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Cálculo Diferencial e Integral, Áreas III y IV Prof. Jesús Calixto S.
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LA INTEGRAL
DIFERENCIALES
Antes de comenzar a integrar funciones veamos un concepto necesario para esto, la diferencial de una función.
Recordemos que el símbolo ddx
, representa “la derivada con respecto de x” y no un cociente o quebrado de d
entre dx, por tal motivo no se pueden considerar como cosas separadas. El diferencial de una función ( )y f x
se define de la siguiente manera:
ó
( ) ( )
ddy y dxdx
ddf x f x dxdx
Dónde: dx = diferencial de x dy = diferencial de y
( )df x = diferencial de f x
EJEMPLOS Encontrar la diferencial de las siguientes funciones:
a) 22 7 2y x x
El diferencial de y será por definición 'dy y dx , es decir:
4 7dy x dx
b) 11
yx
, el diferencial de y es entonces
'dy y dx
2 2
( 1)(0) (1)(1) 1( 1) ( 1)
xdy dx dx
x x
2( 1)dxdy
x
c) 2( ) 1f x x , el diferencial de f x será:
2
2( ) ´( )2 1
xdf x f x dx dxx
2( )
1
x dxdf x
x
NOTA: La interpretación geométrica del diferencial de una función se verá más adelante.
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EJERCICIOS Encontrar el DIFERENCIAL de las siguientes funciones
a) ( )1
xf xx
b) 2 3(7 2)y x
c) 2 6y a x d) 1
1y
x
e) 1( )9 4
f xx
f) ( ) ln senf x x
g) 2tan( 1)y x h) 4
1yx
i) 3yx
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INTEGRALES
DEFINICIÓN
La integral (∫) de una función la definiremos como la operación inversa de la derivada ( ddx
), o del diferencial
de una función, es decir:
por ejemplo, consideremos la función 2 3f x x
2 3f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral
2( ) 2 3df x x dx x
Ahora consideremos la función 2( ) 5f x x 2( ) 5f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral
2( ) 2 5df x x dx x
Finalmente, consideremos la función 2 3( )4
f x x
2 3( )4
f x x , entonces su diferencial 2df x xdx y por la definición de integral
2 3( ) 24
df x x dx x
Como podrás ver en los tres cuadros anteriores el valor de 2x dx toma tres valores distintos (sólo conservan
todas 2x ) y podrían ser muchos más si consideramos a más funciones, esto obviamente no es coherente, por tal
motivo consideraremos el valor de 2x dx como:
22x dx x C
Dónde C recibe el nombre de constante de integración
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CON FÓRMULAS Para encontrar la integral de una función, al igual que en las derivadas tenemos fórmulas, prepara formulario y observa los siguientes ejemplos. Demostrar las siguientes integrales
Ejemplo 1.- 3 2 4 33 7(3 7 8) 84 3
x x dx x x x C
Escribimos Fórmula usada 3 2(3 7 8)x x dx du dv dw du dv dw
3 2 3 2(3 7 8) 3 7 8x x dx x dx x dx dx
3 23 7 8x dx x dx dx adv a dv tres veces
3 23 7 8x dx x dx dx 1
1
nn xx dx C
n
dos veces y dx x C
Observa
Observa
Observa
si , su diferencial es , entonces
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La fórmula debes de interpretarla como:
4 33 23 7 8 3 7 8
4 3x xx dx x dx dx x C
4 3 4 33 73 7 8 84 3 4 3x x x xx C x C (Sólo se pone una C al final)
Ejemplo 2.- 2 553
x xxdx C
Escribimos Fórmula usada 125 (5 )xdx x dx sólo se usó algebra
1 12 2 1(5 ) (5 ) (5)( )
5x dx x dx recuerda 15 1
5 , se hizo esto porque (5 ) 5d x dx
1 12 21 15 5 5 5
5 5x dx x dx se reacomodo para aplicar
1
1
nn vv dv C
n
1 12 21 15 5 5 5
5 5x dx x dx
adv a dv
1 11 22 (5 )1 1(5 ) (5 )
5 5 1 12
xx dx C
1
1
nn vv dv C
n
32(5 ) 2 51 25 (5 ) 5
5 3 15 32
x x xx dx C x x C C
Ejemplo 3.- 2
2
3 2 1322 1
xx dx Cx
Como podrás darte cuenta la fórmula de integración más usada es 1
1
nn vv dv C
n
, que debes de
interpretarla como:
expresión algebráica diferencial de la expresión algebráicannv dv
En nuestro caso nos conviene ver a 2
3
2 1
x
x como una potencia, o sea 1
22
3
(2 1)
x
x y finalmente observa
las SUGERENCIAS que aparecen en la parte de debajo de tu formulario y estarás de acuerdo en que: 12
12
2
2
3 3 (2 1)(2 1)
x x xx
, entonces nuestra integral queda.
12
12
2
22
3 3 3 (2 1)(2 1)2 1
x xdx dx x x dxxx
, el 3 se puede salir de la integral según la fórmula
c dv c dv
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es decir 1 12 22 23 (2 1) 3 (2 1)x x x x dx
observa que si le llamas a 22 1V x , su diferencial es:
4dv xdx , y al integrar aplicando la fórmula 1
1
nn vv dv C
n
, vemos que hace falta un 4 para
completar el dv, el cual lo ponemos de la siguiente manera:
14 1
4
122
(ésto es lo que falta)
13 (2 1) (4)4
dvv
x x dx
Finalmente como 14
no es necesario dentro de la integral (y está multiplicando) lo sacamos e
integramos.
1 12 21
2
12 22
1 12 2
(2 1) (2 1)1 3 33 (2 1) 44 4 41
v dv
x xx x dx C C
Es decir: 2
2
3 2 1322 1
xx dx Cx
EJERCICIOS Demuestra las siguientes integrales
a) 2
2 2dt Ctt
b) 23
x axaxdx C
c) 5/2 5/3 3/2
3/2 2/3 2 6 10( 2 5 3) 35 5 3
x x xx x x dx x C
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d) 2
24 2 2 4x x dx x x Cx
e) 2 3
2
2 2( )2 6x xdx C
xx
f) 5/2 3/26 4(3 2)
5 3x xx x dx C
g) 3 36 5 6 5ln
3x x xdx x x C
x
h) 3/22( )
3a bx
a bx dx Cb
i) 2 a bydyC
ba by
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j) 3
2 ( )( )
3a bt
a bt dt Cb
k)
3222
22
6
xx x dx C
l) 2 2
2 ( )( )
4a by
y a by dy Cb
m) 2 3/2
2 (2 3)2 3
6t
t t dt C
n) 3 2
2 4 4(2 1)3 2x xx x dx x C
o) 32
3
8 8438
xx dx Cx
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p) 2 2 2
6 1(5 3 ) 5 3
zdzC
z z
q) 2
2 4( )3 2
x ax xa x dx ax C
r) 3/2 5/2
2 22 2( )3 5
ax xx a x dx x a C
s) 4 43
4 4 2a tt dt C
a t
t) 3 2
1( ) 2 ( )
dyC
a by b a by
u) 2 3 2 2
1( ) 4 ( )
xdx Ca bx b a bx
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v) 2
33 2
13 ( )( )
t dt Cb a bta bt
w) 2 2 5 2 8
3 2 2( )2 5 8
a z abz b zz a bz dz C
x) 32
1 2( )3
nn n a bx
x a bx dx Cnb
y) 2
2
(2 3)2 3
3
x dxx x C
x x
z) 2 3
3
( 1) 2 333
x dx a x Cx x
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INTEGRALES SENCILLAS Ya que sabes hasta ahorita por lo menos la diferencial de una función, podemos integrar algunas funciones sencillas, teniendo presente siempre, que la diferencial o derivada es la operación inversa de la derivada no lo olvides. A continuación te presentaremos las fórmulas más usadas a la hora de integrar.
( )du dv dw du dv du (observa tu formulario)
Es decir, la integral de varias expresiones que estén sumando o restando, es igual a integrar a cada una de las expresiones que están sumando o restando”
Ejemplo. 2 2(6 5 ) 6 5x x x dx x dx x dx x dx
a dv a dv (observa tu formulario)
Ejemplos. 2 26 6x dx x dx
5 5x dx dx
Es decir, la integral de una constante a, b, c, d (observa en tu formulario) POR algo que no es constante, es
igual a la constante (se sale del símbolo de la integral) POR la integral de lo que quedo.
Observa que en éstos dos ejemplos y en el anterior, todavía falta terminar de realizar las integrales, ya que hasta que no se tengan símbolos de integral ∫ se habrá terminado.
1
1
nn vv dv C
n
(observa tu formulario)
Es decir, la integral de una expresión algebraica (v) elevada a un exponente (n) POR el diferencial de la
expresión algebraica es igual a la expresión algebraica elevada a la n+1, entre éste mismo exponente n+1. Ejemplo.
123 (3 )x dx x dx , nuestra expresión algebraica es 3x y 1
2n
Si queremos aplicar ésta fórmula ten cuidado pues debemos tener una expresión algebraica elevada a la n
POR el diferencial de dicha expresión, y en nuestro caso el diferencial de 3x es 3dx , es decir nos hace falta
un 3 el cuál se puede escribir sin alterar la integral de la siguiente forma:
Recuerda en tu formulario en la parte inferior
hay sugerencias como:
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321 1
2 2
32
(3 )1 13 (3 ) (3 ) 33 3
xx dx x dx x dx C
Como 3 31 13 3 1 3
( )3 ( ) 1
Simplificando ya totalmente nuestro resultado nos queda. (SUGERENCIAS)
321 1
2 2
32
(3 ) (2)3 3 2 31 1 13 (3 ) (3 ) 33 3 3 3 3
x x x x xx dx x dx x dx C C C
2 333
x xx dx C
dv v C
Es decir, la integral del diferencial de algo (v) es igual al algo más C, recuerda la integral es la operación inversa del diferencial o viceversa la diferencial es la operación inversa de la derivada. Ejemplo.
5 5 5x dx dx x C
Bueno, ahora hagamos unos ejemplos donde utilicemos las fórmulas antes analizadas.
EJEMPLOS Verificar las siguientes integrales
Ejemplo 1.-
RESULTAD
54 2 3
O
3(3 6 5) 2 55xx x dx x x C
Comencemos 4 2 4 2(3 6 5) 3 6 5x x dx x dx x dx dx
4 23 6 5x dx x dx dx 5 3
3 6 55 3x x x C
4
33 2 54x x x c
Ejemplo 2.-
RESULTADO
1 1 21 2
dx x Cx
12
12
1 1 (1 2 )(1 2 )1 2
dx dx x dxxx
Siempre se puede hacer esto en las integrales con constantes (números),
pero NO con variables
Observa tu formulario en las primeras 10 fórmulas no aparece alguna que considere a la raíz cuadrada por tanto se hace lo anterior, fíjate en las sugerencias
Expresión algebraica: Diferencial: www.ca
lixto.
com.m
x
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1 12 2
12
1 1 1(1 2 ) (1 2 ) ( 2)2(1 2 )1 2
dx dx x dx x dxxx
12 1
12
(1 2 )1 12 11 2
xdx C
x
12
12
12
(1 2 )1 1 (1 2 )21 2
xdx C x C
x
1 1 21 2
dx x Cx
Ejemplo 3.-
RESUL
33
D
2
TA O
cos( )sen( )
3x
x x dx C
Como el diferencial es 23x dx , hace falta un 3, que se pone como ya se había explicado
3 2 3 2 31 3 1sen( ) sen( ) ( cos( ))33
x x dx x x dx x C
La integral del seno de una expresión algebraica ( 3x ) por el diferencial de la expresión algebraica (23x dx ) es igual a menos coseno de la expresión algebraica
33 2 cos( )
sen( )3
xx x dx C
EJERCICIOS Demuestra las siguientes integrales
1) 6
5 412 3
5 1(5 8) 86 6xx x x C
x
2) 532
3
24
3
34 6( ) 6ln( )5 2y ay
y ay dy y y cyy
3) 23
x axax dx C
Una expresión algebraica elevada a la
Por su diferencial de la expresión
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4) 5/2 5/3 3/2
3/2 2/3 2 6 10( 2 5 3) 35 5 3
x x xx x x dx x C
5) 2
24 2 2 4x x dx x x Cx
6) 2 3
2
2 2( )2 6x xdx C
xx
7) 5/2 3/26 4(3 2)
5 3x xx x dx C
8) 2
2 2dt Ctt
9) 3 36 5 6 5ln
3x x xdx x x C
x
10) 3/22( )
3a bx
a bxdx Cb
www.ca
lixto.
com.m
x
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11) 2 a bydyC
ba by
12) 3
2 ( )( )
3a bt
a bt dt Cb
13) 2 3
2 2 (2 )(2 )
6x
x x dx C
14) 2 2
2 ( )( )
4a by
y a by dy Cb
15) 2 3/2
2 (2 3)2 3
6t
t t dt C
16) 3 2
2 4 4(2 1)3 2x xx x dx x C
17) 32
3
8 8438
xx dx Cx
www.ca
lixto.
com.m
x
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18) 2 2 2
6 1(5 3 ) 5 3
zdz Cz z
19) 2
2 4( )3 2
x ax xa x dx ax C
20) 3/2 5/2
2 22 2( )3 5
ax xx a x dx x a C
21) 4 43
4 4 2a tt dt C
a t
22) 3 2
1( ) 2 ( )
dyC
a by b a by
23) 2 3 2 2
1( ) 4 ( )
xdx Ca bx b a bx
24) 2
33 2
13 ( )( )
t dt Cb a bta bt
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25) 2 2 5 2 8
3 2 2( )2 5 8
a z abz b zz a bz dz C
26) 32
1 2( )3
nn n a bx
x a bx dx Cnb
27) 2
2
(2 3)2 3
3
x dxx x C
x x
28) 2 3
3
( 1) 2 333
x dx a x Cx x
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INTEGRALES DEFINIDAS
Una integral definida es cuando en el símbolo de integral tenemos 2 números por ejemplo 3
2
2
x dx , la cual
resolveremos de la siguiente forma: 33 3
2
2 23xx dx Ahora ya no se pone la constante de integración C, sino la línea vertical
3
2 que significa que el
resultado será evaluado en 3 menos el resultado en 2
3 332(3) (2) 27 8 19
3 3 3 3 3 3x u
Se pone 2u ya que la integral definida represente el área bajo la curva de 2x , es decir:
Ahora encontremos: 0
2
1
(4 5 1)x x dx
00 0 0
2 2
1 1 11
(4 5 1) 4 5x x dx x dx x dx dx
Encontremos por separado cada integral de las anteriores:
3 300 30
2 2
111
0 1 1 44 4 4 4 4 0 43 3 3 3 3xx dx x dx
2 200 20
111
0 1 1 55 5 5 5 5 0 52 2 2 2 2xx dx x dx
0
0
11
0 1 1dx x
Entonces finalmente tenemos: www.ca
lixto.
com.m
x
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00 0 0
2 2
1 1 11
2
(4 5 1) 4 5
4 5 113 2 6
x x dx x dx x dx dx
u
INTEGRALES DEFINIDAS, ÁREA BAJO UNA CURVA Y ÁREA ENTRE DOS CURVAS Encuentra el valor de las siguientes integrales definidas
a) 2
0
(2 3)x dx b) 3
2
0
( 2)x dx c) 1
3
1
( 2 )x x dx
d) 4
0
( 3 )x x dx e) 23
8
3
0
( )x x dx f) 2
0
2sen( )x dx
g) 0
4cos( )x dx
h) 4
0
sec( ) tan( )x x dx
Encuentra el área bajo la curva dada, en el intervalo que se señala
a) 2( ) ; [1 , 4 ]f xx
b) 2( ) ; [ 0 , 4 ]xf x e
c) 2( ) 2 ; [ 0 ,2]f x x x d) ( ) sen( ); [ 0 , ]f x x
e) 2
1( ) ; [1 , 4 ]f x xx
f) 2 1( ) ; [ 0 ,1 ]
x
x
ef xe www.ca
lixto.
com.m
x
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Encuentra el área entre el par de curvas que se dan.
a) 2( ) ( )f x x g x x (es lo mismo que se te diera 2óy x y x )
b) 26 3 2y x y x
c) 24y x y x
d) 21 1y x y x
e) 2 3 3y x x y
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