Diccionario de matematica

Libro de Distribucion Gratuita

A B

CD

M

N

25 = 32Base

Exponente

Potencia

25 = 2× 2× 2× 2× 2︸︷︷︸5 factores

= 32

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

cion

Matematicas Lenguaje Ciencias

α

Hipotenusa

Cat

eto

opue

sto

Cateto adyacente

xX

f (x)Yf

Funcion

Dominio Contradominio

Valores que ledamos a la funcion

Valores que nosdevuelve la funcion

A B

A∩B

x

y

y = f (x)

ba

x

y

FF′

P(x, y)

LR

VV′

B

B′

Ox

y

y = sin x

λ

(Version para Bachillerato)Libro de distribucion gratuita

Diccionario

Ilustrado

de

Conceptos

Matemáticospor

Efraín Soto Apolinar

TÉRMINOS DE USO

Derechos Reservados © 2011.

Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.

Soto Apolinar, Efraín.Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos.Tercera edición.México. 2011.

Apreciado lector, usted puede sentirse libre de utilizar la información que se encuentraen este material, bajo las siguientes condiciones:

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No Modificar: No se permite alterar, transformar, modificar, en forma alguna este mate-rial. Usted tiene permiso para utilizarlo «como está y es». No se permite ni agregar,ni eliminar, ni modificar: palabras, u oraciones, o párrafos, o páginas, o subsec-ciones, o secciones, o capítulos o combinaciones de las anteriores o parte algunadel libro.

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Responsabilidad: Ni el autor, ni el editor son responsables de cualquier pérdida o riesgoo daño (causal, incidental o cualquier otro), ocasionado debido al uso o inter-pretación de las definiciones que se incluyen en este diccionario.

Versión Electrónica de distribución gratuita.Estrictamente prohibido el uso comercial de este material.

iii

Prefacio

En México la enseñanza de las matemáticas está tomando cada vez mayor importanciapor parte de autoridades educativas, profesores y padres de familia.

El uso de las matemáticas por parte de todos los ciudadanos está muy ligado a la formacomo se aprendieron en primaria y secundaria, de manera que un niño que entendióbien los conceptos básicos, asegura un aprendizaje más efectivo en cursos futuros.

Sin embargo, muchas de las fuentes de información actuales no se escribieron pensandoen los estudiantes, sino en la ciencia, es decir, se escribieron los conceptos de maneraque los entienden los matemáticos solamente. Esto es contraproducente en el apren-dizaje efectivo de los estudiantes.

Al ver este nicho de oportunidad, hemos decidido escribir este pequeño diccionario paraque nuestros estudiantes del nivel básico tengan al alcance de su madurez intelectual losconceptos básicos de las matemáticas y así apoyar la educación pública de calidad ennuestro país.

Este diccionario ilustrado de conceptos matemáticos de distribución gratuita incluyemás de mil definiciones y más de trescientas ilustraciones para que el lector pueda crearuna idea más clara del concepto para entenderlo de una manera más sencilla y amena.

Esperamos que este sea, no solamente tu primer diccionario ilustrado de matemáticas,sino una fuente de inspiración para entender de verdad las ciencias exactas.

Este Diccionario Ilustrado de Conceptos Matemáticos está en continua mejora. Ustedpuede descargar la última versión de este material desde el siguiente sitio de Internet:

http://www.aprendematematicas.org.mx/

Versión aumentada

para Bachillerato

Efraín Soto Apolinary revisores del diccionario

Monterrey, N.L., México.Abril de 2 011.

www.aprendematematicas.org.mxEstrictamente prohibido el uso comercial de este material

iv

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


ÍNDICE v

Índice

Términos de uso ii

Prefacio iii

a 1

b 13

c 17

d 37

e 55

f 67

g 77

h 81

i 85

j 93

l 95

m 101

n 111

o 119

p 123

r 141

s 151

t 161


vi

u 171

v 173

Lista de símbolos 176

Referencias 179

Agradecimientos a revisores 180

Créditos 181

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

AEfrain Soto Apolinar

Abierto, conjunto Conjunto cuyo com-plemento es cerrado. En otras pala-bras, un conjunto es abierto cuandosus valores límite (en frontera) no sonelementos del conjunto mismo.Vea la definición de «Abierto, inter-valo».

Abierto, intervalo Intervalo que noincluye sus valores extremos. Si losextremos del intervalo abierto son ay b , entonces, se denota por: (a , b ).Geométricamente, el intervaloincluye a todos los puntos de larecta numérica entre a y b , pero ex-cluyendo a estos dos valores.La siguiente figura muestra el inter-valo abierto (a , b ):

xa bO

Aceleración (1.) Vector cuya magni-tud indica cuánto cambia la veloci-dad por cada unidad de tiempo ysu dirección indica la dirección delmovimiento.(2.) En Cálculo, la aceleración sedefine como la segunda derivada dela posición respecto del tiempo, queequivale a la primera derivada de

la rapidez (velocidad) respecto deltiempo.

A posteriori Declaraciones o afirma-ciones que tienen su base en eviden-ciaempírica, es decir, que se basanen observaciones, experimentacio-nes, etc., que dan soporte de suveracidad.

A priori Declaraciones o afirmacionesque se dan sin evidencia que apoyesu veracidad, pero que puedendemostrarse a partir de razonamien-tos lógicos.

Ábaco Calculadora que se utiliza paracontar. El ábaco tiene dispues-tas barras de fichas que se utilizanpara formar números con ellas. Acada ficha de diferentes barras sele asignan unidades, decenas, cen-tenas, etc., y de esta manera sepueden usar para realizar cálculosfácilmente.

2

A

Abscisa–Algoritmo de Euclides

UnidadesDecenas

Centenas

...

Ábaco

El ábaco fue inventado en China.

Abscisa Para indicar un punto del planose requieren de dos coordenadas:P (x , y ). La primera coordenada (x )se conoce como abscisa. La segundacoordenada (y ) se conoce como or-denada.

Absoluto, valor El valor absoluto de unnúmero x , denotado por |x | se definecomo su valor numérico si considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18es: | − 18| = 18, y el valor absoluto de3 es: |3|= 3.Geométricamente, el valor absolutorepresenta la distancia del origen dela recta numérica al punto que lecorresponde el número:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| −3| |2|

Acre Unidad de superficie igual a 4 047m2.

Adición Sinónimo de suma.

Aleatorio Decimos que un evento o unproceso es aleatorio si no es posiblepredecir el siguiente resultado o el

siguiente paso del proceso.Por ejemplo, una caminata aleatoriaconsiste en caminar a la misma ve-locidad en un plano, cambiando la di-rección cada vez que se desee.

Alfabeto griego Vea la definición «Griego,alfabeto».

Álgebra Es la rama de las matemáticasque estudia las propiedades de losnúmeros reales a través de su abstrac-ción en forma de polinomios y fun-ciones.

Algebraica, expresión Representaciónmatemática de una cantidad uti-lizando literales y operaciones entrelas mismas.Por ejemplo, 2 x 2+ 5 y , es una expre-sión algebraica.

Algoritmo Procedimiento definido parala solución de un problema, paso apaso, en un número finito de pasos.

Algoritmo de Euclides Algoritmo paracalcular el máximo común divisorde dos números MCD(m , n ) dondem > n , que se puede resumir comosigue:

1. Dividir m entre n . Sea r elresiduo.

2. Si r = 0, entonces MCD(m , n ) =n . (Fin)

3. Si r , 0, entonces MCD(m , n ) =MCD(n , r ).

4. Remplazar (m , n ) por (n , r ) e ir alpaso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12×2+3

12 = 3×4+0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.


Algoritmo de la división– Ángulo

A

3

Algoritmo de la división Dados losnúmeros enteros a , b , con b , 0, exis-ten números enteros únicos q , r , con0≤ r < b , tales que: a = b q + r .Por ejemplo, considerando a = 17,b = 3, se tiene:

17= (3)(5) +2

En este caso, q = 5, y r = 2.

Altura En un triángulo, la altura es iguala la distancia medida perpendicu-larmente desde la base del triángulohasta elvértice opuesto. La altura se denotacon la literal h .

h

En un triángulo las tres alturas seintersectan en un punto que se llama«ortocentro».En un trapecio o en un paralelo-gramo, la altura es el segmento derecta perpendicular a la base que vadesde la base a su otro lado paralelo.

h

Amortización En negocios, la amorti-zación se refiere al pago de una deudapor medio de pagos iguales distribui-dos en varios periodos (a plazos). Elimporte del abono A periódico calcu-lado a partir del monto M y la tasa deinterés compuesto r , es:

A =M ·r (1+ r )n

(1+ r )n −1

donde el valor de r ha sido divididoentre cien antes de hacer la sustitu-ción.

Amplitud En una onda sinusoidal, laamplitud es la distancia que haydesde el eje de la onda hastacualquiera de sus cimas.

x

y

y = sin x

1

-1

A

Análisis matemático Rama de lasmatemáticas que se encarga del es-tudio de las funciones, los límites ysus propiedades.

Análisis numérico Conjunto de reglasy métodos para la resolución deecuaciones y problemas a través demétodos iterativos. Estos métodosgeneralmente se realizan a través dela programación de computadoras.Vea la definición de «Iteración».

Analítica, geometría Es el estudio de lageometría utilizando un sistema deejes coordenados para aplicar princi-pios algebraicos en la solución deproblemas.

Ángulo Figura plana formada por dossegmentos de recta que se cortan enun punto. El punto donde se cortanse llama vértice. Los segmentos sonlos lados del ángulo. La medida de unángulo indica la abertura entre suslados.


4

A

Ángulo agudo–Ángulos complementarios

Lado

LadoVértice

α

En la figura, α representa la medidadel ángulo.Un ángulo también se puede denotarusando tres letras, como se indica enla siguiente figura:

C

ABα

El ángulo α también se puede deno-tar como ∠AB C , donde el punto B eselvértice del ángulo.Normalmente el ángulo en el plano espositivo cuando se mide en el sentidocontrario al giro de las manecillas delreloj y negativo cuando se mide en elmismo sentido de giro de las maneci-llas.

Ángulo agudo Ángulo cuya medida esmenor a la de un ángulo recto. Enla definición de «Ángulo», el ángulomostrado (ambas figuras) es agudo.

Ángulos adyacentes Dos ángulos sonadyacentes cuando tienen el mismovértice y comparten un lado comúnubicado entre ellos.En la siguiente figura los dos ángulosson adyacentes:

αβ

Los ángulos α y β tienen un mismopunto por vértice y tienen un lado encomún, por eso son adyacentes.

Ángulos alternos Cuando un par de rec-tas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Si dosángulos se encuentran en diferentelado respecto de la secante y no com-parten el vértice, entonces los ángu-los son alternos.En la figura mostrada en la defini-ción de «Ángulos correspondientes»,los pares de ángulos (α,ζ) y (δ,ε) sonalternos.

Ángulo central En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferen-cia y cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo cen-tral αmide 60:

α

El ángulo central se define de maneraequivalente para el círculo.

Ángulos complementarios Dos ángulosson complementarios si la suma desus medidas es igual a la medida de


Ángulos congruentes–Ángulo de elevación

A

5

unángulo recto. En otras palabras,si la suma de dos ángulos es iguala 90, entonces los ángulos soncomplementarios.

αβ

En la figura anterior, los ángulosα yβson complementarios.

Ángulos congruentes Dos ángulos soncongruentes si tienen la mismamedida.

Ángulos conjugados Dos ángulos sonconjugados si la suma de sus medi-das es igual a la medida de un ánguloperigonal. En otras palabras, dos án-gulos son conjugados si la suma desus medidas es igual a 360.

Ángulos consecutivos En un polígono,dos ángulos son consecutivos sitienen un lado común.En el siguiente pentágono, los ángu-los A y B son consecutivos.

A

B

Ángulos correspondientes Cuando unpar de rectas paralelas son cortadaspor una secante, se forman 8 ángu-los. Si dos ángulos no adyacentes seencuentran del mismo lado respecto

de la secante, siendo uno interno yel otro externo, entonces los ángulosson correspondientes.En la figura se muestran los paresde ángulos correspondientes: (α,ε),(β ,ζ), (γ,η) y (δ,θ ).

α

ε

γ

η

β

ζ

δ

θ

`2

`1

`1 ‖ `2

Ángulo de depresión Ángulo formadopor la horizontal y la línea que une aun observador con un objeto situadopor debajo del nivel de observación.En la siguiente figura, el ánguloα corresponde al de depresión dela persona que observa la bici-cleta desde el punto donde la manoapunta.

®

Zα

Ángulo de elevación Ángulo formado porla horizontal y la línea que une a unobservador con un objeto situado porencima del nivel de observación.En la siguiente figura, el ángulo αcorresponde al de elevación de la per-sona que observa el balón desde elpunto donde la mano apunta.


6

A

Ángulo de rotación–Ángulos internos

o

Zα

Ángulo de rotación Ángulo que se rotauna figura o que cambia en su ori-entación respecto de un eje fijo.En la siguiente figura se muestra unplano que se ha rotado 30, es decir,el ángulo de rotación en este caso esde 30.

x

y

x ′

y ′

θ = 30

Ángulo entrante Ángulo que mide másque un ángulo llano, pero menos queunángulo perigonal. En otras palabras,el ángulo entrante mide más de 180,pero menos que 360.En la figura, el ángulo α es entrante:

α

Ángulo externo En un polígono, un án-gulo externo es el que se forma poruno de sus lados y la prolongación deun lado adyacente.En la siguiente figura se muestra unángulo α externo del pentágonomostrado:

D

E

A B

Cα

Ángulos externos Cuando un par de rec-tas paralelas son cortadas por unasecante, se forman 8 ángulos. Loscuatro ángulos que quedan fuera deentre las rectas paralelas son los án-gulos externos.En la siguiente figura los cuatro ángu-los marcados (α,β ,γ,δ) son externos.

α β

γ δ

E

F

A B

C D

AB ‖C D

Ángulo inscrito Ángulo que tiene su vér-tice sobre una circunferencia y cuyoslados son dos cuerdas de la misma.

α

Ángulo inscrito

Ángulos internos (1.) Cuando un par derectas paralelas son cortadas por una


Ángulo llano– Ángulo recto

A

7

secante, se forman 8 ángulos. Loscuatro ángulos que quedan entre lasrectas paralelas son los ángulos inter-nos.En la figura mostrada en la defini-ción de «Ángulos correspondientes»,los cuatro ángulos: γ,δ,ε y ζ son in-ternos.(2.) En un polígono, un ángulo in-terno es el ángulo que se forma pordos lados consecutivos del polígono.

i

La medida del ángulo interno de unpolígono regular se denota por laliteral i .Vea la definición de «Polígonoregular».

Ángulo llano Ángulo que mide exacta-mente lo mismo que dos rectos. Enotras palabras, un ángulo llano mide180.

α

En la figura anterior, el ángulo α esllano. Como puedes ver, los ladosdel ángulo llano están sobre la mismarecta.

Ángulo obtuso Ángulo que mide más queun ángulo recto, pero menos que unángulo llano. En otras palabras, unángulo obtuso mide más de 90, peromenos que 180.

α

En la figura anterior, el ángulo α esobtuso.

Ángulos opuestos por el vértice Dos án-gulos son opuestos por el vértice si laprolongación de los lados de uno sonlos lados del otro.En la siguiente figura, los ángulos α yβ son opuestos por el vértice:

αβ

Ángulos opuestos por el vértice

Los ángulos opuestos por el vérticetienen la misma medida.

Ángulo perigonal Ángulo que mide lomismo que cuatro ángulos rectos.En otras palabras, el ángulo perigonalmide 360.

α

En la figura anterior, el ángulo α esperigonal.

Ángulo recto Ángulo que se formacuando dos rectas se cortanformando cuatro ángulos iguales. Enotras palabras, elángulo recto mide 90.

α


8

A

Ángulos suplementarios – Arco

En la figura anterior, el ánguloα es unángulo recto.

Ángulos suplementarios Dos ángulosson suplementarios si la suma de susmedidas es igual a la medida de unángulo llano. En otras palabras, si lasuma de dos ángulos es igual a 180,entonces los ángulos son suplemen-tarios.

αβ

En la figura anterior, los ángulosα yβson suplementarios.

Antecedente En una razón, el primertérmino se llama antecedente, elsegundo se llama consecuente.Por ejemplo, en la razón 5 : 7, elnúmero 5 es el antecedente y el 7 esel consecuente.

Antiderivada Una función F (x ) es unaantiderivada de f (x ), si la derivadade F (x ) es igual a f (x ). Matemática-mente:∫

f (x )dx = F (x ) ⇒ F ′(x ) = f (x )

Observe que la antiderivada de f (x )se denota por: F (x ) =

∫

f (x ).Si y = F (x ) es una antiderivada de lafunción y = f (x ), también lo es y =F (x ) +C , donde C es una constantecualquiera.

Antilogaritmo Si a x = y , entonces, dec-imos que y es el antilogaritmo delnúmero x en la base a .Por ejemplo, dado que 23 = 8, se tiene

que 8 es el antilogaritmo de 3 en labase 2.Observa que las funciones logaritmoy antilogaritmo son funciones inver-sas.

Año Un año es el tiempo que tarda la tierradar una vuelta alrededor del sol en sumovimiento de traslación y es aprox-imadamente igual a 365 días.El año se divide en 12 meses.

Año bisiesto Cada cuatro años, un añotiene 366 días. Este día extra se agregaal mes de febrero, por lo que en unaño bisiesto febrero tiene 29 días.El año 2012 es un año bisiesto.

Apotema En un polígono regular, elapotema es el segmento que va desdeel centro del polígono al punto mediode uno de sus lados.

Ap

otem

a

Aproximar Dar un valor cercano a otro.Por ejemplo, podemos aproximar elvalor del número π = 3.141592654 · · ·como 3.1416El símbolo matemático que denotaaproximación es: ≈.En el caso del ejemplo dado antes,tenemos π≈ 3.1416.

Arco Segmento de circunferencia delim-itado por dos de sus puntos.


Arcocoseno–Arquímedes de Siracusa

A

9

Arco

A

B

El arco cuyos extremos son los puntosA y B se denota por: AB

_

Arcocoseno La función arcocoseno delángulo x , denotada por arccos x ,es la función inversa de la funcióncoseno.

Arcoseno La función arcoseno del ángulox , denotada por arcsin x , es la fun-ción inversa de la función seno.

Arcotangente La función arcotangentedel ángulo x , denotada por arctan x ,es la función inversa de la funcióntangente.

Área Superficie que cubre un cuerpo ofigura geométrica. Sus unidades semiden en unidades cuadradas comocentímetros cuadrados (cm2), metroscuadrados (m2), hectáreas (ha), etc.

Área superficial Medida del tamaño deuna superficie.

Argumento El argumento de una funciónes el valor que le damos a la variableindependiente para evaluarla.Por ejemplo, si el argumento dela función coseno es π, entoncesescribimos: cos(π).

Arista Línea recta donde se intersectandos caras de un cuerpo geométrico.

Arista

Aritmética Es la rama de las matemáti-cas que se dedica al estudio de losnúmeros y sus propiedades bajo lasoperaciones de suma, resta, multipli-cación y división.

Aritmética, sucesión Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unadiferencia constante.El primer término de la lista se denotapor a1 y la diferencia constante por d .Podemos calcular el n−ésimo tér-mino an de la sucesión usando la fór-mula:

an = a1+d (n −1)

Y la suma Sn de los primeros n térmi-nos con:

Sn =n (a1+an )

2

A la sucesión aritmética también sele conoce como «progresión arit-mética».

Arquímedes de Siracusa (287 AC – 212AC)Matemático de la antigua Grecia.Realizó importantes contribucionesen geometría y mecánica. Enparticular, encontró la base de loque actualmente se conoce comoel Cálculo Infinitesimal, inven-tado de manera independiente enel siglo XVIII por Isaac Newton yGottfried Wilhelm Leibniz.


10

A

Arreglo–Áurea, proporción

Arreglo Dado un conjunto con n elemen-tos, el número de arreglos es igual alnúmero de formas de elegir k objetos,en donde se considera importante elorden de los objetos.Por ejemplo, suponga que desea crearbanderas de tres colores usando 10diferentes colores. Evidentemente,el orden de los colores importa. Elnúmero de banderas diferentes quepodemos crear es igual al número dearreglos de 3 colores de entre los diezdisponibles. Arreglo es sinónimo decombinación.Vea las definiciones «Permutación» y«Combinación».

Arroba Unidad de peso que equivale a11.4 kg, o bien a 25 libras.

Asimétrico Una figura geométrica esasimétrica cuando no presenta algúntipo de simetría.La siguiente figura es asimétrica:

Figura asimétrica

Asíntota 1. Se dice que una curva tieneuna asíntota si se acerca mucho auna recta, pero sin llegar a tocarla.La recta representa la asíntota de lacurva.

x0 1 2 3 4 5

y

1

2

Asíntota

y =1

x+1

2. En una hipérbola, las asíntotasson las rectas que pasan por el centrode la hipérbola y que son diagonalesdel rectángulo con lados de longi-tud igual al eje transverso y al ejeconjugado.Ver definición de «Ecuación de laHipérbola».

Asociativa La propiedad asociativa para lasuma es la siguiente:

(a + b ) + c = a + (b + c )

y para la multiplicación:

(a · b ) · c = a · (b · c )

En la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar lasdemás propiedades de los númerosreales.

Áurea, proporción Número irracionaldenotado por la letra griegaφ, e iguala:

φ =1+p

5

2Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto es-tético.Se dice que un rectángulo está en pro-porción aurea cuando al multiplicarla longitud de un lado por φ obtene-mos como resultado la longitud delotro lado.


Axioma– Azar

A

11

A B

CD

M

N

Si dividimos:

AB

entre

B C

obtenemos el mismo resultado quedividir

B C

entre

B M

:

φ =

AB

B C

=

B C

B M

=1+p

5

2

Las dimensiones de los rectángulosAB C D y M B C N están en propor-ción áurea.

Axioma Una verdad tan evidente que norequiere demostrarse.Por ejemplo, «la suma de dos

números reales es otro número real»,es un axioma.

Axioma de existencia Axioma quesupone la existencia de un objeto ovarios objetos matemáticos.

Axiomático, sistema Una forma secuen-cial y sistemática de organizar unateoría de las ciencias exactas.

Azar Decimos que un experimentoo evento tiene azar cuando noes posible predecir su resultado.Por ejemplo, el hecho de que eldía en que el equipo de fútbolsoccer de la escuela tendrá su próxi-mo juego lloverá, no se puedepredecir, así que es un evento quetiene azar. Al lanzar una moneda elresultado también tiene azar, puespuede ser sol o águila.


12

ALi

brode

distr

ibuci

óngr

atuita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

BEfrain Soto Apolinar

Baricentro El baricentro de un triánguloes el punto donde se intersectan sustres medianas.

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedaddel triángulo.

Base (Álgebra) La base es el número quese multiplicará el número de vecesindicado por el exponente.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2×2×2×2×2

︸︷︷︸5 factores

= 32

(Aritmética) 1. La base de un sistemade numeración es el número que seutiliza para formar los números. Los

mayas usaban la base 20, es decir,contaban de 20 en 20. Nosotrosusamos la base 10, por eso decimosque usamos una base decimal.

2 375= 2×103+3×102+7×10+5

El número 10 es la base de nuestrosistema de numeración.2. La base de un logaritmo es elnúmero que se utiliza para su cálculo.Por ejemplo, en log5 125 = 3, la basees 5.Podemos cambiar la base de unlogaritmo utilizando la siguientefórmula:

loga M =logb M

logb a

Por ejemplo, para calcular, log5 10puedes usar la fórmula anterior yescribir en la calculadora científica:log 10 ÷ log 5 con lo que obtendrás:1.430676558.En este caso: M = 10, b = 10 y a = 5.(Geometría) 1. La base de un polí-gono es el lado sobre el cual éste des-cansa.

14

B

Bayes, teorema de–Binaria, operación

Base

2. La base de un triángulo es uno desus lados a partir del cual se puedemedir la altura.

Base

h

3. La base de un poliedro es la caradesde la cual se medirá la altura delmismo.

Bayes, teorema de Sean A y B dos even-tos cualesquiera con probabilidadde ocurrencia diferente de cero.Entonces,

P (B |A) =P (A|B ) ·P (B )

P (A)

En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocur-rió el evento A es igual al productode la probabilidad de que ocurrael evento A dado que ya ocurrió Bpor la probabilidad de ocurrencia delevento B , dividido entre la probabili-dad de ocurrencia del evento A.

Bi- Prefijo que se utiliza para indicar eldoble de algo.Por ejemplo, bicolor, indica un lápizde dos colores.

Bicentenario Unidad de tiempo equiva-lente a doscientos años.

Bidimensional Decimos que una figura oun objeto es bidimensional cuandoes de dos dimensiones. Esto es,cuando una figura se encuentra enel plano, decimos que es bidimen-sional.

Billón Un billón es igual a un millón demillones, es decir,

1 000 000×1 000 000= 1 000 000 000 000

El billón se escribe con un 1 seguidode 12 ceros.

Bimodal Cuando el diagrama de frecuen-cias de una población presenta dosclases con la misma frecuencia, dec-imos que es bimodal, es decir, losdos valores son los más frecuentes, ypor tanto, ambos son la moda de lapoblación. De ahí el prefijo «Bi».

A B C D E Fx

f

En el histograma mostrado, las clasesC y E tienen la misma frecuencia, yambas son la más alta. Por esto, estadistribución es bimodal.

Binaria, operación Operación definidacon dos números o expresionesalgebraicas.Por ejemplo, la suma es una op-eración binaria, porque se requierede dos números para hacer la suma.


Binario–Brújula

B

15

Binario Se refiere a un sistema que uti-liza dos dígitos, el 1 y el 0. El sistemabinario también se conoce como elsistema de numeración en base 2.Este sistema se utiliza en el diseñode componentes electrónicos, comopor ejemplo, de circuitos electrónicoscon fines computacionales.El número 8 (ocho) en sistema bina-rio es: 1002,y el 100 (cien) en estesistema se escribe como: 11001002.El subíndice 2 indica que el númeroestá escrito en el sistema de nu-meración de base 2.

Binomio Polinomio que tiene dos térmi-nos (no semejantes). Por ejemplo,2 x 2+x , a x 2 y +b x y 2, y 7 x 3−a 4 sonbinomios.

Binomio de Newton Producto notableque sirve para calcular cualquierpotencia (entera o racional) de unbinomio de forma directa, cuya fór-mula es:

(x+y )n = x n+n x n−1 y+· · ·+n x y n−1+y n

El binomio de Newton también seconoce como «teorema del binomio».Los coeficientes del polinomio de ele-var el binomio a la potencia n puedencalcularse usando el triángulo de Pas-cal o usando la fórmula de combina-ciones:

(x + y )n =n∑

k=0

nk

x n−k y k

Vea la definición de «combinación».

Bisectriz Recta que divide a un ángulo endos ángulos de la misma medida. Enotras palabras, la bisectriz es el eje desimetría de un ángulo.

αα

Bisectriz

A

BC

La bisectriz tiene la propiedad quecualquiera de sus puntos equidista delos lados del ángulo.En un triángulo, sus tres bisectrices secortan en un punto que se llama in-centro.

Incentro

Como el incentro equidista de los treslados del triángulo, es el centro de lacircunferencia que es tangente a lostres lados del triángulo.

Brújula Instrumento utilizado paradeterminar el norte geográ-fico. Utiliza una aguja iman-tada que se alinea con el campomagnético terrestre.La siguiente figura muestra unabrújula:

E

N

O

S


16

B

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

CEfrain Soto Apolinar

C Símbolo que representa el conjunto delos números complejos.

Cabrí Geometré Software para realizarconstrucciones geométricas y re-solver problemas de geometríaplana.

Cadena Unidad de longitud utilizada en laantigüedad equivalente a 22 yardas, obien a 20.1168 metros.

Calculadora Dispositivo o aparato que seusa para realizar cálculos.

Calcular Obtener o encontrar el resultadode una operación.

Cálculo Rama de las matemáticas que seencarga del estudio de las cantidadesque varían continuamente y las rela-ciones entre ellas.En el Cálculo se estudian los concep-tos de límite, continuidad, derivada eintegral y sus aplicaciones.El Cálculo también se denomina«Cálculo infinitesimal».

Cancelación Decimos que hemos can-celado un número o una expresiónalgebraica cuando aplicamos una delas siguientes propiedades de los

números reales:

a + (−a ) = 0

a ·1

a= 1

Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:

12

21=(3)(4)(3)(7)

=4

7

decimos que hemos cancelado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Canónico Estándar o usual. Se uti-liza generalmente para indicar quevamos a tomar el caso convencional.Por ejemplo, al decir que usamos unsistema de coordenadas canónico,entendemos que usamos un sistemade coordenadas donde los ejes sonmutuamente perpendiculares y am-bos tienen la misma unidad demedida.

Capacidad En matemáticas la palabra«capacidad» nos indica el valor delvolumen que ocupa un sólido.Por ejemplo, un cubo con una capaci-dad de un litro, indica que el cuboocupa un volumen de un litro.

18

C

Cara–Central, ángulo

Cara En un poliedro, una cara es cada unode los polígonos que lo delimitan.En el cubo cada uno de los cuadra-dos que lo delimita es una cara delpoliedro.

Car

a

Característica La parte entera de unlogaritmo, es decir, la parte que estáa la izquierda del punto decimal. Porejemplo, sabiendo que ln(π)≈ 1.1447,su característica es 1.

Cardinalidad La cardinalidad de unconjunto, denotado por el sím-bolo ν, es el número de elemen-tos que éste contiene. Por ejem-plo, la cardinalidad del conjunto0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 es 10.

Cartesiano, plano Sistema de coordena-das en el cual los ejes son mutua-mente perpendiculares y ambos uti-lizan la misma unidad de medida.La siguiente figura muestra un planocartesiano:

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

Cartesiano, producto El producto carte-siano de los conjuntos A y Bdenotado por A × B es el conjuntoformado por todos los pares ordena-dos (a , b ) donde a ∈A y b ∈B.Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =4, 5, 6. Entonces,

A×B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5),(2, 6)

Centésimo (1.) Un centésimo es equiva-lente a una de las partes de un enteroque ha sido dividido en cien partesdel mismo tamaño.(2.) En un número con decimales, eldígito de los centésimos es el dígitoque se encuentra en la segunda posi-ción a la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 3.1416, eldígito «4» corresponde a los centési-mos.

Centi- Prefijo que denota centésimaparte. Por ejemplo, centímetro indicala centésima parte de un metro.

Central, ángulo En una circunferencia, elángulo central es aquel que tiene suvértice en el centro de la circunferen-cia y cuyos lados son dos radios.En la siguiente figura el ángulo cen-tral αmide 60:

α


Centro–Científica, notación

C

19

Centro El centro de una figura es el puntode simetría de la misma.

CC

En las figuras mostradas, C es elcentro.

Centro de gravedad Punto en donde sepuede considerar concentrada lamasa de un objeto físico para su es-tudio.El centro de masa se usa cuando ladistribución espacial de la masa delobjeto no es importante para la dis-cusión.

Centroide El centro de gravedad de unpolígono plano.El centroide del triángulo es el puntodonde se intersectan las tres media-nas del mismo:

Baricentro

El centroide de un triángulo tambiénse conoce como el baricentro.

Cerrado, intervalo Intervalo que síincluye sus valores extremos. Si losextremos del intervalo cerrado sonlos puntos a y b , se denota por [a , b ].Geométricamente, el intervalocerrado [a , b ] se indica como muestrala siguiente figura:

xa bO

Cerradura Un conjunto A presenta lapropiedad de cerradura bajo unaoperación cuando al realizar esaoperación a cualesquiera dos desus elementos el resultado es otroelemento del conjunto A.Por ejemplo, el conjunto de losnúmeros pares es cerrado bajo lasuma, porque cuando sumamos dosnúmeros pares, el resultado es otronúmero par.Por el contrario, los números imparesno son cerrados bajo la suma, porquecuando sumamos dos números im-pares no obtenemos un número im-par, sino par.

Científica, notación Forma abrevi-ada de escribir números muygrandes o muy pequeños. Paraesto, se escribe el primer dígitodel número, el punto decimal ydespués los siguientes dígitos delnúmero (si se desea mayor pre-cisión) y finalmente el número 10elevado a la potencia n , donden es el número de cifras secorrió el punto decimal a la izquierda.Por ejemplo, el número 120 000 es-crito en notación científica es:

120 000= 1.2×105

Observa que el punto decimal se cor-rió cinco cifras a la izquierda, por esoescribimos exponente 5 al número10.Cuando el punto decimal se correhacia la derecha, el exponente debetener signo negativo.Por ejemplo, el número 0.00035 es-crito en notación científica es:

0.00035= 3.5×10−4


20

C

Cifra significativa–Circuncentro

Ahora el punto decimal se harecorrido 4 lugares a la derecha, poreso el exponente tiene signo nega-tivo.

Cifra significativa Cuando redondeamosun número, el número de dígitosque consideramos corresponde alnúmero de cifras significativas del re-dondeo.Por ejemplo, si a π = 3.141592654 · · · ,lo consideramos como 3.1416, esta-mos usando 4 cifras significativas.

Cilindro Cuerpo geométrico con basesparalelas circulares y paredesperpendiculares a sus bases.

r

h

Cilindro

Área = 2πr 2+2πr h

Volumen = πr 2h

Cilindro elíptico Cilindro cuyas bases sonelipses.

Cima En una curva sinusoidal, la cima escada uno de los puntos más altos ensu trayectoria.Por el contrario, la sima (con s)corresponde a cada uno de los puntosmás bajos de su trayectoria.

Cima Sima

Círculo Área que queda delimitada poruna circunferencia. Es decir, lacircunferencia es el perímetro del cír-culo.

Cir

cunferencia

Círculo

Podemos calcular el área del círculousando la fórmula:

Área=π r 2

donde r es el radio de la circunferen-cia.Podemos decir que el círculo es elconjunto de puntos que están a unamenor distancia r de un punto fijoC , llamado centro. La distancia r sellama radio del círculo.

Circuncentro Es el punto donde se inter-sectan las tres mediatrices de untriángulo.

Circuncentro


Circuncírculo–Colineal

C

21

Circuncírculo El circuncírculo de un polí-gono es la circunferencia que pasapor cada uno de sus vértices.En la definición de «Circuncentro»,la circunferencia mostrada es el cir-cuncírculo del octágono de la figura.

Circunferencia La circunferencia es elconjunto de puntos del plano queestán a la misma distancia de unpunto fijo C que es el centro de lacircunferencia.La distancia del centro de lacircunferencia a cualquiera de suspuntos se llama radio (r )

Cir

cunferencia

C

r

En la figura anterior, el punto C es elcentro de la circunferencia y r es suradio.La ecuación de la circunferencia quetiene su centro en el punto C (h , k ) yradio r es:

(x −h )2+ (y −k )2 = r 2

A la circunferencia no le podemosmedir el área, pues es un segmento delínea curva, pero sí podemos calcularsu longitud o perímetro (C ):

C = 2π r

Circunscrito, polígono Se dice que unpolígono es circunscrito cuandotodos sus lados son tangentes a unamisma circunferencia.

Hexágono circunscrito

Cociente Resultado de la división de dosnúmeros.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2,el cociente es el número 2, el divi-dendo es el número 10 y el divisor esel número 5.

Coeficiente Es un número que multiplicaa una literal. Es decir, es el factornumérico de un término.Por ejemplo, en 2 x , el número 2 es elcoeficiente.

Cofunción Para cada una de las fun-ciones trigonométricas básicas, seno,secante y tangente, se define una co-función:

Función Cofunción

Seno (sin x ) Coseno (cos x )Secante (sec x ) Cosecante (csc x )

Tangente (tan x ) Cotangente (cot x )

Colineal Se dice que varios puntos soncolineales cuando están sobre unamisma recta.

`

PQ

RS

En la figura anterior, los puntos P , Q ,R y S son colineales, pues todos estánsobre la misma recta `.


22

C

Columna–Complementarios, ángulos

Columna En una matriz, una columna esuna línea vertical de sus elementos.En la siguiente matriz A, la primeracolumna está formada por loselementos a , d y g :

A =

a b cd e fg h i

Combinación Una combinación C (n , r )es una selección de r (uno o más)objetos de un conjunto de n objetos,independientemente del orden.C (n , r ) se lee: «una combinación den elementos, tomando r a la vez», yse calcula con la fórmula:

C (n , r ) =P (n , r )

r !=

n !

r ! (n − r )!

donde P (n , r ) son las permutacionesde n tomando r a la vez y n ! es el fac-torial del número n .Vea la definición de «Permutación».

Compás Instrumento utilizado en ge-ometría para dibujar circunferen-cias y para comparar longitudes desegmentos.La siguiente figura muestra un com-pás:

Complejo, número Número que tieneuna parte real y una parte imagi-naria:

z = a + i b

En el número complejo z , a es laparte real y b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3−2 i , 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.Algunas ecuaciones tienen por raícesnúmeros complejos.

Complejo, plano Plano que asigna el ejehorizontal a los números reales y eleje vertical a los números imaginariosde manera que podamos representargráficamente los números complejos.

R

I

z = 3+2 i

El plano complejo también se conocecomo el «Plano de Gauss».

Complementarios, ángulos Dos ángulosson complementarios si la suma desus medidas es igual a la medidade un ángulo recto. En otras pala-bras, si la suma de dos ángulos esigual a 90, entonces los ángulos soncomplementarios.

αβ

En la figura, los ángulos α y β soncomplementarios.


Complemento de un conjunto–Cóncavo

C

23

Complemento de un conjunto El com-plemento del conjunto A, denotadopor A′, o bien por Ac , respecto delconjunto universo U está definidopor: U−A.En palabras, el complemento delconjunto A es el conjunto formadopor los elementos que están en el uni-verso U que no están en A.

Completar el cuadrado Proceso defactorización para expresar un tri-nomio cuadrado no perfecto comola suma de un binomio al cuadradomás un término constante.Para completar el cuadrado de un tri-nomio cuadrado se calcula la mitaddel coeficiente del término lineal yse suma y resta el cuadrado de esenúmero.Por ejemplo, para completar elcuadrado de: x 2 + 6 x + 10, sacamosla mitad de 6, (que es 3) y sumamos yrestamos su cuadrado (que es 9):

x 2+6 x +10 = x 2+6 x +10+9−9

= (x 2+6 x +9) +10−9

= (x +3)2+1

Componente Las componentes de unvector ~v = (v1, v2, · · · , vn ), son cadauno de los números v1, v2, · · · , vn . Laprimera componente es v1, la se-gunda componente es v2, y así suce-sivamente.

Composición Dadas las funciones: y =f (x ) y y = g (x ), la composición def en g , denotado por f g , significasustituir g (x ) en la función y = f (x ):

f g = f

g (x )

Por ejemplo, si definimos: f (x ) = x 2,y g (x ) = 2 x −3, entonces,

f g = f

g (x )

= (2 x −3)2

= 4 x 2−12 x +9

Compuesto, número Un número naturalque tiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es com-puesto, porque sus divisores son: 1,3, y 9.El número 5 no es un número com-puesto, pues solamente tiene dos di-visores.El único número natural par que noes compuesto es el número 2.Importante: No solamente losnúmeros pares son compuestos.

Computadora Máquina electrónica ca-paz de aceptar y procesar infor-mación, aplicar procesos a ésta ydevolver resultados.La computadora está conformadapor dispositivos de entrada (teclado,ratón, escáner, etc.), de proce-samiento, cálculo aritmético y con-trol, de almacenamiento (disco duro,etc.) y de salida (monitor, impresora,etc.)

Computadora, programa de Conjuntode instrucciones que indican a unacomputadora el procedimiento pararesolver un problema.

Cóncavo Un polígono es cóncavo si almenos uno de sus ángulos internos esentrante.El siguiente polígono es cóncavo:


24

C

Concéntrico–Congruencia

Si es posible dibujar un segmento derecta con extremos dentro del polí-gono, pero parte del segmento fuerade la figura, entonces el polígono escóncavo.Una curva es cóncava cuando su cur-vatura está dirigida hacia el puntodesde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvacóncava:

CóncavoConvexo

Concéntrico Se dice que dos o más ob-jetos geométricos son concéntricoscuando el centro de cada uno de elloses el mismo punto para todos.Por ejemplo, en la siguiente figura,el hexágono y la circunferencia sonconcéntricos, pues ambos tienen porcentro al punto C :

C

Conclusión Es el resultado de una impli-cación lógica.

Por ejemplo, considerando laspremisas: «Todos los hombres sonmortales», y «Luis es hombre», la con-clusión es: «Luis es mortal», pues esel resultado de la implicación lógicade las premisas iniciales.

Condición necesaria En la implicación:p → q , q es la condición necesaria.Por ejemplo, una condición nece-saria para que un cuadrilátero seacuadrado es que todos sus ángulosmidan lo mismo. Sin embargo, estacondición no es suficiente.

Condición suficiente Condición querequiere cumplir un objeto matemáticopara satisfacer una implicación enambos sentidos.

p ↔ q

Por ejemplo, una condición sufi-ciente para que un cuadrilátero seacuadrado es que sea regular: si escuadrado es un cuadrilátero regular,y si es regular, el cuadrilátero es uncuadrado.

Congruencia (Geometría) 1. Dossegmentos de recta son congruentessi tienen la misma medida.2. Dos ángulos son congruentes sitienen la misma medida.3. Dos triángulos son congruentes silas medidas de sus lados son iguales.4. Dos polígonos son congruentes sies posible superponer uno sobre otro.(Teoría de números) Dados losnúmeros enteros a , b , k , decimos queel número a es congruente con kmódulo b , y se denota por: a ≡ kmod b , si es posible escribir:

a = b m +k

donde m ∈Z.En otras palabras, si el número a −


Cónica–Conjugados, ángulos

C

25

k es divisible por b , entonces a escongruente con k módulo b .Por ejemplo, 14≡ 4 mod 5, porque:

14= 5×2+4

Es decir, 14−4 es divisible por 5.

Cónica Figura geométrica que se encuen-tran a partir de la intersección de uncono con un plano.A las cónicas también se les llama«secciones cónicas».Las cónicas son las siguientes:

3 Circunferencia

EjeO

3 Elipse

EjeO

3 Parábola

EjeO

3 Hipérbola

EjeO

La línea recta y el punto son casosparticulares de cónicas.

Cónica de Fermat La gráfica de una fun-ción del tipo y = x n es una cónicade Fermat. Cuando n > 0, la curvase llama parábola de Fermat y cuandon < 0 la curva se llama hipérbola deFermat.

Conjetura Afirmación de un resultado,sin ofrecer suficiente evidencia que lademuestre o la refute. Una conjeturase crea a partir de observaciones.Por ejemplo, «hay un número infinitode números primos gemelos», es unaconjetura que aún no se demuestrani se refuta. (Vea la definición de«números primos gemelos»).

Conjugado El conjugado del númerocomplejo z = a + i b es el númerocomplejo que se obtiene al cambiarde signo su parte imaginaria, y sedenota por z :

z = a − i b

Geométricamente el conjugado de zrepresenta la reflexión de z respectodel eje real (horizontal):

R

I

z = a + i b

z = a − i b

a

b

−b

Conjugados, ángulos Dos ángulos sonconjugados si la suma de sus medi-das es igual a la medida de unángulo perigonal. En otras pala-bras, si la suma de dos ángu-los es igual a 360, entonces losángulos son conjugados.


26

C

Conjugado, eje–Conmutativa

Conjugado, eje En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso quepasa por el punto medio de éste.

Conjunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra «y».Por ejemplo, «el número 2 es par y esprimo» es una conjunción.El símbolo matemático utilizado parala disyunción es ∧.Vea la definición de «Disyunción».

Conjunto Una colección de objetos biendefinida. Por bien definida se en-tiende que siempre es posible decidirsi un objeto está o no en el conjunto.Por ejemplo, el conjunto de losnúmeros enteros mayores a cero,pero menores a 10, denotado por A,es el siguiente:

A= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Cuando no se puede determinar si unelemento está o no en el conjunto,decimos que el conjunto no está biendefinido.

Conjunto abierto Conjunto cuyo com-plemento es cerrado.Un ejemplo de un conjunto abierto esun intervalo abierto.Vea la definición de «Abierto, inter-valo».

Conjunto cerrado Conjunto que con-tiene todos sus puntos frontera.En geometría plana, un punto e quepertenece al conjunto A, (e ∈ A) esun punto frontera si al dibujar unacircunferencia de radio r con centroen e , siempre algunos puntos den-tro de la circunferencia no están enel conjunto A, no importa cuan pe-queño sea r .

En la siguiente figura, el punto p esun punto frontera del conjunto A:

p

A

Conjunto ordenado (Álgebra) Unconjunto A es ordenado si suselementos satisfacen la tricotomía.Vea la definición de «tricotomía».(Teoría de conjuntos) Un conjuntode valores que tienen un ordenpreestablecido.Por ejemplo, las coordenadas de unpunto en tres dimensiones debendarse en el orden (x , y , z ).

Conjunto unitario Conjunto que tieneexactamente un elemento. En otraspalabras, el conjunto unitario esaquel conjunto cuya cardinalidadvale 1.

Conjunto vacío Conjunto que contienecero elementos. Se denota con elsímbolo ∅.

Conmensurable Decimos que losnúmeros a , b diferentes de cero, sonconmensurables si existe un númeroracional p , 0 tal que a = p b .Por ejemplo, los números 7

p5 y 3

p5

son conmensurables, porque:

7p

5=7

3·3p

5

Los números irracionales no sonconmensurables con los númerosracionales.

Conmutativa La propiedad conmutativapara la suma es la siguiente:

a + b = b +a


Cono–Continuidad

C

27

y para la multiplicación:

a · b = b ·a

En la definición de «Propiedades delos números» puede encontrar lasdemás propiedades de los númerosreales.

Cono Figura geométrica que se obtiene alhacer girar una recta respecto de unpunto fijo y alrededor de otra rectafija que pasa por el punto fijo. La rectaque gira se llama generatriz, el puntofifo es el vértice del cono y la recta fijaes el eje del cono.

EjeGeneratriz

O

Consecuente El consecuente de la razóna : b es b .Por ejemplo, en la razón 5 : 7, elnúmero 5 es el antecedente y el 7 esel consecuente.

Consecutivo El consecutivo del númeronatural n es n +1.Por ejemplo, el consecutivo delnúmero 9 es 10.

Consecutivos, ángulos En un polígono,dos ángulos son consecutivos sitienen un lado común.En el siguiente pentágono, los ángu-los A y B son consecutivos.

A

B

Consecutivos, vértices En un polígono,dos vértices son consecutivos si sonextremos de un mismo lado.En la figura mostrada en el concepto«Consecutivos, ángulos», los vérticesA y B son consecutivos.

Consistente Un conjunto de axiomas esconsistente cuando no es posibledemostrar una proposición y su neg-ativo.

Constante Una expresión matemáticaque no cambia de valor. Por ejem-plo, el número π ≈ 3.14159265 esconstante.

Constante de proporcionalidad Unaconstante de proporcionalidad k es elnúmero que hace que se cumpla unarelación de igualdad entre dos canti-dades que varían de manera propor-cional.Por ejemplo, si un balón cuesta$35.00 pesos, x es la cantidad debalones que queremos comprar y Mes el importe que debemos pagar,entonces,

M = 35 x

La constante de proporcionalidad eneste caso es k = 35.Este ejemplo muestra una proporciona-lidad directa, aunque también puedeser inversa.

Construcción Método para construir unafigura utilizando solamente regla ycompás.

Continuidad Se dice que una función f escontinua en un intervalo dado [a , b ]si toma todos los valores entre f (a ) yf (b ) y se puede dibujar en ese inter-valo sin despegar la punta del lápizdel papel sobre el cual se le dibuja.


28

C

Continuo–Convexo

En la siguiente figura, la función y =f (x ) es continua en el intervalo [a , b ]:

x

y

y = f (x )

ba

f (b )

f (a )

Más formalmente, se dice que unafunción y = f (x ) es continua en elpunto x = a si el límite de la funcióncuando x tiende a a es igual al valorde la función evaluada en x = a . Estoes,

si limx→a

f (x ) = f (a ),

entonces la función f es continua enx = a .

Continuo Una variable es continua enun intervalo cuando puede tomarcualquier valor real dentro de eseintervalo.Cuando la variable no puede tomartodos los posibles valores dentro delintervalo, sino que toma valores enforma de saltos, decimos que la varia-ble es discreta.

Contorno Línea o curva cerrada que de-limita una figura.El perímetro de una figura ge-ométrica plana representa la medidade su contorno.Vea la definición de «Perímetro».

Contradicción Sentencia que resultafalsa.Por ejemplo: 2 + 3 = 1, es una con-tradicción.

Contradicción, demostración por Demostra-ción en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una con-tradicción o a una premisa falsa, con-cluyendo, entonces, que la suposi-ción es falsa, haciendo la premisa ini-cial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama «demostración porreducción al absurdo».

Contradominio El contradominio deuna función es el conjunto formadopor todos los valores que la funciónpuede tomar.Vea la definición de «Función».

Contraejemplo Argumento que sirvepara descartar una hipótesis.Por ejemplo, si suponemos que todoslos números impartes son primos, elnúmero 21 es un contraejemplo, puesel 21 por tener 4 divisores (1, 3, 7 y 21),y por tanto, no es primo.

Converger Acercarse cada vez más a unvalor.Por ejemplo, si damos valores a xcada vez más grandes y los sustitu-imos en 1/x , la sucesión de valoresque vamos obteniendo se acer-can cada vez más a cero; decimosentonces que la sucesión es conver-gente y que converge a cero.

1

1,

1

2,

1

3,

1

4,

1

5, · · · converge a 0

Convexo Un polígono es convexo cuandotodos sus ángulos internos midenmenos que un ángulo llano (ningunode sus ángulos internos es entrante).El siguiente polígono es convexo:


Coordenada–Coordenadas polares

C

29

Es decir, un polígono es convexo sitodos sus ángulos internos midenmenos de 180.Más formalmente, se dice que unafigura geométrica es convexa si todosegmento con extremos dentro de lafigura, todo (el segmento) está dentrode la figura.Cuando un polígono no es convexo sedice que es cóncavo.El siguiente polígono es cóncavo:

Una curva es convexa cuando su cur-vatura está dirigida hacia afuera delpunto desde donde se observa. En lasiguiente figura se muestra una curvaconvexa:

CóncavoConvexo

Coordenada Una coordenada es elnúmero al cual al cual le correspondeun punto de una recta numérica.En otras palabras, las coordenadasson números que indican la ubi-cación de un punto en el plano:P (x , y ).

x1 2 3 4

1

2

3

y

P (3, 2)

En la figura, la primera coordenadadel punto P es: x = 3 y la segunda:y = 2.A cada punto del plano le corres-ponde un par de coordenadas y acada par de coordenadas le corres-ponde un punto del plano.

Coordenadas rectangulares Las coordena-das rectangulares se refieren a unsistema de ejes coordenados mutua-mente perpendiculares que com-parten la misma unidad de medidaen todos sus ejes.En la figura mostrada en la defini-ción de «Coordenada» se encuentraun sistema de coordenadas rectangu-lares con dos ejes.

Coordenadas polares Las coordenadaspolares del punto P del plano se de-finen a partir de la distancia al origeny el ángulo que forma la recta quepasa por el origen y el punto P conel eje horizontal:

P (r,θ )r

θ


30

C

Coplanar–Coseno hiperbólico

Las coordenadas polares de un puntoP (r,θ ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P (x , y ),a través de las siguientes fórmulas:

x = r · cosθ

y = r · sinθ

A su vez, las coordenadas rectangu-lares de un punto P (x , y ) del planopueden transformarse en coordena-das polares P (r,θ ), usando:

r =Æ

x 2+ y 2

θ = arctan

y

x

Coplanar Cuando varios objetos estánsobre el mismo plano, se dice queson coplanares. Por ejemplo, en lasiguiente figura los puntos P , Q , R yS son coplanares porque todos estánen el mismo plano:

PQ

R

S

Corolario Proposición que es unaconsecuencia inmediata de otra, ycuya demostración requiere poco oningún razonamiento.

Coseno La función coseno se define paracualquier ángulo α. Dado un ángulocon un lado horizontal y vértice en elorigen, su coseno, denotado por cosαse define como la coordenada sobreel eje x del punto de intersección delotro lado (no horizontal) del ángulocon la circunferencia de radio 1.

x

y

1

1

sinα

cosαα

En un triángulo rectángulo, el cosenode un ángulo α positivo menor a 90

puede calcularse con el cociente:

cosα=cateto adyacente

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

eto

op

ues

to

Cateto adyacente

La gráfica de la función coseno es lasiguiente:

x

y

y = cos x

1

-1

Coseno hiperbólico La función cosenohiperbólico del número x se denotapor: cosh x y está definida por:

cosh x =e x + e −x

2


Cosenos, ley de–Criba de Eratóstenes

C

31

Cosenos, ley de Para todo triángulo quese encuentra en el plano, se cumple:

C 2 = A2+B 2−2AB cosα

donde A, B y C son las longitudes delos lados del triángulo, y α es el án-gulo formado por los lados A y B .La ley de senos es una generalizacióndel famoso teorema de Pitágoras,pues cuandoα= 90, tenemos el casoparticular: C 2 = A2 + B 2, que corres-ponde al teorema de Pitágoras.

Cosecante La función cosecante se definecomo el recíproco de la función seno.Es decir,

cscα=1

sinα

En el triángulo rectángulo mostradoen la definición de «Coseno» la fun-ción cosecante se puede escribircomo:

cscα=hipotenusa

cateto opuesto

Observa que se supone que la medidadel cateto opuesto es diferente decero.

Cotangente La función cotangente sedefine como el recíproco de la fun-ción tangente. Es decir,

cotα=1

tanα

Usando el triángulo rectángulomostrado en la definición de«Coseno» podemos describir la fun-ción cotangente como:

cotα=cateto adyacente

cateto opuesto

Observa que se supone que la medidadel cateto opuesto es diferente decero.

Creciente Decimos que una función f escreciente en un intervalo [a , b ] si paracualesquiera valores u , v que esténen ese intervalo y que cumplan con:u ≤ v , se cumple: f (u )≤ f (v ).Por ejemplo, la función y = x 2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Creci

ente

x0 0.5 1 1.5

f (x )

1

2

y = x 2

Al ver la gráfica de una función, sabe-mos que es creciente si al moverte ala derecha la gráfica de la función vahacia arriba.

Crecimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y =M e r t

donde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Dentro de ciertos límites, el crec-imiento de una población presentacrecimiento exponencial.

Criba de Eratóstenes Procedimiento porel cual se puede encontrar la lista detodos los números primos menores aun número natural dado n .El procedimiento consiste en ir elim-inando los múltiplos de 2, 3, etc., ex-cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.),hasta obtener una lista de númerosque no se han eliminado y por tanto


32

C

Criterios de divisibilidad–Cuadrado latino

son primos, al no tener más de dos di-visores.La siguiente figura muestra la cribade Eratóstenes para encontrar losnúmeros primos menores a 25:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratóstenes

Criterios de divisibilidad Regla que nosayuda a determinar si un número sedivide entre otro sin hacer la divisióndirectamente.Un número se divide,

3 entre 2 si la última cifra delnúmero es par.

3 entre 3 si la suma de sus cifras esun múltiplo de 3.

3 entre 4 si el número formadopor sus últimas dos cifras es unmúltiplo de 4.

3 entre 5 si termina en 5 ó en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por3.

3 entre 8 si el número formadopor sus tres últimas cifras es unmúltiplo de 8.


3 entre 10 si termina en cero.

Vea la definición de «Divisibilidad».

Crítico, punto En una curva, el puntocrítico es el punto donde una rectatangente a la curva es horizontal.

En la siguiente figura, el punto Pindicado es un punto crítico de lafunción y = f (x )

x

y

y = f (x )

P1

-1

Cuadrado (Aritmética) El cuadrado de unnúmero es el resultado de multipli-carlo por sí mismo.Por ejemplo, el cuadrado de 3 es 9,porque 3×3= 9.Importante: elevar al cuadrado nosignifica multiplicar por dos, sino porsí mismo.(Geometría) Polígono regular decuatro lados. El cuadrado es un rec-tángulo que tiene la propiedad de quesus 4 lados miden lo mismo.

Cuadrado

El cuadrado es un rectángulo y unrombo a la vez.

Cuadrado latino Arreglo rectangular den × n símbolos de manera que encada renglón y en cada columnaaparezca cada símbolo exactamenteuna vez.El siguiente arreglo rectangular es uncuadrado latino:


Cuadrado mágico–Cuartil

C

33

α β γ δ

β γ δ α

γ δ α β

δ α β γ

Cuadrado mágico Arreglo rectangular denúmeros naturales de manera que entodas sus columnas y todos sus ren-glones sumen lo mismo.Un cuadrado mágico de 3×3 es:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

La suma de cada renglón, cadacolumna y las diagonales es 15.Un cuadrado mágico de 4 × 4 es elsiguiente:

15 10 3 6

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

La suma de cada renglón, cadacolumna y cada diagonal en estecuadrado mágico es 34.Además observa que:

8+13+10+3 = 34

4+14+9+7 = 34

11+2+5+16 = 34

1+12+15+6 = 34

Cuadrante En un sistema de coordena-das rectangulares, el plano quedadividido en 4 regiones. Cada una deesas regiones es un cuadrante.

x

y

Cuadrante ICuadrante II

Cuadrante III Cuadrante IV

Cuadrático De grado dos o elevado alcuadrado.Por ejemplo, una ecuación cuadráticaes una ecuación de grado dos:

a x 2+ b x + c = 0

donde a , 0.

Cuadrilátero Polígono de cuatro lados.La siguiente figura geométrica es uncuadrilátero porque tiene 4 lados.

Cuartil Valores que dividen a las medi-ciones realizadas en cuatro partesiguales.Para hacer el cálculo de los cuar-tiles se requiere que los datos esténordenados de manera creciente.El primer cuartil es el valor que esmayor al 25% y menor al 75% detodos los valores; el segundo cuartil


34

C

Cuarto–Curvatura

es mayor al 50% de la población ymenor al otro 50% de todos los datos;el tercer cuartil es mayor al 75% detodos los valores y menor al 25% es-trato más alto de todos los datos y elcuarto cuartil es el mayor de todos losvalores.

Cuarto Cuando dividimos un entero encuatro partes iguales, cada una de el-las es un cuarto, o bien, una cuartaparte del entero.

1

4

1

4

1

4

1

4

Cubo (Aritmética) El cubo de un númeroes el resultado de multiplicarlo por símismo tres veces.Por ejemplo, el cubo de 2 es 8, porque2×2×2= 8.(Geometría) Sólido geométricoregular cuyas 6 caras son cuadrados.

Cubo

Cubo unitario Cubo con aristas demedida igual a la unidad.

Cúbico Unidad de volumen que se denotaescribiendo el número 3 como su-períndice de la unidad considerada.Por ejemplo, un litro equivale a undecímetro cúbico, que se denotacomo 1 dm3. Es decir, una caja de un

decímetro de arista, contiene un vol-umen de un litro.

Cuerda Segmento de recta que tienesus puntos extremos sobre la mismacircunferencia.

Cuerda

Cuerpo geométrico Objetos (reales o ide-ales) que ocupan un volumen y quetienen tres dimensiones: alto, largo yancho.También lea la definición de«Sólido».

Curva Una línea trazada en un plano oen el espacio. En álgebra y análisismatemático también se llama curvaa una ecuación refiriéndose a quecualquier punto sobre su gráfica sat-isface a la ecuación.En matemáticas, frecuentementeutilizamos la palabra curva parareferirnos a una función.

Curvas, familia de Conjunto de curvasque tienen un mismo patrón de con-strucción o que se obtienen al variarun parámetro de su ecuación.

Curvatura Una medida del cambio de di-rección de una curva en un punto.Una línea recta tiene curvatura cero,pues nunca cambia su dirección.Una circunferencia tiene curvaturaconstante, pues cambia de dirección


Curvatura

C

35

una misma cantidad siempre queavanzamos la misma distancia.Una circunferencia con un radio pe-

queño tiene mayor curvatura queuna circunferencia con radio másgrande.


36

C

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

DEfrain Soto Apolinar

Dato (Álgebra) En un problema, un datoes información que se extrae del textodel problema que se utilizará en susolución.(Estadística) Información que se ex-trae de una población o una muestraa partir de los cuales se calcularáno estimarán parámetros que la de-scriben.

Deca- Prefijo que indica «diez veces»usado en los múltiplos de lasunidades del Sistema Internacio-nal de Medidas. Por ejemplo, undecámetro es equivalente a diezmetros.

Década Unidad de tiempo que equivale adiez años.

Decágono Polígono de diez lados y diezángulos. El decágono regular tienetodos sus lados y ángulos iguales.

Decágono

Decaimiento exponencial Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y =M e −r t

donde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Por ejemplo, la radiactividad pre-senta decaimiento exponencial.

Deci- Prefijo que indica «la décima parte»usado en los submúltiplos de lasunidades del Sistema Internacionalde Medidas. Por ejemplo, decímetroindica la décima parte de un metro.Decilitro indica la décima parte de unlitro.

Decil Valores que dividen a las medi-ciones realizadas en diez partesiguales.

38

D

Decibel–Décimo

Para hacer el cálculo de los deciles serequiere que los datos estén ordena-dos de manera creciente.El d decil es el valor que tiene 10×p %de todos los valores por debajo de ély el (100−10×p )% por encima.Por ejemplo, el tercer decil es mayoral 30% de todos los valores y es menoral 70% de todos los valores.

Decibel Unidad de medida de la intensi-dad del sonido. Se abrevia como dB.Un sonido de un decibel tiene la in-tensidad mínima que el oído humanosano puede percibir.

Decimal Se refiere a un sistema basado enel número diez.

Decimal, fracción Una fracción es deci-mal cuando en su denominador hayuna potencia de 10.Por ejemplo, 0.25 puede expresarsecomo:

0.25=25

100=

25

102

Por otra parte, el número 3.06 puedeescribirse como:

3.06= 3+0.06= 3+6

100= 3+

6

102

Decimal, punto Signo matemático quesirve para separar la parte entera deun número de su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimales: 0.1416.En algunos países se acostumbraescribir una coma decimal en lugardel punto.

Decimal, sistema métrico El sistemamétrico decimal es el que utiliza los

prefijos para indicar múltiplos y sub-múltiplos de las unidades.Los prefijos de los múltiplos usadosen este sistema y sus significados son:

Prefijo Símbolo Múltiplo

exa E 1018

peta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hecto h 102

deca da 10

Los prefijos de los submúltiplos y sussignificados son:

Prefijo Símbolo Submúltiplo

deci d 10−1

centi c 10−2

mili m 10−3

micro µ 10−6

nano n 10−9

pico p 10−12

femto f 10−15

atto a 10−18

Los prefijos de los múltiplos y sub-múltiplos de utilizan con cualquierade las unidades de las magnitudesfísicas.Por ejemplo, kilogramo es equiva-lente a mil gramos y un nanómetroequivale a una mil millonésima partede un metro.

Décimo (1.) Un décimo es equivalente auna de las partes de un entero queha sido dividido en diez partes delmismo tamaño.


Décimoprimero–Definición

D

39

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

10

(2.) En un número con decimales, eldígito de los decimos es el dígito quese encuentra en la segunda posicióna la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 1.73205, eldígito «7» corresponde a los décimos.

Décimoprimero Número ordinalcorrespondiente al lugar númeroonce.Por ejemplo, en un maratón, el corre-dor que llega en el lugar númeroonce, tiene el décimoprimer lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«onceavo» refiriéndose al número or-dinal «décimoprimero».Onceavo es una fracción, no unnúmero ordinal.Undecimo es sinónimo de decimo-primero.Vea la definición de «Número ordi-nal».

Décimosegundo Número ordinalcorrespondiente al lugar númerodoce.Por ejemplo, en un maratón, el corre-dor que llega en el lugar númerodoce, tiene el décimosegundo lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«doceavo» refiriéndose al número or-dinal «décimosegundo».Doceavo es una fracción, no unnúmero ordinal.Vea la definición de «Número ordi-nal».

Declinación Diferencia entre el norte ge-ográfico y el norte magnético.

Decreciente Decimos que una función fes decreciente en un intervalo [a , b ]si para cualesquiera valores u , v queestén en ese intervalo y que cumplancon: u ≤ v , se cumple: f (u )≥ f (v ).Por ejemplo, la función y = 2− x 2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):

Decreciente

x0 0.5 1

f (x )

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tam-bién se cumple que: 0.5≤ 1.0.

Deducción Proceso de derivar una con-clusión a partir de las propiedades delos objetos matemáticos con los quese trabaja o de un principio general.

Deficiente, número Número que tiene lapropiedad que sus divisores propiossuman menos que él.Por ejemplo, el número 32 es defi-ciente, porque sus divisores propiossuman 31:

1+2+4+8+16= 31< 32

Definición Sentencia que enlistalas propiedades de un objetomatemático.Descripción de las características queidentifican de manera exacta a unobjeto matemático en cuanto a sunaturaleza o significado.


40

D

Demostración–Dependientes, eventos

Demostración Justificación de una afir-mación, premisa o sentencia deuna manera estructurada, lógica eirrefutable a partir de otras senten-cias verdaderas.El proceso de demostración enmatemáticas es muy importante,pues cada nuevo teorema debedemostrarse en base a los axiomasconocidos y a otros teoremas ya de-mostrados.

Demostración indirecta Demostración através de probar que lo contrarioguia a una contradicción. Tambiénse conoce como «reducción al ab-surdo».

Demostración por contradicción Demostra-ción en la cual se supone falsa lapremisa inicial y se llega a una con-tradicción o a una premisa falsa, con-cluyendo, entonces, que la suposi-ción es falsa, haciendo la premisa ini-cial verdadera.La demostración por contradiccióntambién se llama «demostración porreducción al absurdo».

Denominador En una fracción, eldenominador indica en cuántaspartes se dividirá un entero y elnumerador indica cuántas de esaspartes vamos a tomar.

Fracción=numerador

denominador

En una fracción el numerador se es-cribe arriba y el denominador abajo.

Denominador común Sinónimo de Mín-imo común denominador.Vea la definición de «Mínimo comúndenominador».

Densidad (Análisis) Decimos que unconjunto de números es denso, si

para cada par de números dentro deese conjunto existe otro número delmismo conjunto entre ellos.Por ejemplo, los números racionalesson densos, porque no importaqué tan cerca se encuentren dosnúmeros, siempre podemos encon-trar uno entre ellos (en particular, elpromedio de los dos cumple con eso).Los números reales también son den-sos.(Física) El resultado de dividir lamasa de un objeto entre su volumen.Por ejemplo, un litro (1 dm3) de mer-curio tiene una masa de 13.7 kilo-gramos, entonces su densidad δ es:

δ=13.7 kg

1 L= 13.7 kg/L

Dependencia funcional Se dice que lavariable y depende funcionalmentede la variable x si es posible escribirla relación que existe entre ellas enforma de ecuación. En ese caso, y esla variable dependiente (depende dex ) y x es la variable independiente.Si la ecuación que relaciona a lasvariables x , y no es una funcióndecimos que tenemos una funciónimplícita de y en x .

Dependiente, variable Una variable esdependiente si su valor depende delvalor de otra u otras variables.Por ejemplo, en la función: y = x 2,la variable dependiente es y , pues suvalor depende del valor que tome lavariable x .

Dependientes, eventos Dos eventos sondependientes cuando el resultado deuno es afectado por el resultado delotro.


Derivación–Descomposición en factores

D

41

Derivación Proceso por el cual se calculala derivada de una función.El proceso más común consiste enaplicar directamente una regla o fór-mula de derivación aplicable a la fun-ción que se desea derivar.Las reglas de derivación se deducen apartir de la regla de los cuatro pasos.Vea la definición «Regla de los cuatropasos».

Derivada En Cálculo, la derivada es lamejor aproximación lineal a una fun-ción en un punto.Por ejemplo, para la gráfica de la fun-ción y = x 2, en el punto P (1, 1) queestá sobre esta curva, la mejor aprox-imación lineal es la recta: y = 2 x −1.La siguiente gráfica muestra la fun-ción y su derivada en el punto P (1, 1):

x

y

1 2

1

2

3

y=

2x−

1

y = x 2

La derivada de una función evaluadaen un punto siempre es la pendientede la recta tangente a la gráfica de lafunción en ese punto.Formalmente, la derivada se definecomo el siguiente límite:

f ′(x ) = lim∆x→0

f (x +∆x )− f (x )∆x

La derivada se interpreta como unarazón de cambio instantánea conrespecto a la variable independiente,es decir, la derivada nos dice cómocrece la función en un punto.

Derivable, función Una función y = f (x )es derivable en un punto x0 de sudominio si la derivada de la funcióny ′(x0) = f ′(x0) está definida en esepunto.Decimos que una función es deriv-able en un intervalo (a , b ) si es deriv-able en cada punto de ese intervalo.

Desarrollo (Álgebra) Un desarrollose refiere a la realización de lasoperaciones queestán indicadas en una expresiónalgebraica.Por ejemplo, el desarrollo de (a + b )3,es:

(a + b )3 = a 3+3 a 2b +3 a b 2+ b 3

(Geometría) El desarrollo de unsólido geométrico se refiere a undibujo que nos permite construir elsólido.La siguiente figura corresponde aldesarrollo de un dodecaedro:

1 2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

Descomposición en factores (Arit-mética) Cuando un número naturalse expresa como el producto denúmeros primos se dice que seha descompuesto en sus factores


42

D

Descuento–Desplazamiento

primos.Por ejemplo, la descomposición enfactores primos del número 30 es:

30= 2×3×5

Observa que cada uno de losnúmeros que aparecen a la derechade la igualdad son primos.(Álgebra) Cuando una expresiónalgebraica se expresa en forma de lamultiplicación de otras, se dice quese ha descompuesto en factores.Por ejemplo:

x 2− y 2 = (x + y )(x − y )

Descuento Reducción que se hace a unacantidad o a un precio o valor de algo.Generalmente, el descuento se deter-mina en base a un porcentaje fijo de-terminado.

Desigual Condición que indica que doscantidades no son iguales. Para de-notar que dos cantidades son de-siguales usamos en símbolo ,. Porejemplo,

10+2, 100

En matemáticas frecuentementeusamos las palabras «distinto» y«diferente» como sinónimos dedesigual.

Desigualdad Una desigualdad es unarelación matemática que compara elvalor de dos números o expresionesalgebraicas (del tipo mayor o menor).Por ejemplo, 2 < 5 es una desigual-dad.Algunas veces es conveniente indicarque un número debe ser mayor oigual, o bien que es menor o igual.Las desigualdades usan la siguientenotación:

Desigualdad Significado

> mayor que< menor que≥ mayor o igual que≤ menor o igual que

Decimos que a es mayor que b , sila diferencia a − b es positiva. Si ladiferencia es negativa, entonces dec-imos que a es menor que b . Evi-dentemente, si la diferencia es cero,entonces, a = b .

Desigualdad del triángulo En un trián-gulo que se encuentra en un plano, lasuma de las longitudes de dos de suslados siempre más grande que la lon-gitud de su tercer lado.En la siguiente figura, la suma de laslongitudes de los lados A y B es mayorque la longitud del lado C :

C

A

B|A|+ |B |> |C |

Desigualdad doble Expresión matemáticaque incluye dos desigualdades.Por ejemplo, la siguiente es unadesigualdad doble:

0≤ x < 10

Desplazamiento Magnitud vectorial quecorresponde a una distancia indi-cando una dirección.


Despejar–Determinante

D

43

Despejar En matemáticas el despeje serefiere al proceso de aislar una varia-ble de una expresión matemática uti-lizando operaciones algebraicas demanera que la expresión final seaequivalente a la inicial.Por ejemplo, al despejar y de laecuación: 2 x +3 y = 12, obtenemos:

y =12−2 x

3= 4−

2

3x

Desviación (Estadística) La desviación δde una medición xi se define como ladiferencia de la media x de la muestraal valor medido:

δ= xi − x

La desviación absoluta es igual alvalor absoluto de la desviación.Algunos autores llaman «discrepancia»a la desviación.

Desviación media La desviación mediade una muestra, o desviación mediamuestral, es el promedio de lasdesviaciones absolutas de todos losdatos de la muestra.Por ejemplo, considerando alconjunto de datos: 2, 3, 6, 9, lamedia de la muestra es x = 20/4 = 5.Las desviaciones de cada dato semuestran en la siguiente tabla:

Medición Desviaciónxi δ

2 −33 −26 19 4

y la desviación media es el prome-dio de sus valores absolutos. En

este caso, la desviación media es 2.5,porque la suma de todas las desvia-ciones absolutas es 10 y a este valorlo dividimos entre 4.Este estadístico mide en promediocuánto se aleja cada dato de la mediaaritmética.

Desviación estándar La desviación es-tándar o desviación típica, denotadapor s , para una muestra de n datosx1, x2, · · · , xn, está definida por:

s =

√

√

∑

(xi − x )2

n

donde x es la media de la muestra.

Determinante El determinante de 2×2 sedefine como:

a bc d

= a d − b c

Y el determinante de 3 × 3 se definepor:

∆ =

a b cd e fg h i

= a e i + c d h + b f g

−c e g −a f h − b d i

Un sistema de ecuaciones linealesse puede resolver utilizando determi-nantes.Por ejemplo, el sistema de ecuacio-nes:

a x + b y = m

c x +d y = n

se puede resolver a través del método


44

D

Determinístico–Diagonal secundaria

de determinantes como sigue:

x =

m bn d

a bc d

=d m − b n

a d − b c

y =

a mc n

a bc d

=a n − c m

a d − b c

siempre que a d − b c , 0. Si ocurreque a d − b c = 0, entonces el sistemade ecuaciones, bien no tiene solu-ción, bien tiene un número infinitode soluciones.Los determinantes también se de-finen para matrices cuadradas demayor orden (4×4, 5×5, etc.)

Determinístico Un evento es deter-minístico cuando es predecible.Generalmente utilizamos una fór-mula matemática para conocer sucomportamiento.Por ejemplo, para conocer si unaviga soportará un peso, existen fór-mulas para poder elaborar el cálculocorrespondiente.

Día Intervalo de tiempo que equivale a 24horas.

Diada Un par ordenado de valores. En elplano, las coordenadas de cada puntoson una diada.Por ejemplo, (3, 4) es una diada.

Diagonal La diagonal de un polígono esel segmento de recta que tiene susextremos en dos vértices no consec-utivos del polígono. Si el segmentode recta tiene sus extremos en dosvértices consecutivos del polígono,entonces se trata de uno de sus lados.

Diagon

alLado

El número de diagonales D quepodemos trazar a un polígono regularde n lados puede calcularse con lasiguiente fórmula:

D =n (n −3)

2

Diagonal principal En una matrízcuadrada, la diagonal principal es laque empieza en la esquina superiorizquierda y termina en la esquina in-ferior derecha.Por ejemplo, en la matriz:

a b cd e fg h i

La diagonal principal es la queincluye las entradas: a , e , i .

Diagonal secundaria En una matrízcuadrada, la diagonal secundaria esla que empieza en la esquina supe-rior derecha y termina en la esquinainferior izquierda.Por ejemplo, en la matriz:

a b cd e fg h i

La diagonal secundaria es la queincluye las entradas: c , e , g .


Diagrama–Diagrama de líneas

D

45

Diagrama En matemáticas un diagramaes una representación gráfica dela relación entre varios objetosmatemáticos.Por ejemplo, el siguiente diagramaexplica la relación entre una función,su dominio y su contradominio:

xX

f (x )Yf

Función


Valores que ledamos a la

función

Valores que nosdevuelve la

función

Generalmente, los diagramas no sedibujan a escala.

Diagrama de árbol Gráfica en la que semuestra la relación entre varios com-ponentes.El siguiente es un diagrama de árbol:

Raíz

Padre Madre

Hijo Hija

Diagrama de barras Forma de graficardatos que facilita la comparaciónentre distintos grupos de datos.La siguiente gráfica es un diagramade barras vertical:

2007 2008 2009 2010 2011

70

80

90

Cal

ifica

ció

n

Matemáticas Lenguaje Historia

El diagrama de barras muestracuantitativamente a través debarras horizontales o verticales demismo grosor con alturas propor-cionales a las cantidades que seestán representando.

Diagrama de dispersión Diagrama quemuestra datos de dos variables en elplano para identificar tendencias enlos mismos.La siguiente gráfica es un diagramade dispersión:

−4 −2 0 2 4

−0.5

0

0.5

Diagrama de líneas Diagrama que se uti-liza para describir gráficamente elcomportamiento de una cantidadpara distintos valores de una variableindependiente, como por ejemplo, eltiempo.Este tipo de diagramas es el que seutiliza muy frecuentemente en lospronósticos:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


46

D

Diagrama de sectores–Diferencia de conjuntos

Diagrama de sectores El diagrama desectores sirve para comparar datosen base a un total. Generalmente sele dibuja en forma de pastel.El siguiente gráfico corresponde a undiagrama de sectores:

Diagrama de Venn Diagrama que se uti-liza para denotar conjuntos y lasoperaciones entre ellos.El siguiente diagrama de Vennmuestra la intersección de los con-juntos A y B:

A B

A∩B

Diamante Cuadrilátero que tiene dos án-gulos obtusos y dos ángulos agudos.El siguiente polígono es un diamante:

Diamante

Diámetro El diámetro de una circunferen-cia es la cuerda más larga que se

le puede dibujar. En otras pala-bras, el diámetro es el segmento derecta que tiene sus extremos sobre lacircunferencia y pasa por su centroC .

Diá

met

ro

C

La longitud del diámetro de unacircunferencia es igual al doble de suradio.

Diferencia La diferencia entre losnúmeros a y b es el número b −a .En otras palabras, la diferencia de dosnúmeros es el resultado de restarlos.

9 876− 5 324

4 552

minuendosustraendodiferencia

Diferencia de conjuntos La diferen-cia de los conjuntos A y B,denotada por A − B, es el conjuntode todos los elementos queestán en A, pero que no están en B.El siguiente diagrama de Vennmuestra esta definición:

A B

A∩BA−B


Diferencia de una progresión aritmética–Dimensión

D

47

Diferencia de una progresión aritméticaDados dos términos consecutivos

cualesquiera de una progresión ar-itmética, ai , ai+1, la diferencia de laprogresión es: d = ai+1−ai .En realidad, se define la diferencia dela progresión para calcular los térmi-nos de la misma y no al revés.Por ejemplo, si definimos a1 = 5 yd = 3, los términos de la sucesión ar-itmética son: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11,a4 = 14, etc.

Diferencia de vectores Sean ~u = (ux , u y )y ~v = (vx , vy ) dos vectores en el plano.Su diferencia es:

~w = ~u − ~v = (ux − vx , u y − vy )

Geométricamente, la diferencia delos vectores es el vector que tiene supunto inicial en el punto terminal de~v y su punto terminal en el punto ter-minal de ~u :

x

y

~u

~v

~w = ~u − ~v

Del diagrama anterior es fácil obser-var que ~v+ ~w = ~u . Es decir, ~w = ~u− ~v .

Diferenciable Una función es diferencia-ble en un punto o en un intervalo sies posible calcular su derivada en esepunto o en cada uno de los puntos delintervalo considerado.

Diferencial Vea las definiciones «dx » y«dy ».

Dígito Uno de los diez símbolos que uti-lizamos para escribir números en elsistema de numeración en base 10:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9

El término «digital» se refiere alsistema de numeración en base 2. Nose refiere a los dígitos.

Dilatación Transformación del planoque consiste en un cambio de laposición de todos los puntos delplano, respecto de uno o varios ejes,tomando un valor k como escala. Ladistancia de cada punto P del planose multiplica por el valor k y se ubicacon la recta paralela al eje consid-erado y que pase por el punto P .Cuando k > 1, los puntos estarán másalejados del eje, cuando k < 1 estaránmás cerca.

Dimensión (Álgebra) La dimensión deuna matríz de m renglones y ncolumnas es m ×n .(Geometría) La dimensión de un es-pacio se define como el número decoordenadas que hay que indicarpara determinar de manera únicacada uno de sus puntos.El plano tiene dimensión dos, porquese requieren de dos coordenadas paradeterminar de manera única uno desus puntos.En matemáticas se pueden definir es-pacios de 3, 4, 5, etc., dimensionessin problema conceptual, aunque noes posible representarlos geométrica-mente a partir de 4 dimensiones.El estudio de los espacios de más detres dimensiones se elabora con eluso de vectores en el álgebra lineal.La siguiente figura muestra un espa-cio de tres dimensiones:


48

D

Dina–Discontinuidad

y

z

x

Dina Unidad de fuerza equivalente a 10−5

newtons.

Dinámica Rama de la física que seencarga de estudiar el movimiento delos cuerpos bajo la acción de fuerzas.

Dirección La dirección de un vector sedefine como el ángulo que éste formacon el eje horizontal.El siguiente diagrama muestra la di-rección θ del vector ~v :

~v

x

y

θ

Dirección, vector Vector de longitud uni-taria que sirve para definir una direc-ción específica.

Directa, proporción Proporción en lacual al aumentar una cantidad la otratambién aumenta.Por ejemplo, cuando aumenta elnúmero de refrescos que vamos acomprar, aumenta también el im-porte que debemos pagar, por esodecimos que el importe es directa-mente proporcional al número de re-frescos.

Directa, variación Las dos variables x , ypresentan variación directa si es-tán en proporción directa. En estecaso, se denomina la constante devariación directa k al número quesatisface y = k x para cualesquierados valores x , y de la variación.Por ejemplo, considerando el ejem-plo dado en la definición de«Proporción directa», si el preciode cada refresco es de $7.00 pesos,entonces k = 7, porque esta es laconstante que satisface y = k x , paracualesquiera x , y , donde y es el im-porte a pagar y x es el número de re-frescos que se compraron.

Directriz En una cónica, la directriz esuna línea recta fija que junto conuno o dos puntos fijos llamados fo-cos sirven para medir proporcionesde distancias para determinar lospuntos de la cónica de acuerdo con sudefinición.Las cónicas son:

3 Circunferencia

3 Parábola

3 Elipse

3 Hipérbola

Vea la definición de «Cónica».

Dirigido, segmento Segmento con unadirección definida, donde uno de suspuntos extremos se define como elpunto inicial y el otro extremo comosu punto final.Por ejemplo, el segmento dirigido−→AB , se muestra en la siguiente figura:

xA BO

Discontinuidad Se dice que una funciónes discontinua en un punto de su


Discrepancia–Distancia

D

49

dominio cuando no es continua enél.Por ejemplo, la siguiente figuramuestra una función que presentauna discontínuidad en el intervalo[a , b ]:

x

y

y = f (x )

ba

La función no es continua porque nose le puede dibujar sin despegar lapunta del lápiz del papel sobre el cualse le dibuja.

Discrepancia Sinónimo de «Desviación».Vea a la definición de «Desviación».

Discreto Se dice que una variable tomavalores discretos cuando solamentepuede tomar valores de manera en-tera o en forma de saltos.Lo contrario de discreto es continuo.

Discriminante En la fórmula generalpara resolver ecuaciones de segundogrado,a x 2+ b x + c = 0:

x =−b ±

pb 2−4 a c

2 a

el discriminante D se define como elargumento del radical:

D = b 2−4 a c

El signo del discriminante nos indicael tipo de raíces que tendrá laecuación cuadrática:

Discriminante Raíces

positivo reales diferentescero reales repetidas

negativo complejas

Discusión En matemáticas una discusiónse refiere al proceso de análisis confin de investigar un concepto u objetomatemático a través del razona-miento y la argumentación aplicandolas propiedades conocidas del objetoen estudio.

Disjunto Dos conjuntos son disjuntos sisu intersección es igual al conjuntovacío.En otras palabras, si dos conjuntos notienen elementos comunes, entoncesson conjuntos disjuntos.La figura muestra dos conjuntos dis-juntos:

A B

A∩B=∅

Dispersión Número que indica el gradode separación (carencia de agru-pación) de los datos medidos entorno de la media de la muestra opoblación.

Distancia Número que sirve de medidade separación entre dos objetosgeométricos.La distancia D entre dos puntosP (xp , yp ) y Q (xq , yq ) del plano carte-siano se puede calcular con la fór-mula:

D (P,Q ) =q

(xq − xp )2+ (yq − yp )2


50

D

Distancia de un punto a una recta–Distribución normal

La distancia (euclideana) satisface lassiguientes propiedades:

3 D (P,Q ) ≥ 0, es decir, la distanciaentre dos puntos es un númerono negativo.

3 D (P, P ) = 0, es decir, la distanciade un punto a sí mismo es cero.

3 D (P,Q ) ≤ D (P, R ) + D (R ,Q ), esdecir, en un triángulo, la sumade las longitudes de dos ladossiempre es al menos tan grandecomo el tercero.

Distancia de un punto a una recta Ladistancia D del punto P (xp , yp ) a larecta:A x + B y + C = 0 se puede calcularcon la fórmula:

D =|A xp +B yp +C |p

A2+B 2

Para calcular la distancia entre dosrectas paralelas puedes encontrar unpunto sobre cualquiera de las dos ycalcular la distancia de este punto ala otra recta.

Distinto Dos cantidades son distintascuando no son iguales. En otraspalabras, distinto es sinónimo dedesigual.Por ejemplo, 3 y 4 son cantidades dis-tintas. Matemáticamente esto lo ex-presamos: 3, 4.

Distribución La forma como los valoresde una variable aleatoria aparecen enlos datos medidos en una muestra opoblación.La distribución indica qué valorestienen mayor probabilidad de apare-cer y cuáles aparecen con menor fre-cuencia.

Distribución binomial Distribución quepresentan los eventos que tienen dosposibles resultados mutuamente ex-cluyentes.Por ejemplo, el lanzamiento de unamoneda diez veces presenta dis-tribución de probabilidad binomial,porque o cae águila o cae sol.Para el cálculo de la distribución bi-nomial se utiliza el binomio de New-ton o el triángulo de Pascal.

Distribución de frecuencias Tabla odiagrama que muestra gráficamentelas frecuencias de los valores de unavariable aleatoria.

0 1 2 3 4

2.5

3

3.5

4

Distribución normal Distribución deprobabilidad continua que presen-tan muchos fenómenos donde cadadato pueden interpretarse como elpromedio de varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un errorde medición que tiene distribu-ción normal. El error de la medi-ción es simétrico respecto del valorverdadero de la distancia. Eneste ejemplo, cada medición puedeconsiderarse como el promedio devarias mediciones separadas.La distribución normal se utilizafrecuentemente como una aproxi-mación a la distribución binomial.


Distributiva (propiedad)–Divisibilidad

D

51

La distribución normal se define conla media poblacional µ y su varianzaσ2.Si la media de la distribución es ceroy su varianza 1, la distribución seconoce como distribución normal es-tándar.Esta distribución es muy importanteen probabilidad y estadística.La función de densidad de la distribu-ción normal es:

f (x ) =1

σp

2πexp

−(x −µ)2

2σ2

conσ> 0, y su gráfica es:

xµ

La gráfica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un máximo en x = µ (lamedia).

3 La curva es simétrica respecto dela media.

3 La media, la mediana y la modacoinciden en el máximo de lafunción.

3 El eje horizontal es una asíntotade la curva.

3 El área total bajo la curva es 1.

Distributiva (propiedad) Propiedad delos números reales que involucra ala suma como a la multiplicación dela siguiente manera:

a · (b + c ) = a b +a c

Geométricamente, la propiedad dis-tributiva se interpreta como el cál-culo del área de un rectángulo:

a b a ca

b c

b + c

Disyunción Aseveración formada por dospremisas unidas por la palabra «o».Por ejemplo, «dado que es mayor ala unidad, este número es primo o escompuesto» es una disyunción.El símbolo matemático utilizado parala disyunción es ∨.Vea la definición de «Conjunción».

Dividendo En una división, el dividendoes el número que se está dividiendo.Por ejemplo, al dividir 10 ÷ 5 = 2, eldividendo es el número 10, el divisores el número 5 y el cociente es elnúmero 2.El dividendo puede ser cualquiernúmero diferente de cero.

Dividir Operación que consiste encalcular el número de veces que unacantidad contiene (cabe en) otra.Por ejemplo, cuando dividimos 36entre 4, obtenemos 9. Esto nos indicaque el número 4 cabe 9 veces en el 36.No es posible dividir entre cero.

Divisibilidad Decimos que el númeroentero b divide al número entero a , ylo escribimos como: b |a , si existe unnúmero entero k tal que: a = b ·k .En otras palabras, si a es un múlti-plo de b , entonces decimos que elnúmero b es divisible por a .


52

D

Divisibilidad, criterios de–División de polinomios

Divisibilidad, criterios de Regla que nosayuda a determinar si un número sedivide entre otro sin hacer la divisióndirectamente.Un número se divide,

3 entre 2 si la última cifra delnúmero es par. (0, 2, 4, 6, 8)


3 entre 4 si el número formadopor sus últimas dos cifras es unmúltiplo de 4.

3 entre 5 si termina en 5 ó en 0.

3 entre 6 si es divisible por 2 y por3.

3 entre 8 si el número formadopor sus tres últimas cifras es unmúltiplo de 8.


3 entre 10 si termina en cero.

División Operación matemática queconsiste en repartir una cantidad fijaen otra dada.La división se denota con el símbolo÷ o con /.Por ejemplo, para indicar la divisiónde los números a y b , escribimos:a ÷ b , o bien, a/b .La división de dos números tambiénse acostumbra escribir como unafracción:

r =a

b

donde r es el resultado de la divisióny se llama cociente, a es el dividendo,b es el divisor que debe ser distintode cero.En primaria y secundaria acostum-bramos acomodar las partes de la

división como se muestra en elsiguiente diagrama:

CocienteDivisor Dividendo

...Residuo

Los puntos... indican que posible-

mente existan algunos números enel procedimiento. El último númeroque se escribe, siendo menor que eldivisor, es el residuo de la división.

División de fracciones El resultado de di-vidir a/b entre c /d es:

a

b÷

c

d=

a ·db · c

supuesto que: b · c , 0.Por ejemplo:

3

5÷

7

8=

3×8

5×7=

24

35

División de monomios La división demonomios se define siempre queel divisor sea distinto de cero. Ladivisión entre monomios se realizaaplicando las leyes de los exponentes.En particular, la ley: x m ÷ x n = x m−n ,que en palabras dice que al dividirdos bases iguales sus exponentes serestan.Por ejemplo,

x 7

x 4= x 7−4 = x 3

División de polinomios La división depolinomios se realiza utilizando elmismo procedimiento que la división


División de un ángulo–Doceavo

D

53

entre números.En la siguiente división:

Cm−n+k (x )Dm (x ) Pn (n )

rk (x )

Cm−n (x ) es el cociente, que resulta serun polinomio de grado m − n + k ,Dm (x ) es el divisor, un polinomio degrado m , Pn (x ) es el dividendo, unpolinomio de grado n y rk (x ) es elresiduo de la división, un polinomiode grado k ≤ 2.

División de un ángulo Dado un ángulo,dividirlo en n partes significa dibujaro construir esa cantidad de ángulosexactamente iguales entre sus lados.Por ejemplo, al dividir el ángulo α =60 en 5 partes iguales, obtenemos:

División de un segmento Dado unsegmento con extremos en los puntosA y B , dividir el segmento en n partesiguales significa encontrar n − 1puntos igualmente espaciados entresus extremos.Por ejemplo, al dividir el segmentoAB en 5 partes iguales obtenemos:

A B

Divisor Dados los números enteros a , b , cque cumplen a = b · c , decimos quelos números b y c son divisores delnúmero a .Por ejemplo, el 2 y el 5 son divisoresdel número 10, porque 10= 2×5.

Divisor propio Un divisor d de unnúmero k es un divisor propio sid < k . Por ejemplo, los divisores de10 son: 1, 2, 5 y 10. Sus divisores pro-pios son: 1, 2 y 5, porque cada uno deellos es menor a 10.

Doble El doble de un número es elresultado de multiplicarlo por 2. Porejemplo, el doble de 5 es 10, porque5×2= 10.

Doble, raíz En un polinomio, cuando éstese puede factorizar con un factor el-evado al cuadrado, el polinomio pre-senta una raíz doble.En otras palabras, una raíz r deun polinomio es doble si despuésde dividirlo entre (x − r ) dos vecesconsecutivas, el residuo es cero.

Doceavo Un doceavo es equivalente a unade las partes de un entero que ha sidodividido en doce partes del mismotamaño.

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

1

12

Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«doceavo» refiriéndose al número or-dinal «décimosegundo».Por ejemplo, en un maratón, quien


54

D

Docena–dy

llegó en el lugar número doce, tieneel décimosegundo lugar, no el do-ceavo. Doceavo es una fracción, noun número ordinal.

Docena Un grupo de doce cosas.Por ejemplo una docena de rosas esun conjunto de doce rosas.

Dodecaedro Sólido regular que tiene 12caras. Cada una de sus caras es unpentágono regular:

Dodecágono Polígono que tiene 12 lados.

Dodecágono

Dominio El dominio D de una funciónes el conjunto formado por todos losvalores que la función puede aceptarpara devolver un único valor por cadauno de ellos.Un elemento del dominio general-mente se denota con la literal x . Así,

x ∈ Df se lee: «x está en el dominiode la función f ».Por ejemplo, el dominio de la funcióny = x 2 es el conjunto de los númerosreales, porque podemos calcular elcuadrado de cualquier número real.Por otra parte, el dominio de la fun-ción y =

px es el conjunto de

todos los números reales no nega-tivos, pues solo podemos calcular laraíz cuadrada de números no nega-tivos.

Duplicar Calcular el doble de un númeroo cantidad.Por ejemplo, al duplicar 10 obtene-mos 20.

Duplicación del cubo Uno de los tresproblemas de la antigüedad. Elproblema consistía en construir uncubo con el doble de volumen deun cubo dado, utilizando solamenteregla y compás.

dx En cálculo, dx se llama la «diferencialde x », y puede representar cualquiernúmero real.Generalmente, cuando el incrementoen x (∆x ) tiende a cero, lo llamamosdx .

dy En cálculo, si y = f (x ), dy se llama la«diferencial de y », y se define como elproducto de la derivada de la funciónf (x ) y la diferencial de x :

dy =d y

d x·dx = f ′(x ) ·dx


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

EEfrain Soto Apolinar

e Número irracional que sirve de basepara los logaritmos naturales. Suvalor es aproximadamente e =2.718281828459.El número e es una de las constantesmás importantes en matemáticas.La letra e de esta constante viene delapellido del matemático que con-tribuyó a la comprensión de estaconstante: «Euler».

Ecuación Es una igualdad entre dos ex-presiones algebraicas.Por ejemplo,

x n + y n = z n

es una ecuación.

Ecuación algebraica Es una ecuación quese expresa en base a operacionesalgebraicas (suma, resta, división,multiplicación) de polinomios.Por ejemplo, la ecuación:

1

x +2−(x −1)(x +3)

x +5= 1

es algebraica.

Ecuación binomial Una ecuación de laforma:

x n −a = 0

y su solución es: x = npa .

Ecuación cuadrática Una ecuación escuadrática si tiene la forma:

a x 2+ b x + c = 0

donde a , 0.

Ecuación de la circunferencia La circunferen-cia es el conjunto de puntos del planoque están a la misma distancia de unpunto fijo C que es el centro de lacircunferencia.La distancia del centro de lacircunferencia a cualquiera de suspuntos se llama radio (r ).La ecuación de la circunferencia quetiene su centro en el punto C (h , k ) yradio r es:

(x −h )2+ (y −k )2 = r 2

xO h

y

k

r

C (h , k )

P (x , y )

56

E

Ecuación de la elipse–Ecuación de la hipérbola

Ecuación de la elipse La elipse es elconjunto de puntos del plano quesatisfacen que la suma de sus dis-tancias a dos puntos fijos del planollamados focos es una constante 2 amayor que la distancia entre los fo-cos.La ecuación de la elipse horizontalcon centro en el punto C (h , k ), lon-gitud del eje mayor 2 a y longitud deleje menor 2 b , es:

(x −h )2

a 2+(y −k )2

b 2= 1

x

y

h

kC (h , k )a

b

La ecuación de la elipse vertical concentro en el punto C (h , k ), longituddel eje mayor 2 a y longitud del ejemenor 2 b , es:

(x −h )2

b 2+(y −k )2

a 2= 1

La distancia del foco al centro de laelipse es c y la relación que hay entrea , b y c es:

a 2 = b 2+ c 2

Ecuación de la hipérbola La hipérbola esel conjunto de puntos del plano quesatisfacen que la diferencia de susdistancias a dos puntos fijos del plano

llamados focos es una constante 2 amenor que la distancia entre los focos(2 c ).La ecuación de la hipérbola horizon-tal con centro en el punto C (h , k ),longitud del eje transverso 2 a y lon-gitud del eje conjugado 2 b , es:

(x −h )2

a 2−(y −k )2

b 2= 1

La ecuación de la hipérbola verticalcon centro en el punto C (h , k ), lon-gitud del eje transverso 2 a y longituddel eje conjugado 2 b , es:

−(x −h )2

a 2+(y −k )2

b 2= 1

x

y

F (0, c )F ′(0,−c )

y=

ba

x

y=−

ba x

Eje transverso

Eje

con

jugad

o

La distancia del centro de la hipér-bola a cualquiera de los focos es c , yla relación entre a , b y c es:

c 2 = a 2+ b 2

Las diagonales que pasan por elcentro de la hipérbola se llaman«asíntotas de la hipérbola» y susecuaciones son:

y =b

ax y =−

b

ax


Ecuación de la parábola–Ecuación de la recta

E

57

Ecuación de la parábola La parábola esel conjunto de puntos del planoque satisfacen que su distancia a unpunto fijo del plano llamado foco esigual a la de una recta fija sobre elplano llamada directriz, que no pasapor el foco.La ecuación de la parábola verticalcon vértice en el punto V (h , k ) ydistancia del vértice a su foco ρ, es:

(x −h )2 = 4ρ (y −k )

La parábola horizontal con vértice enel punto V (h , k ) y distancia del vér-tice a su foco ρ, es:

(y −k )2 = 4ρ (x −h )

La parábola vertical puede abrir haciaarriba o hacia abajo, y la horizontalhacia la derecha o hacia la izquierda,de acuerdo al signo del parámetro ρ.

x

y

x 2 =+4 |ρ|y

x

yx 2 =−4 |ρ|y

x

y

y 2 =+4 |ρ|x

x

y

y 2 =−4 |ρ|x

Ecuación de la recta La ecuación generalde la recta es:

A x +B y +C = 0

La ecuación de la recta en su formapendiente-ordenada al origen es:

y =m x + b

La ecuación de la recta en su formapunto-pendiente es:

y − y1 =m (x − x1)

La ecuación de la recta en su formasimétrica es:

x

a+

y

b= 1

La ecuación de la recta en su formanormal es:

A x +B y +Cp

A2+B 2= 0


58

E

Ecuación equivalente–Eje

Ecuación equivalente Dos ecuacionesson equivalentes si tienen exacta-mente las mismas soluciones.Por ejemplo, las ecuaciones:

2 x +1= 9 y 2 x = 8

tienen solución única: x = 4, y portanto son equivalentes.

Ecuación exponencial Una ecuaciónexponencial tiene la forma:

r a k x = c

Ecuación fraccionaria Es una ecuaciónque tiene contiene fraccionesalgebraicas.Por ejemplo, la ecuación:

3

2x +1+

2

3x +1= 7

es fraccionaria.

Ecuación lineal Es una ecuación en lacual las incógnitas tienen exponenteuno.Por ejemplo, la ecuación:

7 x +1= 50

es lineal, pues la única incógnita queaparece (x ) tiene exponente igual a1.

Ecuación literal Ecuación en la cual loscoeficientes constantes son escritoscomo literales porque se desconocesu valor.Por ejemplo, en la ecuación a x 2 +b x + c = 0, los coeficientes a , b , cson literales, porque no se conoce suvalor.

Ecuación logarítmica Ecuación en la queaparecen logaritmos de la incógnita.Por ejemplo, la ecuación:

ln(x +1)−5= 0

es logarítmica.

Ecuación radical Ecuación en la queaparecen radicales.Por ejemplo,

p

x +1=p

x −4+1

La solución de esta ecuación es: x =8.

Ecuación redundante En un sistema deecuaciones, una ecuación redun-dante es una ecuación que si no seconsidera en el sistema, se obtienenlas mismas soluciones.Por ejemplo, en el sistema deecuaciones:

x + y = 10

2x +3 y = 20

3 x +4 y = 30

la ecuación 3 x + 4 y = 30 es re-dundante, pues si resolvemos elsistema de ecuaciones lineales sinella, obtenemos las mismas solu-ciones.

Eje Línea recta que sirve de referenciapara construir un sistema coorde-nado.Generalmente los ejes se dibujanperpendiculares. El eje horizontalusualmente se etiqueta con la literalx y el vertical con la literal y .


Eje conjugado–Elevación, ángulo de

E

59

x1 2 3 4

1

2

3

y

Eje x

Eje

y

En algunas figuras, se define uno ovarios ejes para utilizarlos como ref-erencia. Por ejemplo, en las cónicas.

Eje conjugado En una hipérbola, el ejeconjugado es un segmento de rectaperpendicular al eje transverso quepasa por el punto medio de éste.Vea la definición de «Ecuación de lahipérbola».

Eje de simetría La recta que divide auna figura geométrica en dos partesiguales que se pueden superponeruna sobre la otra doblando la figurasobre esta recta.Por ejemplo, el cuadrado tiene cuatroejes de simetría. La siguiente figuramuestra uno de ellos:

Ejede sim

etría

Elemento Se refiere a un objeto particularde un conjunto.Cuando x es un elemento delconjunto A, esto se indica con la no-tación: x ∈ A, y se lee: «x es unelemento del conjunto A».Si x no es un elemento del conjuntoA, entonces escribimos: x <A.

Elemento identidad El elemento identi-dad en el álgebra es el número 1.

Elemento inverso Para la suma, elelemento inverso de a es −a , porquea + (−a ) = 0, para todo a ∈R.Para la multiplicación, el elementoinverso de a , 0 es 1/a , porquea · (1/a ) = 1, para todo a , 0, a ∈R.

Elemento neutro Para la suma, elelemento neutro es el cero, porquea +0= a , para todo a ∈R.Para la multiplicación, el elementoneutro es el uno, porque a · 1 = a ,para todo a ∈R.

Elemento opuesto El opuesto del númeroa es el número −a .El adjetivo «opuesto» viene del he-cho de que en la recta numérica, losnúmeros a y −a están a la mismadistancia del origen, solo que enlados opuestos.

Elemento simétrico El elementosimétrico del número a es el número−a .En otras palabras, elementosimétrico es sinónimo de elementoopuesto.

Elevación La distancia desde el suelohasta la posición de un objeto.

Elevación, ángulo de Ángulo que seforma considerando la horizontal, elpunto desde donde se observa (vér-tice del ángulo de elevación) y la posi-ción del objeto observado.En la siguiente figura, el ángulo αmostrado, corresponde al de ele-vación del objeto (:


60

E

Eliminar–Eneágono

α

(

En este caso, el punto desde donde seobserva al avión es el vértice del án-gulo mostrado.

Eliminar En el proceso de simplificaciónde una expresión algebraica, decimosque hemos eliminado un término ofactor cuando hemos aplicado algunade las siguientes propiedades de losnúmeros:

a + (−a ) = 0

a ·1

a= 1

Por ejemplo, cuando simplificamos lafracción:

6

21=

2×3

3×7=

2

7

decimos que hemos eliminado el 3,porque hemos aplicado la segundapropiedad enlistada antes.

Elipse Figura geométrica cerrada quetiene la propiedad que la suma delas distancias desde cualquiera de suspuntos a dos puntos fijos llamadosfocos, es una constante.El siguiente diagrama muestra unaelipse con centro en el origen ymostrando algunos de sus elemen-tos:

x

y

FF ′

P (x , y )

LR

VV ′

B

B ′

O

Los elementos de la elipse son:

3 Eje mayor: es el segmento conextremos en los puntos V y V ′.

3 Eje menor: es el segmento conextremos en los puntos B y B ′.

3 Vértices: son los puntos V y V ′

3 Focos: son los puntos F y F ′

3 Lado recto: Es el segmentoperpendicular al eje mayor quepasa por un foco y sus extremosestán sobre la elipse.

Algunas distancias importantes en laelipse son:

3 a es la distancia del centro dela elipse a cualquiera de sus vér-tices.

3 b es la distancia del centro dela elipse a un extremo del ejemenor.

3 c es la distancia de cualquiera delos focos al centro de la elipse.

Entre a , b y c se cumple la relación:

a 2 = b 2+ c 2

Eneágono Polígono de 9 lados.


Entero–Equivalencia, relación de

E

61

Eneágonoregular

Entero El conjunto de los números en-teros, que se denota con la literalZ esel siguiente:

Z= · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

Observa que todos los númerosnaturales también son números en-teros. Sin embargo, no todos losnúmeros enteros son naturales.

Equiángulo Un polígono es equiángulosi todos sus ángulos tienen la mismamedida.El siguiente polígono es equiángulo:

pues cada uno de sus ángulos mide120.Observa que un polígono equiángulono es necesariamente regular.

Equidistante Se dice que dos o más obje-tos son equidistantes de otro objeto Psi todos están a la misma distancia deéste (P ).Por ejemplo, en una circunferencia,todos sus puntos son equidistantesdel centro, porque están a la mismadistancia de él.

PM

N

R

ST

En la figura anterior, los puntosM , N , R ,S y T son equidistantes delpunto P .

Equilátero Un polígono es equiláterosi todos sus lados tienen la mismamedida.El siguiente polígono es equilátero:

puesto todos sus lados tienen lamisma medida.Observa que un polígono equiláterono es necesariamente regular.

Equivalencia Propiedad que presentandos cantidades de tener el mismovalor.Entonces, decimos que dos cantida-des son equivalentes si son iguales.

Equivalencia, relación de La relaciónde equivalencia es una estructuramatemática que presenta las sigu-ienes propiedades:

3 Reflexiva: a ∼ a

3 Simétrica: Si a ∼ b , entoncesb ∼ a .


62

E

Eratóstenes, criba de–Escala ordinal

3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c ,entonces a ∼ c .

Decimos que los objetos a y b es-tán relacionados si cumplen las trespropiedades enlistadas y lo denota-mos por a ∼ b .

Eratóstenes, criba de Procedimiento porel cual se puede encontrar la lista detodos los números primos menores aun número natural dado n .El procedimiento consiste en ir elim-inando los múltiplos de 2, 3, etc., ex-cepto el primer múltiplo (2, 3, etc.),hasta obtener una lista de númerosque no se han eliminado y por tantoson primos, al no tener más de dos di-visores.La siguiente figura muestra la cribade Eratóstenes para encontrar losnúmeros primos menores a 25:

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Criba de Eratóstenes

Error (1.) Diferencia entre el valor aprox-imado y el valor real de una cantidad.(2.) En álgebra, un estudiante cometeun error cuando aplica incorrecta-mente una propiedad de los númerosu omite un cálculo para la solucióndel problema.

Error absoluto El error absoluto de unamedición se define como el valor ab-soluto de la diferencia entre el valor

medido y el valor real:

εa b s = |valor real−valor medido|

Error relativo El error relativo de unamedición se define como:

ε=error

valor verdadero

Escala (1.) Conjunto de marcas sobre uninstrumento para hacer mediciones.La siguiente figura muestra parte deuna regla con escala en centímetros:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 cm

(2.) Número o razón que indica elnúmero de veces que se ha magnifi-cado la representación gráfica de unafigura para su manejo más cómodo.

Escala nominal Decimos que una varia-ble se mide en escala nominalcuando cada uno de los valores quepuede tomar tiene un nombre.Por ejemplo: Católico, Presbiteriano,Mormón, etc.Esta escala es de uso frecuente en en-cuestas.

Escala ordinal Decimos que una varia-ble se mide en escala ordinal cuandopuede tomar diferentes valores queestán ordenados de acuerdo a unaescala.Por ejemplo, leve, moderado, grave.Esta escala es de uso frecuente en en-cuestas.


Escaleno, triángulo–Espacio muestral

E

63

Escaleno, triángulo Triángulo que tiene 3lados con medida distinta.

T. escaleno

Escolio Se refiere a la observación deuna característica particular de unaproposición dada.

Escuadra Conjunto de instrumentos pararealizar trazos en geometría plana. Elset de escuadras está formado pordos escuadras triangulares, una conángulos de 90 − 60 − 30 y otra con90−45−45 .

La palabra escuadra en el lenguajecoloquial se refiere a un ángulo de90, es decir, a un ángulo recto.

Esfera Sólido geométrico que tiene lapropiedad que todos sus puntosequidistan de su centro.

Esfera

La superficie S y el volumen V encer-rado por una esfera de radio r son:

S = 4π r 2

V =4π

3r 3

respectivamente.

Estadística Rama de las matemáticas quese encarga de la recolección, repre-sentación, análisis, interpretación yaplicaciones de datos numéricos através de un conjunto de técnicas conrigor científico.La estadística se divide en inferencialy descriptiva.

Estadística descriptiva Rama de la es-tadística que se dedica a encontrarformas de representar informaciónnumérica de una forma comprensi-ble y útil en forma de tablas, gráficasy diagramas para extraer de ellas in-formación sobre los datos.

Estadística inferencial Rama de la es-tadística que se dedica a estimarvalores descriptivos de la población apartir de la información que se tienede una muestra de la misma usandoalgunos parámetros conocidos comoestadísticos (media, desviación es-tándar, etc.)

Estática Rama de la mecánica que seencarga del estudio de las fuerzasque actúan sobre los cuerposque se encuentran en equilibrio(mecánico).

Estimación Aproximación a un valor pormedio de un método matemático.

Espacio Conjunto de objetos matemáti-cos que se delimitan para su estudio.Un espacio matemático no esnecesariamente un espacio físico.

Espacio muestral El espacio muestral deun evento aleatorio consiste en elconjunto de todos los posibles re-sultados de ese evento, de tal formaque a cada resultado le correspondaun elemento o punto del espacio


64

E

Estimación–Euler, recta de

muestral y a cada elemento del es-pacio muestral le corresponda unresultado.Por ejemplo, el espacio muestral delexperimento que consiste en lanzaruna moneda al aire, es águila, sol,porque estos son los posibles resulta-dos de este evento.

Estimación Aproximación de un valor apartir de un cálculo.

Estocástico Una variable es estocástica sies aleatoria.Vea la definición de «Aleatorio».

Euclides de Alejandría (325 AC – 265 AC)Matemático de la antigua Grecia.Fundó una escuela en Alejandría.Escribió varias obras, de las cualesla que más se le reconoce es «Loselementos», en la cual recopila todolo que se conocía de geometría hastasu época.Su tratado «Los elementos», ha sidouna de las obras que ha tenido lamayor influencia en el desarrollo delas matemáticas en la historia de lahumanidad.

Euclides, algoritmo de Algoritmo paracalcular el máximo común divisorde dos números MCD(m , n ) dondem > n , que se puede resumir comosigue:

1. Dividir m entre n . Sea r elresiduo.

2. Si r = 0, entonces MCD(m , n ) =n . (Fin)

3. Si r , 0, entonces MCD(m , n ) =MCD(n , r ).

4. Remplazar (m , n ) por (n , r ) e ir alpaso 1.

Por ejemplo, para calcular elMCD(27, 12), tenemos:

27 = 12×2+3

12 = 3×4+0

Entonces, MCD(27, 12) = 3.

Euler, Leonhard (1 707 – 1 783) Matemáticosuizo que destacó por la originalidadde sus ideas. Hizo contribucionesimportantes a la teoría de números,análisis (Cálculo infinitesimal) y alCálculo de variaciones.Escribió más de 380 obras escritas,en diversos temas (análisis, cálculode órbitas, análisis, Cálculo diferen-cial, etc.)Introdujo los métodos analíticos enla teoría de números. Siempre es-tuvo muy interesado en las aplica-ciones de las matemáticas. Se con-sidera como el mejor matemático desu época.Nota: Euler se pronuncia «oiler».

Euler, fórmula de (Análisis) La fórmula:

e iθ = cosθ + i sinθ

se conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple,si V es el número de vértices, A es elnúmero de aristas y C es el númerode caras, se cumple:

V +C −A = 2

Esta relación también se conocecomo la fórmula de Euler.

Euler, número de Número irracionaldenotado por la literal e que se uti-liza como la base de los logaritmosnaturales y cuyo valor es aproximada-mente: e ≈ 2.718281828459

Euler, recta de Es la recta que pasa porcircuncentro, baricentro y el ortocen-tro de un triángulo.


Evaluar–Existencia, axioma de

E

65

Evaluar Calcular el valor numérico de unaexpresión para un (o varios) valor(es)dado(s) de su(s) variable(s).

Evento En un experimento aleatorio, unevento es un conjunto de resulta-dos posibles; en otras palabras, unevento es un subconjunto del espa-cio muestral.Vea la definición de «Espaciomuestral».

Eventos dependientes Dos eventos sondependientes cuando el resultado deuno es afectado por el resultado delotro.

Eventos independientes Dos eventos sonindependientes cuando el resultadode uno no afecta el resultado del otro.Cuando dos eventos son independi-entes, se cumple cualquiera de lassiguientes tres condiciones:

P (A|B ) = P (A)P (B |A) = P (B )

P (A ∩B ) = P (A) ·P (B )

En palabras, la primera ecuaciónnos dice que la probabilidad de queocurra el evento A no depende delevento B ; la segunda ecuación indicaque la probabilidad de que ocurra elevento B no depende del evento A y latercera nos dice que la probabilidadde que ocurran los eventos A y B jun-tos es igual al producto de las proba-bilidades de que ocurra cada eventopor separado.Si al menos una de las tres condi-ciones (ecuaciones) no se cumple,decimos que los eventos son depen-dientes.

Eventos mutuamente excluyentes Doseventos A y B son mutuamente ex-cluyentes si el hecho de que ocurra

uno hace imposible la ocurrencia delotro. En otras palabras, si la ocurren-cia simultánea de ambos eventos esimposible, los eventos son mutua-mente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la varia-ble aleatoria X que consiste en elresultado de un volado (águila, sol), Acorresponde al evento «cayó sol» y Bal evento «cayó águila», entonces loseventos A y B son mutuamente ex-cluyentes, porque no podemos teneren un solo experimento ambos resul-tados: o cae águila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentesno necesariamente abarcan todo elespacio muestral.

Exactitud Se refiere a la aproximación quese hace de un valor.

Excentricidad La excentricidad e deuna cónica se define a partir de losparámetros a , b y c que la determi-nan de manera única, y es igual a:

e =c

a

La excentricidad varía de acuerdo acada cónica:

3 Parábola: e = 1

3 Elipse: e < 1

3 Hipérbola: e > 1

La excentricidad no está definida enla circunferencia.

Exhaución, método de Método utilizadopara el cálculo del área de una figura,construyendo polígonos en ésta y cal-culando la suma de las áreas de estos.

Existencia, axioma de Axioma quesupone la existencia de un objeto ovarios objetos matemáticos.


66

E

Experimento–Extrapolación

Experimento En estadística, un experi-mento es el proceso que se lleva acabo con el fin de obtener un datopara formar una colección de éstos ya partir de ella hacer análisis estadís-ticos para conocer alguna caracterís-tica de la población de la cual se ex-trajo esta información.

Exponencial, crecimiento Proceso que semodela con una ecuación del tipo:

y =M e r t

donde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Dentro de ciertos límites, el crec-imiento de una población presentacrecimiento exponencial.

Exponencial, decaimiento Proceso quese modela con una ecuación del tipo:

y =M e −r t

donde M y r son constantes posi-tivas, e es el número de Euler y trepresenta el tiempo.Por ejemplo, la radiactividad pre-senta decaimiento exponencial.

Exponente Es el número que indica cuán-tas veces se multiplicará la base.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2×2×2×2×2


= 32

Expresión algebraica Una expresiónalgebraica es una combinación desímbolos matemáticos (literales,números, operaciones, etc.) quetenga sentido.Por ejemplo,

3

√

√

7 x 2−10

π

es una expresión algebraica.

Expresión racional Una expresiónracional es una fracción en dondeel numerador y el denominador sonexpresiones algebraicas siendo eldenominador distinta de cero.La siguiente es una expresiónracional:

a x 2+ b x + c

x 3−1

Extrapolación Estimación de una varia-ble dependiente para valores (dela variable dependiente) que estánlocalizados fuera del conjunto deobservaciones.Por ejemplo, suponga que conoce-mos los valores de la presión paratemperaturas entre 0 y 100; si de-seamos hacer una estimación de lapresión para 110, entonces usaremosun método de extrapolación, porque110 no está dentro del intervalo deobservaciones de la temperatura.


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

FEfrain Soto Apolinar

Factor Número o expresión algebraicaque se está multiplicando.Por ejemplo, en la expresión:

2 x y 2

hay tres factores: y 2, x , y 2.

Factor primo Un número primo p es fac-tor primo de N , si N es divisible entrep .Por ejemplo, 5 es un factor primo de30, porque 30 es divisible entre 5.

Factorial El factorial del número naturaln , que se denota como: n !, sedefine como el producto de todos losnúmeros naturales desde 1 hasta n :

n != (1)(2)(3) · · · (n )

Por ejemplo, el factorial de 4 es:

4!= (1)(2)(3)(4) = 24

El factorial del número cero es 1.

Factorización Proceso de escribir unnúmero o una expresión algebraicaen forma de producto de factores.Por ejemplo,

x 2+5 x +6= (x +2)(x +3)

Los casos de factorización que másfrecuentemente se encuentran en elálgebra son:

3 Diferencia de cuadrados:

x 2− y 2 = (x + y )(x − y )

3 Trinomio cuadrado perfecto:

x 2+2x y + y 2 = (x + y )2

3 Polinomio cúbico perfecto:

x 3+3x 2 y +3x y 2+ y 3 = (x + y )3

3 Trinomio cuadrado no perfecto:

x 2+ (a + b )x +a b = (x +a )(x + b )

Familia de curvas Conjunto de curvasque tienen un mismo patrón de con-strucción o que se obtienen al variarun parámetro de su ecuación.

Fibonacci, sucesión de La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-mino se obtiene como la suma de losdos términos anteriores se conocecomo la sucesión de Fibonacci.

68

F

Figura–Fórmula de Euler

Figura Forma geométrica (dibujo, gráfico,etc.), que sirve para representar unconcepto abstracto de las matemáti-cas.Cuando la figura está dibujada sobreun plano, decimos que se trata de unafigura plana.Si la figura tiene volumen, decimosque es una figura en tres dimensioneso tridimensional.

Finito Expresión que indica que algotiene fin o límites de manera que sepueden determinar sus dimensioneso el número de sus elementos a travésde mediciones, conteo u otro similar.Es lo contrario de infinito.

Focal, radio Segmento dirigido que tienesu punto inicial en el foco de unacónica y su punto final en algúnpunto cualquiera de la misma.

x

y

FF ′

P (x , y )Radio focal

O

Foco En una cónica, el foco es el puntoque se tomó como referencia parahacer mediciones. Para saber cuálesson las cónicas vea la definición de«Cónica».

Forma ordinaria La ecuación de unacónica en su forma ordinaria serefiere a la ecuación de esa cónica demanera factorizada.Algunos autores le llaman forma basea la forma ordinaria de una ecuación.

Forma general La ecuación de una cónicaen su forma ordinaria se refiere a laecuación de la forma:

A x 2+B y 2+C x y +D x +E y +F = 0

Cuando los ejes de la cónica son para-lelos a los ejes coordenados C = 0, y eltérmino C x y , no aparece en la formageneral.

Fórmula Igualdad que sirve para calcularun valor a partir de otros valoresconocidos.Por ejemplo, la fórmula general paracalcular las raíces de una ecuación desegundo grado: a x 2+b x +c = 0, es:

x =−b ±

pb 2−4 a c

2a

Y la fórmula para calcular el númerode diagonales D que se puedendibujar a un polígono regular de nlados es:

D =n (n −3)

2

Fórmula de Euler (Análisis) La fórmula:

e iθ = cosθ + i sinθ

se conoce como la fórmula de Euler.(Geometría) En un poliedro simple,si V es el número de vértices, A es elnúmero de aristas y C es el númerode caras, se cumple:

V +C −A = 2

Esta relación también se conocecomo la fórmula de Euler.Nota: Euler se pronuncia «oiler».


Fórmula general–Fracción reducible

F

69

Fórmula general La fórmula generalpara resolver ecuaciones de segundogrado es:

x =−b ±

pb 2−4 a c

2a

donde a , b y c son los coeficientes dela ecuación cuadrática: a x 2+b x+c =0.

Fracción Representación de una divisióna través de la siguiente notación:

r =a

b

donde a es el dividendo, llamadonumerador en la fracción, b es eldivisor, llamado denominador en lafracción y r es el cociente.Debido a que la división entre cero noestá permitida, en la fracción no tienesentido definir: b = 0.A las fracciones también se les llama«fracción común» o «fracción sim-ple».

Fracción algebraica Fracción en la cualal menos uno de los elementos dela fracción (numerador o denomina-dor) es una expresión algebraica.Por ejemplo,

x +2

x 2−1

Fracción equivalente se dice que dosfracciones son equivalentes si tienenexactamente el mismo valor.Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 6/9son equivalentes.

Fracción impropia Cuando el numera-dor de una fracción es mayor aldenominador de la misma, decimos

que la fracción es impropia.En otras palabras, si el cociente r dela fracción es mayor a 1, entonces lafracción es impropia.Por ejemplo, 9/4 es una fracción im-propia porque 9> 4.

Fracción irreducible Aquella fracciónque cumple que sus elementos(numerador y denominador) notienen factores comúnes.En otras palabras, el numerador yel denominador de la fracción sonprimos relativos cuando la fracciónes irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracciónirreducible.

Fracción mixta Número que se escribecon una parte entera y una parte frac-cionaria.Por ejemplo: 1¾.

Fracción propia Cuando el numerador deuna fracción es menor al denomina-dor de la misma, decimos que la frac-ción es propia.En otras palabras, si el cociente r dela fracción es menor a 1, entonces lafracción es propia.Por ejemplo, 2/7 es una fracciónpropia porque 2< 7.

Fracción reducible Aquella fracción quecumple que sus elementos (numera-dor y denominador) tienen factorescomúnes.En otras palabras, si es posible en-contrar una fracción equivalentecon el numerador y el denominadormenores a los de la fracción dada, lafracción es reducible.Por ejemplo,

6

9=

2×3

3×3=

2

3


70

F

Fracción simple–Función

Fracción simple Aquella fracción que notiene una parte entera en su escrit-ura.

Fración unitaria Una fracción es unitariasi su numerador es 1 y su denomina-dor es un número entero positivo.Por ejemplo, 1/7, es una fracción uni-taria.

Fractal Curva irregular que tiene lapropiedad que cuando se elige unaparte de ella, siempre es posibleencontrar una parte idéntica en lamisma curva, bien magnificándola,bien reduciéndola en escala.La siguiente figura es un fractal quese conoce como el helado de Koch:

Frecuencia (Análisis) Número de vecesque una función periódica repite unasucesión de valores para un intervalodado.(Estadística) Número de veces queaparece un valor en un intervalo dadoen una una tabla de datos. A estadefinición de frecuencia se le conocetambién como frecuencia absoluta.Con las frecuencias absoluta de losdiferentes intervalos de los datos seelabora la tabla de frecuencias.

Frecuencia absoluta Número de vecesque aparece un valor en un intervalodado en una una tabla de datos.

Frecuencia relativa Para cada una clases,la frecuencia relativa se calcula divi-diendo la frecuencia absoluta entre elnúmero total de datos (tamaño de lamuestra).La suma de todas las frecuencias rel-ativas de una tabla de frecuencias esigual a 1.La frecuencia relativa representa lafracción del total de datos que está enesa clase en particular.

Función Relación entre dos conjuntos,llamados el dominio y el contrado-minio, de tal manera que a cadaelemento del dominio le correspondea lo más un elemento del contrado-minio.Una función puede verse comouna máquina que transforma a losnúmeros que le vamos dando, demanera que nos devuelve un númerocada vez que le damos un valor.

xX

f (x )Yf

Función


Valores que ledamos a la

función

Valores que nosdevuelve la

función

El conjunto X formado por todos losvalores que nosotros le damos a lafunción, para los cuales nos devuelveun valor, es su dominio, denotadopor Df . El conjunto Y formado portodos los valores que la función nosdevuelve es el contradominio de lamisma.Por ejemplo, para la función y =

px ,

su dominio es el conjuntoX= x |x ≥0, pues solamente podemos calcularraíz cuadrada de números no nega-tivos.


Función acotada–Función contínua

F

71

El contradominio de esta función es:Y = y |y ≥ 0, pues el resultadode calcular la raíz cuadrada de unnúmero siempre es un número nonegativo.En este caso, se dice que y es la varia-ble dependiente, porque sus valoresdependen del valor que le demos ala variable x . Se dice que x es lavariable independiente de la función.Decimos que y está en función dex , y matemáticamente lo escribimoscomo: y = f (x ). El concepto de fun-ción es uno de los más importantesen matemáticas.De manera informal, podemos decirque una función es la relación queexiste entre dos cantidades variables.Vea la definición de «Relación fun-cional».

Función acotada Función que nuncatoma valores mayores a un valor Mespecífico.Por ejemplo, la función: y = 1/(x 2+1)es acotada, pues los valores de ynunca son mayores a 1.

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1 y =1

x 2+1

Función algebraica Es una función quese expresa en base a operacionesalgebraicas (suma, resta, división,multiplicación) de polinomios.Por ejemplo, la función:

y =x +1

x +2−(x −3)2

x −5+4 x 3+7

es algebraica.

Función biyectiva Una función es biyec-tiva si es inyectiva (uno a uno) y so-breyectiva (sobre) a la vez.

Función cero La función cero se definecomo: f (x ) = 0 para toda x ∈ R. Sudominio es el conjunto de todos losnúmeros reales y su contradominioes el conjunto 0.De manera informal, cuando ledamos un valor real a la función cero,ésta nos devuelve siempre 0.

Función compuesta Dadas las funciones:y = f (x ) y y = g (x ), la composiciónde f en g , denotado por f g significasustituir g (x ) en la función y = f (x ):

f g = f

g (x )

Por ejemplo, si definimos: f (x ) = x 2,y g (x ) = 2 x −3, entonces,

f g = f

g (x )

= (2 x −3)2

= 4 x 2−12 x +9

Función contínua Se dice que una fun-ción f es continua en un intervalodado [a , b ] si toma todos los valoresentre f (a ) y f (b ) y se puede dibujaren ese intervalo sin despegar la puntadel lápiz del papel sobre el cual se ledibuja.En la siguiente figura, la función y =f (x ) es continua en el intervalo [a , b ]:


72

F

Función creciente–Función decreciente

x

y

y = f (x )

ba

f (b )

f (a )

Función creciente Decimos que una fun-ción f es creciente en un intervalo[a , b ] si para cualesquiera valores u , vque estén en ese intervalo y que cum-plan con: u ≤ v , se cumple: f (u ) ≤f (v ).Por ejemplo, la función y = x 2 escreciente en el intervalo [0, 1]:

Creci

ente

x0 0.5 1 1.5

f (x )

1

2

y = x 2

Al ver la gráfica de una función, sabe-mos que es creciente si al moverte ala derecha la gráfica de la función vahacia arriba.

Función cuadrática Una función de laforma: y = a x 2+b x+c , donde a , 0.La gráfica de una ecuación cuadráticaes una parábola vertical.Vea la definición de «Ecuación de laparábola».

Función cúbica Una función de la forma:

y = a x 3+ b x 2+ c x +d

donde a , 0.La siguiente gráfica corresponde a lade una función cúbica:

x−3 −2 −1 0 1 2

y

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1 y = x 3

Función decreciente Decimos que unafunción f es decreciente en unintervalo [a , b ] si para cualesquieravalores u , v que estén en ese inter-valo y que cumplan con: u ≤ v , secumple: f (u )≥ f (v ).Por ejemplo, la función y = 2− x 2 esdecreciente en el intervalo (0, 2):

Decreciente

x0 0.5 1

f (x )

1

2

Observa que f (0.5) > f (1.0), y tam-bién se cumple que: 0.5≤ 1.0.


Función discontínua–Función inyectiva

F

73

Función discontínua Se dice que unafunción es discontinua cuando no escontínua.Por ejemplo, la siguiente figuramuestra una función discontinua enel intervalo [a , b ]:

x

y

y = f (x )

ba

La función no es continua porque nose le puede dibujar sin despegar lapunta del lápiz del papel sobre el cualse le dibuja.

Función exponencial Función de laforma:

y = a (b )r x

La siguiente función es exponencial:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8y = 2x

Función impar Función que tiene lapropiedad: f (−x ) =− f (x ).

En otras palabras, una función impares simétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x 3 es im-par (Vea la figura dada en la defini-ción de «Función cúbica»).

Función inversa Sea f una función condominio X f y contradominio Y f . Siexiste una función g con dominio Xg

y contradominio Yg tal que:

i. f (g (x )) = x para toda x ∈Xg

ii. g ( f (x )) = x para toda x ∈X f

entonces decimos que las funcionesf y g son inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x ) = x 3, entonces,f −1(x ) = 3px .Geométricamente, la función f (x ) ysu inversa f −1(x ) son la reflexión unade la otra respecto de la recta y = x .

x−2 −1 1 2 3

y

−2

−1

1

2

3

f(x) =

x3

f −1 (x ) =3p x

y=

x

Función inyectiva Una función es inyec-tiva si a diferentes elementos de sudominio le corresponden diferenteselementos del contradominio.Es decir, para cualesquiera a , b en eldominio de la función y = f (x ), sia , b , entonces, f (a ), f (b ).A las funciones inyectivas también se


74

F

Función irracional–Función trigonométrica

les conoce como funciones «uno auno».

Función irracional Función en la queaparece una expresión algebraicacomo argumento de un radical.Por ejemplo, la función: y =

px es

irracional.

Función lineal Función que puede re-ducirse a la forma:

y =m x + b

La gráfica de una función lineal esuna línea recta.

Función par Función que tiene lapropiedad: f (−x ) = f (x ).Por ejemplo, la función: y = x 2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x 2

Función periódica Si existe un valor ktal que para todo x que esté en eldominio de la función f se cumpla:f (x ) = f (x + k ), entonces decimosque la función es periódica.El periodo de una función periódicaf es el mínimo valor k que cumple:f (x ) = f (x +k ).Por ejemplo, la función seno es perió-dica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la función seno es 2π.

Función racional Función de la forma:

y =Pm (x )Qn (x )

donde Pm (x ) y Qn (x ) son polinomiosde grado m y n respectivamente.Por ejemplo,

y =1+ x +2 x 2+3 x 3

1− x 4

En este ejemplo, P3(x ) = 1+ x +2 x 2+3 x 3, y Q4(x ) = 1− x 4.

Función simétrica Una función puedeser simétrica respecto al eje y sial sustituir −x en lugar de x y alsimplificar obtenemos la mismaecuación.Por ejemplo, la parábola verticalcon vértice en el origen: y = x 2 essimétrica respecto al eje y .Una función puede ser simétricarespecto al origen si cumple: f (−x ) =− f (x ). Es decir, si es impar.Por ejemplo, la función: y = x 3 essimétrica respecto del origen.

Función sobreyectiva Una función es so-breyectiva cuando a cada elementode su contradominio le correspondea lo menos un elemento de sudominio.A una función sobreyectiva tambiénse le conoce como función «sobre».

Función trigonométrica Son las fun-ciones:


Función trigonométrica

F

75

3 seno (sin)

3 coseno (cos)

3 tangente (tan)

3 secante (sec)

3 cosecante (csc)

3 cotangente (cot)

Las funciones trigonométricas inver-sas son:

3 arcoseno (arcsin)

3 arcocoseno (arccos)

3 arcotangente (arctan)


76

F

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

GEfrain Soto Apolinar

Galón Unidad de volumen usada en elsistema Inglés, equivalente a 3.785litros en EE.UU. y 4.546 litros enInglaterra.

Gauss, Carl F. (1 777 – 1 855) Matemáticoalemán. Considerado como el úl-timo matemático que supo todo delas matemáticas que se conocía hastasu época y los nuevos descubrim-ientos eran desarrollados principal-mente por él.Resolvió problemas que se creíanirresolubles como la construcción(con regla y compás) del polígonoregular de 17 lados, que no se habíapodído resolver en más de 2 000años.

Gauss, campana de La campana deGauss es la forma que tiene una dis-tribución normal.

x

y

µ

La distribución normal estándartiene media cero y varianza 1.

Gauss, método de Método para resolversistemas de ecuaciones, tambiénconocido como el método de elimi-nación o el método de suma y resta.Gauss ideó este método basándoseen las siguientes propiedades de laigualdad:

3 Si a = b , y c = d , entonces, a ±c = b ±d .

3 Si a = b , entonces, a ·k = b ·k .

La idea del método es reducir elsistema de ecuaciones eliminandovariables hasta obtener un sistemade una ecuación con una incógnitay a partir de este valor calcular losvalores de las demás incógnitas.

Generalizar Derivación de una afirma-ción de un caso particular a todos loscasos que sea aplicable.Por ejemplo, al sumar 1+ 2+ 3+ · · ·+100, se puede encontrar que la sumase puede calcular por medio de:

1+2+3+ · · ·+100=(100)(101)

2

Al generalizar, se reconoce que:

1+2+3+ · · ·+n =n (n +1)

2

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G

Generatriz–Gráfica

La generalización debe justificarse demanera irrefutable para que sea vál-ida.

Generatriz Un punto, línea o superficiecuyo movimiento genera una curva,superficie o sólido.

Geometría Rama de las matemáticasque se encarga del estudio de laspropiedades de los puntos, las líneas,ángulos, superficies y sólidos.

Geometría Analítica Geometría que uti-liza un sistema de coordenadas carte-sianas para identificar de maneraúnica puntos en el espacio estudi-ado.

Geometría plana Geometría que estudiaobjetos en el plano: puntos, rectas,triángulos, cuadriláteros, etc.

Geometría sólida Geometría que estu-dia los objetos en tres dimensiones,como los poliedros.

Geoplano Tablero cuadrado que con-tiene clavos en los vértices de unacuadrícula dibujada sobre el tablero.Con auxilio de los clavos y ligas o es-tambre se pueden hacer trazos y asíestudiar algunos temas de geometría.

Geoplano

Giga- Prefijo que denota 109. Por ejemplo,un Gigalitro equivale a mil millonesde litros, esto es, 1 GL= 109 L.

Googol Número natural que se escribecon un 1 seguido de cien ceros. Esdecir, un Googol es igual a 10100.

Grado Centígrado Unidad de tempera-tura igual a una centésima parte dela diferencia de temperaturas entre lasolidificación y fusión del agua a pre-sión de 1 atm.El grado centígrado se denota por C .

Grado Farenheit Unidad de temperaturaen la cual 32 corresponden a latemperatura a la cual el agua se con-gela y 212 el agua se convierte en va-por a una presión de 1 atm.El grado centígrado se denota por F .

Grado sexagesimal Unidad de medida deángulo equivalente a 1/360 parte dela vuelta completa.Un grado sexagesimal se denota conel símbolo: , y generalmente se lellama diciendo solamente «grado».

Grado de una ecuación El grado de unaecuación polinomial es el mayorexponente al cual aparece elevada suincógnita.

Grado de un polinomio Exponente demayor valor que tiene la variable delpolinomio.Por ejemplo, el polinomio:

1+2 x 2−4 x 3+7 x 8− x 13

es de grado 13.

Gráfica La gráfica de una ecuación o deuna función es el conjunto de todoslos puntos del plano que la satisfa-cen.Un diagrama que representa elcomportamiento de una variabledependiente respecto de otra varia-ble independiente.La siguiente gráfica corresponde a lafunción: y =

px


Gráfica circular–Griego, alfabeto

G

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x

y

1 2 3 40

1

2y =p

x

Frecuentemente se utiliza la palabra«diagrama» como sinónimo de lapalabra «gráfica».

Gráfica circular Sinónimo de diagramade sectores.Vea la definición de «Diagrama desectores».

Gramo Unidad de masa del SistemaInternacional de Unidadess.Vea la definición de «Sistema Interna-cional de unidades».

Griego, alfabeto El alfabeto griego es elsiguiente:

Mayúscula Minúscula Nombre

A α AlphaB β BetaΓ γ Gama∆ δ DeltaE ε EpsilonZ ζ ZetaH η EtaΘ θ ThetaI ι IotaK κ KappaΛ λ LambdaM µ MuN ν NuΞ ξ XiO o OmicronΠ π PiP ρ RhoΣ σ SigmaT τ TauΥ υ UpsilonΦ φ PhiX χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega

Algunas letras griegas aparecen enalgunos libros con diferente estilo ti-pográfico, por ejemplo: ϕ (phi), ε(epsilon), $ (pi), ϑ (theta), % (rho) yς (sigma).


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Hardware Parte física de un equipo decómputo.Por ejemplo, el teclado, ratón, impre-sora, pantalla, etc., forman el hard-ware de un equipo de cómputo.La parte no física, es decir, los pro-gramas y la información contenidaen la computadora, se denomina«software».

Hectárea Unidad de área equivalente a uncuadrado de cien metros de lado.El símbolo utilizado para la hectáreaes ha y es igual a 10 000 metroscuadrados.

100 m

100 m 1 ha

Hecto- Prefijo que indica cien. Se abreviacon la letra h (minúscula).Por ejemplo, un hectómetro es igual acien metros.

Hepta- Prefijo que significa siete.Por ejemplo, un heptágono tienesiete lados.

Heptágono Polígono de 7 lados y 7 ángu-los.

Heptágono

El heptágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 7 lados y sus 7 án-gulos iguales, es decir, es un heptá-gono regular.

Hexa- Prefijo que significa seis.Por ejemplo, un hexágono tiene seislados.

Hexaedro Sólido geométrico formado porseis caras cuadriláteras.El cubo es un hexaedro.

Cubo

82

H

Hexágono–Hiperbólico, seno

Otro ejemplo de hexaedro es elParalelepípedo.

Hexágono Polígono de 6 lados y 6 ángu-los.

Hexágono

El hexágono mostrado en la figuraanterior tiene sus 6 lados y sus 6 án-gulos iguales, es decir, es un hexá-gono regular.

Hipérbola Conjunto de puntos del planoque satisfacen que la diferencia desus distancias a dos puntos fijosdel plano llamados focos es unaconstante 2a menor que la distan-cia entre los focos. La ecuación dela hipérbola horizontal con centroen el punto C (h , k ), longitud deleje transverso 2 a y longitud del ejeconjugado 2 b , es:

(x −h )2

a 2−(y −k )2

b 2= 1

La ecuación de la hipérbola verticalcon centro en el punto C (h , k ), lon-gitud del eje transverso 2 a y longituddel eje conjugado 2 b , es:

−(x −h )2

b 2+(y −k )2

a 2= 1

La siguiente figura corresponde a lade una hipérbola horizontal:

x

y

FF ′

P (x , y )

2 a

aa

La distancia del centro de la hipér-bola a cualquiera de los focos es c , yla relación entre a , b y c es:

c 2 = a 2+ b 2

Hipérbola de Fermat La gráfica de unafunción del tipo y = x n , donde n esun número entero negativo, se llamahipérbola de Fermat.

Hiperbólico, coseno La función cosenohiperbólico del número x se denotapor: cosh x y está definida por:

cosh x =e x + e −x

2

Hiperbólico, seno La función seno hiper-bólico del número x se denota por:sinh x y está definida por:

sinh x =e x − e −x

2


Hiperbólica, tangente–Hora

H

83

Hiperbólica, tangente La funcióntangente hiperbólica del número xse denota por: tanh x y está definidapor:

tanh x =e x − e −x

e x + e −x

Hipotenusa En un triángulo rectángulo,la hipotenusa es el lado opuesto al án-gulo recto.

α

HipotenusaC

atet

oo

pu

esto

Cateto adyacente

La hipotenusa siempre es el lado másgrande de un triángulo rectángulo.

Hipótesis Suposición hecha para resolverun problema.

Histograma Representación gráfica de ladistribución de datos de una muestrao población.Para dibujar un histograma se acos-tumbra primero generar una tablacon los datos.Por ejemplo, supongamos que lasfracciones de la población en lossiguientes rangos de edades de unpueblo se reparten como sigue:

Rango Cantidad Fracción

0 – 10 250 0.03310 – 20 1 200 0.16020 – 30 2 500 0.33330 – 40 1 225 0.16340 – 50 850 0.11350 – 60 750 0.10060 – 70 425 0.05770 – 80 250 0.03380 – 90 37 0.005

90 – 100 13 0.002

Y a partir de estos datos generamos elhistograma dibujando una barra paracada intervalo con una altura propor-cional a su valor de frecuencia en latabla.

0 20 40 60 80 100

0

1,000

2,000

Edad

Hora Una hora equivale a 60 minutos y esigual a 1/24 de la duración del día. Esdecir, un día tiene 24 horas.


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Icosaedro Sólido regular cuyas caras sonveinte triángulos equiláteros:

Icoságono Polígono de 20 lados.El siguiente polígono es un icoságonoregular:

Identidad Es una igualdad que se cumplepara cualesquiera valores de lasvariables que contiene.Por ejemplo, las siguientes igual-

dades son identidades:

(x + y )2 = x 2+ y 2+2 x y

1 = sin2 x + cos2 x

Identidades pitagóricas Identidadestrigonométricas que se obtuvieronusando el teorema de Pitágoras:

sin2α+ cos2α = 1

tan2α+1 = sec2α

cot2α+1 = csc2α

Igual (Álgebra) Decimos que dosnúmeros o dos expresiones algebrai-cas son iguales cuando tienen elmismo valor.Por ejemplo, 5= 2+3.(Geometría) Dos figuras geométricasson iguales si una puede superpon-erse en la otra de manera que ambascoincidan en todos sus puntos.(Teoría de conjuntos) Dos conjun-tos son iguales si tienen los mismoselementos exactamente.

Igualdad Relación definida para dosnúmeros que indica que los dos

86

I

Imagen–Incógnita

tienen el mismo valor.La relación de identidad se denotacon el símbolo =.Las propiedades de la igualdad sonlas siguientes:

3 a = a (reflexiva)

3 Si a = b , entonces b = a(simétrica)

3 Si a = b y b = c entonces a = c(transitiva)

Otras propiedades útiles de la igual-dad son:

3 Si a = b , entonces a +k = b +k

3 Si a = b , entonces a −k = b −k

3 Si a = b , entonces a ·k = b ·k

3 Si a = b , entoncesa

k=

b

k; (k , 0)

3 Si a = b , entonces a k = b k

Imagen Dada una función f , la imagendel valor k bajo esa función, es elresultado de evaluar la función en elvalor k .Por ejemplo, si la función es: y = x 2,y k = 3, entonces, la imagen de 3 bajola función y = x 2 es 9:

y = (3)2 = 9

Observa que la imagen corresponde aun solo valor del dominio. A menosque el dominio de la función tenga unsolo elemento, el rango (o contrado-minio) de la función no será igual ala imagen de un valor (que esté en eldominio de la función considerada).

Imaginario, número Número que estámultiplicado por la unidad imagi-naria.Por ejemplo, el número 2 i es unnúmero imaginario.

La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i , es el número que tienela propiedad de que cuando se mul-tiplica por sí mismo obtenemos −1como resultado. Es decir, i 2 =−1.Los números complejos se llamannúmeros imaginarios puros cuandosu parte real es cero.

Impar, número Número que al dividirentre dos obtenemos como residuo 1.Los primeros números impares son:1, 3, 5, 7 y 9.

Impar, función Función que tiene lapropiedad: f (−x ) =− f (x ).En otras palabras, una función impares simétrica respecto del origen.Por ejemplo, la función y = x 3 es im-par (Vea la figura dada en la defini-ción de «Función cúbica»).

Implicación Dadas dos afirmaciones A yB, decimos que A implica B, si al serverdadera A, necesariamente B tam-bién debe ser verdadera.Por ejemplo, considerando que p yq son números enteros, sea A = «elproducto de p por q es cero», y B= «bien, p es cero, bien q es cero,o quizás ambos sean cero», En estecaso A implica B. Esto se denota porA⇒ B.

Incentro Es el punto donde se intersectanlas tres bisectrices de un triángulo.

Incentro


Inconmensurable–Inscrito, polígono

I

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Incógnita Símbolo literal cuyo valor sedesconoce. Las variables general-mente se denotan usando las últimasletras del alfabeto: t , u , v, x , y , z , etc.,mientras que las constantes se deno-tan con las primeras: a , b , c , etc.

Inconmensurable Decimos que dosnúmeros a , b son inconmensurablessi no son conmensurables.Vea la definición de «conmensurable».

Independiente, variable La variableindependiente de una función es elvalor que nosotros le damos paracalcular la variable dependiente.Generalmente la variable indepen-diente de una función se denota conla literal x .Por ejemplo, en la función y = x 2,la variable independiente es x , puesnosotros asignamos el valor que estavariable tomará.

Inducción matemática Método de de-mostración en el cual se pruebauna conjetura que depende de unnúmero entero k . La demostración seelabora, primero para k = 1, luego sesupone que la conjetura es verdaderapara k = n y se prueba que para k =n + 1 también se cumple. Así se de-muestra que la conjetura se cumplepara todos los números naturales.Vea la definición de «Principio de in-ducción matemática».

Inecuación Sinónimo de desigualdad.

Inercia Tendencia de un cuerpo de man-tener su estado de movimiento.

Inferencia Proceso que permite alcanzaruna conclusión a partir de premisas.Una inferencia puede ser deductiva oinductiva.

Infinitesimal Un infinitesimal o un in-finitésimo, es una cantidad infinita-mente pequeña.El infinitesimal es un número pos-itivo menor que cualquier númeropositivo (no necesariamente entero)que puedas imaginar.

Infinito Expresión que indica que algo notiene fin. Se denota con el símbolo∞.También puede indicar que no tienefronteras.

Ínfimo La cantidad más grande que esmenor o igual que las cantidades deotro conjunto.Lo opuesto de ínfimo es «supremo».

Inscrito, ángulo Ángulo que tiene su vér-tice sobre una circunferencia y cuyoslados son dos cuerdas de la misma.

α

Inscrito, polígono Se dice que un polí-gono es inscrito cuando todos suslados son cuerdas de una mismacircunferencia.

Hexágono inscrito


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I

Integración–Interés simple

Integración La integración de una fun-ción f (x ) consiste en encontrar unafunción diferenciable y = F (x ) quecumpla: F ′(x ) = f (x ) para toda x enel dominio de f .

Integración numérica Procedimiento deintegración en los que se aproximael valor de una integral definida pormedio de métodos iterativos.Vea la definición de «Iteración».

Integral En Cálculo, una integral es elresultado de la integración de unafunción.El símbolo de integral es:

∫

, y la ex-presión:

∫

f (x )dx = F (x ) +C

se lee: «La integral de la función f (x )respecto de x es igual a la funciónF (x )más una constante.»La función f (x ) se llama integrando,dx indica que se va a integrar la fun-ción respecto de la variable x , F (x ) +C es el resultado de la integración.Observa que la integral de una fun-ción es una familia de funciones.Algunos autores llaman a la integralcomo «antiderivada», o «primitiva»de la función y = f (x ).Vea la definición de «antiderivada».

Integral definida La integral definida deuna función y = f (x ) es un escalar,definido por:

b∫

a

f (x )dx = F (b )− F (a )

donde, a y b son los límites de inte-gración, y y = F (x ) es una primitivade y = f (x ).

Geométricamente, la integraldefinida, cuando y = f (x ) es posi-tiva en el intervalo (a , b ) representa elárea debajo de la gráfica de y = f (x )y sobre el eje x desde x = a hastax = b .Formalmente, la integral definida sedefine por el límite:

b∫

a

f (x )dx = limn→∞

n∑

i=0

f (xi )

b −a

n

Interés Renta que se cobra por el uso deldinero ajeno. El interés pagado sedenota con la literal I .

Interés compuesto Interés que se calculacada intervalo de tiempo convenido(mensual, trimestral, semestreal, an-ual, etc.) donde el interés que se gen-eró en el último intervalo de tiempoformará parte del capital para el cál-culo del interés del siguiente mes.Si n es el número de intervalos detiempo que se usó el dinero, i es latasa de interés y C es el capital inicial,el interés I se calcula con la fórmula:

I = M −C

= C

(1+ i )n −1

Y el monto M a pagar es:

M =C (1+ i )n

Interés simple Interés que se calcula apartir del capital inicial.Si n es el número de intervalos detiempo que se usó el dinero, i es latasa de interés y C es el capital inicial,el interés I se calcula con la fórmula:

I = ni C


Interpolación–Intervalo

I

89

Y el monto M a pagar en ese mismoperido es:

M =C (1+ni )

Interpolación Estimar el valor de unafunción f entre dos valores P (xp , yp )y Q (xq , yq ) que se conocen.La fórmula para interpolar un valoryr , dada su abscisa xr es:

yr =

yp − yq

xp − xq

(xr − xp ) + yp

Geométricamente, la interpolaciónconsiste en una aproximación lineala la función f .En realidad estamos encontrando elpunto sobre la recta que pasa porlos puntos dados P (xp , yp ) y Q (xq , yq )y evaluamos ésta en x = xr paracalcular yr .Si los valores están suficientementecerca, y la gráfica de la función escontinua y suave, es decir, si no cam-bia de dirección bruscamente, la es-timación generalmente será bastantebuena.Mientras los valores de xp y xq es-tén más cercanos, la estimación serámejor.La siguiente figura muestra la inter-pretación geométrica de la interpo-lación:

x

y

y = f (x )

xqxp

yq

yp

xr

yr

Intersección (Geometría) Conjunto depuntos donde se intersectan doscuerpos o figuras geométricas. Porejemplo, dos rectas no paralelas seintersectan en un solo punto. Dosplanos no paralelos se cortan en unarecta.(Teoría de conjuntos) La intersec-ción de dos conjuntos es el conjuntoque contiene a todos los elementosque pertenecen a los conjuntos si-multáneamente.Por ejemplo, considerando los con-juntos:

A = 0, 1, 2, 3, 5, 8, 9B = 2, 3, 5, 7

Su intersección es: A∩B= 2, 3, 5.

Intervalo Subconjunto de los númerosreales con extremos en a y b . Es decir,un intervalo es el conjunto que satis-face:

x | a < x < b

donde a < b .Geométricamente, el intervalo sepuede representar en una rectanumérica.Por ejemplo, la siguiente figuramuestra el intervalo (2, 4) con ex-tremos en 2 y 4:

x−1 0 1 2 3 4 5

(2, 4)

El intervalo es abierto si los valoresa y b no están incluidos y se denotacomo: (a , b ).Si tanto a como b están incluidosen el intervalo, éste es cerrado y sedenota por: [a , b ].Cuando se incluye solamente a , el


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I

Intervalo abierto–Irreducible, fracción

intervalo se denota por: [a , b ), ycuando b está incluido y a no lo está,la forma de escribirlo es: (a , b ].Geométricamente el intervaloabierto se denota con círculos vacíos(sin relleno) en sus extremos. Cuandoun extremo se incluye en el intervaloel círculo que le representa se rellena.En la siguiente figura se muestraun intervalo cerrado, es decir, queincluye a ambos extremos:

x−1 0 1 2 3 4 5

[2, 4]

Intervalo abierto Intervalo que noincluye sus valores extremos. Si losextremos del intervalo abierto son lospuntos a y b , se denota por (a , b ).Geométricamente, el intervaloabierto (a , b ) se indica como muestrala siguiente figura:

xa bO

Intervalo cerrado Intervalo que sí incluyesus valores extremos. Si los extremosdel intervalo cerrado son los puntosa y b , se denota por [a , b ].Geométricamente, el intervalocerrado [a , b ] se indica como muestrala siguiente figura:

xa bO

Inversa, función Sea f una función condominio X f y contradominio Y f . Siexiste una función g con dominio Xg

y contradominio Yg tal que:

i. f (g (x )) = x para toda x ∈Xg

ii. g ( f (x )) = x para toda x ∈X f

entonces decimos que las funcionesf y g son inversas una de la otra.f −1 denota la función inversa de f .Por ejemplo, si f (x ) = x 2, entonces,f −1(x ) =

px .

Inverso Operación que cancela unaoperación previa.Por ejemplo la operación inversa de lasuma es la resta y la operación inversade la multiplicación es la división.En aritmética, frecuentemente sedice: «el inverso de este número»,cuando debería decirse: «el recíprocode este número». Vea la definición de«Recíproco».

Inyectiva, función Una función es inyec-tiva si a diferentes elementos de sudominio le corresponden diferenteselementos del contradominio.Es decir, para cualesquiera a , b en eldominio de la función y = f (x ), sia , b , entonces, f (a ), f (b ).A las funciones inyectivas también seles conoce como funciones «uno auno».

Irracional, número número que no sepuede expresar como el cocientede dos números enteros, donde eldenominador es distinto de cero.Ningún número racional es irracio-nal y ningún número irracional esracional.Los números π y e son ejemplos denúmeros irracionales.

Irreducible, fracción Aquella fracciónque cumple que sus elementos(numerador y denominador) notienen factores comúnes.En otras palabras, el numerador yel denominador de la fracción son


Irregular, polígono–Iteración

I

91

primos relativos cuando la fracciónes irreducible.Por ejemplo, 2/7 es una fracciónirreducible.

Irregular, polígono Polígono que no esequilátero, o no es equiángulo o am-bas.El siguiente polígono es irregular:

Irregular, poliedro Poliedro que no esregular. Es decir, aquel que no tienetodas sus caras iguales.

Isoclina Dos rectas isoclinas son aquellasque tienen la misma pendiente.

Isósceles Un triángulo es isósceles si dosde sus lados miden lo mismo.

Triángulo isósceles

Un trapecio es isósceles si sus doslados no paralelos miden lo mismo.

Trapecio isósceles

Iteración Método de resolución de unaecuación a través de aproximacionessucesivas a la solución buscada.Estos métodos se utilizan general-mente a través de la programaciónde computadoras porque requiere demuchos cálculos sucesivos, tarea quela computadora puede realizar fácil-mente.


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JEfrain Soto Apolinar

Jerarquía de las operaciones Vea ladefinición de «Prioridad de las

operaciones»

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LEfrain Soto Apolinar

Lado En un polígono, un lado es unsegmento de recta cuyos extremos es-tán en dos vértices consecutivos delpolígono.

Lad

o

Los lados del polígono delimitan suárea.

Lámina Objeto plano de grosor in-finitamente pequeño, que puedeconsiderarse para la resolución de unproblema de Cálculo.Generalmente se consideran sus di-mensiones de área, pero el grosorde la lámina se considera como undiferencial.

Lámina

Latitud Ángulo con vértices en un puntosobre la superficie de la tierra, el

centro de ésta y el ecuador a lo largodel meridiano de ese mismo puntoangular. La latitud se abrevia comolat.Cuando el punto sobre la superficiede la tierra se encuentra al norte delecuador, el ángulo se considera pos-itivo; cuando se encuentra al sur seconsidera negativo. Sobre el ecuadorla latitud vale cero.

lat

Legua Unidad de distancia usada en elsistema Español, equivalente a 4 827metros.

Lema Proposición que requiere de-mostración y permite demostrar unteorema.

Lenguaje algebraico Lenguaje que se uti-liza para describir las relaciones entrelas cantidades expresadas en una ex-presión algebraica.

96

L

Ley de cosenos–Ley de senos

Por ejemplo, «semi» significa mitad, y«cociente» indica el resultado de unadivisión.

Ley de cosenos Para todo triángulo que seencuentra en el plano, se cumple:

C 2 = A2+B 2−2AB cosα

donde A, B y C son las longitudesde los lados del triángulo, y α es lamedida del ángulo formado por loslados A y B .

α

B

A

C

La ley de cosenos es una gener-alización del teorema de Pitágoras,pues cuando α = 90, tenemos: C 2 =A2+B 2, el caso particular que corres-ponde al teorema de Pitágoras.

Ley de grandes números Teorema deprobabilidad que indica que si laprobabilidad de ocurrencia de unevento E es p , si N (E ) es el númerode veces que ocurre el evento E , y sehicieron n experimentos, entonces,al aumentar el número de experi-mentos (n tiende a infinito), elcociente N (E )/n tiende a p .Por ejemplo, si tomamos unamoneda y hacemos algunos experi-mentos que consista en lanzarla paraobservar el resultado (águila o sol),esperamos que la mitad caiga águilay la otra mitad sol. Sea N (A) elnúmero de veces que cayó águila yn el número de veces que lanzamosla moneda. Mientras más crezca n , esdecir, mientras más veces lancemosla moneda, el valor de N (A)/n se ac-ercará cada vez más a 0.5, que es laprobabilidad de que caiga águila.

Ley de multiplicación de probabilidadesLa probabilidad de que ocurran losdos eventos A y B a la vez, es:

P (A ∩B ) = P (A) ·P (B |A)= P (B ) ·P (A|B )

Si A y B son independientes,

P (A ∩B ) = P (A) ·P (B )

Vea la definición de «Eventosindependientes».

Ley de suma de probabilidades Laprobabilidad de que ocurra el eventoA o el evento B , es:

P (A ∪B ) = P (A) +P (B )−P (A ∩B )

Para el caso en que los eventos A yB son mutuamente excluyentes, setiene:

P (A ∪B ) = P (A) +P (B )

Vea la definición de «Eventos mutua-mente excluyentes».

Ley de senos Para todo triángulo que seencuentra en el plano, se cumple:

sinα

A=

sinβ

B=

sinγ

C

donde A es el lado opuesto al ánguloα, B es el lado opuesto al ángulo β yC es el lado opuesto al ángulo γ.

γ

α

β

B

A

C


Leyes de Kepler–Literal

L

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Leyes de Kepler Las leyes de Kepler se re-fieren a las leyes del movimiento delos planetas previa a la ley de grav-itación universal propuesta por IsaacNewton.Las tres leyes de Kepler son:

1. Los planetas recorren órbitaselípticas, con el sol en uno de susfocos.

2. El segmento recto que une elsol con el planeta (radio vector)barre áreas iguales en tiemposiguales.

3. Para cualquier planeta, elcuadrado del tiempo que tardaen recorrer una órbita alrededordel sol es proporcional al cubode la longitud del eje mayor desu órbita.

Leyes de los exponentes Vea la definición«Reglas de los exponentes».

Leyes de Newton Las tres leyes delmovimiento propuestas por Sir. IsaacNewton son las que han permitidoun avance en las ciencias y en la tec-nología:

1. (Ley de inercia) Todo cuerpomantiene su estado de movimientorectilíneo uniforme, a menosque una fuerza externa loobligue a cambiar dicho estado.

2. (Ley de fuerza) El cambio enla cantidad de movimiento deun cuerpo es proporcional a lafuerza ejercida sobre el cuerpo, yocurre sobre la línea recta sobrela cual se aplica la fuerza.

3. (Ley de acción y reacción) Paratoda fuerza ejercida sobre uncuerpo, existe otra fuerza con-traria de misma magnitud y

dirección, pero con sentidoopuesto.

Libra Unidad de peso equivalente a 0.454kg, o bien a 16 onzas.

Límite (Álgebra) En un intervalo, loslímites son los valores extremos delmismo.Por ejemplo, en el intervalo [a , b ], loslímites son los valores a (límite infe-rior) y b (límite superior).(Análisis) El límite de la funciónf cuando la variable independientetiende a un valor constante k sedenota por:

limx→k

f (x ) =M

y M representa el valor al cual seacerca conforme los valores de x seaproximan más al valor k , en caso deque el límite exista.

Línea Objeto geométrico que tiene sola-mente una dimensión: longitud. Lalínea no tiene espesor ni anchura.la siguiente figura es una línea:

Usualmente en geometría cuandodecimos línea nos referimos acualquier tipo de línea, aunquemuchos entienden solamente unalínea recta.La línea recta es un caso particularmuy especial de línea.

Literal Letra que representa una canti-dad en álgebra. Las literales tambiénpueden ser letras del alfabeto griego.Por ejemplo, en la fórmula:

A =b ×h

2


98

L

Litro–Longitud

la literal A representa el área de untriángulo, la literal b representa labase de ese triángulo y la literal hrepresenta la altura del mismo.

h

b

Litro Unidad de volumen equivalente a 1dm3.Frecuentemente se utilizan lossiguientes múltiplos y submúltiplosdel litro:

Nombre Símbolo Equivalencia

Mirialitro ML 10 000 LKilolitro KL 1 000 L

Hectolitro HL 100 LDecalitro daL 10 LDecilitro dL 0.1 LCentilitro cL 0.01 LMililitro mL 0.001 L

Un metro cúbico equivale a 1 000litros, es decir,

(1 m)3 = (10 dm)3

1 m3 = 1 000 dm3

porque un metro equivale a 10decímetros.

Logaritmo Exponente al cual debe el-evarse la base para obtener comoresultado un número dado.Si y = a x , donde a > 0 y a , 1,entonces, se define:

loga y = x

y se lee: «el logaritmo del número yen la base a es igual a x ».Por ejemplo, dado que 23 = 8,entonces,

log2 8= 3

y se lee: «el logaritmo de 8 en base 2es 3».

Logaritmo natural Logaritmo cuya basees el número de Euler, e ≈ 2.7182818.El logaritmo natural del número x sedenota por ln x , y se entiende que esequivalente a escribir:

ln x = loge x

donde e ≈ 2.718281828.

Logaritmo vulgar Logaritmo en base 10.El logaritmo vulgar del número x sedenota por log x , y se entiende que esequivalente a escribir:

log x = log10 x

Es decir, cuando la base del logaritmono se especifíca, se entiende que es10.Al logaritmo vulgar también se leconoce como logaritmo común.Por ejemplo, dado que 10 000= 104,

log(10 000) = log10(10 000) = 4

Lógica Rama de la filosofía que se encargadel estudio de los métodos y princi-pios utilizados en la validación de ar-gumentos en el razonamiento.Las matemáticas utilizan a la lógicapara que sus demostraciones sean ir-refutables.

Longitud (Geometría) Dimensión mayorde un objeto.Distancia más corta entre dos puntos.Medida de una distancia.Por ejemplo, la longitud de un árbol


Lugar Geométrico–Lustro

L

99

es 35 metros.(Cartografía) Ángulo con vértices enun punto sobre la superficie de latierra, el centro de ésta y el meridianode referencia. El meridiano de ref-erencia mundial es el meridiano deGreenwich. La longitud se abreviacomo long.Cuando el punto sobre la superficiede la tierra se encuentra al este delmeridiano de referencia, se considerapositivo.En navegación marítima la longitudse denota con la letra griegaω.

Lugar Geométrico Es el conjunto depuntos que satisfacen un conjuntode condiciones dadas.Por ejemplo, la parábola es el lu-gar geométrico de los puntos queequidistan de un punto fijo F (foco)como de una recta fija (directriz) queno pasa por el foco.

F

DirectrízE

je

Lúnula región del plano delimitada pordos arcos de circunferencia de radiosdiferentes.

Lúnula

Lustro Unidad de tiempo equivalente acinco años.


100

L

Libro

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trib

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grat

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apre

nd

emat

emat

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.org

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MEfrain Soto Apolinar

Magnitud La magnitud de un vector esigual a su longitud.Por ejemplo, considerando el vector~v = (3, 4),

x

y~v = (3, 4)

su magnitud ‖ ~v ‖, se calcula apli-cando el teorema de Pitágoras, comose muestra enseguida:

‖ ~v ‖=p

32+42 =p

25= 5

En general, para el vector ~v = (vx , vy ),su magnitud puede calcularse con lafórmula:

‖ ~v ‖=r

(vx )2+

vy

2

Observa que la magnitud de un vec-tor no puede ser negativa.

Mantisa La parte de un logaritmo que estáa la derecha del punto decimal.

Por ejemplo, sabiendo que ln(π) ≈1.144729886, su mantisa es 0.144729886.

Mapeo Sinónimo de función.Vea la definición de «Función».

Marca de clase Cuando se agrupan datosde una muestra, se definen clases apartir de intervalos. La marca declase es igual al promedio de los ex-tremos (valores límite) de los interva-los.Por ejemplo, supongamos que lasfracciones de la población en lossiguientes rangos de edades de unpueblo se reparten como sigue:

Rango Cantidad Marca de clase

0 – 10 250 510 – 20 1 200 1520 – 30 2 500 2530 – 40 1 225 3540 – 50 850 4550 – 60 750 5560 – 70 425 6570 – 80 250 7580 – 90 37 85

90 – 100 13 95

102

M

Matemáticas–Máximo

La marca de clase de cada una de lasclases definidas, son, 5, 15, 25, 35, 45,55, 65, 75, 85 y 95, respectivamente.

Matemáticas Es la ciencia que estudialas cantidades, estructuras, espaciosy el cambio. La matemática deducede manera irrefutable cada conje-tura aceptada basándose en axiomasy teoremas ya demostrados.Las matemáticas tiene muchas ra-mas. Algunas de ellas son:

3 Teoría de conjuntos

3 Aritmética

3 Álgebra

3 Geometría

3 Análisis matemático

3 Topología

A su vez, cada una de estas ra-mas tiene otras subramas quehacen un estudio más particu-lar en cada caso. Por ejemplo,la geometría se subclasifica engeometría plana, geometría analítica,etc.

Matemáticas aplicadas El estudio de lastécnicas y métodos de las matemáti-cas para la resolución de problemasque se presentan en los sistemascreados por la sociedad y en el estu-dio de la naturaleza (económicos, in-dustriales, ecológicos, etc.)

Matemáticas puras Estudio de lasmatemáticas, su teoría, estructura,métodos y procedimientos, con elfin de incrementar el conocimientomatemático. En este caso, las apli-caciones de las matemáticas no setienen en cuenta, aunque general-mente lo que se descubre en las

matemáticas puras puede ser uti-lizado en otras ramas de la cienciacomo la física.

Matríz En matemáticas, una matríz es unarreglo rectangular de números.Por ejemplo,

2 −1 71 4 −3

es una matríz 2×3, que indica que esde dos renglones por tres columnas.

Matríz cuadrada Aquella matríz que tieneel mismo número de renglones comode columnas.Por ejemplo, la siguiente es una ma-tríz cuadrada de 3×3:

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Matríz identidad Matríz cuadrada quetiene ceros en todos sus elemen-tos, excepto en la diagonal principal,cuyos elementos son unos.La siguiente matríz es una matrízidentidad:

1 0 00 1 00 0 1

Matríz inversa La inversa de la matrízcuadrada M se denota por M −1 y esotra matríz del mismo tamaño que My tiene la propiedad de que al multi-plicarla por M obtenemos la matrízidentidad.Una matríz cuadrada tiene inversa siy solamente si, su determinante esdistinto de cero.

Máximo Valor más grande que toma opuede tomar una variable.


Máximo absoluto de una función–Media armónica

M

103

Máximo absoluto de una función Elmáximo absoluto de una función fes el valor xM de la variable indepen-diente que hace que f (xM ) cumpla:

f (xM )≥ f (x )∀x ∈Df

En palabras, si al evaluar la funcióny = f (x ) en el punto xM obtenemos elmáximo valor que puede tomarla función en todo su dominio,entonces f tiene un máximo abso-luto en xM , y su máximo es f (xM ).

Máximo común divisor El máximocomún divisor de varios números esel número entero más grande por elcual todos los números son divisibles.El máximo común divisor de losnúmeros a y b se denota por:M.C.D.(a , b ).Por ejemplo, el M.C.D.(4, 12, 20) es 4.Para calcular el M.C.D.(4, 12, 20)vamos simplificando sacando mitad,tercera parte, etc., hasta que no sepuedan simplificar más. Multipli-camos los números entre los que sedividen los números 4, 12 y 20 si-multáneamente:

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.D.(4, 12, 20) es:

2×2= 4

Observa que no multiplicamos ni por3 ni por 5 porque no dividen a lostres números 4, 12 y 20 simultánea-mente.

Máximo relativo de una función El máx-imo relativo de una función f en el

intervalo [a , b ] es el valor xM de lavariable independiente que hace quef (xM ) cumpla:

f (xM )≥ f (x )∀x ∈ [a , b ]

En palabras, si xM está en inter-valo [a , b ], es decir, cumple cona ≤ xM ≤ b , y al evaluar la fun-ción f en xM obtenemos el máx-imo valor que la función tome enese intervalo, entonces f tiene unmáximo en xM y su valor es f (xM ).La siguiente gráfica muestra una fun-ción con un un máximo relativo enx = q y un mínimo relativo en x = p :

x

y

y = f (x )

qp ba

f (q )

f (p )

Mayor que Decimos que a es mayor queb si la diferencia a −b es positiva y lodenotamos por a > b .Por ejemplo, 10 es mayor que 6,porque 10− 6 = 4, y 4 es un númeropositivo.Vea la definición de «Desigualdad».

Mecánica Rama de la física que se encargade estudiar el movimiento de loscuerpos debido a la acción de fuerzassobre éstos.

Media armónica La media armónicade una muestra de n datosx1, x2, · · · , xn se define como

Mh =1

1

x1+

1

x2+ · · ·+

1

xn


104

M

Media aritmética–Mediana

La media aritmética x de un conjuntode valores siempre es mayor que lamedia armónica Mh de ese mismoconjunto.

Media aritmética La media, o media arit-mética x de una muestra de n datosx1, x2, · · · , xn se define como:

x =x1+ x2+ · · ·+ xn

n

En otras palabras, la media aritméticade una muestra es igual al promediode los datos.

Media geométrica La media geométricaxg de dos números p , q (no nega-tivos) se define como la raíz cuadradade su producto:

xg =p

p ·q

La media geométrica de n datosx1, x2, · · · , xn se define como laenésima raíz del producto de todoslos datos:

xg = np

x1 · x2 · · · · · xn

donde se supone que el cálculo de laraíz indicada es posible.

Media ponderada Dados los valoresx1, x2, · · · , xn , cada uno con pesow1, w2, · · · , wn , respectivamente, lamedia ponderada se define como:

xp =w1x1+w2x2+ · · ·+wn xn

w1+w2+ · · ·+wn

Por ejemplo, considera que se com-pran 3 kg de tomate, cada kilogramoa $12.00 pesos, 7 kg de cebolla, cadakilogramo a $8.00 pesos y 5 kg depapa, cada kilogramo a $14.00 pe-sos. El precio promedio de lo que se

ha comprado se calcula con la mediaponderada, y en este caso es igual a:

xp =(3)(12) + (7)(8) + (5)(14)

3+7+5

=162

15= 10.8

Observa que, como estamos pro-mediando el precio, sumamos enel denominador los kilogramos quecompramos de cada producto.Si en el denominador ponemos lasuma de los precios estaremos cal-culando la media ponderada delnúmero de kilogramos que se com-pró de todos los productos adquiri-dos.

Media proporcional La media propor-cional x de los números p y q es:

x =p

p q

La media proporcional coincidecon la media geométrica de dosnúmeros.

Mediana La mediana de un triángulo es larecta que pasa por el punto medio deun lado y por el vértice opuesto.

Mediana M

Las tres medianas de un triángulose cortan en un punto que se llama«baricentro».


Mediatriz–Medidas de tendencia central

M

105

Baricentro

El baricentro es el centro de gravedaddel triángulo.

Mediatriz La mediatriz de un segmentoes la recta perpendicular al segmentoque pasa por su punto medio.La siguiente figura muestra la media-triz del segmento AB :

A

BMediatriz

M

El punto M mostrado en la figura esel punto medio del segmento AB .La mediatriz tiene la propiedadde que cualquiera de sus puntosequidista de los extremos delsegmento sobre la cual se le con-struyó.En un triángulo, las tres mediatricesse cortan en un punto que se llama«circuncentro».

Circuncentro

Como el circuncentro equidista de lostres vértices del triángulo, es el centrode la circunferencia que pasa por lostres vértices del mismo.

Medida Dimensión o capacidad de algúnobjeto.Por ejemplo, la medida de los ladosdel siguiente triángulo son 4 cm, 3 cmy 5 cm respectivamente:

4 cm3

cm5 cm

Medidas de dispersión Valor que indicala variabilidad de los valores de unconjunto de datos.Las medidas de dispersión másfrecuentemente utilizadas son elrango, el rango intercuartílico, ladesviación media, la desviaciónmedia absoluta, la desviación están-dar, siendo ésta última la más usada.

Medidas de tendencia central Constantellamada valor central, alrededor de lacual se concentran los valores de unconjunto de datos observados.Las medidas de tendencia central son


106

M

Medio–Miembro

la media (aritmética), la moda y lamediana.La medida de tendencia centralmás frecuentemente utilizada es lamedia.

Medio Cuando dividimos un entero endos partes iguales, cada una de ellases un medio, o bien, una mitad delentero.

1

2

1

2

Mega- Prefijo que indica 106. Se abreviacon a letra M. Por ejemplo, un Megal-itro equivale a un millón de litros, esdecir, 1 ML= 106 L.Observa que «Mega-» se abrevia conM (mayúscula), mientras que «mili-»con m (minúscula).

Menor que Decimos que a es menor queb si la diferencia a−b es negativa y lodenotamos por a < b .Por ejemplo, 6 es menor que 8,porque 6−8=−2, y −2 es un númeronegativo.Vea la definición de «Desigualdad».

Mes Un mes es la unidad de tiempo que seutiliza para dividir el año y es aproxi-madamente igual a 30 días.Diferentes meses tienen diferente du-ración.Para el cálculo de interés y amortiza-ciones se supone que el mes tiene 30días.

Método de exhaución Método utilizadopara el cálculo del área de una figura,construyendo polígonos en ésta y cal-culando la suma de las áreas de estos.

Metro Unidad de medida de la distanciausado en el Sistema Internacional deUnidades. El símbolo utilizado parael metro es m.

Metro cuadrado Unidad de área queconsiste en un cuadrado cuyos ladosmiden un metro de longitud. El sím-bolo para denotar al metro cuadradoes m2.

1 m2

1 m

1 m

Metro cúbico Unidad de volumen queconsiste en un cubo cuyas aristasmiden un metro de longitud. El sím-bolo para denotar al metro cúbico esm3.

1 m

1 m

1 m

1 m3

Micro- Prefijo que indica 10−6. Se abreviacon la letra griega µ.Por ejemplo, un micrometro es unamillonésima parte de un metro, y sedenota por 1µm= 10−6 m.

Miembro En una igualdad, las expre-siones que se encuentran a la derecha


Milésimo–Mínimo común múltiplo

M

107

y a la izquierda del signo de igual sonlos miembros.

x 2 y 2−2 x +3 y︸︷︷︸miembro izquierdo

= x 2−10 x y +5 y 2

︸︷︷︸miembro derecho

(Teoría de conjuntos) Decimos queun elemento es miembro de unconjunto si pertenece al conjunto.Por ejemplo, 2 es miembro delconjunto 0, 1, 2, 3, 4. En este sen-tido, la palabra «miembro» es sinón-imo de «elemento».

Milésimo (1.) Un milésimo es equiva-lente a una de las partes de un enteroque ha sido dividido en mil partes delmismo tamaño.(2.) En un número con decimales,el dígito de los milésimos es el dígitoque se encuentra en la tercera posi-ción a la derecha del punto decimal.Por ejemplo, en el número 1.23456,el dígito «4» corresponde a los milési-mos.

mili- Prefijo que indica 10−3. Se abreviacon m.Por ejemplo, un mililitro representa10−3 litros. Es decir, 1 mL= 10−3 L.Observa que la abreviación debe hac-erse con una m minúscula. Cuandola abreviación corresponde a unaM (mayúscula) se trata del prefijo«Mega-».

Milla Unidad de distancia en el sistemaInglés que es equivalente a 1 609metros (milla terrestre). Una millatambién es igual a 1 760 yardas.

Milla marina Unidad de distancia en elsistema Inglés que es equivalente a1 852 metros.

Millón Número equivalente a 1 000 000.Es decir, el millón se escribe con un1 seguido de 6 ceros.

Mínimo Valor más pequeño que acepta opuede tomar una variable.

Mínimo absoluto de una función Si elnúmero k , tiene la propiedad de quef (k )≤ f (x ) para cualquier x que estéen el dominio de f , entonces deci-mos que la función f tiene un mín-imo absoluto en x = k , y su valor mín-imo es f (k ).Matemáticamente esto se escribe:

Si ∃k | f (k )≤ f (x )∀x ∈Df

Entonces, f tiene un mínimo abso-luto en x = k , y su valor es f (k ).

Mínimo común denominador Númeroentero que es el mínimo comúnmúltiplo de los denominadores dedos o más fracciones.Por ejemplo, considerando lasfracciones 2/3 y 3/5, el mínimo comúndenominador es el mínimo comúnmúltiplo de 3 y 5, que son los denomi-madores de las fracciones. Es decir, elmínimo común denominador de lasfracciones 2/3 y 3/5 es 15.

Mínimo común múltiplo Dados variosnúmeros enteros, su mínimo comúnmúltiplo (M.C.M.) es el menornúmero entero positivo que es múlti-plo de todos ellos.Por ejemplo, el M.C.M. de 4, 12 y 20es 60.Para calcular el M.C.M. de es-tos números vamos simplificandosacando mitad, tercera parte, etc.,hasta que no se puedan simplificarmás. Multiplicamos los númerosentre los cuales dividimos y eseresultado es el M.C.M.


108

M

Mínimo relativo de una función–Módulo

4 12 20 2 −→ mitad2 6 10 2 −→ mitad1 3 5 3 −→ tercera parte1 1 5 5 −→ quinta parte1 1 1 −→ terminamos

El M.C.M. de (4, 12, 20) es:

2×2×3×5= 60

Mínimo relativo de una función Dado elintervalo [a , b ], si el número k , tienela propiedad de que f (k ) ≤ f (x ) paracualquier x que esté dentro del inter-valo [a , b ], entonces decimos que lafunción f tiene un mínimo relativoen x = k , y su valor mínimo es f (k ).La siguiente gráfica muestra una fun-ción con un mínimo relativo en x = py un máximo relativo en x = q :

x

y

y = f (x )

qp ba

f (q )

f (p )

Minuendo En una resta, el minuendo es elnúmero del cual se está restando otracantidad.

9 876− 5 324

4 552


Minuto (ángulo) un 1/60 de un grado sex-agesimal. Es decir, 60 minutos for-man un grado sexagesimal.

(tiempo) un 1/60 de una hora. Esdecir, 60 minutos forman una hora.Un minuto está formado por sesentasegundos, tanto en el caso de unidadde medida de ángulos como detiempo.

Moda En una muestra, la moda es el valorque aparece con mayor frecuencia.Para el caso de datos agrupados, lamoda está representada por la marcade clase de la clase con mayor fre-cuencia.

A B C D E Fx

f

En el histograma mostrado, la marcade clase de la clase C es la moda portener la mayor frecuencia.

Modelo Representación teórica de unasituación real a través de símbolosmatemáticos que sirve para explicary/o pronósticar el comportamientode un fenómeno.

Módulo (Teoría de números) Dados losnúmeros enteros a , b , k , decimos queel número a es congruente con kmódulo b , y se denota por: a ≡ kmod b , si es posible escribir:

a = b m +k

donde m ∈Z.En otras palabras, si el número a −k es divisible por b , entonces a escongruente con k módulo b .Por ejemplo, 14≡ 4 mod 5, porque:

14= 5×2+4


Monomio–Mutuamente exluyentes, eventos

M

109

Es decir, 14−4 es divisible por 5.(Geometría) El módulo de un vectores igual a su longitud. Si el vectores ~v = (a , b ), su módulo se calculausando la fórmula:

‖ ~v ‖=p

a 2+ b 2

El módulo del vector también seconoce como su magnitud.(Variable compleja) El módulo de unnúmero complejo z = a + i b , sedenota por |z | y es igual a:

|z |=p

a 2+ b 2

Observa que: a 2+ b 2 = z · z .

Monomio Polinomio que tiene exacta-mente un término.Por ejemplo, 7 x 2 y 4 es un monomio.Cuando hablamos de polinomios,monomio es sinónimo de término.

Muestra Parte de una población que seelije aleatoriamente para que la rep-resente en un estudio estadístico.

Muestreo Selección de una muestra deuna población para que la representeen un estudio estadístico.

Multiplicación Operación binaria queconsiste en una abreviación de lasuma repetida de un mismo númerovarias veces.Por ejemplo, la multiplicación de 7por 4 se denota por: 7× 4 y significasumar el número 7 cuatro veces.Cuando se trata de otros objetosmatemáticos (fracciones, convec-tores, etc.) la multiplicación se realizade diferente manera.

Multiplicación de fracciones Vea ladefinición «Producto de fracciones».

Multiplicación de números compleosVea la definición «Producto denúmeros complejos».

Multiplicidad Una raíz r de una ecuaciónpolinomial es de multiplicidad k sipodemos factorizar el binomio x − r ,k veces en la ecuación.Por ejemplo, en la ecuación:

(x −3)7(x +2) = 0

la raíz x = 3 es de multiplicidad 7.

Múltiplo El número entero m es múltiplodel número entero a si puede expre-sarse como: m = a ·k , donde k es otronúmero entero.Por ejemplo, el número 12 es múlti-plo de 3, porque 12= 3×4.

Mutuamente exluyentes, eventos Doseventos A y B son mutuamente ex-cluyentes si el hecho de que ocurrauno hace imposible la ocurrencia delotro. En otras palabras, si la ocurren-cia simultánea de ambos eventos esimposible, los eventos son mutua-mente excluyentes.Por ejemplo, si al observar la varia-ble aleatoria X que consiste en elresultado de un volado (águila, sol), Acorresponde al evento «cayó sol» y Bal evento «cayó águila», entonces loseventos A y B son mutuamente ex-cluyentes, porque no podemos teneren un solo experimento ambos resul-tados: o cae águila, o cae sol.Dos eventos mutuamente exluyentesno necesariamente abarcan todo elespacio muestral.


110

M

Libro

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NEfrain Soto Apolinar

N Símbolo que representa el conjunto delos números naturales.

N= 1, 2, 3, 4, · · ·

Vea la definición: «Número natural».

Natural, logaritmo Logaritmo calculadoen la base e .Vea la definición de logaritmo.

Negativo En la recta numérica, al origense le asigna el cero, a la derecha seencuentran los números positivos y asu izquierda los números negativos.Un número es negativo cuando esmenor que 0.Vea la definición de «recta real».En matemáticas indicamos que unacantidad es negativa anteponiendo elsímbolo −.

Negativo, ángulo Ángulo cuya medida seda a favor del giro de las manecillasdel reloj.

−α

Neperiano, logaritmo Los logaritmosnaturales también se llaman logar-itmos neperianos.Vea la definición de «Logaritmonatural».

Newton, binomio de Producto no-table que sirve para calcularcualquier potencia de un bi-nomio de forma directa, cuyafórmula es:

(x+y )n = x n+n x n−1 y+· · ·+n x y n−1+y n

El binomio de Newton también seconoce como «teorema del binomio».Los coeficientes del polinomio de ele-var el binomio a la potencia n puedencalcularse usando el triángulo de Pas-cal o usando la fórmula de combina-ciones:

(x + y )n =n∑

k=0

nk

x n−k y k

Vea la definición de «combinación».

Norma Longitud de un vector. Lanorma de un vector también se llama«magnitud» del vector.Vea la definición de «Magnitud».

Normal Sinónimo de perpendicular.Vea la definición de «Perpendicular».

112

N

Normal, distribución–Norte magnético

Normal, distribución Distribución deprobabilidad continua que presen-tan muchos fenómenos donde cadadato pueden interpretarse como elpromedio de varias mediciones.Por ejemplo, cuando medimos unadistancia, cometemos un error demedición que tiene distribuciónnormal. La distribución del error dela medición es simétrica respecto delvalor verdadero de la distancia. Eneste ejemplo, cada medición puedeconsiderarse como el promedio devarias mediciones separadas.La distribuión normal se utilizafrecuentemente como una aproxi-mación a la distribución binomial.La distribución normal se define conla media poblacional µ y su varianzaσ2.Si la media de la distribución es ceroy su varianza 1, la distribución seconoce como distribución normal es-tándar.Esta distribución es muy importanteen probabilidad y estadística.La forma de la gráfica de la distribu-ción normal es la de una campana,por eso frecuentemente se le llama la«campana de Gauss»

x

y

µ

La gráfica tiene las siguientespropiedades:

3 Tiene un máximo en x = µ(media).

3 La curva es simétrica respecto dela media.

3 La media, la mediana y la modacoinciden en el máximo de lafunción.

3 El eje horizontal es una asíntotade la curva.

3 El área total bajo la curva es 1.

Normal, recta Una recta es normal a otrarecta si son perpendiculares.En otras palabras, normal es sinón-imo de perpendicular.

Normalización Transformación de unavariable aleatoria que presenta dis-tribución normal para que presenteuna distribución normal estándar.Si X es una variable aleatoria que pre-senta distribución normal N (µ,σ2),su normalización consiste en trans-formarla en la variable Z , que se ob-tiene con:

Z =X −µσ

donde µ es la media de la poblacióny σ es la desviación estándar de lamisma.La variable Z presenta una distribu-ción normal con media µ = 0 ydesviaciónestándarσ= 1.

Norte Uno de los cuatro puntos cardinalesque indica la dirección al polo norteterrestre.

Norte geográfico Dirección al Norte in-dicada en un mapa geográfico queindica la dirección al polo norteterrestre.

Norte magnético Dirección Norte indi-cada por una brújula. El Norte ge-ográfico no necesariamente debecoincidir con el Norte magnético.Depende del lugar del planeta


Notación–Nulo

N

113

desde donde se haga la medi-ción. Generalmente existe unapequeña diferencia de manera queel norte magnético sirve como unabuenaaproximación al norte geográfico.

Notación Simbología utilizada en lasciencias (no solamente en matemáti-cas) para representar objetos abstrac-tos de una forma comprensible parasu estudio y análisis.

Notación científica Forma de escribirnúmeros muy grandes o muy pe-queños. La forma de escribir unnúmero ennotación científica se basa en laprimera cifra del número, inmediata-mentedespués el punto decimal y algunasotras cifras del número complemen-tando con el número 10 elevado a unapotencia igual al número de cifrasque queda recorrido el punto deci-mal a la izquierda.Por ejemplo, el número 1 537 000, ennotación científica se escribe como:

1 537 000= 1.537×106

Observa que el punto decimal serecorrió seis cifras a la izquierda,por eso escribimos exponente 6 alnúmero 10.Cuando el punto decimal se correhacia la derecha, el exponente debetener signo negativo.Por ejemplo, el número 0.00035 es-crito en notación científica es:

0.00035= 3.5×10−4

Ahora el punto decimal se harecorrido 4 lugares a la derecha, poreso el exponente tiene signo nega-tivo.

Notación sigma Notación matemáticaque permite indicar la suma de variostérminos de una sucesión.Si x1, x2, · · · , xn son los términos deuna sucesión que deben sumarse,esta operación se puede indicar conla notación sigma de la siguientemanera:

n∑

i=1

xi = x1+ x2+ · · ·+ xn

Y se lee: «La suma de todos los tér-minos xi donde el índice i va desde 1hasta n».Por ejemplo, consideremos la suce-sión de los primeros 100 númerosnaturales. Entonces, usando no-tación sigma podemos indicar lasuma de estos términos como sigue:

100∑

i=1

i = 1+2+ · · ·+100

Esta notación es muy utilizada enCálculo Integral cuando se define laintegral definida como una suma deRiemann.

Noveno Cuando dividimos un entero ennueve partes iguales, cada una de el-las es un noveno, o bien, una novenaparte del entero.

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

9

Nulo Se dice que algo es nulo cuando valecero.Por ejemplo, un ángulo nulo midecero grados.


114

N

Nulo, conjunto–Número complejo

Nulo, conjunto Conjunto que tiene ceroelementos. Es decir, el conjunto nuloes el conjunto vacío (∅).

Numerador En una fracción, el numera-dor indica cuántas partes vamos atomar de las que fue dividido elentero.

Fraccion=numerador

denominador

En la fracción el numerador se es-cribe arriba y el denominador abajo.

Numeral Palabra o símbolo que denotaun número.Por ejemplo, 1, 2, 3 son numeralesen nuestro sistema de numeración(arábicos). En el sistema de nu-meración romano se encuentran I, II,III.

Número Símbolo matemático que denotauna cantidad. En matemáticas losnúmeros se han clasificado como:

3 naturales

3 enteros

3 racionales

3 irracionales

3 reales

3 complejos

Número abundante Un número naturaltal que la suma de sus divisores pro-pios es mayor a él.Por ejemplo, el número 24 es unnúmero abundate, porque sus divi-sores propios (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12)suman 36, que es mayor que 24.A los números abundantes tambiénse les conoce como «números exce-sivos».

Número algebraico El número z es unnúmero algebraico si satisface unaecuación polinomial,

a0+a1x +a2x 2+a3x 3+ · · ·+an x n = 0

con coeficientes a0, a1, a2, a3, · · · , an

racionales.Por ejemplo, el número

p2 sí es un

número algebraico, porque satisfacela ecuación polinomial:

−2+ x 2 = 0

Observa que los coeficientes sonracionales, porque todos los númerosenteros son números racionales.Algunos números que no sonalgebraicos son e y π.

Número amigable Dos números natura-les son amigables si la suma de los di-visores propios de cada uno es igual aotro.Por ejemplo, los números 220 y 284son amigables, porque los divisorespropios de 220 (1, 2, 4, 5, 10, 11, 20,22, 44, 55, 110) suman 284, y los divi-sores propios de 284 (1, 2, 4, 71, 142)suman 220.

Número capicua Un número es capicua sial leerse de derecha a izquierda se ob-tiene el mismo número que si se leede izquierda a derecha.Por ejemplo, los números 111, 34543,909 son números capicua.A los números capicua también se lesconoce como «palíndromos».Vea la definición de «Palíndromo».

Número cardinal Números que uti-lizamos para indicar cantidades.Los números cardinales son 1, 2, 3,etc.Vea la definición de «Número ordi-nal».

Número complejo Número que tiene unaparte real y una parte imaginaria:

z = a + i b


Número compuesto–Número imaginario puro

N

115

En el número complejo z , a es laparte real y b su parte imaginaria.Por ejemplo, si z = 3−2 i , 3 es la partereal de z y −2 su parte imaginaria.

Número compuesto Un número naturalque tiene más de dos divisores.Por ejemplo, el número 9 es com-puesto, porque sus divisores son: 1, 3,y 9.

Número de Euler Número irracionaldenotado por la literal e que se uti-liza como la base de los logaritmosnaturales y cuyo valor es aproximada-mente: e ≈ 2.718281828459

Número de Fermat Un número de laforma:

Fn = 22n+1

donde n es un número entero no neg-ativo.Por ejemplo,

F4 = 224+1= 216+1= 65537

Número deficiente Un número naturaltal que la suma de sus divisores pro-pios es menor a él.Por ejemplo, el número 5 es defi-ciente, pues su único divisor propioes el 1.Otro número que es deficiente es el8, pues sus divisores propios (1, 2, 4)suman 7, que es menor a 8.

Número e Número irracional que sirvede base para los logaritmos natura-les. Su valor es aproximadamente e ≈2.718281828459.El número e también se conoce comoel «número de Euler».

Número entero El conjunto de losnúmeros enteros se define como los

números naturales, el cero, y losnaturales dotados del signo nega-tivo:

Z= · · · ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, · · ·

Un número entero es cualquiera delos elementos del conjunto de losnúmeros enteros. Todos los númerosnaturales son también números en-teros.

Número excesivo Un número natural talque la suma de sus divisores propioses mayor a él.Por ejemplo, el número 24 es unnúmero excesivo, porque sus divi-sores propios (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12)suman 36, que es mayor que 24.A los números excesivos también seles conoce como «números abun-dantes».

Número imaginario Número que esmúltiplo de la unidad imaginaria.Por ejemplo, el número 2 i es unnúmero imaginario.La unidad imaginaria, que se denotacon la literal i , es el número que tienela propiedad de que cuando se mul-tiplica por sí mismo obtenemos −1como resultado. Es decir, i 2 =−1.Los números complejos se llamannúmeros imaginarios puros cuandosu parte real es cero.

Número imaginario puro Un número esimaginario puro si al elevarse alcuadrado obtenemos un número realnegativo.Un número complejo está formadopor una parte real y una parte imag-inaria. La parte imaginaria siempreaparece multiplicada por la unidadimaginaria que se denota con laliteral i :

z = a + i b


116

N

Número impar–Número ordinal

Del número complejo z , la parte realestá representada por la literal a , y laparte imaginaria por b .

Número impar Número que al dividirseentre dos deja resíduo 1.Por ejemplo, los números 1, 3, 5, 7, · · ·son impares.

Número imperfecto Número que no esperfecto. Es decir, un número es im-perfecto si la suma de sus divisorespropios es diferente al número.Por ejemplo, 8 es un número imper-fecto, porque la suma de sus divisorespropios: 1+2+4= 7, no es igual a 8.

Número irracional Es el conjunto detodos los números que no sepueden expresar como el cocientede dos números enteros, donde eldenominador es distinto de cero.

Q′ =

x

x ,p

q, p , q ∈Z; q , 0

Un número irracional es cualquierelemento del conjunto de losnúmeros racionales.Ningún número racional es irracio-nal y ningún número irracional esracional.Algunos números irracionales muyconocidos son π ≈ 3.141592654 · · · ye ≈ 2.7182818 · · ·

Número mixto Número formado por unaparte entera y una parte fraccionaria.Por ejemplo: 1¾.

Número natural El conjunto de losnúmeros naturales es el conjunto denúmeros que usamos para contar:

N= 1, 2, 3, 4, 5, · · ·

Observa que el cero no es unelemento de este conjunto.

Un número natural es cualquiera delos elementos del conjunto de losnúmeros naturales.

Número opuesto El número opuesto delnúmero a es el número −a .Geométricamente el opuesto de unnúmero está a la misma distancia delorigen, pero del lado opuesto.Al número opuesto de un númerotambién se le llama simétrico.Un número y su opuesto tienen elmismo valor absoluto.Vea la definición de «Valor absoluto».

Número ordinal Números que indican laposición ordenada de un conjunto deobjetos.Los primeros 20 números ordinalesson:

3 primero

3 segundo

3 tercero

3 cuarto

3 quinto

3 sexto

3 séptimo

3 octavo

3 noveno

3 décimo

3 decimoprimero

3 decimosegundo

3 decimotercero

3 decimocuarto

3 decimoquinto

3 decimosexto

3 decimoséptimo

3 decimoctavo

3 decimonoveno

3 vigésimo


Número par–Números primos relativos

N

117

Los siguientes números ordinales senombran anteponiendo la raíz greco-latina de las decenas del número(tri, tetra, penta, etc.) seguidode «-gésimo» y el número ordinalcorrespondiente entre primero ynoveno.Por ejemplo, el número ordinal 35 senombra: «trigésimo-quinto».Vea la definición de «Número cardi-nal».

Número par Número que es divisibleentre dos. Es decir, un número partiene al dos como factor al menos unavez en su descomposición en factoresprimos.Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son números pares.

Número perfecto Un número natural talque la suma de sus divisores propioses igual a él.Por ejemplo, el número 6 es unnúmero perfecto, porque sus divi-sores propios (1, 2, 3) suman 6.

Números pitagóricos Una tercia denúmeros entero a , b , c que satisfa-cen:

a 2+ b 2 = c 2

Por ejemplo, los números 3, 4, 5 sonuna tercia de números pitagóricosporque:

32+42 = 52

Hay un número infinito de tercias denúmeros pitagóricos.

Número primo Número natural que tieneexactamente dos divisores.Por ejemplo, el número 2 es primo,pues sus únicos divisores son 1 y 2.El número 9 no es un número primo,pues tiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 números primos sonlos siguientes:

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71

Observa que un número impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo,el 21 no es primo, pues tiene 4 divi-sores (1, 3, 7, 21).

Número simétrico Sinónimo de númeroopuesto.Vea la definición de «Númeroopuesto».

Número trascendental Número irracio-nal que no puede ser raíz de unaecuación polinomial con coeficientesracionales.Por ejemplo, el número e es unnúmero trascendental.

Números cardinales Números que indi-can la cantidad de elementos de unconjunto. Los números 1, 2, 3, etc.,son los números cardinales.

Números ordinales Números que deno-tan un orden. Los números ordinalesson primero, segundo, tercero, etc.

Números primos gemelos Se dice quedos números primos son primosgemelos si la diferencia entre ellos esigual a 2.Por ejemplo, los números 11 y 13 sonprimos gemelos, así como 29 y 31.

Números primos relativos Decimos quedos números son primos relativos siel máximo común divisor entre am-bos es 1.En otras palabras, dos números sonprimos relativos, si al formar unafracción con ellos, ésta no se puedesimplificar.


118

N

Números racionales–Números triangulares

Por ejemplo, 8 y 7 son primos rela-tivos.Observa que no se requiere quelos dos números considerados a , bsean primos, sino que satisfagan queM.C.D.(a , b ) = 1.

Números racionales Es el conjunto detodos los números que se puedenexpresar como el cociente dedos números enteros, donde eldenominador es distinto de cero.

Q=

x

x =p

q, p , q ∈Z; q , 0

Un número racional es cualquierelemento del conjunto de losnúmeros racionales.Todos los números enteros y todoslos números naturales también sonnúmeros racionales.Por ejemplo, los números:

1

2,

3

7, −

2

5, −

18

7

son números racionales.

Números reales Conjunto de númerosque se obtiene como la unión de losconjuntos de los números racionalesy de los números irracionales:

R=Q∪Q′

Números romanos Sistema de nu-meración decimal, no posicional, uti-lizado por los antiguos romanos. Eneste sistema el I representa al 1, V al5, X al 10, L al 50, C al 100, D al 500 yM al 1 000.No tenían un símbolo para el cero.

Números triangulares El conjunto delos números generados a partirde arreglos triangulares de puntos:1, 3, 6, 10, · · · .En la siguiente figura se muestra elquinto número triangular (15):

Los números triangulares se ob-tienen sumando los puntos que es-tán contenidos en el triángulo. Esdecir, podemos calcular el enésimonúmero triangular utilizando la fór-mula de la suma de Gauss:

S =n · (n +1)

2

Por ejemplo, el quinto número trian-gular (n = 5) es: S = (5)(6)/2 = 30/2 =15.


apre

nd

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icas

.org

.mx

OEfrain Soto Apolinar

Observación Resultado de la obtenciónde información de una variable es-tadística en un estudio científico rel-ativo a una población específica.Por ejemplo, cuando se mide la al-tura de los estudiantes de un grupo,cada medición realizada es una ob-servación.

Obtuso, ángulo Ángulo que mide másque un ángulo recto, pero menos queun ángulo llano. En otras palabras,un ángulo obtuso mide más de 90,pero menos que 180.

α

En la figura el ángulo α es obtuso.

Octaedro Sólido geométrico cuyas 8 carasson triángulos equiláteros.El siguiente sólido es un octaedro:

Octágono Polígono de 8 lados y 8 ángulos.

Octágono

Octante El espacio tridimensional quedadividido en 8 partes que se tocan enel origen de coordenadas. Cada unade esas 8 partes se llama octante.

120

O

Octavo–Orden

y

z

x

Un octante es cada una de las 8 di-visiones que se muestran en la figura(espacio tridimiensional) anterior.

Octavo Cuando dividimos un entero enocho partes iguales, cada una de ellases un octavo, o bien, una octava partedel entero.

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

1

8

Onceavo Un onceavo es equivalente a unade las partes de un entero que ha sidodividido en once partes del mismotamaño.

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

1

11

Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«onceavo» refiriéndose al número or-dinal «undécimo».

Por ejemplo, en un maratón, quienllegó en el lugar número once, tiene elundécimo lugar, no el onceavo. On-ceavo es una fracción, no un númeroordinal.

Onza Unidad de peso usada en el sistemaInglés, equivalente a 28.38 gramos.

Operación Proceso definido por mediodel cual se obtiene un valor a partir deotros.Las operaciones más frecuentementeusadas con los números son: suma,resta, multiplicación, división, po-tenciación y radicación.

Operación algebraica En álgebra ele-mental, las operaciones de suma,resta, multiplicación, división, po-tenciación y extracción de raíz sonlas operaciones algebraicas.

Optimización Un problema es deoptimización cuando se requieremaximizar o minimizar una canti-dad.

Opuesto El opuesto del número x es elnúmero −x .Por ejemplo, el opuesto del número3 es el número −3, y el opuesto delnúmero −10 es el número 10.

Orden (Álgebra) Se dice que los númerosreales son ordenados porque satisfa-cen la tricotomía, es decir, dados dosnúmeros reales a , b cualesquiera, secumple una y solamente una de lassiguientes condiciones:

3 a > b

3 a = b

3 a < b

(Teoría de conjuntos) Es igual alnúmero de elementos que tiene un


Orden de las operaciones–Ortogonal

O

121

conjunto. Es decir, orden es unsinónimo de cardinalidad.(Cálculo) El orden de una derivada esigual al número de veces que se de-rivó la función.Por ejemplo, la derivada de orden doso de segundo orden de la función y =x 2, es y ′′ = 2.

Orden de las operaciones El orden de lasoperaciones es el conjunto de reglasque indican qué operaciones debenrealizarse primero en una expresiónque incluye varias operaciones.En resumen, el orden de las operacio-nes es:

1. Simplificar expresiones dentrode signos de agrupación (parén-tesis)

2. Calcular potencias y raíces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas

Por ejemplo, al evaluar:

3×52+7

empezamos elevando al cuadrado5 (prioridad más alta), luego eseresultado lo multiplicamos por 3(siguiente prioridad) y finalmentesumamos 7, obteniendo:

3× 52︸︷︷︸

1ro

+7= 3×25︸︷︷︸

2do

+7= 75+7︸︷︷︸

3ro

= 82

Ordenada Dadas las coordenadas de unpunto en el plano, P (x , y ), la primeracoordenada (x ) se llama abscisa y lasegunda coordenada (y ) se llama or-denada.

x1 2 3 4

1

2

3

y

P (3, 2)

En la figura, la ordenada del puntoP (3, 2) es y = 2, y su abscisa es x = 3.

Ortocentro Es el punto donde se intersec-tan las tres alturas de un triángulo.

Ortocentro

Ortogonal Sinónimo de perpendicular.Por ejemplo, dos vectores son ortog-onales si son perpendiculares.Vea la definición de «Perpendicular».


122

O

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

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PEfrain Soto Apolinar

Palíndromo Un número o una frase es unpalíndromo si al leerse de derecha aizquierda se obtiene lo mismo que sise lee de izquierda a derecha.Por ejemplo, los números 111, 34543,909 son palíndromos.Una frase palíndromo es: «La rutanos aportó otro paso natural».

Par Decimos que un número es par sies divisible entre dos. Es decir, unnúmero par tiene al dos como factoral menos una vez en su descomposi-ción en factores primos.Por ejemplo, los números 2, 4, 6, 8, 10, · · ·son números pares.

Par ordenado Un par ordenado se refierea un par de valores (x , y ) que deter-minan un objeto matemático que, engeneral, satisfacen: (a , b ) , (b , a ), esdecir, los mismos valores en distintoorden corresponden a dos objetosdiferentes.Por ejemplo, las coordenadas de unpunto son un par ordenado, porqueen el plano cartesiano, (2, 3), (3, 2).

Par, función Función que tiene lapropiedad: f (−x ) = f (x ).Por ejemplo, la función: y = x 2 es par.

x−3 −2 −1 0 1 2 3

y

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x 2

Parábola Curva plana generada por unpunto que se mueve de manera quese mantiene a la misma distancia deun punto fijo llamado foco y de unarecta fija llamada directriz.

F

Directríz

Eje

124

P

Parábola de Fermat–Parámetro

La parábola es una de las cónicas.Vea la definición de «Cónica».

Parábola de Fermat La gráfica de unafunción del tipo y = x n , donde n esun número natural, se llama parábolade Fermat.La siguiente gráfica es una parábolade Fermat cúbica:

x−3 −2 −1 0 1 2

y

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1y = x 3

Parábola cúbica Curva que resultade graficar una función cúbica:y = a x 3+ b x 2+ c x +d .

Paradoja Una proposición que puedeprobarse cierta y falsa sin error lógicoaparente.

Paralelo Dos rectas que se encuentran enun mismo plano son paralelas si no secortan por más que se prolonguen.En la siguiente figura, las rectas `1 y `2

son paralelas. Esto se denota como:`1 ‖ `2.

` 1 ` 2`1 ‖ `2

En geometría analítica, sabemos quedos rectas son paralelas si tienen lamisma pendiente.

Paralelogramo Cuadrilátero que tienedos pares de lados opuestos parale-los.

h

bParalelogramo

El área del paralelogramo es igual alproducto de su base por su altura.

A = b ×h

Paralelepípedo Poliedro de cuyas 6 carasson paralelogramos que son paralelasen pares.Por ejemplo, el cubo es un paralelepí-pedo.

Paralelepípedo

Parámetro (1.) Variable que sirve paracaracterizar la evolución de unsistema.(2.) Valor constante que sirve paracaracterizar a una población.Por ejemplo, la media es unparámetro de una población.


Pascal, Blaise–Patrón

P

125

(3.) Conjunto de valores que deter-minan de manera única una figurageométrica.Por ejemplo, los parámetros a y cdeterminan de manera única a unaelipse horizontal.

Pascal, Blaise (1 623 – 1 662) Matemático,filósofo y teólogo francés. Enmatemáticas hizo aportaciones im-portantes en geometría analíticay en probabilidad. También tra-bajó en física, específicamente enhidrostática. Sus principales obrasfueron: Ensayo en secciones cónicas(1 640), Nuevos experimentos rela-cionados con el vacío (1 647), Tratadosobre el equilibrio de los líquidos(1 654), La generación de seccionescónicas (1 654), Tratado en el trián-gulo aritmético (1 654).

Pascal, triángulo de Triángulo que sirvepara calcular los coeficientes de laenésima potencia de un binomio.El siguiente diagrama indica cómocalcularlo:

1

11 +11 2 ++

11 33

11 44 6

11 55 1010

Suma los dos números que estánindicados para obtener el que estáen medio de ellos en el siguienterenglón.Para calcular: (x + y )5 calculamos losprimeros 6 renglones del triángulo dePascal y escribimos los coeficientes, y

después las literales con los exponen-tes que le corresponden:

(x + y )5 = x 5+5x 4 y +10x 3 y 2+10x 2 y 3

+5x y 4+ y 5

Observa que los exponentes de xvan decreciendo, empezando desde5 y terminando en 0, los de y vancreciendo, empezando desde 0 yterminando en 5.Observa también que la suma de losexponentes de las literales de cadatérmino es 5.

Patrón Decimos que una sucesión, unafigura o un objeto matemático pre-senta un patrón cuando es posibleencontrar cierta regularidad en elobjeto.Por ejemplo, para la construcción defractales se sigue un patrón de con-strucción. En la siguiente figura semuestra el fractal de Koch, junto conel patrón que se encuentra regular-mente en él:

Patrón

Podemos decir que para la construc-ción de una sucesión también existeunpatrón, que consiste en la regla quenos ayuda a generar los números que


126

P

Pendiente–Perfecto, cuadrado

forman la sucesión, uno tras otro.Por ejemplo, en a sucesión, 3, 10, 24,52, etc., el patrón o la regla para irgenerando los términos de la suce-sión es: «suma dos al último términoy multiplica por dos al resultado».

Pendiente La pendiente m de una rectaque pasa por los puntos P (xp , yp ) yQ (xq , yq ), se define como el cociente:

m =yp − yq

xp − xq=∆y

∆x

Geométricamente, la pendienteindica cuántas unidades avanza ver-ticalmente la gráfica por cada unidadavanzada en el sentido del eje x .La pendiente de una recta es igual ala tangente del ángulo que ésta formacon el eje horizontal:

x

y

`

α

m = tanα

Pentacontágono Polígono de 50 lados.

Pentacontaedro Poliedro de 50 caras.

Pentadecágono Polígono de 15 lados.

Pentadecágono

Pentágono Polígono de cinco lados.

Pentágono

En la figura anterior se muestra unpentágono no regular.

Pentaedro Poliedro de 5 caras.Una pirámide con base cuadrada esun ejemplo de pentaedro.

Percentil Valores que dividen a las medi-ciones realizadas en cien partesiguales.Para hacer el cálculo de los per-centiles se requiere que los datos es-tén ordenados de manera creciente.El p percentil es el valor que tiene p %de todos los valores por debajo de ély el (100−p )% por encima.Por ejemplo, el 35 percentil es mayoral 35% de todos los valores y es menoral 65% de todos los valores.

Perfecto, cuadrado Un número escuadrado perfecto si su raíz cuadradaes un número entero.Por ejemplo, 25 es un cuadrado per-fecto, porque su raíz cuadrada es 5.5 no es un cuadrado perfecto, porquesu raíz cuadrada no es un entero.


Perfecto, número–Pertenencia

P

127

Perfecto, número Un número natural talque la suma de sus divisores propioses igual a él.Por ejemplo, el número 6 es unnúmero perfecto, porque sus divi-sores propios (1, 2, 3) suman 6.

Perigonal, ángulo Ángulo cuya medida esigual a 360.

α

En la figura anterior, el ángulo α esperigonal.

Perímetro El perímetro de un polígono esigual a la suma de las longitudes desus lados.El perímetro de una figura ge-ométrica cerrada (como la circunferen-cia) es igual a la longitud de la líneaque la delimita.El perímetro es la longitud del con-torno de una figura plana.Vea la definición de «Contorno».

Periodo Si existe un valor k tal que paratodo x , f (x ) = f (x + k ), entoncesdecimos que la función es periódica.El periodo de una función periódicaf es el mínimo valor k que cumple:f (x ) = f (x +k ).Por ejemplo, la función seno es perió-dica:

x

y

y = sin x

k

El periodo de la función seno es 2π.

Permutación Una permutación P (n , r ) esuna secuencia ordenada de r objetosde un conjunto de cardinalidad n .P (n , r ) se lee: «el número de per-mutaciones de n objetos tomando ra la vez», y se calcula con la fórmula:

P (n , r ) =n !

(n − r )!

donde n ! es el factorial del número n .

Perpendicular Dos rectas son perpendi-culares si al cortarse forman cuatroángulos iguales. Es decir, si dosrectas forman cuatro ángulos rectoscuando se intersectan, entonces sonperpendiculares.En la siguiente figura las rectas `1 y `2

son perpendiculares. Esto se denotacomo `1 ⊥ `2.

`1

`2

`1 ⊥ `2

Pertenencia Decimos que x pertenece alconjuntoA si x es uno de sus elemen-tos, y se denota como: x ∈A.Si x no es un elemento del conjuntoA, entonces decimos que x nopertenece al conjunto y lo denota-mos como: x <A.Por ejemplo, 3 ∈ N, pero π < Z.Observa que el concepto de perte-nencia se aplica a los elementos delconjunto, no a sus subconjuntos. Enese caso usamos el concepto de in-clusión de conjuntos. (Vea la defini-ción de «Subconjunto»)


128

P

Peso–Pitágoras, teorema de

Peso El peso de un cuerpo es igual a lafuerza con que la tierra lo atrae.En matemáticas frecuentemente seutiliza la palabra «peso» para referirsea la masa del mismo. Cuando deci-mos que las unidades de peso son losgramos (gr) y los kilogramos (kg), nosreferimos a la masa, no al peso. Enmatemáticas este uso de la palabrapeso se ha extendido, sin embargo,no coincide con la definición de pesodada en física.

π (Pi) El número π se define como elresultado de dividir la longitud deuna circunferencia entre su diámetro.Este número es irracional, y es aprox-imadamente igual a:

π≈ 3.141592653589793

Generalmente utilizamos la aproxima-ción: π ≈ 3.1416 para realizar cálcu-los con él.

Pictograma Diagrama que representadatos estadísticos.El pictograma es útil para la compara-ción de conjuntos de datos.

200250

300

175

Pie Unidad de distancia usada en elsistema Inglés, equivalente a 12 pul-gadas, o bien a 30.48 cm.

Pie cuadrado Unidad de área utilizada enel sistema Inglés, equivalente a 0.093metros cuadrados, o bien, a 144 pul-gadas cuadradas.

Pie cúbico Unidad de volumen utlizadaen el sistema Inglés, equivalente a0.02832 metros cúbicos.

Pirámide Sólido geométrico con un polí-gono como base y triángulos isósce-les con un vértice común como lasdemás caras del sólido.

Pirámide triangular

Pitágoras (569 AC – 475 AC) Matemáticode la antigua Grecia. Alumno deTales de Mileto, de quién aprendiógeometría. Fundó una escuela enSamos, a la que llamó «Semicírculo»,donde se enseñaba ética, filosofía ymatemáticas.Implementó el uso de fórmulas yteoremas basado en las relacionesmatemáticas. En su enseñanza diómucha importancia a los números.Se le atribuyen varios descubrim-ientos, principalmente en geometría,como el hecho de que la suma de lostres ángulos internos de un triánguloque se encuentra en el plano suman180, y el teorema de Pitágoras.Su escuela creció de manera que in-fluyó en otros pensadores posteri-ores, como Euclides de Alejandría.

Pitágoras, teorema de En todo triángulorectángulo que se encuentra en unplano, la suma de los cuadrados delas longitudes de los catetos es igualal cuadrado de la longitud de lahipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las lon-gitudes de los catetos del triángulo


Plana, geometría–Polar, coordenada

P

129

rectángulo y c es la longitud de suhipotenusa, entonces se cumple:

c 2 = a 2+ b 2

c b

a

Plana, geometría Geometría que estudiaobjetos en el plano: puntos, rectas,triángulos, cuadriláteros, etc.

Plano Superficie tal que al considerar unarecta que pase por cualesquiera dospuntos sobre la superficie, todos lospuntos de la recta se encuentra en lamisma superficie.La siguiente figura es de un plano entres dimensiones:

π

En matemáticas se denota con la letraπ a un plano.

Plano cartesiano Plano que utiliza unsistema de coordenadas cartesianas(rectangulares) para determinar lascoordenadas de los puntos.Al plano cartesiano también se lellama «plano coordenado».

Plano complejo Plano que asigna el ejehorizontal a los números reales y eleje vertical a los números imaginariosde manera que podamos representargráficamente los números complejos.

R

I

z = 3+2 i

El plano complejo también se conocecomo el «plano de Gauss».

Platónico, sólido Cada uno de los cincosólidos regulares: tetraedro, cubo, oc-taedro, dodecaedro e icosaedro.

Población En estadística, la población serefiere al universo de donde se eligeuna muestra para su estudio.Los parámetros de la población sonlos calculados a partir de datos colec-cionados sobre todos los elemen-tos de la población. Los parámet-ros muestrales son los que se calcu-lan a partir de los observados en lamuestra.

Polar, coordenada Las coordenadaspolares del punto P del plano se de-finen a partir de la distancia al origeny el ángulo que forma la recta quepasa por el origen y el punto P conel eje horizontal:


130

P

Polar, forma–Polígono inscrito

P (r,θ )r

θ

Las coordenadas polares de un puntoP (r,θ ) pueden transformarse encoordenadas rectangulares P (x , y ),a través de las siguientes fórmulas:

x = r · cosθ

y = r · sinθ

Polar, forma La forma polar del númerocomplejo z = a + i b , es:

z = r (cosθ + i sinθ )

donde θ = arctan

b

a

.

Poliedro Sólido geométrico formado porcaras planas.Si todas sus caras son el mismo polí-gono regular se llaman poliedros reg-ulares.Los poliedros regulares son: tetrae-dro, cubo, octaedro, dodecaedro eicosaedro.

Tetraedro Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Cubo

Polígono Figura plana cerrada delimitadapor segmentos de recta que no secortan entre ellos, salvo en sus ex-tremos.Cada uno de los segmentos de rectaes un lado del polígono y el puntodonde se intersectan dos lados con-secutivos del polígono se llama vér-tice.La siguiente figura muestra un polí-gono:

Vértice

Lad

o

Polígono circunscrito Se dice que unpolígono es circunscrito cuandotodos sus lados son tangentes a unamisma circunferencia.

Hexágono circunscrito

Polígono inscrito Se dice que un polí-gono es inscrito cuando todos suslados son cuerdas de una mismacircunferencia.


Polígono de frecuencias–Polinomio

P

131

Hexágono inscrito

Polígono de frecuencias Gráfica de unadistribución de frecuencias que seelabora uniendo los puntos mediosde la base superior de cada rectán-gulo en un histograma.La siguiente figura muestra un polí-gono de frecuencias:

Clases

f

A B C D E0

1

2

3

Polígono regular Cuando un polígonotiene todos sus lados y todos susángulos iguales se llama polígonoregular. Es decir, un polígono esregular si es equilátero y equiánguloa la vez.

αn

i

Los elementos de los polígonos regu-lares son:

3 Ángulo central

αn =360

n

3 Suma de ángulos internos

Si n t = 180 (n −2)

3 Ángulo interno

i =180 (n −2)

n

3 Número de diagonales

D =n (n −3)

2

3 Suma de ángulos externos:

Se x t = 360

Polinomio Expresión algebraica de laforma:

a0+a1x +a2x 2+ · · ·+an x n

donde n es un número entero, que seconoce como el grado del polinomio.Los coeficientes a0, a1, a2, · · · , an , sonnúmeros reales y an , 0.El nombre particular que recibe cadapolinomio depende del número detérminos que lo formen.


132

P

Porcentaje–Premisa

Términos Nombre Ejemplo

1 Monomio 3 x 2

2 Binomio 2+ x 3

3 Trinomio 1+2 x +3 x 2

Frecuentemente se les llama simple-mente «polinomio» cuando tienenmás de tres términos.

Porcentaje Fracción de una cantidad quese toma por cada cien contenida enella y que se denota con el símbolo %.Es decir, un porcentaje es una pro-porción que compara un número conel cien.Por ejemplo, el 10% de 500 es 50,porque de cada cien de los 500tomamos 10, como hay 5 grupos decien, obtenemos 5×10= 50.El cálculo del p porcentaje de lacantidad M se realiza fácilmenteusando:

R =p ·M100

Por ejemplo, el 5% de 250 es:

R =5×250

100= 12.5

Positivo Un número o expresiónalgebraica es positivo(a) si su valores mayor a cero.Para indicar que una cantidad espositiva se le antepone el signo +.Cuando no aparece símbolo alguno,se entiende que el signo positivo estáconsiderado de manera implícita.

Postulado Proposición que se aceptacomo verdadera.Un postulado no es necesariamenteun axioma.

Postulados de Euclides Lista de cincopostulados que utilizó Euclides al es-tudiar la geometría Plana en su obratitulada «Los Elementos».

¬ Por cualesquiera dos puntos delplano pasa una recta exacta-mente.

Una línea recta puede exten-derse en ambos sentidos infini-tamente.

® Dado un radio y un punto, siem-pre es posible dibujar un círculocon centro en el punto dado ycon el radio dado.

¯ Todos los ángulos rectos soniguales.

° Dada una recta y un punto fuerade ella, hay exactamente unalínea recta paralela a la rectadada.

Vea la definición «Euclides».

Potencia Es el resultado de multiplicar unnúmero (la base) por sí mismo variasveces.

25 = 32Base

Exponente

Potencia25 = 2×2×2×2×2


= 32

Precisión (Computación) Número decifras significativas que presenta unacantidad.Por ejemplo, el valor de π con unaprecisión de 4 cifras es: 3.1416.

Premisa En lógica, las proposiciones apartir de las cuales se obtiene unaconclusión, se llaman premisas.Vea la definición «Conclusión».


Primero–Prioridad de las operaciones

P

133

Primero Número ordinal que corres-ponde al 1.

Primo, factor Un número primo p es fac-tor de otro n si éste último es divisibleentre el número primo p .Por ejemplo 3 es factor primo de21, porque 21 puede dividirse exacta-mente entre 3 y porque 3 es unnúmero primo.

Primo, número Número natural quetiene exactamente dos divisores.Por ejemplo, el número 2 es primo,pues sus únicos divisores son 1 y 2.El número 9 no es un número primo,pues tiene 3 divisores: 1, 3, y 9.Los primeros 20 números primos sonlos siguientes:

2 3 5 7 1113 17 19 23 2931 37 41 43 4753 59 61 67 71

Observa que un número impar no esnecesariamente primo. Por ejemplo,el 21 no es primo, pues tiene 4 divi-sores (1, 3, 7, 21).

Primos gemelos Dos números primosp , q son primos gemelos si la diferen-cia entre ellos es 2.Por ejemplo, los números 29 y 31 sonprimos gemelos, pues la diferencia31−29= 2.

Primos relativos Dos números natura-les son primos relativos si el máx-imo común divisor entre ellos es elnúmero uno.Por ejemplo, 7 y 9 son primos rela-tivos.Observa que no se requiere que losnúmeros sean primos para que seanprimos relativos.

Primos triates Tres números primosp , q , r son triates si la diferencia entredos consecutivos es 2.La única terna de primos triates es:3, 5, 7. Observa que 7− 5 = 2, y tam-bién se cumple: 5−3= 2.

Principio Una verdad que ha sido de-mostrada. Sinónimo de ley.

Principio de inducción Asociamos unentero n a una proposición P (n ). Sise cumple la proposición para n = 1,es decir, P (1) se satisface, y tambiénse satisface P (2); al suponer que sesatisface P (k ), si se puede mostrarque P (k + 1), entonces, P (n ) se satis-face para todos los números natura-les n ∈N.

Principio del buen ordenamiento Elprincipio del buen ordenamientodice que un subconjunto (de cardi-nalidad finita) de un conjunto orde-nado contiene un elemento que es elmenor de todos.Por ejemplo, el conjunto 0, 2, 4, 6, 8tiene un elemento que es el menor detodos, (0).

Prioridad de las operaciones La priori-dad de las operaciones es el conjuntode reglas que indican qué operacio-nes deben realizarse primero enuna expresión que incluye variasoperaciones.En resumen, la prioridad de lasoperaciones es:

1. Simplificar expresiones dentrode signos de agrupación (parén-tesis)

2. Calcular potencias y raíces

3. Calcular multiplicaciones y divi-siones

4. Calcular sumas y restas


134

P

Prisma–Producto cartesiano

Por ejemplo, al evaluar: 3 × 52 + 7,empezamos elevando al cuadrado5 (prioridad más alta), luego eseresultado lo multiplicamos por 3(siguiente prioridad) y finalmentesumamos 7, obteniendo:

3× 52︸︷︷︸

1ro

+7= 3×25︸︷︷︸

2do

+7= 75+7︸︷︷︸

3ro

= 82

Prisma Poliedro con dos caras polig-onales idénticas y paralelas, y lasdemás caras siendo paralelogramos.

Prisma pentagonal

Prisma recto Prisma con bases perpendi-culares a sus caras laterales.Por ejemplo, el prisma pentago-nal mostrado en la definición de«Prisma», es un prisma recto.

Probabilidad En matemáticas, laprobabilidad es una forma de medirla posibilidad de que un eventoocurra.El valor de la probabilidad P (A) de unevento A satisface: 0≤ P (A)≤ 1.Cuando un evento A tiene n diferen-tes posibles resultados, todos igual-mente probables, la probabilidad deque ocurra uno de esos eventos P (A)es:

P (A) =1

n

Y más generalmente, cuando hayk casos favorables de obtener un

resultado particular de un experi-mento de entre n casos posibles, laprobabilidad del evento es:

P (A) =casos favorables

casos posibles=

k

n

Si a un evento se asigna la probabili-dad de cero (0), entonces ese eventoes prácticamente imposible de queocurra.Si a un evento se asigna la probabili-dad de uno (1), entonces ese eventoocurre con certeza.

Probabilidad empírica Probabilidad deun evento calculada a partir dela repetición del evento un grannúmero de veces.

Problema Una proposición o preguntaque requiere de un procedimiento ométodo para encontrar su solución.En matemáticas no todos los proble-mas tienen por solución un númeroo una expresión algebraica. Algu-nas veces la solución del problemaconsiste en decir que ese problemano tiene solución.Por ejemplo, la solución de encontrarel número x que cumpla: x + 2 = x ,es: «Tal número x no existe».

Producto Es el resultado de la multipli-cación de dos números o expresionesalgebraicas.

Producto cartesiano El producto carte-siano de los conjuntos A y Bdenotado por A × B es el conjuntoformado por todos los pares ordena-dos (a , b ) donde a ∈A y b ∈B.Por ejemplo, sean A = 0, 1, 2 y B =4, 5, 6. Entonces,

A×B = (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 4),(1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6)


Producto de fracciones–Progresión geométrica

P

135

Producto de fracciones El producto delas fracciones a/b y c /b está definidopor:

a

b

c

d

=a · cb ·d

Producto de números complejos Elproducto de los números comple-jos z1 = a1 + i b1 y z2 = a2 + i b2, estádefinido por:

z1 ·z2 = (a1 ·a2−b1 ·b2)+i (a1 ·b2+a2 ·b1)

Productos notables Los productos nota-bles reciben su nombre debido a queaparecen frecuentemente en álgebra;se han establecido sus reglas para notener que calcularlos cada vez que serequiera conocer su resultado.Algunos productos notables de fre-cuente uso son:

(a + b )2 = a 2+2 a b + b 2

(a + b )3 = a 3+3 a 2b +3 a b 2+ b 3

(a + b )(a − b ) = a 2− b 2

(x +a )(x + b ) = x 2+ (a + b ) x +a b

Programa Listado de instrucciones quepermite la solución de un problemaa través de la computadora. General-mente los programas se escriben enalgún lenguaje de programación paraque la computadora pueda entenderlas instrucciones.

Programación lineal Estudio de las téc-nicas para la optimización de siste-mas de ecuaciones lineales bajo unconjunto de condiciones sobre lasvariables del problema.La optimización permite la planeacióndel desarrollo de actividadesde manera que los recursos se

aprovechen de la mejor manera posi-ble.

Progresión aritmética Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unadiferencia constante.El primer término de la lista se denotapor a1 y la diferencia constante por d .Podemos calcular el n−ésimo tér-mino an de la progresión usando lafórmula:

an = a1+d (n −1)

Y la suma de los primeros n términosSn con:

Sn =n (a1+an )

2

A la progresión aritmética tambiénse le conoce como «sucesión arit-mética».Por ejemplo, si definimos a1 = 5 yd = 3, los términos de la sucesión ar-itmética son: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11,a4 = 14, etc.

Progresión geométrica Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unarazón constante. Es decir, si dividi-mos ai+1 ÷ ai = r para cualesquierados términos consecutivos de la pro-gresión.El primer término de la lista se denotapor a1 y la razón constante por r .Podemos calcular el n−ésimo tér-mino an de la progresión usando lafórmula:

an = a1 · r n−1


Sn =a1(1− r n+1)

1− r


136

P

Promedio–Proporción áurea

A la progresión geométrica tambiénse le conoce como «sucesión ge-ométrica».Por ejemplo, si definimos a1 = 2 yr = 3, los términos de la sucesión ge-ométrica son: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18,a4 = 54, etc.

Promedio El promedio de n datosx1, x2, x3, · · · , xn, es igual a la sumade todos ellos entre n :

x =x1+ x2+ x3+ · · ·+ xn

n=

∑

xi

n

Nota: el símbolo∑

indica la suma delos valores xi .Vea la definición «Sigma, notación».

Pronóstico Un pronóstico es una esti-mación del comportamiento de unavariable estadística en eventos fu-turos.Para elaborar un pronóstico seutilizan datos estadísticos, teoríaeconómica y condiciones delproblema.Existen muchos métodos para hacerpronósticos.

Propia, fracción Fracción en la queel numerador es menor que eldenominador.Por ejemplo, la fracción 3/7 es propia,porque 3< 7.

Propiedad Decimos que un objeto(matemático) tiene una propiedadsi presenta una característica especí-fica.

Propiedades de los números Los númerosreales presentan las siguientespropiedades:Para la suma:

3 Cerradura: a + b ∈R

3 Conmutativa: a + b = b +a

3 Asociativa: (a+b )+c = a+(b+c )3 Neutro: a +0= a

3 Inverso: a + (−a ) = 0

Para la Multiplicación:

3 Cerradura: a · b ∈R3 Conmutativa: a · b = b ·a3 Asociativa: (a · b ) · c = a · (b · c )3 Neutro: a ·1= a

3 Inverso: a · (1/a ) = 1, a , 0.

Y la propiedad distributiva, que esla única que involucra a las dosoperaciones de suma y multipli-cación:

a (b + c ) = a b +a c

Al conjunto de números que satisfacetodas estas propiedades se le llama«campo».Los números racionales también for-man un campo, es decir, ellos tam-bién tienen las mismas propiedades.El conjunto de los números comple-jos también forman un campo.

Proporción Igualdad entre dos razones.Por ejemplo,

x

7=

7

2

es una proporción.

Proporción áurea Número irracionaldenotado por la letra griegaφ, e iguala:

φ =1+p

5

2Este número aparece en la naturalezafrecuentemente.Los griegos lo utilizaron para que susobras tuvieran un mejor aspecto es-tético.


Proporción directa–Prueba

P

137

Se dice que un rectángulo está en pro-porción aurea cuando al multiplicarla longitud de un lado por φ obtene-mos como resultado la longitud delotro lado.

A B

CD

M

N

Si dividimos:

AB

entre

B C

obtenemos el mismo resultado quedividir

B C

entre

B M

:

φ =

AB

B C

=

B C

B M

=1+p

5

2

Los rectángulos AB C D y M B C N es-tán en proporción áurea.

Proporción directa Cuando dos cantida-des están en proporción de maneraque al crecer una de las cantidades,la otra crece la misma cantidad deveces, entonces las cantidades estánen proporción directa.Por ejemplo, cuando aumenta elnúmero de horas trabajadas, au-menta el número de minutos trabaja-dos.

Proporción inversa Cuando dos cantida-des están en proporción de maneraque al crecer una de las cantidades,la otra decrece la misma cantidad deveces, entonces las cantidades estánen proporción inversa.Por ejemplo, cuando varias personasvan a pintar una pared, si las personastrabajan al mismo ritmo y no se estor-ban, al aumentar el número de per-sonas, el tiempo que requieren parapintar la pared disminuye.

Proporción por alteración Dada la pro-porción a/b = c /d , se cumple:

a

c=

b

d

Proporción por inversión Dada la pro-porción a/b = c /d , se cumple:

b

a=

d

c

Proporción por resta Dada la proporcióna/b = c /d , se cumple:

a − b

b=

c −d

d

Proporción por suma Dada la propor-ción a/b = c /d , se cumple:

a + b

b=

c +d

d

Proporción por suma y resta Dada laproporción a/b = c /d , se cumple:

a + b

a − b=

c +d

c −d

Proposición Enunciado de una ley o unprincipio. También puede ser unacuestión que se requiere resolver odemostrar.En matemáticas las proposicionesmás usadas son: el axioma, el pos-tulado, el teorema, el corolario y elproblema.

Prueba Sinónimo de demostración.Vea la definición de «Demostración».


138

P

Pseudoprimo–Punto medio

Pseudoprimo Un número entero n espseudoprimo si n es divisor de 2n −2.Por ejemplo, el número 5 es pseudo-primo, porque es divisor de 30, y30= 25−2.

Pulgada Unidad de distancia usada en elsistema Inglés, equivalente a 2.54 cm,o bien a un doceavo de un pié. Esdecir, 12 pulgadas equivalen a 1 pié.

Punto Objeto geométrico que carece delongitud, ancho y fondo y se utilizapara indicar una ubicación en el es-pacio.En otras palabras, el punto tiene unalongitud, un área y un volumen decero unidades en cada uno.Euclides definió el punto como:«aquello que no tiene partes».El punto se considera el objetogeométrico más fundamental.

Punto de inflexión En la gráfica de unacurva, el punto de inflexión corres-ponde al punto donde la concavidadde la gráfica cambia.El punto de inflexión se puedecalcular con la segunda derivada de lafunción, porque precisamente dondela segunda derivada se hace cero lagráfica de la función cambia de con-cavidad.En la gráfica de la función seno, lospuntos de inflexión se encuentransobre el eje x , esto es, cuando sin x =0, la gráfica cambia de concavidad.

x

y

y = sin x

1

-1

Punto de tangencia Punto en el cualuna recta toca tangentemente a unacurva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente.El punto de tangencia es P :

C

P

Punto decimal Signo matemático quesirve para separar la parte entera deun número de su parte decimal.Por ejemplo, en el número: 3.1416, laparte entera es: 3, y la parte decimales: 0.1416.En algunos países se acostumbraescribir una coma decimal en lugardel punto.

Punto crítico En una curva, el puntocrítico es el punto donde una rectatangente a la curva es horizontal.En la siguiente figura, el punto Pindicado es un punto crítico de lafunción y = f (x )

x

y

y = f (x )

P1

-1

Punto medio El punto medio delsegmento AB es el punto M delsegmento que está a la misma distan-cia de sus extremos.


Puntos homólogos–Puntos notables

P

139

En otras palabras, el punto medio deun segmento es el punto que lo divideen dos segmentos de la misma longi-tud.En la figura se muestra un segmentoAB y su punto medio M :

A

B

M

Puntos homólogos En un par de figurassimétricas respecto de un eje, se lla-man puntos homólogos a cada parde puntos correspondientes entre lasdos figuras.Por ejemplo, en la siguiente figurase muestran los triángulos 4AB C y4A′B ′C ′

A

B

C

A′

B ′

C ′

Los pares de puntos A y A′, B y B ′, Cy C ′ son puntos homólogos.Observa que los puntos homólogosse encuentran a la misma distanciade la recta (eje) de simetría.

Puntos notables En un triángulo que seencuentra en un plano, los puntosnotables son los siguientes:

3 Baricentro: es el punto donde seintersectan sus tres medianas.

3 Circuncentro: es el puntodonde se intersectan sus tresmediatrices.

3 Incentro: es el punto donde seintersectan sus tres bisectrices.

3 Ortocentro: es el punto dondese intersectan sus tres alturas.


140

Q

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

REfrain Soto Apolinar

R Símbolo que representa el conjunto delos números reales.

Racionalización Proceso que consisteen convertir una fracción con undenominador irracional a una frac-ción equivalente con denominadorracional.Por ejemplo,

1p

2=

1p

2·p

2p

2=

p2

2

Racionalizar Desarrollar una razionaliza-ción.Vea la definición de «Racionalización».

Radián Unidad de medida de ángulo quees igual al ángulo subtendido por unarco de longitud igual al radio.En la siguiente figura se muestra elángulo α que mide un radián:

αr

r r

Un radián se denota por 1 rad.πrad= 180.

Radical Símbolo que se utiliza enmatemáticas para indicar la raíz: n

p .El índice n nos dice del orden de laraíz (cuadrada, cúbica, cuarta, etc.)Por ejemplo, para indicar raíz quintausamos el índice 5:

5p32= 2

Radicando El número o la expresión quesirven de argumento a un radical.Por ejemplo, en la expresión 3px +5,el radicando es x +5.

Radio Distancia del centro de unacircunferencia a cualquiera de suspuntos.

r

C

142

R

Radio de un polígono regular–Raíz de una ecuación

Radio de un polígono regular Segmentoque va del centro del polígono acualquiera de los vértices del polí-gono.

radio

Radio focal Segmento dirigido que tienesu punto inicial en el foco de unacónica y su punto final en algúnpunto cualquiera de la misma.

x

y

FF ′

P (x , y )Radio focal

O

Raíz Número que multiplicado unnúmero de veces indicado, resultaigual a otro valor dado.Por ejemplo, la raíz cúbica (el índicees 3) de 27 es 3, porque 33 = 27.La raíz quinta de 32 es 2, porque25 = 32.La raíz cuadrada se denota con elsigno de radical:

pk , y las raíces

de mayor orden con un índice:np

kindica la raíz enésima.

Raíz cúbica La raíz cúbica del número xes el número r que tiene la propiedadque al multiplicarse por sí mismo tresveces da x .En otras palabras, la raíz cuadrada dex es el número r que cumple: r 3 = x .

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 1000es 10, porque:

103 = 10 ·10 ·10= 1000

La raíz cúbica de los números enterosno siempre es un número entero.

Raíz cuadrada La raíz cuadrada delnúmero x es el número r que tienela propiedad que al multiplicarse porsí mismo da x .En otras palabras, la raíz cuadrada dex es el número r que cumple: r 2 = x .Por ejemplo, la raíz cuadrada de 100es 10, porque:

102 = 10 ·10= 100

La raíz cuadrada de un número nega-tivo no es un número real.

Raíz de una ecuación La raíz de unaecuación es el valor de su variable quehace que (la ecuación) se reduzca auna igualdad válida.Por ejemplo, las raíces de la ecuación:x 2 − 1 = 0, son x = 1 y x = −1, puescuando sustituimos cualquiera de es-tos valores en la ecuación, obtene-mos cero.Geométricamente la raíz de unaecuación representa el punto en quela gráfica de la ecuación corta al ejede las abscisas (eje x ).La siguiente figura muestra dos raícesde la ecuación: sin x = 0

x1 2 3 4

y

−1

1y = sin x

Raíces


Rama–Razón

R

143

Rama Una gráfica tiene ramas cuando esdiscontinua. A cada una de las partesde la gráfica se le llama «rama» de lagráfica.

x

yRama

izquierdaRama

derecha

Rango (Análisis) Al contradominio deuna función también se le conocecomo el rango de la función.(Estadística) El rango de un conjuntode datos se define como la diferenciaentre el mayor y el menor de todoslos datos. En otras palabras, el rangode un conjunto de datos es el inter-valo más pequeño que los contiene atodos.El rango es una medida de dispersiónde los datos, pues indica qué tan dis-tantesestán los datos más alejados de lamuestra.

Rango intercuartílico Medida de disper-sión definida por la diferencia entrelos percentiles 75 y 25 de una dis-tribución.Vea la definición de «percentil».

Rapidez (1.) Número que indica encuánto cambia de la posición de un

objeto por cada unidad de tiempo.La rapidez nunca es negativa.La rapidez se calcula dividiendo ladistancia recorrida entre el tiempoque tomó recorrer esa distancia.(2.) Magnitud de la velocidad, sinconsiderar dirección.(3.) En Cálculo, la rapidez es iguala la primera derivada de la posiciónrespecto del tiempo.

Rayo Una parte de una recta que tiene unpunto inicial y no tiene punto final.La siguiente figura muestra el rayo−→AB :

−→AB

A

B

Para denotar al rayo siempre in-dicamos primero el punto inicial ydespués otro punto cualquiera por elcual también pase.

Razón (1.) La razón de dos números a , bes el resultado que se obtiene al di-vidirlos:

a

bes la razón de los números a y b .

(2.) En una sucesión geométrica, larazón r de la sucesión es el cocientede dos términos consecutivos cuales-quiera:

r =an+1

an

De manera que podemos calcular untérmino de la sucesión a partir delanterior como sigue: an+1 = r ·an .


144

R

Razón de cambio–Recta real

Razón de cambio Razón a la cual unacantidad varía con respecto de otra.Si el valor de y depende de x deacuerdo a y = f (x ), la razón de cam-bio de y con respecto a x corres-ponde a la derivada de y respecto dex .Vea la definición de «Derivada».

Razón de división Dado el segmento ABy un punto P en él, la razón de di-visión del segmento AB por el puntoP es el cociente: |AP |/|P B |.Por ejemplo, si |AB | = 10, y el puntoP está a 6 unidades del punto A,entonces, |AP | = 6 y |P B | = 4, y larazón de división del segmento ABpor por el punto P es:

r =|AP ||P B |

=6

4=

3

2= 1.5

Recíproco El recíproco del número x , 0es el resultado de dividir uno entre x :

1

xes el recíproco de x .

Por ejemplo, el recíproco de 2 es1

2.

Frecuentemente al recíproco se lellama (equivocadamente) el inversodel número.Los números no tienen inverso, lasfunciones y las operaciones sí.

Recta Línea que no cambia de dirección yse denota por `.

`

Frecuentemente se utiliza la palabra«línea» como sinónimo de recta.

Una línea también puede ser curva.Por ejemplo, una circunferencia tam-bién es una línea, pero no es recta,pues cambia constantemente de di-rección.

Recta de Euler Es la recta que pasa por elcircuncentro, el baricentro y el orto-centro de un mismo triángulo.

Rectas concurrentes Rectas que se cortanen un solo punto.

Rectas notables del triángulo Las rectasnotables en un triángulo son:

3 Altura

3 Bisectriz

3 Mediatriz

3 Mediana

Vea cada definición para más de-talles.

Recta numérica Sinónimo de «Rectareal».Vea la definición de «Recta real».

Recta real Recta en la cual se elige unpunto fijo al cual se llama origen y alque se le asigna el cero, y utilizandouna unidad de medida se marcanpuntos con esa unidad de distanciaentre ellos para marcar los númerosenteros positivos hacia la derecha ylos negativos a la izquierda del origen:

(+)−2 −1 0 1 2 3 4

(−)

Origen


Rectángulo–Región

R

145

A cada número real se le puede asig-nar un punto de la recta real y a cadapunto de la recta numérica le corres-ponde exactamente un número real.«Recta numérica» es sinónimo de«recta real».

Rectángulo Cuadrilátero que tiene cuatroángulos internos iguales.También se puede definir como unparalelogramo que tiene sus 4 ángu-los internos iguales a un recto.

Rectángulo

bh

A = b ×hP = 2 (b +h )

El cuadrado es un caso particular delrectángulo, que tiene sus cuatro ladosde la misma medida. Es decir, elcuadrado es un rectángulo que tam-bién es un rombo.

Rectilíneo Objeto caracterizado por una ovarias líneas rectas.Por ejemplo, el movimiento rectilíneose realiza sobre una línea recta.

Redondeo Proceso de aproximar un valora una cantidad considerando algunasde sus primeras cifras decimales.Por ejemplo, al redondear el valor deπ a diezmilésimos obtenemos: π =3.1416.

Reducción En matemáticas, la palabrareducción es sinónimo de simplifi-cación.Por ejemplo, cuando reducimos unaexpresión, la expresamos de unamanera equivalente, pero más sen-cilla de interpretar.Por ejemplo,

x 2−6 x +9= (x −3)2

Reducción al absurdo Demostración através de probar que lo contrario guíaa una contradicción. Sinónimo de«demostración por contradicción».

Reducción de una fracción Decimos quehemos reducido una fracción cuandola hemos simplificado.Por ejemplo, al reducir la fracción12/20, obtenemos:

12

20=

3 ·45 ·4=

3

5

Reducción, método de Método para re-solver sistemas de ecuaciones lin-eales que consiste en sumar múltip-los de una ecuación a otra para re-ducir el número de variables y deecuaciones en el sistema.Este método también se conocecomo «método suma y resta» o comoel «método de eliminación».

Reflexiva, propiedad La propiedad re-flexiva de la igualdad dice que todonúmero es igual a sí mismo.Matemáticamente, a = a .Vea la definición de «igualdad» paraver otras propiedades de la igualdad.

Región Subconjunto del plano cartesiano.Una región puede ser, por ejemplo, lasolución de un sistema de desigual-dades:


146

R

Regla–Regla de los cuatro pasos

x2 4 6 8 10

y

2

4

6

8

10

x +y =

10

x + y > 10

Regla Instrumento usado en geometríapara dibujar rectas.En geometría plana la regla se consid-era sin escala (acotación), de maneraque no podemos medir distancias,sino solamente trazar líneas rectascon ella.Una parte de una regla con acotaciónes la siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7

1 cm

Regla de la recta vertical Regla que per-mite mostrar si una gráfica pertenecea la de una función. Para esto, setrazan rectas verticales a lo largo de lagráfica. Si al menos una recta verticalcorta a la gráfica en dos o más puntos,entonces la gráfica no corresponde ala de una función.

x

y

Como la gráfica mostrada nunca escortada por una recta vertical en dos

o más puntos, corresponde a la grá-fica de una función.

Reglas de los exponentes Las reglas de losexponentes son las siguientes:

3 a m ·a n = a m+n

3a m

a n= a m−n

3

a

b

m

=a m

b m

31

a m= a−m

3 a 0 = 1 (a , 0)3 (a m )n = a mn

3 (a · b )m = a m b m

Reglas de los signos Las reglas de los sig-nos son las siguientes:

+ ·+ = ++ · − = −− ·+ = −− ·− = +

En resumen, al multiplicar dos sig-nos iguales obtenemos + y cuandomultiplicamos dos signos diferentesobtenemos −.Estas mismas reglas se aplican a la di-visión:

+÷+ = ++÷− = −−÷+ = −−÷− = +

Regla de los cuatro pasos La regla de loscuatro pasos sirve para calcular laderivada de una función y = f (x ).

Paso 1: Dar un incremento a x ycalcular el correspondiente in-cremento en y .

y +∆y = f (x +∆x )


Regla de tres–Regular, polígono

R

147

Paso 2: Restar la función original:

∆y = f (x +∆x )− f (x )

Paso 3: Dividir entre el incrementoen x :

∆y

∆x=

f (x +∆x )− f (x )∆x

Paso 4: Calcular el límite cuando elincremento en x tiende a cero:

d y

d x= lim∆x→0

f (x +∆x )− f (x )∆x

Regla de tres Método que sirve paracalcular un valor desconocido de unaproporción directa, dados los otrostres.Por ejemplo, para calcular el valor dex en:

x

7=

3

21hacemos:

x =3×7

21= 1

Regletas de Cuisenaire Juego de diez re-gletas de colores que se utilizan paraenseñar y aprender diferentes temasmatemáticos.Las regletas tienen diferente tamañoy color, como se indica enseguida:

¬ Regleta Blanca, mide 1 cm.

Regleta Roja, mide 2 cm.

® Regleta Verde claro, mide 3 cm.

¯ Regleta Carmín, mide 4 cm.

° Regleta Amarilla, mide 5 cm.

± Regleta Verde Oscuro, mide 6cm.

² Regleta Negra, mide 7 cm.

³ Regleta Café, mide 8 cm.

´ Regleta Azul, mide 9 cm.

µ Regleta Naranja, mide 10 cm.

Regletas de Cuisenaire

Regular, poliedro Poliedro que tienetodas sus caras iguales. En total haycinco poliedros regulares: tetraedro,cubo,octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro


Cubo

Regular, polígono Cuando un polígonotiene todos sus lados y todos susángulos iguales se llama polígonoregular. Es decir, un polígono esregular si es equilátero y equiánguloa la vez.


148

R

Relación–Renglón

αn

i

Pentágono regular

Los elementos de los polígonos regu-lares son:

3 Ángulo central

αn =360

n

3 Suma de ángulos internos

Si n t = 180 (n −2)

3 Ángulo interno

i =180 (n −2)

n

3 Número de diagonales

D =n (n −3)

2

3 Suma de ángulos externos:

Se x t = 360

Relación (1.) Forma de comparar doselementos de un mismo conjunto.Por ejemplo, las desigualdades sonrelaciones que se definen para losnúmeros reales.Otros ejemplos de relaciones entredos números son: «a = b », «x ≡3 mod 7», «a |b », etc.(2.) Una relación se define comoun par ordenado de elementos de unconjuntoM: (a , b ), donde a , b ∈M.

Relación de equivalencia La relaciónde equivalencia es una estructuramatemática que presenta las sigu-ienes propiedades:

3 Reflexiva: a ∼ a

3 Simétrica: Si a ∼ b , entoncesb ∼ a .

3 Transitiva: Si a ∼ b y b ∼ c ,entonces a ∼ c .

Decimos que los objetos a y b es-tán relacionados si cumplen las trespropiedades enlistadas y lo denota-mos por a ∼ b .

Relación de recurrencia Función condominio en los números naturales yrango en los términos de una suce-sión.Por ejemplo, la sucesión de Fi-bonacci puede encontrarse usandola siguiente relación de recurrencia:

an = an−1+an−2

que en palabras dice: «el término ac-tual es igual a la suma de los últimosdos términos».

Relación funcional Regla de correspon-dencia entre dos cantidades que de-penden una de la otra.Por ejemplo, si el precio de un jugode manzana es de $7.00 pesos, elimporte a pagar y se relaciona fun-cionalmente con la cantidad de jugosa comprar (x ) de la siguiente manera:y = 7 x .

Renglón En una matriz, un renglón es unalínea horizontal de sus elementos.En la siguiente matriz A, el primerrenglón está formado por los elemen-


Residuo–Rotación

R

149

tos a , b y c :

A =

a b cd e fg h i

Residuo En una división, el número que«sobra», es el residuo.Por ejemplo, en la división:

2 512 3 0 7

6 77

el residuo es 7.

Resta Operación matemática binariadenotada con el símbolo −.La resta de los números a y b es elnúmero que hay que sumar a a paraobtener b y se denota por: b −a .Por ejemplo, 5−3= 2, porque 3+2= 5.La resta también se conoce comodiferencia.Vea la definición de «Diferencia».

Resultante Vector que resulta de sumardos vectores.En la siguiente figura se muestran losvectores ~u y ~v y la resultante ~u + ~v :

x

y

~u

~v

~u+~v

Rombo Cuadrilátero que tiene sus 4 ladosde la misma medida.

Rombo

Romboide Paralelogramo que no es rec-tángulo.

Romboide

Rotación Movimiento rígido del planoalrededor de un punto fijo, el cual esllamado eje de rotación.En la siguiente figura se muestra unarotación de los ejes en un ángulo de30:

x

y

x ′

y ′

θ = 30


150

R

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

SEfrain Soto Apolinar

Satisfacer Decimos que un valor satis-face a una ecuación o a unafunción cuando al sustituir estevalor en la ecuación o funciónésta se reduce a una igualdadválida. De manera semejante,cuando se dan un conjunto de condi-ciones y algún objeto matemáticocumpla con todas esas condiciones,decimos que las satisface.Por ejemplo, si imponemos comocondición para una figura geométricaque la suma de sus ángulos internosno sea mayor a 200, cualquier trián-gulo en el plano satisface esa condi-ción.

Secante (Geometría) La secante a unacurva o figura es una recta que lacorta.

Secante

En la figura previa se muestra unacircunferencia y una secante que lacorta.(Trigonometría) La función secantese define como el recíproco de la fun-ción coseno:

secα=1

cosα

En el triángulo rectángulo mostradoen la definición de «Seno» la funciónsecante del ángulo α menor a 90 sepuede escribir como:

secα=hipotenusa

cateto opuesto

Sección Intersección de dos objetos ge-ométricos.Por ejemplo, de la intersección de unplano con un cono podemos obteneruna parábola, que es una seccióncónica.

Sector circular Un sector circular es unaparte de la circunferencia limitadapor dos radios y un arco, como semuestra enseguida:

152

S

Segmento–Semirrecta

α

El área del sector circular de α secalcula con la siguiente fórmula:

A =απr 2

360

Segmento Intervalo de recta delimitadopor dos puntos fijos sobre la misma.El segmento que inicia el el punto Ay finaliza en el punto B se denota porAB .En la siguiente figura se muestra unsegmento:

`

AB

A

B

Semejanza Se dice que dos triángulos sonsemejantes si uno está dibujado aescala del otro.Para verificar si dos triángulos sonsemejantes podemos usar cualquierade los siguientes criterios:

3 Dos lados son proporcionales yel ángulo formado entre ellosestá en cada triángulo.

3 Dos ángulos iguales.

3 Los tres lados son propor-cionales.

Los siguientes triángulos sonsemejantes:

En palabras, dos figuras son semejan-tes si tienen la misma forma, pero nonecesariamente el mismo tamaño.

Semi- Prefijo usado en matemáticas quesignifica «mitad de».Por ejemplo, semiperímetro significa«la mitad del perímetro».

Semicircunferencia Arco de circunferen-cia que une dos extremos de undiámetro.

Semicircunferencia

Semicírculo Mitad de un círculo.

Semicírculo

Semirrecta Una parte de una recta quetiene un punto inicial y no tienepunto final.La siguiente figura muestra la semir-

recta−→AB :

−→AB

A

B


Seno–Sentido positivo

S

153

A la semirrecta también se le conocecomo rayo.

Seno La función seno se define paracualquier ángulo α. Dado un ángulocon un lado horizontal y vértice en elorigen, su seno, denotado por sinαse define como la coordenada sobreel eje y del punto de intersección delotro lado (no horizontal) del ángulocon la circunferencia de radio 1.

x

y

1

sinα

cosαα

En un triángulo rectángulo, el seno deun ángulo positivo menor a 90 puedeencontrarse con el cociente:

sinα=cateto opuesto

hipotenusa

α

Hipotenusa

Cat

eto

op

ues

to

Cateto adyacente

La gráfica de la función seno es lasiguiente:

x

y

y = sin x

1

-1

Seno hiperbólico La función seno hiper-bólico del número x se denota por:sinh x y está definida por:

sinh x =e x − e −x

2

Senos, ley de Para todo triángulo que seencuentra en el plano, se cumple:

sinα

A=

sinβ

B=

sinγ

C

donde A es el lado opuesto al ánguloα, B es el lado opuesto al ángulo β yC es el lado opuesto al ángulo γ.

A

BCα

β γ

Sentido Sinónimo de orientación.

Sentido positivo En un eje de coordena-das, el sentido positivo indica haciadónde los valores de la recta van cre-ciendo.En el plano, el eje horizontal es x y elsentido positivo de este eje es hacia laderecha. Para el eje vertical (y ) el sen-tido positivo es hacia arriba.

Sentido positivo →

Sen

tid

op

osi

tivo→

x

y

Observa que las flechas de los ejes in-dican el sentido positivo de cada unode ellos.


154

S

Séptimo–Signo

Séptimo Cuando dividimos un entero ensiete partes iguales, cada una de el-las es un séptimo, o bien, una séptimaparte del entero.

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

1

7

Serie La suma de los términos de unasucesión.Cuando la sucesión es aritmética, sellama serie aritmética.La fórmula para calcular la seriearitmética de los primeros n térmi-nos es:

Sn =n (a1+an )

2

Donde a1 es el primer término y an esel enésimo término de la sucesión.Cuando los términos que se es-tán sumando forman una sucesióngeométrica, la serie es geométrica, yse calcula con:

Sn =a1 (1− r n )

1− r

Donde a1 es el primer término y r esla razón de la sucesión.

Serie divergente Serie que crece in-definidamente conforme se consid-eran mayor cantidad de términos.

Sesgo Característica de la distribución delos datos de una población que indi-can que ésta no es simétrica.Cuando se dice que una muestratiene un sesgo, indica que ésta no esrepresentativa de la población.

Sexto Cuando dividimos un entero en seispartes iguales, cada una de ellas esun sexto, o bien, una sexta parte delentero.

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

Siglo Un siglo equivale a cien años.

Sigma, notación Notación matemáticaque permite indicar la suma de variostérminos de una sucesión.Si x1, x2, · · · , xn son los términos deuna sucesión que deben sumarse,estaoperación se puede indicar con la no-tación sigma de la siguiente manera:

n∑

i=1

xi = x1+ x2+ · · ·+ xn

Y se lee: «La suma de todos los tér-minos xi donde el índice i va desde 1hasta n».Por ejemplo, consideremos la suce-sión de los primeros 100 númerosnaturales. Entonces, usando no-tación sigma podemos indicar lasuma de estos términos como sigue:

100∑

i=1

i = 1+2+ · · ·+100

Esta notación es muy utilizada enCálculo Integral cuando se define laintegral definida como una suma deRiemann.

Signo Símbolo que indica una caracterís-tica de un objeto. En matemáti-cas, los símbolos pueden, además,indicar operaciones (+, −, ×,÷,∩, ∪, etc.), la naturaleza de un


Sima–Sistema decimal

S

155

objeto matemático (positivo, nega-tivo, vacío, etc.), pueden indicar eltipo de objetos matemáticos (4, ∠,AB_

, etc.), relación entre objetos de lamisma naturaleza (≤,≥, ,, etc.) entreotras cosas (∞, %, π, ~u , etc.).

Sima En una curva sinusoidal, la sima escada uno de los puntos más bajos ensu trayectoria.Por el contrario, la cima (con c)corresponde a cada uno de los puntosmás altos de su trayectoria.

Cima Sima

Simetría Propiedad que presentan algu-nas figuras geométricas que consisteen una correspondencia en la forma,el tamaño y la secuencia de las partesque la componen respecto de unalínea o punto.Vea «Eje de simetría».

Simetría axial Un objeto geométrico pre-senta simetría axial cuando tiene unarecta de simetría. Esa recta se diceque es el eje de simetría de la figura.Por ejemplo, el triángulo isóscelespresenta simetría axial.

Eje

de

sim

etrí

a

Simetría radial Un objeto geométricopresenta simetría radial cuando sucentro sirve de centro de simetría.Por ejemplo, un polígono regular pre-senta simetría radial.

C

Un hexágono regular presentasimetría radial. Su centro de simetríaes el punto C .

Simétrica, propiedad La propiedadsimétrica de la igualdad dice quesi un número es igual a otro, elsegundo número es igual al primero.Matemáticamente,

Si a = b , entonces, b = a .

Vea la definición de «igualdad» paraver otras propiedades de la igualdad.

Sistema coordenado Conjunto de ejesque sirven para indicar coordena-das de puntos. Cuando los ejesson mutuamente perpendiculares ytodos utilizan la misma unidad demedida en cada eje, se dice que es unsistema de coordenadas cartesiano.

Sistema decimal Sistema de numeraciónque utiliza el 10 como base y que uti-lizamos actualmente para contar.Por ejemplo, el número 2 745, sepuede escribir como:

2745 = 2 000+700+40+5

= 2×1 000+7×100+4×10+5

= 2×103+7×102+4×101+5×100

En nuestro sistema de numeración,cada cifra tiene un valor que dependede su posición respecto del punto


156

S

Sistema de ecuaciones–Software

decimal. Esto se hace evidente alescribir el número en términos de po-tencias de 10.

Sistema de ecuaciones Conjunto devarias ecuaciones que deben resol-verse simultáneamente. La solu-ción del sistema de ecuaciones es elconjunto de valores que las reducena todas las ecuaciones a igualdadesverdaderas.Por ejemplo, el sistema de ecuacio-nes:

x + y = 10

x − y = 2

tiene por solución x = 6, y = 4,porque al sustituir estos valores en lasecuaciones, cada una se reduce a unaigualdad verdadera.Los sistemas de ecuaciones se clasi-fican de acuerdo al tipo de ecuacio-nes que la componen. En el ejemplodado, el sistema de ecuaciones es lin-eal, pues todas las ecuaciones que locomponen son lineales.

Sistema de numeración Reglas que sedefinen para escribir y realizaroperaciones con números.Nosotros utilizamos un sistema denumeración decimal y posicional.Decimos que es decimal porquecontamos usando potencias de 10,y que es posicional porque el valorde cada cifra depende de su posiciónrelativa a los demás números usadosal escribir el número.La base de nuestro sistema es el 10.De aquí viene la palabra «decimal».Los romanos utilizaban un sistemade numeración decimal que no eraposicional. Los mayas utilizabanun sistema de numeración vigesimal(base 20) que sí era posicional.

A un sistema de numeración tambiénse le llama «sistema numérico».Cuando se escribe un número enun sistema de numeración de basediferente a la 10, se indica la base conun subíndice a la derecha. Por ejem-plo, 1002 indica que es el númerocuatro (en base 10, esto es 410). Dadoque utilizamos la base 10, siempreque escribimos números en base 10solamente, no se requiere indicarla base, pero cuando utilizas variasbases se sugiere indicar siempre labase, aún cuando esté escrito en base10 para evitar confusión.

Sistema de referencia Conjunto de ejesque sirven para indicar coordenadasde puntos. El sistema de referenciaes también llamado «sistema coorde-nado».

Sistema Internacional de UnidadesConjunto de unidades de medidapara utilizar en todo estudio y reportecientífico y tecnológico (abreviadocomo S.I.)Las unidades básicas del S.I. son:

Magnitud Unidad Símbolo

Distancia metro mMasa kilogramo kg

Tiempo segundo sCorriente eléctrica amperio A

Temperatura kelvin KIntensidad luminosa candela cd

Sistema Pié-libra-segundo Sistema deunidades que tiene por unidadesbásicas al pié (longitud), la libra(masa) y el segundo (tiempo).

Software Programas e información uti-lizada por la computadora.


Sólido–Subconjunto

S

157

Sólido Figura geométrica que tiene tresdimensiones.La siguiente figura muestra los sóli-dos cubo y esfera:

EsferaCubo

Los sólidos también se conocencomo cuerpos.

Sólido rómbico Sólido cuyas caras sonrombos congruentes.

Sólidos platónicos Nombre que se lesda a los cinco poliedros regulares:tetraedro, cubo, octaedro, dodecae-dro e icosaedro.

Tetraedro Octaedro


Cubo

Solución (1.) Respuesta de un problema(2.) Proceso o método para resolverun problema.(3.) Conjunto de valores que al susti-tuir en una ecuación o en un sistemade ecuaciones, se reduzcan a igual-dades verdaderas.

(4.) En química, frecuentementese utiliza la palabra «solución» parareferirse al término «disolución».

Solución trivial Solución a un problemaque no requiere de algún procedi-miento porque es muy evidente.Por ejemplo, para la ecuación:

x n + y n = z n

con cualquier valor n , las solucionestriviales son x = 0, y = 0, z = 0.

Suave Se dice que una función y = f (x )es suave en un intervalo (a , b ) si suderivada está definida en todo puntodel intervalo.La función y = x 2 es una fun-ción suave, pues su gráfica es unaparábola, que no presenta cambiosbruscos de dirección.Por otra parte, la función valor ab-soluto (y = |x |) no es suave, puessu derivada no está definida en elorigen. En este punto, tiene un cam-bio brusco de dirección.

Subconjunto Un conjunto A es subcon-junto de otro conjunto B si todos loselementos de A están también en B.Si existe algún elemento de A que noesté en B, entonces A no es un sub-conjunto de B.Si A es un subconjunto de B,entonces decimos que el conjunto Aestá incluido en B, lo cual se denotapor: A ⊂ B, o bien, que el conjuntoB incluye al conjunto A, lo cual sedenota por: B⊃A.El siguiente diagrama muestra alconjunto A, que es un subconjuntodel conjunto B:


158

S

Subíndice–Sucesión geométrica

B

AA⊂B

El conjunto vacío ∅ es un sub-conjunto de cualquier conjunto,pues no hay un elemento de ∅que no pertenezca al segundo (porvacuidad).Todo conjunto es subconjunto de símismo.

Subíndice Número que se escribe enla parte inferior derecha de unaliteral o un símbolo para identifi-carlo de manera particular de entreun conjunto de elementos.Por ejemplo, cuando se define unvector, ~v = (v1, v2), el subíndice decada componente denotada con laliteral v indica si es la primera (v1) ola segunda (v2) componente.

Sucesión Lista de números que siguenuna determinada regla para calcularel siguiente término.Por ejemplo, la sucesión: 3, 8, 18, 38, 78, · · ·sigue la siguiente regla: «suma 1 alúltimo término de la sucesión y alresultado multiplícalo por dos».

Sucesión aritmética Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unadiferencia constante.El primer término de la lista se denotapor a1 y la diferencia constante por d .Podemos calcular el enésimo tér-mino an de la sucesión usando la fór-mula:

an = a1+d (n −1)


Sn =n (a1+an )

2

A la sucesión aritmética también sele conoce como «progresión arit-mética».Por ejemplo, si definimos a1 = 5 yd = 3, los términos de la sucesión ar-itmética son: a1 = 5, a2 = 8, a3 = 11,a4 = 14, etc.

Sucesión convergente Una sucesión talque sus términos sucesivos estáncada vez más cerca de un valor fijo.Por ejemplo, la sucesión:

0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · ·

converge a cero.

Sucesión de Fibonacci La sucesión:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, · · · , en la cual cada tér-mino se obtiene como la suma de losdos términos anteriores se conocecomo la sucesión de Fibonacci.

Sucesión geométrica Lista de númerosque tienen la propiedad que cuales-quiera dos consecutivos tienen unarazón constante. Es decir, si di-vidimos ai+1 ÷ ai = r para cuales-quiera dos términos consecutivos dela sucesión.El primer término de la lista se denotapor a1 y la razón constante por r .Podemos calcular el enésimo tér-mino an de la sucesión usando la fór-mula:

an = a1 · r n−1


Sn =a1(1− r n+1)

1− r


Suceso–Sustraendo

S

159

A la sucesión geométrica tambiénse le conoce como «progresión ge-ométrica».Por ejemplo, si definimos a1 = 2 yr = 3, los términos de la sucesión ar-itmética son: a1 = 2, a2 = 6, a3 = 18,a4 = 54, etc.

Suceso Evento del cual se registra elresultado con el fin de estudiarel comportamiento estadístico delmismo.Por ejemplo, si observamos los re-sultados de lanzar una pelota a unacanasta para saber la proporción depuntos que logra un estudiante, cadalanzamiento es un evento.

Suma (Aritmética) (1.) Operación entrenúmeros que expresa la relaciónentre el número de elementos de launión de ellos.(2.) Resultado de sumar dosnúmeros.

1234+ 5678

6912sumandosumando

suma

(Álgebra) Operación binaria entreexpresiones algebraicas.

Sumando Número o expresión algebraicaque se utiliza para realizar la op-eración de suma junto con otro(a) uotros(as).

1234+ 5678

6912sumandosumando

suma

Podemos tener varios sumandos enuna expresión, no solamente dos.

Superficie (1.) Conjunto de puntos delplano o de dos dimensiones (tienelargo yancho). Las unidades de mediciónde la superficie son metros cuadra-dos (m2). En geometría se utiliza lapalabra área como sinónimo de su-perficie.(2.) Frontera de un sólido.

Suplementario, ángulo Dos ángulos sonsuplementarios si su suma es 180.Vea la definición de «ángulo suple-mentario».

Supremo La menor cantidad que esmayor o igual a cada una de las canti-dades de un conjunto dado.Lo opuesto de supremo es «ínfimo».

Sustitución Procedimiento algebraicousado para reducir un sistema de necuaciones en un sistema equiva-lente (es decir, que tiene el exacta-mente las mismas soluciones) de n−1ecuaciones.

Sustracción Sinónimo de resta.Vea la definición de «resta».

Sustraendo En una resta, el sustraendo esel número que se está restando a otracantidad (el minuendo).

9 876− 5 324

4 552



160

S

Libro

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.org

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TEfrain Soto Apolinar

Tabla Arreglo de datos en forma de ren-glones y columnas para identificarpatrones en los mismos.Por ejemplo, la siguiente tabla re-copila la información relacionadacon las edades de la población de unpueblo:

Rango Cantidad

0 – 10 25010 – 20 1 20020 – 30 2 50030 – 40 1 22540 – 50 85050 – 60 75060 – 70 42570 – 80 25080 – 90 37

90 – 100 13

En estadística el uso de las tablas esmuy frecuente así como el uso de grá-ficas.

Tangencia, punto de Punto en el cualuna recta toca tangentemente a unacurva.En la siguiente figura se muestra unacircunferencia y una recta tangente.El punto de tangencia es P :

C

P

Tangente (Geometría plana) La tangentea una curva es una línea recta quetoca a la curva en solo uno de suspuntos.La siguiente figura muestra unacircunferencia con una tangente:

r Tangente

T

C

El punto T donde la recta tangentetoca a la circunferencia se llama«punto de tangencia».

162

T

Tangente hiperbólica–Teorema de Bayes

(Trigonometría) La tangente del án-gulo α se define como:

tanα=sinα

cosα

En un triángulo rectángulo, latangente de un ángulo positivomenor a 90 puede encontrarse conel cociente:

tanα=cateto opuesto

cateto adyacente

α

Hipotenusa

Cat

eto

op

ues

to

Cateto adyacente

En geometría analítica, la pendientem de la recta que pasa por los puntosP (xp , yp ) y Q (xq , yq ) es igual a latangente del ángulo que ésta formacon el eje de las abscisas:

m =∆y

∆x=

yq − yp

xq − xp

Tangente hiperbólica La funcióntangente hiperbólica del número xse denota por: tanh x y está definidapor:

tanh x =e x − e −x

e x + e −x

Tangram Rompecabezas inventado porlos chinos que consiste en ochopiezas de cartón: seis triángulos rec-tos, un cuadrado y un paralelogramo.La siguiente figura se muestra laspiezas del Tangram:

Tendencia central Un número que de-scribe a un conjunto de datos, es unamedida de la tendencia central de eseconjunto.Las medidas de tendencia centralmás frecuentemente utilizadas sonla media aritmética, la mediana y lamoda.Hay otras medidas de tendencia cen-tral como la media armónica y lamedia ponderada.

Teorema Proposición que requiere dedemostración.Por ejemplo, «Existe exactamenteuna circunferencia que pasa por trespuntos no colineales», es un teoremadegeometría.

Teorema binomial Para cualesquiera dosnúmeros enteros no negativos, secumple:

(x + y )n =n∑

k=0

kn −k

x k y n−k

El teorema del binomio también seconoce como el «binomio de New-ton».Vea la definición «Newton, teoremade»

Teorema de Bayes Sean A y B dos even-tos cualesquiera con probabilidadde ocurrencia diferente de cero.


Teorema de De Moivre–Teorema del factor

T

163

Entonces,

P (B |A) =P (A|B ) ·P (B )

P (A)

En palabras, la probabilidad de queocurra el evento B dado que ya ocur-rió el evento A es igual al productode la probabilidad de que ocurrael evento A dado que ya ocurrió Bpor la probabilidad de ocurrencia delevento B , dividido entre la probabili-dad de ocurrencia del evento A.

Teorema de De Moivre El teorema de DeMoivre es una generalización de lafórmula de Euler, para cualquier nentero:

(cosθ + i cosθ )n = cos(nθ )+i sin(nθ )

Al Teorema de De Moivre tambiénse le conoce como la fórmula de DeMoivre.Vea la definición de «Fórmula de Eu-ler».

Teorema de Pitágoras En todo triángulorectángulo que se encuentra en unplano, la suma de los cuadrados delas longitudes de los catetos es igualal cuadrado de la longitud de lahipotenusa.Algebraicamente, si a y b son las lon-gitudes de los catetos del triángulorectángulo y c es la longitud de suhipotenusa, entonces se cumple:

c 2 = a 2+ b 2

c b

a

Teorema de Thales Si varias paralelasson cortadas por dos secantes, lossegmentos determinados en unasecante son proporcionales a los de-terminados en la otra secante.Por ejemplo, en la siguiente figura semuestran varias paralelas (verticales)cortadas por dos secantes:

A

B

C

D

E

F

G

H

P Q

RS

AB ‖C D C D ‖ E F E F ‖G H

a

a ′

b

b ′

c

c ′

Se cumple entonces,

a

a ′=

b

b ′=

c

c ′

Teorema del factor Dada la ecuaciónpolinomial:

a0+a1x +a2x 2+ · · ·+an x n = 0

Si el número k es una de sus raíces,entonces, el polinomio es divisibleentre x −k .Por ejemplo, una de las raíces de laecuación:

6+5 x + x 2 = 0

es x = 3. Entonces, 6+ 5 x + x 2 es di-visible entre x −3. En efecto,

6+5 x + x 2 = (x −3)(x −2)

Lo cual indica que la otra raíz de laecuación es x = 2.


164

T

Teorema del valor medio del Cálculo Diferencial–Teoría de conjuntos

Teorema del valor medio del Cálculo DiferencialSi la función y = f (x ) es continuay diferenciable en el intervalo [a , b ],entonces, existe al menos un valor cen el intervalo (c ∈ [a , b ]) tal que:

f ′(c ) =f (b )− f (a )

b −a

En palabras, esto nos dice que lafunción tiene en al menos un puntodel intervalo la pendiente de la rectatangente a la curva igual a la pen-diente de la recta que pasa por lospuntos (a , f (a )) y (b , f (b )).

Teorema del valor medio del Cálculo IntegralSi la función y = f (x ) es positiva,continua e integrable en el intervalo[a , b ], entonces, existe un valor h > 0tal que:

b∫

a

f (x )dx = h · (b −a )

Geométricamente, esto nos indicaque el valor del área bajo la gráfica dela función y = f (x ) puede expresarsede manera equivalente como el áreade un rectángulo de base b − a y al-tura h :

x

y

y = f (x )

ba

h

f (b )

f (a )

h · (b −a ) =

b∫

a

f (x )dx

Teorema fundamental de la aritméticaTodo número natural n > 1 puede ex-presarse como producto de númerosprimos, de manera única, salvo elorden.

Teorema fundamental del álgebra Todaecuación polinomial de grado n tieneexactamente n raíces (algunas de lascuales pueden ser complejas).

Teorema fundamental del Cálculo Sila función y = f (x ) es continuaen el intervalo [a , b ] y y = F (x )es cualquier antiderivada de f ,entonces,

3d

dx

x∫

a

f (t )dt = f (x )

3

b∫

a

f (x )dx = F (b )− F (a ).

Teorema fundamental del Cálculo IntegralSi y = f (x ) es una función con-tinua en el intervalo [a , b ] y y =F (x ) es cualquier antiderivada de f ,entonces,

b∫

a

f (x )dx = F (b )− F (a )

Teoría Conocimiento organizado sis-temáticamente que es aplicable enla solución de problemas y para ex-plicar la naturaleza o el comporta-miento de una gran variedad de fenó-menos.

Teoría de conjuntos Rama de lasmatemáticas que estudia los con-juntos, sus propiedades y sus aplica-ciones.


Teoría de ecuaciones–Teselado

T

165

Teoría de ecuaciones Rama de lasmatemáticas que estudia las ecuacio-nes polinomiales:

a0+a1x +a2x 2+ · · ·+an x n = 0

La teoría de ecuaciones estudia prin-cipalmente los métodos de soluciónde este tipo de ecuaciones.

Teoría de números Rama de lasmatemáticas que estudia losnúmeros, sus propiedades y de susoperaciones.

Tera- Prefijo que indica 1012. Se abreviacon la letra mayúscula T.Por ejemplo, un teralitro equivale aunbillón de litros (un millón de millo-nes de litros), esto es: 1 TL= 1012 L.

Tercio Cuando dividimos un entero entres partes iguales, cada una de ellases un tercio, o bien, una tercera partedel entero.

1

3

1

3

1

3

Término Expresión algebraica queconsiste de una constante que mul-tiplica a una o varias variables cadauna de ellas elevada a alguna poten-cia entera no negativa.Por ejemplo, 3 x 2 y 5 es un término.Los polinomios son un suma de unoo varios términos. Monomio se en-tiende como sinónimo de término.

Término general En un polinomio o enuna ecuación, el término general se

representa por medio de una expre-sión algebraica que indique la formaque tiene cada uno de sus términos.Por ejemplo, en un polinomio, el tér-mino general es ai x i . Esta expresiónindica que hay un coeficiente ai quemultiplica a la i−ésima potencia delnúmero x .

Término irracional Término que tiene unexponente irracional en alguno desus factores.Por ejemplo, el término 3 x

p2, es un

término irracional.

Terna pitagórica Es una terna denúmeros (a , b , c ) que cumplen con:

a 2+ b 2 = c 2

Por ejemplo, (3, 4, 5), (5, 12, 13) y(20, 21, 29) satisfacen la condición,por tanto, son tercias pitagóricas.Esto quiere decir que si construimosun triángulo con medidas iguales acada uno de los valores de la ternapitagórica, el triángulo resultanteserá un triángulo rectángulo.

3

4

5

Teselado Cobertura del plano porpolígonos de manera que cadapunto del plano esté cubiertopor solamente un polígono yque dos polígonos se toquensolamente en sus lados.


166

T

Tetraedro–Trapecio

Teselado

Tetraedro Sólido geométrico cuyas carasson cuatro triángulos equiláteros:

Tetraedro

Tonelada Unidad de peso equivalente a1 000 kilogramos.

Toro Superficie curva cerrada que tieneun hoyo en medio, con la forma deuna dona.

Toro

Transitiva, propiedad Propiedad queconsiste en que si a ∼ b , y tambiénb ∼ c , entonces, a ∼ c .Por ejemplo, la igualdad presenta lapropiedad transitiva, pues si a = b , y

también b = c , entonces, a = c .Vea la definición de «igualdad» paraver otras propiedades de la igualdad.

Translación Movimiento de un objetogeométrico de manera que cada unode sus puntos se mueve en la mismadirección, la misma distancia, sinrotación, reflexión o cambio en sutamaño.En la siguiente figura, el triángulo4AB C se ha trasladado hacia laderecha para obtener el triangulocongruente4A′B ′C ′:

AB

C

A′B ′

C ′

Transportador Instrumento utilizadopara medir ángulos.

0

10

20

30

4050

60708090100110

120130

140

150

160

170

180

Transportador

Trapecio Cuadrilátero con un par de ladosparalelos.

h

b

B

El lado paralelo con mayor longitudse llama base mayor (B ) y el ladoparalelo con menor longitud se llamabase menor (b ). La altura del trapecio(h) es la distancia entre las dos bases.


Trapecio isósceles–Triángulo aritmético

T

167

El área del trapecio se calcula con lasiguiente fórmula:

A =(b +B ) ·h

2y su perímetro sumando las longi-tudes de sus lados.

Trapecio isósceles Trapecio que tienesus lados no paralelos de la mismamedida.

Trapecio isósceles

Trascendental, número Número irracio-nal que no puede ser raíz de unaecuación polinomial con coeficientesracionales.Por ejemplo, el número e es unnúmero trascendental.

Trayectoria Camino o ruta que sigue uncuerpo en movimiento.

Triada Un trio ordenado de valores.Por ejemplo, (2, 3, 4) es una triada.

Triangular (1.) Caracterizado por el trián-gulo.(2.) Dividir una región del plano entriángulos para facilitar el cálculo desu área.

Triángulo Polígono de tres lados.La siguiente figura es un triángulocon base b , altura h y lados a y c :

b

a

c h

P = Perímetro = a + b + c

A =Área =b h

2

Un triángulo se clasifica de acuerdo ala medida de sus lados como:

3 Escaleno: si todos sus ladostienen distinta medida.

3 Isósceles: si dos de sus ladostienen la misma medida.

3 Equilátero: si sus tres ladostienen la misma medida.

Y de acuerdo a sus ángulos como:

3 Acutángulo: si todos sus ángu-los son agudos.

3 Rectángulo: si tiene un ángulorecto.

3 Obtusángulo: si tiene un ánguloobtuso.

La suma de los ángulos internos deun triángulo es igual a 180.Debido a esto, un triángulo no puedetener dos ángulos rectos, muchomenos dos ángulos obtusos.

Triángulo acutángulo Un triángulo esacutángulo si todos sus ángulos sonagudos.

T. acutángulo

Triángulo aritmético Arreglo triangu-lar de números que se utiliza paracalcular los coeficientes del binomio(a + b )n . También se conoce como el«Triángulo de Pascal».Vea la definición de «Triángulo dePascal».


168

T

Triángulo, desigualdad de–Triángulo de Pascal

Triángulo, desigualdad de Para todotriángulo que se encuentra en unplano, la suma de las longitudes decualesquiera dos lados es mayor altercer lado.Por ejemplo, en el triángulo:

ba

c

Se cumplen las siguientes tres de-sigualdades:

a + b > c

a + c > b

b + c > a

que es lo que dice el principio.

Triángulo equilátero Un triángulo esequilátero si sus tres lados tienen lamisma medida.

T. equilátero

Triángulo escaleno Un triángulo es es-caleno si todos sus lados tienen dis-tinta medida.

T. escaleno

Triángulo isósceles Un triángulo esisósceles si dos de sus lados tienenla misma medida.

T. isósceles

Triángulo obtusángulo Un triánguloes obtusángulo si tiene un ánguloobtuso.

T. obtusángulo

Triángulo rectángulo Un triángulo es rec-tángulo si tiene un ángulo recto.

T. rectángulo

Triángulo de Pascal Triángulo que sirvepara calcular los coeficientes de laenésima potencia de un binomio.El siguiente diagrama indica cómocalcularlo:

1

11 +11 2 ++

11 33

11 44 6

11 55 1010

Suma los dos números que estánindicados para obtener el que estáen medio de ellos en el siguienterenglón.Para calcular: (x + y )5 calculamos losprimeros 6 renglones del triángulo dePascal y escribimos los coeficientes, y


Triángulo pitagórico–Trinomio

T

169

después las literales con los exponen-tes que le corresponden:

(x + y )5 = x 5+5x 4 y +10x 3 y 2+10x 2 y 3

+5x y 4+ y 5

Observa que los exponentes de xvan decreciendo, empezando desde5 y terminando en 0, los de y vancreciendo, empezando desde 0 yterminando en 5.Observa también que la suma de losexponentes de las literales de cadatérmino es 5.

Triángulo pitagórico Triángulo rectán-gulo con longitudes de lados enteros.

Tricotomía Propiedad de los númerosreales.Dados dos números reales a , bcualesquiera, se satisface una y so-lamente una de las siguiente condi-ciones:

i. a < b

ii. a = b

iii. a > b

Tridecágono Polígono de 13 lados.

Tridecágono

Trigonometría Rama de la matemáticaque se encarga del estudio de los

triángulos, las proporciones entresus lados y ángulos, las funcionestrigonométricas, sus propiedades ysus aplicaciones.Las funciones trigonométricas sonlas siguientes:

3 seno (sin)

3 coseno (cos)

3 tangente (tan)

3 secante (sec)

3 cosecante (csc)

3 cotangente (cot)

Las funciones trigonométricas inver-sas son:

3 arcoseno (arcsin)

3 arcocoseno (arccos)

3 arcotangente (arctan)

Trillón En Español, trillón es el númeroformado por un 1 seguido de 18 ceros.Es decir, un trillón es igual a un mil-lón de billones.En Estados Unidos y en Canadá, untrillón (En Inglés) es el númeroformado por un 1 seguido de 12ceros. Es decir, en estos países untrillón equivale a un billón (1012).Algo curioso es que en Inglaterra,que también usan el idioma Inglés, eltrillón para ellos es 1018, al igual quepara nosotros.

Trinomio Polinomio que tiene 3 térmi-nos.Por ejemplo,

1+ x 5− x 11

Observa que un trinomio no debe sernecesariamente de grado dos.


170

T

Trisección del ángulo–Truncar

Trisección del ángulo Problema queconsiste en la construcción de un án-gulo con medida igual a un tercio deun ángulo dado.Este problema no se puede resolverutilizando solamente regla y com-pás.

Trivial Muy fácil de resolver o sencillo.

Truncar Aproximación de a un valor omi-tiendo decimales a partir de uno es-pecífico.Por ejemplo, al truncar el valor deπ a diezmilésimos obtenemos: π =3.1415.Observa que se han omitido losdígitos decimales después de losdiezmilésimos.


apre

nd

emat

emat

icas

.org

.mx

UEfrain Soto Apolinar

Último Teorema de Fermat Uno de losproblemas que ocasionó un granavance en las matemáticas. El teo-rema dice: no existen números en-teros x , y , z diferentes de cero quesatisfagan:

x n + y n = z n

para n > 2.

Undécimo Número ordinal correspon-diente al lugar número once.Por ejemplo, en un maratón, el corre-dor que llega en el lugar númeroonce, tiene el undécimo lugar.Frecuentemente en el lenguaje colo-quial se dice (incorrectamente)«onceavo» refiriéndose al número or-dinal «undécimo».Onceavo es una fracción, no unnúmero ordinal.Decimoprimero es sinónimo deundécimo.

Unicidad Condición de ser única.Cuando se dice que se requiere demostrar la unicidad de una solución,significa que debemos probar que noexisten otras soluciones diferentes ala dada.

Unidad El número 1 se llama unidad.

Unidad cúbica Unidad de volumen for-mada por un cubo con aristas demedida igual a la unidad.

Unidad cuadrática Unidad de área for-mada por un cuadrado con lados demedida igual a la unidad.

Unidad de medida Cantidad establecidapara realizar mediciones de algunanaturaleza física.Por ejemplo, el kilogramo es launidad de medida establecida porel Sistema Internacional de Medidaspara la masa.

Unidad imaginaria El número i que tienela propiedad de que: i 2 =−1, se llamaunidad imaginaria.

Unión La unión de los conjuntos A y Bes el conjunto que está formado portodos los elementos que están en Acomo los que están en B.El siguiente diagrama de Vennmuestra la unión de los conjuntos Ay B:

172

U

Unitario, cubo–Uno a uno, función

A B

A∪B

Unitario, cubo Cubo con aristas demedida igual a la unidad.

Unitario, vector Vector con magnitudigual a la unidad.

Universo El conjunto que contiene todoslos elementos que son relevantespara una discusión o en la solución deun problema particular.

El universo se denota por U.Por ejemplo, si se está resolviendo unproblema relacionado con los alum-nos de una escuela, el universo es elconjunto de todos los alumnos de laescuela.

Uno Menor número natural, que sedenota por 1.Este número tiene la propiedad deque cualquier número x multipli-cado por él, da el mismo número x .

Uno a uno, función Sinónimo de funcióninyectiva.Vea la definición de «Función Inyec-tiva»


apre

nd

emat

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icas

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VEfrain Soto Apolinar

Vacuidad Condición de estar vacío.Cuando se demuestra algo referenteal conjunto vacío, que se sigue por elhecho de estar vacío, se dice que sedemostró por vacuidad.Por ejemplo, el conjunto ∅ es sub-conjunto de cualquier otro conjuntoA, por vacuidad, pues no hay algúnelemento del conjunto vacío que noesté en el conjunto A.Vea la definición de «Subconjunto».

Valor absoluto El valor absoluto de unnúmero x , denotado por |x | se definecomo su valor numérico si considerarsu signo.Por ejemplo, el valor absoluto de −18es: | − 18| = 18, y el valor absoluto de3 es: |3|= 3.Geométricamente el valor absolutorepresenta la distancia del origen dela recta numérica al punto que lecorresponde el número:

x−3 −2 −1 0 1 2 3

| −3| |2|

Vara Unidad de distancia usada en elsistema Español, equivalente a 0.84

metros.Una vara es equivalente a 2.76 piés.

Vara cuadrada Unidad de superficie us-ada en el sistema Español, equiva-lente a 0.7 m2.

Variable Literal que se supone cambia devalor.En la función y = f (x ), la varia-ble independiente es la variable en lacual sustituimos los valores, general-mente x . Por otra parte, la varia-ble dependiente es el valor que lafunción toma, usualmente y . Enmatemáticas las variables se denotanusando las últimas letras del alfabeto:t , u , v, x , y , z , etc.

Variable cualitativa En estadística, unavariable es cualitativa si solamenteindica alguna cualidad sin indicar unnúmero.Por ejemplo, cuando se indica ungrado de afectación de un huracán aun domicilio, en la encuesta se podríaincluir una escala ordinal: nulo, leve,moderado, grave, pérdida total.También es posible que se incluyauna escala nominal para medir otroaspecto, como el tipo de construc-ción: barro, madera, concreto.

174

V

Variable estadística–Vector tangente

Variable estadística Una característicade una población que puede tomardiferentes valores.Por ejemplo, el peso promedio de losadultos de un país es de interés paraconocer los niveles de salud de estapoblación.

Variación Cambio que sufre una variable.Usualmente se denota anteponiendoa la variable el símbolo ∆. Así, lavariación que sufre la variable x sedenota como ∆x y se lee: «delta x ».La variación que sufrió una variablecuando cambió del valor x1 al valor x2

es: ∆x = x2− x1.Por ejemplo, si x cambió de x1 = 3a x2 = 5, la variación de x es: ∆x =5−3= 2.A la variación también se le llamacambio o incremento.

Varianza La varianza mide la dispersiónde los valores que presenta la variablex . Se calcula como el promedio delas desviaciones cuadradas respectode la media.La varianza poblacionalσ2 se calculacon:

σ2 =

n∑

i=1(xi − x )2

n

donde x es la media aritmética de losn datos x1, x2, · · · , xn.La varianza de una muestra s 2 secalcula con:

s 2 =

n∑

i=1(xi − x )2

n −1

donde n es el tamaño de la muestra.

Vector Una diada de valores ordenados.

~v = (vx , vy )

Geométricamente el vector serepresenta con una flecha que vadel origen al punto indicado por suscoordenadas:

θ x

y

vx

vy

~v (vx, v y)

El punto inicial del vector está en elorigen y el punto final está en lascoordenadas (vx , xy ). La longitud delvector se denomina como su magni-tud o su módulo, denotada por ‖ ~v ‖,y se calcula aplicando el teorema dePitágoras:

‖ ~v ‖=Ç

v 2x + v 2

y

La dirección del vector se puededefinir para cualquier vector no nulo,como el ángulo que éste forma con eleje horizontal y se calcula con:

θ = arctan

vy

vx

El vector nulo ~0 = (0, 0) no tienedefinida una dirección y su magnitudes cero.Algunos autores definen al vectorcomo un segmento de recta dirigido.

Vector libre Vector cuyo punto inicialpuede estar en cualquier punto.

Vector tangente Vector que tiene lamismadirección que una recta tangente auna curva y que tiene su punto inicialen el punto de tangencia de la rectatangente con la curva.


Vector unitario–Volumen

V

175

Vector unitario Vector con magnitudigual a la unidad.

Vectorial Referente a vectores.Por ejemplo, cuando en física sehabla a un campo vectorial se refierena un conjunto de vectores que sirvencomo la descripción de la magnitudde alguna cantidad variable que semide para explicar algún fenónemo.

Velocidad Vector cuya magnitud es iguala la rapidez de un objeto y la direc-ción indica hacia dónde se realiza elmovimiento.Vea la definición de «rapidez».

Vértice Punto característico de una figurageométrica donde se intersectan doslados o varias (dos o más) aristas.Algunas figuras que tienen vérticesson los polígonos, algunas de las

cónicas (elipse, parábola e hipér-bola), los sólidos, etc.

Vértices consecutivos En un polígono,dos vértices son consecutivos si sonextremos de un mismo lado.En la siguiente figura, los vértices A yB son consecutivos.

A

B

Volumen Espacio que ocupa un cuerpo.Sus unidades se miden en litros, ounidades de longitud cúbicas, comometro cúbico (m3).


176

Lista de símbolos matemáticos

La siguiente lista contiene los símbolos matemáticos que más frecuentemente se uti-lizan en las matemáticas de primaria y secundaria.

3 + → suma

3 − → resta, diferencia

3 × → multiplicación

3 ÷ → división

3 / → división

3 ≡ → equivalente a

3 ≡ → por definición

3 ≡ → congruente con

3 = → igual a

3 , → desigual a

3 > → mayor a

3 < → menor a

3 ≥ → mayor o igual a

3 ≤ → menor o igual a

3 → mucho mayor a

3 → mucho menor a

3 ≈ → aproximadamente igual a

3 ∝ → proporcional

3 % → porciento

3 ± → más, menos

3 p → raíz cuadrada

3 3p → raíz cúbica

3 np → raíz enésima

3 ∞ → infinito

3 | → divisible por

3 - → no es divisible por

3 ∴ → por lo tanto

3 ∵ → porque

3 ∀ → para toda

3 ∃ → existe

3 ∃! → existe un único

3 ∃ → no existe

3 | → tal que

3 : → tal que

3 ⇒ → implica, se sigue

3 ⇔ → si y solo si

3 N → números naturales

3 Z → números enteros

3 Q → números racionales

3 Q′ → números irracionales

3 R → números reales

3 C → números complejos

3 ∈ → pertenece

3 < → no pertenece

3 ∅ → conjunto vacío

3 ⊂ → está incluido

3 ⊃ → incluye

3 ⊂ → no está incluido

3 ⊃ → no incluye


177

3 ⊆ → incluido estrictamente

3 ∪ → unión

3 ∩ → intersección

3 U → universo

3 ν → cardinalidad

3 ∨ → o (interjección)

3 ∧ → y (conjunción)

3 7→ → se mapea a

3 mod → módulo

3 lim → límite

3 max → máximo

3 min → mínimo

3∑

→ sumatoria

3 loga → logaritmo en base a

3 log → logaritmo vulgar

3 ln → logaritmo natural

3 det → determinante

3 ∆ → incremento

3 δ → desviación

3 d → diferencia

3 r → razón

3 r → radio

3 ai → i−ésimo término

3 Sn → serie (primeros n términos)

3 x → media aritmética, promedio

3 ⊥ → perpendicular

3 ‖ → paralelo

3 ∼ → es semejante a

3 → no es semejante a

3 ~u → vector (también u)

3 ‖~u‖ → magnitud de ~u

3 AB_ → arco AB

3 → grados sexagesimales

3 ′ → minutos

3 ′′ → segundos

3 C → grados centígrados

3 F → grados Farenheit

3 ∠AB C → ángulo AB C

3 Ýα → ángulo α

3 4AB C → triángulo AB C

3 C (n , r ) → combinaciones de n en r

3 P (n , r ) → permutaciones de n en r

3

nr

→ combinaciones de n en r

3 σ → desviación estándar

3 σ2 → varianza

3 π → 3.141592654 · · ·


178

Libro

dedis

trib

ución

grat

uita


179

Referencias

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3 Stillwell, JohnMathematics and its HistoryEd. SpringerEE.UU. 2010. 660 pp.


180

Agradecimientos a revisores

Las siguientes personas (que aparecen en orden alfabético) han apoyado de manera vol-untaria en la revisión de este diccionario.

Se agradece infinitamente su colaboración.

3 Aedo, María Elena (México).

3 Arroyo H., Evangelina (EE.UU.)

3 Brito, Franco (Venezuela).

3 Miraya, A., Luis Alberto (Perú).

3 Motilla, Guillermo (México).

3 Romero, Jorge (México).

3 Sobrevilla S., Ana (México).

3 Sobrevilla T., Ana I. (México).

Los revisores han colaborado con sugerencias de conceptos por agregar, correccionesde todo tipo (ortográficas, gramaticales, de diseño, etc.), corrección en las definiciones,etc.

Sin su colaboración, este material no tendría la calidad que ahora tiene.

Estimado lector, si usted encuentra un error o tiene alguna sugerencia, por favor, envíelacon su nombre completo a la siguiente dirección de correo electrónico:

[email protected]

Usted también aparecerá en esta lista de revisores y colaboradores.

Gracias por su apoyo en nombre de todos los profesores y estudiantes que actualmenteutilizan este material de distribución gratuita.

Efraín Soto Apolinar.(Autor)


Créditos 181

CRÉDITOSDebo agradecer el precioso apoyo que todo este tiempo me ha estado brindando mi esposa,Ana Gloria.Sin su comprensión, ánimo y entusiasmo hubiera tardado cien veces más en elaborar estematerial.

Autor: Efraín Soto Apolinar

Productor general: Efraín Soto Apolinar

Dirección y coordinación editorial: Efraín Soto Apolinar

Edición: Efraín Soto Apolinar

Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar

Diseño de portada: Efraín Soto Apolinar

Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar

Revisión técnica: Vea la sección Agradecimientos a revisores.

Año de edición: 2 009

Año de publicación: 2 010

Última revisión: 20 de abril de 2011.

Última modificación: 09 de abril de 2013.

Total de figuras: 334.

Total de definiciones: 1021.

Software utilizado: En la edición, diseño y composición tipográfica de este material se han uti-lizado los siguientes programas:

¬ LATEX 2ε Tipografía del texto, ecuaciones y diagramas.

TikZ Diseño de figuras, encabezados y diagramas.

® pgfPlots Gráficas y diagramas.

¯ TEXnicCenter Edición del código fuente LATEX 2ε .

Apreciado lector, agradezco sus comentarios, sugerencias y correcciones a la cuenta de correoelectrónico:

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