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Dinámica de las rotaciones

Octubre 2009

Ver clases en: http://video.google.com.ar/videoplay?docid=2148804863890418261&ei=X87oSp4NnYapAoq3ucAM&q=momento+angular+clases+video&hl=es#

Física de las Traslaciones

Tiempo t Inercia = m= Masa

Posición x(t)

Velocidad v(t)=dx(t)dt

Aceleración a(t)=dv/dt

Momento lineal p(t)=mv(t)

Energía Cinético Ec=½m.v2

Ley Fundamental

Fuerza F

dt

pdamF

rrr

==

Física de las Rotaciones

Tiempo t Inercia = I= Momento de Inercia

Posición θ(t)

Velocidad ω(t)=dθ(t)dt

Aceleración α(t)=dω/dt

Momento lineal L(t)=Iω

Energía Cinético Ec=½I.ω2

Ley Fundamental

Fuerza τdt

LdI

rrr

== ατ

2

2. Momento angular o cinético L

)( vrmprLorrrrr

×=×=

Momento angular o Momento angular o cincinééticotico de un punto material respecto de un punto O es el momento de la cantidad de movimiento respecto a dicho punto O

rr

vr

mP0L

r

O Propiedades de 0Lr

3. Momento de inercia

El momento de inercia I en dinámica de rotación, es el análogo a la masa en dinámica de traslación

Para un sistema de discreto de n partículas:

Para un sistema de partículas continuo:

2

1

n

i ii

I m r=

=∑

2I r dm=∫

3. Momento de inercia

Densidades lineal, superficial y volumétrica

λ=dm/dl

dm=λ·dl

σ=dm/ds

dm=σ·ds

ρ=dm/dV

dm=ρ·dV

Densidad lineal λλλλ

Densidad superficial σσσσ

Densidad volumétrica ρρρρ

3

3. Momento de inercia

Momentos de inercia de cuerpos rígidos homogéneos con diferentes formas geométricas

4. Teorema de Stenier Teorema ejes Paralelos

Este teorema permite calcular el momento de inercia de un sólido respecto a un eje paralelo a uno que pase por el centro de masas (CM) de dicho sólido

Matemáticamente

2·E CMI I M h= +

El momento de inercia IE respecto a un eje E paralelo al eje que pasa por el centro de masas es igual al momento de inercia respecto al centro de masas ICM más el producto de la masa M por la distancia de separación entre ambos ejes al cuadrado

E

Copyright (c) 2000 by W. H. Freeman and Company and Worth Publishers (Freeman/Worth).

Tipler Physics textbook

5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo

Un sólido rígido es aquel que no se deforma y que por tanto mantiene su forma y su tamaño.

El movimiento más general de un sólido rígido en el espacio se puede analizar estudiando dos tipos de movimiento simultáneos:

a) Traslación del centro de masas (CM) del sólido

b) Rotación del sólido alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

Movimiento general de un sólido rígido en el espacio

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5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo

Cuando un objeto únicamente se traslada sus partículas describen trayectorias paralelas

Cuando un objeto únicamente gira alrededor de un eje fijo sus partículas describen trayectorias circulares alrededor de dicho eje

5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo

En dinámica de traslación se cumple que

p mv=

Al ser el momento cinético L el análogo a p, en rotación se cumplirá que

L Iω=

L (momento angular o cinético)

p (momento lineal o cantidad de movimiento)

ω (velocidad angular)v (velocidad lineal)

I (momento de inercia)

m (masa)

RotaciónTraslación

Copyright (c) 2000 by W. H. Freeman and Company and Worth Publishers (Freeman/Worth).

La velocidad angular ω es un vector dirigido a lo largo del eje de giro

6. Conservación del momento angular

0externo

dLM

dt=

rr

Ecuación fundamental en la dinámica de rotación para un sistema de partículas o sólido rígido

Si el sistema está aislado o Mexterno = 0 se cumple que

000 constanteexterno

dLM L

dt= = → =

rr r

Por tanto, en un sistema aislado el momento angular o cinético permanece constante (no varía con el tiempo)

inicial finalL L=r r

5

6.1 Segunda ley de Newton en la dinámica de rotación

En dinámica de traslación se tiene que

F ma=r r

En dinámica de rotación se ha de cumplir que

M Iα=r r

L (momento angular o cinético)p (momento lineal o cantidad de movimiento)

M (momento de una fuerza)F (fuerza)

α (aceleración angular)a (aceleración lineal)

ω (velocidad angular)v (velocidad lineal)

I (momento de inercia)m (masa)

RotaciónTraslación

Momento de una fuerza respecto a un punto

M r F= ×r rr

vr

Momento del vector v respecto al Momento del vector v respecto al punto Opunto O

vOPM rr×=

→Mr

O

P

Si v pasa a ser una Si v pasa a ser una fuerza F, el fuerza F, el momento pasa a ser momento pasa a ser momento de una momento de una fuerza respecto a fuerza respecto a un puntoun punto

6.2 Momento de una fuerza respecto a un punto

M r F= ×r rr

sin perpendicularM rF rFφ= =

Si calculamos el módulo del momento se obtiene que

Sólo la componente perpendicular de la fuerza contribuye al momento y por tanto a la rotación

Otro modo de calcular el Otro modo de calcular el mmóódulo del momentodulo del momento

( sin )M F r Fdφ= =

donde d es el brazo del momento

6

I (momento de inercia)m (masa)

θ ( desplazamiento angular)x (desplazamiento lineal)

M (momento de una fuerza)F (fuerza)

Lincial= Lfinal (conservación del momento angular o cinético)

pincial= pfinal (conservación de la cantidad de movimiento)

M = dL/dt

M = I α (2ª ley de Newton)

F = dp/dt

F = ma (2ª ley de Newton)

L = I ω (momento angular o cinético)

p = mv (momento lineal o cantidad de movimiento)

α (aceleración angular)a (aceleración lineal)

ω (velocidad angular)v (velocidad lineal)

RotaciónTraslación

7. Tabla resumen

Leyes de conservación

• El momento lineal P (si Fext=0) se conserva

•El momento langular L (si ττττext=0) se conserva

•Ver: http://www.youtube.com/watch?v=V3UsrfHa4MQ&feature=related

•Piruela:http://www.youtube.com/watch?v=7yr_mltrWpM

EL GIRÓSCOPO

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INTRODUCCIÓN

Un giróscopo o giroscopio es un dispositivo mecánico que muestra el principio de conservación del momento angular. En física también es conocido como inercia giroscópica.

La esencia del dispositivo es una masa con forma de rueda girando alrededor de un eje. A su vez está montado sobre un sistema que permite que el eje pueda tomar cualquier orientación. Una vez que está girando tiende a resistirse a los cambios en la orientación del eje de rotación.

Ver:http://www.youtube.com/watch?v=cquvA_IpEsA

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

El momento angular, momentum angular o momento cinético, de símbolo L, en física clásica, es igual al producto

vectorial de la cantidad de movimiento p (también llamado momento lineal o momentum) por el vector de posición, r, del objeto en relación al punto considerado como eje de rotación. El momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempoEl principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

vrmprL rrrrr×⋅=×=

exdt

Ldτr

r

=

00 =→= Lex

rrτ

INERCIA GIROSCÓPICA En general cuando aplicamos una

fuerza a un cuerpo, este tiende a moverse en la dirección de la fuerza. Esto es particularmente cierto en las traslaciones.

En el caso del giroscopio o giróscopo, ocurre un hecho paradójico. El movimiento del mismo es perpendicular a la dirección de la fuerza que genera el movimiento!!!

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FUNDAMENTOS FÍSICOS La ecuación fundamental que describe el comportamiento del giroscopio es:

donde:

el vector ττττ es el momento de las

fuerzas externas sobre el centro de masa del giroscopio

el vector L es su momento angular

αω

τr

rrr

⋅=== Idt

Id

dt

Ld )(

PRECESIÓNLa presesión giroscópica aparece

cuando se le aplica una cupla o

par al giróscopo.

Por ejemplo si el soporte de una rueda de bicicleta (o giróscopo) no coincide con el centro de masa (ver Fig.) aparece un par (τ=m.rxg).

El lugar de caer la rueda, como lo haría si no rotara, la rueda comienza a moverse horizontalmente. Es decir comienza a precesar.

La velocidad angular de presesiónla designamos por ΩP y tiene dirección vertical.

Ver: http://www.youtube.com/watch?v=h9_0Rgv8FFo

00 L

dt

Ldgrm p

rr

rrr×Ω==×=τ

P=m.gL0

τ = r x Pr

Ωp

Ωp

L0

Presesión de una rueda

Presesión de un trompo

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NUTACIÓN Una observación cuidadosa del

movimiento de un giroscopio revela Asociado al movimiento de presesión aparece un “cebeceo”u oscilación del eje, esta oscilación vertical denominada nutación.

Ver:http://www.youtube.com/watch?v=75BM2O8ytZs

HISTORIA

1817Johann Bohnenberger (en la Universidad de Tubingen) descubre el giróscopo

1852 El científico francés Jean Bernard León Foucault (1826-64) fue el primero en usar el término giroscopio. Dirigió multitud de experimentos con giroscopios y se le concedió la invención del dispositivo.

1852-1968 Se crea un nuevo estilo de giroscopio que usa el esfuerzo de torsión gravitacional para conseguir que el giroscopio rote alrededor de una base central.

1909 Elmer A. Sperry construye el primer piloto automático para aeronaves usando giroscopios.

Foucault

Sperry

Bohnenberger

Tipos de Giroscopios

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Ver Giroscopios en acción

•http://www.youtube.com/watch?v=75BM2O8ytZs

http://www.youtube.com/watch?v=cquvA_IpEsA

Ver clases en: http://video.google.com.ar/videoplay?docid=2148804863890418261&ei=X87oSp4NnYapAoq3ucAM&q=momento+angular+clases+video&hl=es#

Problemas resueltos

Ejemplos

Trabajo y Energía

Trabajo hecho por un torque ττττactuando por un desplazamiento angular θθθθ :

Potencia:

W = τθτθτθτθ

PdW

dt

d

dt= = =ττττ

θθθθτωτωτωτω

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Problemas: Poleas

Una masa m cuelga de una polea de radio R unida a un disco. El momento de inercia de la polea +disco es I

Partiendo del reposo, cual de la velocidad vf cuando el cuerpo desciende una distancia L.

I

m

R

T

mg

αααα

a

L

Poleas... Aplicando Diagrama de cuerpo libre:

F = ma ---- sobre masa m mg - T = ma

Polea +disco ττττ = Iαααα

ττττ = TR = Iαααα

a = ααααR (conexión entre aceleraciones)

Encontramos a

vf2=

I

m

R

T

mg

αααα

a

L

gImR

mRa

+= 2

2

TRa

R= I

LgImR

mRv f ⋅

+= 2

22 2Lav ..22

0 +

Problema: Roto traslación

Un objeto de masa M, radio R, y momento de inercia I rueda por un plano inclinado (ángulo θ con respecto a la horizontal. ¿Cuál es la aceleración?

Consideramos traslación del CM y rotación alrededor del CM separadamente. θ

R

I

M

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Roto traslación...

Fricción f causes rotación.

Diagrama de cuerpo libre FNET = M aCM

En x Mg sin θ - f = M aCM

rotación CMusamos ττττ = Iααααττττ = Rf y aCM= ααααR

R

M

θ

f

Mg

y

x

R

afR CMI=⋅

2I

R

af MC

=

Roto traslación...

despejando: y 2R

aIf CM=

+=

IMR θMR

gaCM 2

2 sin

θ

acm R

I

M

θgMRMR

θMRgaCM sin

7

5

5

2sin

22

2

=

+

=

Caso de una Esfera maciza

CMmafMg =-sinθ

2

5

2MRI =

Maquina Atwood

¿Cual es la aceleración?

Diagrama de cuerpo libre (tres cuerpos)

m2m1

R

M

y

x

m2g

aT

1

m1g

a

T2

Para las masas que cuelgan: F = ma

+m1g -T1 = m1a

m2g - T2 = -m2a

αααα

I =1

2

2MRPara un disco:

Para la Polea ττττ = Iαααα

+

R

aIIRTT ==+ α)( 21

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Maquina Atwood…

Despejamos a a.

m1g - T1 = +m1a (1)

-m2g -T2 = m2a (2)

(3)

gMmm

mma

++

−=

221

21

MaTT2

121 =−

m2m1

R

M

y

x

αααα

m2m1

m2g

aT1

m1g

a

T2