DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

ANALISIS MATEMATICO 3

ALUMNO – LEONARDO LÓPEZ

REPASO

EN FUNCIONES DE UNA VARIABLE

La derivada de una función la podemos expresar como

Y’ = f’x = dy/dx

Ademas si consideramos a

∆x = incremento de la variable independiente

Tenemos que el diferencial de una función se puede expresar como

dy = df = f’x . ∆x

Además se vio que cuando el ∆x es pequeño el cociente incremental

∆f/ ∆x difiere de f’x en un número pequeño que llamamos

Є (epsilón) donde Є = ∆f/∆x - f’x para un ∆x pequeño

Є 0 cuando ∆x 0

Multiplicando todo por ∆x

Є. ∆x = ∆f - f’x . ∆x

De donde se obtiene ∆f = f’x. ∆x + Є . ∆x

donde f’x. ∆x es el diferencial de la función

En una variable fx es diferenciable si el incremento de una función

Se puede escribir del siguiente modo ∆y = f’x. ∆x + Є . ∆x donde

Є es un número que depende de ∆x y Є o cuando ∆x 0

En funciones de una variable independiente y = fx es equiva

lente decir diferenciable o derivable, esto no es asi en funcio

nes de 2 o mas variables independientes

FUNCIONES DE 2 O MAS VARIABLES

DIFERENCIABILIDAD

Definición

Sea Z = f (x, y) una función de dos variables independientes x e y, decimos que f

Es diferenciable en el punto (X0 Y0) de su dominio si el incremento de la función

En dicho punto se puede escribir del siguiente modo

∆f (X0 Y0) = fx (X0,Y0). ∆x + fy (X0,Y0). ∆y + Є1. ∆x + Є2 . ∆y

donde Є1 y Є2 son funciones que dependen de ∆x y ∆y respectivamente y

Є1 0 cuando ∆x 0 y Є2 0 cuando ∆y 0

Ejercicio

probar que la función Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable en

todos los puntos del plano R²

Δf = f(x + Δx, y + Δy) – f(x,y)

Δf = (x + Δx)² + 3(y + Δy) – (x²+3y)

Δf= x² + 2xΔx + Δx² + 3y + 3Δy – x² - 3y

Δf= 2xΔx + Δx²+3Δy

fx = 2x 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 Δy

Fy = 3 fx.Δx + fyΔy + ϵı Δx + ϵ2 Δy

Df = 2xΔx + 3Δy + Δx Δx + 0 Δy ϵ1 0 Δx 0 ϵ2 0

Se encontró un ϵı y un ϵ2 tal que da la ecuación, es decir

f(x,y) = x² + 3y la función f(x,y) es diferenciable en R²por lo tanto la diferencialidad => derivabilidad

Función Diferenciable

Z = f(x,y) una función de dos variables es diferenciable en un

punto (x,y) si el incremento de la función Δz se puede expresar

Δz = Δf = fx (x,y)Δx + fy(x,y)Δy + ϵ1Δx1 + ϵ2 Δx2

ϵ1 = ϵ1(Δx) 0 cuando Δx 0

ϵ2 = ϵ2 (Δy) 0 cuando Δy 0

Teorema

Diferencialidad => Continuidad

Sea Z=f(x,y) una función de 2 variables reales

Si f(x,y) es diferenciable en un punto x0 y0 entonces f(x,y) es continua en ese

punto

Anteriormente se probo que Z=f(x,y) = x² + 3y es diferenciable en R². Por lo tanto

f(x,y) es continua en R²

Observación

Para funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parciales

en un punto no asegura la continuidad en dicho punto

Ej.

Sea f(x,y) x² + y²

x . y si (x.y) ≠ (0,0)

0 si (x,y) = (0.0)

Df(x,y) = R²se analiza la existencia de derivadas parciales en el punto (0.0)

fx (0;0) = lim f(0+∆x ; 0) – f(0.0)

∆x 0 ∆x

(0+∆x).0 - 0 0

(0+∆x)² + 0² ∆x²= lim = lim

∆x 0 ∆x ∆x 0 ∆x

0 = 0

=Lim ∆x³∆x 0

fx en (0;0) = 0

fy (0;0) = lim f(0;0+∆y) – f(0;0)

∆y 0 ∆y

0.(0 + ∆y) - 0

0² + (0 + ∆y)² lim

∆y 0 ∆yLim 0 = 0

∆y 0 ∆y³

fy (0;0) = 0

Se analiza la continuidad de la función f(x,y)

a) f(0;0) = 0

lim x . y = lim x.y = lim x.(mx)

x 0 x²+y² x 0 x²+y² x 0 x² + m²x²

y 0 y =mx y=mx

= lim mx² = m

x 0 x²(1+m²) 1+m²

El limite doble depende de la trayectoria por lo tanto lim f(x , y) no existe

x 0

y 0

en (0,0) existe una discontinuidad esencial de la función

En funciones de 2 o mas variables la sola existencia de las derivadas parciales

no asegura la continuidad

no continuidad => no diferenciabilidad

Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Puede suceder que la definición de función diferenciable sea difícil aplicar para

algunas o mas funciones, para lo cual se deben tener en cuenta algunas

condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Teorema

Sea Z = f(x;y) una función de dos variables independientes reales

Si fx y fy (x , y) de entorno ((x0, y0) ; δ) Z = f(x;y) es diferenciable en el

y fx y fy son continuas en (x0, y0) punto x0, y0

Ejemplo

f(x,y) = x³ + 3xy – 5y³

fx (x,y) = 3x² +3y (x,y) R² => Z =f(x,y) es diferenciable en R²

fy (x,y) = 3x-15y² fx y fy son continuas en R²

Observación

las condiciones de este teorema son suficientes pero no necesarias, esto

significa que es posible que una función sea diferenciable en un punto

sin que sus derivadas parciales sean continuas en el, en ese caso se debe

utilizar la definición de función diferenciable

Teníamos el diferencial en una variable

Y=fx

∆y = f(x+∆x) – f(x)

dy = f`x.dx

∆y ≈ dy cuando ∆x 0

∆x=dx

En 2 variables

Z=f(x,y)

∆z = f(x+∆x,y+∆y) – f(x,y)

Variables independientes

Definición ∆x = dx

Definición ∆y = dy

DIFERENCIAL TOTAL – Definición

Sea Z=f(x,y) una función diferenciable de 2 variables reales, llamaremos diferencial

total de la función a las siguientes expresión

dz = fx (x,y)∆x + fy(x,y)∆y

dz = fx(x,y).dx + fy(x,y).dy función diferencial

En un punto

dz(x0;y0) = fx(x0;y0)dx + fy(x0;y0)dy diferencial en un punto

Esta definición puede extenderse a funciones de 3 o + variables

W=f(x,y,z) R³ R

X

Y variables independientes ∆x=dx

Z ∆y=dy

∆z=dz

El diferencial total es

dw = fx.dx + fy.dy + fz.dz

Ejemplo

F(x,z) = x² + 3y es diferenciable en R² por lo que existe el diferencial total

dz = df = fx.dx + fy.dy

= 2x.dx + 3dy

Z= x³+ 3xy - 5y³ es diferenciable en R²

dz= fx.dx + fy.dy

= (3x²+3y)dx + (3x+15y²)dy

dz(1,2) = (3+3.2)dx + (3.1-15.2²)dy

Ejemplo

Z= f(x,y) = 2x.seny – 3x²y²

fx= 2seny – 6xy² existe en R² y es continua en R² por lo tanto f

fy= 2xcosy – 6x²y es diferenciable en R²

dz = (2seny – 6xy²)dx – (2xcosy – 6x²y)dy

Igual que en una variable para valores pequeños de ∆x se tiene que ∆y≈dy en funciones

de 2 o mas variables ∆z≈dz para valores pequeños de ∆x y ∆y

Sea Z = 2x³ + x.y – y³

Calcular ∆z y dz

Cuando (x,y) varia del punto (2,1) al punto (2,03;0.98)

∆Z = f(x+∆x, y+∆y) – f(x,y) ∆x=0.03

∆Z = f(2+0.03, 1-0.02) – f(2,1) ∆y= -0.02

∆z = 0.779062

dz= fx.dx + fy.dy = 0.77

fx(2.1) .0.03 + fy(2.1).(-0.02) = 0.77

DIFERENCIALES SUCESIVOS

Dada una función z= f(x,y) diferenciable, se puede hallar su diferencial total que es

dz, que podemos llamar diferencial de primer orden, obteniendo una nueva función

de x y de y que a su vez puede ser diferenciable, si lo es, volvemos a diferenciar y

obtenemos el diferencial 2do.

dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy * f(x,y) es diferenciable => es continua por lo tanto

fxy = fyx

dz² = d(dz) = d(fx.dx + fy.dy)=

= (fx.dx+fy.dy)x.dx+ (fx.dx+fy.dy.)y.dy

d²z= (fxx.dx + fyx.dy)dx + (fxy.dx + fyy.dy).dy

d²z= fxx.²dx + fyx.dy.dx + fxy.dx.dy + fyy.dy²

d²z = fxx. dx² + 2fxy.dx.dy + fyy.dy²