplos
BibliogBibliog. Sears, F. Sears, Físicaísica universitaria, universitaria,
HewittHewitt, Física , Física conceptualconceptual
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
por su naturaleza
Escalares Escalares
Vectoriales
MuchasMuchas dede laslas leyesleyes dede lala
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
EnEn ocasionesocasioneslaslas relacionesrelacionesSinSin embargoembargo sisi usamosusamosvectoresvectoresparapara representarrepresentar aa laslasmagnitudesmagnitudes físicasfísicas sese requiererequiere
LosLos vectoresvectorespermitenpermiten estaestaeconomíaeconomíadede expresiónexpresión enen numerosasnumerosas leyesleyes dedelala FísicaFísica..MuchasMuchas dede laslas leyesleyes dede lalafísicafísica implicanimplican nono sólosólorelacionesrelaciones algebraicasalgebraicas entreentrecantidadescantidades sinosino tambiéntambiénrelacionesrelaciones geométricasgeométricas..
EnEn ocasionesocasioneslaslas relacionesrelacionesgeométricasgeométricas complicancomplican laslasrelacionesrelaciones algebraicasalgebraicas entreentrelaslas magnitudesmagnitudes físicasfísicas..
magnitudesmagnitudes físicasfísicas sese requiererequiereentoncesentonces dede ununnumeronumero menormenor dedeecuacionesecuaciones matemáticasmatemáticas paraparaexpresarexpresar laslas relacionesrelaciones entreentre laslasmagnitudesmagnitudes..
lala FísicaFísica..
AA vecesveces lala formaforma vectorialvectorial dede unauna leyleyfísicafísica nosnos permitepermite verver relacionesrelaciones oosimetríassimetrías queque dede otrootro modomodo estaríanestaríanveladasveladas porpor ecuacionesecuaciones algebraicasalgebraicasengorrosasengorrosas..
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
Vectoriales
Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad
Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección
y su sentido
Magnitudes Magnitudes físicasfísicas
Masa, densidad, temperatura, energía,
trabajo, etc
Escalares
físicasfísicas
Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc.
Vectoriales
SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del Bases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico
Se le asocia Se le asocia
x(t)x(t)
y(t)y(t)
z(t)z(t)
•• ObservadorObservador
•• Sistema de Sistema de CoordenadasCoordenadas
y
x
z
•• RelojReloj
Movimiento planoMovimiento plano
Coordenadas Cartesianas
y (m)
orde
nada
(x,y)
x (m)O
origenabcisa
orde
nada
Q (-2,2)
P (8,3)
Coordenadas Polares
(r,θθθθ)
Movimiento planoMovimiento plano
O
origen
θ
Relacion entre (x,y) y (r,θθθθ)
y (m)
orde
nada
(x,y)
r
x (m)O
origenabcisa
θ
θcosrx =θrseny =
θtan=x
y22 yxr +=
VectoresVectores
A
y
z
θ
ϕAp
ϕ
y
Notación A
Módulo A > 0
Dirección ϕθ,
x ϕx
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores A
r
Br
Cr
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo
Cr
CBArrr
==
Suma de Suma de VectoresVectores
BA C
C
BA
R
C
Ley del polígono
El vector resultante es aquel que vector que va
desde el origen del primer desde el origen del primer vector hasta el extremo del
ultimo
Ar
Br
Cr
Entonces si se tiene los siguientes vectores
C
Dr El vector resultante
de la suma de todos ellos será:
Ar
Br
Cr
Rr
Dr
DCBARrrrrr
+++=
Rr
Propiedades Propiedades de Vectoresde Vectores
A
Opuesto-A
µµ= ˆAA
rr
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario A
Ar
r
=µ
Propiedades Propiedades de la suma de de la suma de
VectoresVectores
Ley Conmutativa
ABBAR +=+=
Ley AsociativaDiferencia
C)BA)CBARrrrrrrr
++=++= ((B-ARrrr
=
)B(-ARrrr
+=A
B A-B
R
Ley conmutativa
B
A
B
(Método paralelogramo)
B
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser desplazadosparalelamente para
encontrar el vector suma
B
Multiplicación de un vector por un escalar
Dado dos vectores ByArr
Se dicen que son paralelos si BArr
α=
BAsirr
↑↑> 0αBAsirr
↑↓< 0αBAsirr
==1α
Ar
Br
ABrr
21=
B
Ar
Br
ABrr
41−=
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores
A BA B
C
A B
CR = 2
Vectores unitarios en el plano
ˆj
y
ijx
i Vector unitario en la dirección del eje x+
j Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
z
k
xy
ij
Representación Representación de un vectorde un vector
y
z
θ
ϕ
A
Ax
Ay
Az
x
ϕ
θsenAAx ϕcos=θsenAsenAy ϕ=
θcosAAz =222zyx AAAAA ++==
r
kAjAiAA zyx
rrrr++=
Observaciones:
Las componentes rectangulares deun vector dependen del sistemacoordenadoelegido.coordenadoelegido.
La magnitud del vector no cambia.Permanece invariante en cualquiersistema coordenado
Determínese la resultante de los siguientes vectores
+Ar4u 3u
BrB
BARrrr
+=7u
+
Ar
Br
8u 4u = 4u+8u 4u =
BARrrr
+=
4u
Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
Ar
Br
BARrrr
+=
La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla
BARrrr
+=
Ar
Br
yAr
xAr yB
r3u
xA
xBr
4u
6u
yAr
xAr
yBr
4u
3u
xBr
6u
yx AAArrv
+=
yx BBBrrr
+=
yy BArr
+xx BArr
+10u
5u
yyxx BABARvrrrr
+++=
Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante
uR 55510 22 =+=
yAr
xAr
xBr
yBr
Cr
xCryC
r
xDr
yDr
xRr
yRr
15 u5 u
yyyyy DCBARrrrrr
+++=
xxxxx DCBARrrrrr
+++=yx RRRrrr
+=105R =
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
Ar
xy
Dados los puntosindicados el vector quelos une estarepresentado por
z(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
Ar
xy
k)z(zj)y(yi)x(xA 121212ˆˆˆ −+−+−=
r
Producto Producto escalar de dos escalar de dos
vectoresvectoresθABBA cos=⋅
rr
Proyección de A sobre B
cosθAAB =
cosθBBA =
Proyección de B sobre A
1ˆˆ =⋅ ii1ˆˆ =⋅ jj
0ˆˆ =⋅ ji
0ˆˆ =⋅ kj
0ˆˆ =⋅ ki
1ˆˆ =⋅ kk
xAiA =⋅ ˆr
yAjA =⋅ ˆr
zAkA =⋅ ˆr
ZZYYXX BABABABA ++=⋅rr
Producto Producto vectorial de dos vectorial de dos
vectoresvectores BACrrr
×=θABC sen=
0iir
=× 0ˆˆr
=× jj0iir
=× 0ˆˆ =× jj
0ˆˆr
=×kk
kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×
jik ˆˆˆ =×
)kBjBiB()kAjAiA(BAC zyxzyx ++×++=×=rrr
YZZYX BABAC −=
BABAC −=
Demostrar:
zxxzy BABAC −=
xyyxz BABAC −=
Determinese la suma de los siguientes vectores:Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ ++=r
kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=r
kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=r
Ejemplo 2:
5m
Determine la suma de los vectores indicados
z
8m
10m
Ar
Br
Cr
x
y
Ejemplo 9
Dados los vectores:
k3j5i4B
k5j3i3A
−+=−+=
r
r
Determine :a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambose) el ángulo que forman entre sí.