Departamento de Artes Plásticasy Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 3. POLÍGONOS.

TEMA 3. POLÍGONOS.

1º

2º

Triánguloso Definición y notacioneso Clasificacióno Cuestiones generaleso Puntos y rectas notableso Construcciones

Cuadriláteroso Definición y baseso Clasificacióno Construcciones

Polígonos regulares e irregulareso Definición y baseso Clasificacióno Construccioneso Polígonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas. o Polígonos estrelladoso Redes modulares.

- Triángulos: puntos y rectas notables. Casos especiales.

- Cuadriláteros inscriptible y circunscriptible.

- Polígonos regulares.

- Polígonos estrellados.

- Construcción de triángulos.

- Aplicación correcta de los puntos y rectas notables, así como las especiales, en los problemas planteados.

- Construcción de cuadriláteros.

- Análisis de las formas poligonales como base de diseño de objetos.

- División de la circunferencia y construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el radio.

- Construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el lado.

- Construcción de polígonos estrellados.

Fecha

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

Polígono INSCRITOPolígono CIRCUNSCRITO

POLÍGONO IRREGULARPOLÍGONO REGULAR

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO POLÍGONO EXTRELLADO

DIAGONALES de un polígono r = radio circunferencia circunscrita r = apotema del polígono

r = radio de la circunferencia incrita

Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.Un es: Se llama de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interioresy exteriores.El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, etc.

polígonoperímetro

una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Fecha

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

L

CUADRADO

Área: L 2

B

RECTÁNGULO

Área: AxB

PARALELOGRAMO

Área: AxB

B

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Área: b x a/2

b

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

Área: b x h

b

c = a + b 2 2

2

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

Área: b x h

b

2

TRAPECIO

Área: B+b x h

b

B

2

TRAPEZOIDE

Área: (h + H)a +bh +cH2

b a c

PENTÁGONO

r

HEXÁGONO

r

Área: perímetro x apotema (r)2

AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

A

B

O

C D

b

a

TRIÁNGULO INSCRIBIBLE

POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan.- Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales.-Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos.-Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia.-Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.-Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular.

Fecha

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Curso

NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

EquiláteroLADOS

Todos iguales

ÁNGULOS

Iguales. Son los tres de

60º

Dos iguales =lados

Una diferente =base

Dos iguales. Uno,

el opuesto a la

base, diferente.

Los tresdiferentes

Los tres diferentes.

Isósceles

Escaleno

SEGÚN SUS LADOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Rectángulo

ÁNGULOS

Un ángulo recto.

Menores de 90º

Uno de los ángulosmayor de 90º

Obtusángulo

El lado mayor =hipotenusa.Dos lados menores =catetos.

Acutángulo

Ángulos agudos

Un ángulo obtuso

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

A B

C

c

a

B

b

BARICENTRO.

Las medianas son lasrectas que van deel punto medio de unlado hasta el vérticeopuesto.

MEDIANAS.

Se cumple queCB = 2 cB

a=b=ca b

cA B

C

a b

ca=b=c

a=b=ca

b

c

A

B

C

A

ABC < 90º

A > 90º

A A=90º

A B

C

c

b

ORTOCENTROALTURAS

Ohc = ALTURAS

A

C

c

ba

CIRCUNCENTRO

Las mediatrices de suslados.El circuncentro es elcentro de la circunferenciacircunscrita.

MEDIATRICES.

C

A B

C

c

ba

INCENTRO

Bisectrices de losángulos del triángulo.Es el centro de lacircunferenciainscrita.

BISECTRICES.

I

TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO

Resultado de unir los pies de las medianas(baricentro)

OTRAS PROPIEDADES- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circun-centro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.

En un triángulo el vértice y el ladoopuesto se nombran con la mismaletra, en mayúsculas y minúsculasrespectivamente.

A B

C

c

a b

La altura de un triángulo (h)es la recta perpendicular aun lado hasta elvértice opuesto. h

h

Resultado de unir los pies de las alturas(ortocentro)

TRIÁNGULO ÓRTICO

MN

QTRIÁNGULO PODAR

Resultado de unir los pies de las perpen-diculares desde un punto cualquiera P

P

Las mediatrices ylas alturas se pueden cortarfuera del triángulo,por lo que el circuncentroy el ortocentro puedenestar fuera también.

O

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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Cuadrado

LADOS

Igualesparalelos dos a dos

ÁNGULOS

Iguales. Son todos rectos.

DIAGONALES

Iguales. PerpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rectángulo Son Iguales los ladosparalelos.

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. No perpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rombo Los cuatro iguales.Paralelos dos a dos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas, y

se cortan en unpunto medio.

perpendiculares

Romboide Son iguales los ladosparalelos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,No perpendicularesSe cortan en unpunto medio.

TrapecioIsósceles

Son iguales Los que se apoyanen la misma baseson iguales.

Son iguales. No secortan en el puntomedio.

TrapecioEscaleno

Son distintos Son todos distintosNo son rectos

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapecioRectángulo

Son distintosUn lado es perpendi-cular a las bases

Tienen dos ángulos rectos.

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapeciosBase Menor

Base Mayor

Lado

Diagonales

Los trapecios tienensiempre dos lados paralelos: son las bases.

Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo

Es el único tipo de trapecios que esinscriptible en unacircunferencia.

LadoTrapezoide

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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

POLÍGONOS

CLASIFICACIÓN.

DECENAS

kai

UNIDAD

gono

POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS

NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.

triángulo cuadrado pentágono hexágono

heptágono octágono eneágono decágono

triángulo

cuadrado

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Endecágono

Dodecágono

Tridecágono Tetradecágono

Pentadecágono

Hexadecágono

Heptadecágono

Octadecágono

Eneadecágono

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Triacontágono

Tetracon tágono

Pentacontágono

Hexacon tágono

Heptacon tágono

O ctacontágono

Eneacontágono

Hectágono

Chiliágono

Miriágono

M egágono

20

30

40

50

60

70

80

90

100

.000

10.000

.000.0001

1

Triacont

Icoságono o Isodecágono

20:Icosa-

30:Triaconta-

40:Tetraconta-

50:Pentaconta-

60:Hexaconta-

70:Heptaconta-

80:Octaconta-

90:Eneaconta-

1:hená

2:dí

3:trí

4:tetrá

5:pentá

6:hexá

7:heptá

8:octá

9:eneá

Los polígonos se designan por el número de sus lados.

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

A B

C

BA

Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado.

Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa unode ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB ydonde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C

Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h.

Sobre una recta cualquiera t se toma un punto O arbitrario.Por el punto O se traza la perpendicular a la recta.Sobre la perpendicular anterior, y a partir del punto O se lleva una longitudigual a la altura dada h.La altura se divide en tres partes iguales. La 3 será uno de los vértices deltriángulo C.Con centro en la división 1, se describe una circunferencia de radio r= 1-3que cortará a la recta inicial t en los vértices A y B.

BA

h C3

2

1h

O

h

C

A Bpm

Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h.

Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye unoauxiliar cualquiera.Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. Elextremo opuesto será el punto C.El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta elpunto deseado C.

A

A

B

B

C

C

C

A B

Construcción de un triángulo conociendo sus tres lados. (triángulo escaleno).

Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye unoauxiliar cualquiera.Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. Elextremo opuesto será el punto C.El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta elpunto deseado C.

Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y la altura h..

Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.Se traza la mediatriz del segmento AB.Sobre la mediatriz y a partir del punto medio pm, se transporta la altura hobteniendo el tercer vértice C

A B

h

A B

C

h

h

t

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

A BConstrucción de un triángulo rectángulo conociendo los dos caterosAB y AC.

Sobre una recta cualquiera se toma el segmento AB.Por un extermo A se traza la perpendicular a la recta, llevando sobre ellael otro cateto ACAl unir los extremos C y B se completa el triángulo

CA

A B

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa BCy un cateto AB

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al catetoconocido.Por un extremo A se traza una perpendicular a la recta.Con centro en el otro extremo B y radio igual a la hipotenusa se trazaun arco que corta a esta perpendicular en el punto C, que será eltercer vértice.

A B

CB

A B

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y elángulo opuesto.

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocidoPor un extremo A se traza la perpendicular a la recta..Por un punto C cualquiera de la perpendicular se traza una recta que formeun ángulo igual al dado.Por el otro extremo B del cateto se traza la paralela al lado del ánguloconstruido anteriormente. Esta paralela corta a la perpendicular trazadapor el extremo B en el punto D, que será el tercer vértice.

A B

A B

Ca

a

C

D

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y elángulo adyacente no recto.

Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocidoPor un extremo A se traza la perpendicular a la recta..Por el otro extremo B se construye un ángulo igual al dado.Donde el lado del ángulo corta a la perpendicular trazada por A se obtieneel vértice C.

A B

A B

a

a

DB

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AC y lahipotenusa BC

Sobre una recta cualquiera se situa la hipotenusa BC.Se obtiene el punto medio del segmento BC y se traza la semicircunferencia(arco capaz de 90º).Desde C se traza un arco de radio AC que corta a la semicircunferenciaen el punto A que es el vértice del ángulo recto.

B C

A C

B C

A

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

Construcción de un triángulo isósceles conociendo los lados igualesAC y la altura h.

Sobre una recta se toma un punto arbitrario como punto medio pm.Por este punto se traza la perpendicular a la recta.Sobre ella, y a partir del punto pm se transporta la altura dada h.Con centro en el punto C y radio igual al lado se describe un arco que cortaa la recta en dos puntos A y B que junto con el punto C son los vérticesdel triángulo.

CA

a

h

A

C

h

pm

B

Construcción de un triángulo isósceles conociendo el lado desigual ABy un ángulo igual a

Sobre una recta cualquiera se toma el lado AB y se construye el ángulo desde sus vértices para obtener el punto C en su intersección.

a

BA

A

BA

a a

C

BA

Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los ladosiguales AC y el ángulo desigual d

Se traza una recta vertical y se considera la bisectriz del ángulo.Desde un punto arbitrario de la recta C se dibuja el ángulo sobre laprolongación de sus lados se trazan los arcos con radio igual al lado dadopara obtener los vértices A y B.

a

d

A

C

CA

d

C

BA

Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y elángulo opuesto a la misma

Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.Se traza la mediatriz del segmento AB.Se traza el arco capaz del ángulo para obtener el centro de la circunferenciacircunscrita al triángulo. Donde la mediatriz corta a la circunferencia seobtiene el vértice opuesto.

a

jd

BA

C

A

BA d

C

Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los ladosiguales AC y un ángulo igual a

Sobre una recta horizontal se construye el ángulo y se prolonga el lado.Desde el vértice A se traza una arco con radio AC hasta cortar al lado en el vértice CPara finalizar se traza un arco de radio AC desde el punto C para obtener elúltimo vértice B.

a

a

a

A

A

CA

aA B

C

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y los ángulosadyacentes y a b

Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde cada extremo sedibujan los ángulos dados hasta cortarse en el vértice C.

BA

A Ba

b

baA B

C

Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y elángulo comprendido .a

Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde el vértice A sedibuja el ángulo dado prolongando sus lados.Desde A se traza un arco de radio AC para obtener el último vértice..

BA

Aa

CA

aA B

C

Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y lamediana correspondiente al lado AB mc.

Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.Con centro en el punto A y radio AC se dibuja un arco.Con centro en el punto medio pm se traza otro arco con el radio de lamediana que se corta al anterior en el punto C, tercer vértice del triángulo.

BA

CA

A B

C

mc

pm

Construcción de un triángulo conociendo un lado AB, la altura deesta lado h y su mediana mc.

Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.Se traza una paralela al lado AB a una distancia igual a la altura h.Con centro en el punto medio pm se traza un arco de radio igual a lamediana que cortará a la paralela en el punto C.

BA

A B

Cmc

pm

h

h

Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y las medianas delos otros dos lados, m1 y m2.

Sabiendo que las medianas se cortan en el baricentro a 2/3 de la longitudtomada desde el vértice, se dibuja el lado AB y desde cada uno de susextremos se traza un arco de radio 2/3 de cada una de las medianas,obteniendo el baricentro.Se completan las medianas y se acaba el triángulo.

A B

m2m1

m2m1

pm

C

BA

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

BA

BA

C

A

BA

BaC

apm

pm

AC

C

a

m

h

m

h a

Construcción de un triángulo rectángulo, dada la hipotenusa AB

Se dibuja la hipotenusa y se obtiene el punto medio del segmento pm. Concento en este punto se traza la semicircunferencia, arco capaz de 90º.En cualquier punto de la semicircunferenica estará el vértice C.(f.2)Para hacer un triángulo isósceles rectángulo sólo habrá que dibujar lamediatriz de AB y donde corte a la semicircunferenica estará C. (f. 1)

Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la medianacorrespondiente a un cateto AB y el ángulo agudo adyacente al mismo.a

Sobre un segmento arbitrario se traza una perpendicular desde uno de losextremos y desde el otro se construye el ángulo dado. Donde se cortanambas rectas tenemos el vértice C. Se obtiene el punto medio de esesegmento pm, y se hace pasar una recta por C y por el punto medio pm.Desde C y con la apertura de la mediana se corta a esta recta en lo queserá el punto medio del triángulo buscado. Se prolonga la recta verticalhasta la altura de pm para obtener el punto A, se prolonga la recta delángulo y se dobla la distancia A pm para obtener B

Construcción de un triángulo conociendo un ángulo , la mediana m yla altura h.

a

Se traza una recta horizontal base. Sobre ella se traza una perpendicularcon el tamaño de la altura h.Con centro en el vértice C y radio de longitud igual a la mediana se trazaun arco que en su intersección con la recta horizontal base determina elpunto medio pm.Se halla el simétrico C´ de C respecto del pm y se traza el arco capaz de180º-a del segmento CC´ determinando así el vértice B en la interseccióndel arco con la ercta horizontal base.El punto A es el simétrico de B con respecto al punto medio pm.

Construcción de un triángulo conociendo sus tres alturas.

Con origen común en un punto cualquiera D se trazan tres segmento en direcciones arbitrarias con la longitud de las alturas. Setraza una circunferencia que pase por los tres extremos. Esta circunferncia corta a los segmento en los punto 1, 2 y 3.Se construye un triángulo con las distancias D1, D2 y D3, que será semejante al buscado.Para dibujar el definitivo se trazan paralelas por una de las alturas definitivas.

h1

h2h3

1

2

3

DD2D3

D1

D2D3

D1

BA

C

f.1f.2

Bpm

b´

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.

b

d

d´

C CD

DB

B

A B

Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos queforman las diagonales con la base menor.

O

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

A B

b´b

d

d´d

d

d´

Un cuadrilátero es inscriptible cuando los ánguloopuestos son suplementarios, es decir, suman180º y es circunscriptible cuando la suma de loslados opuestos es igual.

CD

45º 45º

45º45º

Los ángulos que forman las diagonales con labase menor serán de 45º puesto que sonángulos alternos.

Alternos:1-2,3-4, ...correspondientes:2-5, 3-8, ...

45º

45º

P 10

b´

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.

b

d

d´

C CD

DB

B

Fecha

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

A B

b´b

d

d´d

d

d´

Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadriláteros, en concreto trapecios,vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos danlas dos bases y las dos diagonales.

a

s

P X

R Z

Q Y

t

b

c

Teorema: Si tres o más paralelas intersectan en segmentos congruentes a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en segmentos congruentes.

Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos o másrectas también paralelas, los segmentos resultantes serániguales.

Base m

AB

DC

M NBase m

Base m

AB

DC

Base m

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Base mayor

Base menor

AB

D C

MBase menor

Base mayor - Base menor

L2L1 L2

Fecha

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Nombre de Alumno

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

A

B

O

C D

b

a

CUADRILATERO INSCRIBIBLE. Se llama así al cuadriláteroque se puede inscribir en una circunferencia.En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos sonsuplementarios, es decir, suman 180º.Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulosopuestos suplementarios es inscribible.

A+B = C+D = 180º

Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es lamitad del ángulo central que abarca el mismo arco:

A+B = º ºa/2+b/2 = a+b/2 = 360 /2=180

A B

C

D

O

E

F

G

H

CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE. Se denomina asíal cuadrilátero en el que se puede inscribir una circunferencia.En un cuadrilátero circunscribible la suma de los lados opuestosvale lo mismo.De igual manera, un cuadrilátero cuya suma de los ladosopuestos valga lo mismo es circunscribible.

Fecha

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Curso

NotaPOLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIONES SEGÚN EL RADIO.(División de una circunferencia en partes iguales)

2º BACHILLERATO

División de una circunferencia en TRES y SEIS partes iguales. TRIÁNGULO Y HEXÁGONO.

El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita: por lo tanto basta tomarel radio e ir tomando cuerdas consecutivas.Para construirlo de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AD, y PQ.Por el extremo de uno, A por ejemplo, se dibuja un arco igual al radio de la circunferencia, (el arcodebe de pasar por el centro de la misma). Por el extremo opuesto del diámetro, D, realizamos lamisma operación. Donde estos arcos corten a la circunferencia serán los vértices del hexágono.Si queremos un triángulo (3 lados) solo tendremos que unir los vértices de 2 en 2 (en azul). Si queremos construir un dodecágono (12 lados) haremos la misma operación con el otro diámetrocon sendos arcos en los extremos P y Q.Trazando las bisectrices de los ángulos centrales se pueden obtener polígonos de 24, 48, etc.

r

Para la construcción de polígonos regulares se contemplan dos tipos de ejercicios: 1.- Dividir una circunferencia en un número cualquiera de partes iguales que es lo mismo que inscribir polígonos regulares en una circunferencia. 2.- Construir un polígono regular de cualquier númerode lados a partir del lado conocido.

A

P Q

rB

D

C E

F

o

División de una circunferencia en CUATRO y OCHO partes iguales. CUADRADO Y OCTÓGONO.

Para construir un cuadrado de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AE, y CG.Donde cortan estos diámetros a la circunferencia serán los vértices del cuadrado.Para obtener el octógono (en rojo) solamente se deberá dibujar la bisectriz de los ángulos o bien lamediatriz del lado del cuadrado hasta que corte a la circunferencia.Si se quieren polígonos de 16, 32, etc. Se realizará la misma operación que con el octógono.

o

AB = r

B

C

D

E

F

H

G

A

División de una circunferencia en CINCO y DIEZ partes iguales. PENTÁGONO Y DECÁGONO.

1. Se dibujan dos diámetros perpendiculares AQ, y LM.2. Se dibuja la mediatriz de un radio. El arco corta a la circunferencia en N y la mediatriz al radioen L.3. Dibujar un arco con centro en L y radio LA, hasta que corte el radio OC, es el punto P.4. La distancia de A hasta P, será la magnitud del lado del pentágono.5. Se lleva distancia AP 5 veces sobre la circunferencia.

Si se quieren polígonos de 10 lados (decágono), Solamente habrá que coger la magnitud OP quees el lado del decágono. También se puede dividir el lado del pentágono con mediatrices o bien dibujar las bicectrices de los ángulos. Estas operaciones sirven para conseguir polígonosde 20 lados, etc.

o

E

A

45º

N

L

CD

P

B

Q

L M

División de una circunferencia en siete y catorce partes iguales. HEPTÁGONO Y TETRADECÁGONO.

1. Se dibuja el diámetro MN.2. Se traza la mediatriz del segmento O, centro de la circunferencia, y M. Corta la mediatriza la circunferencia en los puntos R y S.3. El segmento PR es el lado del heptágono. Poner esta medida a lo largo de la circunferencia.Para el polígono de catorce lados:1. Desde el centro de la circunferencia, dibujar las perpendiculares a los lados del heptágono.

o

A

P

B

N

C

DS

E

MF

R

División de una circunferencia en nueve partes iguales. ENEÁGNO.

A

1. Se dibujan los diámetros AN y MP perpendiculares entre sí.2. Con centro en N y radio N0, el mismo que la circunferencia, se traza un arco que corta en Q.3. Con centro en el otro extremo del diámetro A, y con radio AQ se dibuja un arco que corta enel diámetro perpendicular MP en el punto T.4. Con centro en T y radio TA se dibuja un arco que corta en el diámetro MP en el punto R.5. El segmento MR es el lado del eneágono.6. Colocar esta medida en toda la circunferencia. (en nuestro caso se ha empezado por A)

o

N

M P

Q

TRL9

12

3

4

5 6

7

8

9

Fecha

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Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.

A B

C

D

E

P

M

A BDibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r.2. Por el punto B, levantar una perpendicular.3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm)4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a laperpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco.5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arcoque corte a la recta r en el punto M.6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corteal primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz enel punto D. C y D son vértices del pentágono.7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E.

pmr

LDibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO. A BComo el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos quehacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscritoel hexágono. Debemos de saber también que si dividimos unacircunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º.1. Pondremos el lado AB sobre una recta r.2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás enA y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B.3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de lacircunferencia del hexágono.4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por Ay por B).5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior.

A B

oC

DE

F

Dibujar un OCTÓGONO cuando nos dan el LADO.Hay construcciones de polígonos que tienen varios métodos. Nosotros vamos a utilizar el siguiente:1. Se dibuja el lado (AB). 2. Se dibuja la mediatriz del lado AB: hallamos el punto medio M.3. Por el punto M dibujamos un arco de radio MA que corta a la mediatrizen el punto O1.4. Dibujamos una circunferencia con centro en O1 y radio O1A. Estacircunferencia corta a la mediatriz en el punto O2, que será el centro dela circunferencia que contenga los ocho lados (circunscrita al octógono).5. Dibujamos la circunferencia mencionada: con centro en O2 y radioO2A. 6. Llevamos sobre ella el lado AB ocho veces.

A B

O1

O2

C

D

EF

G

H

Dibujar un HEPTÁGONO cuando nos dan el LADO.

1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB) y una perpendicular(t) al mismo por A.2. Se dibuja un ángulo de 30º con el vértice en B.El ángulo corta a la perpendicular t en el punto Q.3.Desde B y con radio BQ se dibuja un arco que cortaa la mediatriz en O1, centro de la circunferencia delpolígono.

B

O1

t

Q

AB

C

E

D F

G

Dibujar un ENEÁGONO cuando nos dan el LADO.1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB). 2. Con centro en B y radio BA se traza unarco que corta a la mediatriz en el punto M. 3. Con centro en M y radio MA setraza un arco que corta a la mediatriz en el punto N.4. Con centro en N y radio NM se traza un arcoque corta a la mediatriz en el punto E, vérticeopuesto del lado AB y del diámetro de lacircunferencia que circunscribe el eneágono.5.Para hallar el centro dibujar la mediatrizdel segmento BE hasta que corteal diámetro.

AB

E

M

N

O1

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL.

Hay que tener en cuenta que el método general es un . Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza elmétodo específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero elresultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado.

método inexacto

CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

A

B

OC

D

E F

G

H

I

P

M

MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO.

1. Dibuja un diámetro vertical (ojo, que pase por el centro O)2. divídelo por el teorema de tales en tantas partescomo lados deba de tener el polígono que queremos construir, en nuestro ejemplo 9.3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arcode rado AP (el diámetro). Desde el otro extremoP se realiza otro arco igual que el primero.4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M.5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2del diámetro con el nº 2 de la división del teorema detales.6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la circunferencia en el punto B primera división de lacircunferencia. La recta AB será el lado del eneágono.7. Ir colocando la medida AB consecutivamentedesde A.

A tener en cuenta:Si el polígono es de lados impar como es el caso, el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitadpor el diámetro. Si al acabar el polígono no coincide la últimamedida con el punto A, hay que rectificar AB, másgrande o más pequeño según el caso. Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeñoque sea en AB se multiplicará por 9 en este caso.

10987

12

6

11

G

FH

I

J

K

A B

C

D

E

MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO.

1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior del recuadro a dibujar el polígono.2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11lados vamos a dibujar en primer lugar una circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados.El polígono de 11 estará entre estos dos últimos,luego el centro de la circunferencia circunscrita también.(ver hexágono según el lado)3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual.4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la circunferencia5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia. Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro de la circunferencia de 12 lados (dodecágono).6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seispartes iguales.7. Cada una de las partes en que se divide será un centro de una circunferencia del número señalado en el que caben tantos lados AB como divisiones marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígonode siete lados AB)8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el compás en 11 y dibujamos una circunferencia.9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces el lado AB.10. Repasar siempre la figura un poco más oscuroo con un color con el lápiz bien afilado.

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

Departamento deArtes Plásticas

CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.

Polígonos estrellados.Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo en forma de estrella con diferentes vértices o puntas.Para construir un polígono estrellado hay varios métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el El Método de Reducción: consiste en trazar la estrella inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay quee dibujar primero su polígono regular en el que está sustentado, y unirl o s v é r t i c e s d e é s t e d e d o s e n d o s , d e t re s e n t re s , d e c u a t r o e n cu a t r o , d e c i n co e n c i n co , e t c .Otro método es El Método de Extensión: consiste en utilizar el polígono regular como centro, trazándose las puntas de las estrella mediante la prolongación de los lados del polígono regular. .El número de polígonos estrellados que se pueden dibujar con un número de vértices diferente, es igual la cantidad de números primos conel número de vértices del polígono base dividido por dos. Un número es primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes.Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solotendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2.

A

B E

C D

O

Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado.Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B,y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final).

Dibujar un pentágono estrellado.

Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas).

Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos delpentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado. 2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP.4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.

A

B

C

E

O

M

k

P

L7

D

F

G

AB

C

D

G

F

E

O

Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde) puesto que este polígono tiene dos estrellados.

AB

C

D

G

F

E

O