DIBUJO TECNICO 2º BACHILLERATO

DIBUJO TÉCNICO2º Bachillerato

Rafael CirizaRoberto GalarragaMª Angeles García

José Antonio Oriozabala

erein

Diseño de portada:Iturri

Diseño y maquetación:IPAR

Dibujos:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala

© Texto:Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles García, José Antonio Oriozabala

© EREIN 2005. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia

ISBN: 84-9746-124-X

D.L.:

Imprime:Grafman S.A. Gallarta (Bizkaia)

Dibujo técnico2º Bachillerato

Rafael CirizaRoberto GalarragaMª Angeles García

José Antonio Oriozabala

EREIN

ÍNDICE

1.- Nociones de geometría proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Elementos fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Formas geométricas fundamentales. Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Transformaciones geométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Producto de transformaciones. Transformación involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Congruencia. Igualdad e isomería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Relaciones de incidencia o determinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Relaciones de ordenación y separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Operaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Perspectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Proyectividad entre formas de primera categoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.- Homología, afinidad homológica y homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Homología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Afinidad homológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.- Potencia e inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Potencia de un punto respecto de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Centro radical de tres circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.- Tangencias como aplicación de los conceptos de potencia e inversión. . . . . . . . . . . . 34Resolución de tangencias aplicando el concepto de potencia. . . . . . . . . . . . . . . 34Resolución de tangencias aplicando el concepto de inversión . . . . . . . . . . . . . . 36

5.- Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Curvas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.- Métodos del sistema diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Vistas auxiliares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Verdadera magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Posiciones favorables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Abatimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Giros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.- Paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Paralelismo. Condiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Perpendicularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.- Intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Recta con recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Recta con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Plano con plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.- Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Distancia entre dos puntos. Verdadera magnitud de un segmento . . . . . . . . . . . 95Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Distancia entre dos rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5

Mínima distancia entre rectas que se cruzan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Distancia entre planos paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.- Sólidos, superficies y sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Clasificación de las superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Representación de sólidos limitados por superficies radiadas . . . . . . . . . . . . . 105Representación de superficies de revolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107Sombras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.- Secciones y desarrollos de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Secciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Desarrollos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

12.- Sistema axonométrico ortogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Tipos de perspectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Paralelismo y perpendicularidad entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Intersecciones entre rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

13.- Representación de cuerpos poliédricos y de revolución enaxonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Figuras planas sobre las caras del triedro trirrectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Trazado de los ejes en la perspectiva isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Secciones generadas por planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

14.- Sombras en la axonometría ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

15.- Sistema axonométrico oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Fundamentos. Ángulos y coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Representación del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Representación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Representación del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Puntos y rectas sobre el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Paralelismo, perpendicularidad, intersecciones, secciones y sombras . . . . . . . . 171Cuerpos prismáticos, piramidales, cilíndricos y cónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Verdaderas magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

16.- Sistema cónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Tipos de perspectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

6

17.- Procedimientos de trazado en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Procedimiento Directo o de las Visuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Características fundamentales de la Perspectiva Cónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Procedimiento de los Puntos de Fuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Trazado de figuras poligonales planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Escala de anchuras para segmentos paralelos a la línea de tierra . . . . . . . . . . 186Escala de alturas para segmentos perpendiculares al plano geometral . . . . . . . 187Escala de profundidades para segmentos perpendiculares al planodel cuadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188Procedimiento de los Puntos de Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Escala de profundidades para segmentos horizontales oblicuos al planodel cuadro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Procedimiento de los Puntos Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Influencia de diferentes parámetros en la perspectiva cónica . . . . . . . . . . . . . 198Planos inclinados y rectas límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Trazado de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

18.- Sombras en el sistema cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Luz natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209Luz artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

19.- Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Principios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Clasificación de cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Acotación de piezas según sus formas y dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Normas de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

20.- Acabados superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Diferentes errores superficiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Medición de la rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Indicación de acabados superficiales en los planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236Acabados superficiales recomendados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

21.- Tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Tolerancias dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Tolerancias geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

22.- Representación normalizada de elementos mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Elementos de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257Rodamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Ruedas dentadas y engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Muelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

7

9

Cualquier figura geométrica está formada por un conjunto de elementosfundamentales, ligados entre si por una serie de relaciones, denomina-das propiedades geométricas. Entre las propiedades geométricas con-viene destacar las métricas y las gráficas.

Las propiedades métricas cuyo estudio corresponde a la GeometríaMétrica, se refieren al concepto de medida y las propiedades gráficas,en las cuales no interviene el concepto de medida se refieren a la posi-ción relativa de puntos, rectas y planos dando su estudio origen a laGeometría Proyectiva.

Los elementos que componen figuras espaciales pueden deducirse unoa partir de otros, pero siempre algunos de ellos han de definirse comofundamentales. Los elementos fundamentales de la Geometría son elpunto, la recta y el plano. Estos elementos fundamentales, tienen en laGeometría Proyectiva un concepto más amplio que en la GeometríaMétrica, ya que aquellos reciben ahora los nombres particulares de pun-tos, rectas y planos propios al admitir la existencia de los llamados ele-mentos impropios o del infinito.

Llamaremos punto impropio o del infinito a la dirección de una recta ydiremos, por tanto, que todas las rectas paralelas tienen común su puntoimpropio.

El conjunto de los puntos impropios de un plano recibe el nombre derecta impropia o del infinito, y es el elemento común al conjunto de pla-nos paralelos al primero.

El conjunto de las rectas impropias del espacio recibe el nombre deplano impropio o del infinito, que contiene también, por tanto, a todoslos puntos impropios del espacio.

1.Nociones de geometriaproyectiva

Dibujo técnico

Elementosfundamentales

Formas geométricasfundamentales.Clasificación

Se llama forma geométrica fundamental al conjunto continuo de infini-tos elementos fundamentales (puntos, rectas, planos) que cumplendeterminadas condiciones de pertenencia respecto a otros elementosfundamentales.

Atendiendo a los elementos geométricos fundamentales, las formas geo-métricas se clasifican en tres grupos:

Son las constituidas por elementos de dos especie solamente (puntos yrectas, o rectas y planos). Las formas fundamentales de este grupo son:

Son las constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rec-tas, o planos). Tres son las formas fundamentales de primera categoría:

Serie rectilínea, constituida por los infinitos puntos de una recta. Adicha recta se le denomina base de la serie. Fig 1

10

Formasfundamentales deprimera categoría

A

B

C

D

r

Haz de rectas también llamado haz de rayos y radiación plana, consti-tuida por las infinitas rectas de un plano que pasan por un punto V dedicho plano. El plano que las contiene se llama base del haz, y el puntocomún V, vértice o centro de l haz. Fig 2

fig. 1

r V

s

m

n

p

q

fig. 2

Haz de planos, constituida por los infinitos planos que pasan por unarecta denominada arista del haz. Fig 3

β

r

γ

α

λ

fig. 3

Formasfundamentales desegunda categoría

11

1. Nociones de geometria proyectiva

a

m

n

q

A

BC

D

β

n

q

m

V

α

λ

fig. 4

fig. 5

Es el conjunto de los infinitos puntos, rectas y planos del espacio.Formasfundamentales detercera categoría

Trasformacionesgeométricas

El concepto de transformación equivale a los de operación, relación,correspondencia, etc. En toda transformación, a cada punto A de unaforma f , le corresponde uno A´ y solo uno, de f´ y recíprocamente. Sontransformaciones geométricas entre otras, la traslación (fig 6), el giro(fig 7), las simetrías central y axial (figs 8 y 9).

A

B

C

A’

C’

B’

fig. 6

La forma plana: es elconjunto de todos los pun-tos y rectas que constitu-yen un plano. Fig 4

La radiación. Es el con-junto de las infinitas rectasy planos que pasan por unpunto V, llamado vértice ocentro de radiación. Fig 5

B’

C’

A’

O

B

C

a

A

C’

B’

A’

O

C

B

A

fig. 8

B

C

A

a

B’

C’

A’

fig. 9

fig. 7

Se dice que dos figuras rígidas son congruentes si al superponersemediante un movimiento coinciden.

Dos figuras congruentes son iguales pero dos figuras iguales pueden noser congruentes si no existe ningún movimiento en el plano o en elespacio que las haga coincidir.

La simetría axial es un ejemplo de figuras iguales pero no congruentesen el plano. Otro tanto ocurre con las manos. Son iguales pero no soncongruentes. Teniendo en cuenta la palma y el revés de la mano, noexiste ningún movimiento que las haga coincidir.

Si en una transformación las distancias entre puntos homólogos se man-tiene, es decir se verifica la igualdad de segmentos AB=A´B´ la trans-formación se llama isomería. Si además conserva el sentido, se llamaisomería acorde y si no discorde.

Definiciones:

• La transformación de una forma f en otra f´, en la que a cada ele-mento A de f le corresponde uno A´de f´, se llama univoca. Si tam-bién se verifica que cada elemento A´de f´ es el transformado de unosolo A de f, se llama biunívoca. La transformación de f´en f se llamainversa o reciproca y los puntos, rectas , etc., de f y f´ que se corres-ponden, homólogos. La traslación, el giro, la simetría son transforma-ciones biunívocas.

• Si una forma se transforma en ella misma y si los elementos transfor-mados tienen el mismo sentido u orientación que los primitivos, latransformación se llama acorde. Si tiene distinto sentido u orientaciónque los primitivos se llama discorde. La traslación, el giro y la sime-tría central son transformaciones acordes. La simetría axial, discorde.

• El elemento que coincide con su transformado se llama doble. En lasimetría central, el punto O es punto doble y en la simetría axial sondobles los puntos del eje e.

• Si todos los puntos son dobles se dice que la transformación es unaidentidad. El giro de 360º es una identidad.

12


Producto detransformaciones.Transformacióninvolutiva

Si por medio de una transformación de elementos homólogos A y A´una forma f se convierte en otra f´ y si por medio de una segunda trans-formación geométrica de elementos homólogos A´ y A´´, f´ se convier-te en otra f´´, la transformación de elementos homólogos A y A´´ queconvierte f en f´´ se llama producto de ambas transformaciones.

Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene unafigura idéntica a la primera, la transformación producto se llama invo-lutiva. En la simetría central de la figura 10 al aplicar dos simetrías res-pecto del centro O, en la primera, el punto A se convierte en A´ y en lasegunda el punto A´se convierte en A´´ coincidente con A por lo quees involutiva.

A

A’’

1

O A’

2

fig. 10

Congruencia. Igualdade isomería

13

Relaciones deincidencia odeterminación

La palabra incidencia es sinónima de pertenencia o determinación.Diremos que dos elementos de distinto nombre se pertenecen cuandoel primero está sobre el segundo, o el segundo pasa por el primero. Porejemplo, decir que una recta pertenece a un plano significa que la rectaestá en el plano o que el plano contiene o pasa por la recta.

Las relaciones de incidencia son las siguientes:

• Dos puntos distintos determinan una recta que contiene a ambos.• Dos rectas distintas determinan un punto que pertenece a ambas.• Dos planos distintos determinan una recta que pertenece a ambos.• Tres puntos no pertenecientes a una misma recta, determinan unplano que contiene a los tres puntos.

• Tres planos no pertenecientes al mismo haz determinan un punto quepertenece a los tres planos.

• Un punto y una recta que no se pertenezcan determinan un planoque contiene a ambos.

• Un plano y una recta que no se pertenezcan determinan un puntoque pertenece a ambos.

Relaciones deordenacióny separación

La definición de punto impropio por la cual una recta AB tiene un solopunto impropio I∞, nos hace concebir a la recta como una línea (curvade radio infinito) cerrada por su punto del infinito, de tal modo que,dado un punto A en ella, se pueda recorrer íntegramente pasando porel punto impropio y volver a A de nuevo. Esta es la llamada disposiciónnatural o circular de los puntos en la recta proyectiva.

En la figura 11, se puede comprobar que fijado un punto A y un senti-do como origen, queda determinada la ordenación de cualquier par depuntos M y N de la recta. En el sentido de la flecha M precede a N ó Nsigue a M.

Si cortamos la recta por dos puntos A y B, figura 12 , aparecen en ellados segmentos: el segmento finito de extremos A y B, y el segmentoinfinito de extremos también A y B. El primero solo contiene puntospropios y el segundo contiene puntos propios y el impropio de la recta.Para diferenciar los dos segmentos, será necesario marcar un tercerpunto en cada segmento; así en la figura 13, el segmento ACB (ó BCA)es el segmento finito y el ADB (ó BDA) el infinito. Uno cualquiera deellos se llama complementario del otro.

Por último, si los elementos C y D están respectivamente, en los dossegmentos complementarios, figura 13, se dice que los pares AB y CDse separan, y si C y D estuvieran en el mismo segmento, se dice enton-ces que los dos pares no se separan.

A B

M

N

I•

fig. 11

A B

I• I•

fig. 12

I• I•A C B D

fig. 13

14

V

V

M

N

a b c

fig. 15 fig. 16

Sección por un plano λλ• Cortar una recta s por un plano es hallar la intersección I también lla-mada traza de s con λ. Fig 17

• Cortar un plano α por otro λ es hallar la intersección o traza i de αcon λ. Fig 18

• Cortar una figura formada por planos y rectas, por un plano λ eshallar las trazas de dichas rectas y planos con λ formando lo que sedenomina una sección. Fig 19

I

s

a

fig. 17

i

l

a

fig. 18

a

b

c

A

B

λ

α

β

n

m

γ

fig. 19

Operaciones proyectivas

Las operaciones fundamentales de la geometría proyectiva son proyec-tar desde un punto o una recta y cortar por una recta o un plano.

Proyección desde un punto V

• Proyectar un punto A desde V es trazar la recta VA llamada recta pro-yectante. Fig 14

• Proyectar una recta s desde V es trazar el plano α determinado por Vy s llamado plano proyectante. Fig 15

• Proyectar una figura formada por puntos y rectas desde V es trazar lasrectas y planos Que determina V con los puntos y rectas de la figura.La radiación formada se llama proyección o perspectiva de la figura.Fig 16

V

A

fig. 14

15

Proyección desde una recta r

• Proyectar un punto A desde r es trazar el plano α determinado por ry A. Es el mismo caso que la fig. 15

• Proyectar una recta a desde otra r, coplanaria con ella, es trazar elplano α que determinan. Fig 20

• Proyectar desde r una figura formada por los puntos A, B y C es tra-zar los planos α, β y γ, determinados por r y cada uno de los puntosde la figura. Fig 21

r

a

a A

B

C

β

r

α

γ

fig. 20 fig. 21

• Cortar un plano α por una recta s, es hallar la intersección o traza Ientre ambas. Fig 17

• Cortar una recta a por otra s coplanaria con ella es hallar la intersec-ción I de ambas. Fig 22.

Sección por una recta s

a

s

I

s

A

B

C

α

β

γ

fig. 22

fig. 23

PerspectividadSe dice que dos formas son perspectivas, o que están relacionadas pers-pectivamente, cuando una es sección de la otra o cuando las dos sonproyección o sección de una forma de primera categoría y existe un ele-mento común a ambas.

• Cortar una figura formadapor planos, por una recta s eshallar las intersecciones otrazas de s con cada uno delos planos. Fig 23

Para terminar podemos decirque proyectar una figura sobreun plano es lo mismo que cor-tar la proyección por dichoplano.

Perspectividad entreuna forma y su seccióno proyección

• Si cortamos un haz de rectas a, b, c...por otra recta m que no pase por V,la serie rectilínea A,B, C... de base mque se forma como sección, es pers-pectiva con el haz de rectas. Fig 24B

C

D

A

V

m

d

c

ba

fig. 24

16


• Dos series rectilíneas de base m y n, figura 28, son perspectivas porser secciones del haz de rectas que pasan por V, siendo V el centroperspectivo de las series.

• Si cortamos un haz de planos de arista r por dos planos α y β que pasanpor un mismo punto de la arista, figura 29, las dos secciones resultantesde ambos planos son dos haces de rectas perspectivos. La arista r delhaz de planos se llama eje perspectivo de los haces de rectas.

m

n

V

fig. 28

α

β

r

V

fig. 29

V

A

BC

D

E

a

b cd

e

fig. 26

V

α

β

γ

r

a

b

c

π

fig. 27

• Si seccionamos un un haz de planos de arista r con otra recta m nocoplanaria con r, la serie rectilínea A, B, C... que se forma como sec-ción es perspectiva con el haz de planos. Fig. 25

• Si cortamos un haz de rectas a, b, c... por un plano π que no pase porV, el conjunto de puntos A, B, C... sección del haz de rectas, es pers-pectiva con ésta. Fig. 26

• Si cortamos una radiación de planos α, β, γ... por un plano π, el con-junto de rectas a, b, c... sección de la radiación de planos, es pers-pectiva con ésta. Ver Fig. 19

• Si cortamos el haz de planos α, β, γ... de arista r por un plano π, elhaz de rectas que pasa por V que se forma como sección, es pers-pectiva con el haz de planos. Fig. 27

B

m

α

γ

r

β

A

C

fig. 25

Perspectividad entresecciones de la mismaforma

• Dos haces de rectas de vértices V y V´, de una misma serie rectilineaA, B, C, D de base r, figura 30, son perspectivos por ser proyeccionesde la serie r. La base de la serie se llama eje perspectivo de los haces.

• Dos haces de planos, proyecciones de un mismo haz de rectas a, b,c, d, desde dos rectas distintas m y n que pasan por el vértice V delhaz de rectas, figura 31, son perspectivos por ser proyecciones del hazde rectas. El plano del haz se llama plano central perspectivo.

17

Perspectividad entre proyecciones de la misma forma

De entre las definiciones sobre proyectividad, la Chasles, la Staudt y lade Poncelet, todas ellas equivalentes, nos quedamos con la de Ponceletpor ser la más sencilla de interpretar: “Dos formas de primera categoríason proyectivas si pueden obtenerse una de otra por medio de unacadena finita de proyecciones y secciones”.

En el ejemplo de la figura 32, dadala serie rectilínea A, B , C y D debase m y la recta r, proyectandodesde r, se obtiene el haz de pla-nos α, β, γ y δ de arista r.Cortando este haz de planos porotro plano π, se obtiene el haz derectas a, b, c y d de vértice V.Cortando este haz de rectas conuna recta n obtenemos la serierectilínea A´, B´, C´ y D´. Estoshaces y series, y los obtenidos deellos por proyección y sección,son proyectivos entre si.

Según la especie de los elementos que se correspondan, la proyectividadse clasifica en:

• Homografía: Si los elementos homólogos son de la misma especie:punto y punto; recta y recta ó plano y plano.

• Correlación: Si son de distinta especie: Punto y recta, punto y plano...

Proyectividad entre formas de primera categoría

Clasificación de la proyectividad

V

V’

A B C D r

d

c

b

a

m

n

V

fig. 30

fig. 31

AB

CD

A’ B’ C’ D’

a

b c

d

n

m

r

β

α

γ

δ

π

V

fig. 32

18

La homología en el espacio es la correspondencia existente entre dosfiguras resultantes de seccionar un haz de rectas por dos planos noparalelos.

2.Homología, afinidad homológicay homotecia

Dibujo técnico

Homología

β

3

α

r1s1

B1

C1A’

V

B’

S’ r’

C’ 1

A1

2

Eje de homología

fig. 1

En la figura 1 observamos que las tres rectas que parten delpunto V son seccionadas por los planos α y β obteniéndoseunos puntos de corte, de forma que a cada punto A1 le corres-ponde otro homólogo A’, a cada recta r1 otra homóloga r’, y acada figura S1 otra homóloga S’.

Los elementos que intervienen en una homología son:

– El centro de homología: punto V de donde parten el haz derectas.

– El eje de homología: recta intersección entre los dos planos.

Por otro lado, diremos que tres puntos A1 B1 C1 son homólogosde A’ B’ C’ cuando cumplan las siguientes condiciones:

– Estar en línea recta, con el centro de homología punto V.

– Que las rectas homólogas, por ejemplo A1 B1 y A’ B’, se cor-ten en puntos del eje de homología.

Esta última condición nos lleva a definir el eje de homologíacomo el lugar geométrico de los puntos dobles, es decir, de lospuntos que son homólogos de sí mismos.

V

M1

T'

K'

N1

α

β

α'

β'

ML

M’L’

fig. 2

Rectas límitesSe llama recta límite al lugar geométrico de los puntos homó-logos de los puntos del infinito.

Como sabemos, si dos rectas sonparalelas, o un plano y una rectason paralelos, estos se cortan enel infinito. Pues bien, si en la figu-ra 2 trazamos rectas paralelas alplano α por el punto V en dife-rentes direcciones, significa quedichas rectas se cortarán con α enel infinito según esas direcciones.Sin embargo, estas mismas rectascortan al plano β en los puntosM1, N1… formando una recta. Estarecta es la llamada recta límite RL.El punto M1 tendrá su homólogoM’ sobre el plano α en el infinito

19

2. Homología, afinidad homológica y homotecia

M’L’C1

A1

B1

V

V

T

A

CB

A'

C'

B'

1

2

3

Z

α

β

ω

ML

ML

fig. 3

V

KZ

M N

A

B

C

Z

21

M'N'

A'

C'

B'

Z' K'

fig. 4

V

d

d

ML

Homologia-ardatza

M’L’

fig. 5

ML ≡ M’L’

dd

V

Homologia-ardatza

fig. 6

según la dirección VM1, al igual que todos lospuntos que conforman esta recta límite.

De igual manera hallaremos la recta límite R’L’.Por V se trazan paralelas al plano β y los pun-tos de corte con el plano α formarán la R’L’. Así,diremos que el homólogo del punto K’ pertene-ciente al plano α estará en el infinito sobre elplano β. Según la dirección VK’.

En la figura 3 podemos observar cómo se reali-za el paso de la homología espacial a la plana.

Para ello se abate el plano β sobre el plano αgirándolo sobre el propio eje de homología obte-niendo A, B, C y RL. Para abatir el punto V setraza por dicho punto un plano ω perpendiculara los plano α y β obteniéndose el punto T inter-sección del plano ω con R’L’. Haciendo centroen T y con radio TV hallamos V sobre el planoα. En la misma figura podemos ver que lasdirecciones de las rectas A’B’ y VZ son parale-las.

En la figura 4 tenemos la homología dibujada enel plano y podemos observar que las rectaslímites son paralelas al eje de homología.Además, las distancias de las rectas limites R’L’ yRL al eje de homología y al centro de homologíarespectivamente son iguales.

Puede darse el caso de que las dos rectas límitessean exteriores a la parte del plano comprendidoentre V y el eje, tal como indica la figura 5.

También puede ocurrir que las dos rectas lími-tes se confundan, es decir, coincidan, tal comoindica la figura 6. La homología se llama enton-ces homología involutiva.

Una homología queda definida conociendo los elementos siguientes:

1.El centro, el eje, y dos puntos homólogos.

2.El centro, el eje, y la recta límite de la figura homóloga que se busca.

20

B

AC

D

A'

V

fig. 7

Formas de definiruna homología

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Dados los datos de la figura 7 halla el polígono homólogo al dado.

Solución:Para hallar el homólogo del punto B, por ejemplo, unimos B con A y alargamos hasta cortar al ejede homología en el punto 1. El homólo-go 1’ del punto 1 es el mismo punto porpertenecer al eje. Unimos 1’ con A’ y Vcon B. Estas dos rectas se cortarán en B’homólogo de B. Repitiendo esta opera-ción obtendremos los demás puntos.

Para obtener las rectas límites tomare-mos un punto situado en el infinitosegún una dirección cualquiera; porejemplo el punto Z’ del infinito situadosobre la recta A’B’. Si este punto Z’ delinfinito está sobre la recta A’B’ su homó-logo estará sobre la recta AB. Trazandopor V una recta paralela a la recta A’B’,ésta se cortará con la recta AB en elpunto Z perteneciente a la recta límiteRL.

Una vez hallado Z, y sabiendo la pro-piedad que tienen las rectas límites deequidistancia respecto al centro dehomología, y eje de homología y deparalelismo respecto del eje de homolo-gía, trazaremos RL y R’L’.

C'

V

C

4321

D'

A'

B'

D

A

B

≡ 1'

Z'

Z ML

M’L’

B

V

1

A

D

C

D’

C’A’

B’

r

r’

2 ≡ 2’4 ≡ 4’ 3 ≡ 3’ Homologia-ardatza

ML

B

AC

D

V

ML

Homologia-ardatza

2. Dados los datos de la figura 8 halla el polígono homólogo al dado.

21


Casos particularesDependiendo de que el centro dehomología y el eje de homologíasean propios o impropios, es decir,que sean conocidos o estén en elinfinito, obtendremos casos parti-culares de homología.

En la figura 9 vemos que el centrode homología está en el infinito.En este caso obtenemos una afini-dad homológica.

En la figura 10 observamos que eleje de homología está en el infinitopor ser los dos planos paralelos,obteniéndose una homotecia.

fig. 8

a

b

V

C

3

2

1A'

C'

B'

A

B

Afinitate-ardatza

fig. 9

Solución:Para hallar por ejemplo el homólo-go del punto B, se traza una rectacualquiera que pase por B, porsencillez cogemos la recta BC, lacual corta en 1 a la RL y en 2 al eje.La recta homóloga de la 1-2, rectar, deberá pasar por el punto 2’ yser paralela a la V1 recta r’. Elpunto de corte entre la recta r’ y larecta VB nos dará B’ homólogo deB. Para hallar los demás puntosprocederemos como en el ejercicioanterior.

22


Ya en la figura 11 tenemos que tanto el eje como el centro de homolo-gía están en el infinito, obteniéndose una traslación.

En la relación K = A0A /A0A’ = B0B / B0B’ = C0C /C0C’,a la constante K se le denomina razón de afinidad.

Si las figuras afines están una a cada lado del eje deafinidad la razón de afinidad será negativa, K < 0(figs. 12 y 13). Si las dos figuras están al mismo ladodel eje de afinidad la razón de afinidad será positiva,K>0. (fig. 14)

a

b

V

B

A

C

B'

A'

C'

fig. 10

V

a

b

A'

C'

B'

A

B

C

fig. 11

Afinidad homológicaYa hemos visto que la afinidad es un caso particular de la homología,y la consecuencia de que el centro de homología sea impropio es quelas rectas que unen puntos homólogos sean paralelas. A la dirección deéstas se le denomina dirección de afinidad, pudiendo ser ésta oblicuaal eje de afinidad (fig. 12) o perpendicular al mismo (fig. 13). Las rec-tas límites serán impropias, es decir, estarán en el infinito.

B

A

C

2CoBoAo

3 1

C'

A'

B'

K < 0

B

A

C

32

CoBoAo

1

A'

C'

B'

K < 0

fig. 12 fig. 13

A

C

B

K > 0

A'

B'

C'

Ao Bo Co

1 2 3

fig. 14

23



1. Dados los datos de la figura 15 halla el polígono afín al dado.

1 3 4

D'

C'

B'

2

B

C

A

D

A'

B

C

A

D

A'

fig. 15

Solución:En la figura se puede observar cómo obtenemos los puntos afines del polígono dado, de formasimilar a como lo hacíamos en una homología normal.

2. Dados los datos de la figura 16 y sabiendo que la razón de afinidad es K = -1 halla el polígono afín al dado.

E D

C

B

A

d

E D

C

B

A

41 2 3Ao

E' D'

A' C'

B'

fig. 16

Solución:Aplicando la definición de la razón de afinidad, tenemos:

K = AA0 /A’A0 -1 = AA0 /A’A0 A’A0 = -AA0

El signo menos (–) indica que las figuras afines están una a cada lado del eje de afinidad. Si nos fijamosen el resultado del ejercicio comprobaremos que las dos figuras son simétricas respecto del eje de afinidad.Por tanto, podemos decir que la simetría axial es un caso particular de la afinidad homológica.

HomoteciaLa homotecia también es un caso particular de la homología. En estarelación geométrica el eje de homología es impropio y como conse-cuencia de ello no existen rectas límites.

En la figura 17 el homólogo del triángulo ABC es el triángulo A’B’C’,y se cumple que OA’/OA = OB’/OB = OC’/OC = K, siendo K la razónde homotecia. Si ésta es positiva, K > 0, los puntos homólogos están aun mismo lado del centro de homotecia (fig. 17), y si es negativa, K <0, los puntos homólogos están a distinto lado del centro de homotecia.(fig. 18)

24


En toda homotecia se cumple que:

1. Las rectas homólogas que no pasan por el centro son paralelas.

2. Los segmentos homólogos son paralelos y proporcionales.

3. Los ángulos homólogos son iguales.

B'A

A'

B

C'

C

O

K > O

B

C

AO

K < O

B'

A'

C'

En la figura 19 tenemos dos circunferencias homotéticas. Se cumple que:

fig. 17 fig. 18

R/r = OC’/OC = K

También:

R = r · K OC’ = K · OC

A

O C

TB

B'

T'

A'

C'

D

D'

r

R

fig. 19


OC’ = K · OC = 2,5 · 25 = 62,5 mm

R = K · r = 2,5 · 10 = 25 mm

O

10

C

25

62,5

25

C'

fig. 20

1. Dado el centro de homotecia O, la razón de homote-cia K = 2,5 y una circunferencia de centro C y radio10 mm, calcula su homotética sabiendo que OC =25 mm.

En la figura 20 se observa que la homotética es otracircunferencia de centro C’ situada en la recta OCtal que:

25


2. Dados los datos de la figura 21 y la razón de homotecia K = –1 halla el homotético del polígono dado ABDC.

C

DA

B

O

C'

B'

D'A'

fig. 21

En el ejercicio resuelto podemos observar quela homotecia así definida es una simetría central.

EJERCICIOS

1. Halla el homólogo del punto B en la homología definida en la siguiente figura.

B

V

A

A'

3. Halla las figuras afines de las dadas.

B

V

P

P'

A D

C B

V

A

C

B

A

C

A'

B

B'

P

A

D C

2. Halla las figuras homólogas de las dadas.

26


4. Halla la figura homotética del polígono dado, siendo el centro de homotecia el punto 0 y la razón de homotecia K= 1/3.

G

H F

C

D

EA

B

O

O

A

B

C

K

5. Halla la figura homotética del triángulo ABC siendo O el centro de homotecia y K = 2 la razón dehomotecia.

DIBUJO TECNICO 2º BACHILLERATO

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