DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO - IES Nou...

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Departamento de Artes Plásticas y Dibujo DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO TEMA 5. CURVAS TÉCNICAS Y CURVAS CÓNICAS.

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Departamento de Artes Plásticasy Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 5. CURVAS TÉCNICASY CURVAS CÓNICAS.

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TEMA 5. CURVAS.

1º BACH.

Curvas técnicas

2º BACH.

Óvalo y ovoide

Curvas cíclicas: cicloide, epicicloide, hipocicloide.

Definir y diferenciar las diferentes curvas cíclicas: cicloide, epicicloide e hipocicloide.

Evolvente de la circunferencia.

Lemniscata de Bernoulli.

Lemniscata de Geromo.

Rectas tangentes a una elipse:

Recta tangente en un punto de la elipse.

Rectas tangentes desde un punto exterior.

Rectas tangentes paralelas a una dirección.

Intersección de recta con elipse.

Rectas tangentes a una hipérbola:

Recta tangente en un punto de la hipérbola.

Recta tangente desde un punto exterior.

Rectas tangentes paralelas a una dirección.

Intersección de recta e hipérbola.

Rectas tangentes a una parábola.

Recta tangente en un punto de la parábola.

Rectas tangentes desde un punto exterior.

Rectas tangentes paralelas a una dirección.

Intersección de recta y parábola.

Volutas y Espirales

La superficie cónica

Origen de las curvas cónicas

Elipse

Hipérbola

Parábola

Tangentes a las cónicas.

Curvas cónicas

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Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

ÓVALO

Las curvas técnicas, óvalo, ovoide, espirales, evolventes, etc., se pueden construir con trazados regulares como con arcos de circunferencias ycon los enlaces en cada unión de cada curva. Para construir una curva técnica como un óvalo, un ovoide o una voluta hay que hallar los centros de los arcos a trazar y los puntos de tangenciade los enlaces.

Los están formados a partir de circunferencias tangentes entre sí. Son formas muy utilizadas en el diseño industrial y arqui-tectónico, dada la sencillez de su trazado.

El es una curva cerrada que tiene dos ejes de simetría axial. Sus ejes son perpendiculares y se cortan en un punto medio.Los son curvas cerradas que tienen dos ejes perpendiculares, pero no se cortan en un punto medio. Son simétricos en un solo eje.Tanto para óvalos como para ovoides utilizamos cuatro curvas tangentes entre sí.

Las son otro tipo de curvas. La espiral está generada por un polígono o circunferencia que va girando progresivamentehasta el infinito. Cada vuelta de 360º determina un de espiral o una

Una es una curva generada por arcos de circunferencia o a mano alzada, cuyos centros están en las divisiones de la circunferencia y el arco es trazado hasta la recta tangente a ese centro.

Las y son construcciones basadas en enlaces de tangencias tanto interiores como exteriores. Son , etc.muy utilizados en arquitectura a lo largo de la historia.

Las son curvas generadas por un punto situado en una circunferencia al girar sobre una recta o sobre otra circunferencia, sin resbalar, realizando un recorrido igual a la longitud de la circunferencia. Las cicloides son:

óvalos y los ovoides

óvalo ovoides

espirales y las volutas

evolvente

molduras arcos Toros, escocias, vasos

curvas cíclicascicloide, epicicloide e hipocicloide.

paso espira.

ÓVALO INSCRITO EN UN ROMBO 60º OVOIDE

B A

C

VOLUTA 3 PUNTOS

CURVAS TÉCNICAS

ESPIRAL ÁUREA

12

3

4

57

8A

B

C

D

E

F

EVOLVENTE DE UNA CIRCUNFERENCIA

MOLDURAS ARCOS

CICLOIDE

HÉLICE CÓNICA

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Construcción de un óvalo inscrito en un rombo.

Se dibujan las mediatrices de los lados del rombo. Las intersecciones de dichas mediatrices son los centros O1 y O2. Estos centros estarán siempre en el eje mayor del rombo. O4 y O5 son los vértices A y C del rombo. (figura 1). Cuando el rombo tiene dos ángulos de 60º, tenemosun caso particular ya que las mediatrices de los lados coinciden con las medianas y los vértices del rombo. Se utiliza para simular las elipsesen las construcciones de perspectivas en la isométrica.

C

O5

BD O1 O2

O4

A

(figura 1)

(figura 2)

D

(figura 2)

B

A

C O4

O5

T

T T

T

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaÓVALOS Y OVOIDES.

2º BACHILLERATO

Los óvalos.Los óvalos son formas que recuerdan a las elipses. Se construyen trazando cuatro arcos iguales dos a dos. Los óvalos son simétricos según susdos ejes perpendiculares, eje mayor y eje menor. Los centros de los arcos también serán simétricos.

MN eje mayor es el segmento del óvalo.1. Se divide el segmento MN en tres partes iguales obteniendo los puntos O1 y O2.2. Con centro en O1 Y O2 se trazan las circunferencias de radios O1M y O2N.3. Los puntos de intersección de estas dos circunferencias, O3 y O4, serán los centrosde los otros dos arcos del óvalo. Unir, como siempre en tangencias, los centros delos arcos para marcar los puntos de tangencia.

Construcción de un óvalo conociendo el EJE MAYOR.

O1 O2M N

O3

O4

PQ eje menor es el segmento del óvalo.1. Se dibuja una circunferencia de diámetro PQ y se traza el diámetro perpendiculares t.2. Se une P, que es igual a O1, con O3 que es el punto que se obtiene cuando secorta la circunferencia antes dibujada con el eje mayor, perpendicular a PQ.3. Se actua de igual manera con Q que será O2 y O4.4. Con centro en en estos puntos se trazan los cuatro arcos que forman el óvalo: entro en O1 y radio O1O2. Etc.

Construcción de un óvalo conociendo el EJE MENOR. O1

O2

O3O4

P

Q

O

Las diagonales del rombo coinciden con los ejes del óvalo.1. Se dibuja un arco con centro en O y radio igual a la mitad del eje mayor OA.Este arco corta a la prolongación del eje menor en M.2. Se traza un arco con centro en D y radio DM que corte al lado del rombo AD en P.3. Se dibuja la mediatriz del segmento AP. Esta mediatriz corta al eje mayor en O1 yal eje menor en O2. 4. Los simétricos de O1 y O2 con respecto a los ejes serán O3 y O4.5. Faltaría unir, como en todas estas curvas, los centros de los arcos para acotarlos puntos de tangencia. O1 con O4 y O3 con O2.

Construcción de un óvalo circunscrito a un rombo.(construcción de un óvalo conociendo los dos ejes).

B

A

D

O

M

C

P

O1

O2

O3

O4

T T

TT

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaÓVALOS Y OVOIDES.

2º BACHILLERATO

Los ovoides.El ovoide es una curva plana, cerrada formada por cuatro arcos de circunferencia: uno de ellos es una semicircunferencia y dos de ellos sonsimétricos. El ovoide tiene un eje un eje, llamado eje mayor, y un diámetro llamado también eje menor. El ovoide es simétrico unicamente sobresu eje mayor.

MN eje mayor es el segmento del ovoide.1. Se divide el segmento MN en seis partes iguales. (teorema de thales). Se numeran y se llama a número 2 como O1 y al número 5 O2.2. Con centro en O1 y radio O1N se dibuja un arco que corte a la prolongacióndel eje menor (diámetro de la circunferencia O1M) en los centros O3 y O4.3. Se unen los centros O3 y O4 con O2.4. Se dibujan los arcos correspondientes.

Construcción de un ovoide conociendo el EJE MAYOR.

AB es el segmento diámetro del ovoide y eje menor.1. Se dibuja la circunferencia de centro O1, centro del segmento AB, y radio O1A.2. Los puntos A y B serán los centros de los arcos O3 y O4.3. Se traza una perpendicular por el centro de AB, que será el eje mayor.4. Donde la perpendicular corte a la circunferencia será O2.5. Se unen los centros O3 y O4 con O2 para delimitar los arcos con los puntosde tangencia.6. Se trazan los arcos de centros O1, O2, O3 y O4.

Construcción de un ovoide conociendo el diámetro o EJE MENOR. B

O1

M

N

1

2

3

4

5

6

O2

O4 O3

A

O1O2

O3

O4

MN es el eje mayor y AB el diámetro.1. Se dibuja la circunferencia de diámetro AB y cuyo centro es O1.2. Se traza por el punto O1 la recta perpendicular a AB, que corta a la semicir-cunferencia en M.3. Sobre la perpendicular anterior y a partir del punto M se lleva el eje mayor MN.4. A partir de los puntos A, B y N se llevan hacia el interior los segmentos AP, BQy NR, iguales al radio del arco menor del ovoide O2N, que se elige arbitrariamente. 5. Se hallan las mediatrices de los segmentos Po2 y Qo2 que cortan a la prolongación del diámentro AB en los puntos O3 y O4.

Construcción de un ovoide conociendo el diámetro y el eje mayor.

N

A BM N

O3

O4

B

Q

A

P

O1M

R

O2

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaÓVALOS Y OVOIDES.

2º BACHILLERATO

Espirales.- La espiral es una línea curva que se da vueltas alrededor de un punto. Pueden ser infinitas tanto hacia el interior como hacia el exterior.Se llama “paso” a la distancia radial que existe entre dos vueltas consecutivas.- Las “Volutas” no son espirales propiamente dicho aunque lo parezcan. Son curvas formadas por arcos de circunferencia, cuyos radios se vanampliando o reduciendo. Los centros de los arcos pueden ser desde dos hasta cualquier nº de vértices que tenga un polígono regular.- La evolvente del círculo es una curva que se genera por rectas tangentes a una circunferencia.- Las hélices son curvas que se generan por un punto que se mueve sobre una superficie de revolución.

- Voluta de dos centros (espiral de Honnecourt). Está formada por circunferencias tangentesentre sí con centros en dos puntos dados: 1. Se dibuja una recta y en ella se colocan los dos centros.2.Se dibuja una semicircunferencia con centro en O1 y radio O1O2.3. Con centro en O2 se dibuja otra circunferencia tangente a la primera. ( centro O2 y radioO2M). Así sucesivamente.

Construcción de volutas de varios centros.

O1 O2

- Voluta de tres centros (centros en los vértices de un triángulo). 1. Se dibuja el polígono regular. En este caso un triángulo. Si nos dan el paso, éste sería dela siguiente manera: medida del lado del triángulo = 1/3 del paso, luego medida del paso /3.2. Se prolongan los lados de manera que no se corten las prolongaciones.3. Desde el vértice A y con radio AC se dibuja un arco de medida el ángulo del lado y la prolongación.4. Desde B y enlazando con el arco anterior se dibuja un segundo arco hasta que corte a laprolongación del vértice B.5. Desde C y enlazando donde corte el arco anterior se dibuja otro arco. Continuar así tantasveces como sea necesario.Se pueden dibujar volutas con las prolongaciones de cualquier polígono regular

B A

C

Es la consecuencia del desplazamiento de un punto con un movimiento angular regular conrespecto a otro punto fijo central.1. Sea el paso de la espiral OM.2. Se divide la circunferencia en tantas partes como vamos a dividir OM. En nuestro caso en 12partes iguales.3. Se trazan las circunferencias concéntricas con centro en en punto O y radios O1, O2, O3, ...Así nos darán los puntos A, B, C, etc.4. Se unen a mano alzada o con plantilla los punto anteriores, que configurarán la espiral.

Construcción de la Espiral de Arquímedes.

BA

C

o M

Está basada en la construcción del rectángulo áureo, está formada por arcos de circunferenciatangentes entre sí que cumplen que r/r´= f.Para construirla dibujaremos un rectángulo de oro y en él la sucesión de divisiones áureas enforma de cuadrados y rectángulos áureos. Trazaremos los arcos áureos como se indica enla figura.

Construcción de la Espiral áurea.

12

3

4

6

57

8A

B

C

D

E

F

1. Se dibuja la circunferencia. 2. Se divide en un número igual de partes (8 en el ejemplo)3. Por cada división se dibujan tangentes. 4. El primer arco 1A. Esta distancia es la rectifica-ción del arco 1-8. 5.- En la tangente desde 2 se pone la distancia - rectificación de 1-8 dos veces o bien se rectifica el arco 2-8. Se realiza la misma operación con todos los puntos.Los puntos obtenidos A, B, C, D, etc. se unen a mano alzada o con plantilla.Se puede hacer una variante con arcos de circunferencia desde 1, 2, 3, 4, etc. y radios 1A,2B, 3C, 4D, etc.

Construcción de la evolvente de la circunferencia conociendo el radio.

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CURVAS CÓNICAS.

Si el plano secante es perpendicular al eje del cono la sección generada es una CIRCUNFERENCIA

EJE

PLANO SECANTE

Si el plano secante se inclina de manera que corte aleje de forma oblicua y corta también a TODAS lasgeneratrices obtendremos una ELIPSE.

EJE

PLANO SECANTE

PLANO SECANTE

Si el plano secante es oblicuo al eje yparalelo a una generatriz la secciónserá una PARÁBOLA

EJE

PLANO SECANTE

Si el plano secante es paralelo al eje y corta alas dos directrices, la curva tendrá dos ramasy será una HIPÉRBOLA

CIRCUNFERENCIA ELIPSE

PARÁBOLA HIPÉRBOLA

Las curvas cónicas son el resultado de seccionar un CONO con un PLANO. Excepto la , todas las demás,

, etc., se construyen a mano alzada uniendo puntos que se hallan con diferentes procedimientos según la curva.En el diseño de objetos tridimensionales, para construir curvas en isométrica por ejemplo, las circunferencias se proyectan en elipses.

Elipse como ejemplo.. En la elipse AB = 2a y CD = 2b

son los puntos extremos de los ejes de la curva puntos fijos situados sobre el eje AB, como F y F´. La distancia entre ellos es de 2c. el punto O. Es el centro de simetría de la curva.

Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la cónica. Con centro en O y radio igual a la mitad del eje mayor, a.

Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las rectas tangentes a la cónica.

circunferencia elipse, parábola,hipérbola

ELEMENTOS DE UNA CÓNICA:

Ejes de simetríaVértices:Focos:Centro:Circunferencia Principal:

Circunferencia focal:

: superficie que surge por el movimiento de una línea recta llamada que apoyandose en un punto, conocido como, recorre una línea curva cerrada llamada . Tiene dos ramas simétricas respecto a un que pasa por los vértices.

Superficie cónica generatrizvértice directriz eje

A B

C

D

P

A B

C

D

P

F F´a

b

circunferencia focalcircunferencia principal

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Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

elipses

Una elipse es un curva plana cerrada, lugar geométrico de los puntos del plano cuyasuma de distancias a dos puntos, los focos, es constante e igual al eje mayor AB.

. AB = 2a y CD = 2b. Perpendiculares. Se cortan en el centro O.La elipse es simétrica con respecto a los dos ejes.

son los puntos extremos de los ejes de la curva puntos fijos situados sobre el eje AB, como F y F´. La distancia entre ellos

se llama distancia focal. son las rectas que unen un punto P cualquiera de la elipse con

los focos. La suma de los dos radio vectores es el eje mayor AB. el punto O. Es el centro de simetría de la curva.

Es el lugar geométrico de las proyecciones de los focossobre las rectas tangentes a la cónica. Con centro en O y radio igual a la mitad deleje mayor, a.

Es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro focorespecto de las rectas tangentes a la cónica. Es la circunferencia de r=AB y centroF y F´ respectivamente.

Ejes de simetría

Vértices:Focos:

Los radios vectores

Centro:Circunferencia Principal:

Circunferencia focal:

A B

C

D

P

A B

C

D

P

F F´a

b

circunferencia focal

circunferencia principal

O

radios vectores

parábola Una parábola es una curva plana abierta, lugar geométrico de todos los puntos del planoque equidistan de uno fijo, el foco y una recta, la directriz.

. la parábola tiene un eje de simetría que coincide con el eje. (V) Es el punto extremo del eje de la curva. El otro extremo de la curva y por lo

tanto su otro vértice estarán en el infinito. El vértice es un punto de la parábolapor lo que la distancia de la directriz al vértice será la misma que del vértice al foco.(El vértice está en el centro entre el foco y la directriz y a su vez el foco estará al doblede distancia entre la directriz y el vértice)

Es un punto fijo y está en el eje. (F) El otro foco estará en el infinito. son las rectas que unen un punto P cualquiera de la curva con

el foco. La distancia de un punto cualquiera de la curva a la directriz es la misma que del punto al foco, por lo que los radios vectores serán de igual medida.

Al tener un vértice en el infinito, la circunferencia principal tendrásu centro en el infinito y será una recta tangente que pasa por el vértice.

Al tener también un radio infinito se convierte en una recta quecoincide con la

Ejes de simetríaVértices:

Foco:Los radios vectores

Circunferencia Principal:

Circunferencia focal:directriz.

P

circunferencia focal

radios vectores

Fv 1 2 3

DIRECTRIZ

vértice

eje

hipérbola La hipérbola es una curva plana y abierta, lugar geométrico de todos los puntos del planocuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos F y F´, es constante y esigual al eje principal AB, distancia entre los vértices V y V´.

. Tiene dos eje, el eje mayor y el eje imaginario. Son perpendicularesentre sí y se cortan en el punto O. La hipérbola es simétrica con respecto a los dos ejes.

será la distancia entre los dos vértices o extremos de la curva A y B. La distan-cia de A al centro O es . El eje real será

F y F´. Están situados en el eje mayor. son las rectas que unen un punto cualquiera de la curva con los dos focos.

Centro en O y diámetro ABTiene dos circunferencia focales. Es la circunferencia de radio

AB y centro en cada uno de los focos.Son rectas que pasan por el centro de la curva y son tangentes a esta en

el infinito. Son simétricas respecto de los ejes AB y CD.

Ejes de simetría

El eje reala 2a.

Focos:Radios vectores:Circunferencia Principal:Circunferencia focal:

Asíntotas.

F´ AB

C

D

OF

1 2

circunferencia focal

circunferencia principal

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1.- Hallar el resto del eje OB y el eje menor CD dadosun foco F y AO=AB/2

Curvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

La distancia entre un foco F y un punto de la recta C más la distancia entre C y el otro foco F´ es igual al eje mayor.(FC+F´C = ABPor lo tanto dibujaremos la ½ del eje que falta OB simé-trico de OA. También dibujaremos el simétrico de F enOB = F´.Por O trazaremos una perpendicular a AB.Después cogiendo con el compás la distancia AO lallevamos desde F dibujando un arco hasta que corte ala recta perpendicular a AB que pasa por O en C y en D,el eje menor.

2.- Hallar los focos de la ELIPSE dado los ejes.

A

B

C

D

El punto C y el D son puntos de la curva por lo tantocumplirán que FC + FD = ABPor lo tanto para hallar los focos dados los dos ejessolamente tenemos que coger la medida de AB/2igual a AO y ponerla a partir de C o de D medianteun arco de circunferencia. Donde corte el arco aleje será F y F´.

3.- Construir la elipse conociendo sus ejes. Por puntos

A B

C

D

F F´

Una de tantas formas de trazar una elipse es mediantepuntos teniendo en cuenta la definición de elipse:la suma de los segmentos a un punto de la curva desdelos focos es igual al eje principal = FP+F´P = ABPara construir la curva primero hallaremos los focos F y F´cogiendo como en el ejercicio anterior la distancia AO yllevándola desde C sobre el eje. Una vez hallados los Focos, dividiremos el eje AB enpartes aleatorias, en este caso 3. Cuantas más divisioneshagamos más puntos tendremos para dibujar la curva a mano alzada o con plantillas.Se coge la medida A1 y se lleva con el compás desdelos focos F y también desde F´ dibujando arcos de circunferencia con radio A1. Seguidamente se coge lamedida B1 se procede de la misma manera: arcos decircunferencia de radio B1 desde F y desde F´. Dondecorten los arcos de radio A1 desde F y B1 desde F´tendremos un punto de la curva 1´ y también los simétricos

1O

2 3

A B

C

D

4.- Construir la elipse conociendo sus ejes. Por afinidad

Dibujar la circunferencia de radio AO y la circunferencia deradio CODibujar radios aleatorios, ya sabéis, cuantos más mejor.Cuando los radios corten a la circunferencia OA en M y a lacircunferencia OC en N, dibujamos verticales (paralelas a CD)desde M y horizontales (paralelas a AB) desde N. Donde cortenestas rectas tendremos el punto 1 perteneciente a la elipse.De esta forma haremos con el resto de radios dibujados.Uniremos los puntos a mano alzada o con plantilla.

O

M

N1

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Curvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

Hay diferentes métodos para dibujar la tangente:Unir mediante las rectas r y t el punto P con los focos F y F´que hallaremos previamente mediante un arco de radio AO desde C.Dibujar la bisectriz del ángulo obtenido cuando se cortan r y ten el punto P.Segundo método: dibujamos la circunferencia focal: desde F´ ycon radio AB.Dibujamos una recta t desde F´ que pase por P y que corte a lacircunferencia focal en M.Unimos M con F y dibujamos la mediatriz de este segmento.

A B

C

D

5.- Hallar la recta tangente a la elipse por el punto P dado.

P

A B

C

D

P

F F´

M

O

r

t

A B

C

D

P

6.- Hallar las rectas tangente a la elipse por el punto Pdado exterior.

F F´M

N

Desde el punto exterior P dibujaremos una circunferenciade radio PF hasta que corte en la circunferencia focal(acordaros radio = AB desde F´) en los puntos M y N.Unimos N con F y trazamos la mediatriz del segmentoNF.Si unimos F´con N nos dará el punto de tangencia, locual también podemos aprovechar para dibujar latangente de P a T.Al unir F´con M obtendremos el punto de tangencia T´de la otra recta tangente.

T

1.- Dado el eje, el foco y el vértice de una parábola, se pide: hallar y dibujar la directriz y al menos dos puntossimétricos de la curva.

Fv

d

PARÁBOLAS

El punto V, vértice de la parábola es un punto más de lacurva, por lo tanto cumplirá la definición de parábola:la distancia de punto de la parábola hasta la directriz esla misma que del punto al foco F.Sabiendo ésto, si tenemos el foco F y el vértice V, la directriz estará a la misma distancia de V que F de V.Para hallar la directriz pondremos el compás en V y conradio VF trazaremos un arco hasta cortar al eje en M puntode la directriz. Dibujaremos la directriz mediante una rectanormal al eje.Para construir la curva utilizaremos el método por puntos:dibujaremos puntos en el eje de forma aleatoria: 1, 2, 3, ...y dibujaremos paralelas a la directriz. Con radio d1, d2, d3, ... dibujaremos arcos de circunferenciaque corten a la vez a las paralelas en los puntos simétricos1´, 2´, 3´, ....Dibujar la curva a mano alzada o con plantillas.

M 1 2 3

2´3´

eje

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Curvas cónicas. Elipse, parábola, hipérbola.

Nombre alumno Fecha

Nombre láminaN. lámina Nota:

Curso:

Teniendo el foco F y la directriz d dibujaremos V en lamitad de ambos, en el eje, mediante una mediatriz.Una vez que tenemos los puntos clave trazamos la curvacomo en el ejercicio anterior.

2.- Dado el eje, la directriz y el foco de una parábola, se pide: hallar el vértice y dibujar al menos dos puntos de la curva.

FFv

d

eje

3.- Dado el eje, la directriz y un punto de una parábola,se pide que halles el vértice y el foco y otro punto dela curva (que no sea el simétrico).

Dibujaremos una normal desde P hasta la directriz.Esta distancia será la misma que de P a F.F se halla con un arco de circunferencia desde P conradio PM.Dibujar otro punto o trazar la curva como en ejerciciosanteriores.

P

ejeF

M

Fv

4.- Dada la siguiente parábola y un punto P de la mismase pide que traces la recta tangente a la curva por P.

P

Se une el foco F con el punto P y se traza la perpendiculardesde P hasta la directriz (punto M).Dibujar la mediatriz de MF o bien la bisectriz delángulo MPF.

M

v

5.- Dada la parábola y un punto exterior a ella: Trazarlas rectas tangentes a la curva y que pasen por P.

M

Hallar el foco F, dibujar una circunferencia desde M con radio MFque corte a la directriz en P y en Q.Dibujar perpendiculares a la directriz desde P y desde Q quecortarán a la curva en los puntos de tangencia T y T´.Dibujar las tangentes desde M a T y T´.

F

QP

6.- Dados el eje, la directriz, una recta tangente de laparábola y punto de la misma, se pide: hallar el vértice, el foco y dibujar la curva.

P

ejeF

Este ejercicio en concreto escomo el de una parábola sabiendo el eje, la directrizy un punto de la curva.Perpendicular a d por Py esa misma distancia desde Phallamos el foco F.Hallar V y dibujar la curva.