Diseño de Puente Viga-losa Final
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DISEÑO DE PUENTE VIGA - LOSADATOS:Luz libre: 25.00 mTren de cargas: HL-93Ancho total : 7.20 mNº de vías: 2 → Factor por Nº de vías cargadas = 1.00Nº de vigas: 3Cajuela: 0.65 m
350 → b = 0.0307ρ y Ku máx = 77.7700 Kg/cm²
4200
2.81E+05
2.00E+06Combinación de cargas: RESISTENCIA ICondición de clima: Normal Losas: re = 3 cm
Vigas: re = 5 cmZona sísmica: Media-baja → máx = 0.75 bρ ρ
80 Kg/m
150 Kg/m
CORTE TRANSVERSAL
### 0.80### 7.20 ### 0.80###
0.40
0.60Vereda ###0.25
Losa de concreto e
h
h - eViga principal de concreto
S 'ᵥ S 'ᵢ 1.05Sᵥ b Sᵢ 1.00 0.550
9.30 m
CORTE LONGITUDINAL
25.65 mC = 0.65 m 25.00 m
2.00 m
H =
5.5
0 m N:A:M
1.50 m
2.00 m
A.- PREDIMENSIONAMIENTO DE LA SECCIÓN DEL PUENTE
1.- DIMENSIONAMIENTO DE LA CAJUELA
A, B : Cs = 20.3 + 0.167L + 0.67H C,D : Cs = 30.5 + 0.250L + 1.00H
Lmáx = 25 m
f 'c: Kg/cm2
fy: Kg/cm2
Ec: Kg/cm2
Es: Kg/cm2
PD (Baranda):
PL (Baranda):
Cs : Ancho de cajuela libre (no se considera el ancho de junta) (cm)L : Longitud total del puente (m)H : Altura del estribo o pilar (no se considera la profundidad de la cimentación) (m)
Primera iteración: L = 25.00 mCs = 28.16 cm
Segunda iteración: L = 25.56 mCs = 28.26 cm
Considerando un ancho de junta: j = 3.00 cmCs + j = 28.26 cm
Considerando un 240% más de lo calculado tenemos: 62.17 cm
Asumir: C = 0.65 m
2.- LUZ DE CÁLCULO DEL PUENTE
L = L' + C = 25+0.65 L = 25.65 m
3.- LUZ DE CÁLCULO DE LAS VIGAS
Luz entre ejes de vigas: S '₁
S ' = A/(Nº de vigas - 1) = 7.2/(3-1)ᵢ S ' = 3.60 mᵢ
Ancho de vigas: b
b = 0.02L√S ' = 0.02x25.65x√3.6 = 0.97 mᵢ Asumir: b = 1.00 m
Luz libre: S
S = S ' - b = 3.6-1ᵢ ᵢ S = 2.60 mᵢ
B.- DISEÑO DE LA LOSA
S = 2.60 mᵢ (Intermedio)S ' = 1.05 mᵥ (Volado)
Tramos intermedios
e = S /15 = 260/15 = 17.33 cmᵢ e = 17.33 cm
Tramos en volados
e = S '/10 = 105/10 = 10.5 cmᵥ e = 10.50 cm
Según Manual del MTC
Para tramos contínuos:
e = (S +3000)/30 = (2600+3000)/30 = 186.67 mm ≥ 165 mmᵢ e = 18.67 cm
Máximo: e = 18.67 cm
Asumir: e = 25 cm
1- METRADO DE CARGAS
a.- En los tramos intermedios
Peso de la losa = 0.25 m x 1 m x 2.5 Tn/m3 = ˾ 0.625 Tn/m
– Carga muerta
Peso del asfalto = 0.05 m x 1 m x 2.2 Tn/m3 = ˾ 0.110 Tn/mD = 0.735 Tn/mᵢ
b.- En volados
Peso de la losa + vereda = 0.5 m x 1 m x 2.5 Tn/m3 = ˾ 1.25 Tn/m Peso piso terminado =1 m x 0.10 Tn/m² = ˾ 0.10 Tn/m
D = 1.35 Tn/mᵥ
Carga muerta˾ P = 0.080 Tn/mᴅ Sobrecarga˾ P = 0.150 Tn/mʟ
L = 0.360 Tn/mᵥ
2.- COEFICIENTE DE IMPACTO
(Tabla 2.4.3.3-1 Incremento de la Carga Viva por Efectos Dinámicos)
Estado límite de resistencia última
→ I = 0.33
3.- CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES
D = 1.350 Tn/mᵥ D = 0.735 Tn/mᵢP = 0.080 Tn/mᴅ D = 0.360 Tn/mᵥ
P = 0.150 Tn/mʟ
Tramos continuosS ' = 1.050 mᵥ S ' = 3.600 mᵢS ' = 0.550 mᵥ S ' = 2.600 mᵢ
a.- En tramos intermedios
(+) M = D S ²/10 = 0.735 x 2.6²/10 = 0.4969ᴅ ᵢ ᵢ 0.497
– Por sobrecarga vehicular
S : Luz a salvar (mm)ᵢ 500 mm < S = 2.6 m < 10000 mmᵢ S = 2600 mmᵢC: Factor de continuidad, 1.0 para simplemente apoyadas y 0.8 para tramos continuos: C = 0.8l: Longitud de llanta (mm), en la dirección del tráfico. p: Presión de llanta tomada como 0.86 Mpa p = 0.86 N/mm²
Para emparrillados totalmente llenos D = 2.5
Cálculo del ancho de la franja para la carga viva
Para un carril:
Para más de un carril:
E: Ancho equivalente (mm)Longitud de la luz modificado tomado igual al más pequeño de la luz real ó 18000 mm.
– Carga muerta
– Carga en baranda
– Sobrecarga peatonal:
Lᵢ = s/c vehicular
– Por carga muerta
(±) ML = C×l×p×D ² [42.3Log(0.039×S )-74]⁰ ̇ ⁵ ᵢ
D = Dx/Dy
Dx: rigidez flexional en la dirección de las barras principales (N.mm²/mm)
Dy: Rigidez flexional perpendicular a las barras principales (N.mm²/mm)
E = 250 + 0.42√(L1W1)
E = 2100+0.12√(L1W1) ≤ W/NL
L1:
Tramo en volado Tramo intermedio
W: Ancho físico de borde a borde del puente (mm)
Número de carriles de diseño
18000 mm
7200 mm
W= 7200 mm
2
Para un carril:
N>1
→ El puente tiene más de un carril
Para más de un carril:
E = 2100+0.12x√(18000x7200) = 3466 ≤ 7200/2 = 3600
→ E = 3466 mmAsumir: E = 3.47 m
1.74 m
Área de contacto de la rueda
l: Dimensión del área de contacto en la dirección longitudinal del puente.
P: Carga correspondiente a una rueda (kN)
Para: RESISTENCIA I (TABLA 2.4.5.3 -1 Combinaciones de carga y factores de carga)
= 1.75ϒ
Para camión de diseño: P = 145.00 kNl = 0.0228x1.75x145 = 5.786 m l = 5786 mm
Luego:
M = 0.8x5786x0.86x2.5 ² x[42.3Log(0.039x2600)-74] = 54337 N.mm/mmʟ ⁰ ̇ ⁵ 5.539
Por impacto
M = M ×I = 5.539×0.33 = 1.8279ɪ ʟ M = 1.828 Tn-mɪ
b.- En voladizos
(–) M = D S ²/2 + P ×S = 1.35 × 0.55²/2 + 0.08 × 0.55 = 0.2482ᴅ ᵢ ᵥ ᴅ ᵥ 0.248
– Momento por sobrecarga
(–) Ms/c = L S ²/2 + P ×S = 0.36 × 0.55²/2 + 0.15 × 0.55 = 0.137ᵥ ᵥ ʟ ᵥ 0.137
c.- Momento último
W1: Ancho de borde a borde de puente será tomado igual al menor del ancho real ó 18000 mm para carriles múltiples cargados a 9000 mm para un solo carril cargado.
NL:
L1=
W1=
NL=
Elineal = E /2 =
l = 0.0228gP
g: Factor de carga correspondiente a la carga viva en la condición límite considerada.
– Por carga muerta
l 0.50 m
M = n(1.25M + 1.75 M + 1.75M )ᵤ ᴅ ʟ ɪ
● Estados límites
n : factor que relaciona a la ductilidad, redundancia e importancia operativa factor que se refiere a la ductilidad
factor que se refiere a la redundancia
factor que se refiere a la importancia operacional
Considerando:1.05 Para componentes y conexiones no dúctiles
1.05 Para miembros no redundantes
1.05 Puente de importancia operativa→ n = 1.158
→ M = 1.158×(1.25×0.497+1.75×5.539+1.75×1.828 = 15.6486ᵤ M = 15.649 Tn-mᵤ
M = 1.4M + 1.7 M = 1.4×0.248+1.7×0.137 = 0.5801ᵤ ᴅ ʟ M = 0.580 Tn-mᵤ
d.- diagrama de los momentos flectores últimos
(–) M = 7.825 Tn-mᴜ (–) M = 7.825 Tn-mᴜ
(–) M = 0.580 Tn-mᴜ
(+) M = 15.649 Tn-mᴜ
Para el momento negativo del tramo central M (-) no hay norma, solo es un criterio tomar los siguientes valores:
4.- Verificación del espesor de la losa
a.- Por el método elástico:
Espeso de la losa: e = 25 cmRecubrimiento efectivo: r = 4 cmₑ
e = 25 cmd = 21 cm
b = 100 cmMomento de servicio
Ms =M + M + M =0.497+5.539+1.828 = 7.864ᴅ ʟ ɪ Ms = 7.864 Tn-m
– En tramos intermedios
n = nD nR nI > 0.95
nD :
nR :
nI :
nD=
nR=
nl=
– En volado
Si M (+) es pequeño (≤ 5 Tn-m) → M (-) = M (+)
Si M (+) es grande (> 5 Tn-m) → M (-) = M (+)/2
Peralte mínimo de servicio: dmín
(-)
(+)
(-)
𝑑_𝑚í𝑛=√((2𝑀_𝑠)/(𝑓_𝑐.𝐾.𝐽.𝑏))
2100 Kg/cm² ó 1700 Kg/cm²
158 Kg/cm²
8
0.426
0.858
√[2x7.864x10 Kg-cm/(157.5 Kg-cm² x0.426x0.858x100 cm)] = 16.5291⁵ d mín = 16.53 cm
Comparando:
21 cm > 16.53 cm OK!
b.- Por el método plástico (resistencia última)
√[15.649x10 Kg-cm/(77.77 Kg-cm²x100 cm)]⁵ 14.19 cm
21 cm > 14.19 cm OK!
5.- DISEÑO POR FLEXIÓN
a.- Tramos intermedios
d = 21 cmb = 100 cm(+) M = 15.649 Tn-mᴜ(+) M = 7.825 Tn-mᴜ
Para Mu (+)
– Índice de refuerzo
= 0.85-√[0.7225-1.7x15.649x10 /(0.9x350x100x21²)] = 0.121308ω ⁵ = 0.121308ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.121308x350/4200 = 0.010109ρ ω = 0.010109ρ
– Cuantía mínima para losas mín = 0.0018ρ
– Cuantía máxima
máx = 0.75 b =0.75x0.0306666666666667 = 0.023ρ ρ máx = 0.023000ρ
Comparando
OK!
– Área de acero positivo
As = bd =0.010109x100x21 = 21.2289⁽⁺⁾ ρ As = 21.23 cm²⁽⁺⁾
– Área de acero mínimo
fs = 0.50fy =
fc = 0.45f 'c =
n = Es/Ec =
dmín =
dreal > dmín
dreal > dmín
rmín < r < rmáx
𝐾=(𝑛𝑓_𝑐)/(𝑛𝑓_𝑐+𝑓_𝑠 )=𝐽=1−𝐾/3=
𝑑_𝑚í𝑛=√((𝑀_𝑢 (+))/(𝐾_𝑢 𝑏))=
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 ))
As mín = mín.bd =0.0018x100x21 = 3.78ρ As mín = 3.78 cm²
El área de acero requerido es mayor al acero mínimo, entonces: As = 21.23 cm²⁽⁺⁾
# 52.00 cm²
– Espaciamiento: S
9.42 cm
En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, el espaciamiento entre ejes del refuerzoprincipal por flexión será menor o igual a tres veces el espesor del elemento estructural, sinexceder de 400 mm. (E-0.60, Item 9.8.1)
3x25 = 75 cm ó (E-0.60 - Item 10.5.4)
Consideramos: S = 9 cm
Usaremos: 1 # 5 @ 9 cm∴ ϕ
– Índice de refuerzo
= 0.85-√[0.7225-1.7x7.8245x10 /(0.9x350x100x21²)] = 0.058327ω ⁵ = 0.058327ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.058327x350/4200 = 0.004861ρ ω = 0.004861ρ
Comparando
OK!
– Área de acero negativo
As = bd =0.004861x100x21 = 10.2081⁽⁻⁾ ρ As = 10.21 cm²⁽⁻⁾
El área de acero requerido es mayor al acero mínimo, entonces: As = 10.21 cm²⁽⁻⁾
# 41.29 cm²
– Espaciamiento: S
12.63 cm
Consideramos: S = 12 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 12 cm∴ ϕ
b.- Volados
(–) M = 0.580 Tn-mᴜ
– Índice de refuerzo
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
– Espaciamiento máximo: Smáx
Smáx= 3hf = Smáx = 40 cm
Para Mu (–)
rmín < r < rmáx
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 ))
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 ))
= 0.85-√[0.7225-1.7x0.58x10 /(0.9x350x100x21²)] = 0.004186ω ⁵ = 0.004186ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.004186x350/4200 = 0.000349ρ ω = 0.000349ρ
Comparando
No cumple
– Área de acero negativo
As = bd =0.000349x100x21 = 0.7329⁽⁻⁾ ρ As = 0.73 cm²⁽⁻⁾
El área de acero requerido es menor al acero mínimo, entonces: As = 3.78 cm²⁽⁻⁾
# 41.29 cm²
– Espaciamiento: S
34.13 cm
Consideramos: S = 34 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 34 cm∴ ϕ
c.- Acero de repartición por temperatura: Para tramos intermedios y volados
La armadura por retracción y temperatura en losas, deberá proporcionar las siguientesrelaciones mínimas de área de la armadura a área de la sección total de concreto, según el tipode acero de refuerzo que se use. (E-0.60, Item 9.7.2)
- Barras lisas 0,0025 0.0025- Barras corrugadas con fy < 420 MPa 0,0020 0.002- Barras corrugadas o malla de alambre (liso o corrugado)de intersecciones soldadas, con fy ≥ 420 Mpa 0.0018
El refuerzo por contracción y temperatura deberá colocarse con un espaciamiento entre ejesmenor o igual a tres veces el espesor de la losa, sin exceder de 400 mm. (E-0.60, Item 9.7.3)
– Área de acero mínimo
As mín = mín.bd =0.0018x100x21 = 3.78ρ As mín = 3.78 cm²
# 41.29 cm²
– Espaciamiento: S
34.13 cm
Consideramos: S = 34 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 34 cm∴ ϕ
Esquema de armado de losa
rmín < r < rmáx
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 ))
1 # 4 @ 34 cmϕ 1 # 4 @ 12 cmϕ
1 # 5 @ 9 cmϕ 1 # 4 @ 34 cmϕ1 # 4 @ 34 cmϕ
6.- verificación por corte
a.- En tramos intermedios
V = D S /2 = 0.735 x 2.6/2 = 0.9555ᴅ ᵢ ᵢ V = 0.956 Tnᴅ
– Por sobrecarga vehicular
P/E = 7.39 Tn /1.735 m = 4.2594 P/E = 4.259 Tn/m
4.259 Tn 4.259 Tn0.3 1.80 1.50
3.10 m
VʟS ' = 1.05 mᵥ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 1.05 mᵥ
1.00
V = [4.259x1.5+4.259x(1.5+1.8)]/3.1 = 6.5946ʟ V = 6.595 Tnʟ
– Por impacto
V = V x I = 6.595x0.33 = 2.1764ɪ ʟ V = 2.176 Tnɪ
– Cortante último
V = n(1.25V + 1.75 V + 1.75V ) = 1.158x(1.25x0.956+1.75x6.595+1.75x2.176)ᵤ ᴅ ʟ ɪ V = 19.158 Tnᵤ
– Cortante reistente del concreto
Vc = 0.53√(f'c)bd = 0.53√(350)x100x21 = 20822.32 Kg Vc = 20.822 Tn
øVc = 0.85x20.822 = 17.6987 øVc = 17.699 Tn
Comparando
Vu ≤ Vcϕ
19.16 Tn ≤ 17.70 Tn Aumente el peralte o la resistencia del concreto
b.- En volados
V = D S +P = 1.35x0.55+0.08 = 0.823ᴅ ᵥ ᵥ ᴅ V = 0.823 Tnᴅ
– Por carga muerta
– Por carga muerta
– Por carga viva
V = L S +P = 0.36x0.55+0.15 = 0.348ʟ ᵥ ᵥ ʟ V = 0.348 Tnʟ
– Cortante último
V = 1.4V + 1.7 V = 1.4×0.823+1.7×0.348 = 1.744ᵤ ᴅ ʟ V = 1.744 Tnᵤ
Comparando
Vu ≤ Vcϕ
1.74 Tn ≤ 17.70 Tn OK!
C.- DISEÑO DE LAS VIGAS LATERALES
1.- Predimensionamiento
b = 1.00 m
t = L/12 =2565/12 = 213.75 cm Asumir: h = 215 cm
2.- Metrado de cargas
P = 0.080 Tn/mᴅP = 0.150 Tn/mʟ
D = 1.35 Tn/mᵥL = 0.360 Tn/mᵥ
D = 0.735 Tn/mᵢL = s/c vehicularᵢ
t = 2
.15
m e = 0.25 m
t - e = 1.90 Viga exterior Viga interior Viga exterior
S ' = 1.05 mᵥ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 1.05 mᵥb = 1.00 m
2.1.- Carga muerta
① D S ' = 1.35x1.05 = 1.418ᵥ ᵥ 1.418 Tn
② D S '/2 = 0.735x3.6/2 = 1.323ᵢ ᵢ 1.323 Tn
③ b(t-e) ˛ = 1x1.9x2.5 = 4.75γ 4.750 Tn
④ P = 0.08ᴅ 0.080 TnW = 7.571 Tnᴅ
2.2.- Carga viva
a.- Carga peatonal
① L S ' = 0.36x1.05 = 0.378ᵥ ᵥ 0.378 Tn
④ P = 0.15ʟ 0.150 TnW = 0.528 Tnʟ
b.- Coeficiente de insidencia vehicular ( )λ
Determinación del coeficiente de insidencia vehicular ( ), según la norma de diseño de puentes del MTC,λse usará el método de la palanca.
1 2
3
4
ḉ
P P0.60 1.80 1.20
S ' = 3.600 mᵢR
R = [1.2xP+(1.2+1.8)P]/3.6 = 1.167P
= 1.167∴ λ
2.3.- Coeficiente de impacto
I = 0.33
2.4.- Carga sobre la viga
Eje delantero: P' =1.167x35 kN /9.81λ 4.16 Tn
Eje posterior: P' =1.167x145 kN /9.81λ 17.25 Tn
3.- Cálculo de momentos flectores
(+) M = W L²/8 = 7.571 x 25.65²/8 = 622.641ᴅ ᴅ M = 622.64 Tn-mᴅ
(+) M = W L²/8 = 0.528 x 25.65²/8 = 43.423ʟ ʟ 43.42
a.- Camión de diseño
Diagrama de cuerpo libre del camión de diseño
17.25 Tn 17.25 Tn 4.16 Tny = 4.30 a 9.00 m 4.30 m
L = 25.65 mx-y 25.65 - x + y
x 25.65 - xx + 4.30 21.35 - x
↔ y ≤ x ≤ 21.35
R = [17.25(25.65-x+y)+17.25(25.65-x)+4.16(21.35-x)]/25.65ᴀ
R = 37.96 + 0.67y - 1.51xᴀ
M(x) = R (x) - 17.25y = (37.96 + 0.67y)x - 1.51x²- 17.25yᴀ
∂Mx = 37.96 + 0.67y - (2)1.51x = 0
x = 12.59 + 0.22y y = 4.30 m
3.1.- Por carga muerta
3.2.- Por sobrecarga en veredas
3.3.- Por sobrecarga vehicular
De la ecuación anterior, para que el momento sea máximo 'y' debe tomar el valor mín o sea 4.30 m
A B
→ x = 13.55 m
Comparando:
4.3 ≤ x = 13.55 ≤ 21.35 OK!
Luego,
(+) Ml = (37.96 + 0.67*4.3)*13.55 - 1.51*13.55²- 17.25*4.3
(+) Ml = 202.67 Tn-m/m
Factor por Nº de vías cargadas = 1.00
→ (+) Ml = 202.67 Tn-m/m
b.- Eje tándem
Diagrama de cuerpo libre del Eje tándem
22.43 Tn 22.43 Tn1.20
L = 25.65 mx 25.65 - x
x + 1.20 24.45 - x
↔ 0 ≤ x ≤ 24.45
R = [ 22.43*( 25.65 - x ) + 22.43*(24.45 - x ) ] / 25.65ᴀ
R = 43.81 - 1.75xᴀ
M(x) = R (x) = 43.81x - 1.75x²ᴀ
Momento máximo:
∂Mx = 43.81 - 2*1.75x = 0
→ x = 12.53 m
Comparando:
0 ≤ x = 12.53 ≤ 24.45 OK!
Luego,
Mmáx = 43.81 ( 12.53 ) - 1.75 (12.53 )² = 274.36 Tn-m / vía Mmáx = 274.360 Tn-m/vía
Convirtiendo a momento lineal
(+) Ml = (274.36x1.167x1)/2 = 160.09 (+) Ml = 160.09 Tn-m
c.- Sobrecarga en el carril
Diagrama de cuerpo libre de la sobrecarga
0.97 Tn/m
A B
(+) 𝑀_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
L = 25.65 m
(+) Ms/c = DL²/8 = 0.97x25.65²/8 Tn-m/vía (+) Ms/c = 79.77 Tn-m/vía
Convirtiendo a momento lineal
(+) Ml = (79.77x1.167x1)/2 = 46.55 (+) Ml = 46.55 Tn-m
(+) Ml (diseño) = 202.67+46.55 (+) Ml (diseño) = 249.22 Tn-m/m
e.- Momento de impacto
MI = I x Mmáx = 0.33 x 202.67 Tn-m/m MI = 66.88 Tn-m/m
4.- Fuerzas cortantes
4.1.- Por carga muerta
V = V L'/2 = 7.571 x 25/2 = 94.638ᴅ ᴅ V = 94.638 Tnᴅ
4.2.- Por sobrecarga en vereda
V = W L'= 0.528x25/2 = 6.6ʟ ʟ V = 6.600 Tnʟ
4.3.- Por sobrecarga vehicular
d.- Momento de diseño: Mmáx + Ms/c
(+) 𝑀_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
TABLA 2.4.5.3 -1. Combinaciones de Carga y Factores de Carga.
Combinación DC LL
de Cargas DD IM
DW CE
EH BR
EV PL
ES LS
Estado Límite
RESISTENCIA I 1.75
RESISTENCIA II 1.35
RESISTENCIA III
RESISTENCIA IV
Solamente EH, EV, ES,
DW, DC 1.5
RESISTENCIA V 1.35
EVENTO EXTREMO I
EVENTO EXTREMO II 0.5
SERVICIO I 1 1
SERVICIO II 1 1.3
SERVICIO III 1 0.8
0.75
Tabla 16: Peso, cantidad de ejes y superficie de contacto establecidos.
NORMAS VEHÍCULOS LONGITUD (m)PESO (Tn)
Eje delantero
Camion de diseño HS20 4.30 a 9.00 3 3.57
Tándem ó HL-93 1.2 1.8 11.21Sobrecarga 0.97
2.4.3.3 EFECTOS DINÁMICOS
Componente PorcentajeElementos de unión en el tablero 75%Estados límite de fatiga y fractura 15%Estado límite de resistencia última 33%
Ancho de carril de cargaCamion de diseño HS-20 3Eje tándem 3
γp
γp
γp
γp
γp
γp γEQ
γp
FATIGA - Solamente LL,IM y CE
ANCHO DEL CARRIL DE CARGA (m)
MANUAL DE DISEÑO DE PUENTES MTC DEL PERÚ
Tabla 2.4.3.3-1 Incremento de la Carga Viva por Efectos Dinámicos
TIPO DE CARGAMáximo Mínimo
CD : Componentes y Auxiliares 1.25 0.9
DD : Fuerza de arrastre hacia abajo 1.8 0.45
DW : Superficies de Rodadura y accesorios 1.5 0.65
EH : Presión horizontal de tierra
* Activa 1.5 0.9
* En reposo. 1.35 0.9
EV : Presión vertical de tierra
* Estabilidad global 1.35 N/A
* Estructuras de Retención 1.35 1
* Estructuras Rígidas Empotradas 1.3 0.9
* Pórticos Rígidos 1.35 0.9
1.95 0.9
* Alcantarillas Metálicas 1.5 0.9
ES : Carga superficial en el terreno 1.5 0.75
ESTADOS LÍMITES
2.3.2.2 DUCTILIDAD
Para componentes y conexiones no dúctiles 1.05Para componentes y conexiones dúctiles 0.95Para los demás estados límite 1
Para miembros no redundantes 1.05Para miembros redundantes 0.95Para los demás estados límite 1
Puente de importancia operativa 1.05Otros casos 1
TABLA 2.4.5.3-2. Factores de carga para Cargas Permanentes, gp
FACTOR DE CARGA gp
* Estructuras Flexibles empotrados excepto alcantarillas metálicas
Valores de nD para el Estado Límite de Resistencia :
2.3.2.3 REDUNDANCIA: nR
2.3.2.4 IMPORTANCIA OPERATIVA: nI
Modificación por Número de vías cargadas
Nº de vías cargadas Factor
1 1.20
2 1.00
3 0.85
4 ó más 0.65
PESO (Tn) SUPERFICIE DE CONTACTO
Eje posterior 1 Eje posterior 2 Ancho (m) Largo (m)
14.78 14.78 3 0.5
11.21 2 0.50.97
NÚMERO DE EJES
TABLA PARA SELECCIONAR EL ACERO
Ø 1 3/8"Ø 1"
1 2 3 4 51 10.06 15.16 20.26 25.36 30.46 35.56
Per 11.00 19.00 27.00 35.00 43.00 51.00viga 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00col. 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.002 20.12 25.22 30.32 35.42 40.52 45.62
Per 22.00 30.00 38.00 46.00 54.00 62.00viga 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00col. 20.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.003 30.18 35.28 40.38 45.48 50.58 55.68
Per 33.00 41.00 49.00 57.00 65.00 73.00viga 25.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00col. 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.004 40.24 45.34 50.44 55.54 60.64 65.74
Per 44.00 52.00 60.00 68.00 76.00 84.00viga 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00col. 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 65.005 50.30 55.40 60.50 65.60 70.70 75.80
Per 55.00 63.00 71.00 79.00 87.00 95.00viga 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 65.00col. 50.00 55.00 60.00 65.00 70.00 75.00
Ø 3/4"Ø 5/8"
1 2 3 4 51 2.84 4.83 6.82 8.81 10.80 12.79
Per 6.00 11.00 16.00 21.00 26.00 31.00viga 15.00 15.00 20.00 25.00 25.00 30.00col. 15.00 15.00 20.00 25.00 25.00 30.002 5.68 7.67 9.66 11.65 13.64 15.63
Per 12.00 17.00 22.00 27.00 32.00 37.00viga 15.00 20.00 25.00 25.00 25.00 35.00col. 15.00 20.00 30.00 35.00 40.00 45.003 8.52 10.51 12.50 14.49 16.48 18.47
Per 18.00 23.00 28.00 33.00 38.00 43.00viga 20.00 25.00 30.00 30.00 35.00 40.00col. 20.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.004 11.36 13.35 15.34 17.33 19.32 21.31
Per 24.00 29.00 34.00 39.00 44.00 49.00viga 25.00 30.00 35.00 35.00 35.00 45.00col. 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.005 14.20 16.19 18.18 20.17 22.16 24.15
Per 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00viga 30.00 35.00 36.00 40.00 45.00 50.00col. 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00
Ejemplo de utilizaciön: 4 Ø 1" + 2 Ø 3/4", representan 26.08 cm² de area de refuerzo y 44 cmde perimetro; considerando un recubrimiento efectivo de Estribo de 2.5 cm,Colocados en una capa, respetando los espaciamientos reglamentarios entrebarras, teniendo en cuenta las recomendaciones entre barras y teniendo en
cuenta la recomendación practica, de que los elementos estructurales varían de 5 en 5 cm; pueden ser acomodados en 35 cm de ancho de viga o 40 cmde columna.
Acero que existe en el Perú Zona sísmicaf
Zona sísmica# 2 0.64 0.32 1/4# 3 0.95 0.71 3/8# 4 1.27 1.29 1/2 Alta# 5 1.59 2.00 5/8 Media-baja# 6 1.91 2.84 3/4# 8 2.54 5.10 1
# 11 3.58 10.06 1 3/8
Resistencia del concreto normalf'c Ku
175 0.018 41.04210 0.0216 49.53280 0.0289 66.04350 0.0306667 77.77420 0.04 88.36
Clima Losas Vigas
re
Normal 3 5Severo 4 6
Clima Vigas
1 6 72 9 103 12 13
f cm Ab f "
bρ
Condicion de clima
D efectivo dc
Nº de capas de refuerzo
Clima Normal
Clima Severo
TABLA PARA SELECCIONAR EL ACERO
Ø 1"Ø 3/4"
1 2 3 4 51 5.10 7.94 10.78 13.62 16.46 19.30
Per 8.00 14.00 20.00 26.00 32.00 38.00viga 15.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00col. 15.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.002 10.20 13.04 15.88 18.72 21.56 24.40
Per 16.00 22.00 28.00 34.00 40.00 46.00viga 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00col. 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.003 15.30 18.14 20.98 23.82 26.66 29.50
Per 24.00 30.00 36.00 42.00 48.00 54.00viga 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00col. 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.004 20.40 23.24 26.08 28.92 31.76 34.60
Per 32.00 38.00 44.00 50.00 56.00 62.00viga 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00col. 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.005 25.50 28.34 31.18 34.02 36.86 39.70
Per 40.00 46.00 52.00 58.00 64.00 70.00viga 30.00 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00col. 35.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00
Ø 5/8"Ø 1/2"
1 2 3 4 51 1.99 3.28 4.57 5.86 7.15 8.44
Per 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 25.00viga 10.00 15.00 20.00 20.00 25.00 30.00col. 10.00 - - - - -2 3.98 5.27 6.56 7.85 9.14 10.43
Per 10.00 14.00 18.00 22.00 26.00 30.00viga 15.00 20.00 25.00 25.00 30.00 30.00col. 15.00 - - - - -3 5.97 7.26 8.55 9.84 11.13 12.42
Per 15.00 19.00 23.00 27.00 31.00 35.00viga 20.00 20.00 25.00 30.00 35.00 35.00col. 20.00 - - - - -4 7.96 9.25 10.54 11.83 13.12 14.41
Per 20.00 24.00 28.00 32.00 36.00 40.00viga 25.00 25.00 30.00 35.00 40.00 40.00col. 25.00 - - - - -5 9.95 11.24 12.53 13.82 15.11 16.40
Per 25.00 29.00 33.00 37.00 41.00 45.00viga 25.00 30.00 35.00 40.00 40.00 45.00col. 30.00 - - - - -
de perimetro; considerando un recubrimiento efectivo de Estribo de 2.5 cm,Colocados en una capa, respetando los espaciamientos reglamentarios entrebarras, teniendo en cuenta las recomendaciones entre barras y teniendo en
cuenta la recomendación practica, de que los elementos estructurales varían de 5 en 5 cm; pueden ser acomodados en 35 cm de ancho de viga o 40 cm
Zona sísmica
Zona sísmica
0.50Media-baja 0.75
Factor de reducción
de ρ
DISEÑO DE PUENTE VIGA - LOSACORTE TRANSVERSAL
### 0.80### 7.20 ###
Vereda ###
Losa de concreto
h
Viga principal de concreto
S 'ᵥ S 'ᵢ 3.600 1.050
Sᵥ b Sᵢ 1.000 2.600 1.000
9.30 m
B.- DISEÑO DE LA LOSA
1.- DATOS.
Variable Símbolo ValorLuz libre del puente L' 25.00Ancho de la cajuela C 0.70Longitud entre ejes L 25.70Ancho de borde a borde W 7.20Número de vías N 2
S'i 3.600Si 2.600S'v 1.050Sv 0.550
Resistencia del concreto 350
Modulo de elastisidad del concreto 280624
Cuantía balanceada 0.0307Factor de reducción de cuantía máxima, segín sismisidad Media-baja 0.75
Factor de resistencia a la flexión 77.7700Factor de reducción de resistencia a la flexión y tracción ø 0.90Factor de reducción de resistencia al corte y torsión ø 0.85
Esfuerzo de fluencia del acero 4200
Modulo de elastisidad del acero 2000000
Peso propio de la baranda 80
Carga viva en la baranda 150
2.- PREDIMENSIONAMIENTO
f 'c
Ec
ρb
Kumáx
fy
Es
PD
PL
Tramos intermedios
e = S /15 = 260/15 = 17.33 cmᵢ e = 17.33 cm
Tramos en volados
e = S '/10 = 105/10 = 10.5 cmᵥ e = 10.50 cm
Según Manual del MTC
Para tramos contínuos:
e = (S +3000)/30 = (2600+3000)/30 = 186.67 mm ≥ 165 mmᵢ e = 18.67 cm
Máximo: e = 18.67 cm
Asumir: e = 27 cm
3- METRADO DE CARGAS
a.- En los tramos intermedios
Peso de la losa = 0.27 m x 1 m x 2.5 Tn/m3 = ˾ 0.68 Tn/m Peso del asfalto = 0.05 m x 1 m x 2.2 Tn/m3 = ˾ 0.11 Tn/m
D = 0.79 Tn/mᵢb.- En volados
Peso de la losa + vereda = 0.52 m x 1 m x 2.5 Tn/m3 = ˾ 1.30 Tn/m Peso piso terminado =1 m x 0.10 Tn/m² = ˾ 0.10 Tn/m
D = 1.40 Tn/mᵥ
P = 0.08 Tn/mᴅ
P = 0.15 Tn/mʟ
L = 0.360 Tn/mᵥ
4.- COEFICIENTE DE IMPACTO
(Tabla 2.4.3.3-1 Incremento de la Carga Viva por Efectos Dinámicos)
Estado límite de resistencia última
→ I = 0.33
5.- CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES
– Carga muerta
– Carga muerta
– Carga en baranda
Carga muerta: P˾ D =
Sobrecarga: P˾ L =
– Sobrecarga peatonal:
D = 1.40 Tn/mᵥ D = 0.79 Tn/mᵢP = 0.08 Tn/mᴅ L = 0.360 Tn/mᵥ
P = 0.15 Tn/mʟ
Tramos continuosS ' = 1.050 mᵥ S ' = 3.600 mᵢS ' = 0.550 mᵥ S ' = 2.600 mᵢ
a.- En tramos intermedios
(+) M = D S ²/10 = 0.79 x 2.6²/10 = 0.534ᴅ ᵢ ᵢ M = 0.53 Tn-mᴅ
– Por sobrecarga vehicular
S : Luz a salvar (mm)ᵢ 500 mm < S = 2.6 m < 10000 mmᵢ S = 2600 mmᵢC: Factor de continuidad, 1.0 para simplemente apoyadas y 0.8 para tramos continuos:l: Longitud de llanta (mm), en la dirección del tráfico. p: Presión de llanta tomada como 0.86 Mpa p = 0.86 N/mm²
Para emparrillados totalmente llenos D = 2.5
Cálculo del ancho de la franja para la carga viva
Para un carril:
Para más de un carril:
E: Ancho equivalente (mm)Longitud de la luz modificado tomado igual al más pequeño de la luz real ó 18000 mm.
W: Ancho físico de borde a borde del puente (mm)
Número de carriles de diseño
18000 mm
7200 mm
W= 7200 mm
2
Lᵢ = s/c vehicular
– Por carga muerta
(±) ML = C×l×p×D ² [42.3Log(0.039×S )-74]⁰ ̇ ⁵ ᵢ
D = Dx/Dy
Dx: rigidez flexional en la dirección de las barras principales (N.mm²/mm)
Dy: Rigidez flexional perpendicular a las barras principales (N.mm²/mm)
E = 250 + 0.42√(L1W1)
E = 2100+0.12√(L1W1) ≤ W/NL
L1:
W1: Ancho de borde a borde de puente será tomado igual al menor del ancho real ó 18000 mm para carriles múltiples cargados a 9000 mm para un solo carril cargado.
NL:
L1=
W1=
NL=
Tramo en volado Tramo intermedio
Para un carril:
N>1
→ El puente tiene más de un carril
Para más de un carril:
E = 2100+0.12x√(18000x7200) = 3466 ≤ 7200/2 = 3600
→ E = 3466 mmAsumir: E = 3.47 m
1.74 m
Área de contacto de la rueda
l: Dimensión del área de contacto en la dirección longitudinal del puente.
P: Carga correspondiente a una rueda (kN)
Para: RESISTENCIA I (TABLA 2.4.5.3 -1 Combinaciones de carga y factores de carga)
Para camión de diseño: P = 145.00 kN
l = 0.0228x1.75x145 = 5.786 m l = 5786 mm
Luego:
M = 0.8x5786x0.86x2.5 ² x[42.3Log(0.039x2600)-74] = 54337 N.mm/mmʟ ⁰ ̇ ⁵
Por impacto
M = M ×I = 5.54×0.33ɪ ʟ M = 1.83 Tn-mʟ
b.- En voladizos
(–) M = D S ²/2 + P ×S = 1.4 × 0.55²/2 + 0.08 × 0.55ᴅ ᵢ ᵥ ᴅ ᵥ M = 0.26 Tn-mᴅ
– Momento por sobrecarga
Elineal = E /2 =
l = 0.0228gP
g: Factor de carga correspondiente a la carga viva en la condición límite considerada.
– Por carga muerta
l 0.50 m
(–) Ms/c = L S ²/2 + P ×S = 0.36 × 0.55²/2 + 0.15 × 0.55ᵥ ᵥ ʟ ᵥ M = 0.14 Tn-mʟ
c.- Momento último
M = n(1.25M + 1.75 M + 1.75M )ᵤ ᴅ ʟ ɪ
● Estados límites
n : factor que relaciona a la ductilidad, redundancia e importancia operativa factor referente a la ductilidad
factor referente a la redundancia
factor referente a la importancia operacional
Considerando:1.05 Para componentes y conexiones no dúctiles
1.05 Para miembros no redundantes
1.05 Puente de importancia operativa→ n = 1.158
→ M = 1.158×(1.25×0.53+1.75×5.54+1.75×1.83)ᵤ M = 15.70 Tn-mᵤ
M = 1.4M + 1.7 M = 1.4×0.26+1.7×0.14ᵤ ᴅ ʟ M = 0.60 Tn-mᵤ
d.- diagrama de los momentos flectores últimos
(–) M = 7.85 Tn-mᴜ (–) M = 7.85 Tn-mᴜ
(–) M = 0.60 Tn-mᴜ
(+) M = 15.70 Tn-mᴜ
Para el momento negativo del tramo central M (-) no hay norma, solo es un criterio tomar los siguientes valores:
6.- VERIFICACIÓN DEL ESPESOR DE LA LOSA
– En tramos intermedios
n = nD nR nI > 0.95
nD:
nR:
nI :
nD=
nR=
nl=
– En volado
Si M (+) es pequeño (≤ 5 Tn-m) → M (-) = M (+)
Si M (+) es grande (> 5 Tn-m) → M (-) = M (+)/2
(-)
(+)
(-)
e = 27 cm Espeso de la losar = 4 cmₑ Recubrimiento efectivob = 100 cm Ancho de losa
e = 27 cmd = 23 cm
b = 100 cmMomento de servicio
Ms =M + M + M =0.53+5.54+1.83ᴅ ʟ ɪ Ms = 7.90 Tn-m
a.- Por el método elástico:
2100 Kg/cm² ó 1700 Kg/cm² (Se elige el menor)
158 Kg/cm²
8
0.426
0.858
2x7.9x10⁵ d mín = 16.57 cm
157.5x0.426x0.858x100
23 cm > 16.57 cm OK!
b.- Por el método plástico (resistencia última)
√[15.7x10 Kg-cm/(77.77 Kg-cm²x100 cm)]⁵ d mín = 14.21 cm
23 cm > 14.21 cm OK!
7.- DISEÑO POR FLEXIÓN
d = 23 cmb = 100 cm
Peralte mínimo de servicio: dmín
fs = 0.50fy =
fc = 0.45f 'c =
n = Es/Ec =
dmín =
dreal > dmín
dreal > dmín
𝐾=(𝑛𝑓_𝑐)/(𝑛𝑓_𝑐+𝑓_𝑠 )=𝐽=1−𝐾/3=
𝑑_𝑚í𝑛=√((2𝑀_𝑠)/(𝑓_𝑐.𝐾.𝐽.𝑏))
𝑑_𝑚í𝑛=√((𝑀_𝑢 (+))/(𝐾_𝑢 𝑏))=
a.- Tramos intermedios
(+) M = 15.70 Tn-mᴜ(–) M = 7.85 Tn-mᴜ
Para Mu (+)
– Índice de refuerzo
1.7x15.7x10⁵0.9x350x100x23²
= 0.100114ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.100114x350/4200 = 0.008343ρ ω
> Cuantía mínima para losas mín = 0.001800ρ = 0.008343ρ
< máx = 0.75 b =0.75x0.030666666ρ ρ máx = 0.023000ρ
OK!
– Área de acero positivo
As = bd =0.008343x100x23⁽⁺⁾ ρ As = 19.19 cm²⁽⁺⁾
– Área de acero mínimo
As mín = mín.bd =0.0018x100x23ρ As mín = 4.14 cm²
El área de acero requerido es mayor al acero mínimo, entonces: As = 19.19 cm²⁽⁺⁾
– Selección de diámetro de varilla
# 5 2.00 cm²
– Espaciamiento: S
10.42 cm
En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, el espaciamiento entre ejes del refuerzoprincipal por flexión será menor o igual a tres veces el espesor del elemento estructural, sinexceder de 400 mm. (E-0.60, Item 9.8.1)
3x27 = 81 cm ó (E-0.60 - Item 10.5.4)
0.85 – 0.7225 –
rmín < r < rmáx
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
– Espaciamiento máximo: Smáx
Smáx= 3hf = Smáx = 40 cm
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 )) =
Adoptamos: S = 10 cm
Usaremos: 1 # 5 @ 10 cm∴ ϕ
– Índice de refuerzo
1.7x7.85x10⁵0.9x350x100x23²
= 0.048492ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.048492x350/4200 = 0.004041ρ ω
> mín = 0.001800ρ = 0.004041ρ
< máx = 0.023000ρ
OK!
– Área de acero negativo
As = bd =0.004041x100x23⁽⁻⁾ ρ As = 9.29 cm²⁽⁻⁾
El área de acero requerido es mayor al acero mínimo, entonces: As = 9.29 cm²⁽⁻⁾
– Selección de diámetro de varilla
# 4 1.29 cm²
– Espaciamiento: S
13.89 cm
Consideramos: S = 13 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 13 cm∴ ϕ
b.- Volados
(–) M = 0.600 Tn-mᴜ
– Índice de refuerzo
1.7x0.6x10⁵
Para Mu (–)
0.85 – 0.7225 –
rmín < r < rmáx
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
0.85 – 0.7225 –
𝜔=0.85−√(0.7225−(1.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 )) =
𝜔=0.85−√(0.7225−(1.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 )) =
0.9x350x100x23²
= 0.003608ω
– Cuantía de acero
= f'c/fy = 0.003608x350/4200ρ ω
> mín = 0.001800ρ = 0.000301ρ
< máx = 0.023000ρ
No cumple, usaremos acero mínimo
– Área de acero negativo
As = bd =0.000301x100x23⁽⁻⁾ ρ As = 0.69 cm²⁽⁻⁾
El área de acero requerido es menor al acero mínimo, entonces: As = 4.14 cm²⁽⁻⁾
# 4 1.29 cm²
– Espaciamiento: S
31.16 cm
Consideramos: S = 31 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 31 cm∴ ϕ
c.- Acero de repartición de temperatura: Para tramos intermedios y volados
La armadura por retracción y temperatura en losas, deberá proporcionar las siguientesrelaciones mínimas de área de la armadura a área de la sección total de concreto, según el tipode acero de refuerzo que se use. (E-0.60, Item 9.7.2)
- Barras lisas 0,0025 0.0025- Barras corrugadas con fy < 420 MPa 0,0020 0.002- Barras corrugadas o malla de alambre (liso o corrugado)de intersecciones soldadas, con fy ≥ 420 Mpa 0.0018
El refuerzo por contracción y temperatura deberá colocarse con un espaciamiento entre ejesmenor o igual a tres veces el espesor de la losa, sin exceder de 400 mm. (E-0.60, Item 9.7.3)
– Área de acero mínimo
As mín = mín.bd =0.0018x100x23ρ As mín = 4.14 cm²
# 4 1.29 cm²
0.7225 –
rmín < r < rmáx
Considerando varillas de f = → Ab =
S = 100Ab/As =
Considerando varillas de f = → Ab =
𝜔=0.85−√(0.7225−(1.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 )) =
– Espaciamiento: S
31.16 cm
Consideramos: S = 31 cm
Usaremos: 1 # 4 @ 31 cm∴ ϕ
Esquema de armado de losa1 # 4 @ 31 cmϕ
1 # 4 @ 31 cmϕ 1 # 4 @ 13 cmϕ 1 # 4 @ 31 cmϕ
1 # 5 @ 10 cmϕ 1 # 4 @ 31 cmϕ1 # 4 @ 31 cmϕ
8.- VERIFICACIÓN POR CORTE
a.- En tramos intermedios
V = D S /2 = 0.79 x 2.6/2 = 1.027ᴅ ᵢ ᵢ V = 1.03 Tnᴅ
– Por sobrecarga vehicular
P/E = 7.39 Tn /1.735 m = 4.2594 V = 4.26 Tnᴅ
4.260 Tn 4.260 Tn0.3 1.80 1.50
3.10 m
VʟS ' = 1.05 mᵥ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 1.05 mᵥ
1.00
V = [4.26x1.5+4.26x(1.5+1.8)]/3.1 = 6.5961ʟ V = 6.60 Tnʟ
– Por impacto
V = V x I = 6.6x0.33 = 2.178ɪ ʟ V = 2.18 Tnʟ
S = 100Ab/As =
– Por carga muerta
– Cortante último
V = n(1.25V + 1.75 V + 1.75V ) = 1.158x(1.25x1.03+1.75x6.6+1.75x2.18)ᵤ ᴅ ʟ ɪ
– Cortante resistente del concreto
Vc = 0.53√(f'c)bd = 0.53√(350)x100x23 = 22805.4 Kg
øVc = 0.85x22.81 = 19.3885 Tn
Comparando
Vu ≤ Vcϕ
19.28 Tn ≤ 19.39 Tn OK!
b.- En volados
V = D S +P = 1.4x0.55+0.08 = 0.85ᴅ ᵥ ᵥ ᴅ
V = L S +P = 0.36x0.55+0.15 = 0.348ʟ ᵥ ᵥ ʟ
– Cortante último
V = 1.4V + 1.7 V = 1.4×0.85+1.7×0.35 = 1.785ᵤ ᴅ ʟ
Comparando
Vu ≤ Vcϕ
1.79 Tn ≤ 19.39 Tn OK!
– Por carga muerta
– Por carga viva
DISEÑO DE PUENTE VIGA - LOSACORTE TRANSVERSAL
0.80###
0.40
0.60
0.25
e
h - e
1.050
0.550
9.30 m
Valor Unidad25.00 m0.70 m
25.70 m7.20 m
2 vías3.600 m2.600 m1.050 m0.550 m
350
280624
0.03070.75
77.77000.900.85
4200
2000000
80 Kg/m
150 Kg/m
Kg/cm2
Kg/cm2
Kg/cm2
Kg/cm2
Kg/cm2
Tramos continuos
M = 0.53 Tn-mᴅ
S = 2600 mmᵢC = 0.8
p = 0.86 N/mm²
D = 2.5
Longitud de la luz modificado tomado igual al más pequeño de la luz real ó 18000 mm.
Ancho de borde a borde de puente será tomado igual al menor del ancho real ó 18000 mm para carriles múltiples cargados a 9000 mm para un solo carril cargado.
M = 0.14 Tn-mʟ
M = 15.70 Tn-mᵤ
M = 0.60 Tn-mᵤ
Para el momento negativo del tramo central M (-) no hay norma, solo es un criterio tomar los siguientes valores:
1.7x15.7x10⁵0.9x350x100x23²
mín = 0.001800ρ
máx = 0.023000ρ
As = 19.19 cm²⁽⁺⁾
As mín = 4.14 cm²
As = 19.19 cm²⁽⁺⁾
En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, el espaciamiento entre ejes del refuerzoprincipal por flexión será menor o igual a tres veces el espesor del elemento estructural, sin
0.9x350x100x23²
As = 0.69 cm²⁽⁻⁾
As = 4.14 cm²⁽⁻⁾
relaciones mínimas de área de la armadura a área de la sección total de concreto, según el tipo
DISEÑO DE PUENTE VIGA - LOSACORTE TRANSVERSAL
### 0.80### 7.20 ### 0.80###
0.40
0.60Vereda ###
Losa de concreto 0.25
h
h - eViga principal de concreto
S 'ᵥ S 'ᵢ 1.05Sᵥ b Sᵢ 1.00 0.550
9.30 m
C.- DISEÑO DE LAS VIGAS EXTERIORES
1.- DATOS.
Variable Símbolo Valor UnidadLuz libre del puente L' 25.00 mAncho de la cajuela C 0.65 mLongitud entre ejes L 25.65 mAncho de borde a borde W 7.20 mAncho de viga b 1.00 mNúmero de vías N 2 víasFactor por Nº de vías cargadas 1.00Factor: ductilidad, redundancia e importancia operativa n 1.158
S'i 3.600 mSi 2.600 mS'v 1.050 mSv 0.550 m
Resistencia del concreto 350
Modulo de elastisidad del concreto 280624
Cuantía balanceada 0.0307Factor de reducción de cuantía máxima según sismisidad Media-baja 0.75
Factor de resistencia a la flexión 77.7700Factor de reducción de resistencia a la flexión y tracción ø 0.90Factor de reducción de resistencia al corte y torsión ø 0.85
Normal 5 cm
Esfuerzo de fluencia del acero 4200
Modulo de elastisidad del acero 2000000
Peso propio de la baranda 80 Kg/m
Carga viva en la baranda 150 Kg/m
2.- PREDIMENSIONAMIENTO
b = 1.00 m
h = L/12 =2565/12 = 213.75 cm Asumir: h = 2 cm
3.- METRADO DE CARGAS
P = 0.080 Tn/mᴅP = 0.150 Tn/mʟ
f 'c Kg/cm2
Ec Kg/cm2
ρb
Kumáx Kg/cm2
Recubrimiento efectivo según el clima. re
fy Kg/cm2
Es Kg/cm2
PD
PL
4
D = 1.40 Tn/mᵥL = 0.360 Tn/mᵥ
D = 0.790 Tn/mᵢL = s/c vehicularᵢ
t = 0
.02
m e = 0.27 m
-t - e = 0.25 Viga exterior Viga interior Viga exterior
S ' = 1.05 mᵥ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 3.600 mᵢ S ' = 1.05 mᵥb = 1.00 m
3.1.- Carga muerta
① D S ' = 1.4x1.05 = 1.47ᵥ ᵥ 1.47 Tn
② D S '/2 = 0.79x3.6/2 = 1.422ᵢ ᵢ 1.42 Tn
③ b(t-e) ˛ = 1x-0.25x2.5 = -0.625γ -0.63 Tn
④ P = 0.08ᴅ 0.08 TnW = 2.34 Tnᴅ
3.2.- Carga viva
a.- Carga peatonal
① L S ' = 0.36x1.05 = 0.378ᵥ ᵥ 0.380 Tn
④ P = 0.15ʟ 0.150 TnW = 0.53 Tnʟ
b.- Coeficiente de insidencia vehicular ( )λ
Determinación del coeficiente de insidencia vehicular ( ), según la norma de diseño de puentes del MTC,λse usará el método de la palanca.
P P0.60 1.80 1.20
RS ' = 3.600 mᵢ
R = [1.2xP+(1.2+1.8)P]/3.6 = 1.167P
= 1.167∴ λ
3.3.- Coeficiente de impacto
I = 0.33
3.4.- Carga sobre la viga
1 2
3
4
ḉ
Eje delantero: P' =1.167x35 kN /9.81λ 4.16 Tn
Eje posterior: P' =1.167x145 kN /9.81λ 17.25 Tn
4.- CÁLCULO DE MOMENTOS FLECTORES
(+) M = W L²/8 = 2.34 x 25.65²/8ᴅ ᴅ M = 192.44 Tn-mᴅ
(+) M = W L²/8 = 0.53 x 25.65²/8ʟ ʟ M = 43.59 Tn-mʟ
a.- Camión de diseño
Diagrama de cuerpo libre del camión de diseño
17.25 Tn 17.25 Tn 4.16 Tny = 4.30 a 9.00 m 4.30 m
L = 25.65 mx-y 25.65 - x + y
x 25.65 - xx + 4.30 21.35 - x
↔ y ≤ x ≤ 21.35
R = [17.25(25.65-x+y)+17.25(25.65-x)+4.16(21.35-x)]/25.65ᴀ
R = 37.96 + 0.67y - 1.51xᴀ
M(x) = R (x) - 17.25y = (37.96 + 0.67y)x - 1.51x²- 17.25yᴀ
∂Mx = 37.96 + 0.67y - (2)1.51x = 0
x = 12.59 + 0.22y y = 4.30 m
→ x = 13.55 m
Comparando:
4.3 ≤ x = 13.55 ≤ 21.35 OK!
Luego,
(+) Ml = (37.96 + 0.67*4.3)*13.55 - 1.51*13.55²- 17.25*4.3
(+) Ml = 202.67 Tn-m/m
Factor por Nº de vías cargadas = 1.00
→ (+) Ml = 202.67 Tn-m/m
b.- Eje tándem
Diagrama de cuerpo libre del Eje tándem
4.1.- Por carga muerta
4.2.- Por sobrecarga en veredas
4.3.- Por sobrecarga vehicular
De la ecuación anterior, para que el momento sea máximo 'y' debe tomar el valor mín o sea 4.30 m
A B
22.43 Tn 22.43 Tn1.20
L = 25.65 mx 25.65 - x
x + 1.20 24.45 - x
↔ 0 ≤ x ≤ 24.45
R = [ 22.43*( 25.65 - x ) + 22.43*(24.45 - x ) ] / 25.65ᴀ
R = 43.81 - 1.75xᴀ
M(x) = R (x) = 43.81x - 1.75x²ᴀ
Momento máximo:
∂Mx = 43.81 - 2*1.75x = 0
→ x = 12.53 m
Comparando:
0 ≤ x = 12.53 ≤ 24.45 OK!
Luego,
Mmáx = 43.81 ( 12.53 ) - 1.75 (12.53 )² = 274.36 Tn-m / vía Mmáx = 274.360 Tn-m/vía
Convirtiendo a momento lineal
(+) Ml = (274.36x1.167x1)/2 = 160.09 (+) Ml = 160.09 Tn-m
c.- Sobrecarga en el carril
Diagrama de cuerpo libre de la sobrecarga
0.97 Tn/m
L = 25.65 m
(+) Ms/c = DL²/8 = 0.97x25.65²/8 Tn-m/vía (+) Ms/c = 79.77 Tn-m/vía
Convirtiendo a momento lineal
(+) Ml = (79.77x1.167x1)/2 = 46.55 (+) Ml = 46.55 Tn-m
(+) Ml (diseño) = 202.67+46.55 (+) Ml (diseño) = 249.22 Tn-m/m
e.- Momento de impacto
MI = I x Mmáx = 0.33 x 202.67 Tn-m/m MI = 66.88 Tn-m/m
5.- FUERZAS CORTANTES
d.- Momento de diseño: Mmáx + Ms/c
A B
(+) 𝑀_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
(+) 𝑀_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
5.1.- Por carga muerta
V = V L'/2 = 2.34 x 25/2 = 29.25ᴅ ᴅ V = 29.25 Tnᴅ
5.2.- Por sobrecarga en vereda
V = W L'= 0.53x25/2 = 6.625ʟ ʟ V = 6.625 Tnʟ
5.3.- Por sobrecarga vehicular
a.- Camión de diseño
Diagrama de cuerpo libre del camión de diseño
17.25 Tn 17.25 Tn 4.16 Tny = 4.30 a 9.00 m 4.30 m
L = 25.65 mx-y 25.65 - x + y
x 25.65 - xx + 4.30 21.35 - x
↔ y ≤ x ≤ 21.35
R = [17.25(25.65-x+y)+17.25(25.65-x)+4.16(21.35-x)]/25.65ᴀ
R = 37.96 + 0.67y - 1.51xᴀ
Como el cortante máximo se presenta en la cara del apoyo, entonces:
x = y + C/2 = 4.3+0.65/2 y = 4.30 m
→ x = 4.63 m
Comparando:
4.3 ≤ x = 4.63 ≤ 21.35 OK!
Vl = 37.96 + 0.67x4.3 - 1.51x4.63
Vl = 33.88 Tn
Factor por Nº de vías cargadas = 1.00
→ Vl = 33.88 Tn
b.- Eje tándem
Diagrama de cuerpo libre del Eje tándem
22.43 Tn 22.43 Tn1.20
L = 25.65 mx 25.65 - x
x + 1.20 24.45 - x
↔ 0 ≤ x ≤ 24.45
R = [ 22.43*( 25.65 - x ) + 22.43*(24.45 - x ) ] / 25.65ᴀ
A B
A B
R = 43.81 - 1.75xᴀ
Cortante máximo: x = C/2
→ x = 0.33 m
Comparando:
0 ≤ x = 0.33 ≤ 24.45 OK!
Vmáx = 43.81 - 1.75x0.325 Vmáx = 43.24 Tn/vía
Convirtiendo a cortante lineal
Vl = (43.24x1.167x1)/2 = 25.23 Vl = 25.23 Tn
c.- Sobrecarga en el carril
Diagrama de cuerpo libre de la sobrecarga
0.97 Tn/m
L = 25.65 m
Vs/c = D(L-c)/2 = 0.97x(25.65-0.65)/2 = 12.13 Tn/vía Vs/c = 12.13 Tn/vía
Convirtiendo a cortante lineal
Vl = (12.13x1.167x1)/2 = 7.08 Vl = 7.08 Tn
Vl (diseño) = 33.88+7.08 Vl (diseño) = 40.96 Tn-m/viga
e.- Cortante por impacto
VI = I x Vmáx = 0.33 x 33.88 Tn-m/viga VI = 11.18 Tn/viga
6.- DISEÑO Y VERIICACIÓN DE LA SECCIÓN
6.1- Por flexión
M = n(1.25M + 1.75 M + 1.75M + 1.75P )ᵤ ᴅ ʟ ɪ ʟ
M = 1.158×(1.25×192.44+1.75×249.22+1.75×66.88+1.75×43.59ᵤ M = 1007.47 Tn-m/vigaᵤ
0.90
77.77 Kg/cm²b = 100 cm 1 6 7
h = 2 cm 2 9 10
d.- Cortante de diseño: Mmáx + Ms/c
a.- Momento último actuante : Mu
b.- Momento resistente de la sección del concreto
øMr = fKumáxbd2
Nº de capas de refuerzo
Clima Normal dc (cm)
Clima Severo dc (cm)
f flexión=
Kumáx =
𝑉_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑉_𝑙=(𝑀_𝑚á𝑥×𝜆)/(# 𝑑𝑒 𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎𝑠)×𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣í𝑎𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠
dc = 9 cm 3 12 13
d = h - dc = -7 cm
øMr = 0.9x77.77x100x-7² øMr = 3.43 Tn-m
1007.47 < 3.43 La losa será doblemente armada
– Índice de refuerzo
1.7x1007.47x10⁵0.9x350x100x-7²
Err:502
– Cuantía de acero
###
0.003118 ó→ mín = 0.003333ρ
>Err:502 0.003333
< máx = 0.75 b =0.75x0.030666666666666ρ ρ → máx = 0.023000ρ
Err:502
– Área de acero positivo
### Err:502
– Selección de diámetros de varillas
ϕ ϕ# 8 # 623 0 Err:502
117.30 cm² 0.00 cm²Área total = 117.30 cm²
Usaremos: 23 # 8ϕ
– Área de acero negativo
As mín = mín.bd = 0.003333x100x-7ρ -As mín = 2.33 cm²
ϕ ϕ# 6 # 58 3 Cambie combinación
22.72 cm² 6.00 cm²Área total = 28.72 cm²
Usaremos: 8 # 6 + 3 # 5ϕ ϕ
100
h =
2 cm
8 # 6 + 3 # 5
Mu < fMrrmáx
0.85 – 0.7225 –
rmín < r < rmáx
Sv ≥ db, 2.50 cm , 1.33 TM =
𝜔=0.85−√(0.7225−(0.7𝑀_𝑢×〖 10〗 ^5)/(∅𝑓_(𝑐 )^′ 𝑏𝑑^2 )) =
𝜌_𝑚í𝑛=(0.7√(〖 ′〗𝑓 _𝑐 ))/𝑓_𝑦 =𝜌_𝑚í𝑛=14/𝑓_𝑦 =
h =
2 cm
⍁ # 3
dc =
9.0
4 cm
re =
5 c
m0 # 8 + 0 # 6 =
11 # 8 + 0 # 6 = 56.10 cm² 11.03 cm 618.92 cm³12 # 8 + 0 # 6 = 61.20 cm² 7.22 cm 442.02 cm³
9.04 cm ∑ 117.30 cm²
5.24 cm OK!
– Área de acero lateral por flambeo
0.002x100x-7 -As lat = 1.40 cm²
– Selección de diámetros de varillas
ϕ ϕ# 6 # 5 2 6 Cambie combinación
5.68 cm² 12.00 cm²Área total = 17.68 cm²
Usaremos: 2 # 6 + 6 ϕ # 5ϕ ϕ
– Espaciamiento máximo
S ≤ 300 mm
552.13 Tn-m = 55213000 Kg-cm
-7.04 cm
117.30 cm²
-74290 Kg/cm² = -7428.96 MPa
Separador de ∅1" @ 1 m
Ai yig Ai× yig
dc=
Sv =
NOTA: Colocar preferentemente la mayor cantidad de acero en la primera capa (sii Sv cumpla según lo especificado), con la finalidad de evitar fisuramientos por tracción.
As lat = 0.002×b×d =
fs (Mpa) y re (mm)
Ms = MCD + MLL + MIN + MPL =
d = h - dc =
As(+) =
fs =
𝑆≤380(250/𝑓_𝑠 )−2.5𝑟_𝑒𝑆≤300(250/𝑓_𝑠 )𝑓_𝑠=𝑀_𝑠/(∅𝑑𝐴_𝑠 )
Sv ≥ dbSv ≥ 2.50 cmSv ≥ 1.33 TM
DATOS
P = 17.25 y 4.30L = 25.65 5.30C = 0.65 6.3a = 4.30 7.3b = 15.00 8.3
9
1º IDEALIZACIÓN: UN SOLO CAMIÓN DE DISEÑO
x mín = 4.30x máx = 21.35
Cortante máximo:
Momento flector máximo:
1º IDEALIZACIÓN: CON DOS CAMIONES DE DISEÑO
x mín = 4.30x máx = 6.35
Cortante máximo:
Momento flector máximo:
A B
P
x
y a
L - x
P 7P/29
L - x - a
L - x + y
y ≤ x ≤ L - a
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (65𝐿−7𝑎+29𝑦−65𝑥)𝑀_((𝑥))=𝑃/29𝐿 (65𝐿−7𝑎+29𝑦−65𝑥)𝑥−𝑃𝑦
𝑥=𝑦+𝐶/2𝑥=(65𝐿−7𝑎+29𝑦)/130
A B
P
x
yb
L - x
P P
L - x - a
L - x + y
y ≤ x ≤ L - a - b
a7P/29
L - x - a - b
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (94𝐿−36𝑎−29𝑏+29𝑦−94𝑥)𝑀_((𝑥))= /29 (94 −36 −29 +29 −94 )𝑃 𝐿 𝐿 𝑎 𝑏 𝑦 𝑥 𝑥−𝑃𝑦
𝑥=𝑦+𝐶/2𝑥=(94𝐿−36𝑎−29𝑏+29𝑦)/188
A B
Py
bP P
a7P/29
x mín = 8.60x máx = 10.65
Cortante máximo:
Momento flector máximo:
x mín = 15.00x máx = 17.05
Cortante máximo:
Momento flector máximo:
x mín = 19.30x máx = 21.35
Cortante máximo:
A B
xL - x + y
L - x
L - x + a + y
y + a ≤ x ≤ L - b
L - x - b
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (94𝐿+58𝑎−36𝑏+29𝑦−94𝑥)𝑀_((𝑥))= /29 (94 +58 −36 +29 −94 )𝑃 𝐿 𝐿 𝑎 𝑏 𝑦 𝑥 𝑥−𝑃(2𝑎+𝑦)𝑥=𝑦+𝑎+𝐶/2
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (72𝐿−7𝑎+7𝑏−36𝑦−72𝑥)𝑀_((𝑥))= /29 (72 −7 +7 −36 −72 )𝑃 𝐿 𝐿 𝑎 𝑏 𝑦 𝑥 𝑥−7𝑃𝑏/29𝑥=𝑏+𝐶/2
A B
7P/29
x
b a
L - x + y
P 7P/29
L - x
L - x + y + b
b + y ≤ x ≤ L - a
yP
L - x - a
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (72𝐿−7𝑎+7𝑏+36𝑦−72𝑥)
A B
7P/29
x
b a
L - x
P 7P/29
L - x - y
L - x + b
b ≤ x ≤ L - y - a
yP
L - x - y - a
Momento flector máximo:
𝑅_𝐴=𝑃/29𝐿 (72𝐿−7𝑎+7𝑏+36𝑦−72𝑥)𝑀_((𝑥))= /29 (72 −7 +7 +36 −72 )𝑃 𝐿 𝐿 𝑎 𝑏 𝑦 𝑥 𝑥−𝑃(7𝑏+36𝑦)/29
x
x = 4.63 Vmáx = 33.88604 OK5.63 33.05119 OK6.63 32.21635 OK7.63 31.3815 OK8.63 30.54666 OK9.33 29.96227 OK
x = 13.55 Mmáx = 202.6901 OK13.78 194.6295 OK14.00 186.7189 OK14.22 178.9584 OK14.45 171.3478 OK14.60 166.1097 OK
x = 4.63 Vmáx = 35.04613 OK5.63 33.53877 OK6.63 32.03141 No cumple7.63 30.52405 No cumple8.63 29.01669 No cumple9.33 27.96153 No cumple
x = 10.35 Mmáx = 159.3867 No cumple10.51 149.1498 No cumple10.66 139.0166 No cumple10.81 128.9872 No cumple10.97 119.0615 No cumple11.08 112.1753 No cumple
𝑥=𝑦+𝐶/2𝑥=(65𝐿−7𝑎+29𝑦)/130
𝑥=𝑦+𝐶/2𝑥=(94𝐿−36𝑎−29𝑏+29𝑦)/188
x = 8.92 Vmáx = 32.61 OK9.92 31.10 OK
10.92 29.60 No cumple11.92 28.09 No cumple12.93 26.58 No cumple13.63 25.53 No cumple
x = 11.94 Mmáx = 88.38 No cumple12.10 79.21 No cumple12.25 70.15 No cumple12.41 61.19 No cumple12.56 52.33 No cumple12.67 46.20 No cumple
x = 15.33 Vmáx = 15.39 OK15.33 14.55 OK15.33 13.72 No cumple15.33 12.88 No cumple15.33 12.05 No cumple15.33 11.46 No cumple
x = 12.27 Mmáx = 188.93 No cumple12.02 178.79 No cumple11.77 168.86 No cumple11.52 159.13 No cumple11.27 149.62 No cumple11.10 143.09 No cumple
x = 19.63 Vmáx = 15.39 OK20.63 14.55 OK21.63 13.72 No cumple22.63 12.88 No cumple23.63 12.05 No cumple24.33 11.46 No cumple
x = 14.42 Mmáx = 192.66 No cumple14.67 183.39 No cumple14.92 174.33 No cumple15.17 165.47 No cumple15.42 156.83 No cumple
𝑥=𝑦+𝑎+𝐶/2𝑥=(94𝐿+58𝑎−36𝑏+29𝑦)/188
𝑥=𝑏+𝐶/2𝑥=(72𝐿−7𝑎+7𝑏−36𝑦)/144
𝑥=𝑏+𝑦+𝐶/2