DINAMICA 2
-
Upload
fidel-ochoa -
Category
Documents
-
view
233 -
download
1
description
Transcript of DINAMICA 2
1
Contenido
I. TEMARIO 3
II. CRITERIO DE EVALUACIÓN 4
III. QUE ES LA DINÁMICA? 5
Dinámica 5
Historia 5
Cálculo en dinámica 6
Leyes de conservación 6
Ecuaciones de movimiento 7
Dinámica de sistemas mecánicos 8
Dinámica de la partícula 8
Dinámica del sólido rígido 8
Dinámica de medios continuos y teoría de campos 8
Conceptos relacionados con la dinámica 9
Inercia 9
Trabajo y energía 9
Fuerza y potencial 10
IV. UNIDAD 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 10
Conceptos fundamentales 10
Cinemática 10
Sistema de referencia 11
Partícula 11
Posición 12
Movimiento 12
Vector posición ( r ) 12
Ejemplo 13
Movimiento rectilíneo 13
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 14
Expresiones para el movimiento rectilíneo uniforme 15
Movimiento rectilíneo conservativo[editar] 16
Movimiento armónico[editar] 16
Movimiento rectilíneo en mecánica relativista 17
Fuerza constante 17
Sistemas conservativos 17
Movimiento armónico 18
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS 18
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS 18
MOVIMIENTO DEPENDIENTES 19
3
I. Temario
Unidad Temas Subtemas
1 Cinemática de partículas 1.1. Introducción
1.2. Movimiento rectilíneo
1.3. Movimiento de varias partículas
1.4. Movimiento curvilíneo.
2 Cinemática de los cuerpos rígido 2.1. Introducción
2.2. Traslación
2.3. Rotación con respecto un eje fijo.
2.4. Movimiento general en el plano.
3 Cinética de partículas 3.1. Introducción
3.2. Leyes del movimiento de Newton
3.3. Trabajo y energía.
3.4. Impulso y cantidad de movimiento.
4 Cinética de sistemas de partículas 4.1. Impulso y cantidad de movimiento.
5 Cinética de los cuerpos rígidos 5.1. Introducción
5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo
rígido
5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el
plano
5.4. Movimiento de un cuerpo rígido.
5.5. Segunda Ley de Newton.
5.6. Trabajo y energía.
5.7. Impulso y cantidad de movimiento.
6 Vibraciones mecánicas 6.1. Vibraciones sin amortiguamiento.
6.2. Vibraciones con amortiguamiento.
5
Dinámica
III. Que es la dinámica?
Dinámica
La dinámica es la RAMA de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en
relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El
objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema
físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho
sistema de operación. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos,
relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se
describen los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, y se RESERVA para otros
artículos el estudio de la dinámica en sistemas no mecánicos.
En otros ámbitos científicos, como la economía o la biología, también es común hablar de dinámica
en un sentido similar al de la física, para referirse a las características de la evolución a lo largo del
tiempo del estado de un determinado sistema.
Historia
Una de las primeras reflexiones sobre las causas de movimiento es la debida al filósofo griego
Aristóteles. Aristóteles definió el movimiento, lo dinámico (το δυνατόν), como:
La realización acto, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está
actualizando.
Por otra parte, a diferencia del enfoque actual Aristóteles invierte el estudio de la cinemática y
dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y después el movimiento de los cuerpos.
Este enfoque dificultó el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento hasta, en primera
instancia, San Alberto Magno, que fue quien hizo notar esta dificultad, y en última instancia hasta
Galileo Galilei e Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su De
proportionibus velocitatum in motibus una ley matemática que enlazaba la velocidad con la
proporción entre motivos a fuerzas de resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante
dos siglos, pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición de «acrecentar»,
su trabajo se descartó y no se le dio reconocimiento histórico en su día.
6
Los experimentos de Galileo sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Newton a
formular sus leyes fundamentales del movimiento, las cuales presentó en su obra principal
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Los científicos actuales consideran que las leyes que
formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los
cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el
movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la
velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a
los tamaños.
Cálculo en dinámica
En mecánica clásica y mecánica relativista, mediante de los conceptos de desplazamiento, velocidad
y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han
sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica
es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la
acción de las fuerzas. En sistemas cuánticos la dinámica requiere un planteamiento diferente debido
a las implicaciones del principio de incertidumbre.
El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración.
Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana
directamente auxiliados de las leyes de conservación. En mecánica clásica y relativista, la ecuación
esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) en la forma:
donde F es la sumatoria de las fuerzas y p la cantidad de movimiento. La ecuación anterior es válida
para una partícula o un sólido rígido, para un medio continuo puede escribirse una ecuación basada
en esta que debe cumplirse localmente. En teoría de la relatividad general no es trivial definir el
concepto de fuerza resultante debido a la curvatura del espacio tiempo. En mecánica cuántica no
relativista, si el sistema es conservativo la ecuación fundamental es la ecuación de Schrödinger:
Leyes de conservación
Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué
condiciones concretas una determinada magnitud "se conserva" (es decir, permanece constante en
valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la
ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de
teoremas vectoriales. Estos teoremas son:
1. El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales
requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén
7
dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido
rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.
2. El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema
vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del
momento angular. En concreto el lagrangiano del sistema.
Estos teoremas establecen bajo qué condiciones la energía, la cantidad de movimiento o el momento
cinético son magnitudes conservadas. Estas leyes de conservación en ocasiones permiten encontrar
de manera más simple la evolución del estado físico de un sistema, frecuentemente sin necesidad de
integrar directamente las ecuaciones diferenciales del movimiento.
Ecuaciones de movimiento
Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la
evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las
fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear
ecuaciones:
La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales
ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este
sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa
en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia
inerciales.
La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de
segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas
coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado.
Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no.
Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las
transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también
llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.
La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Además la gama de transformaciones de
coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace
aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.
El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación
diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta
el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.
En mecánica relativista los tres últimos enfoques son posibles, además de un enfoque directo en
problemas sencillos que es análogo a muchos métodos de la mecánica newtoniana. Igualmente, la
mecánica de medios continuos admite enfoques lagrangianos y hamiltonianos, aunque el formalismo
subyacente se trate de un sistema clásico o relativista es notablemente más complicado que en el
caso de sistemas partículas y sólidos rígidos (estos últimos tienen un número finito de grados de
libertad, a diferencia de un medio continuo). Finalmente, la mecánica cuántica, tanto no-relativista
como relativista, también requiere de un formalismo matemático notablemente más complejo que
8
usualmente involucra el uso de espacios de Hilbert incluso para sistemas con un número finito de
grados de libertad.
Dinámica de sistemas mecánicos
En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los
campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de
ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados
de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones
complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de
partículas con un número infinito de grados de libertad.
La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo
mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los
sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un
número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un
número finito de grados de libertad.
Dinámica de la partícula
La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se
analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas instantáneas a distancia.
En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mutua
interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho
marco se considera que las acciones a distancia violan la causalidad física. En esas condiciones la
fuerza sobre una partícula, debida a las otras, depende de las posiciones pasadas de la misma.
Dinámica del sólido rígido
La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos
materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para
estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se
entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se
alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento
de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).
Dinámica de medios continuos y teoría de campos
En física existen otras entidades como los medios continuos (sólidos deformables y fluidos) o los
campos (graviatorio, electromagnético, etc.) que no pueden ser descritos mediante un número finito
de coordenadas que caractericen el estado del sistema. En general, se requieren funciones definidas
sobre un dominio cuatridiomensional o región. El tratamiento de la mecánica clásica y la mecánica
relativista de los medios continuos requiere el uso de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales, lo cual ocasiona dificultades analíticas mucho más notables que las encontradas en los
9
sistemas con un número finito de coordenadas o grados de libertad (que frecuentemente pueden ser
tratadas como sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias).
Conceptos relacionados con la dinámica
Inercia
La inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento
uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.
En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el
estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia
térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el
estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa
y del tensor de inercia del cuerpo. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia
su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende
de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.
Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes para un observador en un sistema
de referencia no-inercial.
La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación
con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se
define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):
donde mi es la masa inercial de la partícula i, y ai1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la
dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde
ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas
pero las partículas ejercen fuerzas entre si.
Trabajo y energía
El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de
donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía cinética. Este teorema se puede
enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la
energía cinética como TEC.
Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás ciencias como, por
ejemplo, la química y la electrotecnia, de dónde deriva su vital importancia.
10
Fuerza y potencial
La mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en
mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica. En todas ellas las causas del cambio se
representa mediante fuerzas o conceptos derivados como la energía potencial asociada al sistema
de fuerzas. En las dos primeras se usa fundamentalmente el concepto de fuerza, mientras que en la
mecánica cuántica es más frecuente plantear los problemas en términos de energía potencial. La
fuerza resultante F sobre un sistema mecánico clásico se relaciona con la variación de la cantidad
de movimiento P mediante la relación simple:
Cuando el sistema mecánico es además conservativo la energía potencial V se relaciona con la
energía cinética K asociada al movimiento mediante la relación:
En mecánica relativista las relaciones anteriores no son válidas si t se refiere a la componente
temporal medida por un observador cualquiera, pero si t se interpreta como el tiempo propio del
observador entonces sí son válidas. En mecánica clásica dado el carácter absoluto del tiempo no
existe diferencia real entre el tiempo propio del observador y su coordenada temporal.
IV. Unidad 1
CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
Conceptos fundamentales
Cinemática
Rama de la física mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo
producen , corresponde a un estudio de la geometría del movimiento donde solo interesa el espacio
recorrido y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio.
11
Sistema de referencia
Cuerpo (punto o lugar físico) fijo o móvil necesario para realizar una medición, en este caso
necesario para describir el movimiento de un cuerpo. Todo sistema coordenado constituye un
sistema de referencia.
Sistema unidimensional
Sistema bidimensional
Sistema tridimensional
Partícula
Cuerpo en forma de punto que en la realidad no existe, se trata de una idealización
12
Matemática para simplificar el estudio de un fenómeno, en este caso para simplificar el estudio del
movimiento de un cuerpo. En general se dice que un cuerpo es considerado como partícula cuando
sus dimensiones son despreciables con respecto al espacio que ocupa, este concepto es de carácter
relativo ya que depende del sistema de referencia del cual se le compare.
Posición
Punto del espacio referido a un sistema de referencia
Movimiento
Concepto de carácter relativo que científicamente se define como el cambio sucesivo de
posición que experimenta un cuerpo respecto a otro considerado como referencia.
Vector posición ( r )
Vector que une el origen del sistema coordenado con el punto del espacio donde se encuentra la
partícula
13
Ejemplo
¿Cuánto tiempo necesita un corredor para un trayecto de 2,4 km cuando corre con una velocidad de
5 m/s
Solución:
La ecuación a utilizar es la misma que en el caso anterior, solo que ahora se debe calcular el tiempo
empleado en recorrer 2,4 km.
x = x + v ⋅t 0
Despejando tiempo se tiene:
𝑥 − 𝑥0=v*t
𝑥−𝑥0
𝑣=t
Reemplazando valores resulta:
240𝑚−0
5𝑚
𝑠
=t
Recordar que 2,4 km =2400 m
Dividiendo se tiene el tiempo que se busca.
480s = 8min = t
Movimiento rectilíneo
El movimiento rectilíneo, es la trayectoria que describe el móvil en una línea recta. Algunos tipos
notables de movimiento rectilíneo son los siguientes:
Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: cuando la aceleración es constante.
Movimiento armónico simple unidimensional: cuando la aceleración es directamente
proporcional a la elongación (distancia a la posición de equilibrio) y está siempre dirigida hacia
la posición de equilibrio.
En mecánica el movimiento rectilíneo es uno de los ejemplos más sencillos de movimiento, en el que
la velocidad tiene dirección constante (aunque pueda tener en algunos casos aceleración), además
hay fuerza y aceleración, estas son siempre paralelas a la velocidad. Esto permite tratar el
movimiento rectilíneo mediante ecuaciones escalares, sin necesidad, de usar el formalismo de
vectores.
La trayectoria de una partícula es rectilínea cuando su aceleración es nula (sin serlo la velocidad) o
cuando su aceleración no tiene componente normal a la velocidad. El movimiento rectilíneo es, pues,
14
un caso particular del movimiento general en el espacio, pero debido a la abundancia de problemas y
situaciones en que lo encontraremos, le dedicaremos una atención especial. Puesto que los vectores
V y A están dirigidos a lo largo de la trayectoria, será conveniente escoger el origen O sobre ella de
modo que el vector de posición R también estará situado sobre ella. Entonces, al ser paralelos entre
sí todos los vectores que nos describen el movimiento de la partícula podemos prescindir de la
notación vectorial.
Si tomamos el eje x en la dirección de la trayectoria y especificamos una cierta dirección como
positiva, las ecuaciones de definición de la velocidad y de la aceleración se reducen a la componente
x, o sea
de modo que, si conocemos x=x(t), podemos obtener la velocidad y la aceleración de la partícula, i.e.
v=v(t) y a=a(t), mediante dos derivaciones sucesivas. En algunos casos conoceremos a=a(t) y
entonces, por integración (y conociendo las condiciones iniciales y podemos obtener v=v(t) y
x=x(t).
Podemos encontrar otra relación cinemática importante aplicando a la definición de la aceleración la
regla de derivación de una función de función. Así, obtenemos la expresión
que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos a=a(x)\, o v=v(x)\,.
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Es un movimiento de trayectoria rectilínea y experimenta una variación constante en el módulo de la
velocidad durante el tiempo, en este caso, se dice que el movimiento se realiza con una aceleración
constante.
t = 0,191[h] = 11,455[min] = 687,3[s]
d x 24,83[km] = 2 = 18
Cuando la variación en el módulo de la velocidad va en aumento, se dice que el movimiento es
acelerado y se habla de aceleración.
15
Cuando la variación en el módulo de la velocidad va en disminución, se dice que el movimiento es
desacelerado y se habla de retardación o desaceleración, en este caso la aceleración resulta
negativa.
Las ecuaciones fundamentales del MRUA corresponden a las reglas de oro de la cinemática o
ecuaciones cinemáticas
Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a=cte) nos
llevan a las bien conocidas relaciones
que se reducen a
para el movimiento rectilíneo uniforme (a=0, v=cte).
Expresiones para el movimiento rectilíneo uniforme
Conocemos Se aplica la derivada Se obtiene la integral Es decir
16
Movimiento rectilíneo conservativo[editar]
Para el caso de un sistema que ejecuta un movimiento rectilíneo autónomo:
La energía del sistema es una integral de movimiento dada por:
La posición en términos del tiempo puede obtenerse a partir de la siguiente cuadratura:
Siendo la posición y la velocidad iniciales .
Movimiento armónico[editar]
Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. Las órbita es periódica.
El movimiento armónico simple es un caso particular de sistema rectilíneo conservativo en el que la cuadratura
anterior puede realizarse sin problemas y puede incluso despejarse fácilmente la posición respecto al tiempo:
donde:
es la frecuencia angular del movimiento.
es la amplitud del movimiento.
es la fase inicial.
17
Movimiento rectilíneo en mecánica relativista
En el caso relativista las ecuaciones del movimiento son algo más complejas que en el caso newtoniano
clásico. La relación entre la fuerza y la velocidad en el movimiento rectilíneo viene dada por:
La velocidad viene dada en función de la fuerza por:
Fuerza constante
El movimiento rectilíneo relativista bajo una fuerza constante en la teoría de la relatividad es un
movimiento progresivamente desacelerado, en que la velocidad límite viene dada por la velocidad de
la luz. Si el cuerpo parte del resposo la evolución de la velocidad y la distancia recorrida son:
Sistemas conservativos
La ecuación de movimiento para un sistema relativista que ejecuta un movimiento rectilíneo es de la
forma general:
El sistema se llama conservativo si las fuerzas satisfacen , y en ese caso al igual
que sucede en mecánica newtoniana existe una integral de movimiento, que se identifica con la energía
total que viene dada por:
donde el primer término T representa la energía cinética de la partícula y el segundo V(x) la energía
potencial, asociado a la fuerzas conservativa . Al igual que en el caso clásico esta forma puede
usarse para escribir la expresión de la trayectoria usado sólo cuadraturas (ver #Movimiento rectilíneo
conservativo).
18
Movimiento armónico
El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a
que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:
Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de
contorno dada por:
donde:
MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS
Cuando sobre una misma recta se mueven independientemente varias partículas, para cada una de
éstas deben escribirse las ecuaciones de movimiento.Es necesario, que el tiempo deberá contarse
desde el mismo instante inicial para todas las partículas, y los desplazamientos medirse en el mismo
origen y en el mismo sentido.
Los dos tipos de movimientos de varias partículas son:
1. Movimiento relativo de dos partículas.
2. Movimiento holónomos.
MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS
Tenemos dos partículas A y B, que se mueven sobre la misma recta. Sean Xa y Xb, las coordenadas
de posición, que se miden desde el mismo origen, para las dos partículas A y B respectivamente.
19
Coordenada de posición relativa de B respecto de A ( Xb/a ) => Es la diferencia que existe entre Xb -
Xa.
Si Xb/a > 0 => Indica que B está a la derecha de A.
Si Xb/a < 0 => Indica que B está a la izquierda de A.
Velocidad relativa de B respecto a A ( Vb/a ) => Es la variación de la coordenada de posición
relativa de B respecto de A ( Xb/a ) por unidad de tiempo.
Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo:
Si Vb/a > 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido positivo.
Si Vb/a < 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido negativo.
Aceleración relativa de B respecto a A ( Ab/a ) => Es la variación de Vb/a por unidad de tiempo.
MOVIMIENTO DEPENDIENTES
Movimiento holónomo => Este tipo de movimiento se produce cuando la posición de una partícula
depende de la posición de una o varias partículas. Esto ocurre generalmente cuando las partículas
están interconectadas mediante cuerdas inextensibles que están enrolladas alrededor de poleas.
20
Ejemplo
Si nos imaginamos dos bloques A y B, unidos por una cuerda inextensible de longitud fija l. Si el
bloque A produce un movimiento hacia abajo y a lo largo del plano inclinado, este movimiento hará
que en el bloque B se produzca otro movimiento hacia arriba sobre el plano inclinado. Para probar
esto, la localización de los bloques se especifica a partir del punto fijo O usando las coordenadas Sa
y Sb. Como la cuerda tiene una longitud fija, estas coordenadas que se extienden a lo largo de las
porciones cambiantes de la cuerda están relacionadas por la ecuación:
l => Es una constante y representa la longitud de la cuerda excluyendo el arco constante CD.
Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo da por resultado una relación entre las velocidades
de los bloques.
El signo negativo indica que el movimiento positivo del bloque A (hacia abajo en la dirección en
que se incrementa Sa) produce un movimiento correspondiente negativo ( hacia arriba ) del bloque
B.
Derivando con respecto al tiempo, la última ecuación obtenida de las velocidades, da por resultado
la relación que existe entre las aceleraciones de los bloques,
Movimiento curvilíneo
Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una
trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular.
21
Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes:
Vector posición: sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil
depende del tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por
tanto, como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P
cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r.
Vector desplazamiento: Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t,
al punto P´en el instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector
Dr , que como podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´.
Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo
que emplea en desplazarse, es decir:
Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma dirección.
Vector velocidad instantánea: Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt tiende a
cero:
22
Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula.
Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración
media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo:
-Vector aceleración instantánea: Es el vector obtenido al hacer el límite cuando Dt tiende a cero:
ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO CURVILÍNEO
Teniendo en cuenta que en el plano XY un movimiento curvilíneo viene determinado por la
componente del eje x y por la componente del eje y. Entonces, escribimos las ecuaciones de un
movimiento curvilíneo como podemos ver en la siguiente imagen. Donde x indica el desplazamiento
de una partícula, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración.
EJEMPLO
Para finalizar la explicación resolveremos como ejemplo dos problemas de movimiento curvilíneo, el
primero de ellos bastante facilito, mientras que en el segundo debemos poner en práctica muchos de
los conceptos adquiridos:
23
Problema: Sabemos que un automóvil describe una curva plana. Calcular las componentes de la
velocidad y de la aceleración en cualquier instante sabiendo que su trayectoria viene determinada
por las siguientes expresiones:
Las componentes de la velocidad en cualquier instante.
Las componentes de la aceleración en cualquier instante.
Problema: Lanzamos una pelota de forma vertical hacia arriba con una velocidad de 30m/s desde la
azotea de un edificio que tiene una altura de 60m. Sabemos que la pelota es empujada por el viento,
de tal forma que se produce un movimiento horizontal con una aceleración de 3m/s2. A partir de
estos datos calcular:
a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto donde caiga.
b) La altura máxima que alcanza la pelota.
c) Las componentes de la velocidad y el instante en el que la pelota se encuentra a 70 m de
altura.
En primer lugar, realizamos un esquema estableciendo las magnitudes de nuestro movimiento,
tomando como referencia la azotea del edificio.
A continuación analizamos los datos que nos da el problema:
A partir de los datos planteamos las ecuaciones del problema:
24
Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X:
-Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos):
El punto de impacto con el suelo tiene coordenada x desconocida, pero sabemos que y=-60m. A
partir del valor de y, podemos obtener el valor de t, resolviendo la ecuación; y luego el de x:
Para hallar la altura máxima de la pelota, tenemos que tener en cuenta que se produce cuando la
velocidad vertical es cero:
Por tanto la altura desde el suelo será: 60+45,9=105,9 m.
En primer lugar hallamos el instante en el que ocurre esto, teniendo en cuenta que el móvil se
encontrará en dos instantes a 70m sobre el suelo, (10 sobre el origen), y=10m, por tanto tenemos
dos soluciones para la ecuación de segundo grado:
Sustituyendo:
Si t=0,59s; vx=1,77 m/s; vy=24,22 m/s Si t=3,41s; vx=10,23 m/s; vy=-3,41 m/s