Dinamica_de_Procesos_3-1

Dinámica de Procesos 540.262 2015-II Capítulo 3

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En el capítulo 2 se estudiaron los modelos dinámicos para procesos químicos típicos. Estos están formados por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias o de ecuaciones diferenciales parciales. La gran mayoría de estos procesos son no lineales.

Capítulo 3. Métodos de Análisis

En la práctica, los modelos no lineales pueden ser resueltos numéricamente con las herramientas computacionales disponibles en la actualidad. Sin embargo, la resolución de sistemas lineales es preferida dado que:

1. No hay una teoría general para la resolución de sistemas no lineales, por lo tanto no permiten un análisis cualitativo general.

2. Un sistema no lineal siempre se puede linealizar en torno a ciertas condiciones de operación.

3. Avances significativos en la teoría de controladores lineales permiten el diseño e implementación de controladores muy efectivos aun para sistemas altamente no lineales.


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Capítulo 3. Métodos de Análisis

En este capítulo se estudiará: • La linealización de modelos no lineales de parámetros concentrados (3.1) y

distribuidos (3.2). • La resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales mediante la

transformada de Laplace (3.3). • El desarrollo de modelos simplificados de entrada-salida condensados en las

llamadas funciones de transferencia (3.4 y 3.5).

𝐺 𝑠 =𝐾𝑒−𝜃𝑠

𝜏𝑠 + 1

𝑑𝑐𝐴

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑐𝐴,𝑖 −

𝐹

𝑉𝑐𝐴 − 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑐𝐴

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑇𝑖 −

𝐹

𝑉𝑇 + 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇

(−∆𝐻)

𝜌𝐶𝑝𝑐𝐴 −

𝑈𝐴

𝜌𝐶𝑝𝑉 (𝑇 − 𝑇𝑐)

𝐺 𝑠 =𝐾

𝜏1𝑠 + 1 𝜏2𝑠 + 1

Sistemas de ecuaciones diferenciales Funciones de transferencia

Dinámica de Procesos 540.262 2015-II Capítulo 3 3

3.1 Linealización de modelos no lineales de parámetros concentrados

La linealización se utiliza para aproximar la respuesta de sistemas no lineales por medio de ecuaciones diferenciales lineales, las cuales pueden luego ser resueltas mediante las transformadas de Laplace.

Algunos ejemplos de fuentes de no linealidad que aparecen en dinámica de procesos:

Propiedades físicas (H, S, Cp,…) en función de la temperatura (T):

𝐻 𝑡 = 𝐻0 + 𝑎1𝑇 𝑡 + 𝑎2𝑇2 𝑡 + 𝑎3𝑇

3 𝑡 + 𝑎4𝑇4 𝑡

Ecuación de Antoine para la presión de vapor (p0) en función de la temperatura (T):

𝑝0 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 𝐴 −𝐵

𝑇 𝑡 + 𝐶

Fracción molar en equilibrio del vapor (y) en función de la fracción molar en el líquido (x):

𝑦 𝑡 =𝛼 𝑥(𝑡)

1 + 𝛼 − 1 𝑥(𝑡)

La volatilidad relativa (α) se supone normalmente constante

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Transferencia de calor por radiación:

𝑞 𝑡 = 𝜖𝜎𝐴𝑇4(𝑡)

Las ecuaciones no lineales anteriores son funciones de una variable. Sin embargo, también puede darse el caso de funciones de varias variables. Por ejemplo:

Velocidad de reacción (r) en función de la temperatura (T) y la concentración de reactantes y productos (Ci):

𝑟 𝑡 = 𝐴𝑒−𝐸

𝑅𝑇 𝑡 𝐶𝐴𝛼(𝑡)𝐶𝐵

𝛽(𝑡)𝐶𝐶𝛾(𝑡)𝐶𝐷

𝛿(𝑡)

Productos de términos:

𝑞(𝑡)𝐶𝐴(𝑡) 𝑞 𝑡 𝑇(𝑡) 𝑉 𝑡 𝐶𝐴(𝑡)


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Se puede expandir la función no lineal f(x) como una serie de Taylor alrededor del punto x0.

Considérese la siguiente ecuación diferencial no lineal:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 +𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥0

𝑥 − 𝑥0

1!+

𝑑2𝑓

𝑑𝑥2 𝑥0

𝑥 − 𝑥02

2!+ ⋯ +

𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛 𝑥0

𝑥 − 𝑥0𝑛

𝑛!

Si se desprecian los términos de orden dos y superior, f(x) se aproxima de la siguiente manera:

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥0 +𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥0

(𝑥 − 𝑥0)


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El error de la linealización es del mismo orden de magnitud que el término:

𝐼 =𝑑2𝑓

𝑑𝑥2 𝑥0

𝑥 − 𝑥02

2!

Por lo tanto, la aproximación lineal es satisfactoria solamente cuando x es cercano a x0. Si la función es más curvada, el rango de precisión de la aproximación lineal disminuye.


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Ejemplo 3.1: Linealizar la ecuación de Arrhenius, que establece la dependencia de la constante de velocidad de reacción con la temperatura.

𝑘 𝑇(𝑡) = 𝐴𝑒−𝐸

𝑅𝑇(𝑡)

Para una reacción con k(Ts) = 100 s-1 y una energía de activación E = 22 kcal/mol, estimar el error generado en el rango ± 10°C alrededor de Ts = 300°C (573 K).

𝑘 𝑇 𝑡 ≈ 𝑘 𝑇𝑠 +𝑑𝑘

𝑑𝑇 𝑇𝑠

(𝑇(𝑡) − 𝑇𝑠)

𝑑𝑘

𝑑𝑇 𝑇𝑠

= 𝐴𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠 Este término es una constante. Para las condiciones

dadas se puede reemplazar para conocer su valor numérico (R = 1.987 cal mol-1 K-1)

La linealización de la ecuación de Arrhenius queda de la siguiente forma:

𝑑𝑘

𝑑𝑇 𝑇𝑠

= 𝑘(𝑇𝑠)𝐸

𝑅𝑇𝑠2

Simplificando:

𝑑𝑘

𝑑𝑇 𝑇𝑠

= 100 22000

1.987 ∗ 5732 = 3.37𝑠−1

°𝐶


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Por lo tanto, la aproximación lineal de la ecuación de Arrhenius es:

𝑘 𝑇 𝑡 ≈ 100 + 3.37 (𝑇(𝑡) − 300)

-100

0

100

200

300

400

500

250 270 290 310 330 350

k (s

-1)

Temperatura (°C)

k real

k linealizado Ts = 300C

e = -6.5%

e = -4.4% El error de la aproximación lineal es aceptable (< 10%) en un amplio rango de temperaturas.


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Ejemplo 3.2: Linealización del modelo de un estanque con descarga por gravedad.

A h

Fi

F

Balance de materia en el estanque:

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 − 𝐹

Si el escurrimiento es turbulento, el caudal de salida es proporcional a la raíz de la altura de líquido en el estanque.

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 − 𝑘 ℎ

Linealización del término no lineal: 𝑘 ℎ ≈ 𝑘 ℎ𝑠 +𝑘

2 ℎ𝑠

(ℎ − ℎ𝑠)

Por lo tanto, la ecuación diferencial linealizada resulta:

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 − 𝑘 ℎ𝑠 −

𝑘

2 ℎ𝑠

(ℎ − ℎ𝑠)


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El estanque está operando en estado estacionario con un nivel de líquido hs. En el tiempo t = 0 se detiene el suministro de líquido al estanque. En la figura se compara el modelo exacto (curva B) con el linealizado (curva A).

Las soluciones son similares durante el periodo inicial de vaciado del estanque. Por lo tanto, en ese intervalo el modelo linealizado aproxima bien al modelo no lineal. A medida que avanza el tiempo, y el nivel del líquido disminuye (h se aleja de hs) la aproximación lineal se hace menos precisa.

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 − 𝑘 ℎ𝑠 −

𝑘

2 ℎ𝑠

(ℎ − ℎ𝑠)

𝐴𝑑ℎ

𝑑𝑡= 𝐹𝑖 − 𝑘 ℎ (B)

(A)

hs


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Variables de desviación

Sea xs el valor en estado estacionario de la variable x, que describe la condición inicial del sistema dinámico. Entonces:

𝑑𝑥𝑠

𝑑𝑡= 0 = 𝑓(𝑥𝑠)

Considérese además que xs es el punto de linealización de la ecuación diferencial no lineal:

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑠 +

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥𝑠

(𝑥 − 𝑥𝑠)

𝑑𝑥

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥)

Entonces:

(1)

(2)

Si se resta la ecuación 1 a la ecuación 2 resulta:

𝑑(𝑥 − 𝑥𝑠)

𝑑𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥𝑠

(𝑥 − 𝑥𝑠)


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Variables de desviación 𝑑(𝑥 − 𝑥𝑠)

𝑑𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥𝑠

(𝑥 − 𝑥𝑠)

Se define la variable de desviación x’ como:

𝑥′ = 𝑥 − 𝑥𝑠

La aproximación lineal del sistema dinámico no lineal queda expresada en términos de la variable de desviación de la siguiente manera:

𝑑𝑥′

𝑑𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑥 𝑥𝑠

𝑥′

En ingeniería química normalmente se requiere mantener las variables de proceso (temperatura, concentración, presión, flujo, etc.) en un valor deseado en estado estacionario. La variable de desviación entonces es el punto más adecuado alrededor del cual se desarrollan los aproximaciones lineales de los modelos. La variable de desviación indica directamente la magnitud de la diferencia entre el estado estacionario deseado y el valor real de la variable.


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Linealización de sistemas de más de una variable.

Si el controlador de un proceso dado está bien diseñado, no va a permitir que la variable de proceso se mueva lejos del estado estacionario deseado. Por lo tanto, la aproximación lineal expresada en variables de desviación va describir el comportamiento dinámico del proceso de manera satisfactoria.

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓(𝑥1, 𝑥2)

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑔(𝑥1, 𝑥2)

Considérese el sistema dinámico siguiente:

Se pueden expandir las funciones no lineales f(x1,x2) y g(x1,x2) alrededor del punto (x1,0, x2,0) mediante una serie de Taylor despreciando los términos de segundo orden o superior.

𝑓 𝑥1, 𝑥2 ≈ 𝑓 𝑥1,0, 𝑥2,0 +𝑑𝑓

𝑑𝑥1 𝑥1,0,𝑥2,0

𝑥1 − 𝑥1,0 +𝑑𝑓

𝑑𝑥2 𝑥1,0,𝑥2,0

(𝑥2 − 𝑥2,0)

𝑔 𝑥1, 𝑥2 ≈ 𝑔 𝑥1,0, 𝑥2,0 +

𝑑𝑔

𝑑𝑥1 𝑥1,0,𝑥2,0

𝑥1 − 𝑥1,0 +𝑑𝑔

𝑑𝑥2 𝑥1,0,𝑥2,0

(𝑥2 − 𝑥2,0)


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Se puede expresar ahora el modelo linealizado en función de variables de desviación. El estado estacionario alrededor del cual se hace la linealización es (x1,s, x2,s). Por lo tanto, se puede reemplazar x1,0 = x1,s y x2,0 = x2,s. En estado estacionario:

𝑑𝑥1

𝑑𝑡= 𝑓 𝑥1,0, 𝑥2,0 +

𝑑𝑓

𝑑𝑥1 𝑥1,0,𝑥2,0

𝑥1 − 𝑥1,0 +𝑑𝑓

𝑑𝑥2 𝑥1,0,𝑥2,0

(𝑥2 − 𝑥2,0)

𝑑𝑥2

𝑑𝑡= 𝑔 𝑥1,0, 𝑥2,0 +

𝑑𝑔

𝑑𝑥1 𝑥1,0,𝑥2,0

𝑥1 − 𝑥1,0 +𝑑𝑔

𝑑𝑥2 𝑥1,0,𝑥2,0

(𝑥2 − 𝑥2,0)

0 = 𝑓(𝑥1,𝑠, 𝑥2,𝑠)

0 = 𝑔(𝑥1,𝑠, 𝑥2,𝑠)

Se pueden restar la ecuaciones de la siguiente manera: (3) – (5) y (4) – (6), con lo cual:

(3)

(4)

(5)

(6)

𝑑(𝑥1−𝑥1,𝑠)

𝑑𝑡=

𝑑𝑓

𝑑𝑥1 𝑥1,𝑠,𝑥2,𝑠

𝑥1 − 𝑥1,𝑠 +𝑑𝑓


(𝑥2 − 𝑥2,𝑠)

𝑑(𝑥2−𝑥2,𝑠)

𝑑𝑡=

𝑑𝑔


𝑥1 − 𝑥1,𝑠 +𝑑𝑔


(𝑥2 − 𝑥2,𝑠)


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Se definen las variables de desviación 𝑥1′ = 𝑥1 − 𝑥1,𝑠

𝑥2′ = 𝑥2 − 𝑥2,𝑠

𝑑𝑥1′

𝑑𝑡=

𝑑𝑓


𝑥1′ +𝑑𝑓


𝑥2′

Por lo tanto:

𝑑𝑥2′

𝑑𝑡=

𝑑𝑔


𝑥1′ +𝑑𝑔


𝑥2′

Las fórmulas pueden ser extendidas para incluir la presencia de más variables, tales como perturbaciones o variables manipuladas.


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Ejemplo 3.3: Linealización de un modelo de RCPA para una reacción exotérmica de primer orden con enfriamiento.

Desarrollo de un modelo del proceso: Balances de materia y energía

𝑑(𝜌𝑉)

𝑑𝑡= 𝜌𝐹𝑖 − 𝜌𝐹

𝑑(𝑐𝐴𝑉)

𝑑𝑡= 𝑐𝐴,𝑖𝐹𝑖 − 𝑐𝐴𝐹 − 𝑟𝑉

𝑑(𝜌𝑉𝐶𝑝𝑇)

𝑑𝑡= 𝜌𝐶𝑝𝐹𝑖𝑇𝑖 − 𝜌𝐶𝑝𝐹𝑇 + 𝑟𝑉 −∆𝐻 − 𝑈𝐴(𝑇 − 𝑇𝑐)

𝐴 + 𝐵 → 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑠

Balance de materia global:

Balance del componente A:

Balance de energía:

Es una simplificación. (Se debe usar ΔTml y efectuar un balance de energía en el serpentín) Ver Libro de D. de Procesos (Canales y Melo)


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Si se supone que el flujo de entrada es igual al de salida (F = Fi), el balance de materia global tiene solución trivial y quedan dos ecuaciones que gobiernan el comportamiento dinámico del reactor.

𝑑𝑐𝐴

𝑑𝑡=

𝐹


𝐹

𝑉𝑐𝐴 − 𝑘0𝑒


𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑇𝑖 −

𝐹

𝑉𝑇 + 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇

(−∆𝐻)

𝜌𝐶𝑝𝑐𝐴 −

𝑈𝐴

𝜌𝐶𝑝𝑉 (𝑇 − 𝑇𝑐)

Dado que F = Fi, el volumen es constante. Si se supone que los parámetros k0, E, -ΔH, ρ, Cp, U son constantes, las variables de proceso son: T, Ti, Tc, cA y cA,i. El modelo es no lineal debido a la presencia del término: 𝑒


Entonces, para linealizar el modelo basta linealizar ese término alrededor de un punto Ts, cA,s, que son las condiciones en estado estacionario.


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Se puede entonces sustituir esta aproximación en el modelo, con lo cual se obtiene el modelo linealizado del reactor:

𝑒−𝐸𝑅𝑇𝑐𝐴 ≈ 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐𝐴,𝑠 +

𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐𝐴,𝑠 𝑇 − 𝑇𝑠 + 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠(𝑐𝐴 − 𝑐𝐴,𝑠)

Recordando las definiciones de la página 14:

𝑑𝑐𝐴

𝑑𝑡=

𝐹


𝐹

𝑉𝑐𝐴 − 𝑘0 𝑒


𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒


−𝐸𝑅𝑇𝑠(𝑐𝐴 − 𝑐𝐴,𝑠)

𝑑𝑇

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑇𝑖 −

𝐹

𝑉𝑇 + 𝑘0

(−∆𝐻)

𝜌𝐶𝑝𝑒


𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒


−𝐸𝑅𝑇𝑠(𝑐𝐴 − 𝑐𝐴,𝑠) −

𝑈𝐴

𝜌𝐶𝑝𝑉 (𝑇

− 𝑇𝑐)


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Se pueden escribir las ecuaciones diferenciales de la página anterior de una manera más conveniente en términos de variables de desviación. Para ello se deben escribir las ecuaciones diferenciales originales en estado estacionario, esto es, haciendo cero las derivadas con respecto al tiempo.

0 =𝐹

𝑉𝑐𝐴,𝑖,𝑠 −

𝐹

𝑉𝑐𝐴,𝑠 − 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐𝐴,𝑠

0 =𝐹

𝑉𝑇𝑖,𝑠 −

𝐹

𝑉𝑇𝑠 + 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑆

(−∆𝐻)

𝜌𝐶𝑝𝑐𝐴,𝑠 −

𝑈𝐴

𝜌𝐶𝑝𝑉 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑐,𝑠)

Estas ecuaciones están definidas en un estado estacionario arbitrario: Ts, Ti,s, Tc,s, cA,s y cA,i,s.

Se restan estas ecuaciones a las ecuaciones diferenciales linealizadas y se definen las variables de desviación siguientes: 𝑇′ = 𝑇 − 𝑇𝑠

𝑇𝑖′ = 𝑇𝑖 − 𝑇𝑖,𝑠

𝑇𝑐′ = 𝑇𝑐 − 𝑇𝑐,𝑠

𝑐𝐴′ = 𝑐𝐴 − 𝑐𝐴,𝑠

𝑐𝐴,𝑖′ = 𝑐𝐴,𝑖 − 𝑐𝐴,𝑖,𝑠


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La forma linealizada y en variables de desviación del modelo del reactor exotérmico con refrigeración es el siguiente:

𝑑𝑐𝐴′

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑐𝐴,𝑖

′ −𝐹

𝑉𝑐𝐴

′ −𝑘0𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐𝐴,𝑠 𝑇′ − 𝑘0𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠 𝑐′𝐴

𝑑𝑇′

𝑑𝑡=

𝐹

𝑉𝑇′𝑖 −

𝐹

𝑉𝑇′ + 𝑘0

−∆𝐻

𝜌𝐶𝑝

𝐸

𝑅𝑇𝑠2 𝑒

−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐𝐴,𝑠𝑇

′ + 𝑒−𝐸𝑅𝑇𝑠𝑐′

𝐴 −𝑈𝐴

𝜌𝐶𝑝𝑉 (𝑇′ − 𝑇′𝑐)

Ejercicio: Obtener estas ecuaciones mediante las definiciones de la página 15.

𝑐′𝐴 0 = 0 ; 𝑇′ 0 = 0


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¿Cuál linealización es más útil? ¿Alrededor del punto A o B?

¿Cuál de estos modelos es no lineal y cual es lineal?


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Linealice los siguientes modelos

a)

b)

c)


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Un estanque de aire comprimido alimentado por un compresor es perforado por una bala disparada por un ladrón.

Desarrolle un modelo físico para la variación de presión del estanque en el tiempo y obtenga una aproximación lineal alrededor del estado inicial p = 500 kPa manométricos

wi: Flujo de entrada desde el compresor (kg/s) V: Volumen del estanque (1,5 m3) A: Área de la perforación (0,785 cm2) M: Peso molecular del aire (29 kg/kmol) R: Constante de los gases ideales (8,314 kPa m3/(kmol K) po: Presión exterior (101,3 kPa) T: Temperatura (30°C).

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