Diseño de controladores mediante el lugar de las raíces ITESM Campus GDL Dr. Jorge Rivera...
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Diseño de controladores mediante el lugar de las raíces
ITESM Campus GDL
Dr. Jorge Rivera Dominguez
Ingeniería de control
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Diseño de controladores mediante el lugar de las raíces
Tipos de controladores a diseñar:
• Controlador en adelanto
• Controlador en atraso
• Controlador de adelanto-atraso
• Sintonización fina de PID’s
Cabe destacar que estos mismos controladores se pueden diseñar también con técnicas de la respuesta en frecuencia (Bode, Nyquist y Nichols).
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Recordando los sistemas de segundo orden
11)()(
22
2
nnnn
n
sssVisVo
222
22
nndn
nd
dnd
nd
nd
jj
j
1
1
1
2
2
2
dndn
n
jsjssVisVo
2
)()(
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Triangulación de los polos complejos
n
n
ndn
sin
d 22
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
1.- Subamortiguado
Respuesta transitoria oscilatoria
2.- Amortiguamiento
critico
Respuesta empieza a oscilar
3.- Sobreamortiguado
Respuesta nunca oscila
4.- No amortiguado Respuesta oscilatoria o inestable
10
1
1
0
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
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SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Para un criterio del
2%
Para un criterio del
5%
21
1;
eMp
Tp
tanTr
d
n
d
dn
Ts
4
n
Ts
3
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Efecto de la adición de polos
La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta.
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Efecto de la adición de ceros
La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda , con lo cual el sistema tiende a ser más estable y se acelera el asentamiento de la respuesta.
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Condiciones de ángulo y magnitud
Considere el siguiente sistema
Tiene como ecuación característica a:
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
0)()(1 sHsG
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Condiciones de ángulo y magnitud
Lo que implica que
Entonces la condición de ángulo es
Y la condición de magnitud es
,...2,1,0)12(1801
1)()(
kk
sHsG
,...2,1,0)12(180)()( kksHsG
1)()( sHsG
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Condiciones de ángulo y magnitud
• Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como la de magnitud son las raíces de la ecuación característica o los polos en lazo cerrado.
• El lugar de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que solo satisfacen la condición de ángulo.
• La raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor especifico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud.
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Controlador en adelanto
La función de transferencia del controlador en adelanto es
)10(1
1
)(
Ts
Ts
KsG CC
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Controlador en adelanto
Los parámetros se eligen de tal forma que el controlador en conjunto con la planta satisfacen los requerimientos de respuesta transitoria en lazo cerrado, satisfaciendose las condiciones de ángulo y magnitud.
TKC ,,
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Controlador en atraso
Función de transferencia del controlador en atraso
)1(1
1
ˆ)(
Ts
Ts
KsG CC
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Controlador en atraso
Cuando el sistema ya exhibe características satisfactorias de la respuesta transitoria pero no de la respuesta en estado estable, significa que el controlador no debe modificar de forma significativa los polos en lazo cerrado para conservar la respuesta transitoria; solo debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida que se necesite.
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Controlador en atraso
Esto se logra con el compensador en atraso. De modo que para que el controlador no afecte demasiado la respuesta transitoria debe de aportar una cantidad muy pequeña de ángulo, por ejemplo 5.
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Recordando la constante de error de velocidad Kv:
Si N=0,
Si N=1,
Si N>=2
0
1)(
s
KessGlimK
veev
)(0 eKv
11 11)(1 dcvdcv KKeKK
0)( eKv
Controlador en atraso
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Controlador en atraso
Si se desea disminuir el error en estado estable finito para entradas rampas, se tiene que aumentar el Kv.
Ahora, la constante de error de velocidad es
vC
vC
Cv
KK
s
KsGlim
s
sGssGlimK
ˆ
0
)(
0
)()(ˆ
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Controlador en atraso
Entonces la nueva constante de error de velocidad se incrementa en un factor de en donde .
El polo y el cero del controlador deben de ponerse cerca del origen y la razón entre el valor del cero y del polo escogidos debe ser igual al valor de .
CK̂
1ˆ CK
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Controlador de adelanto-atraso
La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema.
La compensación en atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta.
Entonces si se desea mejorar tanto la respuesta transitoria como la de estado estable, se debe de usar un controlador de adelanto-atraso.
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Controlador de adelanto-atraso
Función de transferencia de un controlador de adelanto-atraso.
Suponga que Kc pertenece a la parte de adelanto del controlador de adelanto-atraso.
)1,(1
11
)(
2
2
1
1
Ts
Ts
Ts
Ts
KsG CC
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Sintonización fina de PID’s
Las reglas de sintonización de Ziegler-Nichols en realidad son un punto inicial para la verdadera sintonización del PID.
El PID aporta dos ceros, un polo en el origen y una ganancia. La sintonización fina es mediante el lugar de las raíces, moviendo los ceros y la ganancia del PID para obtener una respuesta optima.
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Sintonización fina de PID’s
En general tenemos que en L.C.:
• Los ceros deben de moverse de tal forma que los polos que no sean dominantes, se acerquen demasiado a los ceros mediante el incremento de la ganancia y así prácticamente se anulen.
• Procurar también que mediante la ganancia y la ubicación de los ceros, los polos dominantes se encuentren en regiones deseadas.