Departamento de Artes Plsticasy Dibujo

DIBUJO TCNICO BACHILLERATO

TEMA 3. POLGONOS.

TEMA 3. POLGONOS.

1

2

Tringuloso Definicin y notacioneso Clasificacino Cuestiones generaleso Puntos y rectas notableso Construcciones

Cuadrilteroso Definicin y baseso Clasificacino Construcciones

Polgonos regulares e irregulareso Definicin y baseso Clasificacino Construccioneso Polgonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas. o Polgonos estrelladoso Redes modulares.

- Tringulos: puntos y rectas notables. Casos especiales.

- Cuadrilteros inscriptible y circunscriptible.

- Polgonos regulares.

- Polgonos estrellados.

- Construccin de tringulos.

- Aplicacin correcta de los puntos y rectas notables, as como las especiales, en los problemas planteados.

- Construccin de cuadrilteros.

- Anlisis de las formas poligonales como base de diseo de objetos.

- Divisin de la circunferencia y construccin de polgonos regulares por mtodos particulares conociendo el radio.

- Construccin de polgonos regulares por mtodos particulares conociendo el lado.

- Construccin de polgonos estrellados.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

Polgono INSCRITOPolgono CIRCUNSCRITO

POLGONO IRREGULARPOLGONO REGULAR

POLGONO CONVEXO POLGONO CNCAVO POLGONO EXTRELLADO

DIAGONALES de un polgono r = radio circunferencia circunscrita r = apotema del polgono

r = radio de la circunferencia incrita

Las formas poligonales estn en la estructura de muchos objetos y construcciones.La palabra polgono es de origen griego y quiere decir varios ngulos.Un es: Se llama de un polgono a la suma de las medidas de sus lados.Los elementos bsicos de los polgonos son: vrtices, diagonales, ngulos interioresy exteriores.El nmero de lados de los polgonos determina su nombre: tringulo, cuadriltero, pentgono, hexgono, etc.

polgonopermetro

una superficie plana limitada por una lnea poligonal cerrada.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

L

CUADRADO

rea: L 2

B

RECTNGULO

rea: AxB

PARALELOGRAMO

rea: AxB

B

TRINGULO RECTNGULO

rea: b x a/2

b

TRINGULO ACUTNGULO

rea: b x h

b

c = a + b 2 2 2

TRINGULO OBTUSNGULO

rea: b x h

b

2

TRAPECIO

rea: B+b x h

b

B

2

TRAPEZOIDE

rea: (h + H)a +bh +cH2

b a c

PENTGONO

r

HEXGONO

r

rea: permetro x apotema (r)2

AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLGONOS

A

B

O

C D

b

a

TRINGULO INSCRIBIBLE

POLGONO: Es la porcin del plano limitada por rectas que se cortan.- Polgono regular: tiene todos los lados y ngulos iguales.-Polgono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ngulos.-Polgono inscrito: es el que tiene sus vrtices en una circunferencia.-Polgono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.-Polgonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vrtices del polgono regular.

Fecha

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Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaESQUEMA CUADRILTEROS. CARACTERSTICAS

2 BACHILLERATO

EquilteroLADOS

Todos iguales

NGULOS

Iguales. Son los tres de

60

Dos iguales =lados

Una diferente =base

Dos iguales. Uno,

el opuesto a la

base, diferente.

Los tresdiferentes

Los tres diferentes.

Issceles

Escaleno

SEGN SUS LADOS SEGN SUS NGULOS

Rectngulo

NGULOS

Un ngulo recto.

Menores de 90

Uno de los ngulosmayor de 90

Obtusngulo

El lado mayor =hipotenusa.Dos lados menores =catetos.

Acutngulo

ngulos agudos

Un ngulo obtuso

PUNTOS NOTABLES DE UN TRINGULO

A B

C

c

a

B

b

BARICENTRO.

Las medianas son lasrectas que van deel punto medio de unlado hasta el vrticeopuesto.

MEDIANAS.

Se cumple queCB = 2 cB

a=b=ca b

cA B

C

a b

ca=b=c

a=b=ca

b

c

A

B

C

A

ABC < 90

A > 90

A A=90

A B

C

c

b

ORTOCENTROALTURAS

Ohc = ALTURAS

A

C

c

ba

CIRCUNCENTRO

Las mediatrices de suslados.El circuncentro es elcentro de la circunferenciacircunscrita.

MEDIATRICES.

C

A B

C

c

ba

INCENTRO

Bisectrices de losngulos del tringulo.Es el centro de lacircunferenciainscrita.

BISECTRICES.

I

TRINGULO COMPLEMENTAARIO

Resultado de unir los pies de las medianas(baricentro)

OTRAS PROPIEDADES- La suma de los tres ngulos interiores de un tringulo es igual a 180 - Cada lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos,pero mayor que su diferencia. - En un tringulo rectngulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circun-centro de un tringulo. - Si dividimos la mediana de un tringulo en tres partes iguales, el baricentro estar a 2/3 de esa recta.

En un tringulo el vrtice y el ladoopuesto se nombran con la mismaletra, en maysculas y minsculasrespectivamente.

A B

C

c

a b

La altura de un tringulo (h)es la recta perpendicular aun lado hasta elvrtice opuesto. hh

Resultado de unir los pies de las alturas(ortocentro)

TRINGULO RTICO

MN

QTRINGULO PODAR

Resultado de unir los pies de las perpen-diculares desde un punto cualquiera P

P

Las mediatrices ylas alturas se pueden cortarfuera del tringulo,por lo que el circuncentroy el ortocentro puedenestar fuera tambin.

O

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

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Curso

NotaESQUEMA CUADRILTEROS. CARACTERSTICAS

2 BACHILLERATO

CUADRILTEROS

Cuadrado

LADOS

Igualesparalelos dos a dos

NGULOS

Iguales. Son todos rectos.

DIAGONALES

Iguales. PerpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rectngulo Son Iguales los ladosparalelos.

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. No perpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rombo Los cuatro iguales.Paralelos dos a dos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas, y

se cortan en unpunto medio.

perpendiculares

Romboide Son iguales los ladosparalelos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,No perpendicularesSe cortan en unpunto medio.

TrapecioIssceles

Son iguales Los que se apoyanen la misma baseson iguales.

Son iguales. No secortan en el puntomedio.

TrapecioEscaleno

Son distintos Son todos distintosNo son rectos

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapecioRectngulo

Son distintosUn lado es perpendi-cular a las bases

Tienen dos ngulos rectos.

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapeciosBase Menor

Base Mayor

Lado

Diagonales

Los trapecios tienensiempre dos lados paralelos: son las bases.

Los trapezoides no tienen ningn lado paralelo

Es el nico tipo de trapecios que esinscriptible en unacircunferencia.

LadoTrapezoide

Fecha

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Curso

NotaESQUEMA CUADRILTEROS. CARACTERSTICAS

2 BACHILLERATO

POLGONOS

CLASIFICACIN.

DECENAS

kai

UNIDAD

gono

POLGONO LADOS POLGONO LADOS POLGONO LADOS

NOMBRE DE UN POLGONO MENOR DE 100 LADOS. Polgono de 22 lados: Icosakaidgono.

tringulo cuadrado pentgono hexgono

heptgono octgono enegono decgono

tringulo

cuadrado

pentgono

hexgono

heptgono

octgono

enegono

decgono

Endecgono

Dodecgono

Tridecgono Tetradecgono

Pentadecgono

Hexadecgono

Heptadecgono

Octadecgono

Eneadecgono

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Triacontgono

Tetracon tgono

Pentacontgono

Hexacon tgono

Heptacon tgono

O ctacontgono

Eneacontgono

Hectgono

Chiligono

Mirigono

M eggono

20

30

40

50

60

70

80

90

100

.000

10.000

.000.0001

1

Triacont

Icosgono o Isodecgono

20:Icosa-

30:Triaconta-

40:Tetraconta-

50:Pentaconta-

60:Hexaconta-

70:Heptaconta-

80:Octaconta-

90:Eneaconta-

1:hen

2:d

3:tr

4:tetr

5:pent

6:hex

7:hept

8:oct

9:ene

Los polgonos se designan por el nmero de sus lados.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRINGULOS

2 BACHILLERATO

A B

C

BA

Construccin de un tringulo equiltero conociendo el lado.

Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sita unode ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB ydonde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vrtice C

Construccin de un tringulo equiltero conociendo la altura h.

Sobre una recta cualquiera t se toma un punto O arbitrario.Por el punto O se traza la perpendicular a la recta.Sobre la perpendicular anterior, y a partir del punto O se lleva una longitudigual a la altura dada h.La altura se divide en tres partes iguales. La 3 ser uno de los vrtices deltringulo C.Con centro en la divisin 1, se describe una circunferencia de radio r= 1-3que cortar a la recta inicial t en los vrtices A y B.

BA

h C3

2

1h

O

h

C

A Bpm

Construccin de un tringulo equiltero conociendo la altura h.

Como todos los tringulos equilteros son semejantes, se construye unoauxiliar cualquiera.Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. Elextremo opuesto ser el punto C.El tringulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta elpunto deseado C.

A

A

B

B

C

C

C

A B

Construccin de un tringulo conociendo sus tres lados. (tringulo escaleno).

Como todos los tringulos equilteros son semejantes, se construye unoauxiliar cualquiera.Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. Elextremo opuesto ser el punto C.El tringulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta elpunto deseado C.

Construccin de un tringulo issceles conociendo la base AB y la altura h..

Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.Se traza la mediatriz del segmento AB.Sobre la mediatriz y a partir del punto medio pm, se transporta la altura hobteniendo el tercer vrtice C

A B

h

A B

C

h

h

t

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRINGULOS

2 BACHILLERATO

A BConstruccin de un tringulo rectngulo conociendo los dos caterosAB y AC.

Sobre una recta cualquiera se toma el segmento AB.Por un extermo A se traza la perpendicular a la recta, llevando sobre ellael otro cateto ACAl unir los extremos C y B se completa el tringulo

CA

A B

Construccin de un tringulo rectngulo conociendo la hipotenusa BCy un cateto AB

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al catetoconocido.Por un extremo A se traza una perpendicular a la recta.Con centro en el otro extremo B y radio igual a la hipotenusa se trazaun arco que corta a esta perpendicular en el punto C, que ser eltercer vrtice.

A B

CB

A B

Construccin de un tringulo rectngulo conociendo un cateto AB y elngulo opuesto.

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocidoPor un extremo A se traza la perpendicular a la recta..Por un punto C cualquiera de la perpendicular se traza una recta que formeun ngulo igual al dado.Por el otro extremo B del cateto se traza la paralela al lado del nguloconstruido anteriormente. Esta paralela corta a la perpendicular trazadapor el extremo B en el punto D, que ser el tercer vrtice.

A B

A B

Ca

a

C

D

Construccin de un tringulo rectngulo conociendo un cateto AB y elngulo adyacente no recto.

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocidoPor un extremo A se traza la perpendicular a la recta..Por el otro extremo B se construye un ngulo igual al dado.Donde el lado del ngulo corta a la perpendicular trazada por A se obtieneel vrtice C.

A B

A B

a

a

DB

Construccin de un tringulo rectngulo conociendo un cateto AC y lahipotenusa BC

Sobre una recta cualquiera se situa la hipotenusa BC.Se obtiene el punto medio del segmento BC y se traza la semicircunferencia(arco capaz de 90).Desde C se traza un arco de radio AC que corta a la semicircunferenciaen el punto A que es el vrtice del ngulo recto.

B C

A C

B C

A

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRINGULOS

2 BACHILLERATO

Construccin de un tringulo issceles conociendo los lados igualesAC y la altura h.

Sobre una recta se toma un punto arbitrario como punto medio pm.Por este punto se traza la perpendicular a la recta.Sobre ella, y a partir del punto pm se transporta la altura dada h.Con centro en el punto C y radio igual al lado se describe un arco que cortaa la recta en dos puntos A y B que junto con el punto C son los vrticesdel tringulo.

CA

a

h

A

C

h

pm

B

Construccin de un tringulo issceles conociendo el lado desigual ABy un ngulo igual a

Sobre una recta cualquiera se toma el lado AB y se construye el ngulo desde sus vrtices para obtener el punto C en su interseccin.

a

BA

A

BA

a a

C

BA

Construccin de un tringulo issceles conociendo uno de los ladosiguales AC y el ngulo desigual d

Se traza una recta vertical y se considera la bisectriz del ngulo.Desde un punto arbitrario de la recta C se dibuja el ngulo sobre laprolongacin de sus lados se trazan los arcos con radio igual al lado dadopara obtener los vrtices A y B.

a

d

A

C

CA

d

C

BA

Construccin de un tringulo issceles conociendo la base AB y elngulo opuesto a la misma

Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.Se traza la mediatriz del segmento AB.Se traza el arco capaz del ngulo para obtener el centro de la circunferenciacircunscrita al tringulo. Donde la mediatriz corta a la circunferencia seobtiene el vrtice opuesto.

a

jd

BA

C

A

BA d

C

Construccin de un tringulo issceles conociendo uno de los ladosiguales AC y un ngulo igual a

Sobre una recta horizontal se construye el ngulo y se prolonga el lado.Desde el vrtice A se traza una arco con radio AC hasta cortar al lado en el vrtice CPara finalizar se traza un arco de radio AC desde el punto C para obtener elltimo vrtice B.

a

a

a

A

A

CA

aA B

C

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRINGULOS

2 BACHILLERATO

Construccin de un tringulo conociendo un lado AB y los ngulosadyacentes y a b

Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde cada extremo sedibujan los ngulos dados hasta cortarse en el vrtice C.

BA

A Ba

b

baA B

C

Construccin de un tringulo conociendo dos lados AB y AC y elngulo comprendido .a

Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde el vrtice A sedibuja el ngulo dado prolongando sus lados.Desde A se traza un arco de radio AC para obtener el ltimo vrtice..

BA

Aa

CA

aA B

C

Construccin de un tringulo conociendo dos lados AB y AC y lamediana correspondiente al lado AB mc.

Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.Con centro en el punto A y radio AC se dibuja un arco.Con centro en el punto medio pm se traza otro arco con el radio de lamediana que se corta al anterior en el punto C, tercer vrtice del tringulo.

BA

CA

A B

C

mc

pm

Construccin de un tringulo conociendo un lado AB, la altura deesta lado h y su mediana mc.

Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.Se traza una paralela al lado AB a una distancia igual a la altura h.Con centro en el punto medio pm se traza un arco de radio igual a lamediana que cortar a la paralela en el punto C.

BA

A B

Cmc

pm

h

h

Construccin de un tringulo conociendo un lado AB y las medianas delos otros dos lados, m1 y m2.

Sabiendo que las medianas se cortan en el baricentro a 2/3 de la longitudtomada desde el vrtice, se dibuja el lado AB y desde cada uno de susextremos se traza un arco de radio 2/3 de cada una de las medianas,obteniendo el baricentro.Se completan las medianas y se acaba el tringulo.

A B

m2m1

m2m1

pm

C

BA

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaTRINGULOS

2 BACHILLERATO

BA

BA

C

A

BA

BaC

apm

pm

AC

C

a

m

h

m

h a

Construccin de un tringulo rectngulo, dada la hipotenusa AB

Se dibuja la hipotenusa y se obtiene el punto medio del segmento pm. Concento en este punto se traza la semicircunferencia, arco capaz de 90.En cualquier punto de la semicircunferenica estar el vrtice C.(f.2)Para hacer un tringulo issceles rectngulo slo habr que dibujar lamediatriz de AB y donde corte a la semicircunferenica estar C. (f. 1)

Construccin de un tringulo rectngulo conociendo la medianacorrespondiente a un cateto AB y el ngulo agudo adyacente al mismo.a

Sobre un segmento arbitrario se traza una perpendicular desde uno de losextremos y desde el otro se construye el ngulo dado. Donde se cortanambas rectas tenemos el vrtice C. Se obtiene el punto medio de esesegmento pm, y se hace pasar una recta por C y por el punto medio pm.Desde C y con la apertura de la mediana se corta a esta recta en lo queser el punto medio del tringulo buscado. Se prolonga la recta verticalhasta la altura de pm para obtener el punto A, se prolonga la recta delngulo y se dobla la distancia A pm para obtener B

Construccin de un tringulo conociendo un ngulo , la mediana m yla altura h.

a

Se traza una recta horizontal base. Sobre ella se traza una perpendicularcon el tamao de la altura h.Con centro en el vrtice C y radio de longitud igual a la mediana se trazaun arco que en su interseccin con la recta horizontal base determina elpunto medio pm.Se halla el simtrico C de C respecto del pm y se traza el arco capaz de180-a del segmento CC determinando as el vrtice B en la interseccindel arco con la ercta horizontal base.El punto A es el simtrico de B con respecto al punto medio pm.

Construccin de un tringulo conociendo sus tres alturas.

Con origen comn en un punto cualquiera D se trazan tres segmento en direcciones arbitrarias con la longitud de las alturas. Setraza una circunferencia que pase por los tres extremos. Esta circunferncia corta a los segmento en los punto 1, 2 y 3.Se construye un tringulo con las distancias D1, D2 y D3, que ser semejante al buscado.Para dibujar el definitivo se trazan paralelas por una de las alturas definitivas.

h1

h2h3

1

2

3

DD2D3

D1

D2D3

D1

BA

C

f.1f.2

Bpm

b

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b=CD y las dos diagonales d=CB y dAD.

b

d

d

C CD

DB

B

A B

Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio issceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ngulo de 45. Deduzca razonadamente el valor de los ngulos queforman las diagonales con la base menor.

O

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

CUADRILTEROS

A B

bb

d

dd

d

d

Un cuadriltero es inscriptible cuando los nguloopuestos son suplementarios, es decir, suman180 y es circunscriptible cuando la suma de loslados opuestos es igual.

CD

45 45

4545

Los ngulos que forman las diagonales con labase menor sern de 45 puesto que sonngulos alternos.

Alternos:1-2,3-4, ...correspondientes:2-5, 3-8, ...

45

45

P 10

b

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b=CD y las dos diagonales d=CB y dAD.

b

d

d

C CD

DB

B

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

CUADRILTEROS

A B

bb

d

dd

d

d

Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadrilteros, en concreto trapecios,vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos danlas dos bases y las dos diagonales.

a

s

P X

R Z

Q Y

t

b

c

Teorema: Si tres o ms paralelas intersectan en segmentos congruentes a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en segmentos congruentes.

Si dos o ms rectas paralelas son cortadas por dos o msrectas tambin paralelas, los segmentos resultantes serniguales.

Base m

AB

DC

M NBase m

Base m

AB

DC

Base m

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Base mayor

Base menor

AB

D C

MBase menor

Base mayor - Base menor

L2L1 L2

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

2 BACHILLERATO

CUADRILTEROS

A

B

O

C D

b

a

CUADRILATERO INSCRIBIBLE. Se llama as al cuadrilteroque se puede inscribir en una circunferencia.En un cuadriltero inscribible sus ngulos opuestos sonsuplementarios, es decir, suman 180.Recprocamente, un cuadriltero que tenga sus ngulosopuestos suplementarios es inscribible.

A+B = C+D = 180

Teniendo en cuenta que el valor de un ngulo inscrito es lamitad del ngulo central que abarca el mismo arco:

A+B = a/2+b/2 = a+b/2 = 360 /2=180

A B

C

D

O

E

F

G

H

CUADRILTERO CIRCUNSCRIBIBLE. Se denomina asal cuadriltero en el que se puede inscribir una circunferencia.En un cuadriltero circunscribible la suma de los lados opuestosvale lo mismo.De igual manera, un cuadriltero cuya suma de los ladosopuestos valga lo mismo es circunscribible.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

NotaPOLGONOS REGULARES. CONSTRUCCIONES SEGN EL RADIO.(Divisin de una circunferencia en partes iguales)

2 BACHILLERATO

Divisin de una circunferencia en TRES y SEIS partes iguales. TRINGULO Y HEXGONO.

El lado de un hexgono es igual al radio de la circunferencia circunscrita: por lo tanto basta tomarel radio e ir tomando cuerdas consecutivas.Para construirlo de forma sencilla: se dibujan dos dimetros perpendiculares AD, y PQ.Por el extremo de uno, A por ejemplo, se dibuja un arco igual al radio de la circunferencia, (el arcodebe de pasar por el centro de la misma). Por el extremo opuesto del dimetro, D, realizamos lamisma operacin. Donde estos arcos corten a la circunferencia sern los vrtices del hexgono.Si queremos un tringulo (3 lados) solo tendremos que unir los vrtices de 2 en 2 (en azul). Si queremos construir un dodecgono (12 lados) haremos la misma operacin con el otro dimetrocon sendos arcos en los extremos P y Q.Trazando las bisectrices de los ngulos centrales se pueden obtener polgonos de 24, 48, etc.

r

Para la construccin de polgonos regulares se contemplan dos tipos de ejercicios: 1.- Dividir una circunferencia en un nmero cualquiera de partes iguales que es lo mismo que inscribir polgonos regulares en una circunferencia. 2.- Construir un polgono regular de cualquier nmerode lados a partir del lado conocido.

A

P Q

rB

D

C E

F

o

Divisin de una circunferencia en CUATRO y OCHO partes iguales. CUADRADO Y OCTGONO.

Para construir un cuadrado de forma sencilla: se dibujan dos dimetros perpendiculares AE, y CG.Donde cortan estos dimetros a la circunferencia sern los vrtices del cuadrado.Para obtener el octgono (en rojo) solamente se deber dibujar la bisectriz de los ngulos o bien lamediatriz del lado del cuadrado hasta que corte a la circunferencia.Si se quieren polgonos de 16, 32, etc. Se realizar la misma operacin que con el octgono.

o

AB = r

B

C

D

E

F

H

G

A

Divisin de una circunferencia en CINCO y DIEZ partes iguales. PENTGONO Y DECGONO.

1. Se dibujan dos dimetros perpendiculares AQ, y LM.2. Se dibuja la mediatriz de un radio. El arco corta a la circunferencia en N y la mediatriz al radioen L.3. Dibujar un arco con centro en L y radio LA, hasta que corte el radio OC, es el punto P.4. La distancia de A hasta P, ser la magnitud del lado del pentgono.5. Se lleva distancia AP 5 veces sobre la circunferencia.

Si se quieren polgonos de 10 lados (decgono), Solamente habr que coger la magnitud OP quees el lado del decgono. Tambin se puede dividir el lado del pentgono con mediatrices o bien dibujar las bicectrices de los ngulos. Estas operaciones sirven para conseguir polgonosde 20 lados, etc.

o

E

A

45

N

L

CD

P

B

Q

L M

Divisin de una circunferencia en siete y catorce partes iguales. HEPTGONO Y TETRADECGONO.

1. Se dibuja el dimetro MN.2. Se traza la mediatriz del segmento O, centro de la circunferencia, y M. Corta la mediatriza la circunferencia en los puntos R y S.3. El segmento PR es el lado del heptgono. Poner esta medida a lo largo de la circunferencia.Para el polgono de catorce lados:1. Desde el centro de la circunferencia, dibujar las perpendiculares a los lados del heptgono.

o

A

P

B

N

C

DS

E

MF

R

Divisin de una circunferencia en nueve partes iguales. ENEGNO.

A

1. Se dibujan los dimetros AN y MP perpendiculares entre s.2. Con centro en N y radio N0, el mismo que la circunferencia, se traza un arco que corta en Q.3. Con centro en el otro extremo del dimetro A, y con radio AQ se dibuja un arco que corta enel dimetro perpendicular MP en el punto T.4. Con centro en T y radio TA se dibuja un arco que corta en el dimetro MP en el punto R.5. El segmento MR es el lado del enegono.6. Colocar esta medida en toda la circunferencia. (en nuestro caso se ha empezado por A)

o

N

M P

Q

TRL9

12

3

4

5 6

7

8

9

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

CUADRILTEROS. Cuadrado y Rectngulo.

A B

C

D

E

P

M

A BDibujar un PENTGONO cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r.2. Por el punto B, levantar una perpendicular.3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm)4. Desde el punto B abrir el comps hasta A y dibujar un arco que corte a laperpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco ms el arco.5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el comps hasta P y dibujar un arcoque corte a la recta r en el punto M.6. Desde el punto A abrir el comps hasta el punto M y dibujar un arco que corteal primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y tambin cortar a la mediatriz enel punto D. C y D son vrtices del pentgono.7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentgono dibujar un arco.8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentgono dibujar un arco.Donde se cortan los arcos anteriores ser el punto y vrtice final del pentgono: E.

pmr

LDibujar un HEXGONO cuando nos dan el LADO. A BComo el lado del hexgono es igual al radio, lo que tendremos quehacer es buscar el centro de la circunferencia donde est inscritoel hexgono. Debemos de saber tambin que si dividimos unacircunferenica (360) en seis partes iguales obtendremos ngulos de60. Un tringulo equiltero tiene tres ngulos de 60.1. Pondremos el lado AB sobre una recta r.2. Dibujaremos un tringulo equiltero de lado AB: poner el comps enA y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B.3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de lacircunferencia del hexgono.4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por Ay por B).5. Hallar los vrtices del hexgono como en el ejercicio anterior.

A B

oC

DE

F

Dibujar un OCTGONO cuando nos dan el LADO.Hay construcciones de polgonos que tienen varios mtodos. Nosotros vamos a utilizar el siguiente:1. Se dibuja el lado (AB). 2. Se dibuja la mediatriz del lado AB: hallamos el punto medio M.3. Por el punto M dibujamos un arco de radio MA que corta a la mediatrizen el punto O1.4. Dibujamos una circunferencia con centro en O1 y radio O1A. Estacircunferencia corta a la mediatriz en el punto O2, que ser el centro dela circunferencia que contenga los ocho lados (circunscrita al octgono).5. Dibujamos la circunferencia mencionada: con centro en O2 y radioO2A. 6. Llevamos sobre ella el lado AB ocho veces.

A B

O1

O2

C

D

EF

G

H

Dibujar un HEPTGONO cuando nos dan el LADO.

1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB) y una perpendicular(t) al mismo por A.2. Se dibuja un ngulo de 30 con el vrtice en B.El ngulo corta a la perpendicular t en el punto Q.3.Desde B y con radio BQ se dibuja un arco que cortaa la mediatriz en O1, centro de la circunferencia delpolgono.

B

O1

t

Q

AB

C

E

D F

G

Dibujar un ENEGONO cuando nos dan el LADO.1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB). 2. Con centro en B y radio BA se traza unarco que corta a la mediatriz en el punto M. 3. Con centro en M y radio MA setraza un arco que corta a la mediatriz en el punto N.4. Con centro en N y radio NM se traza un arcoque corta a la mediatriz en el punto E, vrticeopuesto del lado AB y del dimetro de lacircunferencia que circunscribe el enegono.5.Para hallar el centro dibujar la mediatrizdel segmento BE hasta que corteal dimetro.

AB

E

M

N

O1

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

Dibujar polgonos regulares con EL MTODO GENERAL.

Hay que tener en cuenta que el mtodo general es un . Por lo tanto para construir polgonos en dibujo tcnico se utiliza elmtodo especfico de cada uno de ellos. Estos mtodos se pueden utilizar para grandes polgonos de un nmero elevado de lados pero elresultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado.

mtodo inexacto

CUADRILTEROS. Cuadrado y Rectngulo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

A

B

OC

D

E F

G

H

I

P

M

MTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO.

1. Dibuja un dimetro vertical (ojo, que pase por el centro O)2. divdelo por el teorema de tales en tantas partescomo lados deba de tener el polgono que queremos construir, en nuestro ejemplo 9.3. Desde A, extremo del dimetro se dibuja un arcode rado AP (el dimetro). Desde el otro extremoP se realiza otro arco igual que el primero.4. Donde se cortan los dos arcos ser el punto M.5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la divisin de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2del dimetro con el n 2 de la divisin del teorema detales.6. La prolongacin de esta recta, M2, cortar a la circunferencia en el punto B primera divisin de lacircunferencia. La recta AB ser el lado del enegono.7. Ir colocando la medida AB consecutivamentedesde A.

A tener en cuenta:Si el polgono es de lados impar como es el caso, el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitadpor el dimetro. Si al acabar el polgono no coincide la ltimamedida con el punto A, hay que rectificar AB, msgrande o ms pequeo segn el caso. Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeoque sea en AB se multiplicar por 9 en este caso.

10987

12

6

11

G

FH

I

J

K

A B

C

D

E

MTODO GENERAL cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior del recuadro a dibujar el polgono.2. Como el polgono que vamos a dibujar es de 11lados vamos a dibujar en primer lugar una circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados.El polgono de 11 estar entre estos dos ltimos,luego el centro de la circunferencia circunscrita tambin.(ver hexgono segn el lado)3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual.4. Donde se cortan los dos arcos ser el centro de la circunferencia de 6 lados (hexgono). Dibujamos la circunferencia5. Dibujamos el dimetro de dicha circunferencia. Este dimetro corta a la circunferencia en 12, centro de la circunferencia de 12 lados (dodecgono).6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seispartes iguales.7. Cada una de las partes en que se divide ser un centro de una circunferencia del nmero sealado en el que caben tantos lados AB como divisiones marcadas (por ejemplo la divisin 7 ser el polgonode siete lados AB)8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el comps en 11 y dibujamos una circunferencia.9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces el lado AB.10. Repasar siempre la figura un poco ms oscuroo con un color con el lpiz bien afilado.

Fecha

N de lmina

Nombre de Alumno

Ttulo de lmina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plsticas

CUADRILTEROS. Cuadrado y Rectngulo.

Polgonos estrellados.Un polgono regular estrellado es un polgono cncavo en forma de estrella con diferentes vrtices o puntas.Para construir un polgono estrellado hay varios mtodos. El que se utiliza ms en dibujo tcnico es el El Mtodo de Reduccin: consiste en trazar la estrella inscrita dentro del polgono regular. Por lo tanto hay quee dibujar primero su polgono regular en el que est sustentado, y unirl o s v r t i c e s d e s t e d e d o s e n d o s , d e t re s e n t re s , d e c u a t r o e n cu a t r o , d e c i n co e n c i n co , e t c .Otro mtodo es El Mtodo de Extensin: consiste en utilizar el polgono regular como centro, trazndose las puntas de las estrella mediante la prolongacin de los lados del polgono regular. .El nmero de polgonos estrellados que se pueden dibujar con un nmero de vrtices diferente, es igual la cantidad de nmeros primos conel nmero de vrtices del polgono base dividido por dos. Un nmero es primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes.Por ejemplo: para el pentgono (5 lados), los nmeros menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solotendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentgono tiene un nico estrellado, que se obtendr uniendo los vrtices de 2 en 2.

A

B E

C D

O

Para construir un pentgono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentgono regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado.Despus hay que unir los vrtices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B,y as continuamente hasta que se cierra el polgono (hasta que se lleva a A al final).

Dibujar un pentgono estrellado.

Dibujar un heptgono estrellado (de siete puntas).

Para construir un polgono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el heptgono regular. Para construir el heptgono se realiza con los primeros pasos delpentgono segn el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado. 2. Se dibujar dos dimetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP.4. El lado del heptgono ser KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.

A

B

C

E

O

M

k

P

L7

D

F

G

AB

C

D

G

F

E

O

Para construir un polgono estrellado de siete puntas, unir los vrtices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polgono verde) puesto que este polgono tiene dos estrellados.

AB

C

D

G

F

E

O