DISEÑO A FLEXIÓN.docx

8/17/2019 DISEÑO A FLEXIÓN.docx

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ESTRUCTURAS ESPECIALES

NIVERSIDAD MAYOR REAL Y PONTIFICIA DE SAN

FRANCISCO XAVIER DE CH Q ISACA

FAC. DE INGENIERÍA CIVIL

DISEÑO A FLEXIÓNCARRERA: ING. CIVIL

UNIVERSITARIOS: CARLO AYAVIRI GONZALO

FLORES PICHA IVAN ISRAEL

MATERIA: ESTRUCTURAS ESPECIALES CIV-307

DOCENTE: ING.WÁLTER NIEVES SANDI

FECHA:2903!"

SUCRE- #OLIVIA

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Ing. Civil


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20!"

DISEÑO A FLEXIÓN

1. INTRODUCION.1.1 OBJETIVOS.

1.1.1Objetivo gene!".

Calcular y diseñar a flexión una viga no preesforzada de hormigón armado de secciónrectangular y sección T.

1.1.# Objetivo e$%e&'(i&o.

• Utilizar los conocimientos de resistencia de materiales para el análisis.• Emplear la norma de concreto estructural AC !"#$%&'"( en un e)ercicio en el cual se

aplicó la norma AC !"#%&'"".

1.# BREVE RESEÑA )ISTORICA.

Fig*!. #.1 *as primeras vigas empleadas fueron de madera

*a viga es un elemento fundamental en la construcción+ sea ,sta de la -ndole ue fuera. $erá eltipo+ calidad y fin de la construcción lo ue determinará medidas+ materiales de la viga+ y so/retodo+ su capacidad de sostener y contener pesos y tensiones.

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Una viga está pensada para soportar no sólo presión y peso+ sino tam/i,n flexión y tensión+seg0n cuál finalidad predomine será el concepto de viga para ingenier-a o aruitectura+ ue predomine. En principio+ es importante definir ue en la teor-a de vigas se contempla auelloue es denominado 1resistencia de los materiales2. As-+ es posi/le calcular la resistencia del

material con ue está hecha la viga+ y además analizar la tensión de una viga+ susdesplazamientos y el esfuerzo ue puede soportar. A lo largo de la historia de la construcción sehan utilizado vigas para innumera/les fines y de diferentes materiales. El material por antonomasia en la ela/oración de vigas ha sido la madera dado ue puede soportar todo tipo detracción+ incluso hasta esfuerzos muy intensos sin sufrir demasiadas alteraciones+ y como noocurre con otros materiales+ como cerámico o ladrillos próximos a ue/rarse ante determinadas presiones u, s- soporta la viga de madera.

*a madera es un material de tipo ortotrópico ue presenta+ seg0n de u, se o/tenga+ diferentesniveles de rigidez. Esta mayor o menor rigidez es la ue dará a la viga su fortaleza. Con losavances tecnológicos y el desarrollo industrial+ las vigas pasaron a ela/orarse de hierro y luego+de acero. El acero es un material isotrópico+ y las vigas de acero tienen+ por e)emplo+ respectodel hormigón una mayor resistencia+ pero menor peso+ y puede resistir tanto tracciones comocompresiones.

El hormigón como material de llenado y conformación de vigas+ se comenzó a utilizar en elsiglo 33 antes del uso del acero y casi paralelamente a la implementación del hierro comomaterial de ela/oración de las vigas. Una aplicación histórica y fundamental de la viga+ particularmente de madera+ ha sido en miner-a. El uso de vigas de diferente cali/re para el

sost,n de los t0neles cavados en la tierra es sin dudar uno de los fines más identificados a lasvigas.

+in&i%!"e$ *$o$ ,e "!$ vig!$ ,e -!,e! /ieo 0 !&eo.*a viga es una estructura horizontal ue puede sostener carga entre dos apoyos sin crear empu)e lateral en ,stos. El uso más imponente de una viga+ tal vez sea el ue aplica a laestructura de puentes. $u diseño de ingenier-a descansa )ustamente so/re vigas de calidades ytamaños acordes al tipo y uso de puente ue se desea construir. Esta estructura desarrollacompresión en la parte de arri/a y tensión en la de a/a)o. 4ensemos ue los primeros puentesde la humanidad fueron construidos con vigas de madera5 primitivos troncos o vigas ue un-an

dos orillas. Con vigas de ese material se siguió por siglos. Uno de los más famosos en laantig6edad es el del persa 7er)es en (#"ac construido a trav,s del 8elesponto hecho con vigasde tronco y ramas. Es en "#(' ue se construye en nglaterra el primer puente de vigas dehierro for)ado. *uego los puentes llegaron a aduirir dimensiones fastuosas5 como tal vez dosde los más impresionantes hasta ahora diseñados+ el de 9roo:lyn en ;ueva rancisco+ construidos con vigas de acero. < tam/i,n recordemos los puenteslevadizos+ como el ue está en ?-o de 7aneiro con un vano hecho con una viga ca)ón ue

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tra/a)a como viga continua+ ue alzada de)a pasar la navegación del r-o =uana/ara.>inalmente+ uno de los usos art-sticos de las vigas es las vigas alveolares. *as vigas alveolares permiten acceder a nuevas formas de arte+ un aligeramiento en las l-neas y vanos de mayoresdimensiones+ uniendo con más armon-a los espacios. ;uevas inspiraciones aruitectónicas

parten de la elección de estas vigas alveolares+ ue como lo indica su nom/re+ se fa/rican a partir de perfiles en 8 laminados en caliente ue se cortan seg0n un patrón predeterminado y sesueldan reconformando una pieza en forma de T. Estas vigas poseen alv,olos circulares+hexagonales u octogonales+ siendo de especial aplicación en las estructuras de cu/iertas enconstrucciones art-sticas. A su vez+ la explotación de minas minerales ha sido asistida desde sus principios por el soporte de las vigas generalmente a)ustadas con gruesas cuerdas a los tirantesde los techos en los socavones de los t0neles.

Actualmente+ y como una actualización tecnológica en la construcción existe un tipo de vigareticulada electrosoldada de acero formada por un alam/re longitudinal superior+ a todo ellargo de la viga+ y dos alam/res de acero inferiores de conformación nervurada+ separadosentre s- y unidos por dos estri/os continuos de alam/re del mismo material a manera de zigzagunificados a am/os lados de la estructura de la viga y soldados en cada encuentro. Este tipo deviga tiene la posi/ilidad de a/sor/er los esfuerzos de flexión ue se presentan en los premoldeados y la convierte en una óptima solución para guardar el riesgo de la viga decualuier movimiento o iza)e+ evitar las marcas ue de)an en los cielorrasos las vigas comunesy me)orar el comportamiento de las vigas en las estructuras de tipo s-smicas.

1. DEFINICIONES 2 3ENERALIDADES.

L! vig!4

*as vigas son una parte importante en muchos tipos de proyectos de construcción ya seanresidenciales+ comerciales o p0/licos. Estas proporcionan el soporte para los pisos y los techosy vienen en una amplia variedad de formas.

A los constructores aficionados se les sugiere ue consulten con un ingeniero estructural alintentar decidir u, tipo de vigas utilizar en sus proyectos. $in em/argo+ una comprensióngeneral de los tipos de vigas disponi/les puede resultar 0til.

*as vigas se emplean en las estructuras de edificios+ para soportar los techos+ a/erturas+ comoelemento estructural de puentes.

En los puentes+ transportan las cargas de compresión en la parte superior del puente+ y las detracción en la parte inferior.

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*as vigas alveolares permiten aligerar sus l-neas y realizar los vanos más grandes. $econstruyen con perfiles 8+ laminados en caliente. *os alv,olos pueden ser de forma circular+hexagonal u octogonal.

Ti%o$ ,e vig!$4

Vig*et!$.*as viguetas son las vigas ue están colocadas de forma cercana entre ellas para soportar eltecho y el piso de un edificio. @ado ue frecuentemente corren a lo largo del exterior de unedificio )unto con el interior+ como es estructuralmente necesarioB son las vigas ue la genteseguramente o/serva en un edificio sin terminar.

Dinte"e$.*os dinteles son las vigas ue se pueden ver so/re las a/erturas en una pared de mamposter-a+

tales como ventanas y puertas.

Vig!$ ,e t'-%!no.

*as vigas de t-mpano soportan las paredes exteriores de un edificio y tam/i,n pueden soportar parte del techo en los pasillos. 4or e)emplo+ ,stas son las vigas ue corren hacia arri/a a trav,sdel n0cleo hueco ue hacen los ladrillos en una pared+ añadiendo soporte adicional yesta/ilidad al mortero y manteniendo los ladrillos )untos.

Vig!$ ,e %i$o.

Al contrario de los largueros+ las vigas de piso corren perpendiculares al camino+ completandoel patrón en forma de cruz ue ves cuando o/servas de/a)o de un puente. *as vigas de pisofuncionan para transferir la tensión de los largueros a las armaduras ue soportan el puente.

A-!,*!$.

*as armaduras+ o puntales+ se forman cuando los extremos de dos vigas se encuentran y estánunidas una a la otra. El ángulo puede variar+ y el propósito de estas estructuras es ayudar asoportar cargas.

#. ES+ECIFICACIONES CONSTRUCTIVAS 3ENERALES.

Re5*i$ito$ gene!"e$.

*as especificaciones constructivas para vigas se usaran del código AC !"#$%&'"(.

. ANALISIS DE VI3AS RECTAN3ULARES 2 VI3AS T A FLEXION.

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.1Con$i,e!&ione$ gene!"e$.

Como /ase de análisis se utilizara la resistencia de materiales mediante la supervisión deefectos de los diversos esfuerzos ue se presentaran en una viga.

.# Not!&i6n.

aD profundidad del /loue de compresión euivalente de esfuerzos en cm.

A sD área de refuerzo longitudinal no preesforzado a tracción+ cm&.

A’ sD área del refuerzo a compresión+ cm&.

A s,minD área m-nima de refuerzo de flexion+cm&.

b D ancho de la cara en compresión del miem/ro+ cm.

b f D ancho efectivo del ala en una sección en T+ cm.

bwD ancho del alma o diámetro de la sección circular+ cm.

b1D dimensión de la sección cr-tica bo medida en la dirección de la luz para la cual se determinan los momentos+ cm.

b2D dimensión de la sección cr-tica bo medida en dirección perpendicular a b1+ cm.

c D distancia medida desde la fi/ra extrema en compresión al e)e neutro+ cm.

cc D recu/rimiento li/re del refuerzo+ cm.

C D fuerza de compresión ue act0a en una zona nodal+ cm.

d D distancia desde la fi/ra extrema en compresión hasta el centro-de del refuerzolongitudinal en tracción+ cm.

d’ D distancia desde la fi/ra extrema en compresión al centroide del refuerzo longitudinal

en compresión+ cm.

E c D módulo de elasticidad del concreto+ :gcm&.

E cbD módulo de elasticidad del concreto de la viga+ :gcm&.

E sD módulo de elasticidad del refuerzo y del acero estructural+ excluyendo el refuerzo

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preesforzado+ :gcm&.

f’c D resistencia especificada a la compresión del concreto+ :gcm&.

f’s D esfuerzo en el refuerzo a compresión /a)o cargas mayoradas+ excluyendo el acero de preesforzado+ :gcm&.

f yD resistencia especificada a la fluencia del refuerzo no preesforzado+ :gcm&.

h D espesor total o altura de un miem/ro+ cm.

ℓ D luz de la viga o losa en una dirección proyección li/re del voladizo+ cm.

ℓ n D luz li/re medida entre caras de los apoyos+ cm.

M nD resistencia nominal a flexión en la sección, :g.cm.

M uD momento mayorado en la sección+ :g.cm.

nD n0mero de unidades+ tales como ensayos de resistencia+ /arras+ alam/res+ dispositivosde ancla)e para torones individuales+ ancla)es+ o /razos de una ca/eza de cortante.

s D espaciamiento medido centro a centro de unidades tales como refuerzo longitudinal+

refuerzo transversal+ tendones de preesfuerzo+ alam/res+ o ancla)es+ cm.

sF D distancia li/re entre almas de vigas adyacentes+ cm.

T D fuerza de tracción ue act0a so/re una zona nodal+ ;. T tam/i,n se utiliza para definir*os efectos acumulativos en servicio de variación de la temperatura+ flu)o plástico+retracción+ asentamientos diferenciales+ y concreto de compensación de retracción en lasCom/inaciones de carga definidas en AC%G.!.HB.

x D menor dimensión de la parte rectangular de una sección transversal+ cm.

y D mayor dimensión de la parte rectangular de una sección transversal+ cm.

β 1D factor ue relaciona la profundidad de /loue rectangular euivalente de esfuerzos de Compresión con la profundidad del e)e neutro.

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ɛ D deformación unitaria neta en tracción en el acero longitudinal extremo en tracción+ enel estado de resistencia nominal+ excluyendo las deformaciones unitarias causadas por

preesfuerzo efectivo+ flu)o plástico+ retracción de fraguado+ y variación de temperatura.

!D cuant-a del refuerzo As evaluada so/re el área /d. !’ D cuant-a del refuerzo A2s evaluada so/re el área /d.

"D factor de reducción de resistencia.

. An7"i$i$

Figura 3.1: @iagrama Iomento%curvatura para una viga

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Figura3.2. Comportamiento de vigas de concreto reforzado al incrementar la carga.

Figura 3.3: Iodelos elasto % para/olico y trilineal de descripción de la curva esfuerzo%deformación del hormigón.

En vigas de sección rectangular sometida a flexión+ y se uisiera analizar el comportamiento enuna sección transversal especifica por e)emplo la sección más solicitada de la vigaB+ una partede esa sección transversal estará sometida a esfuerzos y deformaciones de compresión demagnitud varia/le+ mientras ue otra parte de la viga estará sometida a solicitaciones detracción. *a resistencia del hormigón a tracción puede considerarse nula pues luego de su

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fisurasión esas tensiones desaparecen y son reemplazadas por tracciones en el acero derefuerzo.

..1 )i%6te$i$ %!! ,ete-in! "! e$i$ten&i! no-in!" ! "! ("e8i6n

• *a fuerza de compresión del concreto de/e ser menor a

J

c f

.• El concreto tiene una resistencia a la tracción muy peueña+ agrietamiento del "' a "GK

de su resistencia

J

c f

. 4or lo ue en los cálculos se asume ue el acero toma toda lafuerza total en tracción y se desprecia la resistencia a la tracción del concreto encálculos de resistencia a flexión y resistencia axial LAC&&.&.&.&9.

• *a relación esfuerzo deformación del concreto se considera lineal solo hasta el G'K de

su resistencia

J

c

f

.• El código AC !"#$%"( esta/lece ue cuando un elemento tra/a)a a flexión+ el

hormigón en la zona de compresión no de/e so/repasar de una deformación máxima

unitaria ɛB de '.''!+ LAC&&.&.&."9 lo ue representa una posición conservadora para

hormigones de hasta (&' Mgcm& de resistencia caracter-stica estos hormigones tienendeformaciones unitarias de rotura superiores a '+''! seg0n los ensayos de la/oratorioB+y una posición a)ustada a los resultados experimentales para hormigones entre (&'Mgcm& y GH' Mgcm& de mayor resistencia en estos hormigones de deformaciónmáxima es del orden de '+''!B.

• $imultáneamente los códigos fi)an en sus especificaciones ue de/e cumplirse ue todo

el acero de tracción de/e superar el esfuerzo de fluencia yε

B+ en proporciones uedependen de ue la estructura se u/iue en zonas s-smicas o zonas no s-smicas.

$eg0n el m,todo de factores de carga y resistencia para el diseño nos interesa conocer cómo seencuentra la sección en el estado de falla+ a continuación ilustramos esta condición para unasección simplemente reforzada.

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Figura 3.4: Niga simplemente apoyada con carga uniformemente distri/uida y diagrama demomentos flectores.

Figura 3.5: @iagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o cargas 0ltimas.

@e/ido a ue las deformaciones unitarias ε

B son proporcionales a la distancia respecto al e)eneutro E.;.B+ el diagrama de compresiones por flexión tiene la misma geometr-a ue eldiagrama esfuerzo O deformación del hormigón a compresión.

En la zona de tracción se supone ue el hormigón se ha fisurado totalmente y ue no cola/oraen la capacidad resistente+ por lo ue solamente el acero tra/a)a a tracción LAC &&.&.!P.

*a fuerza de tracción TB+ dado ue el acero de/e encontrarse en fluencia+ se calcularápidamente mediante la siguiente expresión5

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T#As.fy

4or euili/rio de fuerzas horizontales la magnitud de la fuerza de compresión de/e ser igual ala magnitud de la fuerza de tracción5

C#T

..# E" b"o5*e ,e &o-%e$i6n ,e :/itne04

*a distri/ución real de los esfuerzos en la sección tiene una forma para/ólica Qhitney propusoasumir como un /loue rectangular.

*os aspectos matemáticos del mane)o de la curva esfuerzo%deformación del hormigón en lazona comprimida del hormigón sometido a flexión pueden ser comple)os. El @r. Qhitney propuso la utilización de un /loue de compresión rectangular cuya área sea euivalente a la

ue ueda /a)o la curva real+ y cuyo centro de gravedad coincida aproximadamente con elcentro de gravedad de la curva real. *a investigación del @r. Qhitney fue acogida por el ACLAC &&.&.&.!P.

Figura 3.6: ?ectángulo de compresión euivalente /a)o cargas 0ltimas.

$e de/e suponer un esfuerzo de

J

'.#G c f uniformemente distri/uido en una zona de compresión

euivalente+ limitada por los /ordes de la sección transversal y por una l-nea recta paralela ale)e neutro+ u/icada a una distancia RaS de la fi/ra de deformación unitaria máxima en

compresión. LAC &&.&.&.(."P.

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Esfuerzos

equivalent

Secc.

Transversal

de viga

Diagrama

de

deformaci

Esfuerzos

reales en

la seccin


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*a altura del /loue de compresión rectangular euivalente de acuerdo al modelo deQhitneyB+ para secciones transversales rectangulares+ se calcula mediante la siguiente

expresión5"

a cβ = × LAC &&.&.&.(."P5

*os valores

J

"β

de de/en estimarse de acuerdo con la siguiente ta/la LAC &&.&.&.(.!P5

Tabla 3.1: $alo%es del coeficiene

J

"β

&a%a la dis%ibución %ecan'ula% e(ui)alene de

esfue%*os en el conc%eo.

(;&&-#?

J

"β

"'

J

c f

'

'.#G

'

J

c f

GG'

J'.'G 'B

'.#G'

c f −−

J

c f

VGG'

'.HG

8asta resistencias de ' Mgcm&+ el valor de

J

"β

es de '.#G+ y por cada incremento de

resistencia de ' Mgcm&+

J

"β

decrece en '.'G+ sin /a)ar de '.HG. 4ara valores de resistenciaintermedios se de/e realizar una interpolación lineal.

*os ensayos experimentales han demostrado ue el modelo de Qhitney es conservador encuanto al cálculo de la magnitud de la fuerza de compresión+ lo ue provoca ue la verdadera posición del e)e neutro sea ligeramente superior a la ue aparece en los cálculos. Ese hecho es

/eneficioso desde el punto de vista de aseguramiento de la ductilidad de las estructuras dehormigón armado.

.@ VI3A SI+LEENTE REFORADA

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"a cβ = ×


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Figura 3.7 5 $ección de viga simplemente reforzada.

$i asemos el euili/rio en la sección tenemos lo siguiente5

Cc # T

'.#G 2 . . .

.

'.#G 2 .

f c a b As fs

As fsa

f c b

=

=

@onde RaS es la profundidad del /loue euivalente en compresión del concreto+ notaremosue el valor fs depende de la deformación alcanzada por el acero siendo su mayor valor suesfuerzo de fluencia fy.

Es de lo anterior ue se conci/e tres tipos de falla en una sección de viga simplementereforzada5

1. F!""! ,&ti".$e conoce como falla d0ctil cuando el acero en tracción ha llegado primeroa su estado de fluencia antes ue el concreto inicie su aplastamiento en el extremo

comprimido + o sea cuando en la falla s yε ε >

+LAC%?&'.&.&."P donde yε

es el valor de la

deformación para el cual se inicia la fluencia.

% $i la cantidad de acero es peueña+ el /loue de compresión será peueño y el e)e

neutro ascenderá como se ve en la siguiente figura.

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=0.003303 f’c

0.85f’ ’’’’’c

C C

c a

E.N.

T T

s=εy y


Figura 3.8: @iagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o cargas 0ltimas en vigascon armadura de tracción peueña.

El ascenso del e)e neutro proporcionará deformaciones unitarias importantes al acero+ lo ueasegura ue el acero incursione ampliamente en la zona de fluencia+ conduciendo a uncomportamiento d0ctil de la sección analizada+ conforme lo esta/lecen los códigos de diseño.

#.F!""! B!"!n&e!,!. $e conoce como falla /alanceada si simultáneamente se inicia lafluencia del acero y el aplastamiento del concreto+ es decir cuando en la falla ocurre ue

s yε ε =.

Figura 3.9: @iagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o cargas 0ltimas en vigascon armadura de tracción necesaria.

En este caso se dará la falla simultánea de los materiales tanto del acero como del hormigón+ yue es lo más aconse)a/le ue ocurra la falla /alanceada.

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. F!""! F7gi". $e conoce como falla frágil si primeramente se inicia el aplastamiento delconcreto antes ue el inicio de la fluencia del acero en tracción+ es decir cuando en la falla

s yε ε <+LAC%?&'.&.&."P

Claramente se puede o/servar ue si la viga tiene una armadura importante de tracción+el /loue de compresión será tam/i,n grande y el e)e neutro tenderá a descender .

Figura 3.10+ @iagrama de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o cargas 0ltimas en vigascon armadura de tracción importante.

El descenso del e)e neutro puede conducir en caso extremo a ue la deformación unitaria enel acero sea peueña y el acero no alcance el esfuerzo de fluencia+ lo ue lleva a uncomportamiento frágil de la sección transversal+ en contraposición con las especificaciones delos códigos de diseño.

NOTA4 En definitiva+ es la cantidad de acero de tracción la ue controla el tipo de falla de lasestructuras /a)o solicitaciones flexionant,s. Contrariamente a lo ue se podr-a pensar+ el excesode armadura de tracción puede ser per)udicial para el comportamiento de una estructura dehormigón armado+ al volver más frágil.

[email protected]. C*!nt'! ,e" !&eo en t!&&i6n.

En una viga+ la cuant-a de armado en tracción es el cociente entre la sección transversal de

acero y la sección efectiva de hormigón se representa con el s-m/olo R B ρ

S.

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s A

b d ρ =

×


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@onde5

As5 $ección transversal de acero de tracción

/5 9ase de la sección rectangular

d5 Altura efectiva de la sección rectangular distancia desde el centro de gravedad de lasvarillas de acero hasta la fi/ra comprimida extrema de hormigónB

Figura 3.11: $ección transversal de viga con cuant-a de acero a tracción

< se define como cuant-a mecánica o -ndice de refuerzo Bω

a5

J

y

c

f

f ω ρ =

.@.# Con,i&i6n ,e (!""! b!"!n&e!,!.

@eterminaremos el valor de la cuant-a para la cual la sección se encuentra en la falla /alanceada por lo ue existirá un valor de As, a, c+ para el estado /alanceado.

*a cuant-a /alanceada es la cuant-a de armado en una viga ue simultáneamente provoca ladeformación unitaria máxima permitida en el hormigón de compresión '.''!B+ y ue el acerode tracción empiece a fluir LAC &&.&.&P.

$e di/u)a la sección transversal en este caso una sección rectangularB de una viga con sudiagrama de deformaciones y de fuerzas para la condición /alanceada.

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Figura 3.12: @eformaciones unitarias+ esfuerzos y posición del e)e neutro para la cuant-a /alanceada.

*a deformación unitaria en el acero+ el instante de iniciar la fluencia se puede calcular con lasiguiente expresión5

y

y

,

f

E ε =

@e la figura se puede calcular la posición del e)e neutro por seme)anza de triángulos5

'.''!'.''! y

c d

ε +=

W

'.''!

'.''! y

c d ε

= ×+

Conocemos ue el valor del módulo de elasticidad del acero es5 EsD&2'''.''' :gcm & LAC&&.&.&.&P.

Entonces5

H& "'

y y

y

,

f f

E ε = =

×

Efectuando el reemplazo

yε

tenemos5

H'''

H''' y

c d f

= ×+

@ónde5 c es la distancia del e)e neutro a la fi/ra extrema en compresión en una sección concuant-a /alanceada.

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*a resultante de compresión en el hormigón es5

'+#G Jc cC f a b= × ×

*a relación entre la altura del /loue de compresión y la posición del e)e neutro es5"a cβ = ×

8aciendo el euili/rio+ CcDT y despe)ando As tenemos5

CcDT

"

"

'+#G J'+#G J

J X X 5 '.#G

J H''' XcX5 '.#G

H'''

cc s y s

y

c

s y

c s

y y

f a b f a b A f A

f

f %eem&la*ando a A b c

f

f %eem&la*ando A b d

f f

β

β

× × ×× × × = × ⇒ =

= × × × ×

= × × × × ÷ ÷+

si5 D sb A

b d ρ

×

>inalmente5

" Nalor de la cuantia /alancea

J H'''

'.#G H'' d' a

c

b y y

f

f f ρ β

= × × × ÷ ÷+

*a cuant-a o/tenida es la cuant-a /alanceada de una viga rectangular.

.. ANLISIS DE SECCIONES DE VI3A CON FALLA DGCTIL s yε ε >

.

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"

J H''' '.#G

H'''

cb

y y

f

f f ρ β

= × × × ÷ ÷+


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Figura 3.135 $ección de viga simplemente reforzada

4artiendo de nuestra expresión de euili/rio de fuerzas horizontales tenemos5

CcDT @onde5 fsDfy

'+#G J

X X se tiene5'+#G J

c s y

s y

c

f a b A f

A f des&e-ando a a

f b

× × × = ×

×=

× ×

*uego Tomando momentos respecto a un e)e ue pasa por el centroide del acero se puedecalcular el Iomento >lector ;ominal R Mn” .

&n c

a M C d = × − ÷

5 pero si el acero se encuentra a fluencia+ la fuerza de traccion T seria5 TDAc , y si C T f = ×

5&

n , y

a Enonces M A f d

= × × − ÷

El momento 0ltimo se calcula con5

IuD . Inϕ

?e 5&

u s y

aem&la*ando M A f d φ

= × × × − ÷

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@ónde5 es el factor de resistencia ue para vigas su valor es '.Y' LAC ta/la &".&."P.ϕ

@e la figura !. tam/i,n se puede expresar para el cálculo de acero de refuerzo5

J Ecuacion para diseño a flexion

I % C '&

'.#G&

.

n c

u n c

ad

a M M f b a d φ φ

× − = ÷

∴ ≈ = × × × × × − ÷

Una vez resuelto la ecuación de segundo grado reemplazar RaS en5

max max max

'+#G J

5

entons5 A si5 A

c c

c

y s

c,

y

C f b a

C lue'o f

A

C A b d

f ρ

= × × ×

=

= < = × ×

..1 Di$eHo %o ("e8i6n.

4ara el diseño por flexión de/emos sa/er ue el tipo de falla desea/le es la falla d0ctil con lacual la sección ha desarrollado grandes deformaciones.

El código AC da los l-mites de cuant-a para el diseño...1.1. C*!nt'!$ ,e !-!,o4

!.? C*!nt'!$ -78i-!$ ,e !-!,o en vig!$4

El AC esta/lece ue en zonas no afectadas por sismos+ o estructuras cuyo efecto s-smico esdesprecia/le+ la máxima cuant-a de armado permitida es el GK de la cuant-a /alanceada.

Este criterio asegura ue el acero entre en fluencia un poco antes de ue el hormigón ingreseen la zona de decrecimiento de capacidad resistente a la compresión+ con lo ue se logra uncierto nivel de ductilidad de las secciones antes de la falla.

*a cuant-a de armado del GK de la cuant-a /alanceada es euivalente a una deformaciónunitaria m-nima del acero de tracción de '.''!H.

1-2016

Ing. Civil

Ecuación


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Figura 3.14: @iagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o el GK de lacuant-a /alanceada.

Cuando se tra/a)a con aceros de (&'' Mgcm& de fluencia+ y se analizan los diagramasmomento%curvatura /ásicos+ utilizar el G K de la cuant-a /alanceada es euivalente aincrementar en un !!K la curvatura del hormigón armado antes de la falla+ con relación a lafalla /alanceada.

- C*!nt'!$ -78i-!$ %!! on!$ $'$-i&!$4

4ara zonas s-smicas la ductilidad de las secciones sometidas a flexiones se toma como cuant-a

máxima el valor de5max G'K b ρ ρ = ×

4ara secciones rectangulares y acero de (&'' Mgcm& de fluencia+ ue es el máximo permitido+el G'K de la cuant-a /alanceada es euivalente a una deformación unitaria m-nima del acero detracción de '.''.

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Ecuación (3.)


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Figura 3.15: @iagramas de deformaciones unitarias y de esfuerzos /a)o el G'K de la cuant-a /alanceada.

El criterio del G'K de la cuant-a /alanceada para zonas s-smicas permit-a la formación

progresiva de articulaciones plásticas en diferentes sectores de las estructuras aporticadas.

Cuando se tra/a)a con aceros de (&'' Mgcm& de fluencia+ y se analizan los diagramasmomento%curvatura /ásicos+ utilizar el G' K de la cuant-a /alanceada es euivalente aincrementar en un "!!K la curvatura del hormigón armado antes de la falla+ con relación a lafalla /alanceada

b.? C*!nt'!$ -'ni-!$ ,e !-!,o en vig!$4

En auellas vigas en ue las dimensiones geom,tricas superan a la capacidad resistentereuerida sin rotura por tracción del hormigón+ se de/erá proveer un armado m-nimo ue sea

capaz de a/sor/er+ con márgenes de seguridad apropiados+ la carga de tracción ue le estransferida el instante en ue el hormigón traccionado se fisura por falta de capacidad. *aincapacidad del acero de a/sor/er la totalidad de esa fuerza de tracción provocar-a una fallafrágil indesea/le de la viga.

*os códigos LAC Y.H.".&P esta/lecen ue el armado m-nimo de/erá ser5

J

minAs '.#'

c

w

y

f b d

f = × ×

@onde5

f’c+ resistencia caracter-stica del hormigón en Mgcm&

y+ esfuerzo de fluencia del acero en Mgcm&

bw+ ancho de la viga rectangular+ ancho del alma de la viga T o * cuando está en tracción elalma

d+ altura de la viga rectangular+ T o * *a cuant-a m-nima correspondiente es5

*a cuant-a m-nima correspondiente5

J

min '.#' c

y

f

f ρ = ×

En ning0n caso la sección de acero podrá ser menor ue5

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min

"( As Bw

y

b d f

= × ×

*a cuant-a m-nima correspondiente es5

min

"(

y f

ρ =

J

min min

"( '.#'

c

y y

f

f f ρ ρ = = ×

En si Amin de/e ser mayor ue las dos siguientesexpresiones5

Di-en$ion!-iento ,e *n! vig!

Teniendo estas consideraciones de cuant-a+ seleccionamos un valor para la cuant-a con el cualdimensionamos la sección.

$a/emos5

( )

J

JJ J

J

J J

& J

" & '+#G

luego5 I&

aD D'+#G

5 I " '+GY

y s yc

c c

u n s y

s y y

c c

u c

f A f M b d f d f f b

a M A f d

A f f

f b f

.inalmene b d f

φ ρ

φ φ

ρ ω

φ ω ω

× = × × × × × × − × ÷ ÷ ÷ × × = = × × × − ÷

× ×

× ×

= × × × × × −

Esta 0ltima expresión es la expresión de dimensionamiento+ donde los valores desconocidosson R/S y RdS+ los cuales el diseñador escogerá apropiadamente.

C7"&*"o ,e" A&eo

$e utiliza las ecuaciones o/tenidas de la figura !.

*a fórmula del /loue de compresión es5

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$i se conociera la altura del /loue de compresión RaS+ podr-amos determinar la magnitud dela sección de acero de tracción RAsS.

&

u s

y

M A

a f d φ

= × × − ÷

*as & ecuaciones !."" y !."&B expresan la interdependencia entre la sección de acero reuerida para a/sor/er un momento flector 0ltimo y la altura del /loue de compresión

4ara hallar el acero de refuerzo se sigue los siguientes pasos5

!.? +o&e$o ite!tivo

Una vez dimensionado la sección+ el cálculo del acero se efectuara simplemente haciendo unaiteración entre las siguientes dos expresiones5

J

'+#G&

s yu s

c y

A f M A a

a f b f d φ

×= =

× × × × − ÷

$e sugiere como primera aproximación ue RaS sea igual a RdGS

b.?C!"&*"!n,o "! &*!nt'! -e&7ni&! *$!n,o "! e8%e$i6n4

( )& J

J

I " '+GY '.Y'

y luego5

D

u c

c

y

s

b d f

/allamos

f

f

A b d

φ ω ω φ

ω

ω ρ

ρ

= × × × × × − =

×

= × ×

.. An7"i$i$ ,e $e&&ione$ $obe e(o!,!$. s yε ε <

.

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'+#G J

s y

c

A f a

f b

×=

× ×


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27/43


&

"'+#G J H H 'c s s f b a A a A d β × × × + × × − × × ×

@ónde5 f c2 está en toncm&+ si resolvemos la ecuación cuadrática o/tenemos el valor de RaS con

el cual o/tenemos el valor del momento ultimo resistente5

&

u n

u s s

M M

a M A f d

φ

φ

= ×

= × × × − ÷

.K. VI3A DOBLEENTE REFORADA

El acero ue se usa ocasionalmente en los lados de compresión de las vigas se denomina acerode compresión y a las vigas con acero de tensión y de compresión se las llama vigasdo/lemente reforzadas. El acero de compresión no es normalmente reuerido en seccionesdiseñadas por el m,todo de resistencia+ porue el uso de la resistencia total a compresión delconcreto decididamente disminuye la necesidad de tal refuerzo+ en comparación con losdiseños /asados en el m,todo de diseño de los esfuerzos permisi/les .$in em/argo+ ocasionalmente+ las vigas están limitadas a tamaños tan peueños por losreuisitos de est,tica o del espacio disponi/le+ ue el acero de compresión resulta necesarioademás del acero de tensión. 4ara aumentar la capacidad por momento de una viga más ue lade una reforzada sólo a tensión con el máximo porcenta)e de acero Lcuando ! " '.''GBP esnecesario introducir otro par resistente en la viga. Esto se logra agregando acero tanto en ellado de compresión como en el de tensión de la viga.El acero de compresión no sólo aumenta los momentos resistentes de las secciones de concreto+sino ue tam/i,n incrementa la magnitud de la curvatura ue un miem/ro puede a/sor/er antesde fallar por flexión. Esto uiere decir ue la ductilidad de tales secciones aumentaráaprecia/lemente. El acero de compresión hace a las vigas tenaces y d0ctiles+ permiti,ndolesresistir momentos y deformaciones grandes+ as- como inversiones de esfuerzos tales como losue podr-an ocurrir durante un sismo.

Como consecuencia+ muchos códigos de construcciones en zonas s-smicas reuieren ue

ciertas cantidades m-nimas de acero de compresión se incluyan en los miem/ros ue tra/a)an a>lexión.El acero de compresión es muy efectivo para reducir las deflexiones a largo plazo por contracción y fluencia plástica del concreto. *as varillas continuas de compresión tam/i,n son0tiles para armar y mantener en posición a los estri/os amarrándolos a las varillas decompresiónB durante el colado y vi/rado del concreto.

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El refuerzo en compresión sirve para controlar las deflexiones+ pues evita el acortamiento en eltiempo.

Ensayos de secciones con refuerzo en compresión muestran ue se retrasa el aplastamiento del

concreto+ la viga no colapsara si el acero está su)eto a esfuerzo transversal o estri/osconfinamientosB.

Una sección con refuerzo en compresión tiene una ductilidad mayor al de una secciónsimplemente reforzada+ este comportamiento es conveniente en zonas s-smicas donde se /uscauna redistri/ución de esfuerzos.

En las especificaciones de los códigos imponen criterios de diseño ue permiten ue+ a pesar de incrementar el armado de las vigas+ se mantengan los niveles de ductilidad ue son exigidos para las vigas ue solamente reuieren armadura de tracción.

Existen dos razones fundamentales por las cuales+ en una viga sometida a flexión se puedereuerir un diseño de sección do/lemente reforzadas+ en el ue aparte de la armadura detracción tradicional+ se utilice armadura sometida a compresión5

• 4orue existe un limitante máximo de tipo aruitectónico+ constructivo o funcional ue

impide ue la viga aumente sus dimensiones.• 4orue+ por aspectos constructivos o de diseño+ ya existe armadura de compresión y se

desea aprovechar su existencia o/ligatoria para disminuir el armado de tracción.

.K.1. An7"i$i$ ,e "! $e&&i6n ,e "! vig! ,ob"e-ente e(o!,!.

En las vigas do/lemente reforzadas se hace una hipótesis inicial de ue el acero de compresiónfluye tanto como el acero de tensión.

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Eje Neutro

0.003 0.85f'c

es

Cc

T1=As1f y As

A's a=B1cc

dh

T2=As2f y

Cs=A's.f's

(d-a2!(d-d'!

secc. tra"s#ersa$

#%&a

d%a&raa de

deforac%o"

u"%tar%a

esfueros

e)u%#a$e"tes

*

d' e's

Figura 3.17: @eformaciones y esfuerzos en vigas rectangulares con armadura de tracción y decompresión.

4ara el análisis empezaremos asumiendo ue el refuerzo en tracción está en fluencia+ el aceroen tracción compensa las fuerzas de compresión del concreto y el acero siendo estas fuerzasAs"f yB y As&f yB respectivamente tal como se muestra en la figura.

$i hacemos el euili/rio tenemos5

"

"

"

" &

" &

'+#G

'+#G

5 A

c , y

c , y

, y

c

s , ,

, y , y , y

C A f

f a b A f

A f

a f b

si A A

A f A f A f

= ×

× × × = ×

×= × ×

= −

× = × − ×

Tam/i,n por euili/rio tenemos5

J J

&

J J

"

J J

"

D

luego5 A D

tenemos5'+#G J

5

s y , s

, y s y , s

s y , s

c

A f A f

f A f A f

A f A f %eem&la*ando a

f b

,i a cβ

× ×

× × − ×

× − ×=× ×

= ×

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4ara encontrar el momento nominal+ /astara con sumar los momentos producidos por los paresde fuerza+ entonces5

"J J JB

&, y , y

a Mn A f d A f d d

= × − + × − ÷

( )J J J J JB&

, y , y , y

a Mn A f A f d A f d d

= × − × − + × − ÷

Empleando el diagrama de deformaciones unitarias y por seme)anza de triángulos tenemos5

'.''!

J J

'.''! JBJ

s

s

c

c d

c d

c

ε

ε

=−

−=

H &

&"

5 fJ J

JBfJ '.''! & "'

JBfJ H''' B

s s ,

s

s

ademas E

c d 0' cm

c

a d 0' cm

a

ε

β

= ×

−= × × ×

−= ×

$i f2s[fy WA2s está en fluencia+ por tanto f2sDfy+ sino se de/e escri/ir una nueva ecuación deeuili/rio ue suponga f2s\fy.

( ) H &"J

'.#G J J '.''! & "' :gcm, y c , c d

A f f c b Ac

β − = × × × × + × × × × ÷

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Figura 3.18.>uerzas y deformaciones unitarias internas para una viga rectangular do/lementereforzada.

.K.#. Dete-in!&i6n ,e "! &*!nt'! b!"!n&e!,!.

?ecordemos ue la cuant-a /alanceada se encuentra para el estado en ue empieza la fluenciadel acero en tracción.

8aciendo el euili/rio tenemos5

H

J

'+#G J J J aB

'.''! si5

'.''! & "'

H'''cD

H'''

c ,

, y c b s s

y y

y

y s

y

T C C

A f f b a A f

f f c

d E

d f

ε ε

= +

× = × × × + ×

= = =+ ×

×+

"

H'''

H'''b

y

a d f

β

= × × ÷ ÷+

?eemplazando en aB y dividiendo por /d5

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"

"

J J JH''' "'+#G

H'''

J

J

J JH'''donde5 '.#G J

H'''

, c s s

y y y

s

b b y

c sb

y y

A f A f b d

b d f f b d b d f

f

f

f A

f f b d

β

ρ ρ ρ

ρ β ρ

= × × × × × × + × ÷ ÷× + × ×

= + ×

= × × × = ÷ ÷+ ×

.K.#.1. C*!nt'! -78i-!.

!.? C*!nt'! -78i-! %!! vig!$ 5*e ,i$%onen ,e !-!,*! ,e &o-%e$i6n %!! on!$ no$'$-i&!$.

El cdigo #CI limita la cuant$a a una cuant$a m%&ima 'ermisi(le 'ara el dise)o de

vigas do(lemente reforzadas seg*n la siguiente e&'resin para zonas no afectadas por sismos5

max

J '.G J sb

y

f

f ρ ρ ρ ρ ≤ = × + ×

ónde+ ] /5 Cuana balanceada de a%mado a %acción

]J5 Cuana de a%mado a com&%esión

A partir de la Ecuación !."(B+ si el acero de compresión se encuentra en fluencia+ el nivel deductilidad será igual al logrado en vigas sin armadura de compresión.

$in em/argo+ si el acero de compresión no alcanza el esfuerzo de fluencia antes ue elhormigón llegue a su máxima deformación esto ocurre particularmente en vigas de peralte

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limitado en edificaciones peueñasB+ los niveles de ductilidad pueden reducirse en algunamagnitud con relación a las vigas ue tienen solamente armadura de tracción+ pues el e)eneutro de/erá descender para compensar la fuerza horizontal de compresión ue no puede proveer el acero.

b.? C*!nt'! -78i-! %!! vig!$ 5*e ,i$%onen ,e !-!,*! ,e &o-%e$i6n en on!$$'$-i&!$.

Cuando la viga resiste solicitaciones s-smicas en secciones con armadura de compresión+ elAC fi)a la siguiente limitación con criterios de ductilidad análogos a las vigas sin acero paracompresión5

max

J '.G' J s

b

y

f

f ρ ρ ρ ρ ≤ = × + ×

*as 0ltimas & ecuaciones tienen la venta)a de ue no solamente imponen comportamientosadecuados para vigas rectangulares+ sino tam/i,n para vigas T y *+ para las ue el criterio delAC ^t V'.''GB puede ser insuficiente al tratar de asegurar un comportamiento d0ctil con

deformaciones progresivas.

.K. Di$eHo ,e $e&&ione$ ,ob"e-ente e(o!,!$

$ea RIuS el momento ultimo actuante en nuestra sección de viga+ el diseño de seccionesdo/lemente reforzadas se parte asumiendo un valor de cuant-a para la parte de acero entracción ue euili/ra el esfuerzo de compresión del concreto.

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"" " "

, ,

A A b d

b d ρ ρ = → = × ×

×

Con el cual podemos calcular el valor de RaS y el valor de Iu"5

"

"

" "

'+#G J

&

s y

c

s y

A f a

f b

Mu Mn

a Mu A f d

φ

φ

×=

× ×

= ×

= × × × − ÷

@espe)ando tenemos5

""

&

s

y

Mu A

a f d φ

= × × − ÷

Es posi/le ue Iu" sea suficiente para soportar el momento 0ltimo actuante+ en todo caso setendrá ue5

$i5 Iu Iu" entonces no necesita acero en compresión.

$i5 Iu [ Iu" entonces si necesita acero de refuerzo en compresión.

4ara el caso ue necesita acero en compresión+ procederemos a calcular la cantidad de acero entracción adicional para compensar el momento 0ltimo remanente+ es decir5

( )

" &

& "

& & &J

s y

Mu Mn Mn

Mu Mu Mu

Mu Mn A f d d

φ φ

φ φ

= × + ×

= −

= × = × × × −

@espe)ando tenemos5

( )&

&J

,

y

Mu A

f d d φ =

× × −

El acero en compresión será el ue euili/ra la fuerza de tracción ue origina As&.

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&

&

J J

J J JB

, s s y

n , s

A f A f

Mu M A f d d φ φ

× = ×

= = × × −

&JJ JB

,

s

Mu A

f d d φ =

× −

&" JB5 J H J tonEcm B s ya d

1onde f f a

β −= × ≤

*uego el área total de acero en tracción estará por5

" &, s s A A A= +

.M EJE+LO NUERICO

4ara la planta ue se muestra en la figura+ diseñar la sección de momento máximoconsiderando ue no está en zona no s-smica+ se tienen los siguientes datos5

" @atos generales5

*osa aligerada espesor hD&Gcm Aca/ados "'':gm& Ta/iuer-a "&' :gm&

$C &G':gm& uso de viviendaB 4ara el metrado de peso propio de la viga usar sección &Gx('cm

?esistencias espec-ficas de los materiales5&

&

J &"'

(&''

c

y

f 0' cm

f 0' cm

=

=

&. Esuema

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+ ' 5'

,

,

025

025

0.,

02

A CB

1

2

3

2(A-B!25/50c'

+ 5

u

As

dh

secc. tra"s#ersa$ #%&a

25c'

,0c'

!. $Z*UCZ;5

4rocedimiento de metrado de cargas5

!

!

&

propio de la viga &G'' '.&G '.(' &G'

&G'' '."# ( "#''

"'' ( (''

&eso 0' m m m 0' m

losa ali'e%ado 0' m m m 0' m

acabados 0' m m 0' mabi(ue%ia

= × × =

= × × =

= × =&

&

"&' ( (#'

carga de uso $C D&G':gm ( "'''

Q &Y!' 1

0' m m 0' m

sob

0' m

%e m 0' m

= × =

× =

=

Q "''' 3 0' m=

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[ ]Com/o segun AC"#'%"( AC G.!

".& ".H G."& 4 1 3

5 5 5 on m= + =

+ 5

0u

A CB

( Análisis y diseño

Análisis de la viga por el m,todo de Cross.%cálculo de rigideces y factor de distri/ución.

;udo 95

! !

! Y G ( f f

! !( !G "& "&

( G &'

6A

6A 6C

6C

7

7 3

7

= = ×= = = == =×

∑

>act. @istri/+ ' G"& "& 'Iom. >i)os ' %!"+!H t.m "H t.m '" iter. ' H+('" #.YGY '& iter. !.& ' ' (+(#! iter. ' ' ' 'Iom.>inales

' %&(.YH &(.YH '

+ 5

A CB

20.12t.'

2,.t.'

5.5t.'

@$E_Z @E N=A A%9B5

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Iomento de @iseño5 *#.1# ton.-

D!to$ ,e ,i$eHo4

%ancho de la sección /D&Gcm

%altura total de la sección hD('cm

%factor de reducción D'.Y' AC ta/la&".&.&Bϕ

%fluencia del acero fyD(&'':gcm&

%resistencia del concreto f2cD&"':gcm&

%para f2c\':gcm& `"D'.#G AC ta/la&".&.&.(.!B

%elasticidad del acero EsD &x"'H :gcm& AC &&.&.&B

Di$eHo ,e "! $e&&i6n4

Cuant-a /alanceada

"

J H''' &"' H''' '.#G D'.#G '.#G '.'&"&G

H''' (&'' H''' (&''

cb

y y

f

f f ρ β

= × × × × × × = ÷ ÷ ÷+ +

Cuant-a máxima

max'.G '.G '.'&"&G '.'"GY(

b ρ ρ = × = × =

Di$eHo &o-o $e&&i6n $i-%"e-ente !-!,!4

( )&"

max

J " '+GY

(&''5 '+'"GY( '+!"##

J &"'

c

y

c

Mu f b d

f si

f

φ ω ω

ω ρ

= × × × × × −

= = × =

( )&"

"

"

'+Y' &"' &G !G '+!"## " '+GY '+!"## "(Y#"H+HY .

"(Y#"+ .

5 "(Y#"+ . &'""' . Xviga do/lemente armadaX

Mu 0' cm

Mu 0' m

como Mu 0' m Mu 0' m

= × × × × × − × =

=

= < =

% L! vig! Ne&e$it! !&eo ,e &o-%e$i6n4

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A?EA @E ACE?Z E; T?ACCZ;

Nerificando5

max " & &

&

" m

&

"

ax

J B si5 A y A J

D'+'"GY( &G !GD"!+YGcm

"!+ cm YG

, , , , , , ,

,

,

A A b d A A A

A b d

A

ρ

ρ

− = × × = − =

= × ×

=

× ×

@iferencia de momentos

Iu&DIu%Iu"D&'""'%"(Y#"+DG"+&! :g.m

( ) ( )&

&

&

&&&

&

" &

G"+&! . "''(+G&

J '+Y' (&'' !G G

el area total de acero en traccion e

(+G&

s5

"!+YG (+G

& "#

(

"#+(

+

,

y

, ,

,

,

,

Mu 0' m A cm

f d d

3ue'o

A A A

A cm

A cm

cm

φ

×= = =

× × − × × −

= + =

=

+ =

=

&

min

&G !G"( "( &+Y&

(&'' y

b d A cm

f

× ×= × = × =

& &(5 &G "Y+H! B"#+( s,

4sa A c m mm m A% cφ =→=

A?EA @E ACE?Z E; CZI4?E$Z;

&

&

J J

J J JB

, s s y

, s

A f A f

Mu A f d d φ

× = ×

= × × −

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&

&"

&

max

JJ JB

JB 5 J H''' :gcm B del /loue rectangular euivalente

D si "!+YG'+#G

"! D

,

s

s y

, y

,

c

Mu A

f d d

a d 1onde f f a &e%ale

a A f a A b d cm

f b

a

φ

β

ρ

=× −

−= × ≤ =

= × × =× ×

+YG (&''"!+"!

'+#G &"' &G

"!+"! '+#G GBJ H''' D('G+##\

"!+"! s y

cm

f f o0

×=

× ×− ×

= ×

&

&

&

min

&

&

G"+&! . "'' ?eemplazando5 J (+H#

'+Y' ('G+## !G GB

J (+

&G !G"( "( &+Y& \ (+H#

J (&''

5

5

J (+H#

# H

,

c

,

,

0'

A cm

m A cm

A c

b d A cm cm

f

enons

4 m,A8

=

×= =

× × −

× ×=

=

× = × =

→ &"H AJ H+ B! '!,

mm cmφ =

Nerificando las cuant-as5

max

J '.G J s

b

y

f

f ρ ρ ρ ρ ≤ = × + ×

"

J H'''donde5 '.#G D'+'&"&G

H'''

J (+H# J '+''G!G

&G !G

cb

y y

s

f

f f

A

b d

ρ β

ρ

= × × × ÷ ÷+

= = =

× ×

"#+( '+'&""

&G !G

, A

b d ρ = = =

× ×

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max

('G+## '+'&"" '.G '+'&"&G '+''G!G '+'&""" ZMb

(&'' ρ ρ ≈ ≤ = × + × =

G. 4lano estructural5

2+2, 2 +2, 2+2, 2+12

1-20

/00 ,00

+12 2+122+2,

Est.+6c20 Est.+6c20

0 .

0

02,

0 .

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1-2016

Ing. Civil


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