Diplomado en Ing. Mecánica

Función polinomial

La función:

se conoce como función polinomial de n–simo

grado.

También se hará referencia a P(x) como un

polinomio de grado n

Los números an, an-1, ..., a1, a0 se llaman

coeficientes del polinomio y pueden ser reales o

complejos.

Definición

01

1

1 ...)( axaxaxaxP n

n

n

n

Las soluciones de la ecuación las llamamos

raíces de la función P. Si los coeficientes de

la función son reales y la raíz también,

tendríamos un cruce por el eje x de la gráfica

de la función.

El dominio de la función puede ser el conjunto

de los números reales o el conjunto de los

números complejos.

Los métodos numéricos son técnicas

mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma

que puedan resolverse usando

operaciones aritméticas.

Importancia de los Métodos

Numéricos

Una definición de análisis numérico

podría ser el estudio de los errores en

los cálculos;

error aquí no quiere decir, equivocación

u omisión, sino más bien una

discrepancia entre el valor exacto y el

calculado, que es consecuencia de la

manera con que se manejan los

números o fórmulas.

Análisis Numérico

– Cálculo de derivadas

– Integrales

– Ecuaciones diferenciales

– Operaciones con matrices

– Interpolaciones

– Ajuste de curvas

– Polinomios

– Los métodos numéricos se aplican en áreas

como:

– Ingeniería Industrial, Ingeniería Química,

Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica,

Ingeniería eléctrica, etc...

Los métodos numéricos pueden ser aplicados

para resolver procedimientos matemáticos en:

Teorema del Residuo:

El residuo de la división del

polinomio P(x) entre el binomio x

- c es P(c).

Es decir el residuo se obtiene

sustituyendo el valor de “c” en

el polinomio.

Ejemplo: Determine el residuo de la división de

P(x) = x3 - 3x2 + x + 5 entre x - 2.

De acuerdo con el teorema del residuo:

R = P(2) = (2)3 – 3(2)2 +(2) +5 = 8 – 12 +2 +5 =

3

Comprobando por división sintética:

2| 1 -3 1 5

2 -2 -2

------------------

1 -1 -1 | 3 Residuo

Teorema del Factor:

Si el residuo de la división del polinomio

P(x) entre el binomio x - c es 0, entonces

x – c es un factor de P(x).

Se busca el residuo, empleando el

teorema del residuo o la división

sintética, si su valor es 0, entonces el

binomio x – c es un factor de P(x).

Ejemplo: Determine si x + 1 es un factor del polinomio

P(x) = 2x3 + x2 + 3x + 4

Buscamos el residuo:

Por el teorema del residuo:

R = P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 +3(-1) +4 = -2 + 1 - 3 + 4

= 0 x + 1 es factor.

Por división sintética:

-1| 2 1 3 4

-2 1 -4

--------------------

2 -1 4 |0 Residuo x + 1 es factor

Ejercicio: Halle una ecuación polinómica de grado 3, con coeficientes

enteros, que tenga como raíces o soluciones a: -1, 3 y -2.

Seleccionamos una variable que puede se la x. Se cumple que x = -1,

x = 3, x = -2 son soluciones de la cuación.

Planteamos entonces x + 1 = 0 , x – 3 = 0 , x + 2 = 0 y escribimos la

ecuación en forma factorizada ( x + 1 ) ( x – 3 ) ( x + 2 ) = 0

resolvemos ( x2 – 2x – 3 ) ( x + 2 ) = 0

x3 + 2 x2 – 2 x2 – 4 x – 3x – 6 = 0

x3 – 7 x – 6 = 0 Ecuación pedida.

Si hay coeficientes fraccionarios, se multiplica toda la ecuación por el

mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

Si una raíz o solución es doble se pone el factor elevado al cuadrado.

Ejercicio: Resuelva la ecuación x3 – 4 x2 + x + 6 = 0 sabiendo que -1 es

una raíz o solución.

Efectuamos la división sintética de P(x) = x3 – 4 x2 + x + 6 entre x + 1

-1 | 1 - 4 1 6 Escribimos:

- 1 5 - 6 x3 – 4 x2 + x + 6 = ( x + 1 ) ( x2 – 5 x + 6 )

1 - 5 6 | 0 | = 0

( Dividendo = divisor x cociente + residuo )

entonces x2 – 5 x + 6 = 0 y resolvemos ya

sea factorizando o por la fórmula cuadrática.

En este caso factorizamos:

( x – 2 ) ( x - 3 ) = 0 ; x = 2 , x = 3.

Conjunto solución: S = { - 1, 2, 3 }

Ejemplo:

15624 234 xxxx 5x

4 2 –6 –5 1

4

20

22

110

104

520

515

2575

2576

5

2576551510422415624 23234 xxxxxxxx

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir :